成都七中近几年数学自主招生试卷

成都七中2012年自主招生数学试题

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（每题6分，共60分）

1、设是21,x x 方程0132

=+-x x 的两根，则=+

21x x （ ）

A 、3

B 、5

C 、3

D 、5 2、一次函数1-+=k kx y 的图象与反比例函数x

y 1

=

的图象交点个数为（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、1或2

3、某三角形面积为2

6cm ，周长为cm 12，其内切圆半径为（ ） A 、0.5cm B 、1cm C 、1.5cm D 、2cm 4、计算=-+⨯⨯⨯2

2012

12014201320122011（ ）

A 、2011

B 、2012

C 、2013

D 、2014

5、平面上有无数条彼此相距3cm 的平行线，将半径为1cm 的硬币掷在平面上，硬币与平行线相交的概率为（ ） A 、

41 B 、31 C 、32 D 、4

3 6、某三棱锥的主视图和左视图如右，则其俯视图不可能是（ ）

A 、

B 、

C 、

D 、

7、从3,2,1,0,2-五个数中选出两个数，则b ） A 、15 B 、14 C 、13 D 、12 8、设n 为正整数，记()2321!≥⨯⨯⨯⨯=n n n ，1!1=，则=+++++!

109

!98!43!32!21 （ ） A 、!1011-

B 、!1011+

C 、!911-

D 、!

91

1+ 9、如图，O 为矩形ABCD )(BC AB <的中心，过O 且互相垂直的两条直线被矩形四边怕截，设截得的线段EF 和GH 长度分别为y x ,，四边形EGFH 的面积为S ，当这两条直线保持垂直且围绕O 点不停旋转时，下列说法正确的是（ ） ①某一阶段，y 随x 的增大面增大，y 是x 的正比例函数

主视图 左视图

②某一阶段，y 随x 的增大面减小，y 是x 的反比例函数 ③仅当四边形EGFH 与矩形一条对角线重合时，S 最大 ④仅当四边形EGFH 的两条对角线长度相等时，S 最小 A 、①② B 、①③ C 、①②③ D 、①③④

10、2012年6月6日发生了天文奇观“金星凌日”，当地球、金星、太阳在一条直线上，从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样沿直线在太阳表面缓慢移动（金星的视直径约为太阳的3%），如图，圆O 为太阳，小圆为金星，弦AB 所在直线为小圆圆心的轨迹，其中位置I 称为入凌外切，位置II 称为入凌内切，设金星视直径为d ，θ2=∠AOB

位置II 的视位移S ∆可以估计为（

） A 、

θsin d B 、θsin 2d C 、θ

cos 1-d

D 、()θcos 12-d

二、填空题（每题6分，共48分）

11、方程0432

3=-+x x 的解为

12、关于x 的不等式x a x a +≥++2

4)1(与213≤-x 同解，则a 的取值为

13、如图，在长方体中，AB=5，AD=3，41=AA ，经长方体表面从A 到1C 的最短距离为

14、若1,021≤≥x x ，有13212

11++-=x x y ，13222

22++-=x x y ，则21y y -的最大值为

15、梯形ABCD 中，AD ∥BC ，b BC a AD ==,，M ，N 分别在线段AB 和CD 上，有MN ∥AD ，

且MN 将梯形ABCD 分成面积相等的两部分，则MN=

1

A

16、方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+x z

z

z y y

y x x 2

22

22

2

414414414的解为

17、如图，点P （2，3）在圆O 上，点E 、F 为y 轴上的两点，PEF ∆是以点P 为顶点的等

腰三角形，直线PE 、PF 交圆于D 、C 两点，直线CD 交y 轴于点A ，则

sin

18、某百货商场为回馈客户推出“满200赠100200元可获赠100元的消费券，例如：现金消费390元可获赠100元消费券，现金消费400元可获赠200元消费券，而用消费券购买商品则不再获赠消费券。现一客户购买两件商品，欲用购买第一件商品所得消费券抵现金购买第二件商品（不足部分再用现金补足），已知两件商品的总价格为1095元，为使客户在本次购买中所付现金最少，营业员可以重新设定两

件商品各自的价格，设第一件商品的价格为x 元，则x 的取值范围为

三、解答题（19题18分，20题24分，共42分）

19、如图，直线l 平行于x 轴，与y 轴交点为)1,0(-C ，A 为抛物线2

4

1x y =上一动点，以A 为圆心的圆A 始终与直线l 相切。

（1）若点A 的横坐标为22，圆A 与y 轴交于D 、E 两点，求ADE ∆的外接圆的半径？ （2）证明：y 轴上仅存在一定点F 恒在动圆A 上，并确定F 的坐标。

（3）在（2）问的基础上，直线AF 与抛物线交于另外一点B ，求证BF

AF 1

1+

为定值，并求出该值。

20、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，现定义点与点的运算B A ⊗，规则如下： 设()()2211,,,y x B y x A ，若C B A =⊗，则有()

21212121,y y x x y y x x C -+ （1）若()1,4-B ，()22,3-C ，且C B A =⊗，求A 点的坐标？

（2）一般地，若C B A =⊗，判断OA 、OB 与OC 的大小关系，并证明。 （

3

）

按

以

下

方

式

构

建

点

列

n

A n (为正整数）：

543432321,,A A A A A A A A A =⊗=⊗=⊗

①若21,OA OA 为大于1的整数，864=m OA ，其中m 为整数且大于3，试确定m 及对应的

21,OA OA 的值？

②若⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23,23,2121A A ，求n n OA A OA A OA A OA A S S S S 1531642-∆∆∆∆++++