归纳与类比

•问题： 什么是推理？ 怎么进行推理？
１、当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家 等现象时， 我们会得到一个判断：天要下雨了。 ２、谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五 雪扎灯。”
根据一个或几个已知的命 推理： 题得出另一个新命题的思 维过程。
案例：1
• 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是 用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、 海龟、蜥蜴都是爬行动物 • 所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的
从一般性的命题推演出特殊命题的推理方 法称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论
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案例分析：
从一般性的命题推演出特殊命题的推理方 法称为演绎推理．
得到怎样的结论？
归纳推理
类比推理
34
案例：
完成下列推理， 它们是合情推理吗？
它们有什么特点？
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论
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案例分析：
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基 本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点 之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一 种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性, 是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.
2
归纳推理的一般思维过程：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫发现，每个大于2的偶数可以表示为两个素 数（只能被和它本身整除的数）之和。
归纳推理的几个特点:
1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得 出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前 提所包容的范围。
2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为 数学证明的工具。 3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推 理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助 人们发现问题和提出问题。
例如: 4 8 12 16
= = = =
2 3 5 5
+ + + +
2, 6 = 3 + 3, 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 11, 18 = 5 + 13, . . . .
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
（1）函数
f ( x) ( x 1)(x 2)( x 1000 8 )
1 1 1 2 3 6 1 2 2 1 2 2 3 5 6 1 2 2 2 1 2 3 3 4 7 6 1 2 2 2 2 1 2 3 4 4 5 9 6 1 2 2 2 2 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6
想 一 想 ？
a4 a3 d a1 3d
an
an1 d a1 (n 1)d
例1： 已知数列{ n}的 每一项均为正数，
a
a1=1，
a
2 n1
a n 1(n 1,2....)
2
试归纳出数列{ n} 的一个通项公式.
a
观察下面等式,并归纳出一般结论:
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
合情推理
1.合情推理的概念 先根据已有的事实，经过观察、分析、比 较、联想; 再进行归纳、类比; 然后提出猜想的 推理.统称为合情推理. 2.合情推理的过程
从具体问 题出发 观察、分析 比较、联想
归纳 类比 提出 猜想
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
7
9
10 9
15
16
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）?
2.归纳推理
的一般思维过程: 概括、推广 猜测一般性结论
实验、观察
3.归纳推理的特点
课堂检测：
1、根据给出的数塔猜测 123456 9 7 等于 (
1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111
合情推理的作用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学 结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思 路和方向. 说明: 由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想, 未必可靠.
归纳推理与类比推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理
区 别
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 形式 别到一般的推理 推理
-----------------------------------------------------------------.
方程.
利用圆的性质类比得出求的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
圆的周长 圆的面积
S = 2πR
S =πR 2
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
S = 4πR 2 球的表面积 4 球的体积 V = πR 3 3
球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连 线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心 较近的弦较长
与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积 不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
B
)
A、1111110 C、1111112
2、32 12 8 1,
7 2 52 8 3,
B、1111111 D、1111113
52 32 8 2,
92 72 8 4,
由此得到的结论是: (2n 1) 2 (2n 1) 2 8n,
3、当 n 0,1,2,3 时，n n 2 8 成立，所以对于所有的 2
归 纳 推 理
学习目标
• 1、了解推理的含义 • 2、能进行简单的归纳推理 • 3、体会归纳推理在数学发现中 的作用
创设情境
• 华罗庚教授曾经举过一个例子：
• 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻 璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候 ，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西都 是红玻璃球？”但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时 候，这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是 不是袋里都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个 木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜 想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还 必须继续加以检验 • 在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对 所得的结论进行验证和证明。
一般性的原理 特殊情况 结论
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
大前提 小前提
结论
（1）演绎推理的主要形式：三段论式推理 注： （2）三段论式推理常用格式： 大前提 M——P (M是P) S——M (S是M) 小前提
十六进位 十进位
０ ０
１ １
２ ２
３ ３
４ ４
５ ５
６ ６
７ ７
十六进位
十进位
８ ８
９
９
Ａ
１０
Ｂ
１１
Ｃ
１２
Ｄ
１３
Ｅ
１４
Ｆ
１５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ） Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 设圆的方程为① 个特例,推广的命题为----------------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 ---------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
案例：2 •三角形的内角和是180０,凸四边形的内角和 是360０,凸五边形的内角和是540０, •所以,凸n边形的内角和是
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