归纳与类比

例如: 4 8 12 16
= = = =
2 3 5 5
+ + + +
2, 6 = 3 + 3, 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11, 11, 18 = 5 + 13, . . . .
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
（1）函数
f ( x) ( x 1)(x 2)( x 1000 8 )
前提 当n=0时，n2-n+11=11
当n=1时，n2-n+11=11 当n=2时，n2-n+11=13 当n=3时，n2-n+11=17
当n=4时，n2-n+11=23
当n=5时，n2-n+11=31 11,11,13,17,23,31都是质数 结论 对于所有的自然数n,
n2-n+11的值都是质数
2
归纳推理的一般思维过程：
实验、观察 概括、推广 猜测一般性结论
哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)
世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位 中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年， 1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥 德巴赫发现，每个大于2的偶数可以表示为两个素 数（只能被和它本身整除的数）之和。
得到怎样的结论？
归纳推理
类比推理
34
案例：
完成下列推理， 它们是合情推理吗？
它们有什么特点？
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论
35Байду номын сангаас
案例分析：
案例：2 •三角形的内角和是180０,凸四边形的内角和 是360０,凸五边形的内角和是540０, •所以,凸n边形的内角和是
(n 2) 180
它们有什么共同点？
0

从个别事实中推演出一般性的结论,称为归纳推理.
观察下面等式,并归纳出一般结论:
中 首项a1 , 公差d的等差数列 an
a1 a1 a1 0d a2 a1 d a1 1d a3 a2 d a1 2d
-----------------------------------------------------------------.
方程.
利用圆的性质类比得出求的性质 球的概念和性质 圆的概念和性质
圆的周长 圆的面积
S = 2πR
S =πR 2
圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦
S = 4πR 2 球的表面积 4 球的体积 V = πR 3 3
f (1) 8, f (2) 8, f (3) 8
由此我们猜想：
f ( n) 8 ( n N )
（2）狗是有骨骼的;鸟是有骨骼的; 鱼是有骨骼的;蛇是有骨骼的;青蛙是有骨骼的; 狗、鸟、鱼、蛇和青蛙都是动物；
由此我们猜想:
所有的动物都是有骨骼的。
归纳出一般结论，并判断所得的结论正确吗？
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
7
9
10 9
15
16
小结
1.什么是归纳推理（简称归纳）?
2.归纳推理
的一般思维过程: 概括、推广 猜测一般性结论
实验、观察
3.归纳推理的特点
课堂检测：
1、根据给出的数塔猜测 123456 9 7 等于 (
1 9 2 11 12 9 3 111 123 9 4 1111 1234 9 5 11111 12345 9 6 111111
合情推理的作用
数学研究中,得到一个新结论之前,合情推理 常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学 结论之前,合情推理常常能为我们提供证明的思 路和方向. 说明: 由合情推理所获得的结论,仅仅是一种猜想, 未必可靠.
归纳推理与类比推理的区别
合情推理
归纳推理 类比推理
区 别
推理 由部分到整体,个 由特殊到特殊的 形式 别到一般的推理 推理

•问题： 什么是推理？ 怎么进行推理？
１、当看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家 等现象时， 我们会得到一个判断：天要下雨了。 ２、谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五 雪扎灯。”
根据一个或几个已知的命 推理： 题得出另一个新命题的思 维过程。
案例：1
• 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是 用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的.蛇、鳄鱼、 海龟、蜥蜴都是爬行动物 • 所以,所有的爬行动物都是用肺呼吸的
推理 结论
结论不一定正确，有待进一 步证明
演绎推理
案例：
（1）观察 1+3=4=22 , 1+3+5=9=32 , a⊥c，b⊥c，则a//b. 类比地推广到空 （2）在平面内，若
1+3+5+7=16=42 , 1+3+5+7+9=25=52 , …… 由上述具体事实能
间，你会得到什么结 论？并判断正误.
63
类比推理
工匠鲁班类比带齿 的草叶和蝗虫的牙 齿,发明了锯
仿照鱼类的外型和 它们在水中沉浮的 原理,发明了潜水 艇.
科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多 类似的特征; 1)火星也绕太阳运行、饶轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已 知生物的生存,等等.
归 纳 推 理
学习目标
• 1、了解推理的含义 • 2、能进行简单的归纳推理 • 3、体会归纳推理在数学发现中 的作用
创设情境
• 华罗庚教授曾经举过一个例子：
• 从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球，第二个是红玻 璃球，甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候 ，我们立刻会出现一种猜想：“是不是这个袋里的东西都 是红玻璃球？”但是，当有一个摸出来的是白玻璃球的时 候，这个猜想失败了；这时，我们会有另一个猜想：“是 不是袋里都是玻璃球？”但是，当有一次摸出来的是一个 木球的时候，这个猜想又失败了；这时我们会有第三个猜 想：“是不是袋里的东西都是球？”这个猜想对不对，还 必须继续加以检验 • 在这个过程中，一方面通过推理得出结论，另一方面要对 所得的结论进行验证和证明。
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
猜想 F+V-E=2
多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体 4 5 5 6 6 8 7 4 5 6 6 8 6 10
欧拉公式
6 8 9 10 12 12 15
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
一般性的原理 特殊情况 结论
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.
大前提 小前提
结论
（1）演绎推理的主要形式：三段论式推理 注： （2）三段论式推理常用格式： 大前提 M——P (M是P) S——M (S是M) 小前提
1 1 1 2 3 6 1 2 2 1 2 2 3 5 6 1 2 2 2 1 2 3 3 4 7 6 1 2 2 2 2 1 2 3 4 4 5 9 6 1 2 2 2 2 1 2 3 n n(n 1)( 2n 1) 6
B
)
A、1111110 C、1111112
2、32 12 8 1,
7 2 52 8 3,
B、1111111 D、1111113
52 32 8 2,
92 72 8 4,
由此得到的结论是: (2n 1) 2 (2n 1) 2 8n,
3、当 n 0,1,2,3 时，n n 2 8 成立，所以对于所有的 2
数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V 和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间 的关系.
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9
正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
从一般性的命题推演出特殊命题的推理方 法称为演绎推理．
1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电. 一般性的原理 特殊情况 结论
2.一切奇数都不能被2整除, 一般性的原理 因为2007是奇数, 所以2007不能被2整除. 特殊情况 结论
36
案例分析：
从一般性的命题推演出特殊命题的推理方 法称为演绎推理．
自然数
n ，n n2 8 2
成立。
上述推理是归纳推理吗？所得结论正确吗？
不正确 ，当n=3时不成立。
4、
4 4 2 2 3 3 4 4 , 2 2 ， 3 8 3 8 ， 15 15 3 3 b b 若 8 8 （a, b均为正整数） a a ，
请推测 a

8
b ，
球心与不过球心的截面(圆面)的圆点的连 线垂直于截面
与圆心距离相等的两弦相等 与圆心距离不相等的两弦不相等,距圆心 较近的弦较长
与球心距离相等的两截面面积相等 与球心距离不相等的两截面面积 不相等,距球心较近的面积较大
以点(x0,y0,z0)为球心, r为半径的球的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = r2
归纳推理的几个特点:
1.归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得 出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前 提所包容的范围。
2.归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否 真实，还需经过逻辑证明和实践检验。它不能作为 数学证明的工具。 3.归纳推理是一种具有创造性的推理。通过归纳推 理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助 人们发现问题和提出问题。
以点(x0,y0)为圆心, r为半径的圆的方 程为(x-x0)2+(y-y0)2 = r2
合情推理
1.合情推理的概念 先根据已有的事实，经过观察、分析、比 较、联想; 再进行归纳、类比; 然后提出猜想的 推理.统称为合情推理. 2.合情推理的过程
从具体问 题出发 观察、分析 比较、联想
归纳 类比 提出 猜想
想 一 想 ？
a4 a3 d a1 3d
an
an1 d a1 (n 1)d
例1： 已知数列{ n}的 每一项均为正数，
a
a1=1，
a
2 n1
a n 1(n 1,2....)
2
试归纳出数列{ n} 的一个通项公式.
a
观察下面等式,并归纳出一般结论:
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基 本定理.
在两类不同事物之间进行对比,找出若干相同或相似点 之后,推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一 种推理模式, 称为类比推理.(简称;类比)
类比推理的几个特点;
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性, 是以旧有的认识为基础,类比出新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能.
类比推理的思维过程
观察、比较 联想、类推 猜测新的结论
例1：类比平面内直角三角形的勾股定理， 试给出空间中四面体性质的猜想．
A Ｂ
c2=a2+b2
c
a
Ｃ
s1 o s2 s3
b
Ａ
B
C
S2△ABC =S2△AOB+S2△AOC+S2△BOC 猜想:
例2：(2005年全国)计算机中常用的十六进 位制是逢１６进１的计算制，采用数字０９和字母Ａ-Ｆ共１６个计数符号，这些符 号与十进制的数的对应关系如下表；
十六进位 十进位
０ ０
１ １
２ ２
３ ３
４ ４
５ ５
６ ６
７ ７
十六进位
十进位
８ ８
９
９
Ａ
１０
Ｂ
１１
Ｃ
１２
Ｄ
１３
Ｅ
１４
Ｆ
１５
例如用１６进位制表示Ｅ+Ｄ＝１Ｂ，则 Ａ×Ｂ＝（ Ａ ） Ａ．６E Ｂ．７２ Ｃ．５Ｆ Ｄ．０Ｂ
例3:(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆 的情况下加以推广,即要求得到一个更一般 的命题,而已知命题应成为所推广命题的一 设圆的方程为① 个特例,推广的命题为----------------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 ---------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴