张拉整体棱柱结构的拓扑构型(圆柱型结构到圆环型结构)
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由等式（2） （3） （4） （11） （13）和（17）可得
（17）
T O O CS,k I n I n 2n2n CT E1 I n S,k 1 O O 2n2n
（18）
2.2.3 竖索连接矩阵 张拉整体棱柱结构中的竖索（如图 3（b）所示） ，根据其两端连接节点所在单元的不同 可分为两类： 一类竖索连接同一单元结构中的下底面节点和上底面节点； 另一类竖索连接不 同单元中的下底面节点和上底面节点。
(a)底层边界
n2m1 第m单元 s52n n1m1 s51 n2m2 s5n+1 n1m2 s52 n2m3 s5n+2 n1m3 s53
第m-1单元
（b）顶层边界（m 为奇数）
n2m1 第m单元 s5n+1 n1m1 s51 n2m2 s5n+2 n1m2 s52 n2m3 s5n+3 n1m3 s53
第一类竖索
对于第一类竖索，其存在于每一个单元结构，故对于 m 层张拉整体棱柱结构中共有 m 层。在第 j∈[1,m]层竖索中，该层的竖索可以表示为
S2 j s2 j1 s2 j2 s2 ji s2 jn 3n ,i [1, n]
张拉整体棱柱结构所有的第一类竖索可以表示为
（19）
Bj b j1 b j2 b ji b jn
式中：
3n
,i [1, n]
（6） （7）
b ji n2 ji n1ji , j [1, m],i [1, n]
B B1 B2 B j Bm
张拉整体棱柱结构中所有的杆可以表示为
3mn
, j [1, m]
由等式（2） （3） （4） （11） （13）和（14）可得
（14）
T O O CS,k I n E1 2n2n CT I n I n S,k 1 O O 2n2n
式中：In 为 n 阶单位阵，O 为 n 阶零矩阵，
（15）
0 1 0 E1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 nn
（16）
当 k 为偶数时，该层鞍索的任一索可以表示为
n1k 1,p 1 n2k,p p [1, n 1] s1kp n1k 1,1 n 2k,n pn n2 k,p n n1k 1,p n p [n 1, 2n]
S1k s1k1 s1k 2 s1kp s1k,2n 32n , p [1, 2n]
张拉整体棱柱结构中所有的鞍索可以表示为
（11）
S1 S11 S12 S1k S1m1 32n(m1) , k [1, m 1]
（12）
对于第 k∈[1,m-1]层鞍索， 该层鞍索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘的形 式，即
由等式（2） （3） （4） （19） （21）和（24）可得
（24）
I n T CS, j E1 2nn
第二类竖索
（25）
在由 m 个棱柱单元组成的张拉整体棱柱结构中，连接不同单元上底面和下底面节点的 第二类竖索共有 m-2 层。对于第 q∈[1,m-2]层第二类竖索，该层的竖索可以表示为，
（8）
在第 j∈[1,m]个单元结构中，该单元结构的杆矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘 的形式，即
B j N jCT Bj
由等式（2） （3） （4） （6）和（7）可得，
（9）
I n CT Bj I n 2nn
（10）
式中：In 为 n 阶单位阵。 2.2 索连接矩阵 为了便于描述描述内部结构中的索， 按空间位置对结构中的索进行分类 （如图 1 所示） ， 将两单元结构连接处的索定义为鞍索，将沿竖直方向分布的索定义为竖索。 2.2.1 鞍索连接矩阵 由于鞍索存在于张拉整体棱柱结构中两单元的连接处，故 m 层的张拉整体棱柱结构中 存在 m-1 层鞍索。 鞍索和与其连接两相邻单元结构中的节点相关， 对于结构中的第 k∈[1,m-1] 层鞍索可以表示为
单元的上底面节点可表示为
（2）
N2 j n211 n212 n21i n21n 3n , i [1, n]
该单元全部节点的可表示为
（3）
Nj N1j N2 j 32n
张拉整体棱柱结构的全部节点可表示为
（4）
N N1 N2 N j Nm
32mn
右旋棱柱的上水平索和左旋棱柱的下水平索全部去掉重新组合（如图 2 所示） ，同时，增加 同时连接两个棱柱结构节点的辅助索（如图 2 细虚线所示）以保持结构的平衡和稳定性。拓 扑完成后的结构由 2 个张拉整体棱柱单元组成， 每个张拉整体单元分别有 4 根压杆， 将该结 构命名为 2 层 4 杆张张拉整体棱柱结构。 在 2 层 4 杆张拉整体棱柱结构的基础上， 沿其轴向继续增加单元棱柱结构， 仍按如前所 述方法进行单元棱柱结构的连接，同时结构中相邻单元压杆的旋向相反，最终可获得多层 4 杆张拉整体棱柱结构。
（29）
T O CS,q I n 2nn CT E1 S,q 2 O 2nn
（30）
当 q 为偶数时，该层第二类竖索的任一索可以表示为，
n1q 2,i n2q,i 1 i [1, n 1] s3qi n1q 2,n n2q,1 i 1
由等式（2） （3） （4） （26） （28）和（31）可得
（31）
T O CS,q E1 2nn CT I n S,q 2 O 2nn
（32）
3 圆柱型结构
3.1 边界条件
第2单元 s4n s41 n211 s41 n112 s42 n212 s12 第1单元 n111 s42 n113 s43 s43 n213
S3q s3q1 s3q2 s3qi s3qn 3n ,i [1, n]
张拉整体棱柱结构中全部第二类竖索可以表示为，
（26）
S3 S31 S32 S3q S3m2
3n(m 2)
, q [1, m 2]
（27）
对于第 q∈[1,m-2]层第二类竖索， 该层索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘 的形式，即
1 前言 1.1 单元结构 张拉整体单元结构（如图 1 所示）的主要结构参数包括：上底面节点分布圆半径 ru、下 底面节点分布圆半径 rd、单元内扭转角度、单元结构高度 h 和单元杆数 n。若张拉整体单 元结构的上下底面节点分布圆半径相等（ru=rd） ，结构的形状为圆柱型；反之（rurd） ，结构 的形状为圆台型。 单元结构根据扭转角方向的不同可分布左旋棱柱单元结构和右旋棱柱单元 结构，图 1 所示的棱柱为右旋棱柱。
T T S3q NqCS,q Nq 2CS,q 2
（28）
当 q 为奇数是，该层第二类竖索的任一索可以表示为，
n1q 2,i 1 n2q,i i [1, n 1] s3qi n1q 2,1 n2q,n i n
由等式（2） （3） （4） （26） （28）和（29）可得
位于结构底层的全部索可表示为
（33）
S4 s41 s42 s4p s42n
32n
, p [1, 2n]
（34）
结构底层索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘的形式，即
T S4 N1 N2 CS,4
S2 S21 S22 S2 j S2m
即
T S2 j N jCS, j
3mn
, j [1, m]
（20）
对于第 j∈[1,m]层竖索，该层竖索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘的形式，
（21）
当 j 为奇数时，该层第一类竖百度文库的任一索可以表示为
n2 j,i n1j,i 1 i [1, n 1] s2 ji n2 j,n n1j,1 i n
张拉整体棱柱结构由 m 个杆数相同的右旋棱柱单元和左旋棱单元柱沿轴向交叉组合而 成（如图 3 所示） 。若每个有旋棱柱或左旋棱柱单元由 n 个杆，那么，在每个单元结构中共 有 2n 个节点。对于结构中的第 j∈[1,m]个单元，单元下底面节点可表示为
（b）展开示意图 图3 m 层张拉整体棱柱
N1j n111 n112 n11i n11n 3n , i [1, n]
（5）
2 内部连接矩阵 由图 1 所示的拓扑结构可知，内部单元结构的节点、杆、索的连接关系时可以确定的。 2.1 杆连接矩阵 由图 3（b）可知，张拉整体棱柱结构中的杆位于单元结构的内部，且只连接该单元结 构的上底面节点和下底面节点，与本单元之外的节点没有关系。那么，对于结构中的第 j∈[1,m]个单元，该单元中所有的杆可表示为
Z n22
n23 n24 n13
n21 n14
n11
n12
rd X n11
O 2π/n
ru n12
n21 Y
图1
张拉整体单元结构
在单元结构中，节点分布在结构的上下底面，若上下底面的节点均沿逆时针分布，在 图 1 所示的笛卡尔坐标下用向量 n 表示节点的空间位置，该单元结构所有的节点可以表示 为
N N1 N238
式中： N1 n11 n12 n13 n14 34 为表示结构下底面节点位置的节点矩阵，
（1）
N2 n21 n22 n23 n24 34 为表示结构上底面节点位置的节点矩阵。
1.2 组成原理
图2
2 层张拉整体棱柱结构
将节点分布圆半径、 结构高度和偏转角分别相同的左旋和右旋棱柱结构按一定的方式组 合，可以得到一种新型的张拉整体结构。如图 2 所示，右旋棱柱位于左旋棱柱的正下方，将
第m-1单元
（c）顶层边界（m 为偶数） 图4 边界条件
在张拉整体圆柱型结构中（如图 3（b）所示） ，结构底层和顶层单元索杆的接方式与内 部单元是不相同的。圆柱结构的底层单元为右旋张拉整体棱柱（如图 4（a）所示） ，结构底 层的任一索可表示为
p [1, n 1] n11,p 1 n11,p n1 n1 pn 1,1 1,n s 4p n12,p n n11,p n 1 p [n 1, 2n 1] p 2n n12,n n11,1
T T S1k Nk CS,k Nk 1CS,k 1
（13）
当 k 为奇数时，该层鞍索的任一索可以表示为
n1k 1,p n2k,p p [1, n] s1kp n 2k,p n 1 n1k 1,p n p [n 1, 2n 1] n2 n1 p 2n k 1,n k,1
第m单元
第i单元
鞍索
竖索
第2单元 鞍索
第1单元
（a）理论模型
第m单元
第m-1单元
第4单元
第3单元 第二类竖索 第2单元 s12n 第1单元 n111 b11 s31 n211 s11 s21 n112 n2 s2n+1 12 b12 s22 n113 s32 s12 n2 s1n+2 13 b13 s33 n21,n-1 s13 s2n-2 n11,n-1 b1,n-1s2n-1 n11n s1n-1 s3n-1 n2 s12n-1 1n b1n s2n s3n s1n 第二类竖索 鞍索
由等式（2） （3） （4） （19） （21）和（22）可得，
（22）
E1 T CS, j I n 2nn
当 j 为偶数是时，该层第一类竖索的任一索可表示为
（23）
n2 j,i 1 n1j,i i [1, n 1] s2 ji n2 j,1 n1j,n i n
（17）
T O O CS,k I n I n 2n2n CT E1 I n S,k 1 O O 2n2n
（18）
2.2.3 竖索连接矩阵 张拉整体棱柱结构中的竖索（如图 3（b）所示） ，根据其两端连接节点所在单元的不同 可分为两类： 一类竖索连接同一单元结构中的下底面节点和上底面节点； 另一类竖索连接不 同单元中的下底面节点和上底面节点。
(a)底层边界
n2m1 第m单元 s52n n1m1 s51 n2m2 s5n+1 n1m2 s52 n2m3 s5n+2 n1m3 s53
第m-1单元
（b）顶层边界（m 为奇数）
n2m1 第m单元 s5n+1 n1m1 s51 n2m2 s5n+2 n1m2 s52 n2m3 s5n+3 n1m3 s53
第一类竖索
对于第一类竖索，其存在于每一个单元结构，故对于 m 层张拉整体棱柱结构中共有 m 层。在第 j∈[1,m]层竖索中，该层的竖索可以表示为
S2 j s2 j1 s2 j2 s2 ji s2 jn 3n ,i [1, n]
张拉整体棱柱结构所有的第一类竖索可以表示为
（19）
Bj b j1 b j2 b ji b jn
式中：
3n
,i [1, n]
（6） （7）
b ji n2 ji n1ji , j [1, m],i [1, n]
B B1 B2 B j Bm
张拉整体棱柱结构中所有的杆可以表示为
3mn
, j [1, m]
由等式（2） （3） （4） （11） （13）和（14）可得
（14）
T O O CS,k I n E1 2n2n CT I n I n S,k 1 O O 2n2n
式中：In 为 n 阶单位阵，O 为 n 阶零矩阵，
（15）
0 1 0 E1 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0 nn
（16）
当 k 为偶数时，该层鞍索的任一索可以表示为
n1k 1,p 1 n2k,p p [1, n 1] s1kp n1k 1,1 n 2k,n pn n2 k,p n n1k 1,p n p [n 1, 2n]
S1k s1k1 s1k 2 s1kp s1k,2n 32n , p [1, 2n]
张拉整体棱柱结构中所有的鞍索可以表示为
（11）
S1 S11 S12 S1k S1m1 32n(m1) , k [1, m 1]
（12）
对于第 k∈[1,m-1]层鞍索， 该层鞍索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘的形 式，即
由等式（2） （3） （4） （19） （21）和（24）可得
（24）
I n T CS, j E1 2nn
第二类竖索
（25）
在由 m 个棱柱单元组成的张拉整体棱柱结构中，连接不同单元上底面和下底面节点的 第二类竖索共有 m-2 层。对于第 q∈[1,m-2]层第二类竖索，该层的竖索可以表示为，
（8）
在第 j∈[1,m]个单元结构中，该单元结构的杆矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘 的形式，即
B j N jCT Bj
由等式（2） （3） （4） （6）和（7）可得，
（9）
I n CT Bj I n 2nn
（10）
式中：In 为 n 阶单位阵。 2.2 索连接矩阵 为了便于描述描述内部结构中的索， 按空间位置对结构中的索进行分类 （如图 1 所示） ， 将两单元结构连接处的索定义为鞍索，将沿竖直方向分布的索定义为竖索。 2.2.1 鞍索连接矩阵 由于鞍索存在于张拉整体棱柱结构中两单元的连接处，故 m 层的张拉整体棱柱结构中 存在 m-1 层鞍索。 鞍索和与其连接两相邻单元结构中的节点相关， 对于结构中的第 k∈[1,m-1] 层鞍索可以表示为
单元的上底面节点可表示为
（2）
N2 j n211 n212 n21i n21n 3n , i [1, n]
该单元全部节点的可表示为
（3）
Nj N1j N2 j 32n
张拉整体棱柱结构的全部节点可表示为
（4）
N N1 N2 N j Nm
32mn
右旋棱柱的上水平索和左旋棱柱的下水平索全部去掉重新组合（如图 2 所示） ，同时，增加 同时连接两个棱柱结构节点的辅助索（如图 2 细虚线所示）以保持结构的平衡和稳定性。拓 扑完成后的结构由 2 个张拉整体棱柱单元组成， 每个张拉整体单元分别有 4 根压杆， 将该结 构命名为 2 层 4 杆张张拉整体棱柱结构。 在 2 层 4 杆张拉整体棱柱结构的基础上， 沿其轴向继续增加单元棱柱结构， 仍按如前所 述方法进行单元棱柱结构的连接，同时结构中相邻单元压杆的旋向相反，最终可获得多层 4 杆张拉整体棱柱结构。
（29）
T O CS,q I n 2nn CT E1 S,q 2 O 2nn
（30）
当 q 为偶数时，该层第二类竖索的任一索可以表示为，
n1q 2,i n2q,i 1 i [1, n 1] s3qi n1q 2,n n2q,1 i 1
由等式（2） （3） （4） （26） （28）和（31）可得
（31）
T O CS,q E1 2nn CT I n S,q 2 O 2nn
（32）
3 圆柱型结构
3.1 边界条件
第2单元 s4n s41 n211 s41 n112 s42 n212 s12 第1单元 n111 s42 n113 s43 s43 n213
S3q s3q1 s3q2 s3qi s3qn 3n ,i [1, n]
张拉整体棱柱结构中全部第二类竖索可以表示为，
（26）
S3 S31 S32 S3q S3m2
3n(m 2)
, q [1, m 2]
（27）
对于第 q∈[1,m-2]层第二类竖索， 该层索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘 的形式，即
1 前言 1.1 单元结构 张拉整体单元结构（如图 1 所示）的主要结构参数包括：上底面节点分布圆半径 ru、下 底面节点分布圆半径 rd、单元内扭转角度、单元结构高度 h 和单元杆数 n。若张拉整体单 元结构的上下底面节点分布圆半径相等（ru=rd） ，结构的形状为圆柱型；反之（rurd） ，结构 的形状为圆台型。 单元结构根据扭转角方向的不同可分布左旋棱柱单元结构和右旋棱柱单元 结构，图 1 所示的棱柱为右旋棱柱。
T T S3q NqCS,q Nq 2CS,q 2
（28）
当 q 为奇数是，该层第二类竖索的任一索可以表示为，
n1q 2,i 1 n2q,i i [1, n 1] s3qi n1q 2,1 n2q,n i n
由等式（2） （3） （4） （26） （28）和（29）可得
位于结构底层的全部索可表示为
（33）
S4 s41 s42 s4p s42n
32n
, p [1, 2n]
（34）
结构底层索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘的形式，即
T S4 N1 N2 CS,4
S2 S21 S22 S2 j S2m
即
T S2 j N jCS, j
3mn
, j [1, m]
（20）
对于第 j∈[1,m]层竖索，该层竖索的索矩阵可以表示为节点矩阵与常数矩阵相乘的形式，
（21）
当 j 为奇数时，该层第一类竖百度文库的任一索可以表示为
n2 j,i n1j,i 1 i [1, n 1] s2 ji n2 j,n n1j,1 i n
张拉整体棱柱结构由 m 个杆数相同的右旋棱柱单元和左旋棱单元柱沿轴向交叉组合而 成（如图 3 所示） 。若每个有旋棱柱或左旋棱柱单元由 n 个杆，那么，在每个单元结构中共 有 2n 个节点。对于结构中的第 j∈[1,m]个单元，单元下底面节点可表示为
（b）展开示意图 图3 m 层张拉整体棱柱
N1j n111 n112 n11i n11n 3n , i [1, n]
（5）
2 内部连接矩阵 由图 1 所示的拓扑结构可知，内部单元结构的节点、杆、索的连接关系时可以确定的。 2.1 杆连接矩阵 由图 3（b）可知，张拉整体棱柱结构中的杆位于单元结构的内部，且只连接该单元结 构的上底面节点和下底面节点，与本单元之外的节点没有关系。那么，对于结构中的第 j∈[1,m]个单元，该单元中所有的杆可表示为
Z n22
n23 n24 n13
n21 n14
n11
n12
rd X n11
O 2π/n
ru n12
n21 Y
图1
张拉整体单元结构
在单元结构中，节点分布在结构的上下底面，若上下底面的节点均沿逆时针分布，在 图 1 所示的笛卡尔坐标下用向量 n 表示节点的空间位置，该单元结构所有的节点可以表示 为
N N1 N238
式中： N1 n11 n12 n13 n14 34 为表示结构下底面节点位置的节点矩阵，
（1）
N2 n21 n22 n23 n24 34 为表示结构上底面节点位置的节点矩阵。
1.2 组成原理
图2
2 层张拉整体棱柱结构
将节点分布圆半径、 结构高度和偏转角分别相同的左旋和右旋棱柱结构按一定的方式组 合，可以得到一种新型的张拉整体结构。如图 2 所示，右旋棱柱位于左旋棱柱的正下方，将
第m-1单元
（c）顶层边界（m 为偶数） 图4 边界条件
在张拉整体圆柱型结构中（如图 3（b）所示） ，结构底层和顶层单元索杆的接方式与内 部单元是不相同的。圆柱结构的底层单元为右旋张拉整体棱柱（如图 4（a）所示） ，结构底 层的任一索可表示为
p [1, n 1] n11,p 1 n11,p n1 n1 pn 1,1 1,n s 4p n12,p n n11,p n 1 p [n 1, 2n 1] p 2n n12,n n11,1
T T S1k Nk CS,k Nk 1CS,k 1
（13）
当 k 为奇数时，该层鞍索的任一索可以表示为
n1k 1,p n2k,p p [1, n] s1kp n 2k,p n 1 n1k 1,p n p [n 1, 2n 1] n2 n1 p 2n k 1,n k,1
第m单元
第i单元
鞍索
竖索
第2单元 鞍索
第1单元
（a）理论模型
第m单元
第m-1单元
第4单元
第3单元 第二类竖索 第2单元 s12n 第1单元 n111 b11 s31 n211 s11 s21 n112 n2 s2n+1 12 b12 s22 n113 s32 s12 n2 s1n+2 13 b13 s33 n21,n-1 s13 s2n-2 n11,n-1 b1,n-1s2n-1 n11n s1n-1 s3n-1 n2 s12n-1 1n b1n s2n s3n s1n 第二类竖索 鞍索
由等式（2） （3） （4） （19） （21）和（22）可得，
（22）
E1 T CS, j I n 2nn
当 j 为偶数是时，该层第一类竖索的任一索可表示为
（23）
n2 j,i 1 n1j,i i [1, n 1] s2 ji n2 j,1 n1j,n i n