初中数学八年级上册第一章《勾股定理教材分析》
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图1
（2）将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边 c向外翻转得到图2，由于面积不变，故仍可 直接得出： a2 a2 c2
a
a a a
图2
a c c c c a a a
s大正方形 = s小正方形＋4s直角三角形
1 2 即(a a ) c 4 a 2 2 2 2 4a c 2a
a
1 即(a b) c 4 ab 2
2 2
故a 2 b 2 c 2
（ 4 ）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，仿上题方法利用面积 关系可得到：
s小正方形＋4s直角三角形= s大正方形
b
c
a
1 即(b a) 4 ab c 2 2 b 2 2ab a 2 2ab c 2
9米 12米
2、蚂蚁沿途中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬 行了多少厘米？（图中小方格的边长代表一厘米）。 A B
C
D 3、某人骑自行车从A地出发向南行20km到达B地，再向 西行21km到达C地。求C、A两地之间的距离是多少？
3、拼图验证勾股定理的方法
做四个全等的直角三角形，看看 能否得到一个含有以斜边为边长的正 方形？能利用拼出的图形验证勾股定 理吗？
（1）如图1，学生用四个全等的等腰直角三 角形拼成了一个以斜边为边长的正方形，教 师引导学生观察、思考正方形与四个直角三 角形的关系，启发学生 用“等 积”的方法 得到：
c a a
4s直角三角形 = s大正方形
1 1 1 1 即 a2 a2 a2 a2 c2 2 2 2 2
故a 2 wk.baidu.coma 2 c 2
章课时与教学进度
第一章
勾股定理
一、教学目标
1、经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角 形的条件过程,发展学生的合情推理能力，透形数 结合的思想方法。 2、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理 的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。 3、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件， 并能运用它解决一些实际问题。 4、通过实例了解勾股定理历史和应用，体会勾 股定理的文化价值。
弦 勾
股
算一算
13 8 x
x 6
5
想一想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机，小明量了电视机的荧幕后，发 现荧幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得 一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？
练一练
1、如图，一根旗杆在离地面9米处 断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处，旗杆折断前有多高？
议一议
（1）你能发现直角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？ （2）分别以5厘米、12厘米为直角边作 出一个直角三角形，并测量斜边的长度。 （1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 +b2= c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
二、教材设计思路
1、整体设计思路：内容展开的两个方面 基础知识——勾股定理和逆定理； 基本方法——通过计算面积的方法探索勾股定理；用拼图的方法验 证勾股定理。 2、具体过程 （1）教材提供了为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的 素材和空间——试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程。 利用方格纸计算图形的面积，归纳并检验（度量）得到的猜想； 利用拼图验证勾股定理 ； 利用测量（让学生按已知数据做出三角形，并测量三角形三个内角的度数 来）获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。 （2）教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理 及其逆定理的应用，体现其文化价值。 限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方 数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理（称为直角三角形 的判别条件）的理解和应用，不要求学生从逻辑上对定理与逆定理 进行一般认识，不追求复杂计算（学习无理数后，再解决涉及无理 数的实际问题）。
知识目标：经历用不同拼图方法验证勾股定理 的过程，体会数形结合的思想以及数学知识之间的 内在联系； 2 能力目标：通过丰富有趣的拼图活动，探究勾 股定理的证明过程，进一步体会勾股定理的文化价 值，增强学生探究思维能力、逻辑推理能力，发展 空间观念，发展探索精神和创新意识； 3 情感目标：培养学生的自主意识和反思能力， 激发学生探究数学的兴趣，发扬合作学习的精神， 养成独立思考、严谨科学的学习习惯；通过获得成 功的体验和克服困难的经历，增进学生学习数学的 信心。
三、教学建议
1、注重使学生经历探索勾股定理等的过程,发展学生的合 情推理能力。 2、注重创设丰富的情景使学生体会勾股定理及其逆定理 的广泛应用。 教师应能创造性地使用教材。 3、尽可能地体现勾股定理的文化价值。 鼓励学生阅读教科书提供的材料，并自己查阅更多的 材料了解与勾股定理有关的历史。 4、注意渗透形数结合的思想方法。 鼓励学生从代数表示联想到有关几何图形（代数式的 几何意义），由几何图形联想到有关的代数表示
四、几个具体问题
第一节
探索勾股定理
1、数方格的方法
A的面积是 B的面积是
9 个单位面积 9 个单位面积
C的面积是 18 个单位面积
观察图并填写下表：
A的面积 （单位面积） 图6-3 B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积）
16 4
9 9
25
图6-4
13
2、 利用议一议中的问题，体会数形结合的思想
2
故a 2 b 2 c 2
图4
4、锐角三角形、钝角三角形的三 边是否也满足这一关系？
1、古埃及人做直角的方法 古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同 时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4 个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。 这是为什么？
2、直角三角形判别条件
3、推理格式 4、例题的变式
5、什么样的数是勾股数
1、数学上把满足a2 +b2= c2的三个正整 数，称为勾股数。 2、以3m，4m，5m为边长的数组只是勾 股数的一类。 3、勾股数的规律探索 （1）三边长同时扩大相同的倍数 （2）用代数式规律以及推理验证
1、创设问题的方法 实践性，密切联系生活实际 开放性，问题结论或条件的开放 探究性，可连续深化 如：14页，15页，17页，18页 2、审题习惯的养成
2 2
2a 2 c 2
故a 2 a 2 c 2
（3）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，教师引导学生观察、 思考，仿上题方法利用面积关系可得到：
b a c c a
图3
a
s大正方形 = s小正方形＋4s直角三角形
b
c
c b
b
a 2 2ab b 2 c 2 2ab
（2）将上图中的四个等腰直角三角形沿斜边 c向外翻转得到图2，由于面积不变，故仍可 直接得出： a2 a2 c2
a
a a a
图2
a c c c c a a a
s大正方形 = s小正方形＋4s直角三角形
1 2 即(a a ) c 4 a 2 2 2 2 4a c 2a
a
1 即(a b) c 4 ab 2
2 2
故a 2 b 2 c 2
（ 4 ）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，仿上题方法利用面积 关系可得到：
s小正方形＋4s直角三角形= s大正方形
b
c
a
1 即(b a) 4 ab c 2 2 b 2 2ab a 2 2ab c 2
9米 12米
2、蚂蚁沿途中所示的折线由A点爬到了D点，蚂蚁一共爬 行了多少厘米？（图中小方格的边长代表一厘米）。 A B
C
D 3、某人骑自行车从A地出发向南行20km到达B地，再向 西行21km到达C地。求C、A两地之间的距离是多少？
3、拼图验证勾股定理的方法
做四个全等的直角三角形，看看 能否得到一个含有以斜边为边长的正 方形？能利用拼出的图形验证勾股定 理吗？
（1）如图1，学生用四个全等的等腰直角三 角形拼成了一个以斜边为边长的正方形，教 师引导学生观察、思考正方形与四个直角三 角形的关系，启发学生 用“等 积”的方法 得到：
c a a
4s直角三角形 = s大正方形
1 1 1 1 即 a2 a2 a2 a2 c2 2 2 2 2
故a 2 wk.baidu.coma 2 c 2
章课时与教学进度
第一章
勾股定理
一、教学目标
1、经历探索勾股定理及一个三角形是直角三角 形的条件过程,发展学生的合情推理能力，透形数 结合的思想方法。 2、掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理 的方法，并能运用勾股定理解决一些实际问题。 3、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件， 并能运用它解决一些实际问题。 4、通过实例了解勾股定理历史和应用，体会勾 股定理的文化价值。
弦 勾
股
算一算
13 8 x
x 6
5
想一想
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米） 的电视机，小明量了电视机的荧幕后，发 现荧幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得 一定是售货员搞错了，你同意他的想法吗？
练一练
1、如图，一根旗杆在离地面9米处 断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 米处，旗杆折断前有多高？
议一议
（1）你能发现直角三角形三边长度之间 存在什么关系吗？ （2）分别以5厘米、12厘米为直角边作 出一个直角三角形，并测量斜边的长度。 （1）中的规律对这个三角形仍然成立吗？
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a、b, 斜边为c，那么
a2 +b2= c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜 边的平方。
二、教材设计思路
1、整体设计思路：内容展开的两个方面 基础知识——勾股定理和逆定理； 基本方法——通过计算面积的方法探索勾股定理；用拼图的方法验 证勾股定理。 2、具体过程 （1）教材提供了为学生设计了自主探索勾股定理内容以及验证它的 素材和空间——试图让学生经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程。 利用方格纸计算图形的面积，归纳并检验（度量）得到的猜想； 利用拼图验证勾股定理 ； 利用测量（让学生按已知数据做出三角形，并测量三角形三个内角的度数 来）获得一个三角形是直角三角形的有关边的条件。 （2）教材提供了较为丰富的历史的或现实的例子，以展示勾股定理 及其逆定理的应用，体现其文化价值。 限于学生的已有知识，问题解决中所涉及的数据均为完全平方 数，本章更多的关注学生对勾股定理及其逆定理（称为直角三角形 的判别条件）的理解和应用，不要求学生从逻辑上对定理与逆定理 进行一般认识，不追求复杂计算（学习无理数后，再解决涉及无理 数的实际问题）。
知识目标：经历用不同拼图方法验证勾股定理 的过程，体会数形结合的思想以及数学知识之间的 内在联系； 2 能力目标：通过丰富有趣的拼图活动，探究勾 股定理的证明过程，进一步体会勾股定理的文化价 值，增强学生探究思维能力、逻辑推理能力，发展 空间观念，发展探索精神和创新意识； 3 情感目标：培养学生的自主意识和反思能力， 激发学生探究数学的兴趣，发扬合作学习的精神， 养成独立思考、严谨科学的学习习惯；通过获得成 功的体验和克服困难的经历，增进学生学习数学的 信心。
三、教学建议
1、注重使学生经历探索勾股定理等的过程,发展学生的合 情推理能力。 2、注重创设丰富的情景使学生体会勾股定理及其逆定理 的广泛应用。 教师应能创造性地使用教材。 3、尽可能地体现勾股定理的文化价值。 鼓励学生阅读教科书提供的材料，并自己查阅更多的 材料了解与勾股定理有关的历史。 4、注意渗透形数结合的思想方法。 鼓励学生从代数表示联想到有关几何图形（代数式的 几何意义），由几何图形联想到有关的代数表示
四、几个具体问题
第一节
探索勾股定理
1、数方格的方法
A的面积是 B的面积是
9 个单位面积 9 个单位面积
C的面积是 18 个单位面积
观察图并填写下表：
A的面积 （单位面积） 图6-3 B的面积 （单位面积） C的面积 （单位面积）
16 4
9 9
25
图6-4
13
2、 利用议一议中的问题，体会数形结合的思想
2
故a 2 b 2 c 2
图4
4、锐角三角形、钝角三角形的三 边是否也满足这一关系？
1、古埃及人做直角的方法 古埃及人曾用下面的方法得到直角：如图所示，他们 用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同 时握住绳子的第1个结和第13个结，两个助手分别握住第4 个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形。 这是为什么？
2、直角三角形判别条件
3、推理格式 4、例题的变式
5、什么样的数是勾股数
1、数学上把满足a2 +b2= c2的三个正整 数，称为勾股数。 2、以3m，4m，5m为边长的数组只是勾 股数的一类。 3、勾股数的规律探索 （1）三边长同时扩大相同的倍数 （2）用代数式规律以及推理验证
1、创设问题的方法 实践性，密切联系生活实际 开放性，问题结论或条件的开放 探究性，可连续深化 如：14页，15页，17页，18页 2、审题习惯的养成
2 2
2a 2 c 2
故a 2 a 2 c 2
（3）学生用四个全等的非等腰直角三角形 拼成如图所示的图形，教师引导学生观察、 思考，仿上题方法利用面积关系可得到：
b a c c a
图3
a
s大正方形 = s小正方形＋4s直角三角形
b
c
c b
b
a 2 2ab b 2 c 2 2ab