第一讲：二次根式
第一讲 二次根式的应用
地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）第一讲 二次根式的应用【知识回顾】1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 25.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，•变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a=（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，•乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．【典型例题】1、概念与性质例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）．a （a ＞0） a -（a ＜0）0 （a =0）；地址：凤凰路中段468号鑫苑小区2栋2单元2号（柏杨小学旁）例2、求下列二次根式中字母的取值范围（1）x x --+315；（2）22)-(x例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4)例4、已知：的值。
第一讲_二次根式的概念与性质
第十六章 二次根式16.1 二次根式一、复习1、什么叫平方根？开平方？如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根，求一个数a 平方根的运算叫做开平方2、平方根如何表示？一个非负数a 的平方根可以表示为a ±3、求下列各数的平方根：4、求下列各数的正平方根：（1）4； （2）0.16； （3）925. （1）225; （2）0.0001； （3）1681. 二、二次根式的意义1. 二次根式的意义_根号a,其中a 是被开方数. 做二次根式.。
2．二次根式何时有意义：二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零 即：a ≥03. 例题例题1 下列各式是二次根式吗？2、32、2-、 12+a 、)0(<b b例题2 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1）12-x ； （2）x -2； （3）x1； （4）21x + 4．练习（一）设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？（1 （2 （3三、二次根式的性质性质1a a 2=; 性质2：_________________________;性质3：______________________; 性质4：________________________________.例题3 求下列二次根式的值：（1）2)3(π-； （2）122+-x x ，其中3-=x .（1（2（3)0x ≥；（4（5（60)b > 例题5 设a 、b 、c 分别是三角形三边的长，化简：22)()(a c b c b a --++-练习（二）：1、化简下列二次根式（1（20)x ≥； （30)n ≥； （4（5） （6）2、选择题（1）、实数a 、b 在数轴上对应的位置如图，则=---22)1()1(a b （ ）A 、b-aB 、2-a-bC 、a-bD 、2+a-b（2）、化简2)21(-的结果是（ ） A 、21- B 、12- C 、)12(-± D 、)21(-±（3）、如果2121--=--x x x x ，那么x 的取值范围是（ ） A 、1≤x ≤2 B 、1＜x ≤2 C 、x ≥2 D 、x ＞216．2最简二次根式和同类二次根式1、最简二次根式符合的两个条件：（1）_________________________________________________;（2）_________________________________________________.例题6 判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1（2（3（41)a ≥-例题7 将下列二次根式化成最简二次根式：（1)0y >；（2)0a b ≥≥；（3)0m n >>· · · · a b 0 12、练习（三）（1）判断下列二次根式中，哪些是最简二次根式：（2）找出下列二次根式中的非最简二次根式，并把它们化成最简二次根式：))00a y >> （3）将下列各二次根式化成最简二次根式：)))000b x y p q >>>>>3、同类二次根式几个二次根式化成_____________________后，如果_______________相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式. 例题8 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？))0,0a a >>例题9 合并下列各式中的同类二次根式：（1）323132122++-； （2）xy b xy a xy +-34、练习（四）（1）判断下列各组中的二次根式是不是同类二次根式：B. )0;x ≥))00a y >>（2）合并下列各式中的同类二次根式：A.-B.。
初中八年级数学课件 5.1 第1课时 二次根式的概念及性质
5.1 二次根式
第1课时 二次根式的概念及性质
学习目 1.了解二次根式的标定义；
2.理解二次根式在实数范围内有意义的条件； （重点）
3.掌握二次根式的两条重要性质．（重点、 难点）
导入新 课
回顾与 思考
(1) 5的平方根是5________，算术平5 方根是
______.
a
a
(2)正实数a的平方根是_____，算术平方S根
是______.
(3)如果一个正方形的的面积是 S，那么它
的边长是 .
讲授新 课
一 二次根式的概念
运用运载火箭发射航天 飞船时，火箭必须达到 一定的速度（称为第一 宇宙速度），才能克服 地球的引力，从而将飞 船送人环地球运行的轨 道.而第一宇宙速度v与 地球半径R之间存在如 下关系：v2=gR，其中 重力加速度常数 g≈9.8m/s2.若已知地球半
由于在实数范围内，负实数没有平方 根，因此
只有当被开方数是非负实数时,二次 根式才在实数范围内有意义.
例1 当x是怎样的实数时，二x次-1 根式
范围内有解意: 义由？x－1≥0， 解得 x ≥ 1.
在实数
因此，当x≥1时x，-1 在实数范围内有意义.
注意：我们都是在实数范围内讨论二
次根式有没有意义，今后不再写出
( 2 ) ( -1.2 )2 .
解: ( 1) (-2)2 = 22 =2 ； ( 2 ) (-1.2)2 = 1.22 = 1.2 .
议一 议
当a<0时，a2 = a 是否仍然成立？为
什么？
一般地，当a<0时， a2 = -a. 因此，我们可以得到：
a2
a
aa≥0 , a a＜0 .
1第一讲 二次根式教师版 (1)
第一讲 二次根式知识精讲知识点1 二次根式的定义1、代数式)0(≥a a 叫做二次根式.读作“根号a ”，其中a 是被开方数.它所表示的意义是一个非负数的正的平方根.其中的a 可以是整式,也可以是分式. 例如:)0(1),0(2,2>≥x xx x . 理解二次根式的概念，我们要注意以下两点:（1）判断一个式子是不是二次根式,不仅要看它是否含有“”，而且还要看被开方数或被开方式的值是否是非负数.如： )0(,3>--a a 这两个根式在实数范围内无意义，它 们不是二次根式.（2）在二次根式a 中，a 表示a 开平方取算术平方根的结果.如：31,2分别表示31,2的算术平方根；a 也可以是一个表示非负数的整式或分式.如：)0(1,2>x xx ，这时a 分别表示求xx 1,2的算术平方根的算式.由算术平方根的意义，可知a 可以是数或是式子。
2、课本指出：“通常把形如)0(≥a a m 的式子也叫做二次根式”，这样，二次根式的范围就更广了，如12,2,2,3,232+-x a a a 等也是二次根式.但要注意，如2,23a 中被开方数不含有字母的代数式是有理式；如12,22+x a a 中被开方数含有字母的代数式叫做无理式.无理式一定是根式，但根式不一定是无理式.有理式和无理式的区别主要在于 被开方数中是否含有字母.【例题1】下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？,44,9,2,2,8223++-x x a ,2),21(12,)4(22+<---x a a x522,)3(1),0(5a x x x +≤-. 【解析】判断一个式子是不是二次根式，主要看它是否符合以下两点：一是形式，根指数必须是2，否则就不是二次根式；而是被开方数是必须为非负数. 不是二次根式：,,8523a 9-，),21(12<-a a 2)3(1+x （只有在03≠+x 时才是二次根式），2)4(--x （只有4=x 时才是二次根式）；其余的都是二次根式.【例题2】要使下列式子有意义，字母x 应满足什么条件？（1）x 32-；（2）13-+x x ；（3）33-+-x x . 要使二次根式有意义，需被开方数为非负数.（1）32≤x ；（2）3-≥x 且1≠x ； （3）3=x【例题3】已知25523y x x =-+--，则2xy 的值是多少？【解析】 首先根据分式有意义的条件求出x 的值，然后根据式子求出y 的值，最后求出2xy 的值．解： 要使有意义，则⎩⎨⎧≥-≥-025052x x ，解得：x ＝25，故y ＝－3，∴2xy ＝－2×25×3＝－15．知识点2 二次根式的性质性质1： )0(2≥=a a a 或⎪⎩⎪⎨⎧<-=>==).0(),0(0),0(||2a a a a a a a性质2： )0()(2≥=a a a .性质3： )0,0(≥≥⋅=b a b a ab .性质4：)0,0(>≥=b a ba b a 【例题4】计算：（1）2)58(；（2）2)9(-；（3）2)5(；（4）2)23(-.【解析】根据二次根式的性质，)0()(2≥=a a a 可以计算出结果.（1）320；（2）9；（3）5；（4）18.【例题5】化简：（1）48；（2）)0,0(83≥≥b a b a ；（3）)9(169)36(-⨯⨯-.【解析】（1）；34（2）)0,0(22≥≥⋅b a ab a ；（3）234. 【例题6】化简：（1）62；（2）a28；（3）275321÷-.【解析】根据)0,0(>≥=b a b a ba 来计算.（1）33；（2）)0(2>a a a；（3）3-.【例题7】当xx x x -+=-+9292时，求x 的取值范围。
最新讲课稿1：二次根式
04
二次根式的应用
解决实际问题
计算土地面积
通过使用二次根式，可以计算出土地的面积，这对于土地测量和 规划非常重要。
计算建筑物的体积
在建筑设计和工程中，使用二次根式可以计算出建筑物的体积，从 而确保建筑物的安全性和稳定性。
计算物体的运动轨迹
在物理中，使用二次根式可以计算出物体的运动轨迹，这对于预测 物体的运动轨迹和速度非常重要。
01
$x^2$
02
$x^2 - 1$
03
$sqrt{x^2}$
04
$sqrt{x^2 - 1}$
提高练习题
总结词
难度稍高，考查学生对二次根 式的运算和化简能力。
化简题
$sqrt{4x^2}$
计算题
$sqrt{9} times sqrt{4}$
应用题
已知直角三角形斜边长为 $sqrt{13}$，一条直角边长为 $sqrt{3}$，求另一条直角边的长。
二次根式的混合运算
总结词
掌握二次根式的混合运算是进行复杂二次根式运算的关键，需要灵活运用加减乘除法则。
详细描述
在进行二次根式的混合运算时，我们需要根据题目要求，灵活运用加减乘除法则进行计算。例如，对于 $sqrt{5} + sqrt{20} - sqrt{5} times sqrt{20}$，我们可以先进行乘法运算，再进行加减法运算，得到结 果为$-15$。
综合练习题
总结词
涉及多个知识点，考查学 生对二次根式的综合运用 能力。
证明题
证明$sqrt{2} + sqrt{3} > sqrt{6}$。
解答题
求函数$y = sqrt{x^2 + 1}$的值域。
第1课 二次根式的概念
（3） 2x 4 . 5
解：由 2x4≥0,得x≥-2 5
6. (例3)要使下列式子有意义，求x的取值范围.
（1） x+1+ 3 x;
解：由
x 3
1 x
0, 0,
得－1≤x≤3
（2） x 1 ; x3
解：由
x x
1 0, 3 0,
得x≥－1且x≠3
（3） x 1 . x3
解：由x－3＞0, 得x＞3
PPT课程:第1课 二次根式的概念 主讲老师:
一、知识储备
3 2 9 4 2 16 0 2 0
9的平方根是_____3___，9的算术平方根是___3_____． 16的平方根是____4____，16的算术平方根是____4____. 0的平方根是____0____，0的算术平方根是____0____.
1. (例1)下列各式是二次根式的是( B )
A. 2 B. 5 C. 3 9
D. x
2. 下列各式是二次根式的是( A )
A. 2 B. 4 C. 32 D. 3 8
3. 下列各式一定是二次根式的是( C )
A. x B. x+1 C. x2 +1 D. x2 1
知识点2： a 有意义
a_≥___0
4.(例2)要使下列式子有意义，求x的取值范围.
（1） x 1;
（2） 3 2x;
解：由x+1≥0,得x≥－1
3 解：由3－2x≥0,得x≤2
（3） 2x.
解：由2x≥0,得x≥0
5. 要使下列式子有意义，求x的取值范围.
（1） 5 x;
（2） 5x;
解：由5－x≥0,得x≤5
解：由5x≥0,得x≥0
(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质
第1讲 二次根式认识、性质第一部分 知识梳理知识点一： 二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件知识点二：二次根式（）的非负性（）表示a 的算术平方根， 即0（）。
非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。
非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若，则a=0,b=0。
知识点三：二次根式的性质第二部分 考点精讲精练考点1、二次根式概念 例1、下列各式：122211,2)5,3)2,4,5)(),1,7)2153x a a a --+---+其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？（121 （219-（321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2xx y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）例5、若21x +的平方根是5±_____=．1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ）A B C D2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ）A B C D4、下列式子，哪些是二次根式， 1x、 x>0）1x y +、（x≥0，y ≥0） ．51+x 、2+1x 、______个。
考点2、根式取值范围及应用例1有意义，则x 的取值范围是例2有意义的x 的取值范围例3、当_____x 时，式子4x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+-m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12(-m例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y=例6、实数a ，b ，c │a －=______．1、使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠42x 的取值范围是3、如果代数式mnm 1+-有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 4、式子x x x 222+-+-有意义，x 为________ 5、yx是二次根式，则x 、y 应满足的条件是（ ） A ．0≥x 且0≥y B ．0>yxC ．0≥x 且0>yD ．0≥yx 62()x y =+，则x －y 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．37、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值8、当a 1取值最小，并求出这个最小值。
人教版九年级数学上册 第一讲 二次根式方程 讲义
人教版九年级数学上册第一讲二次根式方程讲义简介本讲义将介绍九年级数学上册的第一讲内容，即二次根式方程。
二次根式方程是数学中的重要概念，在解决实际问题和数学推理中起着重要作用。
本讲义将从理论和实践两个方面讲解二次根式方程的基本概念和求解方法。
二次根式方程的定义和性质- 二次根式方程是形如 $ax^2 + bx + c = 0$ 的方程，其中 $a$、$b$、$c$ 是已知的实数，且 $a \neq 0$。
- 二次根式方程的解可以分为以下几种情况：- 当 $b^2 - 4ac > 0$ 时，方程有两个不相等的实数解；- 当 $b^2 - 4ac = 0$ 时，方程有两个相等的实数解；- 当 $b^2 - 4ac < 0$ 时，方程没有实数解，但可以有复数解。
- 二次根式方程的解可以用因式分解、配方法或求根公式来求解。
二次根式方程的解法1. 因式分解法：对于形如 $(x - p)(x - q) = 0$ 的二次根式方程，可以直接通过因式分解求解。
将方程转化为 $(x - p) = 0$ 和 $(x - q) = 0$，从而得到解 $x = p$ 和 $x = q$。
2. 配方法：对于一般的二次根式方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以通过配方法将其转化为完全平方形式，进而求解。
具体步骤如下：- 将方程两边同时乘以 $4a$，得到 $4a^2x^2 + 4abx + 4ac = 0$；- 将方程两边同时加上 $b^2$，得到 $4a^2x^2 + 4abx + b^2 +4ac = b^2$；- 将左边整理为 $(2ax + b)^2$ 的形式，右边整理为 $b^2 -4ac$ 的形式；- 对方程开根号，得到 $2ax + b = \pm \sqrt{b^2 - 4ac}$；- 移项，得到 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$。
3. 求根公式：对于一般的二次根式方程 $ax^2 + bx + c = 0$，可以直接使用求根公式来求解。
最新数学八年级下第一章第一节《二次根式》课件教学讲义ppt课件
下列各式中哪些是二次根式？
7, 1, x6, x2y(y0), x2y2, 3
38, 2x22x 5, a1
?
7, 1, x2y(y0), x2y2, a1 3
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2)6,(3) 12, (4)-m(m≤0), (5) xy(x,y 异号)， (6) a2 1 , (7)3 5
？
a 1
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a1
3 a32
2 1
1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1 x 1 (2) 3xx0
(3) 4x2x为全体实数(4) 1 x
(5) x3
注意：为了方便起见，我们把一个数的算术平方根 也叫做二次根式。如 3 , 1
2
思考： a 1 是不是 二次根式?
不是,它是 二次根式 的代数式.
形 如 a (a 0 ) 的 式 子 叫 做 二 次 根 式 .
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
4 25x 5 2x12
6 x532x
7 2 x 1
1 x
（8）
1、若二次根式 x 2 的值为3，求x的值.
2.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公 式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所 经过的时间.
（1）把这个公式变形成用h表示t的公式
（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落， 落到地面需几秒（精确到0.1 秒）?
《二次根式》PPT课件(第1课时)
《二次根式》PPT课件(第1课时)
人教版八年级数学下册《二次根式》PPT课件(第1课时)，共30页。
学习目标
1. 理解二次根式的概念.
2. 掌握二次根式有意义的条件，能运用二次根式的概念求被开方数中字母的取值范围.
3. 会利用二次根式的双重非负性解决相关问题.
探究新知
二次根式的定义和有意义的条件
根据你的理解，猜想一下二次根式的定义应该有哪些条件？
我们知道，一个正数有两个平方根；
0的平方根为0；
在实数范围内，负数没有平方根.
因此，在实数范围内开平方的时候，被开方数只能是正数或0.
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围
当x是怎样的实数时,√x-2在实数范围内有意义?
归纳小结：要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可.若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.
被开方数是多项式时，需要对组成多项式的项进行恰当分组凑成含完全平方的形式，再进行分析讨论.
二次根式有意义的条件应用的不同类型：
(1)单个二次根式如√A有意义的条件：A≥0；
(2)二次根式作为分式的分母如B/√A有意义的条件：A＞0；
二次根式的双重非负性
二次根式√a的被开方数a的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
课堂小结
二次根式的定义
形如√a (a≥0)的式子叫做二次根式
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式或不等式组求出其解集二次根式的双重非负性
二次根式√a中,a≥0且√a≥0
... ... ...
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《二次根式》PPT课件(第1课时)
(5)当x＝－3时，
x
1
3
2
无意义，∴
1
x 32 也无意义；
当x≠－3时，
x
1
32
＞0，∴
1
x 32
是二次根式．
∴
1 不一定是二次根式．
a2 1，⑤ 15 ，
A．1个
B .2个
C．3个
D．4个
2.下列式子不一定是二次根式的是( A )
A. a B. b2 1 C. 0
D. a b2
3.为要使二次根式 x2 2x 1 有意义，x应取 （ D ）
A. x>1
B. x<1
C. x=1
D. x=-1
4.下列结论正确的是( A )
A． 62 6 C. 162 16
(a＜0)
2.若 a b 0, 则 a＝0，b＝0.由于二次根式 a和 b 都是非负数，
所以它们的值都为0.
两个非负数的和为0时， 这两个非负数都为0．
例2 若 A．1
x y 1 y 32 0, 则x－y的值为( C )
B．－1
C．7
D．－7
解析：因为 x y -1 和（y+3）2都是非负数，它们的和为0，所以 所以 y 32 0, x y 1 0, x＋y－1＝0，y＋3＝0，解得x＝4，y
知识点 3 二次根式 a 2 与 a2 的性质
1.小亮和小颖对二次根式“ a (a≥0)”分别有如下的观点.
你认同小亮和小颖的观点吗? 请举例说明.
小亮的观点 因为 a 表示的是非 负数a的算术平方根，所 以，根据算术平方根的意 义，有 a ≥0.
《二次根式》实数PPT课件(第1课时)
例知6识化点简： (1) 363;(2) 0.72;(3) 33 5(5).
知3－讲
导引：若被开方数是小数，则先将其化为分数，再化简．
解：(1) 363 121 3 121 3 11 3 .
72 72 36 2 6
3
(2) 0.72
2 2.
100 100ຫໍສະໝຸດ 102 10(6)是．理由：因为x2＋2x＋2＝x2＋2x＋1＋1＝(x＋1)2＋1＞0，且
x 2 2 x 2 的根指数为2，所以 x 2 2 x 2 是二次根式． (7)是．理由：因为|x|≥0，且 x 的根指数为2，所以 x 是二次根
式．
（来自《点拨》）
总结
知1－讲
二次根式的识别方法：判断一个式子是否为二次根 式，一定要紧扣二次根式的定义，看所给的式子是 否同时具备二次根式的两个特征： (1)含根号且根指数为2(通常省略不写)； (2)被开方数(式)为非负数．
解：(1)不是．理由：因为 3 64 的根指数是3，所以 3 64不是二次根
式．
(2)是．理由：因为不论x为何值，都有x2＋1＞0，且 x 2 1 的根指数为2，所以 x 2 1 是二次根式．
知1－讲
(3) 5a
(3)不一定是．理由：当－5a≥0，即a≤0时， 5a 是二次
根式；当a＞0时，－5a＜0，则 5a 不是二次根
第二章 二次根式
2.7 二次根式
第1课时
1 课堂讲解
2 课时流程
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二次： 根式的定义
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二次.1p根pt 式的性质
二次根式第一讲
二次根式第一讲模块一 二次根式的概念及性质二次根式的概念：形如0a ≥）的式子叫做二次根式，称为二次根号．a 表示a 的算术平方根。
二次根式的基本性质：（10（0a ≥）双重非负性；（2）2a =（0a ≥）；（3 (0) (0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． 一、对二次根式定义的考察【例1】 判下列式子有_______________、1x 0)x >、1x y +、x ≥0，y •≥0）．【巩固】下列式子中，是二次根式的是（ ）． A ． B C D ．x【例2】 （1）当x（2）当x 11x +在实数范围内有意义？x 有（ ）个 ． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数【例3】 解答下列题目（1） 已知6y ，求x y的值．（20，求20192019a b +的值．【巩固】已知a 、b 5b =+，求a 、b 的值．【巩固】已知实数a 与非零实数x 满足等式：222130x x ⎫⎛-+ ⎪⎝⎭ 二、对二次根式性质的考察【例4】 计算（1） 2 （2） 2 （3）2( （4） 2【巩固】计算（1） 2(0)x ≥ （2）2（3）2 （4）2【例5】 在实数范围内分解下列因式:（1）25x - （2）44x - （3） 223x -【例6】 先化简再求值：当a=9时，求a甲的解答为：原式=(1)1a a a =+-=；乙的解答为：原式=(1)2117a a a a =+-=-=． 两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．【巩固】若-3≤x ≤2时，试化简2x -【巩固】如果0a >，0a b<模块二 二次根式的乘除运算0a ≥，0b ≥）【例7】 =x ，y 必须满足条件 ．【例8】 化简：（1）＝______；（2＝______；（3______．如果)3(3-=-⋅x x x x ，那么a 的取值范围为____________; 【巩固】已知三角形一边长为cm 2，这条边上的高为cm 12，求该三角形的面积．【巩固】把4324根号外的因式移进根号内，结果等于__________; 【巩固】把下列各式中根号外的因式移到根号里面：（1）;1a a -（2）⋅---11)1(y y【例9】 先化简，再求值：((6)a a a a --，其中215+=a【例10】 已知a ，b 为实数，且01)1(1=---+b b a ，求20192019a b -的值．【巩固】探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：验证：同理可得：=……通过上述探究你能猜测出： =_______（a >0），并验证你的结论．=（0a ≥，0b >）【例11】 计算： （1） （2（3 （4a b =，【例12】 已，且x 为偶数，求(1x +(（m >0，n >0）模块三 最简二次根式：0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式．（1）被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（3）分母中不含二次根式注意：二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．一、最简二次根式的概念【例13】 把下列各式化成最简二次根式：（1______；（2______；（3______；（4______．【例14】 下列各式中是最简二次根式的是（ ）．A ．a 8B ．32-bC ．2y x -D ．y x 23【巩固】把下列各式化成最简二次根式：（1 （2 （3 （4【例15】 计算：（1 （2） （3二、分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．【例16】的有理化因式是 ；y 的有理化因式是 ．的有理化因式是 ．【例17】 把下列各式分母有理化：（1（22 （3 （4【例18】 观察规律：32321,23231,12121-=+-=+-=+，……，求值． （1）7221+＝______；（2）10111+＝______；（3）n n ++11＝______．-=_______．模块四 同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．合并同类二次根式：(a b +【例19】 把有 ；的被开方数相同的有 ；同的有 ．【例20】 若____a =．【例21】 化简后，与2的被开方数相同的二次根式是（ ）．A ．12B ．18C ．41D ．61【例22】 若n 是同类二次根式，求m 、n 的值．【巩固】若a a ，b 的值．【巩固】已知最简根式a ，b 的值（ ）A ．不存在B ．有一组C ．有二组D ．多于二组【例23】 化简计算：（1（2）(a b -(0a b >>) （3）-课堂检测【练习1】下列各式中，一定是二次根式的是（ ）．A ．23-B ．2)3.0(-C ．2-D ．x【练习2x 应满足的条件是_______; 【练习3】若m m 32-+有意义，则m ＝ ．【练习4】计算下列各式：（1） 2)23( （2）2)32(⨯ （3）2)53(⨯- （4）2)323(【练习5】计算下列各式，使得结果的分母中不含有二次根式：（1______；（2______；（3）322＝______；（4＝______．【练习6】计算 - （a >0）课后作业1.当a ______时，23-a 有意义；当x______时，31-x 有意义． 当x ______时，x 1有意义；当x ______时，x 1的值为1．2.若b ＜0______．3.3是同类二次根式的是 ．4.若3x y m = ．5.若a ，b 两数满足b ＜0＜a 且｜b ｜＞｜a ｜，则下列各式有意义的是（ ）．A ．b a +B ．a b -C ．b a -D ．ab6. ）A ．2x ≥B ．2x ≥-C ．22x -≤≤D ．2x ≥或2x ≤-7.若3,4a b =-=-，则下列各式求值过程和结果都正确的是（ ）A ．()3(34)21a a b =+=---=B ．15---C ．15=-=D ．15=±±=±±8.计算（1） （2） 781)1)（3） (⋅ （4） 48)832(3x x x x ÷-（5） (1x x ++9.若最简二次根式a 2b a -的值10.。
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第一讲：知识点一：二次根式1.下列各式中，是二次根式的有 （ ） A.3- B.32a C.12+x D.1-x2.下列二次根式中，x 的取值范围为2≥x 的是 （ ） A.x -2 B.2+x C.2-x D.21-x 3.当10≤≤x 时，下列式子在实数范围内有意义的是 （ ） A.)1(x x - B.x 31- C.13-x D.xx -1 4.如果x--35是二次根式，那么x 应适合的条件是 （ ） A.x <3 B.x >3 C.3≤x D.3≥x5.下列各式：①)0(≥a a ；②a 2；③23a ④342-x ，其中非负数有 （ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个6.当a 为任意实数时，下列各式总有意义的是 （ ） A.a 2- B.192+-a C.21a D.2)95(+a 7.若m m 32-+有意义，则=m _______。
8.若式子xyx 1+-有意义，则点P ),(y x 在第______象限。
9.使式子xx +-21有意义的x 的取值范围是____________。
变式练习：1、 （1）已知yx x x y ，522+-+-=的值为___________。
（2）若11-++b a ，则20142014b a +的值为__________。
2、 若已知b a ,为实数，且421025+=-+-b a a ，则=a _________，=b _________.3、 下列各式中，正确的是 （ ）A.3)3(2-=-B.332-=-C.3)3(2±=±D.332±= 4、 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足 （ ） A.321≤≤x B.3≤x 且21≠x C.321<<x D.321≤<x 5、若2)(11y x x x +=---，则y x -的值为 （ ）A.--1B.1C.2D.35、 求231294a a a a -+-+--+的值。
6、 若实数c b a ,,满足c c b a a b -+-=-+++-22232，试求222c b a ++的值。
知识点二：二次根式的性质1.下列各式中，对任意实数a 都成立的是 （ ） A.2)(a a = B.2a a = C.2a a = D.2)(a a =2.若a a 21)12(2-=-，则a 的取值范围是 ( ) A.21≤a B.21≥a C.21>a D.a 为任意实数 3.若3<x ，则化简x x x -++-5962的结果是 （ ）A.2B.-2C.82-xD.x 28-4.方程084=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是 （ ）A.10<<mB.2≥mC.2<mD.2≤m5.实数a 在数轴上的位置如图所示，则22)11()4(-+-a a 化简后为 （ ）A.7B.-7C.152-aD.无法确定6.若1-=m m ，则=---m m 21)1(2____________。
7.若整数m 满足条件1)1(2+=+m m ，且52<m ，则m 的值是____________。
8.已知1632+n 是整数，则n 的最小正整数值是_____________。
9.计算（1）2)31(； （2）2)32(-； （3）2)3(π-. 10.在实数范围内分解因式：（1）2222+-a a ； （2）94-x .11.已知31≤≤a ，试化简：961222+-++-a a a a 。
变式练习：1、 0)2014(12=-++y x ，则=y x _________。
2、 已知y x ,为实数，且满足01)1(1=---+y y x ，那么=-20132013y x ________。
3、 已知ABC ∆的三边c b a ,,，试化简：2222)()()()(b a c a c b b c a c b a -----+--+++。
知识点三：二次根式的乘法1.给出下列结论： ①)18(8-⨯-没有意义，因此不能化简； ②12188)18(8=⨯=-⨯-； ③188-⨯-没有意义，因此不能运算； ④12188)18(8188=⨯=-⨯-=-⨯-其中正确的有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个2.已知n 是一个正整数，n 135是整数，则n 的最小值是 （ ）A.3B.5C.15D.253.若0<ab 则化简的结果是 （ ） A.b a - B.b a - C.b a -- D.b a4.若x x x +⋅-=-3392，则x 的取值范围是 （ ）A.33≤≤-xB.3->xC.3≤xD.33<<-x5.化简：=-⨯)212(8_____________。
6.若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是_______________。
7.若长方形的长502=a ，宽323=b ，则长方形的面积=S ______________。
8.化简下列各式：（1）222425-； （2）)169(925)4(-⨯⨯-； （3））（）672-2447(⨯-； （4）y x y x 43212336⋅； （5）xy x 11010-⋅； （6）56)322(43⨯-⨯. 变式训练1、若b a b a -=2成立，则b a ,满足的条件是 ( )A.00><b a 且B.00≥≤b a 且C.00≥<b a 且D.异号b a ,2、 把式子11)1(---y y 中根号外的因式移到根号里面的结果是_______________。
3、 对于任意不相等的两个数b a ,，定义一种运算*如下：ba b a b a -+=*，如果5232323=-+=*，那么=*412___________________。
4、 解方程组⎩⎨⎧=+=+836,1063y x y x 则xy 的值是______________。
5、 已知4422-=-+a b a ，求ab 的值。
6、 张老师在计算机上设计了一长方形纸片，已知长方形的长是π140cm ，宽是π35cm 。
他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助张老师求出圆的半径。
7、 一个地面为cm cm 3030⨯长方形玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个地面为正方形、高为10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm ，铁桶的地面边长是多少cm ？知识点四：二次根式的乘除1.下列根式：①xy 2；②12；③21；④y x +；⑤xy 53，其中最贱二次根式的个数是 （ ）A.1B.2C.3D.42.等式aa a a --=--4343成立的条件 （ ） A.3≥a B.4≤a C.43≤≤a D.43<≤a3.已知1>a ，有四个等式：①a a11<；②a a >1；③a a >；④a a <1。
其中正确的不等式有 （ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4.化简33)3(-+-πππ的结果为 （ ） A.92--π B.92-π C.29π-- D.29π- 5.在电路中，已知一个电阻的阻值R 和它消耗的电功率P 。
由电功率计算公式R U P 2=可得它两端的电压U 为 （ ） A.P R B.RP C.PR D.PR ± 6.计算：（1）4519132223÷； （2）21112123÷÷； （3）21223151437⨯÷- （4））a a b ab 23()23(3-⨯-÷； （5）xx x 112+÷+ 变式练习7.设0,0>>b a ，则下列运算中错误的是 （ ) A.b a ab ⋅= B.b a b a +=+ C.a a =2)( D.ba b a =8.已知aa a a -=-112，则a 的取值范围是 （ ） A.0≤a B.0<a C.10≤<a D.0>a9.设长方形的面积是S ,相邻两边的长分别是b a ,。
（1）若cm a cm S 6162==，，求b ；（2）若cm b cm S 50,722==，求a 。
10.先化简，在求值：2444242-÷+-+--x x x x x x ，其中2=x 。
11.先将23222xx x x x -÷--化简，然后自选一个合适的x 值，代入求值。
12.现有一个用铁网围成的长、宽之比为3:1的长方形猪舍，需将面积扩大31，方案有两种。
方案一：在另外单独围一个正方形猪舍；方案二：将原猪舍改成正方形猪舍。
请你参谋一下，你认为哪个方案比较好？为什么？13.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如132,32,35+一样的式子，其实我们还可以进一步化简：553555335=⨯⨯=；（一） 36333232=⨯⨯=；（二） 131)3()13(2)13)(13()13(213222-=--=-+-⨯=+。
（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化。
132+还可以用以下的方法化简： 1313)13)(13(131)3(131-313222-=+-+=+-=+=+。
（四） （1）请用不同的方法化简：352+； （2）化简：12121571351131-+++++++++n n 。