第07章经典力学的哈密顿理论
经典力学的哈密顿理论(精)
所以
L p m m( r )
（2 ）
p r m
（ 3）
则哈密顿函数
H p L 1 1 [m m( r )] [ m 2 m ( r ) m( r ) 2 V （4） 2 2 1 1 m 2 m( r ) 2 V 2 2
2 p 1 1 2 2 2 2 r ) ( ) (r ( pr 2 ) 2m r 2m r r
于是得正则方程
H pr r pr m r 2 ) 2 m ( r 2 r H p （径向运动方程） p r r mr 3 r 2
（ 3）
p H p mr 2 p mr 2 常数 （角动量守恒） p H 0
（ 4）
[例2] 写出粒子在等角速度转动参考系中的H函数和正则方程。 解：取图7.3所示的转动参考系。粒 子的L函数为（参见5.12式）
故H是p、q、t的函数，表征体系的状态，称为哈密顿函数。 若L不显含t，并且约束是稳定的，体系的能量守 恒，则
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
s H H H dH dp dq dt p q t 1 1 s
7 经典力学的哈密顿理论
内容： · 哈密顿正则方程 · 哈密顿原理 · 正则变换
· 哈密顿—雅可比方程
重点： ·哈密顿正则方程
· 正则变换
难点： · 正则变换
哈密顿原理
§7-4 哈密顿原理人们为了追求自然规律的统一、 和谐, 按照科学的审美观点, 总是力图用尽可能少的原理(即公理)去概括尽可能多的规律.牛顿提出的三个定律, 是力学的基本原理. 由这些基本原理出发, 经过严格的逻辑推理和数学演绎, 可以获得经典力学的整个理论框架.哈密顿原理是分析力学的基本原理, 它潜藏着经典力学的全部内容并把这门学科的所有命题统一起来. 也就是说, 由它出发, 亦可得到经典力学的整个框架.哈密顿原理是力学中的积分变分原理. 变分原理提供了一个准则, 使我们能从约束许可条件下的一切可能运动中, 将力学系统的真实运动挑选出来. 变分原理的这一思想, 不仅在力学中, 而且在物理学科的其他领域中, 都具有重要意义.一、变分法简介1. 函数的变分.自变量为x 的函数表示为)(x y y =.函数的微分x y y d d ′=是由自变量x 的变化引起的函数的变化.函数的变分也是函数的微变量, 但它不是因为自变量x 的变化, 而是由于函数形式的变化引起的.这种由于函数形式变化造成的函数的变更称为函数的变分, 记作y δ.与函数y 邻近但形式与y 不同的函数有许多, 这些函数可以表示如下:)()0,(),(*x x y x y εηε+= 其中ε是任意小的参数, ()x η是任意给定的可微函数. 因0=ε时()()x y x y =0,, 所以函数形式的变化决定于上式的第二项. 因此, 函数的变分写成()()()x x y x y y εηε=−=0,,δ*在自由度为1的力学系统中讨论变分的概念. 设广义坐标为q , )(t q q =. 建立以t q ,为轴的二维时空坐标系(又称事件空间), 曲线I 是)(t q q =的函数曲线, 代表了系统的真实运动.q t d d →函数的微分.在曲线I 附近, 存在着许多相邻曲线, 这些曲线都满足力学系统的约束条件, 称为可能运动曲线,它们的方程表示为()()()t t q t q εηε+=0,,*在t 不变的情况下, 函数形式的改变也能引起函数的变化, 这种变化纯粹是由函数形式变化引起的, 它就是函数的变分q δ,()()()t t q t q q εηεδ=−=0,,*与q d 不同, q δ与时间变化无关, 称为等时变分. r δ和αq δ都是等时变分.变分的运算法则在形式上与微分运算法则相同. 下面列出几条变分法则.设1y 和2y 是自变量x 的两个函数, 则()2121δδδy y y y +=+()122121δδδy y y y y y +=22211221δδδy y y y y y y −= 现给出第3式的证明:()22222211122122211121*2121δηεηεηεηεηε+−=−++=− =y y y y y y y y y y y y y y22211221δδδy y y y y y y −= 等时变分还有两个重要性质:(1)变分与微分的运算可以交换, 即δ和d 的运算可交换;(2)变分和微商在运算上可以交换, 即δ和t d /d 的运算可交换.首先证明性质(1):设力学系统的1=s ,q . 曲线 I 表示系统的真实运动, 曲线 II 表示与曲线I 邻近的系统的可能运动.Q Q P ′→→, Q ′点的纵坐标为()q q q q d δd +++. Q P P ′→′→, Q ′点的纵坐标成为()q q q q δd δ+++. 于是 ()()q q q q q q q q δd δd δd +++=+++()()q q δd d δ=证明完毕.下面证明性质(2): 因为()()()()2d d δd d δd d d δt t q q t t q −=由于等时变分, ()()0δd d δ==t t . 所以上式可写成()()q t t q t q δd d d d δd d δ==证明完毕.在变分法中, 除等时变分外, 还有全变分. 全变分是由于函数自变量和函数形式的共同变化引起的, 用q ∆表示.()()0,,*x y x x y y −∆+=∆εx xy y y ∆+=∆d d δ 2. 泛函的变分与泛函取极值的条件---欧拉方程.若变量J 由一组函数()x y y i i =, n i ,,2,1 =的选取而确定, 则变量J 称为函数()t y y i i =的泛函, 记作()()()],,,[21x y x y x y J n .泛函J 由n 个函数的形式确定, 是函数形式的函数.泛函与函数的概念不同, 函数中的自变量是数； 而对于泛函, 处于自变量地位的是可以变化的函数的形式.举例说明：Oxy 平面中有B A ,两个固定点, 连接两固定点间的曲线的长度L 由下式确定, ()x x y L AB x x d d /d 12∫+= 显然, L 依赖于函数()x y y =的选取, 若函数()x y 的形式发生变化, 则曲线的形状随之变化, 曲线的长度也跟着改变. 长度L 就是函数()x y的泛函.研究形式最简单的泛函及其变分, 该泛函只依赖一个函数()()[]x x x y x y F J x x d ,,10∫′= 或 ()()()()()[]x x x x y x x y F J x x d ,0,,0,10∫′+′+=ηεεηε 其中()()x x y x y d d =′被积函数()()[]x x y x y F ,,′的形式是已知的, 积分的上下限是固定的. 当函数()x y 在形式上发生变化时, 泛函就会发生变化, 这种由于函数形式的变化引起泛函的变化(线性部分)称为泛函的变分,记作J δ.现将被积函数()()()()[]x x x y x x y F F ,0,,0,ηεεη′+′+=在0=ε处展开(只保留线性部分)()()()()[]x x x y x x y F ,0,,0,ηεεη′+′+()()[]()()x y F x y F x x y x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂+′===00,, 可见函数的变分为()()()()[]()()[]x x y x y F x x x y x x y F F ,,,0,,0,δ′−′+′+=ηεεη()()x y F x y F ηεεηεε′ ′∂∂+ ∂∂===00 y y F y y F ′ ′∂∂+ ∂∂===δδ00εεF 的变分是在0δ=x 的情况下进行的. 在力学中, x 为时间t , 这种变分是等时变分.现将J δ写成()()()()[]()()[]∫∫′−′+′+=1010d ,,d ,0,,0,δx x x x x x x y x y F x x x x y x x y F J ηεεη ()()()()[]()()[]{}∫′−′+′+=10d ,,,0,,0,x x x x x y x y F x x x y x x y F ηεεη∫=10d δx x x F 上式表明当积分变量与变分无关时, 变分算符和积分算符可以交换.在数学中, 变分法的基本问题是通过求泛函的极值(极大值, 或极小值, 或稳定值)去寻找函数)(x y . 泛函中的函数)(x y 的形式需不断改变, 直到J 达到极值. 当J 为极值时, )(x y 就是我们所要寻找的函数.泛函取极值的必要条件是满足欧拉方程. 推出欧拉方程:与函数极值条件类似, 处于极值的泛函, 其变分一定为零, 即()()[]x x x y x y F J x x d ,,δδ10∫′= ()()[]x x x y x y F x x d ,,δ10∫′= 0d δδ10= ′′∂∂+∂∂=∫x y y F y y F x x 考虑到()y x y δd d δ=′, 并对上式中的第二项采用分部积分法()x y y F x y y F x x y x y F x y y F x x x x x x d δd d δd d d δd d d δ101010∫∫∫ ′∂∂− ′∂∂=′∂∂=′′∂∂ 积分上下限是固定的, 即要求各函数曲线有相同的端点, 0δδ10==x x y y , 所以上式第一项 0δd δd d 1010=′∂∂= ′∂∂∫x x x x y y F x y y F x 故0d δ)d d (10=′∂∂−∂∂∫x y y F x y F x xεη=y δ, 由于η是任意函数, 所以y δ也是任意的. 可见, 要使上式成立, 必须0d d =′∂∂−∂∂y F x y F 这就是欧拉方程.可推广到多个函数为变量的泛函中去, 该泛函取极值的欧拉方程为0d d =′∂∂−∂∂ββy F x y F l ,,2,1 =β l 代表函数的个数.3. 变分问题.凡是与求泛函极值有关的问题都称做变分问题. 下面列举3个曾在变分法的发展中起过重要影响的变分问题.(1) 最速落径问题. 通过求泛函极值, 得知竖直平面内不在同一铅垂线上的两个固定点之间的多条曲线中, 能使质点以最短时间从高位置点到低位置点自由滑下的曲线是旋轮线(又称摆线).(2) 短程线问题. 已知曲面方程, 用求泛函极值的方法, 可得出曲面上两固定点之间长度最短的线.(3) 等周问题. 将泛函求极值, 可得知一平面内, 长度一定的封闭曲线, 所围面积最大的曲线是圆.例题6 最速落径问题.(有兴趣者自学)二、哈密顿原理1. 位形空间、 真实运动曲线和可能运动曲线.在分析力学中, 由s 个广义坐标s q q q ,,,21 组成的s 维空间称为位形空间.系统某一时刻的位形(即由广义坐标确定的系统的位置)与该空间中的一点相对应. 当位形随时间变化时(时间t 为参数), 位形点就会发生变化而形成一条曲线.用位形空间研究完整系的运动, 不用顾及约束对系统运动的影响. 因为空间由s 个广义坐标轴组成, 每一个广义坐标都可以自由变化. 位形空间中的任何一条曲线, 都表示系统在完整约束下的一种可能的运动过程.设s t q q ,,2,1),( ==ααα代表系统的真实运动, 则由它们决定的曲线称为真实运动曲线.由于函数)(t q q αα=形式发生变化而在真实曲线邻近出现的曲线称为可能运动曲线.2. 完整有势系统的哈密顿原理.哈密顿原理是分析力学中的积分变分原理, 它巧妙地运用泛函求极值的方法, 将真实运动从约束允许的一切可能运动中挑选出来.哈密顿原理是一条力学公理.首先, 定义一个称为作用量的泛函:()∫=10d ,,t t t t q q L S αα 式中的L 称为拉格朗日函数, 定义为V T L −=T 是力学系统相对惯性系的动能),,(t qq T T αα =; 势能),(t q V V α=. 拉格朗日函数是ααqq ,和t 的函数, ),,(t qq L L αα =. 假定位形空间中有两个固定点A 和B , 与A 点相对应的时刻是0t , 与B 点相对应的时刻是1t .两个固定点之间, 存在着由s t q q ,,2,1),( ==ααα决定的真实运动曲线.两固定点B A ,间还存在许多与真实运动曲线邻近的可能运动曲线, 它们是由q q q δ*+=αα s ,,2,1 =α0δδ10====t t t t q q αα s ,,2,1 =α决定的.作用量是依赖于函数)(t q α的泛函. 在位形空间的两个固定点间有许多可能运动轨道, 其中有一条是真实的. 哈密顿原理就是通过变分法中求泛函(在此指作用量)极值的方法, 将真实运动从这许多的可能运动中挑选出来的.哈密顿原理的内容是: 受完整约束的有势系, 在位形空间中, 相同时间内通过两位形点间的一切可能运动曲线中, 真实运动曲线使作用量取极值. (极值为极小值, 故此原理又称为哈密顿最小作用量原理)在哈密顿原理中, 一切可能运动必须具有以下共同的特点:(1) 都是同一系统在相同的约束条件下的可能运动;(2) 都是在时刻0t 和时刻1t 之间相同时间间隔内完成的运动;(3) 在位形空间中有相同的起点和终点, 即 0δδ10====t t t t q q ααs ,,2,1 =α哈密顿原理的数学表述:在位形空间内, 当s q q t t t t ,,2,1,0δδ10 =====ααα时, 对于受完整约束的有势系, 其真实运动使 ()0,,δδ10==∫t t t q q L S αα 综上所述, 当作用量泛函取极值时, 与该作用量所对应的位形空间曲线就是真实运动的曲线, 描绘该曲线的s 个函数)(t q q αα=就是真实运动的运动学方程.拉格朗日函数V T L −=是力学系统的特征函数.如果确定了系统的拉格朗日函数, 则通过哈密顿原理, 就可导出力学系统的动力学方程.由欧拉方程可以得到分析力学中有势系的普遍方程---拉格朗日方程, 我们将在下一章讨论这个问题.[拉格朗日函数不是惟一确定的. 设f 是一个任意广义坐标和时间的函数, 即),(t q f f α=, 设),(d d t q f tL L α+=′, 则∫∫=′1010d d t t t t t L t L δδ. 证明了在原有拉格朗日函数上加上一项广义坐标和时间的任意函数对时间的全微商, 是不会改变系统的运动方程的. 这种不变性称做规范变换不变性, 它对于现代理论物理的研究有重要意义.]例题 7 质量为m 的质点, 在重力场中以与水平线成α角的初速率v 抛射, 根据哈密顿原理, 求质点的运动微分方程.解 在抛射体运动的平面内, 以铅垂方向为y 轴, 建立直角坐标系Oxyz , 以y x ,作为质点的广义坐标. 拉格朗日函数为()mgy y x m L −+=2221 作用量为()t mgy y x m t L S t t t t d 21d 101022∫∫ −+== 根据哈密顿原理, 真实运动使()[]0d δδδδ10=−+=∫t y mg y y m x x m S t t ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t x x m x x m t x tx m t x x m ()∫∫∫−==10101010d δδd δd d d δt t t t t t t t t y y m y y m t y ty m t y y m 由于在10,t t 时刻, 0δδ==y x , 因此 ()[]∫=+−−=100d δδδt t t y mg y m x x m S 又因x δ和y δ是相互独立的, 所以要使上式成立, 必须0=xm 0=+mg ym 3. 一般完整系的哈密顿原理.对一般完整系, 主动力常含有非有势力, 上述哈密顿原理不再适用, 但可以将有势系的哈密顿原理的表达式经修改后推广到一般完整系中:即在位形空间中, 一般完整系的真实运动使0d δδ101= +∫∑=t q Q T t t S ααα 式中T 是系统的动能, αQ 是与广义坐标αq 对应的广义力.[ααq r F Q i ni i ∂∂⋅=∑= 1] 在下一章里, 我们将会根据一般完整系的哈密顿原理, 推导出一般完整系普遍适用的动力学方程, 即一般形式的拉格朗日方程.在物理学的研究中, 对于我们重要的是有势系的哈密顿原理.哈密顿原理具有统一的、简洁完美的形式, 即具有坐标变换的不变性, 从而使哈密顿原理具有很大的普适性.哈密顿原理——有限自由度——无限自由度.哈密顿原理——物理学其他领域.哈密顿原理还可用于创建新的理论, 根据实验结果和假设构造出拉格朗日函数, 便可用哈密顿原理导出运动方程, 其正确性由实践检验.哈密顿原理是作为公理提出的, 并未推证. 它们的正确性由原理演绎出的推论在实践中的检验而得到证实. ——完全不依赖牛顿定律, 它的适用条件也完全不受牛顿定律适用条件的限制, 其普适性比牛顿的运动定律大得多.。
经典力学的哈密顿理论.
第八章 经典力学的哈密顿理论教学目的和基本要求：理解正则共轭坐标的物理意义并掌握如何用正则坐标表示体系哈密顿函数；能熟练应用正则方程求解简单的力学问题的；了解变分问题的欧拉方程；掌握用变分法表示的哈密顿原理并能正确理解哈密顿原理的物理含义；初步掌握正则变换、泊松括号的物理意义和使用方法。
教学重点：在正确理解正则共轭坐标的物理意义的基础上能熟练应用正则方程求解简单的力学问题。
教学难点：正则共轭坐标的意义和哈密顿原理的物理含义。
§8.1 正则共轭坐标坐标的概念是随着物理学的发展而发展，我们在本节将要讨论一种全新的坐标——正则共轭坐标。
一：坐标的发展历史.1.笛卡儿直角坐标。
为了研究物体在三维空间的位置、速度和加速度而引入的坐标。
其用z y x ,,三个变量来描述物体在空间任一点的位置，坐标轴的方向不随物体的运动而改变，用k j i,,来表示三个坐标轴方向的单位矢量。
2.极坐标、柱坐标和球坐标。
用两个或三个变量来反映物体在平面或空间的位置。
在处理转动问题和中心势场的力学问题时比直角坐标更优越。
其代表坐标轴方向的单位矢量为变矢量，利用这些矢量可以很方便地表达上述力学问题的a v,等物理量。
从直角坐标到极坐标、柱坐标和球坐标等曲线坐标是坐标历史上的第一次飞跃。
另外曲线坐标还包括自然坐标，利用它处理运动规律已知的物体的力学问题更为方便。
3.广义坐标。
反映力学体系在空间位形的独立变量被称为广义坐标。
它是拉格朗日方程建立的基础和优越性所在，也是分析力学的基础。
广义坐标不仅拓宽了坐标的概念，而且由它所列出的动力学方程不含非独立变量，使方程的求解过程得到了简化。
另外我们在研究体系的微振动时引入了简正坐标，使微振动方程的求解过程非常简单，这是坐标概念的第二次飞跃。
下面我们将介绍的正则共轭坐标是坐标概念的第三次飞跃。
二：正则共轭坐标1.拉格朗日函数L 的不确定性如果我们定义满足拉格朗日方程的物理量),,(1t q q L αα 为拉格朗日函数，即1L 满足拉格朗日方程,0)(11=∂∂-∂∂ααq L q L dt d s ,...2,1=α。
哈密顿原理推导运动方程
哈密顿原理推导运动方程引言：物理学中，哈密顿原理是描述系统运动的一种方法。
它通过将系统的运动路径与作用在系统上的力学量相联系，从而推导出系统的运动方程。
本文将以哈密顿原理为基础，推导出运动方程，并对其进行详细的阐述和解释。
一、哈密顿原理的基本概念哈密顿原理是基于变分原理的一种方法，它是由数学家威廉·哈密顿提出的。
它描述了一个力学系统的运动路径应当使作用在系统上的作用量取极值。
作用量是一个函数，描述了系统在其运动过程中所受到的作用力。
根据哈密顿原理，系统的运动路径可以通过使作用量取极值来确定。
二、哈密顿原理的数学表达在哈密顿原理中，作用量可以表示为一个积分形式：S = ∫L(q, q', t) dt其中，S表示作用量，L表示拉格朗日量，q表示广义坐标，q'表示广义速度，t表示时间。
三、推导过程为了推导运动方程，我们需要使用变分法。
变分法是一种数学方法，可以求解函数的极值问题。
我们假设系统的运动路径为q(t)，然后对作用量进行变分，使其取得极值。
我们将作用量进行变分：δS = ∫(∂L/∂q δq + ∂L/∂q' δq') dt根据变分法的定义，我们可以将上式中的δq和δq'看作是独立的变量，因此可以分别对其进行求导：∂S/∂q = ∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q')∂S/∂q' = ∂L/∂q'根据哈密顿原理，作用量的变分应当为零，即δS = 0。
因此，我们可以得到以下两个方程：∂S/∂q = 0∂S/∂q' = 0根据以上两个方程，我们可以得到两个重要的运动方程：∂L/∂q - d/dt(∂L/∂q') = 0∂L/∂q' = 0第一个方程又被称为欧拉-拉格朗日方程，它描述了系统的运动轨迹。
第二个方程则是哈密顿原理的直接结果，它描述了广义动量的守恒。
四、运动方程的物理解释欧拉-拉格朗日方程描述了系统在运动过程中的力学行为。
哈密顿力学课件
x
y
F 0 F C
y
y
例4 捷线
T
1
b
1 y2
2g
a
dx y
F 1 y2 F 0 y x
F y F
1
1
y
y 1 y2
2C1
dy 2C1 y
dx
y
y C1 1 cos
dx
2C1 sin2
2
d
C1 1
cos
d
x C1 sin C2
y
C1
1
cos
旋轮线
C1,C2 由边界条件决定
A
F F
sin2 2 sin2
cos0 const.
d sin2 d
tan2 0 cot2
d
d cot
0
tan2 0 cot2
arccos cot0 cot 0 const.
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cos cos0 sin sin0 cot cot0 0 Rsin sin0 eq. xsin0 cos0 y sin0 sin0 z cos0 0
p,t ,t
p
q,
p,t
力学状态参量变换 q,q q, p
找到新的特征函数，通过对 q, p 的偏导生成力学方程。
第2页/共57页
1．Legendre变换
f f x, y
df f dx f dy x y
udx vdy
d ux xdu vdy
g g u, y
u
f x
u
x,
y
b a
b
a
s 1
F y
d dx
F y
δy dx
简单的论述哈密顿原理
简单的论述哈密顿原理摘要:证明力积分变量与变分无关的情况下积分运算与变分运算次序的可交换性～从不同角度论述了哈密顿原理的含义。
关键词:哈密顿原理～拉格朗日函数～变分～拉格朗日方程1. 引言哈密顿原理是分析力学中几个重要原理之一，但它不是一个独立原理，它可已从其他原理推导出来，因而可以从不同角度说明它的物理含义。
一般理论力学教材都是在拉格朗日方程两边同时乘以虚位移求所有自由度下的虚功之和，然后再求从位形1即( 到位形2，即(之间或时间至之间的作用量得出，最后变换成，并没有说明最后一步为什么要那样做，也没有说明那样做的意义。
本文先证明当积分变量与变分无关的条件下积分运算与变分运算次序的可交换性，然后再从不同角度论述哈密顿原理的意义。
2. 理论2.1变分运算与积分运算次序的可交换性假定变量由一个或一组函数的选取而确定，则变量称为函数的泛函，记作,,。
泛函由n个函数的形式确定，是函数的“函数”。
泛函与函数的概念略有不同，函数中的变量是可以变化的数值，而对于泛函处于自变量地位的是形式可以变化的函数。
下面举例说明，如图1中有，两个固定点，连接两个固定点之间的曲线的长度由下式确定，即显然，依赖于函数的选取，若函数的to East for the neijiang-Kunming highway bridge across the River, maming Creek Bridge, pond bridge, bridge, rongzhou bridge, and South Bridge. There are two bridges across the minjiang River: minjiang River Bridge on neikun highway bridge. Inner-city transportation: Shu Nan road, binjiang road, North Road, the minjiang River, the Yangtze River Road, lingang形式发生变化，则曲线的形状随之变化，曲线的长度也随之变化。
第七章经典力学的哈密顿理论
（3）哈密顿原理 一个具有s自由度的体系，它的运动由s个广义坐标 q (t ) 来描述。
在体系的s维位形空间中，这s个广义坐标的值确定体系的一个位形点， 随着时间的变动，位形点在位形）空，间描绘出体系的运动轨道。设在时刻
t1 和 t 2 体系位于位形空间的 P1 点和 P2 点，相应的广义坐标为
q (t1 ) 和 q (t 2 )（或缩写为 q(t1 ) 和 q(t2 ) 由 P1 点通向和 P2 点有多种可能的轨道（路径），但体系运动的真实 轨道只能是其中的一条。如何从众多的可能轨道中挑选出体系运动的 真实轨道？即在 t1 ~ t2 时间内，为何确定体系的s个广义坐标 q(t )？
对于非保守系，正则方程形式为
q
H p
p
H q
Q
1,2, s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。
[例1] 写出粒子在中心势场 V 中的哈密顿函数和正则方程。
r
解：粒子在中心势场中运动的特点、自由 度、广义坐标如何？
粒子的拉格朗日函数为
L 1 m(r2 r 22 )
2
r
广义动量
H=E=T+V
（2）哈密顿正则方程 哈密顿函数H=H（p，q，t）的全微分为
dH
s
H
1 p
dp
s
H
1 q
dq
H t
dt
（7.3）
比较（7.2）和（7.3）式，得
q
H p
p
H q
1,2, s
（7.4）
H L t t
（7.5）
（7.4）式称为保守系哈密顿正则方程，它是2s个一阶微分方程，形式对 称，结构紧凑。
（3）
H p
哈密顿动力学
哈密顿动力学一、哈密顿力学的基本概念哈密顿力学是一种描述物理系统运动的数学形式，它是由威廉·哈密顿在19世纪中期提出的。
哈密顿力学通过定义系统的能量和动量来描述它的运动状态，而不是像牛顿力学那样通过定义位置和速度来描述。
1. 哈密顿函数哈密顿函数是描述系统能量和动量之间关系的函数，通常用H表示。
如果一个物理系统具有n个自由度，则它的哈密顿函数可以表示为：H(p,q) = T(p) + V(q)其中p表示系统的动量，q表示系统的广义坐标或位置，T(p)表示动能，V(q)表示势能。
2. 哈密顿方程哈密顿方程是描述物理系统运动状态演化规律的方程组。
对于一个具有n个自由度的物理系统，它的哈密顿方程可以写成下面这个形式：dq/dt = ∂H/∂pdp/dt = -∂H/∂q其中dq/dt和dp/dt分别代表广义坐标和动量随时间变化率。
3. 正则变换正则变换是指将一个物理系统从一组广义坐标和动量变换到另一组广义坐标和动量的变换。
正则变换可以保持哈密顿函数不变，因此它是一种保持物理系统运动状态不变的变换。
二、哈密顿力学的应用哈密顿力学在物理学、天文学、化学等领域都有广泛的应用。
下面介绍几个具体的例子。
1. 量子力学中的哈密顿力学量子力学中的哈密顿力学是描述量子系统运动状态演化规律的数学形式。
它通过定义系统能量和动量来描述系统运动状态，而不是像薛定谔方程那样通过定义波函数来描述。
2. 天体运动中的哈密顿力学天体运动中的哈密顿力学可以用于描述行星、卫星等天体运动轨迹。
它通过定义天体质量、位置和速度来描述天体运动状态，从而可以预测未来某个时间点天体位置和速度。
3. 化学反应中的哈密顿力学化学反应中的哈密顿力学可以用于研究分子之间相互作用和化学反应机理。
它通过定义分子质量、位置和速度来描述分子之间相互作用，从而可以预测化学反应产物和速率常数。
三、结语总之，哈密顿力学是一种重要的物理学理论，它通过定义系统的能量和动量来描述系统运动状态，而不是像牛顿力学那样通过定义位置和速度来描述。
第7章 经典力学的哈密顿理论
从物理学的新思想到数学的渗透，量子场 论和弦理论影响了数学的许多分支，得到 了众多的新结果、新思想和新技术。 SimonDona1dson在四维流形方面的工作； Vaughan-Jones在扭结不变量方面的工作； 镜面对称，量子群；“魔群”等。
量子场论和维度
数学研究维数从有限维到无穷维而告终， 在量子场论方面，物理学家试图对广泛的无穷 维空间进行细致的研究，他们处理的无穷维空 间是各类典型的函数空间，它们有复杂的代数、 几何以及拓扑，还有围绕其中的很大的李群， 即无穷维的李群，因此正如二十世纪数学的大 部分涉及的是几何、拓扑、代数以及有限维李 群和流形上分析的发展。
Atiyah-Singer指标理论
Atiyah-Singer指标理论的根源RiemannRoch定理和Guass-Bonnet-Chern定理，在 Chern-Weyl示性类下发展起来。 各种量子场论（量子引力，量子规范场， 非线性 ） 用到各种模空间上的积分， 而模空间的结构需要用指标理论来研究，模空 间的积分要用到局域化方法。
1＋1维量子场论
代数几何的计数问题被称为“量子上同调” 的现代技术解决了，这完全是从量子场论中得 到的． 弯曲族上的曲线的问题，得到了另一个具 有明确结果的被称为镜面对称的美妙理论，
2+1维的量子场论 2-维空间和1-维时间，就可以得到 Vaughan-Jones的扭结不变量理论．这 个理论已经用量子场论的术语给予了很 美妙的解释和分析． 而扭结理论中的Jones多项式和 Witten的拓扑不变量 相联系。而Witten 的理论解决了规范变换。
量子场论
量子场论是量子力学和经典场论相结合的物理理论，已被广泛的应用 于粒子物理学和凝聚态物理学中。量子场论为描述多粒子系统，尤其 是包含粒子产生和湮灭过程的系统，提供了有效的描述框架。非相对 论性的量子场论主要被应用于凝聚态物理学，比如描述超导性的BCS 理论。而相对论性的量子场论则是粒子物理学不可或缺的组成部分。 自然界目前人类所知的有四种基本相互作用：强作用，电磁相互作用， 弱作用，引力。除去引力，另三种相互作用都找到了合适满足特定对 称性的量子场论来描述。强作用有量子色动力学（QCD，Quantum Chromodynamics)；电磁相互作用有量子电动力学（QED,Quantum Electrodynamics)，理论框架建立于1920到1950年间，主要的贡献者 为保罗· 狄拉克，弗拉迪米尔· 福克，沃尔夫冈· 泡利，朝永振一郎，施 温格，理查德· 费曼和迪森等；弱作用有费米点作用理论。后来弱作用 和电磁相互作用实现了形式上的统一，通过希格斯机制（Higgs Mechanism）产生质量，建立了弱电统一的量子规范理论，即GWS （Glashow, Weinberg, Salam）模型。量子场论成为现代理论物理学 的主流方法和工具。
7经典力学的哈密顿理论
H*
H
F3
t
（7.19）
④ 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF3 (q, Q, t )
p
F3 , q
P
F3 Q
（7.15）
满足正则变换（7.15）式的具体条件（证明见P.256-257）是：
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF (q, Q,（t ) 7.16）
式中F为正则变换母函数。
由（7.16）式可得
p
F q
,
P
F Q
,
1,2,, s
p
F2 q
,
P
F2 Q
,
1,2,
H*
H
F2
t
③ 第二类正则变换
( p dq P dQ ) (H * H )dt dF3 (q, Q, t )
p
F3 q
,
P
F3 Q
,
1,2,
p r
m
（3）
（2）
则哈密顿函数
H p L
[m m( r)] [1 m 2 m ( r) 1 m( r)2 V （4）
2
2
1 m 2 1 m( r)2 V
2
2
（3）式代入（4）式，得
q
p
H p
H q
Q
1,2,s
哈密顿正则方程常用来建立体系的运动方程。
哈密顿力学
dH ∂H = dt ∂t
也就是说，哈密顿函数 中不显含时间 中不显含时间t， 也就是说，哈密顿函数H中不显含时间 ， ∂H =0 ∂t 则有 dH =0 H = h 表示一积分常数 dt 广义能量守恒 由拉格朗日动力学可知 稳定约束： 稳定约束：
H = T + V 体系机械能守恒
不稳定约束： 不稳定约束： H = T2 − T0 + V 广义能量守恒
d ∂L ∂L − =0 & dt ∂q ∂q
& qα , pα , t ⇒ L = L[qα , qα (q, p, t ), t ]
s & ∂qβ ∂L & = pα + ∑ pβ ∂qα ∂qα β =1
s & ∂qβ ∂L = ∑ pβ ∂pα β =1 ∂pα
qα , pα , t ⇒ H [qα , pα , t ]
s ∂H ∂H ∂H dH = ∑ dqα + ∑ dpα + dt ∂t α =1 ∂qα α =1 ∂pα s
& H = ∑ pα qα − L
α =1
s
& & dH = ∑ pα dqα + ∑ qα dpα − dL
s s ∂L ∂L ∂L & & & = ∑ pα dqα + ∑ qα dpα − ∑ dqα + ∑ dqα + dt & ∂t α =1 α =1 α =1 ∂qα α =1 ∂qα s s
s & ∂qβ ∂L = ∑ pβ ∂pα β =1 ∂pα
∂ & ∑1 pβ ∂q = ∑1 ∂q ( pβ qβ ) β= β= α α
分析力学第七章正则方程
知 必须满足条件：
由此得出重要推论：
当不显含t时， 为运动常数的充要条件是：
3. 泊松定理
如果函数
和函数
分，则函数[f , g]也是正则方程的初积分。
证：由于是f和g正则方程的初积分，得
是正则方程的两个初积
由雅克比恒等式： 得 于是有 即得到:
因此[f,g]=C也是正则方程的初积分.
泊松定理指出: 由正则方程的两个已知的初积分, 可不断地求出新的初 积分.
那么有
；于是得到：
(即在该四种正则变换中哈密顿量保
持不变).
此时正则变换条件变为下列形式：
。
例1.寻求常数 ,使变换
解：由于此变换不显t，有
是正则变换。
即
, 由于q的任意性，得
因此有变换：
该变换被彭家莱应用于天体力学中
例2. 证明变换 关的四类母函数。 解：
是正则的，并求出与该变换相
因此该变换是正则的。其母函数为：
，其中
是n+1个任意常数。
另外，如果我们已知
，其中
是n+1个任意常数。同样可以得到哈密顿—雅克比偏微
分方程：
——这是哈密顿在当时推证所用的方法。 利用哈密顿—雅克比方程求出
---这样就能得到正则方程的全部积分。
由
及哈密顿正则方程
若力学体系的哈密顿函数H中不显函时间t，即 (h是积分常数)。
；则
当约束又是稳定的，则动能可表示为
2n个代数方程是相互独立的，所以可以解出逆变换为：
若通过变量的变换，使得正则方程的形式保持不变，即：
我们把这种变换叫做正则变换。 当取第二类母函数 则正则变换的条件： 变为：
令
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
哈密顿原理历史
哈密顿原理历史
哈密顿原理，以杰出的爱尔兰数学家和物理学家威廉·罗恩·哈密顿命名，是经典力学中的一块基石。
这一原理的提出，标志着物理学从牛顿力学向后牛顿时代的跨越，是近现代物理学发展的重要里程碑。
哈密顿原理，又称为最小作用原理，其核心思想是物理系统的运动路径总是使得作用量取得极值。
这里的“作用量”是一个描述物理系统在一段时间内整体运动的物理量，它通过拉格朗日量来确定。
而哈密顿原理实际上就是这个作用量的变分原理。
公元1834年，哈密顿提出了这一具有划时代意义的原理。
在他的理论中，拉格朗日力学与哈密顿力学得以紧密结合，为后来物理学的发展开辟了新的道路。
拉格朗日力学，由法国数学家约瑟夫·路易·拉格朗日发展，通过拉格朗日方程描述物体的运动，这种方法在处理复杂系统问题时显示出其独特的优势。
而哈密顿力学，作为哈密顿原理的另一种表述形式，使用哈密顿方程来描述物体的运动，它在数学上的优美性和广泛的应用领域使得物理学的研究进入了一个新的阶段。
哈密顿原理的提出，不仅深化了我们对物体运动规律的理解，更重要的是，它为物理学的研究提供了一种全新的思路和方法。
通过哈密顿原理，我们可以求解质点在不同力场中的运动轨迹，这对于解决实际问题具有重要意义。
此外，哈密顿原理的广泛应用也推动了其他物理学领域的发展，如电磁学等。
总的来说，哈密顿原理是物理学发展史上的一个重要里程碑。
它的提出不仅标志着物理学从牛顿力学向后牛顿时代的跨越，而且为物理学的研究提供了新的思路和方法，推动了物理学的发展。
《哈密顿原理》PPT课件
则 d , H 0
dt t
反之，若 , H 0 则 C
t
是正则方程的一个运动积分，因为有
dt
dq1 H
dq2 H
p1 p2
dqs H
dp1 H
dp2 H
ps
q1
q2
dps H
2q3 s
q
(1)c, 0, c为常数 (2), , 0
n
n
(3)如 j ,则, , j
振动解要求 l 为纯虚数，要做到这一点势能V>0. 令 l il
s
q Aleilt Aleilt , 1, 2, , s
l 1
s
q al coslt bl sinlt , 1, 2, , s
l 1
上式中 l 叫简正频率，共有s个。
6
3.简正坐标
T
1 2
s
a q q
1
V
V0
s 1
V q
q 0
1 s 2V 2 1 q q
1
q q
0
高级项
取 V0 0 对保守系 V 0
q
略去高级项
1 s 2V
1s
V
2
1 1
q
q
q q 0
2 1 c q q
1
2
在稳定约束下，动能只是速度的二次函数
T
1 2
s
a q q
1
1
也展开为泰勒级数
j 1
j 1
(4), ,
(5)
t
,
t
,
,
t
(6) ,, ,, , , 0
1,如
(7) q , p 0,如
哈密顿-凯莱定理
哈密顿-凯莱定理是一个在微分几何中非常重要的定理，它是利用流形上的微分形式理论来研究积分形式的性质的一个基本工具。
在本文中，我们将阐述哈密顿-凯莱定理的相关内容，并探讨其在微分几何中的应用。
首先，我们来介绍一下哈密顿-凯莱定理的基本思想和定义。
在微分几何中，一个n维流形可以用n维坐标系表示，假设这个流形的边界为空。
考虑一个n-1维的方向向量场沿着流形边界的流出情况，我们可以定义这个流出的速度。
哈密顿-凯莱定理的关键内容是，这个速度可以由流形上的微分形式唯一确定。
具体而言，哈密顿-凯莱定理可以用如下的数学表达式表示：设M是一个闭的n维流形，ω是M上的一个微分n-1形式。
如果对于M上的任意n-1维向量场V，流出速度d(V,ω)都为零，则存在一个n-1维微分形式α，使得对于M上的任意n-1维向量场V，我们有d(V,ω)=α(V)。
哈密顿-凯莱定理的证明非常复杂，在此我们不做详细叙述。
然而，我们可以通过一些简单的例子来直观地理解这个定理的含义和应用。
例如，考虑一个二维平面上的圆形C，如果我们用一个形式为fdx+gdy的微分1形式ω来表示C上的速度，那么哈密顿-凯莱定理告诉我们，对于C上的任意向内流动的向量场V，d(V,ω)都为零。
也就是说，如果我们计算出了V在C上的流速，那么通过对ω进行一定的操作，我们可以得到一个在C上任意向内流动的向量场V的速度。
在实际应用中，哈密顿-凯莱定理可以被广泛地应用于微分几何的研究中。
例如，在流体力学中，我们可以利用哈密顿-凯莱定理来研究流体的流速分布以及其与速度势函数之间的关系。
此外，该定理还可以用于研究边界积分问题，例如在电磁学中，可以通过哈密顿-凯莱定理来分析电场和磁场的边界积分以及它们在闭合表面上的流通性质。
除了在微分几何中的应用外，哈密顿-凯莱定理还在其他领域发挥着重要的作用。
例如，在统计力学中，该定理被用来描述系统的相空间流形上的各态历经性质。
此外，在数学物理中，它还被广泛地应用于研究辛几何和量子力学等领域。
Chapter5-分析力学07-哈密顿原理
西南大学-物理科学与技术学院 理论力学-5.7哈密顿原理 主讲教师：邱晓燕
t2
t2
t2
P244【例】试由哈密顿原理导出正则方程. 解: H p q H ( p, q, t ) L L p q
1
s
s
1
s p q H ( p, q, t ) dt 0 t2 1
d L d L L ( )q ( q ) q α dt q dt q q
等时变分的对易性
理论力学-5.7哈密顿原理 主讲教师：邱晓燕
而：
西南大学-物理科学与技术学院
代入：
s L L L q q q dt 0 q q 1 q 1 t t 1 s
的变化.
y( x )
dx x , t
dx dy y
西南大学-物理科学与技术学院
dx 0
0
主讲教师：邱晓燕
理论力学-5.7哈密顿原理
(3) 变分：自变量不变化 时函数自身的变化
~ y y ( x) y ( x)
泛函的变分：
y
J y( x ) J [ ~ y ( x )] J [ y( x )]
西南大学-物理科学与技术学院
理论力学-5.7哈密顿原理
主讲教师：邱晓燕
返
证：1. 从拉氏方程推导哈密顿原理（保守系）：
保守系拉氏方程 乘以q ，对
t2 s
求和，再积分.
d L L ( ) q dt 0 dt q q 1 t1
t1
t2
q p ( pq
第七章哈密顿正则方程
H p q j dt 0 j t0 j1 q j
t1 k
对于完整系统，由于δqj 是相互独立的，且可取任何值， 则 H
j p
j
即得关于变量
q , p , t
j
q j
的Hamilton正则方程
t1
k t1 k k j H Qj q j dt L Qj q j dt p j q t0 t0 j j j 1
H H j p j p j q j q qj p j Qj q j dt t0 q j p j j 1
H j p Q j q j
j
1,2, ,k
其中Qj 为系统的非有势力对应于广义坐标 qj 的广义力。
例7-1 试用Hamilton正则方程求出水平弹簧质量振动 系统的运动微分方程 解：单自由度系统， x为广义坐标
L T V
1 2 1 2 1 2 kx L mx V kx 2 2 2 px L x mx 构造H函数 p x m x 1 2 1 2 L px x mx kx H Px x 2 2 px 2 1 2 kx H x, px 2m 2
t1 t1
对上式进行变分运算，得
H H p q q p p q dt 0 j j j j j j t0 p q j 1 j j
t1 k
将上式中的第一项改写成
d j p j q j p j q dt j 1 j 1
j H p j q j H q j p
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a r2
p
H p p mr
H 0
2
p mr2 常 数
例：写出带点粒子在电磁场中的哈密顿函数
解 ：L
1
mv2
q
qA
v
2
粒 子 的 动 量 为 ：p
L
mv
qA
v
哈 密 顿 函 数 ：H
piqi
L
p
v
L
i
(mv
qA)
v
1
mv2
q
qA
v
2
1
L x
mx(1
x2
/ 4a2 )
x
px m(1 x2
/ 4a2 )
H
1 2m
p
2 x
m(1 x2
/
4a2 )
1 m2x2 2
mg x2 4a
px
m(1
x2 4a2
)x
m
x 2a2
x2
H x
p
2 x
2m
x / 2a2 (1 x2 / 4a2 )2
m2x
mg
x 2a
m(1
x2 4a2
H p j
H p j
H q j
H t
H t
若 H 不 显 含t ， 即H 0， 则dH 0
t
dt
H h 常数 能量积分；
若 H 不 出 现qj ，pj
H
q j
0， 则
pj
常数
循环（动量）积分。
例：在直角坐标系、柱坐标系和球坐标系中分别
写出自由质点在势场 U(r) 中运动的哈密顿函数.
拉 格 朗 日 函 数:
广
义
坐
标
q
，
j
广
义
速
度qj
。
方 程 为 二 阶 微 分 方 程 组。
哈
密
顿
函
数
：
广
义
坐
标q
，
j
广
义
动
量p
j
。
方 程 化 为 一 阶 微 分 方 程组 。
定 义 广 义 动 量 ：pj
L qj
；q
j，p
称
j
为
正
则
共
轭
。
拉 氏 方 程 变 为 ： L q j
d dt
L qj
q
2m
例: 轴为竖直而顶点在下的抛物
y
线金属丝，以匀角速ω绕轴转动， ω
一质量为 m 的小环，套在此金
x
属丝上，并可沿着丝滑动。求
小环在 x 方向的运动微分方程。 已知抛物线方程为 x2 = 4ay ， 式中 a 为常数。
mg vr
o
x
解：T m(x2 y2 2x2 ) / 2, U mgx2 / a
意
的
，
因
此q
对
i
应
的p
，
i
可
以
有
无
穷
多
个
，
用
数 学 的 术 语 来 说 ，pi是 与qi完 全 独 立 的 。
§7.1 正则共轭坐标
本章所要讨论的哈密顿理论，其使 用的坐标（共有s 对pi 、qi ，其中pi完全 独立于qi）称为正则共轭坐标，或 正则 共轭变量。
§7.2 哈密顿函数和正则方程
一、哈密顿函数
pj
(j 1，2， s)
二、正则方程
s
H(q,p, t) pjqj L(qj,qj, t) j1
左 边 微 分 ：dH(q,p, t)
s j1
H q j
dq j
H p j
dp
j
H dt
t
s
右 边 微 分 ：dH （pjdqj qjdp j） dL j1
其 中
dL
s j1
s
pjqj L
j1
2T （T U） 2T2 T1 （T2 T1
To
U）
TU
(稳 定 约 束) 机 械 能
T2 To U (非 稳 定 约 束) 广 义 能 量 积 分
四 、 能 量 积 分 和 循 环 积分
dH dt
s j1
H q j
qj
H p j
pj
H t
s H j1 q j
第七章 经典力学的哈密顿理论
§7.1 正则共轭坐标 §7.2 哈密顿函数和正则方程 §7.3 变分问题的欧拉方程 §7.4 哈密顿原理 §7.5 正则变换 §7.6 泊松括号和泊松定理 §7.7 哈密顿-雅科毕理论 §7.8 用哈密顿理论解开普勒问题
第七章 经典力学的哈密顿理论
§7.1 正则共轭坐标
dt
因
为dq
j，dp
独
j
立
，
故
得
：H t
L t
海森条件；
pqj jpHqHj j （j 1，2 s） 正 则 方 程
三 、 哈 密 顿 函 数 的 物 理意 义
L T pj qj qj
s
p jqj
j1
s j1
T qj
qj
2T 2T2
T1
(稳 定 约 束) (非 稳 定 约 束)
H(q,p, t)
解 ：(1) 直 角 坐 标 系
L m(x2 y2 z2 ) / 2 U(x, y, z)
px
L x
mx，py
L y
my，pz
L z
mz，
H piqi L
p
2 x
p
2 y
p
2 z
p
2 x
p
2 y
p
2 z
U(x, y, z)
m m m 2m 2m 2m
1 （p 2m
2 x
p
2 y
p 2z）
U(x, y, z)
(2)柱 坐 标 系
L 1 m(r2 r22 z2 ) U(r, , z) 2
pr
L r
mr，p
L
mr2，pz
L z
mz，
H 1 m(r2 r22 z2 ) U(r, , z) 2
1 2m
(pr2
p
2
/
r2
p
2 z
)
U(r, , z)
(3) 球 坐 标 系 (作 业)
在
拉
氏
理
论
中
，
广
义
坐标q
对
i
应
的
广
义
动
量 是pi
L ， 若 拉 氏 函 数L是 唯 一 的 ， 那 么 ， qi
q
i
对
应
的p
也
i
是
唯
一
的
，
两
者
一
一对
应
。
由
于
L(q,q, t)和df
(q,
t)
/
dt中
都
含
有qi ,因
此
L1 qi
和
L2 将 是 两 个 不 同 的 力 学 量。 由 于f (q, t)是 任 qi
H
1 2m
(pr2
p
2
/ r2
p2
/ r2
sin2
)
U(r, , )
例：写出粒子在中心势场 U = - a / r 中的哈密顿 函数和正则方程。
解 :哈 密 顿 函 数 ：H
1 2m
(pr2
p
2
/
r2)
a r
正 则 方 程 ：
r
pr
H pr
pr m
H r
p
2
mr3
a r2
m(r r2 )
L T U 1 m x2(1 x2 / 4a2 ) 2x2 mgx2 / 4a 2
H T2 To U
1 m x2(1 x2 / 4a2 ) 2x2 2
mgx2 / 4a
解 ：L m x2 (1 x2 / 4a2 ) 2x2 / 2 mgx2 / 4a H m x2 (1 x2 / 4a2 ) 2x2 / 2 mgx2 / 4a
L q j
dq
j
L qj
dqj
L t
dt
s
（pjdq j
j1
pjdqj）
L dt t
dH
s
（pjdqj qjdp j） dL,dL
j1
s
（pjdq j
j1
pjdqj）
L dt t
dH
s
（ pjdq j
j1
qjdp j）
L dt t
s j1
H q j
dq j
H p j
dp
j
H t