浙江省苍南县2020姜立夫杯2020年高二数学上学期竞赛试题(1)
苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)
苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高一考试(浙江)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：竞赛数学情况调查测试卷〔2005年8月27日〕一、选择题（每小题6分，共36分）1、函数y ＝x 2x －1 (x ∈R, x ≠1) 的递增区间是（ ）（A ）[2,＋∞) （B ）(－∞,0] 或[2,＋∞) （C ）(－∞,0]（D ）(－∞,1－2]或[2,＋∞)2、方程2002x ＋2003x ＋2004x ＝2005x x －2006的实根个数为 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个（D ）至少3个3、已知f(x)＝asinx ＋b 3x ＋c •ln(x ＋x 2＋1）＋4 (a,b,c 为实数)，且f(lglog 310)＝5，则f(lglg3)的值是（ ） （A ）－5（B ）－3（C ）3（D ）随a,b,c 而变4、若函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝－π8对称，则a 的值等于（ ）（A ）2或－ 2（B ）1或－1（C ）1或－2（D ）－1或25、已知coa αcos β2cos(α－β2)＋coa βcosα2cos (β－α2)＝1，则cos α＋cos β的值等于（ ）（A ）1（B ）12（C ） 2（D ）226、已知在数列{a n }满足，a 1＝2＋3，a n ＋2(1－a n )＝1＋a n ，则a 2005的值为 （ ） （A ）2＋ 3 （B ）2－ 3 （C ）3－2 （D ）－2－ 3二、填空题（每小题9分，共54分） 7、在△ABC 中，3sinA ＋4cosB ＝6,4sinB ＋3cosA ＝1，则∠C 的度数为 . 8、已知函数y ＝a －xx ―a ―1的反函数图象关于点(－1,4)成中心对称，则实数a ＝ .9、已知一个4元集合S 的所有子集的元素和（空集的元素和认为是零）的总和等于16040，则S 的元素之和等于 .10、若3f(x －2005)＋4f(2005―x)＝5(x ―2005)，对所有实数x 成立，则f(x)的解析式是f(x) ＝ .11、函数f(x)＝2x 2－3x ＋4＋x 2－2x 的最小值是 .12、已知正整数n 不超过2005, 并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的正整数n 有 个.三、解答题（每小题20分，共60分）13、已知函数y＝sinx＋asin2xcosx..（1）当sinx＝1时，求y的值；（2分）（2）若函数的最大值为1，求实数a的取值范围.（18分）14、n 2(n ≥4)个正数排成n 行n 列 a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n a 41 a 42 a 43 … a 4n … … … … …a n1 a n2 a n3 … a nn其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比都相等，已知a 24＝1, a 42＝18, a 43＝316，求S ＝a 11＋a 22＋…＋a nn .15、某公司离火车站40千米，有12名该公司的职员出差，须从公司出发赶到火车站，他们步行的速度为4千米／时，当时公司仅有一辆同时可送4人的轿车，其速度为52千米／时. 要求在3小时内将12名职员送到车站，还希望轿车第一批送的职员能尽早地到车站买票. 试问第一批职员最早能比3小时提前多少时间赶到车站.江苏省苏州实验中学2005年暑期竞赛数学情况调查测试卷（参考答案）1、B 原函数即为y ＝ (x －1)2＋2(x －1)＋1x －1 ＝ (x －1) ＋ 1x －1 ＋ 2，由对勾函数的增减性立知选B .2、B 原方程即为⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x＝x －2006，考查两个函数y ＝⎝⎛⎭⎫20022005x ＋⎝⎛⎭⎫20032005x ＋⎝⎛⎭⎫20042005x 和y ＝x －2006，前者为减函数，后者为增函数，它们的图象有且只有一个交点，故对应的方程有且只有一个根，从而选B .3、C 容易判断f(x)＋f(－x)＝8，且lglog 310 ＝ lg lg10lg3 ＝ －lg lg3lg10 ＝ －lglg3，故有f(lglog 310)＋ f(lglg3)＝8，从而f(lglg3)＝3. 选C4、C 函数f(x)＝a 2sin2x ＋(a －2)cos2x 的图象关于直线x ＝ －π8对称，则f(－π8)应取得函数的最大值或最小值。
2016年苍南县“姜立夫杯”高二数学竞赛
2016年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知集合2{|3100},{|121}A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-．当A B =∅时，实数m 的取值范围是（ ）． A ．24m << B ．2m <或4m > C ．142m -<< D ．12m <-或4m > 2．函数()f x 对于任意实数x 满足：()()13f x f x +=-，若()02f =，则()2016f =（ ） A ．12-B ．12C ．2D ．2- 3．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，有||||OA OB k BC AC --≥，则ABC ∆一定是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定 4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知25235S a =，453325S a =，则6543Sa 的值是（ ） A ．125 B ．85 C ．45 D ．35 5．已知1sin cos 63π⎛⎫α+-α= ⎪⎝⎭，则2sin cos 6π⎛⎫αα+= ⎪⎝⎭（ ） A ．518-B. 518C. 79-D. 796．已知三个不同的平面,,αβγ和两条不重合的直线,m n ，有下列4个命题： ①m n m n ααβ=，，则②m m n n ⊥α⊂βα⊥β，，，则 ③α⊥βγ⊥βαγ，，则 ④m m αβ=⊥γα⊥γ，，则其中正确命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设,x y 满足约束条件311x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩，若02ax by ≤+≤恒成立，则22a b +的最大值是（ ）A ．1B ．89 C ．209D ．4 8．已知函数()22030x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩，，的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a的取值范围为（ ） A ．17(,2)8-- B ．17,28⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C ．171,6⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．171,16⎛⎫⎪⎝⎭二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．若正实数,a b 满足284log log 5a b +=和284log log 7b a +=，则48log log a b +的值是▲10．已知点P 是直线:40l kx y ++=()0k >上一动点，PA PB 、是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A B 、是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则实数k 的值为 ▲ ．11．在三棱锥D ABC -中，2AB BC ==，AB BC ⊥，BC CD ⊥，DA AB ⊥，DA 与平面ABC 所成的角为45，则二面角A DB C --的平面角的余弦值为▲ ．12.已知函数()2sin f x x =ω()0ω>其中常数，若存在12,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭π，204x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，π，使得()()12f x f x =，则ω的取值范围为 ▲ ．13．已知()2()2x f x m n x nx =-⋅++，若{}{}()0(())0x f x x f f x ===≠∅，则m n +的取值范围为 ▲ ．14．已知点(11)A -，，(40)B ，，(22)C ，．平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+ （1a λ<≤，1b μ<≤）的点()P x y ，组成的区域。
最新-2018年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题答
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案二、填空题9、(1,1)- 10、2004 11 12 13、0x =14、10a -<< 三、解答题15、解：设l 方程为1(1)y m x -=--，则1(1,0)P m +，(0,1)Q m +-----------------1分 从而可得直线PR 和QS 的方程分别为120m x y m+--=和22(1)0x y m -++=--------2分 又||PRQS，11|221|32||m m RS +++++∴== 又22|||PR QS +==-----------------------------------------------------------------------5分 所以四边形PRSQ 的面积为：2123212PRSQ m S +++==21191()5480m m ++--------------------------------8分 219118(2)54805≥+-=。
所以四边形PRSQ 面积的最小值为185--------------------------------------------------------------10分16、解：设椭圆的离心率为e ，则1||MF e d=，即1||MF de =，--------------------------1分 又12||||2MF MF a +=，所以2||2MF a de =-，---------------------------------------3分由题意可得212||||MF d MF =，所以22(2)d e d a de =-，故22a d e e=+，------5分 由d 不小于左顶点到左准线的距离且不大于右顶点到左准线的距离，即2222222112a a a a a e e ca d a e c c a a ae e c⎧≥-⎪⎪+-≤≤+⇒⇒≤<⎨⎪≤+⎪+⎩-----------------------------9分 11e ≤<时，符合条件的点M 存在， 当01e <<时，点M 不存在。
2020年浙江省高中数学竞赛试题及答案
2016年浙江省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共8小题，每小题6分，满分48分） 1.曲线()()2220x y a x y++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是（ ）． （A ） 0a = （B ）1a = （C ）1a =- （D ）a R ∈答案：（A ） 解 若0a =，则曲线()()2220x y a x y++-=表示曲线是三条交于原点的直线．反之，由于直线y x =和直线y x =-交于原点，所以曲线要为平面上交于一点的直线，则直线20x y a ++=过原点，即0.a =2.函数()234sin sin 2sin cos 22x x f x x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）．（A ）2π （B ）2π（C ）23π （D ）π答案：（C ）解 化简得，()sin32f x x =-+，则函数()f x 的最小正周期为.3π2 3.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点．若△12F F A 为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为（ ）．（A （B 1 （C （D 1 答案；(D)解 因为122AF AF a -=，要使△12F F A 为等腰直角三角形，则A 必在双曲线的左支上，且212AF F F =2c =，从而122AF a c =+，由勾股定理得()()()22222.a c c +=解得1.ca= 4.已知正三棱锥S -ABC ，底面边长为1，侧棱为2．若过直线AB 的截面，将正三棱锥 的体积分成两个相等的部分，则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为（ ）（A （B （C （D 答案：（D ）解：设截面与棱SC 交于D 点，由已知条件可知，点D 为棱SC 的中点．取AB 的中点E ，连接,,EC DE SE ，则DEC ∠为截面与底面所成二面角的平面角，设为θ．在△SEC中，2SE EC SC ===，所以中线DE =在△DEC 应用余弦定理得cos θ=5.已知,a b R ∈，函数().f x ax b =-若对任意[]1,1x ∈-，有()01f x ≤≤，则3122a b a b +++-的取值范围为（ ）（A ）1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （B ）4,05⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （C ）12,27⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ （D ）42,57⎡⎤-⎢⎥⎣⎦答案：（D ）解：由题设，()()011,011f f ≤≤≤-≤，即01,10.a b a b ≤-≤-≤+≤令u a b =+，c a b =-，则由此即知4312.5227a b a b ++-≤≤+- 6.已知向量,OA OB 垂直，且24.OA OB ==若[]0,1t ∈，则 的最小值为（ ）（A ） （B ）26 （C ） （D ）24 答案：（B ）解：用数形结合方法求解，作正方形OACB ，连对角线AB ，则向量t AB AO -等于向量OD （D 为对角线AB 上一点）．向量()5112BO t BA --等于向量DE （E 为OB 上一点，10EB =）．因为OD DC =，所以 由几何意义可知DE DC +的最小值为EC 的值，即等于26. 7.设集合()*,|,M x y x y N ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则集合M 的元素个数为（ ） （A ）0 （B ） 1 （C ） 2 （D ） 3答案：（B ） 解：由=得115=+，从而11152255x y =++这样.Q 同理，.Q 所以可设22*5,5,,.x a y b a b N ==∈因此，原式等价于111.3a b -=解得()(),2,6.a b =又(),a b 与(),x y 一一对应，则集合M 中元素的个数为1. 8.记[]x 为不超过x 的最大整数．若集合()[][]{},|1S x y x y x y =++-≤，则集合S所表示的平面区域的面积为（ ）． （A ）52 （B ）3 （C ）92（D ）4 答案：（A ）解：当01x y ≤+<时，[]0x y +=，所以[]1x y -≤，即12x y -≤-<； 当12x y ≤+<时，[]1x y +=，所以[]0x y -=，即01x y ≤-<； 当10x y -≤+<时，[]1x y +=-，所以[]0x y -=，即0 1.x y ≤-< 画出满足上述条件的区域，可知集合S 所表示的平面区域的面积为5.2二、填空题（本大题共7小题，12题9分，其余各题7分，满分51分）9.设()f x 是定义在R 上的奇函数．若对任意实数,x 有()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2f x x =，则(f = ．答案：36-解：由()()2f x f x +=-得()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 周期为4，因此 10.已知数列{}{},n n a b 满足：()*11111,2,,23,n n n n n a b a b b a b n N ++=-==-=-∈则20152016b b += ． 答案：201532.-⨯解：由题设递推关系，我们有 从而，()()21212nn n b b b b +++=-+，注意到211238b a b =-=-．我们有20152015201632.b b +=-⨯11.设a R ∈．方程2x a a --=恰有三个不同的根，则a = ． 答案：2.解：原方程可变形为2x a a -=±，要使方程恰好有三个不同的根，则2a =，此时方程恰好有三个不同的根1232,6,2x x x ===-，所以 2.a =12.已知两个底面重合的正四面体A -OBC 和D -OBC ，,M N 分别为△ADC 与△BDC 的重心．记,,OA a OB b OC c ===．若点P 满足,2.OP xa yb zc MP PN =++= 则实数x = ，y = ，z = ． 答案：245,,.999x y z =-== 解 设点A 在面OBC 上的投影为H ，则()()211,323OH OB OC b c =⨯+=+所以 又()()211925,329AM AD AC a b c =⨯+=-++所以()125.9OM OA AM b c =+=+ 同理，()1355.9a b c =-++由2MP PN =得，()12.3OP OM ON =+所以13.在△ABC 中，5,412B C ππ==，AC AC =的中点为D ．若长度为3的线段PQ （P在Q 的左侧）在直线BC 上滑动，则AP DQ +的最小值为 ．答案：2解：由已知得3A π=，由正弦定理，得 6.BC =过D 作直线DE 平行BC ，交AB 于E 点，则//DE BC ，注意到DE 为△ABC 的中位线，则3DE PQ ==，所以PQDE 为平行四边形，即有.DQ EP =这样问题就转化为在直线BC 上找一点，使AP EP +最小．作A 关于BC 的对称点A '，则()min .AP EP A E '+=注意到sin sin AC CAB B⋅==则14.若关于,x y 的方程组有实数解，则正实数m 的取值范围为 ． 答案：[]1,2．解：两式平分后相加，消去x ，得反之，当12m ≤≤时，也存在()00,x y 满足此方程．因此，正实数m 的取值范围为[]1,2. 15.已知,,a b c 为互不相等的整数，则()()22224a b c a b c ++-++的最小值为 ．答案：8. 解：()()()()()22222222224a b ca b c a b b c c a a b c ++-++=-+-+-+++，其最小值为8.三、解答题（本大题共3小题，16题15分，17，18题每题18分，满分51分） 16.设函数()()()22537,.f x x k ak x a k R =--++∈已知对于任意的[]0,2,k ∈若1,x2x 满足[]1,x k k a ∈+，[]22,4x k a k a ∈++，则()()12,f x f x ≥求正实数a 的最大值．解 由于二次函数()()22537f x x k ak x =--++的对称轴为2532k ak x -+=，故题设条件等价于对任意的[]0,2k ∈，均有 即对任意的[]0,2k ∈，均有 注意到当且仅当1k =时取等号，故2min23 4.1k k k ⎛⎫-+= ⎪+⎝⎭所以，正实数a的最大值为4.517.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点163,5P ⎛⎫⎪⎝⎭，离心率为35．过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ，交椭圆于,A B 两点，记,PA PB 的斜率为12,.k k （1）求椭圆的标准方程； （2）若120k k +=，求实数.k 解 （1）由题设条件，得所以椭圆方程为221.2516x y += （2）椭圆的右焦点坐标为()3,0. 若0k =时，()()5,0,5,0,A B -则1228,,55k k ==-此时120k k +≠．故0.k ≠ 直线l 的方程为()3.y k x =-和椭圆方程联立，并消去y ，得 设()()1122,,,A x y B x y ，则由韦达定理，得 注意到()()11223,3,y k x y k x =-=-可得18.给定数列{}n x ，证明：存在唯一分解n n n x y z =-，其中数列{}n y 非负，{}n z 单调不减，并且()100,0.n n n y z z z --==证 我们只需证明对任意的正整数n ，满足()110,0,0,0,0n n n n n n n n n x y z y z z y z z z --=-⎧⎪-=⎪⎨≥⎪⎪-≥=⎩ ① 的(),n n y z 存在且唯一．下面用数学归纳法证明之．（1）当1n =时，()110110y z z y z -==，这样有1110,y z x ==-或者111,0.y x z == 若10,x ≥则111,0y x z ==．若10x <，则1110,y z x ==-．此时命题成立． （2）假设当()1n k k =≥时，命题成立，则当1n k =+时，①等价于 这样有()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+或111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=进一步 若10k k x z ++≥，则111,0.k k k k k y x z z z +++=+-=即111,.k k k k k y x z z z +++=+= 若10k k x z ++<，则()1110,k k k k k y z z x z +++=-=-+，即1110,.k k k y z x +++==- 故当1n k =+时，命题成立．（3）由数学归纳法可知，对任意的正整数n ，命题均成立．从而原命题得证． 四、附加题（本大题共2小题，每题25分，满分50分）19.设集合{}*|2,0,1,6.A x N x =∈的十进制表示中数码不含证明：13.x Ax ∈<∑ （注：1x Ax ∈∑表示集合A 中的所有元素的倒数之和）证 在k 位正整数中，各位上的数码不含数字2,0,1,6的共有6k个，其中首位数字为3,4,5,7,8,9的各有16k -个，所以，所有不含数字2,0,1,6的k 位数的倒数和小于所以，20.设正整数2n ≥，对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，左右端点中的三个结点已经染好色，如图所示．若对剩余的23n -个结点，要求每个结点恰染一种颜色，相邻结点异色，求不同的染色方法数．解 对2n ⨯格点链中的2n 个结点用红()R 、黄()Y 、蓝()B 三种颜色染色，其中左端点染红色与黄色，设右端点染色为,P Q 如下图所示．记P R =（或Y ），Q B =时的着色数目为n a ；记,P B =Q R =（或Y ）时的者色数目为n b ； 我们注意到：（1）若右端没有约束时，每增加一个格子都有3种不同的着色方法，则（2）由对称性，即将图形上下翻转，并且颜色R和Y互换，可知（3）考虑相互的递推特征，则由上三式知，即为问题所求的不同的染色方法数．。
浙江省高二上学期苍南县、龙港市“姜立夫杯”竞赛数学试卷含答案
2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.已知集合{}2|1A x y x ==-，集合{}2|1B y y x ==-，则A B =（）A ．φB ．{}|1x x ≥C ．{}|0x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．函数x a x x f cos sin )(+=的图象关于直线6π=x 对称，则实数a 的值是（ ）A ．21B ．2C ．23D ．33．设3log 2a =，5log 2b =，1()3c π-=，则（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．如图，已知正四面体A BCD -中，E 为棱CD 的中点，F 为棱BC 上的动点，则cos EAF ∠的最大值为（） A ．23B ．63C ．73D ．335．已知函数()||f x x x =，若存在[)1,x ∈+∞，使得(2)0f x k k --<，则k 的取值范围是（）A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．1(,)2+∞D ．1(,)4+∞6．在面积为2的ABC ∆中，,E F 分别是,AB AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2PC PB BC +的最小值是（）A ．1B ．2C ．23D ．437．如图，圆C 与x 轴相切于点T （1，0），与y 轴正半轴交于两点A ，B （B 在A 的上方），且|AB |＝4．三角形AMN ∆的另外两个顶点,M N 恰好在圆O ：x 2+y 2＝1上，则||||||||NA MB NB MA +的值为（ ） A ．25B ．52-C ．52+D ．2558．设[]x 为不超过x 的最大整数，n a 为[][)(0,)x x x n ⎡⎤∈⎣⎦可能取到所有值的个数，n S 是数列121n a n ⎧⎫⎨⎬++⎩⎭前n 项的和，则下列四个结论中正确的个数为（ ）① 2020是数列{}n a 中的项 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．已知函数212()log (45)f x x x =--，则函数()f x 的单调递减区间为_____________.10．已知(3,4),(1,2)a b ==-，则|2|a b +=___________.11．对任意的实数,a b ，直线()()(22)0a b x b a y a b ++-++=恒经过的一个定点的坐标是___________.12．已知函数()2221f x x ax a =-+-，若关于x 的不等式()()0f f x <的解集为空集，则实数a 的取值范围是．13．已知实数,,a b c 满足2a b c ++=，2224a b c ++=，且a b c >>，则a 的取值范围是_____________.14．定义()S n 为正整数n 的各位数字之和，例如(2020)20204S =+++=，当10009999n ≤≤时，()nS n 的最小值为___________. 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1) 求函数)(x f 的最小正周期；(2) 求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1) 当2b =时，求实数a 的值；(2) 记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17．已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，， 记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1) 求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2) 证明：11.n nS a <- 2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________10.________________11.________________ 12.________________ 13.________________ 14.________________三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.17.已知11111211,1,,14n n n n n n n n nb a b a a b bc b a b +++==-===+-，， 记n S 为数列{}n c 的前n 项和. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)证明：11.n nS a <- 2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.___()5,+∞_______10.____11.___()2,0-______ 12.____(],2-∞-____13._____4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭____ 14.______109919__________ 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知函数x x x x f cos sin sin 3)(2⋅+=.(1)求函数)(x f 的最小正周期；(2)求函数)(x f 在],0[π的单调递增区间和最大值.16．已知实数0a >，关于x 的方程2|1|x ax bx -+=恰有三个不同的实数根123,,x x x .且123x x x <<；(1)当2b =时，求实数a 的值；(2)记函数2()|1|f x x ax bx =-++，证明：132()()2()f x f x f x +>.解：1(1)0,||2x x a x>+-=由题意知，恰有三个不同实数根， 12x a x ∴+-=有两个不同实数根，12x a x +-=-恰有一个实数根，4a ∴=211111(2)|1|,()2,x ax bx f x bx -+=∴=同理，2233()2,()2,f x bx f x bx ==要证明132()()2()f x f x f x +>，只要证：1322x x x +>，由题意知：20,0,00,10b x x a x ax <<<>∴-+>若则而当时，21x ax bx -+=不存在三个实数根，0b ∴> 2x 是方程21x ax bx -+=-的唯一实数根，22()40,2,21a b a b a b x ∴∆=--=∴=+=-∴=（舍去）13,x x 是方程21x ax bx -+=的两个不等实根，131x x ∴=1322x x x ∴+>=，132()()2()f x f x f x ∴+>成立。
2019-2020年高二数学竞赛试卷含答案.doc
2019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案一二三合计题号（ 11）（12）（ 13）（14）（ 15）得分评卷员A．B．C．D．2.C.考虑对立事件： a 与 b， c 与 d， e 与 f 为正方体的对面，ab 有种填法， cd 有种填法， ef 有 2 种填法 ,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为：.3．定义两种运算：，，则函数为（）（A）奇函数（ B）偶函数（C）奇函数且为偶函数（ D）非奇函数且非偶函数3．A．f ( x) 22 x 22 | 2 22 x2 22 x2 ( x [ 2,2]) .(2 x) 2 x | 2 x4．圆周上按顺时针方向标有1， 2， 3， 4， 5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经xx 次跳动，最终停在的点为( ▲)A． 4 B． 3 C． 2 D．14． D．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5.已知方程 x2+(4+i)x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数z=..由题意知b2+(4+i)b+4+ai=0(a,bR),即 b2+4b+4+(a+b)i=0.由复数相等可得：即z=2-2i.6．在直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为.6．(0,5). 方程 m(x2 +y2+2y+1)=(x-2y+3)2可以变形为 m=,即得 ,∴5 x2( y 1) 2x,y)到定点（ 0,-1)与定直线 x-2y+3=0 之比为常数 e=, m | x 2y 3 |其表示双曲线上一点（5又由 e>1,可得 0<m<5.7．直线 ax+by-1=0(a,b 不全为 0),与圆 x2+y2 =50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有条 .7. 72.如图所示，在第一象限内，圆x2+y2=50 上的整点有（ 1， 7）、（5， 5）、（ 7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C=66 条直线，过12 个点的切线也有12 条，又直线ax+by-1=0(a,b 不全为 0）不过坐标原点，故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有66+12-6=72 条 .17．如图的三角形数阵中，满足：（1）第1行的数为1；（ 2）第 n（ n≥ 2)行首尾两数均为n，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第n 行 (n≥ 2)中第 2 个数是 ____▲ ____（用 n 表示） .12 234 3477 45111411 5616252516 6L L L17.8．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m· n 是.8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为r1与 r2,再设六面体中的正三棱锥A—BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a,h 2=a.∵V 正六面体 =2· h 1· S △ BCD =6· r 1· S △ ABC ，∴ r 1=h 1=a.又∵ V 正八面体 =2· h 2· S 正方形 NPQR =8· r 2· S △ MNP ，∴ a 3=2r 2a 2,r 2=a,r 16 a2 2于是9是最简分数，即 m=2,n=3,∴ m · n=6.r 2,36 a 369．若的两条中线的长度分别为 6， 7，则面积的最大值为 ..如图， D,E,F 是各边的中点，延长BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得 DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且AGAG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形 .F E故 CF=EH,AD=EH.故△ EGH 的三边 EH 、 EG 、 EH 分别是△ ABC 的三边的中线AD 、 BE 、 CF ，即、、 .由共边定理知 , S ABC2SBCE2 2 S BEH 4S EGH3 3.BDCH10．已知是定义（ -3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是.10．.由已知在 (0,3)图像我们可以得到在（－3， 3）上的整体图像，加上正弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是 .三、解答题：本大题共5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分）已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F x f x f ' x f 2x 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）若，求的值 .11．（ Ⅰ ） ∵2 分∴ F xf x f ' xf 2 xcos 2 x sin 2 x 1 2sin xcos x1cos 2x sin 2x 1 2 sin(2 x)6 分4∴当 2x 2k2 x k k Z 时，4 8最小正周期为8 分（Ⅱ ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2cos x 2sin x∴ cos x 3sin x111 分tan x31 sin2 x 2sin 2 x cos2 x∴sin x cos x cos2 x sin x cos x cos2 x2tan2 x 1 1111915 分1 tan x2 6312．（本小题满分15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由．解： (1) 设 BA BC BD a, BB1 b.ab 1 a2 2 2 1a 2由条件 2 （分）1 b . 32 1 2a2以点 B为原点，分别以 BC、 BB1、 BA为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系, 则A(0,0, 2), C( 2,0,0), D(0, 2,0), B1(0,2,0), C1 ( 2,2,0), A1(0,2, 2)(5分）Q ACD的重心 G 2 2 2,3,.3 3r uuur 2 a BG=3 uuurCA1 ( 2, 2, ,2,2为平面 ACD 的法向量 .(7 分）3 3r uuur2 2632), 则 cos a, CA16(9分）2 2 63所求角的正弦值为6.(10分）uuur uuuur 6(2)令 AP mAC 1 2m, 2m, 2m（11分）uuur uuur uuur r B1P B1 A AP 2m, 2m 2, 22ma.2m232m 22 无解（ 14分）322m23不存在满足条件的点 P ．（ 15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点， 左顶点， 离心率， 为右焦点， 过焦点的直线交椭圆于、 两点（不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由．13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a>b>0) ，由已知∴-----------------------------------------2 分 ∴ 椭圆方程为． ------------------------------------------------- 4 分（Ⅱ）解法一 椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）．----------------------------------5 分x my 1,得 3m 24 y 2由 x 2y 2 1,6my 9 0 ．①-----------6 分43显然，方程①的．设，则有 y 1y 2 6m , y 1 y 2 9． ----8 分3m 243m 24PQm 2 1 y 1 y 2 2m 2 136m 223643m 2 43m 2m 2 1 2m 2 1 ．12123m 2 4 23m 2 4∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或．---------- 12 分解法二：椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意．设直线方程为，-------------------------------------- 5分由得 3 4k 2 x2 8k 2 x 4k 2 12 0 ．①----6 分显然，方程①的．设，则 x1 x28k22, x1 x24k 2 12-------83 4k 3 4k 2．分8k 222 12PQ 1 k 2 x1 2 4x1 x2 1 k 2 4kx23 4k 2 44k 2 3k2 212 k 2=12 1 2 1 ．4k 2 3 4k2 3∵，∴，解得．∴直线的方程为，即或．--------12 分（Ⅲ）不可能是等边三角形．------------------------------------------------13 分如果是等边三角形，必有，∴ x1 2 2 y12 x2 2 2 y22，∴ x1 x2 4 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ，∴ m y1 y2 6 m y1 y2 y1 y2 y1 y2 0 ，------------------------------16 分∵，∴，∴，∴，或（无解）．而当时， PQ 3, AP AQ 3 52，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形．------------------------------------------------------------ 20分14．设抛物线的焦点为F，动点P 在直线上运动，过P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于A、B 两点 .（1）求△ APB 的重心 G 的轨迹方程 .（ 2）证明∠ PFA=∠ PFB.14．解：（ 1）设切点 A 、 B 坐标分别为，∴切线 AP 的方程为：切线 BP 的方程为：解得 P 点的坐标为：所以△ APB 的重心 G 的坐标为 ，y 0 y 1 y Px 02 x 12x 0 x 1( x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 2 y p,y G3333所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：x ( 3 y 4x 2) 2 0,即 y1(4x 2x 2).uuur3uuuruuur（ 2）方法( x 0 , x 0 21 x 0 x 1 , x 0 x 11 21 1：因为 FA 4 ), FP ( ), FB (x 1, x 1 ).2 44 由于 P 点在抛物线外，则uuur uuurx 0 FP FA∴ cos AFP uuur uuur| FP || FA |uuur uuurFP FB 同理有 cos BFP uuur uuur| FP || FB |x 1 x 0 (x 0 x 1 1)( x 02 1) x 0 x 1 12 4 4 uuur 4 , uuur 1) 2 | FP || FP | x 02( x 0 2 x 0 x 1 4 x 1 ( x 0 x 1 1 21 ) x 0 x 1 1 )( x 1 4 , 2 uuur 4 4uuur ( x 12 1 ) 2 | FP | | FP | x 124∴∠ AFP=∠PFB.方法 2：①当 x 1 x 00时,由于 x 1 x 0 ,不妨设 x 0 直线 AF 的距离为： d 1| x 1 |; 而直线 BF 的方程2即 ( x 121)x x 1 y1x 1 0.441) x 1| ( x 12所以 P 点到直线 BF 的距离为： d 24 21 )2(x 124所以 d 1=d 2，即得∠ AFP=∠PFB.0, 则 y 01: y4x1 |4(x 1) 20, 所以 P 点坐标为，则 P 点到21x 1x 121 | x 1 |(x 1)| x 1 | 42 21 2 x 1421②当时，直线 AF 的方程： y1x 04( x 0),即( x 021) x x 0 y 1x 0 0,x 04 0 4421直线 BF 的方程： y1x 14(x0),即(x 121) x x 1 y1x 10,4 x 1 04 4所以 P 点到直 AF 的距离 ：| ( x 021)(x 0 x 1) x 0 2x 11x 0 | |x 0x 1)( x 02 1)| x 0 x 1 |4 2424d 11 )2212( x 02x 02x 044同理可得到 P 点到直 BF 的距离，因此由 d 1=d 2 ，可得到∠ AFP=∠ PFB ．14．（本小 分20 分）x=l 是函数的一个极 点（， 自然 数的底） ．（ 1）求与的关系式（用表示） ，并求的 区 ；（ 2）若在 区 上的最小 0，最大 , 且。
苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期 数学竞赛试卷(含答案)
苍南县“姜立夫杯”2018年高二上学期数学竞赛试卷满分100分,时间120分钟.一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.若集合{0}A x x =≥，且A B B ⋂=，则集合B 可能是（ ） A.{}1,2 B.{1}x x ≤ C.{1,0,1}- D.R2.若对任意实数x 都有x x x f x f sin cos 3)(2)(-=-+，则函数()y f x =的图象的对称轴方程为（ ） A ．Z k k x ∈+=,4ππ B ．Z k k x ∈-=,4ππ C ． Z k k x ∈+=,8ππ D ．Z k k x ∈-=,6ππ3.一个水平放置的一个的正三棱锥,其底面是边长为6的正三角形、侧棱长均为5， 其主视图，俯视图如图所示，则其侧视图（ ）A.形状是等腰三角形，面积为133B.形状是等腰三角形，面积为2393 C.不是等腰三角形，面积为 133 D.不是等腰三角形，面积为2393 4.已知在△ABC 中，∠ACB=，AB=2BC ，现将△ABC 绕BC 所在直线旋转到△PBC ，设二面角P ﹣BC ﹣A 大小为θ，PB 与平面ABC 所成角为α，PC 与平面PAB 所成角为β，若0＜θ＜π，则α、sin β的范围分别是（ ）)33,0(],3,0(.πA ]33,0(],3,0(.πB)21,0(],3,0(.πC 1.(0,],(0,)62D π 5.202,()342x f x x x x ≤≤=+-函数的最大值是（ ）A. 5B. 6C.7D.86.已知点()1,1A --．若曲线T 上存在两点,B C ，使ABC ∆为正三角形，则称T 为“正三角形”曲线．给定下列三条曲线：①222x y +=；②()3003x y x +-=≤≤；③1(0)y x x=->．其中，“正三角形”曲线的个数是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 37.如图，圆C 分别与x 轴、y 轴正半轴相切于A 、B ，过劣弧AB 上一点T 作圆C 的切线，分别交x 轴、y 轴正半轴于M 、N 两点，若点Q （2,1）是 切线上一点，则∆MON 周长的最小值为（ ） A ． 8 B ． 10 C ． 12 D ． 548.已知平面向量a ，b ，|a |=1,|b |=2， e 为平面单位向量且|a ·e |+|b ·e |的最大值为7，则下列结论成立的是（ ）A ．|a +b |=|a -b | B.b ·(a -b )=0 C. a ·(a -b )=0 D. min ,||3t R b ta ∈-= 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.） 9. 在ABC △中，2a =，3b =，4c =，则sin 2sin AC= ▲ ． 10. 设{}n a 的公比为q 的等比数列,其前n 项和为n S ,且32420192018,S S S =+ 则q = ▲11. 432(1)0[0,)x x x a x a x -+-++≥∈+∞对恒成立，则a= ▲12.2()3,|(())0}|()0},xf x x ax b x f f x x f x a b φ=++⋅===≠+函数若{{则取值范围是 ▲13.在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥,32,2,AB BC PA PB ===当三棱锥ABC P -体积取最大时，锐二面角P-AC-B 的大小=θθtan ,则 ▲ ．14. 22224560,24x y x y xy x y x y x y +--++=+-+、是实数，则的取值范围是 ▲三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a y kx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点， 其中C 为圆心，=2a (1)若, 125CM CN ⋅=-, 求k 的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：1211121119n n a a a +++>-+++参考答案一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.8710. 12018 11.214. ]3,313[-- 三、解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15．已知圆22-(2)40)2x a y a a ykx +-=>=+C:（）（与直线交于M 、N 两点 其中C 为圆心，=2a (1)若,125CM CN ⋅=-, 求k的值; =1,k (2)若当CMN ∆面积取最大时，求a 的值.解析：(1) 125CM CN ⋅=-得3cos ,5MCN ∠=- ……2分……2分 1=22k =或 ……1分（其他方法酌情给分）(2)设圆心到直线的距离为d ,S ==……2分当CMN ∆面积取最大时d ……2=4a = ……1分（其他方法酌情给分）16. 已知函数()2f x x ax b =++.(1) 0a ≠且1b =,求()y f x =在区间0,a ⎡⎤⎣⎦上的最大值； (2) 若,a b Z ∈，且()a b f x +是的零点，求所有可能b 的值.解析：（1）当a>0时，()222max 1[1,21],|()|21f x x ax a f x a =++∈+=+ ……2分当a<0时, ()222max 4-4-1[,1],|()|max ||,144a a f x x ax f x ⎧⎫=++∈=⎨⎬⎩⎭……2分=2441,0a a -≤-<⎧⎪⎨⎪⎩，a ……1分（2）()()()20f a b a b a a b b +=++++=得22230a ab b b +++= ……1分2=b -8b ∆必为完全平方数 ……1分2222=b -8b=,()16m N m ∆∈-=令m 得(b-4){{{{42444-44-848444-44-2b m b m b m b m b m b m b m b m --=--=--=--=-+=-+=-+=-+=或或或所有可能b 的值为9、8、-1、0 ……3分17. 已知{a n }满足，++∈+==N n a a a a n n n ,144,812211 （1)证明：;811≤<+n n a a （2）证明：9211111121->++++++n a a a n 解析：（1）0>n a 易得=-+n n a a 1014)12(141441442223222≤+--=+--=-+n n n n n n n n n a a a a a a a a a ……2分∴≤≤∴+,811n n a a 014)12(22<+--n n n a a a ;811≤<∴+n n a a ……2分 （用nnn n n n a a a a a a 14114421+=+=+同样给分）（2）284414422221+=+≤+=+n nn n n n n n a a a a a a a a ……2分 12211+=+≥+n n n n a a a a ,)11(2111+≥++nn a a 111292)11(11--⋅=⋅+≥+n n n a a ,1)21(911-⋅≤+n n n a a ……3分 =+11n a 1)21(91111-⋅-≥+-n n n a a ……2分 92])21()21(211[911111111221->+++-≥++++++-n n a a a n n …1分。
年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷
年苍南县“姜立夫杯”高中数学竞赛高一试卷一、选择题（每题5分，共40分）1、三元实数集A=},,{y x xy x +，B=},||,0{y x ，且A=B ，则20062006xy +=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、－12、若某等差数列{a n }中，1662a a a ++是一个确定的常数，则其前n 项和S n 中也为确定的常数的是( ）A 、 15SB 、 14SC 、 8SD 、7S 3、设函数121(1)()lg (1)x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，若1)(0>x f ，则x 0的取值范围是（ ） A 、（0，10） B 、（－1，+∞） C 、（－∞，－2） D 、（－∞，0）∪（10，+∞）4、等差数列}{n a 的前n 项和为S n ，且3184=S S ，则=168S S （ ） A 、81 B 、31 C 、91 D 、103 5、已知集合{|1284,,,}P u u m n l m n l Z ==++∈，集合{|201612,,,}Q u u p q r p q r Z ==++∈，则P 与Q 的关系为（ ）A 、P =QB 、P ∩Q =φC 、 P ∪Q =RD 、P ∪Q =Z6、数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4……，则这个数列的第个数是（ ）A 、62B 、63C 、64D 、657、已知函数f(x)是R 上的减函数，A （0，－2），B （－3，2）是其图象上的两点，则不等式|f(x+2)|>2的解集是（ ）A 、（－1，2）B 、（－∞，－1）∪（2，+∞）C 、（－∞，－5）∪（－2，+∞）D 、（－∞，－3）∪（0，+∞）8、某火车站在节日期间的某个时刻候车旅客达到高峰，此时旅客还在按一定的流量到达。
如果只打开3个检票口，需要30分钟才能使所有滞留旅客通过检票口。
如果打开6个检票口，只需要10分钟就能让所有滞留旅客通过。
最新-2018年度苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试题 精
2018年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高 二 试 题命题人：薛祖坚一、选择题（每小题5分，共40分）1、动点P 在抛物线26y x =-上运动,定点(0,1)A ，线段PA 中点的轨迹方程是( )．A 、2(21)12y x +=-B 、2(21)12y x +=C 、2(21)12y x -=-D 、2(21)12y x -=2、实数x 、y 满足不等式组010,1220y y x y x x y ω≥⎧-⎪-≥=⎨+⎪--≥⎩，则有( )A 、113ω-≤≤B 、1123ω-≤≤C 、12ω≥-D 、112ω-≤<3、直线y x m =+与抛物线22x y =交于A 、B 两点，O 为坐标原点，且0OA OB ⋅= ，则m 的值等于( )A 、1B 、－1C 、2D 、－24、在圆22(3)(5)2x y -+-=的切线中，在两坐标轴上截距绝对值相等的直线共有（ ）A 、4条B 、5条C 、6条D 、8条 5、方程(1)(1)1(0)x y x +-=≠表示的曲线关于（ ）对称.A 、y x =B 、2y x =+C 、y x =-D 、(1,1)-6、平面直角坐标系中,横、纵坐标都是整数的点称为整点。
那么满足不等式22(||1)(||1)2x y -+-<的整点(,)x y 的个数为( )个.A 、16B 、17C 、18D 、257、已知()(2005)(2006)f x x x =-+的图象与x 轴、y 轴有3个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（ ） A 、(0,1) B 、(0,2) C、 D、 8、设,,x y z 都是正数，则2222xy yzx y z +++的最大值为（ ）A 、1B 、2 C、2 D、59、不论,a b 为何值，直线0ax by a b +-+=过定点______________________. 10、若函数()f x 满足()()(),f a b f a f b +=且(1)1f =,则(2)(3)(2005)(1)(2)(2004)f f f f f f +++的值等于__________________.11、若P 是双曲线2213x y -=的右支上的动点，F 是双曲线的右焦点，已知(3,1)A ，则||||PA PF +的最小值是_____________________________. 12、正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11()2n n nS a a =+，则该数列的通项公式n a =__________ 13、方程221(1)cos2202x x x x--++--=的解为____________________. 14、如果关于x 的不等式|||||1|x a x x -<++的解集为一切实数，那么实数a 的取值范围是_____________________答题卷一、选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分）9、_________________ 10、__________________ 11、____________________12、________________ 13、__________________ 14、____________________15、已知过点(1,1)A 且斜率为(0)m m ->的直线l 与,x y 轴分别交于点,P Q ，过,P Q 作直线20x y +=的垂线，垂足为,R S . 求四边形PRSQ 面积的最小值。
2020年浙江苍南县“姜立夫杯”高一数学试题答案
题号
6
7
8
答案
BCD
AC
AC
三、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 6 分，满分 36 分. 请将正确的答案填在横线上）
9.15
10.（ 1 ， ）
11. 2027
2
12. 256 225
13. ( 7 33 ,1) ( 7 33 , 1 ) 14. 4 2 9
8
84
7
四、解答题（本大题共 3 小题，第 15 题 10 分,第 16、17 题各 11 分.满分 32 分要求写
x2
x
2，
∴ f x x 1 x2 1 x2 x 1 1，……11 分
2
2
综上所述， a b2 的最小值为 1.
【其他方法，酌情给分】
3
③当 b2 1， 0 a 1时，
由 f 1 1 a 1 b2 1 a 1 b2 a b2 恒成立，则 a b2 1，……9 分
④当 a b2 1 时，对一切 x 0,1 时 f x ≤1恒成立，
2
当a
b2
1 2
时，
f
x
x1 2
x2
1 2
，∵ x 0,1 ，∴ 0
1 e0.5t2.5 ……5 分
e 设 0.5t2
u ，则 u
0, e2 ，
f
t
f
t 1
6 e0.5 1 u
1 u 1 e0.5u
.
令
g u
1 u
u 1 e0.5u
g u
1
，则
e0.5u 1 e0.5
1.
u
上式当且仅当 e0.5u 1 时， g u 取得最大值
20192020年高二数学竞赛试卷含答案
跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一
个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经 xx 次跳动，最终停在的点为 （ ▲ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
4．D．
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．
5.已知方程 x2+（4+i）x+4+ai=0(aR)有实根 b,且 z=a+bi，则复数 z=
(Ⅱ)若，求的值.
11．（Ⅰ）∵
2分Leabharlann ∴ F x f x f 'x f 2 x
cos2 x sin2 x 1 2sin x cos x
1 cos 2x sin 2x 1 2 sin(2x ) 4
∴当 2x 2k x k k Z 时，
4
2
8
最小正周期为
(Ⅱ）∵ f x 2 f ' x sin x cos x 2 cos x 2sin x
共有种填法,所以符合题意的概率为:
.
3．定义两种运算：，，则函数为( ）
(A）奇函数
（B）偶函数
（C）奇函数且为偶函数
(D）非奇函数且非偶函数
3．A． f (x) 22 x2 22 x2 22 x2 (x [2, 2]) 。
(2 x)2 2 | 2 x | 2
x
4．圆周上按顺时针方向标有 1,2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点
如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、
从左向右的侧视图的面积分别为，，．
（Ⅰ)求直线与平面所成角的正弦；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在,确定点的位置;若不存在，说明理由．
2021年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛
2021年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷候选人须知：本卷共有17道题目，全卷满分100分，考试时间120分钟.在回答问题之前，请务必在试卷和答题纸的密封线上填写您的学校、姓名和录取卡号。
本卷中的所有试题必须用蓝色或黑色钢笔写在答题纸上。
试卷上的答案无效。
本卷中的所有答案都不允许使用计算器一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案）1．已知：a,b为实数，则“a＞b”是“（a）充分和不必要条件（b）必要和不充分条件（c）必要和充分条件（d）既不充分也不必要条件2．f(x)是定义在r上的奇函数，对任意x?r总有f(x?)??f(x)，则f(?)的值为（）a．0b．7c．2022007277D。
-2203.79？cos41？2.cos79？cos41？cos120的值是（）a1113b．c．d．43244．经过点p（-1，1）引直线l交两坐标轴于a、b，且?aob的面积为3（o为原点），若这样的直线l共有n条，则n=（）a、 1b.2c.3d.45．某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与在俯视图中，该边的投影分别是长度为a和B的线段，然后是a？B的最大值为（）a．25b．4c．23d．226．函数y?x?7?24?3x的值域为（）a、 [1,2]b[0,2]c[1,3]d.0,37．把一根长度为6的铁丝截成任意长度的3段，则能构成三角形的概率为（）a．1134b。
公元42458年。
已知：集合M={1,2,3}，n={1,2,3,4}，定义函数f:M？n、如果点a（1，f（1）），B（2，f（2）），C（3），→→f(3)），?abc的外接圆圆心d，且da+dc=?→db（??r），则满足条件的函数f(x)有（）a、 6 B.10 c.12 d.14二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分，请将正确的答案填在横线上）9.已知：？ABC的三个顶点的坐标是a（-2,1），B（6,1），C（-2,16），然后呢？ABC的内切圆方程为。
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22 - x 2 5 mx 2 + ( y +1)252019-2020 年高二数学竞赛试卷含答案题 号三（11） （12） （13） （14）（15）得 分 评卷员A ．B ．C ．D ．2. C .考虑对立事件：a 与b ，c 与d ，e 与f 为正方体的对面， ab 有种填法，cd 有种填法，ef 有 2 种填法,而整体填法共有种填法，所以符合题意的概率为： .3. 定义两种运算：，，则函数为（）（A ）奇函数（B ）偶函数（C ）奇函数且为偶函数（D ）非奇函数且非偶函数3.A.f (x ) = = = - | 2 - x | -2(x ∈[-2,2]) . x4. 圆周上按顺时针方向标有 1，2，3，4，5 五个点，一只青蛙按顺时针方向绕圆从一个点跳到另一点．若起跳点为奇数，则落点与起跳点相邻；若起跳点为偶数，则落点与起跳相隔一个点．该青蛙从 5 这点开始起跳，经 xx 次跳动，最终停在的点为 ( ▲ )A ．4B ．3C ．2D ．14．D ．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分．把答案填在题中横线上．5. 已知方程 x 2+(4+i)x +4+a i=0(a R )有实根 b ,且 z =a +b i ，则复数 z= .5.2-2i.由题意知 b 2+(4+i)b +4+a i=0(a ,b R ),即 b 2+4b +4+(a +b )i=0.由复数相等可得： 即 z=2-2i.6. 在直角坐标系中，若方程 m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2 表示的曲线是双曲线，则 m 的取值范围为 .6．(0,5).方程 m (x 2+y 2+2y +1)=(x -2y +3)2 可以变形为 m =,即得,∴ =| x - 2 y + 3 | 其表示双曲线上一点（x ,y )到定点（0,-1)与定直线 x -2y +3=0 之比为常数 e =,又由 e >1,可得 0<m <5.7. 直线 ax +by -1=0(a ,b 不全为 0),与圆 x 2+y 2=50 有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线有 条.7. 72.如图所示，在第一象限内，圆 x 2+y 2=50 上的整点有（1，7）、（5，5）、（7，1），则在各个象限内圆上的整点的个数共有 12 个，此 12 个点任意两点相连可得 C =66 条直线，过 12 个点的切线也有 12 条，又直线 ax +by -1=0(a ,b 不全为 0）不过坐标原点， 故其中有 6 条过原点的直线不合要求，符合条件的直线共有 66+12-6=72 条.(2 - x )2- 2 22 - x 222 - x 2F EA2 417．如图的三角形数阵中，满足：（1）第 1 行的数为 1；（2）第 n （n≥2)行首尾两数均为 n ，其余的数都等于它肩上的两个数相加．则第 n 行(n≥2)中第 2 个数是▲ （用 n 表17.示）.1 2 23 434 7745 1114115 616 2525 16 68．一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为 a 的正三角形，这样的两个多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么积 m ·n 是 .8. 6.解：设六面体与八面体的内切球半径分别为 r 1 与 r 2,再设六面体中的正三棱锥 A —BCD的高为 h 1,八面体中的正四棱锥 M —NPQR 的高为 h 2,如图所示，则 h 1=a ,h 2=a .∵V 正六面体=2·h 1·S △BCD =6·r 1·S △ABC ，∴r 1=h 1=a .又∵V 正八面体=2·h 2·S 正方形NPQR =8·r 2·S △MNP ，∴a 3=2r 2a 2,r 2=a ,r6 a 2 2于是 1 = 9 = , 是最简分数，即 m =2,n =3,∴m ·n =6.r 2 6a 3 3 69. 若的两条中线的长度分别为 6，7，则面积的最大值为.9.28.如图，D,E,F 是各边的中点，延长 BE 至 G ，使得 BE=BG ，延长 BC 至 H ，使得DC=CH ，连接 AG,EH,则 CH=EF=AG=DH,且 AG||DH ，则四边形 EFCH 和 ADHG 是平行四边形.G故 CF=EH,AD=EH.故△EGH 的三边 EH 、EG 、EH 分别是△ABC 的三边的中线 AD 、BE 、CF ，即、、.由共边定理知, S ∆ABC = 2S ∆BCE = 2⨯ .3 S ∆BEH = 3 BD CH∆EGH10. 已知是定义（-3,3）在上的偶函数，当 0<x<3 时，的图象如图所示，那么不等式的解集是 .10．.由已知在(0,3)图像我们可以得到在（－3，3）上的整体图像，加上正S22 3 2 ⎨3 ⎪弦函数的图像性质由数形结合思想可得到其解集是.三、解答题：本大题共 5 小题，共 90 分．要求写出解答过程．11．（本小题满分 15 分） 已知函数，是的导函数．（Ⅰ）求函数 F (x )= （Ⅱ）若，求的值. f (x ) f '(x )+ f 2 (x )的最大值和最小正周期； 11．（Ⅰ）∵2 分∴ F (x )= f (x ) f '(x )+ f 2 (x )= cos 2 x - sin 2 x +1+ 2sin x cos x=1+ cos 2x + sin 2x =1+ 2 sin(2x + )6 分4∴当2x + = 2k + ⇒ x = k + (k ∈ Z )时，4 2 8最小正周期为8 分 （Ⅱ）∵ f (x )= 2 f '(x )⇒ sin x + cos x = 2cos x - 2sin x ∴ cos x = 3sin x ⇒ tan x = 1311 分1+ sin 2 x ∴ = cos 2 x - sin x cos x 112sin 2 x + cos 2x cos 2 x - sin x cos x= 2 tan 2 x +1 =9 1- tan x2 3= 11 15 分6 12．（本小题满分 15 分）如右放置在水平面上的组合体由直三棱柱与正三棱锥组成，其中，．它的正视图、俯视图、从左向右的侧视图的面积分别为，，．（Ⅰ）求直线与平面所成角的正弦；（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面．若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 解：( 1) 设BA = BC = BD = a , BB 1 = b .⎧ab + 1 a 2 = 2 +1 ⎪ 2 ⎪a = 由条件（分） ⎪1 a 2 =1⎩ 2⇒ ⎨ . 3 ⎩b = 2以点为原点，分别以、B 、C 为B 轴B 1、轴B A 、轴x 建立y 空间直z 角坐标系, 则A (0,0, C ( 2,0,0), D (0, - 2,0),B 1(0, 2,0),C 1( 2, 2,0), A 1(0, 2, 2)(5分）⎛ 2 2 2 ⎫∆ACD 的重心G , - ⎝ , . 3 ⎭∴ ⎛ 2 2 ⎫ a = BG = 3 , - , ⎪为平面的C 法D 向量. ( 7分） ⎝ 3 3 ⎭2),6 2 2 ⎨ - 2 2 CA = (- 2, 2, 2),则分co ）s a , C A =3 = (9 1 1 6 63∴所求角的正弦值为分6）.(10(2) 6令（A P 分 =）m AC 1 = ( 2m , 2m , - 2m )11 B 1P = B 1A + AP = ( 2m , 2m - 2, - 2m )= a .⎧ 2m =2⎪⎪∴ 2m - 2 = -⎪ 2∴无解（1分4 ） 3 ⎪ 2⎪ - 2m = ⎪3 ∴不存在满足条件的点P ． （15 分）13．（本小题满分 20 分）已知椭圆的中心在坐标原点，左顶点，离心率，为右焦点，过焦点的直线交椭圆于、两点 （不同于点）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当时，求直线 PQ 的方程；（Ⅲ）判断能否成为等边三角形，并说明理由． 13．解：（Ⅰ）设椭圆方程为 (a >b >0) ， 由已知∴2 分∴ 椭圆方程为． 4 分（Ⅱ）解法一椭圆右焦点．设直线方程为（∈R ）． 5 分⎧x = my +1,由⎪ 22得(3m 2 + 4)y 2 + 6my - 9 = 0 ．① ------------------------------- 6 分⎨ x y ⎩ 4 + 3= 1,显然，方程①的． 6m 9设，则有 y 1 + y 2 = -3m 2 + 4 , y 1 y 2 = - 3m 2 + 4． ----------- 8 分PQ == 12=m 2 +1= 12 ⨯ ． 3m 2 + 42 2 ⋅(m 2+ 1)⎛ ( 36m 2 ⎝3m 2+ 4 ) 2+ 36 ⎫ 3m + 4 2 ⎪ ⎪ ⎭ ( m +21 )( y - y )2 12(m 2 +1)2(3m 2 + 4)23∵，∴ ．解得．∴直线 PQ 方程为，即或． --------------- 12 分解法二： 椭圆右焦点．当直线的斜率不存在时，，不合题意． 设 直 线 方 程 为 ， 5 分由 得(3+ 4k 2 )x 2 -8k 2 x + 4k 2-12 = 0 ．① ------------- 6 分显然，方程①的．8k 2设，则 x 1 + x 2 =3 + 4k2, x 1 ⋅ x 2 =4k 2 -12． -------------- 8 分3 + 4k 2+ x 2 ) - 4x ⋅ x ]=)⎡⎛ 8k 2 ⎫2 4k 2 -12⎤ PQ =(1+ k 2)[(x2(1+ k 2 ⎢ ⎪ - 4⋅ ⎥1 12k 2 +1⎢⎣⎝3 + 4k 2 ⎭3 + 4k 2 ⎥⎦=12∵，∴，解得．=12．4k 2 + 3∴直线的方程为，即或． ----------- 12 分 （Ⅲ）不可能是等边三角形． 13 分如果是等边三角形，必有，∴ (x + 2)2+ y 2 = (x + 2)2+ y 2 ，∴ (x + x + 4)(x - x )+ (y + y )(y - y )= 0 ，112212121212∴ [m (y 1 + y 2 )+ 6]m (y 1 - y 2 )+ (y 1 + y 2 )(y 1 - y 2 )= 0 ， ------------------------------ 16 分 ∵，∴，∴， ∴，或（无解）．而当时， PQ = 3, AP = AQ = 3 5 2，不能构成等边三角形．∴不可能是等边三角形． 20 分14．设抛物线的焦点为 F ，动点 P 在直线上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA 、PB ，且与抛物线 C 分别相切于 A 、B 两点.（1） 求△APB 的重心 G 的轨迹方程. （2） 证明∠PFA=∠PFB.14．解：（1）设切点 A 、B 坐标分别为， ∴切线 AP 的方程为： 切线 BP 的方程为： 解得 P 点的坐标为：所以△APB 的重心 G 的坐标为 ，y + y + y x 2 + x 2 + x x (x + x )2 - x x 4x 2 - yy = 0 1 P = 0 1 0 1 = 0 1 0 1 = P p , G 3 3 3 3所以，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心 G 的轨迹方程为：(k 2 +1)2 (4k 2 + 3)211x - (-3y + 4x 2 ) - 2 = 0,即y =1(4x 2 -x + 2).2（2）方法 1：因为FA = (x0 , x031 x- ), FP = (+x1, x x -12), FB = (x , x1- ).由于 P 点在抛物线外，则4 2 0 14(x x 1 11 1 41⋅x+x1 x- )(x2 - ) x x +FP FA2 0 0 1 4 0 4 0 1 4∴ cos ∠AFP = == ,| FP || FA | | FP |1 1⋅x+x1 x- )(x 2 - ) x x +FP FB +2 1 0 1 4 1 4 0 1 4同理有cos ∠BFP = = = ,| FP || FB | | FP |∴∠AFP=∠PFB.方法 2：①当x1x0= 0时,由于x1≠x0 ,不妨设x0= 0,则y0= 0, 所以 P 点坐标为，则 P 点到x 2 -1直线 AF 的距离为：d =| x1| ;而直线BF的方程: y -1=1 4 x,即(x 2 -)x -x y +1 21x = 0.4 x11 4 1 4 1| (x2 -1)x1 +x1 | (x2 +1)| x1|1 42 4 1 4 2=| x1 |所以P 点到直线BF 的距离为：d2==x2 +1 24所以 d1=d2，即得∠AFP=∠PFB.x②当时，直线AF 的方程：y -1=0 4 (x - 0),即(x2 -1)x -x y +1x = 0,4x2 -1x - 00 4 0 4 0直线BF 的方程：y -1= 1 4 (x - 0),即(x2 -1)x -x y +1x = 0,4 x - 0 1 4 1 4 1所以 P 点到1直线x A+F x的距离为：1x -x 1| (x2 -)( 01 ) -x 2 x +x | | 01 )(x 2 +)d =0 0 1 0= 2 0 4 =| x0-x1|x2 +1 24d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB．14．（本小题满分20 分）设x=l 是函数的一个极值点（，为自然对数的底）．（1）求与的关系式（用表示），并求的单调区间；（2）若在闭区间上的最小值为 0，最大值为, 且。
2020年浙江省高中竞赛试题和解答
、选择题 1 •集合A A . Ap|B c . A 解：因为 2.当o A . f 2(x) 2020年浙江省高中竞赛试题和解答〔本大题总分值1,x ,B1 时，f(x)C . f(x) 解：当0 x 又因为 3 •设 解: f(x 2) f(x 2) f(x) f 2(x) 1 时"lgx 2^2 x 2x x lg x lg x 2lg x (2 f (x)在［0,1］上有定义, 1) 函数f (x a)时,4. P 为三角形 ABC 一定为( A .直角三角形;解：因为PB B x2x x 2 0B .AnB y y 2 D . ABy y 1,或x2 , 因此有36分，每题6分〕x x 那么以下大小关系正确的选项是〔R , 2或yBx)x 2lg x要使函数那么以下正确的选项是〔,正确答案为 A .f(x 2) f 2(x) f(x) f(x 2)f(x 2) f(x) f 2(x)x 2f 2(x)lg x 0 •因此 f (x)f(x a) f(xf (x a)的定义域为[a,1 a]应有 a 1 a ，即aABC 内部任一点〔不包括边界〕a,1 f(x 2)f 2(x).选C .a)有定义，那么a].当a 0时,a 的取值范畴为应有a 1 a ，即，且满足因此，选B .(PB P A)(PB ^A 2P C) 0,那么△等边三角形；C .等腰直角三角形；D .等腰三角形B, PB PA 2P C C B CA ，因此条件可改写为AB (CB C A)0 .容易得到此三角形为等腰三角形. 因此选D .5.x x 2 a 2 b 2 1 x a 2 2ab b 2是偶函数，那么函数图象与 y 轴交点的纵坐标的最大值是〔2 21 0 ,函数图象与y轴交点的纵坐标为a 2ab b .令由条件可知, a2b2cos , b sin ,那么2 22ab b cos 2sin cos sin2cos2 sin2 , 2 .因此选A.6.圆锥的轴截面SAB是边长为底面内〔包括圆周〕•假设AM2的等边三角形,丄MP，那么O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥P点形成的轨迹的长度为〔〕A. ..7解：建立空间直角坐标系. A(0,-1,0),/3B(0,1,0), S(0,0,、、3) , M (0,0, ) , P(x,y,0) •因此有2A M (0,1,-^),MP2 (x, y, 込由于AM丄MP，因此2(0,1, (x,y, f)0,即y;，此为P点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为因此选二、填空题〔此题总分值54分，每题9分〕7. cos(、1 x2 5x 7 x2 5x 6)=2解：依照题意要求，x5x 6 0 , 0 5x 7 1 •因此有x25x 7 1•因此cos(. 1 x2 5x 7 ,x2 5x 6) cos0 因此答案为1.a&设a,b,c,d为非负实数，满足一b c d -,那么C解：明显a0，由于ab c d1b cb ca d因此有9•设f(x) f(x) f(」) x解: f(x) f(l)x1 11 4lgx 1 8lgx，有a b c，故11 8 lgx3 .210.设实系数一元二次方程x ax 2b 2 0有两个相异实根，其中一根在区间 (0,1)内，另12 .在边长为1的正三角形 ABC 的边AB 、AC 上分不取D 、E 两点，使沿线段 顶点A 正好落在边BC 上. AD 的长度的最小值为tX 。
2020年浙江省高中竞赛试题和解答
2020年浙江省高中竞赛试题和解答一、 选择题 〔本大题总分值36分，每题6分〕1．集合{}{}221,,20R A y y x x B x x x =+=+-∈=>，那么以下正确的选项是〔 〕 A ．{}1,AB y y => B ．{}2A B y y =>C ．{}21A B y y ⋃=-<<D ． {}21A B y y y ⋃=<>-或 解：因为{}{}1,1, 2A y y B x x x =≥=><-或，因此有{}1,A B y y =>正确答案为 A ．2．当01x <<时，()lg xf x x=，那么以下大小关系正确的选项是〔 〕 A ．22()()()f x f x f x << B ． 22()()()f x f x f x <<C ． 22()()()f x f x f x <<D ． 22()()()f x f x f x <<解：当01x <<时，()0lg x f x x =<，222()0lg x f x x =<，22()0lg x f x x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭． 又因为2222(2)0lg lg 2lg 2lg x x x x x xx x x x---==<．因此 22()()()f x f x f x <<． 选 C ． 3．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，那么a 的取值范畴为〔 〕A ．1(,)2-∞-；B ． 11[,]22-；C ． 1(,)2+∞；D ． 11(,][,)22-∞-⋃+∞解：函数()()f x a f x a -++的定义域为 [,1][,1]a a a a +⋂--．当0a ≥时，应有1a a ≤-，即12a ≤；当0a ≤时，应有1a a -≤+，即12a ≥-． 因此，选 B ． 4．P 为三角形ABC 内部任一点〔不包括边界〕，且满足()(2)0PB PA PB PA PC -+-=，那么△ABC 一定为( )A ．直角三角形；B ． 等边三角形；C ． 等腰直角三角形；D ． 等腰三角形解：因为,2PB PA AB PB PA PC CB CA -=+-=+，因此条件可改写为()0AB CB CA ⋅+=．容易得到此三角形为等腰三角形． 因此 选 D ．5．()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，那么函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是〔 〕A B ． 2 C ． D ． 4解：由条件可知，2210a b +-=，函数图象与y 轴交点的纵坐标为222a ab b +-．令,s cos in b a θθ==，那么22222sin cos sin cos 2sin 2c s 2o a ab b θθθθθθ+=+=--+≤ 选 A ．6．圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内〔包括圆周〕．假设AM ⊥MP ，那么P 点形成的轨迹的长度为〔 〕A ．B ．C ． 3D ．32解：建立空间直角坐标系．设A(0,-1,0), B(0,1,0),S , M ，P(x,y ,0)．因此有(0,1,),(,,3AM MP x y ==由于AM ⊥MP ，因此(0,1,)(,,022x y ⋅-=，即34y =，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为= 因此 选 B ．二、填空题 〔此题总分值54分，每题9分〕7．＝ ．解：依照题意要求，2605x x +≥+，20571x x +≤+≤．因此有2715x x +=+．因此cos01==．因此答案为 1．8．设,,,a b c d 为非负实数，满足a b c db c d a c d a b d a b c===++++++++，那么 a b b c c d d ac d a d a b b c+++++++++++＝ ． 解：明显0a b c d +++≠，由于a b c db c d a c d a b d a b c===++++++++，有 1111b c d a c d a b d a b c===++++++++．因此有a b c d ===，故 4a b b c c d d ac d a d a b b c+++++++=++++． 9．设lg lg lg 111()121418x x xf x =+++++，那么1()()_________f x f x +=． 解： lg lg lg lg lg lg 1111111()()3121418121418x x x x x xf x f x---+=+++++=++++++．10． 设实系数一元二次方程2220x ax b ++-=有两个相异实根，其中一根在区间(0,1)内，另一根在区间(1,2)内，那么41b a --的取值范畴是 ． 解： 依照题意，设两个相异的实根为12,x x ，且12012x x <<<<，那么1213x x a <+=-<，120222x x b <=-<．因此有 31,12a b -<<-<<，也即有111, 342214b a <<--<-<---． 故有143212b a -<-<，即取值范畴为13,22⎛⎫⎪⎝⎭． 11．,R αβ∈，直线1sin sin sin cos x y αβαβ+=++与1cos sin cos cos x yαβαβ+=++的交点在直线y x =-上，那么cos sin c in s s o ααββ+++= ． 解：由可知，可设两直线的交点为00(,)x x -，且,in s s co αα为方程001sin cos x x t t ββ-+=++，的两个根，即为方程20sin c (cos )sin os (cos )i 0s n t t x ββββββ-++-=+的两个根．因此cos (sin sin cos )ααββ+=-+，即cos sin c in s s o ααββ+++=0．12．在边长为1的正三角形ABC 的边AB 、AC 上分不取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上．AD 的长度的最小值为 ．解：设,AD x ADE α=∠=，作△ADE 关于DE 的对称图形，A 的对称点G 落在BC 上．在△DGB中，1sinsin(233)x x ππα--=2sin(2)3x α-⇒=当sin(2)13πα-=时，即3min x ==．三、解答题〔此题总分值60分，每题20分．解承诺写出文字讲明，证明过程或演算步骤．〕13．椭圆C ：22221x y a b +=〔0a b >≥〕，其离心率为45，两准线之间的距离为252。
2019-2020学年上学期高二竞赛数学试卷
2019-2020学年上半学期高二数学竞赛试卷班级： 姓名： 分数： 一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知全集U={-1,0,1,2}，A={0,2},B={-1,0}则(A C U )∪B=（ ）。
A ．{1} B.{-1,0} C ．{-1} D ．{-1,1,0} 2、不等式-2x ²-5x+3＜0的解集是（ ）。
A 、RB 、{x|-3＜x ＜21} C 、∅ D 、{x|x ＜-3或x ＞21} 3、已知角α的终边上一点P （-3,4），那么sin α+cos α=（ ）。
A 、-51B 、 51 C 、-257 D 、 257 4、已知向量,2),20(1||=∙==b a b a 且，，则夹角的大小为（ ）。
A 、6π B 、 4π C 、 3π D 、2π5、已知等差数列的前n 相和n S ，若54a -18a =，则8S 等于（ ）。
A 、18 B 、36 C 、54 D 、726过点A （-2，m ）与B （m ，1）的直线与直线2x-y+2=0平行，则m=（ ）。
A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、27、函数y=f （x+1）的定义域是[-2,3],则y=f （2x-1）的定义域是（ ）。
A 、[0,25] B 、[-1,4] C 、 [-5,5] D 、[-3,7]8、若方程15922=-+-k y k x 表示椭圆，则整数k 的值有（ ）。
A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个9、若f(x)=(m-1)x 2+2mx+3为偶函数，则f(x)在区间（-5,2）上是（ ）。
A 、减函数 B 、增函数 C 、先增后减 D 、先减后增10、若两直线a ∥b ，且a ∥平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）。
A 、b ∥平面α或者b ⊆平面α B 、b ∥平面α C 、b ⊆平面α D 、相交 11、当a ＞1时，在同一坐标系中，函数y =a-x 与函数y=a x 的图象可能是（ ）。
2020-2021学年高二数学上学期竞赛试题
2020-2021学年高二数学上学期竞赛试题一选择题(每小题5分，共60分)1．等比数列的前n项和为，若，则公比A． B． 2 C． 3 D．2．已知，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知是等差数列，，则该数列的前14项的和（）A． 52 B． 104 C． 56 D． 1124．双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A． B． 1 C． D．5．已知函数，若对任意，都有成立，则实数x 的取值范围为A． B． C． D．6．已知等比数列满足，且成等差数列．若数列满足（n∈N*），且，则数列的通项公式（）A． B． C． D．7．已知抛物线上的点到焦点的距离是,则抛物线的方程为( )A． B．C． D．8．若曲线y＝a x在x＝0处的切线方程是xln 2＋y－1＝0则a＝( )A． B． 2C． ln 2 D． ln9．已知点M为椭圆上一点，椭圆的长轴长为，离心率，左、右焦点分别为F1、F2，其中B（3，2），则的最小值为（）A． B． C． D．10．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是（）A．平面平面 B．四面体的体积是C．二面角的正切值是 D．与平面所成角的正弦值是11．在直角坐标系中，是椭圆的左焦点，分别为左、右顶点，过点作轴的垂线交椭圆于两点，连接交轴于点，连接交于点，若是线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．在正方体中，点是侧面内的一动点，若点到直线与到直线的距离相等，则动点的轨迹所在的曲线是（）A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线二填空题（每小题5分，共20分）13．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,若，则abc=____.14．若抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则实数的值为_____________.15．已知函数__________________.16．已知实数且，则的最小值为__________．三解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分，请写出必要的解题步骤）17．设复数.(1)当为何值时,是实数;(2)当为何值时, 是纯虚数.18．(1)求与椭圆有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．(2)已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．19．已知全集U＝R，非空集合（1）当a＝时，求（2）命题p：，命题q：，若q是p的必要不充分条件，求实数a的取值范围。
高二数学上学期竞赛试题试题_1
苍南县“姜立夫杯〞2021年高二数学上学期竞赛试题创作人：历恰面日期：2020年1月1日考生考前须知：1本卷一共有17道题目,全卷满分是100分,考试时间是是120分钟.2在答题之前,必须在试题卷、答题卷的密封线内填写上好自己的、姓名和准考证号.3本卷所有试题都必须用蓝色或者黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上答题无效.4本卷解答一律不准使用计算器.一、选择题〔本大题一一共8小题，每一小题4分，满分是32分，每一小题有且仅有一个正确之答案〕+=xf是〔〕x(π))2sin(3〔A〕周期为π2的奇函数〔B〕周期为π2的偶函数〔C〕周期为π的奇函数〔D〕周期为π的偶函数2．假设M={(x，y)| |tan y|+sin2x=0}，N={(x，y)|x2+y2≤2}，那么M∩N的元素个数是〔〕〔A〕4 〔B〕5 〔C〕8 〔D〕93．假如甲的身高数或者体重数至少有一项比乙大，那么称甲不亚于乙，在100个小伙子中，假如某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )〔A〕1个〔B〕2个〔C〕50个〔D〕100个4．有假设干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 〔 〕〔A 〕6 〔B 〕 14 〔C 〕16 〔D 〕 185．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 ( )〔A 〕三角形 〔B 〕正方形 〔C 〕非正方形的菱形 〔D 〕非正方形的长方形 6．x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，那么46--+x y x 的取值范围是 ( )〔A 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 〔B 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 〔C 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0 〔D 〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,0 7．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234=S S S S Sλ+++，那么λ一定满足( )〔A 〕2<λ≤4 〔B 〕3<λ<4 〔C 〕2.5<λ≤4.5 〔D 〕3.5<λ8. 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，假设对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足22(())2f f x a y ay =+，那么正实数a 的最小值是〔 〕〔A 〕14 〔B 〕12〔C 〕2 〔D 〕4 二、填空题〔本大题一一共6个小题，每一小题6分，满分是36分.〕9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，那么k 的最大值是 ．10. 假设直线b x y +=被圆122=+y x 所截得的弦长不小于1，那么b 的取值范围是 ．11.ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC 〔含端点〕上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=，那么||AM 的取值范围是 ．12．如图，在三棱锥S —ABC 中，假设底面ABC 是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3， M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，那么三棱锥S —ABC 的外 接球的体积为 .13. 定义在R 上的函数f 〔x 〕满足),(21)3(,1)1()(,0)0(x f xf x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时，有)()(21x f x f ≤，那么)20141(f 的值是__ __. 14．假设三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，那么称a 、b 、c 是调和的；假设满足2a c b +=，那么称a 、b 、c 是等差的。
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浙江省苍南县“姜立夫杯”2020年高二数学上学期竞赛试题考生注意事项：1本卷共有17道题目,全卷满分100分,考试时间120分钟.2答题前,务必在试题卷、答题卷的密封线内填写好自己的学校、姓名和准考证号. 3本卷所有试题都必须用蓝色或黑色签字笔在答题卷上书写,在试题卷上作答无效. 4本卷解答一律不准使用计算器.一、 选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分，每小题有且仅有一个正确的答案） 1.函数)2sin(3)(π+=x x f 是（ ）（A ）周期为π2的奇函数 （B ）周期为π2的偶函数 （C ）周期为π的奇函数 （D ）周期为π的偶函数2．若M={(x ，y )| |tan y |+sin 2x =0}，N={(x ，y )|x 2+y 2≤2}，则M ∩N 的元素个数是（ ）（A ）4 （B ）5 （C ）8 （D ）93． 如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )（A ）1个 （B ）2个 （C ）50个 （D ）100个 4．有若干个棱长为1的小正方体搭成一个几何体，这个几何体的正视图和侧视图均如右图所示，那么符合这个平面图形的小正方体块数最多时该几何体的体积是 （ ） （A ）6 （B ） 14 （C ）16 （D ） 18 5．在平面直角坐标系中，方程|x +y |2a +|x －y |2b =1 (a ，b 是不相等的两个正数)所代表的曲线是 ( )（A ）三角形 （B ）正方形（C ）非正方形的菱形 （D ）非正方形的长方形6．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －2≤0，x ＋3≥0，x －y －1≤0，则46--+x y x 的取值范围是 ( )（A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡720,2 （B ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡713,1 （C ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡73,0 （D ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡76,07．设四面体四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，它们的最大值为S ，记1234=S S S S Sλ+++，则λ一定满足( )（A ）2<λ≤4 （B ）3<λ<4 （C ）2.5<λ≤4.5 （D ）3.5<λ<5.58. 设函数22,0()log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若对任意给定的(2,)y ∈+∞，都存在唯一的x R ∈，满足第4题22(())2f f x a y ay =+，则正实数a 的最小值是（ ）（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分.）9．从正方体的棱和各个面上的对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是 ．10. 若直线b x y +=被圆122=+y x 所截得的弦长不小于1，则b 的取值范围是 ．11.已知ABC ∆中，AB AC ⊥，||2AB AC -=，点M 是线段BC （含端点）上的一点，且()1AM AB AC ⋅+=，则||AM 的取值范围是 ．12．如图，在三棱锥S —ABC 中，若底面ABC 是正三角形，侧棱长SA=SB=SC=3， M 、N 分别为棱SC 、BC 的中点，并且AM ⊥MN ，则三棱锥S —ABC 的外 接球的体积为 .13. 定义在R 上的函数f （x ）满足),(21)3(,1)1()(,0)0(x f xf x f x f f ==-+=且当1021≤<≤x x 时，有)()(21x f x f ≤，则)20141(f 的值为__ __. 14．若三个非零且互不相等的实数a 、b 、c 满足112a b c+=，则称a 、b 、c 是调和的；若满足2a c b +=，则称a 、b 、c 是等差的。
已知集合{}2014M x x x Z =≤∈，，集合P 是集合M 的三元子集，即{}P a b c M =⊆，，。
若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”。
则不同的“好集”的个数为 ．2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二答题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.________________________ 10._____________________________ 11._______________________ 12._____________________________ 13._______________________ 14._____________________________ 三、 解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程）15、设函数()sin 1f x x x =+， （I ）求函数()f x 在[0,]2π上的最大值与最小值；（II ）若实数c b a ,,使得1)()(=-+c x bf x af 对任意R x ∈恒成立，求acb cos 的值．16．已知函数2()1f x x a x =+-，a 为常数．（1）当2a =时，求函数()f x 在[0,2]上的最小值和最大值； （2）若函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，求实数a 的取值范围．S是数列{}n a的前n项和，且n a是n S和2的等差中项．17．设n（1）求数列{}n a的通项公式；（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设212222*nn M n N T T T =+++∈()，求证：1324M ≤<．2020年苍南县“姜立夫杯”数学竞赛高二试卷参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题有且仅有一个正确的答案）二、填空题（本大题共6个小题，每小题6分，满分36分. 请将正确的答案填在横线上）9.______4________________ 10._____ [_______________ 11.______1(,1]2_______________ 12._____92π________________________13._____1128__________ 14.______1006_______________________四、 解答题（本大题共3小题，第15、16题各10分,第17题12分,满分32分.要求写出必要的解答过程） 15. 解：（I ）由条件知()2sin()13f x x π=++，由02x π≤≤知，5336x πππ≤+≤，于是1sin()123x π≤+≤所以2x π=时，()f x 有最小值12122⨯+=；当6x π=时，()f x 有最大值2113⨯+=． （4分）（II ）由条件可知2sin()2sin()133a xb xc a b ππ+++-++=对任意的x R ∈恒成立， ∴2sin()2sin()cos 2cos()sin (1)0333a xb xc b x c a b πππ+++⋅-+⋅++-= ∴2(cos )sin()2sin cos()(1)033a b c x b c x a b ππ+⋅+-⋅+++-=∴ cos 0sin 010a b c b c a b +=⎧⎪=⎨⎪+-=⎩,由sin 0b c =知0b =或sin 0c =。
若0b =时，则由cos 0a b c +=知0a =，这与10a b +-=矛盾！ 若sin 0c =，则cos 1c =（舍去），cos 1c =-， 解得π)12(,21+===k c b a ，所以，1cos -=acb ． （10分） 16. 解：（1）当2a =时，22222,1,()2122,1,x x x f x x x x x x ⎧+-≥⎪=+-=⎨-+<⎪⎩22(1)3,1,(1)1,1,x x x x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩所以当[1,2]x ∈时，max min [()]6,[()]1f x f x ==当[0,1]x ∈时，max min [()]2,[()]1f x f x ==所以()f x 在[0,2]上的最大值为6，最小值为1。
(5分)（2）因为22,1,(),1,x ax a x f x x ax a x ⎧+-≥⎪=⎨-+<⎪⎩2222(),1,24(),1,24a a x a x a a x a x ⎧+--≥⎪⎪=⎨⎪--+<⎪⎩而()f x 在[0,)+∞上单调递增所以当1x ≥时，()f x 必单调递增，得12a-≤即2a ≥- 当01x ≤<时，()f x 亦必单调递增，得02a≤即0a ≤且2211a a a a +-≥-+恒成立故所求实数a 的取值范围为[2,0]-。
(10分) 17. 15.（1）∵n a 是n S 和2的等差中项，∴22n n S a +=， ① 当1=n 时，1122S a +=，解得21=a . 当2n ≥时，1122n n S a --+=. ②①－②得1122---=-n n n n a a S S ()2,*≥∈n N n ， ∴122--=n n n a a a 。
∴12-=n n a a 。
∴21=-n na a ()2n ≥. ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴nn a 2=()2n ≥.当1n =时，1122a ==，符合上式，所以数列{}n a 的通项公式为2nn a =()*n ∈N 。
………………………………………3分（2）由i a 和j a 的所有可能乘积2i j i j a a +⋅=()n j i ≤≤≤1可构成下表： 112+，122+，132+，…，()112n +-，12n + 222+，232+，…，()212n +-，22n + 332+，…，()312n +-，32n +……………… 2n n+构造如下n 行n 列的数表：112+，122+，132+，…，()112n +-，12n + 212+，222+，232+，…，()212n +-，22n +312+，322+，332+，…，()312n +-，32n +………………12n +，22n +，32n +，… ，()12n n +-，2n n+设上表第一行的和为T ，则()()41242112n n T -==--.于是()()2124221222222n n n T T -=++++++++()()()22414212141n n n -=-⋅-+-()()1821213nn +=--. ∴()()1421213nn n T +=-⋅-.…………………………………………………………8分 （3）∵()()1421213nn n T +=-⋅-， ∴()()112323114212142121n n n n n n n T ++⨯⎛⎫==- ⎪---⋅-⎝⎭。