高中数学 第二章 推理与证明 2.1.3 推理案例赏析学业分层测评 苏教版

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.3

推理案例赏析学业分层测评 苏教版选修2-2

(建议用时：45分钟)

学业达标]

一、填空题

1．如图2­1­19所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a 所表示的数是________.

【导学号：01580042】

图2­1­19

【解析】 由图形中数字，不难得出每行两头数字均为1，其它数字均为其肩上两数字之和，∴a ＝3＋3＝6.

【答案】 6

2．对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：

23

＝⎩

⎪⎨

⎪⎧

3，5， 33

＝⎩⎪⎨⎪⎧

7，9，

11，

43

＝⎩⎪⎨⎪⎧

13，

15，

17，

19，

….

仿此，若m 3

的“分裂数”中有一个是2 015，则m ＝________. 【解析】 根据分裂特点，设最小数为a 1， 则ma 1＋

m m －1

2

×2＝m 3

，∴a 1＝m 2

－m ＋1.

∵a 1为奇数，又452

＝2 025， ∴猜想m ＝45.

验证453

＝91 125＝ 1 979＋2 071 ×452.

【答案】 45

3．对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：________________________.

【解析】 平面几何中的线与立体几何中的面相类比，可得：夹在两个平行平面间的平行线段相等．

【答案】 夹在两个平行平面间的平行线段相等

4．观察下面不等式：1＋12<32，1＋12＋13<53，1＋12＋13＋14<7

4，…，猜想第n 个不等式

为________．

【解析】 当n ≥2时，则不等式左端就为1＋122＋132＋…＋1

n 2，而右端的分母正好是n ，

分子是2n －1，因此可以猜想，n ≥2时，满足的不等式为1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1

n

.

故可归纳式子为：1＋122＋132＋…＋1n 2<2n －1

n (n ≥2)．

【答案】 1＋12＋13＋…＋1n <2n －1

n (n ≥2)

5．若a 1，a 2，a 3，a 4∈R ＋

，有以下不等式成立：

a 1＋a 2

2

≥a 1a 2，

a 1＋a 2＋a 3

3≥3

a 1a 2a 3，a 1＋a 2＋a 3＋a 44

≥4a 1a 2a 3a 4.由此推测成立的不等式

是_______________________________________________．

(要注明成立的条件) 【答案】

a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n n

≥n a 1a 2a 3…a n (a 1，a 2，a 3，…，a n ∈R ＋

)

6．观察下列各式：55

＝3 125,56

＝15 625,57

＝78 125，…则52 015

的末四位数字为________．

【解析】 ∵55

＝3 125,56

＝15 625,57

＝78 125， 58

末四位数字为0 625,59

末四位数字为3 125， 510

末四位数字为5 625,511

末四位数字为8 125， 512末四位数字为0 625，…，

由上可得末四位数字周期为4，呈规律性交替出现， ∴5

2 015＝5

4×503＋3

末四位数字为8 125.

【答案】 8 125

7．(2016·湖北调研)如图2­1­20①②③④所示，它们都是由小圆圈组成的图案．现按同样的排列规则进行排列，记第n 个图形包含的小圆圈个数为f (n )，则

图2­1­20

(1)f (5)＝________；

(2)f (2 015)的个位数字为________．

【解析】 观察规律可知：f (5)＝4×5＋1＝21，f (2 015)＝2 014×2 015＋1，它的个

位数字是1.

【答案】 (1)21 (2)1

8．(2016·江西稳派调研)将2n

按如表所示的规律填在5列的数表中，设22 015

排在数表

的第n 行，第m 列，则第m －1列中的前n 个数的和S n ＝________.

【解析】 由于2 015行第4列，所以n ＝504，

m ＝4.所以S n ＝22

[1－ 24

504

]1－24

＝22 018

－4

15

. 【答案】

2

2 018－4

15

二、解答题

9．数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2

n

S n (n ∈N *)，证明： (1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫

S n n 是等比数列；

(2)S n ＋1＝4a n .

【导学号：01580043】

【证明】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝

n ＋2

n

S n ， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故

S n ＋1n ＋1＝2·S n

n ，数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫S n n 是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知

S n ＋1n ＋1＝4·S n －1

n －1

(n ≥2)． ∴S n ＋1＝4(n ＋1)·

S n －1n －1＝4·n －1＋2

n －1

·S n －1＝4a n (n ≥2)． 又∵a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝4＝4a 1， ∴对任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .

10．在平面几何中，研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为

a 的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值

3

2

a .类比上述命题，请你写出关于正四面