第2章 导数与微分总结

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高等数学第二章导数与微分

高等数学第二章导数与微分

tan lim y lim f (x0 x) f (x0 )
其中 (
2
x x0
t 0
x
) 是切线M0T与x轴正向的夹角。
2 求变速直线运动的瞬时速度
用s表示质点运动的路程,以O为原点,沿质点运动的方向建
立数轴—s轴,如图2.1,显然路程s是时间t的函数,记作 s=f (t),
t∈[0,T],现求t0时刻的瞬时速度v0=v(t0).
dx
x
例5. 设
存在, 求极限 lim f (x0 h) f (x0 h).
h0
2h
是否可按下述方法作:
解: 令原式t x0hlim0h,则
f (x0 )
f (x00)hf)(x0f (xh0))
2(2hh)
原式
1 2
f (x0 )
1 2
f (x0 )
f (x0 )
内容小结
1. 导数的实质: 增量比的极限;
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2.2
第二章
导数的运算法则
一、四则运算求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题
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思路:
( 构造性定义 )
本节内容
(C ) 0
(sin x ) cos x 证明中利用了
( ln x ) 1
两个重要极限
例3. 求反三角函数及指数函数的导数.
解: 1) 设
cos y 0 , 则

y ( , ) ,
22
(sin y)
1 cos y
1 1 sin2 y
类似可求得
利用
arccos
x

第2章导数与微分总结

第2章导数与微分总结

1、极限的实质是:动而不达导数的实质是:一个有规律商的极限。

规律就是:2、导数的多种变式定义:lim 丄一x)f°)是描述趋近任意 x 时的斜率。

而x 03、I若x 没趋近到x0,那么除法得到的值是这段的平均斜率, 如果趋近到了 x0,得到的就是这点的斜率一一导数。

4、可导与连续的关系:1基础总结lim -= limx 0 x x 0 f(x X)f(x)xlim x x o f(x )f (x o )X o叫 号严可以刻画趋近具体x0时的斜率。

lim o要注意细心观察发现,导数的实质是定义在某点的左右极限。

既然定义在了某点上,该点自然存在,而 且还得等于左右极限。

因此,可导一定是连续的。

反之,如果连续,不一定可导。

不多说。

同理,如果不连续,肯定某点要么无定义,要么定义点跳跃跑了,肯定 极限有可能存在,但是导数绝不会存在。

同理要注意左右导数的问题。

如果存在左或者右导数,那么在左侧该点一定是存 在的。

如:f(x) x,x 0这个函数,在0点就不存在左导数,只存在右导数。

为什么嫩?看定义:万不要以为导数是一种简单的极限,极限是可以在某点无定义的,而导数却是该 点必须存在! 由此引发了一些容易误判的血案: 例如:A 旦主^謎IC m F 左电鼓 pg 总生戟乞f ( x) f (x)-中的f(x))至u 底是神马。

比如求上图limf(x x) f(x)x 0xlimf(X X)f(0)。

x 0定义里面需要用到f(0)啊!因此,千中 iimf (x)论) x 1x x 0,这个f(x0)千万要等于2/3,而不是1 !定义解决时候一定要注意问。

X X o由此也可以知道,f (x)2x 3, x 1这个函数是不存在导数的,也不存在左导数,3只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系:注意,求反函数时候不要换元。

因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变, 与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算 果显然是错误的。

第二章 导数与微分习题汇总

第二章 导数与微分习题汇总

第二章 导数与微分【内容提要】1.导数的概念设函数y =f (x )在x 0的某邻域(x 0-δ,x 0 + δ)(δ>0)内有定义,当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时,相应地,函数有改变量00()()y f x x f x ∆=+∆-.若0→∆x 时,极限xyx ∆∆→∆0lim 存在,则称函数y =f (x )在x =x 0处可导,称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数,记为)(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或0|d d x x xy =或0|d d x x x f=+→∆0x 时,改变量比值的极限xyx ∆∆+→∆0lim 称f(x)在x 0处的右导数,记为)(0x f +'。

-→∆0x 时,改变量比值的极限xyx ∆∆-→∆0lim 称f(x)在x 0处的左导数,记为)(0x f -'。

2.导数的意义导数的几何意义:)(0x f '是曲线y =f (x )在点(x 0,y 0)处切线的斜率,导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景,是微分学的几何应用的基础。

导数的物理意义:路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。

以此类推,速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。

3.可导与连续的关系定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导,则函数在点x 0处一定连续。

此定理的逆命题不成立,即连续未必可导。

4.导数的运算定理1(代数和求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则v u v u '±'='±)(定理2(积的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,则v u v u uv '+'=')(定理3(商的求导法则)若u (x )和v (x )都在点x 处可导,且v (x )≠0,则2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛定理4 若函数)(x g u =在点x 处可导,且)(u f y =在其相应点u 处可导,则复合函数)]([x g f y =在x 处可导,且x u x u y y '⋅'=' 或d d d d d d y y ux u x=⋅5.基本初等函数求导公式本节中我们已求出了所有基本初等函数的导数,整理所下:0)(='C 1)(-='μμμx xa a a x x ln )(='x x e )e (='ax x a ln 1)(log ='x x 1)(ln ='x x cos )(sin =' x x sin )(cos -='x x 2sec )(tan =' x x 2csc )(cot -='x x x tan sec )(sec =' x x x cot csc )(csc -=211)(arcsin x x -=' 211)(arccos x x --='211)(arctan xx +=' 211)cot arc (x+-='这些基本导数公式必须熟记,与各种求导法则、求导方法配合,可求初等函数的导数。

高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件

高中物理课件-高数第二章-导数与微分--课件
求 f 0
例2.已知 f x0 存在,求
lim f x0 ah f x0 bh
h0
h
3、导数的意义
函数 y f x在点x0 处的导数f x0
是因变量 y在点x0处的变化率,它反
映了 在点x0 处因变量随自变量的变
化而变化的快慢程度。
(二)导函数
1、定义:如果函数 y f x 在开区间
四、基本求导法则与导数公式
(一)常数和基本初等函数的导数公式
1. C 0
2. x x1
3. sin x cos x
4. cos x sin x
5. ta n x sec2 x 6. cot x csc2 x
7. sec x sec x tan x 8. csc x csc x cot x

k0
lim xx0
f
x f x0 就是曲线C
x x0
在 M0 x0, y0 点处切线的斜率。
二、导数的定义 (一)函数在一点处的导数
1、定义:设函数 y f x在点x0的某个
邻域内有定义,当自变量 x在x0 处取得
增量 x(点 x0
时 , 相应地函数
x 仍在该邻域内)
y 取得增量
chx shx
thx
1 ch2
x
arshx 1 archx 1
1 x2
x2 1
arthx
1
1 x2
例18.求
y cos x2 sin 1 arctan thx x
的导数。
例19.
y sin nxsinn xn为常数,求y
§2-3 高阶导数
(一)二阶导数
1、定义:把 y f x 的导数叫做函数
x xx0 x0

高数大一最全知识点

高数大一最全知识点

高数大一最全知识点高等数学作为大一学生的必修课程,是一门基础而又重要的学科。

掌握好高数知识点,不仅对后续的学习有着重要的影响,也对提高数理思维和解决实际问题具有重要的帮助。

下面将为大家整理总结大一高数中最全的知识点。

第一章:函数与极限1. 函数的概念和性质函数定义、定义域和值域、函数的图像和性质等。

2. 极限的概念和性质数列极限、函数极限、几何意义以及重要的极限性质。

3. 连续与间断连续函数的概念、连续函数的性质、间断点和间断函数等。

第二章:导数与微分1. 导数的概念和计算导数的定义、导数的计算方法、各种函数导数的计算公式等。

2. 高阶导数与导数的应用高阶导数的定义、高阶导数的计算、导数在几何和物理问题中的应用等。

3. 微分学基本定理微分中值定理、极值与最值、凹凸性等重要的微分学定理。

第三章:积分与不定积分1. 定积分和不定积分的概念和性质定积分的定义、定积分的计算、不定积分的定义和基本积分表等。

2. 定积分的应用定积分的几何应用、定积分的物理应用、定积分的概率统计应用等。

3. 反常积分反常积分的概念和性质、反常积分判敛方法、特殊函数的反常积分等。

第四章:常微分方程1. 常微分方程的基本概念常微分方程的定义、初值问题、解的存在唯一性定理等。

2. 一阶常微分方程解法可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利方程等解法。

3. 高阶线性微分方程高阶线性齐次和非齐次微分方程的解法、常系数线性微分方程等。

第五章:多元函数与偏导数1. 多元函数的概念和性质多元函数的定义、定义域、值域、图像等基本概念。

2. 偏导数与全微分偏导数的定义和计算、全微分的定义以及全微分近似等。

3. 隐函数与参数方程隐函数的存在定理、隐函数的求导、参数方程的定义和性质等。

第六章:多元函数的积分学1. 二重积分的概念和性质二重积分的定义、二重积分的计算、二重积分的性质等。

2. 三重积分和曲线、曲面积分三重积分的定义、三重积分的计算、曲线积分、曲面积分的概念与计算等。

第二章 导数与微分

第二章 导数与微分
Δy=2×10×0.001+0.0012=0.020 001.
由此可见,当|Δx|很小时,(Δx)^2的作用非常小,可以忽略不计 因此,函数y=x^2在x0有微小改变量Δx时,函数的改变量Δy约为 2x0·Δx, Δy≈2x0·Δx.
从图2-3中不难看出,Δy表示的是以x0为边长的正方形外围 的阴影部分面积,它为图示的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ部分面积之和 2(x0·Δx)+(Δx)2,显然当|Δx|相对于x0很小时,(Δx)^2是微乎其 微的. 当f(x)=x2时,f′(x0)=2x0,因此Δy≈2x0·Δx可以写成 Δy≈f′(x0)·Δx. 由于f′(x0)·Δx是Δx的线性函数,所以通常把 f′(x0)·Δx叫做Δy的线性主部.
一般地,对于给定的可导函数y=f(x),当自变量在x0处有 微小的改变量Δx时,函数值y的改变量Δy可用下式近似计算, 即
已知曲线方程y=f(x),可以求过曲线上点M(x0,y0)处的 切线斜率.在M点的附近取点N(x0+Δx,y0+Δy),其中Δx可正 可负,作割线MN,其斜率为(φ为倾斜角) tanφ=Δy/Δx=[f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx.当Δx→0时,割线MN将绕着 点M转动到极限位置MT,如图2-2所示.根据上面切线的定义, 直线MT就是曲线y=f(x)在点M处的切线.自然,割线MN的斜 率tanφ的极限就是切线MT的斜率tanα(α是切线MT的倾斜角).
以上两个问题,虽然它们所代表的具体内容不同,但从 数量上看,它们有共同的本质:都是计算当自变量的增量趋 于零时,函数的增量与自变量的增量之比的极限.在自然科学 、工程技术问题和经济管理中,还有许多非均匀变化的问题 ,也都可归结为这种形式的极限.因此,抽去这些问题的不同 的实际意义,只考虑它们的共同性质,就可得出函数的导数 定义.

大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分

大一上学期《高等数学》知识整理-第二章 导数与微分

大一上学期《高等数学》知识整理-第二章导数与微分第二章导数与微分1.导数的定义。

对于一个在x0的某个邻域内有定义的函数,当自变量x在x0处取得增量Δx时,相应地函数y取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果当Δx→x0时Δy/Δx的极限存在,则称函数y=f(x)在x0点可导,并称这个极限为函数y=f(x)在x0处的导数。

通俗地讲,就是描述某个函数在某点增长或下降的瞬时速度,这个“速度”的单位为y每x,即每变化一个单位的x,y变化多少。

与物理学中定义米/秒是一个性质的。

把函数f(x)的导数看做是关于x的函数,即得到函数f(x)的导函数f'(x),简称导数。

(以上的“x0”中的“0”都是x 的下标,下同。

)导数也可以用微分的形式记作dy/dx,这个后面会提及。

2.在导数的定义中,如果Δx从左边趋向x0或从右边趋向x0,那么对应的导数被称为左导数和右导数。

只有f(x)在x0处的左导数和右导数相等,才能称f(x)在x0处可导。

举个例子,绝对值函数y=|x|,其在x=0处的左导数是-1(即x每增大1,y减小1),右导数是1,两者不相等,所以该函数在x=0处不可导。

如图所示。

绝对值函数y=|x|的导数是符号函数y=sgn(x),但是不包含x=0(单独的符号函数y=sgn(x),当x=0时,y=0)。

3.用定义法可以求初等函数的导数,本质上就是求极限。

比如说求y=x²在x=a处的导数,即就是求Δx→0时((a+Δx)²-a²)/Δx的极限。

求得结果为2a了解即可,还不如求导公式来得快。

下图为求该极限的过程,也就是用定义求y=x²的导数的过程。

4.函数的可导性与连续性的关系。

我们有定理:如果函数y=f(x)在点x0处可导,则f(x)在x0处必连续。

但反过来就不一定了。

归纳为一句话:连续不一定可导,可导一定连续。

y=|x|就是一个例子。

该函数在定义域内处处连续但是在x=0时不可导(因为左右极限不一样)。

第二章__导数与微分

第二章__导数与微分

t
t
瞬时速度
v(t0
)
lim
t0
s t
lim
t0
s(t0
t) t
s(t0
)
2
2.切线问题 割线的极限位置——切线位置
播放
3
y
割线M0M的斜率为
tanφ y f (x0 x) f (x0 )
x
x
切线M0T的斜率为
o
k tanα lim y x0 x
lim f (x0 x) f (x0 )
(0
h)] h
ln(1
0)
1,
f (0) 1.
f
(x)
1
1, 1
x
,
x0 x0.
27
二、反函数的导数
定理 如果函数x φ(y)在某区间Iy内单调、可导 且φ(y) 0 , 那末它的反函数 y f (x)在对应区间Ix 内也可导 , 且有
f (x) 1 φ (x)
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
(
x )
1
x
1 2
1
2
1 2x
.
(x1 )
(1)x11
1 x2
.
17
例8 求函数 f (x) ax(a 0,a 1)的导数. 解 (ax ) lim axh ax
h0 h ax lim ah 1
h0 h ax lna.
即 (ax ) ax lna. (ex ) ex .
18
例9 求函数 y loga x(a 0,a 1)的导数.
即 (sinx) cos x.
16
例7 求函数 y xn(n为正整数)的导数.
解 (xn ) lim (x h)n xn

经典-高数第2章:导数与微分

经典-高数第2章:导数与微分
上式两边对 x求导得
1 y 1 x 1 1 x 1 2 x 4 1
y x 1
3(x 1)
x4

y

(x 1) 3 x 1 (x 4)2 ex

1 x 1

1 3(x 1)

x
2
4
1
隐函数的导数
设 y xsinx ( x 0), 求y.
导 即有如下的关系式
可微
可导
连续
有极限
微分与导数间的计算转换方法
重点)
可导是指
lim y x0 x
存在.
说明函数的连续性,因为式中有除以Δ x,
反应的是变化的快慢,几何意义表示切线
的斜率
可微是函数值的变化增量,Δ y可以表达 为A·Δ x+o(Δ x),解决的是函数的变化 增量,微分表示函数值的增量结果,可间
联系
可微必可导,可导必连续,连续有极限 但是,有极限不一定连续,连续不一定可
x
当Δ x足够小时,dy与Δ y相差很小,切线段MP 可近似的代替曲线段MN(以直代曲)
微分
微分的理解
A是与Δ x无关的常数,但却与f(x)与x0有 关。实际上,A为f(x)在x0处的导数值。
由刚才的几何意义,当Δ x很小时, Δ y≈dy(这样就可以近似计算较复杂函 数的改变量)
可微与可导的区别与联系(理解
注意:此导数为一函数。在某一点的导数 是一个值。
f (x0 )可以看作导函数f (x) 在x0的函数值,
即 f '(x0 ) f '(x) xx0 . 有下标特别指
明在某点x0
导数的几何意义

高等数学第二章导数与微分

高等数学第二章导数与微分

x0
x
瞬时变化率
点导数是因变x0量 处在 的点 变化 ,它率 反映因 了变量随自变量 而的 变变 化化 的快 慢程.度
根据导数定义求导,可分为如下三个步骤:
( 1 ) 求y 增 f( x 量 x ) f( x );
曲线 y = f (x)在点x0处的切线斜率
tan lim y
x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f (x0)
f x0
左右导数
设函数 y = f (x)在点x0的某一个邻域内有定义.
假设极限l i m x 0

y x
存在,那么称 y = f (x)在点 x0 左可 导,
且称此极限值为函数 y = f (x) 在点 x0 的左导数,
解:由导数的几何意义, 得切线斜率为
k
y
x1 2
1 x
x 1 2
1 x2
x1 2
4.
切线方程为 y24x12, 即 4 xy 4 0 .
法线方程为
y
2
1 4
x
12,
即 2 x 8 y 1 5 0 .
2.1.4 函数的可导性与连续性的关系
〔1〕假设 f (x)在 x0点可导,那么它在 x0点必连续.
记作 f(x0 ). 同样可定义右导数: f(x0 ).
f (x)在x0可导的充要条件是: f (x)在 x0 既左可导
又右可导,且 f (x0)f (x0). 即 f(x0)存在 f (x 0 )f (x 0 )存 在 .
导函数的概念
假设函数 y = f (x)在开区间I内每一点都可导,那么称
f (x)在I 内可导. 此时对xI, 有导数 f ( x ) 与之

高等数学第二章导数与微分(4)

高等数学第二章导数与微分(4)
14
(arcsin x) 1 1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
(arccos x) 1 1 x2
(arc
cot
x)
1
1 x2
2.函数的和、差、积、商的求导法则
设u u(x),v v(x)可导,则
(1)(u v) u v, (2)(cu) cu ( C 是常数)
(3)(uv)
由y f 1(x)的严格单调性可知 y 0,
于是有
y x
1 x
,
y
y 0 (x 0),
y f 1(x)连续, 又知 f ( y) 0
[ f 1(x)] lim y lim 1 1 x0 x y0 x f ( y)
即[ f 1(x)] 1 .
y
f ( y)
4
例7 求函数 y arcsin x 的导数.
19
例20 双曲函数与反双曲函数的导数
ex ex
ex ex
sinh x
,cosh x
2
2
(sinh x) e x e x cosh x 2
(sinh x) cosh x (cosh x) sinh x
tanh x sinh x cosh x
(tanh
x)
1 cosh2
x
20
arcsinh x ln( x 1 x2 )
利用上述公式及法则, 初等函数求导问题可完全解决.
结论:初等函数的导数仍为初等函数.
16
例16 解
求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
y x 2
a2
2
x2
a2 2
2

第二章 导数与微分

第二章 导数与微分

例4
求自由落体运动 s
=
1 2
gt 2
在时刻 t0
的瞬时速度 v(t0 )
.

Δs
=
1 2
g (t0
+
Δt)2

1 2
gt02
=
gt0Δt
+
1 2
g (Δt )2
Δs Δt
=
gt0Δt
+ 1 g (Δt )2
2 Δt
=
gt0
+
1 2
gΔt
lim
Δt → 0
Δs Δt
=
lim
Δt → 0
(
g
t
0
+
1 2
也随着变动而趋向于极限位置,即直线 M0T .称直线 M0T 为曲线 y = f (x) 在定点
29
M0 处的切线.显然,此时倾角ϕ 趋向于切线 M 0T 的倾角α ,即切线 M 0T 的斜率

tan α = lim tanϕ = lim Δy = lim f ( x0 + Δx) − f ( x0 ) .
lim Δy = lim (2x + Δx) = 2x
Δx Δx→0
Δx→0
y′ = ( x2 )′ = 2x .
同理可得 (xn )′ = nxn−1 ( n 为正整数)
例 6 求 y = sin x 的导函数.
解 Δy = sin ( x + Δx) − sin x = 2 cos(x + Δx ) ⋅ sin Δx
d f (x)
dx
x= x0
这时称函数 y = f (x0 ) 在点 x0 处是可导的函数.

第二讲导数和微分内容提要和典型例题

第二讲导数和微分内容提要和典型例题

x0
① f (x)连续 ② f(0)存在
③ f(x)连续 ④ f(0)存在
第二章 导数与微分典型例题
解 首先注意到
当 0时lim xsin 1不存在
x 0
x
当 0时 lim xsi1 n0
x 0
x
① 当 x0时f, (x)xnsi1n是初等函数,连续 x
因此要使 f (x)连续只f须 (x)在 x0处连续
F ( 0 ) 存 F ( 0 ) 在 F ( 0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 )
x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ixn f(0 )f(0 ) F (0 ) x l 0 if m (x )1 ( sxix )n f(0 ) x l i0 m f(x x ) 0 f(0 )f(x)sx ix n
2d yy22tyd yet 0
dt
dt
dyet y2 dt 2ty2
dy

dy dx

dt dx
(1t2)(et y2) 2ty2
dt
④ 设 f(x)(x20 01 1)g(x),其 g(x)在 中 x1处连续
且 g(1)1求 f(1)
第二章 导数与微分典型例题
第二讲 导数与微分
内容提要与典型例题
第二章 导数与微分内容提要
一、主要内容
关 系
d y y d y y d x y d o y ( x ) dx
导数
y lim x0 x
基本公式 高阶导数 高阶微分
微分
dyyx
求导法则
第二章 导数与微分内容提要

最新第二章导数与微分总结

最新第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结一、导数与微分概念 1.导数的定义设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义,自变量x 在0x 处有增量x ∆,相应地函数增量()()00x f x x f y -∆+=∆。

如果极限 ()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim存在,则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数(也称微商),记作()0x f ',或0x x y =',0x x dx dy =,()0x x dx x df =等,并称函数()x f y =在点0x 处可导。

如果上面的极限不存在,则称函数()x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式,令x x x ∆+=0,0x x x -=∆,则()()()000limx x x f x f x f x x --='→我们也引进单侧导数概念。

右导数:()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数:()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2.导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在,则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。

切线方程:()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程:()()()()()010000≠'-'-=-x f x x x f x f y设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为()t f S =,如果()0t f '存在,则()0t f '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

第2章:导数与微分-PPT课件

第2章:导数与微分-PPT课件

n f ( x ) x ( n N ) 在 x a处的导数 . 例2. 求函数
解:
xn an f (x) f (a) lim f (a) lim xa x a x a xa
2 n 3 a x lim ( x n 1 a xn2 an1)

二、导数的定义
) 在点 x 0 的某邻域内有定义 , 定义1 设函数 y f (x

x x0
y lim f (x) f (x0) lim
x x0
x 0 x
y f( x ) f( x ) 0 xxx 0
存在,则称函数 f ( x ) 在点 x 0 处可导,并称此极限为 y f (x ) 在点 x 0 的导数. 记作: dy d f (x) ; y xx0 ; f (x x x 0); dx x x0 dx 0
时) (当
切线 MT 的斜率
C M
T
lim tan k tan

o x 0
x x
f( x ) f( x ) 0 割线 M N 的斜率 tan x x0 f( x ) f( x ) 0 k lim x x0 x x 0
f( t ) f( t ) 0 瞬时速度 v lim t t0 t t0
若上述极限不存在,就说函数f (x)在点x0不可导。 y , 也称 f ( x) 在 x 的导数为无穷大 . 若 lim 0 x 0 x 若函数在开区间 I 内每点都可导,就称函数在I 内可导. 此时导数值构成的新函数称为导函数. 记作:
y ;
注意:
f ( x) ;
dy ; dx
f( x 5x )f( x ) f( x h )f( x ) =5 f ( x ) f (x0 h) f (x0 ) 0 0 0 0 ( 1 )l i m lim 5 l i m 0 h 0 h0 h x 0 h x

高数 第章 导数与微分

高数 第章 导数与微分

第2章导数与微分总结一、 重点: 1.导数的概念;2.基本初等函数的导数;3.函数和、差、积、商的导数;4.复合函数的求导法则;5.微分的意义;6.微分与导数的关系及微分的求解。

二、难点:1.导数概念; 2.复合函数的求导法则;3.隐函数的导数; 4.微分形式的不变性。

三、必须掌握的内容:1.导数的定义;2.单侧导数,导函数;3.导数的几何意义;4.导数与连续的关系;6.基本初等函数的导数即导数基本公式;7.函数和、差、积、商的导数;8.复合函数的求导法则;9.隐函数的求导法则;10.取对数求导方法;11.高阶导数;12.微分的定义;13.微分与导数之间的关系;14.微分基本公式及其运算法则;15.微分形式的不变性;16.微分的求解;17.微分在近似计算的应用(了解)。

第一节重点: 导数概念;可导的主要条件;可导与连续的关系;可导的几何意义;难点:单侧导数;可导与连续的关系。

定义1:函数()y f x =在点0x 的某邻域内有定义,当自变量x 在点0x 处有改变量x 时,得对应的函数增量y 。

如果极限 0000()()lim lim x x f x x f x y x x→→+-=存在,则称函数()f x 在点0x 处是可导的(否则称函数()f x 在点0x 处不可导);且把该极限称为函数()f x 在点0x 处的导数。

记作:0()f x ' ,或0x x y =' ,0x x dy dx = 即:0000()()()lim x f x x f x f x x→+-'=, 若令0x x x =+,上式可表示为: 0000()()()lim x x f x f x f x x x →-'=- 利用定义可求函数在某点的导数。

例如:求2()3f x x =在1x =处的导数等。

定义2:若函数()f x 在区间(,)a b 内的每一点处都可导,则称函数()f x 在区间(,)a b 内可导。

高数导数

高数导数

善于总结:常见条件怎么用 做题注意:结论让你干什么
2.判断函数的极值,求极值
• 判断函数的极值:
(1)定义 (2)第一充分条件
(3)第二充分条件 • 求极值(具体函数): (1)求导数 (2)求出全部驻点与不可导点 (3)判断.
f ( x) f (a) lim 1, 则在点 a 处( 例. 设 2 x a ( x a )
提示:
1
ln b ln a f (b) f (a) ln b ln a 1 ( ); ; f f (b) f (a) f ( ) ba ba
4. 如果和高阶导数有关,则多次使用中值定 理或用泰勒定理
例:设f ( x)在[0,上具有三阶导数且f (0) f (1) 0. 1] 证明在 (0,1) 使得[ x3 f ( x)]
3. 可导的奇(偶)函数的导函数为偶 (奇) 函数
周期为T的可导函数的导函数也是周期为T 的函数
三.判断函数在一点x=x0处的可导性
1. 若函数为抽象函数,且不知道是否可导,通常利用导数 的定义判断:
f ( x0 h) f ( x0 ) f ( x0 ) lim ; h 0 h
注:导数定义的形式特征有两个 f ( x)
所以当 令 x b, 得 即所证不等式成立 .
• 例:设函数f(x)在区间[0,+∞)上具有二阶导数, 满足f(0)=0, f″(x)<0, 又0<a<b, 则当a<x<b时恒有 ( ) • A. af(x)>xf(a) B. bf(x)>xf(b) • C. xf(x)>bf(b) D. xf(x)>af(a)
1 1 (ln | y |)x (ln( y))x ( y ) y y y
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1基础总结1、极限的实质是:动而不达导数的实质是:一个有规律商的极限。

规律就是:0lim x y x∆→∆∆2、导数的多种变式定义:00000()()()()lim=lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-=∆∆-要注意细心观察发现,0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆是描述趋近任意x 时的斜率。

而00()()limx x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。

3、若x 没趋近到x0,那么除法得到的值是这段的平均斜率,如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。

4、可导与连续的关系:导数的实质是定义在某点的左右极限。

既然定义在了某点上,该点自然存在,而且还得等于左右极限。

因此,可导一定是连续的。

反之,如果连续,不一定可导。

不多说。

同理,如果不连续,肯定某点要么无定义,要么定义点跳跃跑了,肯定极限有可能存在,但是导数绝不会存在。

同理要注意左右导数的问题。

如果存在左或者右导数,那么在左侧该点一定是存在的。

如:(),0f x x x =<这个函数,在0点就不存在左导数,只存在右导数。

为什么嫩?看定义:0()()()(0)limlimx x f x x f x f x x f x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆。

定义里面需要用到f(0)啊!因此,千万不要以为导数是一种简单的极限,极限是可以在某点无定义的,而导数却是该点必须存在!由此引发了一些容易误判的血案: 例如:定义解决时候一定要注意000()()limx x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。

比如求上图中01()()lim x f x f x x x +→-- ,这个f(x0)千万要等于2/3,而不是1!由此也可以知道,32(),13f x x x =≤ 这个函数是不存在导数的,也不存在左导数,只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系:有这样一条有趣的关系:函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。

11'()(())'f x f y -=注意,求反函数时候不要换元。

因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变,但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。

结果显然是错误的。

举例子:求xy e =的导数。

显然反函数(不要换元)是ln x y = 。

反函数的导数是1'x y= 。

反函数导数的倒数是 =xy e,因此,()'x xy e e ==再如,求arcsin()x 的导数。

解:令函数为arcsin()y x =,则其反函数为sin x y =,导数的倒数为1(arcsin )'cos x y =。

但是必须消去y(注意到在定义域内cosy 恒为正,因此舍掉负解)6、复合函数求导法则:只要父函数和子函数随时能有定义,就拆着求就可以了。

7、高阶导数:如果f(x)在点x 处具有n 阶导数,那么f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。

()sin ()sin()2n n x x π=+; ()cos ()cos()2n n x x π=+;其余的也记不住,自己慢慢推导。

()()()()n n n u v u v ±=± ;二项式定理中有:0()nn k n k kn k u v C u v-=+=∑ ;类似的,乘法的n 阶导数也有:()()()(*)nn k n k k n k u v C u v-==∑。

这个是要熟练记忆的。

8、隐函数,参数方程的导数,相关变化率建议隐函数,参数方程的导数,以及求导数的相关变化率时使用dydx形式求解。

只有这样才能准确,安全,方便。

举例:求0ye xy e +-= (隐函数f(x,y)=0)中y 对x 的导数dy dx解:两边求导,()0y d e xy e d dx dx+-=())00y y y d e xy e de dxy de de dy dxydx dx dy dx dx+-+-→=→=+=,()0yy ydy ydx xdy dy dy ye e x y dx dx dx dx dx e x→++=++=→=-+解完以后发现效果还不错。

如果直接用什么y ’神马的净是错误,所以不要直接用口算,用dy/dx 方法求解。

复合隐函数如何求导?例如,如何求x yde dx+ ?简单,()=(1)()x y x y x y de de d x y dye dx d x y dx dx++++=++。

怎么样,就是层层剥香蕉的意思。

参数方程同理,设()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ ,则简单,而且显然有'()'()dy dy dt y t dx dt dx x t ==,二阶导数有223'()'()()()''()'()'()''()'()'()['()]y t y t d d d ydt y t x t y t x t x t x t dxdx dt dx x t -===。

麻烦吗?根本不要记,连参数方程的公式都不要记,自己慢慢算,算到哪里推导到哪里,简单又方便。

相关变化率问题,是说,dy dxdt dt之间的关系。

求dydx这一类(幂指数是12)一般都是对方程两边先求对数,再求解,这样求解起来应该会简单。

9、微分微分用dy 表示。

dy y ≈∆.微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定x ∆ 后对应的近似的y ∆ 。

实际上,()()y f x x f x ∆=+∆-,若可以化简成00()()()y f x x f x k x o x ∆=+∆-=∆+∆形式,则称()f x 在该点x0处可微记作0|x x dy k x ==∆ ,这部分称为线性部分。

()o x ∆ 是x ∆ 的高阶无穷小,因此在计算时可以省去,这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的y ∆了。

当0x ∆→ 时,(())0()0y k x o x dy k x ∆=∆+∆→=∆→ ,经过计算0lim =...=1x ydy∆→∆ ,可见,0dy y x ∆∆→与在 时是等价无穷小,即有y dy ∆:可微与可导的关系:可微和可导是等价的,互为充要条件。

关系如图课本上的一些重要易错的题1、求1arccos()yx=的导数解:2)dyxdx-=-===x≠2、试从1'dxdy y=导出223''(')d x ydy y=-解:222311()''1''''**(')'(')dxd d dd x dx y ydy y ydy dy dy dx dy y y y====-=-3、设f(x)在x=a的某个邻域内有定义,则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是:A 1lim[()()]hh f a f ah→+∞+-存在B(2)()limhf a h f a hh→+-+存在C()(-)lim2hf a h f a hh→+-存在D()(-)limhf a f a hh→-存在答案:D4、sin,0()ln(1),0x xf xx x<⎧=⎨+≥⎩在0处的单侧导数'(0)f-。

解:注意,不能用()()limxf x x f xx∆→+∆-∆,应该用()()limx xf x f xx x→--才能算出来。

这个要注意。

如果用()()limxf x x f xx∆→+∆-∆怎么算?5、此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题。

2 扩展部分求x=x0处导数有两种定义:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----∆+=→→∆0000000)()()()()('lim lim 0x x x f x f x x x f x x f x f x x x 而x 处的导函数只有一种定义hx f h x f x f h )()()('lim-+=→可导与连续的关系:可导指的是:存在左导数和右导数,且两者相等。

而左导数还是右导数的实质是单侧极限问题。

而若两侧(导函数的)极限都存在,那么必然该导函数存在极限,即该种极限的导函数即导数存在。

故可导的充要条件是存在左右极限且相等。

单侧导数与单侧极限一样,光有一个说明不了导数(极限)存在 可导必然连续,连续未必可导。

因为连续在公式上的表现是lim 0→∆x △y=0可导在公式上表现是存在lim 0→∆x △y/△x=f ’(x)故可导可以推出连续。

但连续推不出可导。

不可导未定不连续,但不连续一定不可导。

(可以用反证法证明)这些不用死记。

某点单侧导数存在,则该点一定要有定义。

比如⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,1,32)(23x x x x x f 在x=1处的右导数就不存在。

但是⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(2x x x x x f 在x=1处的右导数就存在。

反函数存在的充要条件是原函数单调。

要注意中自变量是什么。

是)('1)('y x f ϕ=而不是)('1)('x x f ϕ=一定要注意 Tan ,cot ,sec ,csc ,arctan ,arcsin ,arccos ,arccot 导数都可以自己推倒出来。

用的就是反函数的导数公式。

如:)(11)(sin 11)cos(1)'sin(1)'arcsin(22舍掉负值x y y y x -=-===a x a a a x y y a ln 1ln 1)'(1)'(log ===如果哪个忘了,要能够自己推导。

【回忆】牛顿二项式展开∑=-=+nk k k n k n nb a C b a 0)(与莱布尼茨高阶导形式类似。

这一节就是练习给出f(x)求)()(n x f 。

本节的题比较难。

主要方法是:1归纳法。

将)('x f ,)(''x f 求出整理归纳出n 阶导数 莱布尼茨公式求uv 乘积的高阶导数2遇到一些求分数函数的高阶导数的式子,一般就要先化简。

最好是想办法化成和的形式,再分别求高阶导数。

3遇到三角函数的高阶导数时,要把三角函数降阶到1阶再求。

一般给出f(x)求)()(n x f 需要综合运用各种方法才能算出来。

如先化简,再用归纳法,莱布尼茨公式等。

还有题是变量替换题。

例:设y=y(x)定义在(-1,1)上且二阶可导,满足方程0)1(2222=+--y a dxdyx dx y d x ,做变量代换x=sint ,证明0222=+y a dtyd证明:dxdy t dt dx dx dy dt dy cos *== dx dy t dt dx dy d t dt dx dy td dty d sin )(cos )(cos 22-==dxdy t dt dx dx y d t sin cos 22-= dxdy x dx y d x dx dy t dx y d t --=-=22222)1(sin sin -1)( 带入可证明结论。

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