第07章经典力学的哈密顿理论

dt
因
为dq
j，dp
独
j
立
，
故
得
：H t
L t
海森条件；
pqj jpHqHj j （j 1，2 s） 正 则 方 程
三 、 哈 密 顿 函 数 的 物 理意 义
L T pj qj qj
s
p jqj
j1
s j1
T qj
qj
2T 2T2
T1
(稳 定 约 束) (非 稳 定 约 束)
H(q,p, t)
在
拉
氏
理
论
中
，
广
义
坐标q
对
i
应
的
广
义
动
量 是pi
L ， 若 拉 氏 函 数L是 唯 一 的 ， 那 么 ， qi
q
i
对
应
的p
也
i
是
唯
一
的
，
两
者
一
一对
应
。
由
于
L(q,q, t)和df
(q,
t)
/
dt中
都
含
有qi ,因
此
L1 qi
和
L2 将 是 两 个 不 同 的 力 学 量。 由 于f (q, t)是 任 qi
第七章 经典力学的哈密顿理论
§7.1 正则共轭坐标 §7.2 哈密顿函数和正则方程 §7.3 变分问题的欧拉方程 §7.4 哈密顿原理 §7.5 正则变换 §7.6 泊松括号和泊松定理 §7.7 哈密顿-雅科毕理论 §7.8 用哈密顿理论解开普勒问题
第七章 经典力学的哈密顿理论
§7.1 正则共轭坐标
px
L x
mx(1
x2
/ 4a2 )
x
px m(1 x2
/ 4a2 )
H
1 2m
p
2 x
m(1 x2
/
4a2 )
1 m2x2 2
mg x2 4a
px
m(1
x2 4a2
)x
m
x 2a2
x2
H x
p
2 x
2m
x / 2a2 (1 x2 / 4a2 )2
m2x
mg
x 2a
m(1
x2 4a2
H p j
H p j
H q j
H t
H t
若 H 不 显 含t ， 即H 0， 则dH 0
t
dt
H h 常数 能量积分；
若 H 不 出 现qj ，pj
H
q j
0， 则
pj
常数
循环（动量）积分。
例：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别
写出自由质点在势场 U(r) 中运动的哈密顿函数.
解 ：(1) 直 角 坐 标 系
L m(x2 y2 z2 ) / 2 U(x, y, z)
px
L x
mx，py
L y
my，pz
L z
mz，
H piqi L
p
2 x
p
2 y
p
2 z
p
2 x
p
2 y
p
2 z
U(x, y, z)
m m m 2m 2m 2m
1 （p 2m
2 x
p
2 y
L T U 1 m x2(1 x2 / 4a2 ) 2x2 mgx2 / 4a 2
H T2 To U
1 m x2(1 x2 / 4a2 ) 2x2 2
mgx2 / 4a
解 ：L m x2 (1 x2 / 4a2 ) 2x2 / 2 mgx2 / 4a H m x2 (1 x2 / 4a2 ) 2x2 / 2 mgx2 / 4a
拉 格 朗 日 函 数:
广
义
坐
标
q
，
j
广
义
速
度qj
。
方 程 为 二 阶 微 分 方 程 组。
哈
密
顿
函
数
：
广
义
坐
标q
，
j
广
义
动
量p
j
。
方 程 化 为 一 阶 微 分 方 程组 。
定 义 广 义 动 量 ：pj
L qj
；q
j，p
称
j
为
正
则
共
轭
。
拉 氏 方 程 变 为 ： L q j
d dt
L qj
s
pjqj L
j1
2T （T U） 2T2 T1 （T2 T1
To
U）
TU
(稳 定 约 束) 机 械 能
T2 To U (非 稳 定 约 束) 广 义 能 量 积 分
四 、 能 量 积 分 和 循 环 积分
dH dt
s j1
H q j
qj
H p j
pj
H t
s H j1 q j
p 2z）
U(x, y, z)
(2)柱 坐 标 系
L 1 m(r2 r22 z2 ) U(r, , z) 2
pr
L r
mr，p
L
mr2，pz
L z
mz，
H 1 m(r2 r22 z2 ) U(r, , z) 2
1 2m
(pr2
p
2
/
r2
p
2 z
)
U(r, , z)
(3) 球 坐 标 系 (作 业)
L q j
dq
j
L qj
dqj
L t
dt
s
（pjdq j
j1
pjdqj）
L dt t
dH
s
（pjdqj qjdp j） dL,dL
j1
s
（pjdq j
j1
pjdqj）
L dt t
dH
s
（ pjdq j
j1
qjdp j）
L dt t
s j1
H q j
dq j
H p j
dp
j
H t
q
2m
例: 轴为竖直而顶点在下的抛物
y
线金属丝，以匀角速ω绕轴转动， ω
一质量为 m 的小环，套在此金
x
属丝上，并可沿着丝滑动。求
小环在 x 方向的运动微分方程。 已知抛物线方程为 x2 = 4ay ， 式中 a 为常数。
mg vr
o
x
解：T m(x2 y2 2x2 ) / 2, U mgx2 / a
H
1 2m
(pr2
p
2
/ r2
p2
/ r2
sin2
)
U(r, , )
例：写出粒子在中心势场 U = - a / r 中的哈密顿 函数和正则方程。
解 :哈 密 顿 函 数 ：H
1 2m
(pr2
p
2
/
r2)
a r
正 则 方 程 ：
r
pr
H pr
pr m
H r
p
2
mr3
a r2
m(r r2 )
a r2
p
H p p mr
H 0
2
p mr2 常 数
例：写出带点粒子在电磁场中的哈密顿函数
解 ：L
1
mv2
q
qA
v
2
粒 子 的 动 量 为 ：p
L
mv
qA
v
哈 密 顿 函 数 ：H
piqi
L
Baidu Nhomakorabea
p
v
L
i
(mv
qA)
v
1
mv2
q
qA
v
2
1 mv2 q 2
1
(p
qA)2
pj
(j 1，2， s)
二、正则方程
s
H(q,p, t) pjqj L(qj,qj, t) j1
左 边 微 分 ：dH(q,p, t)
s j1
H q j
dq j
H p j
dp
j
H dt
t
s
右 边 微 分 ：dH （pjdqj qjdp j） dL j1
其 中
dL
s j1
意
的
，
因
此q
对
i
应
的p
，
i
可
以
有
无
穷
多
个
，
用
数 学 的 术 语 来 说 ，pi是 与qi完 全 独 立 的 。
§7.1 正则共轭坐标
本章所要讨论的哈密顿理论，其使 用的坐标（共有s 对pi 、qi ，其中pi完全 独立于qi）称为正则共轭坐标，或 正则 共轭变量。
§7.2 哈密顿函数和正则方程
一、哈密顿函数