八年级数学 二次根式比较大小的巧妙方法 专题讲义

二次根式比较的巧妙方法

二次根式是初中数学中的基础知识，也是初中数学学习中的重点内容；而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点，也是中考和数学竞赛中常见的题型，经常会考到不查表、不求二次根式的值，来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法，如求近似值法、比较被开方数法等，尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法，但许多学生在考试中仍显得力不从心，并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适？解答这类题目时缺少方法与对策，以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。

一、移动因式法

此法好学，适用。就是将根号外的正因式移入根号内，从而转化为比较被开方数的大小。

例1：比较的大小。

解：

＞∴＞

二、运用平方法

两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是：两个正数的平方是正数，平方大的数就大；两个负数的平方也是正数，平方大的数反而小。

例2：比较与的大小。

解：∵，

＞0，＞0

∴＜

三、分母有理化法

此法是先将各自的分母有理化，再进行比较。

例3：比较与的大小。

解：

∴＞

四、分子有理化法：此法是先将各自的分子有理化，再比较大小。

例4：比较与的大小

解：∵

＞

∴＞

五、求差或求商法

求差法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的差，再根据“当

＜0时，＜；当时，；当＞0时，＞”来比较与的大小。

求商法的基本思路是：设为任意两个实数，先求出与的商，再根据“①

同号：当＞1时，＞；＝1时，；＜1时，＜。②异号：正数大于负数”来比较与的大小。

例5：比较的大小。

解：∵

＜

∴＜

例6：比较的大小。

解：∵＞1

∴＞

六、求倒数法

先求两数的倒数，而后再进行比较。

例7：比较的大小。

解：∵

＞

∴＜

七、运用媒介法

此法是借助中间量（定量或变量）巧妙转换达到直观比较的方法，类似于解方程中的换元法。

例8：已知，，试比较

的大小。

解：设，

则，

∵＜，∴＜，即＜

八、设特定值法

如果要比较的二次根式中含有字母，为了快速比较，解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。

例9：比较与的大小。

解：设，则：

＝1，＝

∵＜1，∴＞

九、局部缩放法

如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点，又不准求近似值，可采取局部缩放法，以确定它们的取值范围，从而达到比较大小的目的。

例10：比较的大小。

解：设，

∵，7＜＜8，即7＜＜8

，8＜＜9，即8＜＜9

∴＜，即＜

例11：比较与的大小。

解：∵＞

∴＞

十、“结论”推理法

通过二次根式的不断学习，不难得出这样的结论：“＞（

＞＞0）”，利用此结论也可以比较一些二次根式的大小（结论证明见文末）。例12：比较1与的大小。

解：∵，

由＞（＞＞0）可知：

＞

即＞

又∵＞

∴＞，即1＞

总的来说，比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种，除此之外诸如移项、拆项法，类比推理法，数形结合法，数轴法，还有假设推理法等等，但不管使用哪种方法，都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行，要根据问题的特征，二次根式的结构特点，多角度地探索思考，做到具体问题具体分析，针对不同问题采取不同的策略，另外还应多做这方面的训练，方能达到熟练而又快捷，运用自如的程度。

附：“＞（＞＞0）”的证明。

证明：∵，，

＞

∴＞（＞＞0）

【典题新练】：

1、比较与的大小；

2、比较与的大小；

3、比较与的大小；

4、比较与的大小；

5、比较与的大小；

6、比较与的大小（其中为正整数）；

7、设，，试比较它们的大小；

8、比较与的大小；

9、比较与的大小；

10、比较与的大小；

11、比较与的大小；

12、比较的大小；

13、比较与的大小；

14、比较与的大小；

15、若为正整数，试比较的大小；

16、比较的大小；

17、比较与的大小。

【典题新练参考答案】：

1、提示：，，∴＜

2、提示：平方后再进行比较。

，，

∴＞

3、提示：可利用＞（＞＞0）。

＞，即＞

4、提示：分母有理化后再进行比较。

，，＜，

∴＜

5、提示：分子有理化后再进行比较。

∵＞，∴＜，即＜

6、提示：∵，

其中为正整数，∴＞

故＜

7、提示：设，

则：，

∵＜∴＜，∴＜

8、平方后再进行比较。

，，又∵＞，∴＞

∴＜，∴＜

9、提示：∵2＜＜3，7＜＜8，∴＜5＜，∴＜

10、提示：分子有理化后再进行比较。

因为，，而＞

所以＜，故＜

11、提示：分别求其倒数后，再进行比较。

∵，

＞，∴＜

12、提示：∵，而7＜＜8，∴的整数部分为7 。同样可得

的整数部分为8，∴＜

13、提示：∵＞

∴＞

14、提示：平方后再比较大小。

∵，，

∴＜