均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)

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专题03 均值不等式及不等式综合(原卷版)备考2025高考数学一轮知识清单

专题03均值不等式及不等式综合目录题型一：公式直接用............................................................................................................................................................1题型二：公式成立条件........................................................................................................................................................2题型三：对勾型凑配............................................................................................................................................................3题型四：“1”的代换：基础代换型..................................................................................................................................4题型五：“1”的代换：有和有积无常数型......................................................................................................................4题型六：“1”的代换：有和有积有常数型......................................................................................................................5题型七：分母构造型：分母和定无条件型........................................................................................................................5题型八：分母构造型：分离型型........................................................................................................................................6题型九：分母构造型：一个分母构造型............................................................................................................................7题型十：分母构造型：两个分母构造型............................................................................................................................7题型十一：分离常数构造型................................................................................................................................................8题型十二：换元构造型........................................................................................................................................................9题型十三：分母拆解凑配型................................................................................................................................................9题型十四：万能“K ”型...................................................................................................................................................10题型十五：均值不等式应用比大小..................................................................................................................................11题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型..................................................................................................................11题型十七：因式分解型......................................................................................................................................................12题型十八：三元型不等式.. (13)基本不等式：ab ≤a ＋b2；(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .(3)基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤a ＋b22，常用于求积的最大值；1A ．12B ．22a b +C ．a D ．2ab2．（22-23高三·全国·课后作业）若0,0a b >>，则下列不等式中不成立的是（）A ．222a b ab +≥B ．a b +≥C ．2221()2a b a b +≥+D ．111()a b a b a b +<≠-3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设0x >，0y >，且9xy =，则x y +的最小值为（）A ．18B ．9C ．6D ．34．（23-24高一下·河南·开学考试）设1,0a b ><，则（）A ．222a b ab +B ．a b ab +>C ．1ab <-D ．b ab<5．（2024·重庆·模拟预测）设,0x y >且21x y +=，则22log log 2x y +的最大值为题型二：公式成立条件利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（）A ．2y x x=+B ．22e e x x y -=+C ．1πsin 0sin 2y x x x ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭D ．2y =2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设0a >，0b >，则“62a b+≥”是6≥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（）A ．若0,0a b >>，且16a b +=，则64ab ≤B ．若0a ≠，则44a a +≥=C ．若,R a b ∈，则2()2a b ab +≥D ．对任意,R a b ∈，222,a b ab a b +≥+≥.4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（）A ．若0x <，则12xx +≤-B ．若x ∈R 22≥C ．若x ∈R 且0x ≠，则12x x+≥D ．若1a >，则()1116a a ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（）A ．函数4(0)y x xx =+<的最大值是4-B ．函数2y =2C ．函数16(2)2y x x x =+>-+的最小值是6D ．若4x y +=，则22x y +的最小值是86．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（）A ．当,R a b ∈时，222a bab +≤B ．若0x >，则函数()24f x xx=+的最小值等于C ．若221x y +=，则x y +的取值范围是(],2-∞-D )63a -≤≤的最大值是92题型三：对勾型凑配1.对勾型结构：1,bt at t t++容易出问题的地方，在于能否“取等”,如2sin sin θθθ+，其中锐角，22155x x +++2.对勾添加常数型对于形如1+cx d ax b ++，则把cx d +转化为分母的线性关系：()1++c cax b d a ax b a++-可消去。

2高考中均值不等式类型解析

高三第一轮复习——用均值不等式求最值的类型及方法-教师版均值不等式是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，也是高考常考的一个重要知识点。

要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题。

一、几个重要的均值不等式①，、)(222222R b a b a ab ab b a ∈+≤⇔≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②，、)(222+∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⇔≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立；注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

二、函数()(0)bf x ax a b x=+>、图象及性质 (1)函数()0)(>+=b a xbax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+=b a xbax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ；②单调递增区间：(,-∞，)+∞；单调递减区间：(0,，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 1：配系数【例1】已知230<<x ，求)23(x x y -=的最大值. 【分析】按照“和定积最大”的思路，由于)23(x x -+不是定值，所以应把x 配出系数2成为x 2，使得3)23(2=-+x x 为定值.【解】由于230<<x ，所以023>-x ,从而 89)2232(21)]23(2[21)23(2=-+⨯≤-=-=x x x x x x y ，当且仅当)23(2x x -=即43=x 时，89m a x =y .说明:这里运用了2)2(b a ab +≤.2:添加项【例2】已知23>x ，求322-+=x x y 的最小值. 【分析】按照“积定和最小”的思路，由于322-⨯x x 不是定值，所以应把x 变凑成23)32(21+-x ,使得1322)32(21=-⨯-x x 为定值. 【解】由于23>x ,所以032>-x ,于是2723322)32(21223322)32(21322=+-⨯-≥+-+-=-+=x x x x x x y ,当且仅当322)32(21-=-x x 即25=x 时，27min =y .【例3】求函数21(1)2(1)y x x x =+>-的最小值。

高考数学一轮复习不等式【题库】7.2 均值不等式

7.2 均值不等式一、选择题1.设a ＞0，b ＞0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )(1a ＋1b)≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b解析 ∵(a ＋b )(1a ＋1b )≥2ab ·21ab＝4.∴A 成立；∵a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0， ∴C 成立；对于D ，如果a ＜b ，显然成立，如果a ＞b ，则|a －b |≥a －b ⇔a －b ≥a －2ab ＋b ⇔2b (b －a )≤0，而2b (b －a )≤0成立，故D 也成立．所以选B.也可取特殊值，如a ＝1100，b ＝110，易验证B 不成立．答案 B2．已知0＜x ＜1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )． A.13B.12C.34D.23解析 ∵0＜x ＜1，∴1－x ＞0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34. 当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B3．把一段长16米的铁丝截成两段，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( )． A ．4B ．8C ．16D ．32解析设截成的两段铁丝长分别为x,16－x,16＞x ＞0，则围成的两个正方形面积之和为S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16－x 42≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋16－x 422＝8，当且仅当x 4＝16－x 4，即x ＝8时，等号成立．故两个正方形面积之和的最小值为8. 答案 B4．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1b有最大值4B ．ab 有最小值14C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2＋b 2有最小值22解析由均值不等式，得ab ≤a 2＋b 22＝a ＋b2－2ab2，所以ab ≤14，故B 错；1a＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，故A 错；由均值不等式得a ＋b2≤ a ＋b 2＝12，即a ＋b ≤ 2，故C 正确；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故D 错．答案 C5．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )．A.72B ．4C.92D ．5解析依题意得1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b (a ＋b )＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤5＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ×4a b ＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2b a ＝4ab a ＞0，b ＞0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92，选C. 答案 C6．已知x ＞0，y ＞0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则a ＋b 2cd 的最小值是( )．A ．0B ．1C ．2D ．4解析由题知a ＋b ＝x ＋y ，cd ＝xy ，x ＞0，y ＞0，则a ＋b2cd ＝x ＋y 2xy≥2xy2xy＝4，当且仅当x ＝y 时取等号．答案 D7．若直线ax －by ＋2＝0(a ＞0，b ＞0)被圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0截得的弦长为4，则1a ＋1b的最小值为( )．A.14B. 2C.32＋ 2 D.32＋2 2解析圆的直径是4，说明直线过圆心(－1,2)，故12a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝32＋b a ＋a 2b ≥32＋2，当且仅当b a ＝a 2b ，即a ＝2(2－1)，b ＝2－2时取等号．答案 C 二、填空题8．若x ＞1，则x ＋4x －1的最小值为________．解析 x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥2x －1·4x －1＋1＝5，等号当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时成立．答案 59．函数y ＝a 1－x (a ＞0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0 (mn ＞0)上，则1m ＋1n的最小值为________．解析 ∵y ＝a 1－x 恒过点A (1,1)，又∵A 在直线上，∴m ＋n ＝1.而1m ＋1n ＝m ＋n m ＋m ＋n n ＝2＋n m ＋m n ≥2＋2＝4，当且仅当m ＝n ＝12时，取“＝”，∴1m ＋1n的最小值为4.答案 410．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值为________．解析由x 2＋y 2＋xy ＝1，得(x ＋y )2－xy ＝1，即xy ＝(x ＋y )2－1≤x ＋y 24，所以34(x ＋y )2≤1，故－233≤x ＋y ≤233，当x ＝y 时“＝”成立，所以x ＋y 的最大值为233. 答案23311． x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2的最小值为________．解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝1＋4＋4x 2y 2＋1x 2y 2≥1＋4＋24x 2y 2·1x 2y 2＝9，当且仅当4x 2y 2＝1x 2y2时等号成立，即|xy |＝22时等号成立．答案 912．在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P ，Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．解析假设直线与函数f (x )＝2x的图象在第一象限内的交点为P ，在第三象限内的交点为Q ，由题意知线段PQ 的长为OP 长的2倍．假设P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，2x 0，则|PQ |＝2|OP |＝2x 20＋4x 20≥4.当且仅当x 20＝4x 20，即x 0＝2时，取“＝”号．答案 4 三、解答题 13.(1)求函数y ＝x ＋12x(x ＜0)的最大值； (2)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值； (3)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值．分析将函数式先合理变形，再使用算术平均数与几何平均数定理求函数最值．解析 (1)∵x ＜0，∴y ＝x ＋12x ＝－[(－x )＋1－2x]≤－2－x·1－2x＝－2(当且仅当x ＝－22时，取“＝”号) ∴y max ＝－ 2. (2)∵x ＞3，∴y ＝1x －3＋x ＝1x －3＋(x －3)＋3≥5(当且仅当x －3＝1x －3，即x ＝4时，取“＝”号)．∴y min ＝5.(3)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12·2x ·(a －2x )≤12·[2x ＋a －2x2]2＝a 28(当且仅当x ＝a4时，取“＝”)．∴y max ＝a 28.14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)．(1)写出楼房平均综合费用y 关于建造层数x 的函数关系式；(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解析 (1)依题意得y ＝(560＋48x )＋2 160×10 0002 000x＝560＋48x ＋10 800x(x ≥10，x ∈N ＋)； (2)∵x ＞0，∴48x ＋10 800x≥248×10 800＝1 440(元)，当且仅当48x ＝10 800x，即x ＝15时取到“＝”，此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．15．已知a ，b ＞0，求证：a b 2＋b a 2≥4a ＋b . 证明 ∵a b 2＋b a 2≥2a b 2·ba 2＝2 1ab＞0，a ＋b ≥2ab ＞0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋b a 2(a ＋b )≥21ab·2ab ＝4.∴a b 2＋b a 2≥4a ＋b.当且仅当⎩⎨⎧a b 2＝b a 2，a ＝b取等号，即a ＝b 时，不等式等号成立．16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S 平方米．(1)试用x 表示S ；(2)当x 取何值时，才能使得S 最大？并求出S 的最大值．解析 (1)由题图形知，3a ＋6＝x ，∴a ＝x －63.则总面积S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －4·a ＋2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 800x －6 ＝a ⎝⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝x －63⎝ ⎛⎭⎪⎫5 400x －16＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，即S ＝1 832－⎝ ⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3(x ＞0)． (2)由S ＝1 832－⎝⎛⎭⎪⎫10 800x ＋16x 3，得S ≤1 832－210 800x·16x3＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．当且仅当10 800x ＝16x3，此时，x ＝45.即当x 为45米时，S 最大，且S 最大值为1 352平方米．。

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基础篇一、单变量部分1、求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。

高三数学第一轮复习 04：基本不等式

高中数学第一轮复习04基本不等式·知识梳理·模块01：平均值不等式一、平均值不等式有关概念1、通常我们称a b+2为正数a b 、a b 、的几何平均值。

2、定理：两个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数b a 、，有2a b+≥，且等号当且仅当a b =时成立.3、定理：对于任意的实数b a 、，有2()2a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

即对任意的实数b a 、，有222a b ab +≥，且等号当且仅当b a =时成立。

[注意事项]：222a b ab +≥和2a b+≥两者的异同：（1）成立的条件是不同的：前者只要求,a b 都是实数，而后者要求,a b 都是正数；（2）取等号的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当a b =时取等号”；（3）222a b ab +≥可以变形为：222a b ab +≤；2a b +≥可以变形为：2(2a b ab +≤。

4、平均值不等式的几何证明法：如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC a =,BC b =，过点C 作DC AB ⊥交圆于点D ，连接AD 、BD .易证~Rt ACD Rt DCB ∆∆，那么2CD CA CB =⋅，即CD =.这个圆的半径为2b a +，它大于或等于CD ，即ab ba ≥+2，其中当且仅当点C 与圆心重合，即a b =时，等号成立.[知识拓展]1、当0a b <≤时，2112a ba b a b+≤≤≤+（调和平均值≤几何平均值≤算术平均值≤平方平均值）2、123,,,,n a a a a 是n 个正数，则12na a a n+++ 称为这n个正数的算术平均数，称为这n 个正数的几何平均数，它们的关系是：12n a a a n+++≥ ，当且仅当12n a a a ===时等号成立.二、利用基本不等式求最值问题（1）“积定和最小”：a b +≥⇔如果积ab 是定值P ，那么当a b =时，和a b +有最小值；（2）“和定积最大”：2(2a b ab +≤⇔如果和a b +是定值S ，那么当a b =时，积ab 有最大值214S .[注意事项]：基本不等式求最值需注意的问题：（1）各数(或式)均为正；（2）和或积为定值；（3）等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可。

版高考数学一轮复习核心素养测评三十均值不等式(含解析)新人教B版-新人教B版高三全册数学试题

核心素养测评三十均值不等式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.若mn=1,其中m>0,则m+3n的最小值等于( )A.2B.2C.2D.【解析】选C.因为mn=1,其中m>0,所以n>0,所以m+3n≥2=2,当且仅当m=,n=时取等号,所以m+3n的最小值等于2.2.(2020·某某模拟)已知函数y=x-4+(x>-1),当x=a时,y取得最小值b,则2a+3b等于( )A.9B.7C.5D.3【解析】选B.因为x>-1,所以x+1>0,所以y=x-4+=x+1+-5≥2-5=1,当且仅当x+1=,即x=2时取等号,所以y取得最小值b=1,此时x=a=2,所以2a+3b=7.3.若log2x+log2y=1,则2x+y的最小值为( )A.1B.2C.2D.4【解析】选D.因为log2x+log2y=1,所以log2xy=1,所以xy=2,所以2x+y≥2=4,当且仅当2x=y,即x=1,y=2时取等号.所以2x+y的最小值为4.4.(2019·某某模拟)若ab>0,则的最小值为( )A.2B.C.3D.2【解析】选A.因为ab>0,所以=+≥2=2,当且仅当=,即a=b时取等号.5.若a,b都是正数,且a+b=1,则(a+1)(b+1)的最大值为( )A. B.2 C. D.4【解析】选C.由题意可知(a+1)(b+1)≤==,当且仅当a=b=时取等号.6.(2020·滨州模拟)已知a>0,b>0,4a+b=2,则+的最小值是( )A.4B.C.5D.9【解析】选B.因为a>0,b>0,4a+b=2,所以+=(4a+b)=≥=,当且仅当=,即a=,b=时取等号.7.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则x+2y的最小值是世纪金榜导学号( )A. B.2C. D.-【解析】选B.已知非负数x,y满足xy+y2=1,则有:y(x+y)=1,由已知可得:y≠0,由y>0,x为非负数, 当x=0时,y=1,则x+2y=2;当x≠0时,y>0,x+y>0,则x+2y=y+(x+y)≥2=2,当且仅当y=x+y时取等号.即x=0,y=1时取等号.二、填空题(每小题5分,共15分)8.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系式为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转________年时,年平均利润最大,最大值是________万元.【解析】每台机器运转x年的年平均利润为=18-,而x>0,故≤18-2=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:589.已知a>b>0,则a2+的最小值是________. 世纪金榜导学号【解析】因为a>b>0,所以b(a-b)≤=,当且仅当a=2b时等号成立.所以a2+≥a2+=a2+≥2=16,当且仅当a=2时等号成立.所以当a=2,b=时,a2+取得最小值16.答案:1610.(2019·某某模拟)函数y=(x<1)的最大值为________,此时x的值为________. 世纪金榜导学号【解析】函数y===x+1+=(x-1)++2 (x<1),因为(1-x)+≥2,当且仅当x=0时,取等号,所以(x-1)+≤-2,当且仅当x=0时,取等号.故函数y=的最大值为0.答案:0 0(15分钟25分)1.(5分)(多选)设a>0,b>0,则下列不等式中一定成立的是( )A.a+b+≥2B.≥C.≥a+bD.(a+b)≥4【解析】选ACD.因为a>0,b>0,所以a+b+≥2+≥2,当且仅当a=b且2=,即a=b=时取等号,故A 成立;因为a+b≥2>0,所以≤,当且仅当a=b时取等号,所以≥不一定成立,故B不成立,因为≤=,当且仅当a=b时取等号,==a+b-≥2-,当且仅当a=b时取等号,所以≥,所以≥a+b,故C一定成立,因为(a+b)=2++≥4,当且仅当a=b时取等号,故D一定成立.2.(5分)正数a,b满足+=1,若不等式a+b≥-x2+4x+18-m对任意实数x恒成立,则实数m的取值X围是( )A.[3,+∞)B.(-∞,3]C.(-∞,6]D.[6,+∞)【解析】选D.因为a>0,b>0,+=1,所以a+b=(a+b)=10++≥16,当且仅当=,即a=4,b=12时取等号.依题意,16≥-x2+4x+18-m,即x2-4x-2≥-m对任意实数x恒成立.又x2-4x-2=(x-2)2-6,所以x2-4x-2的最小值为-6,所以-6≥-m,即m≥6.3.(5分)(2019·聊城模拟)已知两圆x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+y2-2by+b2-1=0恰有三条公切线,若a∈R,b∈R,且ab≠0,则+的最小值为 ( )A.3B.1C.D.【解析】选B.由题意得两圆相外切,两圆的标准方程分别为(x+2a)2+y2=4,x2+(y-b)2=1,圆心分别为(-2a,0),(0,b),半径分别为2和1,所以=3,所以4a2+b2=9,所以+=×=++≥+=1.当且仅当=时,等号成立,所以+的最小值为1.4.(5分)已知正数x,y满足x+y=5,则+的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】正数x,y满足x+y=5,所以(x+1)+(y+2)=8,则+=[(x+1)+(y+2)]+=≥=,当且仅当x+1=y+2,即x=3,y=2时,上式取得最小值.答案:5.(5分)(2020·某某模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2+b2+ab=c2,且△ABC 的面积为c,则ab的最小值为________. 世纪金榜导学号【解析】在△ABC中,a2+b2+ab=c2,结合余弦定理a2+b2-2abcos C=c2,可得cos C=-,所以sin C=.由三角形面积公式,可得c=absin C代入化简可得c=, 代入a2+b2+ab=c2中可得a2+b2=-ab,因为a2+b2≥2ab,所以-ab≥2ab,解不等式可得ab≥48,所以ab的最小值为48.答案:48。

江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式(教师版)

江苏省2014届一轮复习数学试题选编16：均值不等式填空题1 ．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到500m 以外的公路边埋栽,在500m 处栽一根,然后每间隔50m 在公路边栽一根.已知运输车辆一次最多只能运3根,要完成运栽20根电线杆的任务,并返回材料工作,则运输车总的行程最小为____m .【答案】14000 m .2 ．（徐州、宿迁市2013届高三年级第三次模拟考试数学试卷）若0,0a b >>,且11121a b b =+++,则2a b +的最小值为____.【答案】 3 ．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知a ,b ,c 是正实数,且abc +a +c =b ,设222223111p a b c =-++++,则p 的最大值为________. 【答案】1034 ．（苏北三市（徐州、淮安、宿迁）2013届高三第二次调研考试数学试卷）若对满足条件)0,0(3>>=++y x xy y x 的任意y x ,,01)()(2≥++-+y x a y x 恒成立,则实数a 的取值范围是_____.【答案】37(,]6-∞ 5 ．（江苏省姜堰市2012—2013学年度第一学期高三数学期中调研(附答案) ）已知x >1,则21x x +-的最小值为_________.【答案】16 ．（2010年高考（江苏））将边长为1的正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记S=梯形的面积梯形的周长）2(,则S 的最小值是______________【答案】37 ．（江苏省海门市四校2013届高三11月联考数学试卷）二次函数2()2()f x ax x c x R =++∈的值域为[0,+∞),则11a c c a+++的最小值为_____. 【答案】48 ．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）设正实数,,x y z 满足21x y z ++=,则19()x y x y y z++++的最小值为________________. 【答案】79 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）已知函数()|lg |f x x =,0a b >>,()()f a f b =,则22a b a b+-的最小值等于_________.【答案】10．（2013江苏高考数学）在平面直角坐标系xOy 中,设定点),(a a A ,P 是函数xy1=(0>x )图象上一动点,若点A P ，之间的最短距离为22,则满足条件的实数a 的所有值为_______.【答案】解析:本题主要考察二次函数的值域等基础知识,以及设元.换元法.分类讨论等数学思想方法.设点)1,(x x P (0>x ),则222222)1(2)1()1()(a x x a xx a x a x d ++-+=-+-=设t x x =+1(2≥t ),则21222-=+t xx 2)(22-+-=a a t d ,设2)()(22-+-=a a t t f (2≥t )对称轴为a t = 分两种情况:(1)2≤a 时,)(t f 在区间[)+∞,2上是单调增函数,故2=t 时,)(t f 取最小值 ∴222)2(22min =-+-=a a d ,∴0322=--a a ,∴1-=a (3=a 舍)(2)a >2时,∵)(t f 在区间[]a ,2上是单调减,在区间[)+∞,a 上是单调增, ∴a t =时,)(t f 取最小值 ∴222)(22min =-+-=a a a d ,∴10=a (10-=a 舍)综上所述,1-=a 或1011．（南京市四星级高级中学2013届高三联考调研考试（详细解答）2013年3月）过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为_______.【答案】3212．（江苏省扬州市2013届高三上学期期中调研测试数学试题）设,x y 是正实数,且1x y +=,则2221x y x y +++的最小值是____.【答案】14解:设2x s +=,1y t +=,则4s t +=,所以2221x y x y +++=22(2)(1)41(4)(2)s t s t s t s t--+=-++-+ 4141()()6()2s t s t s t =+++-=+-.因为41141149()()(5)444t s s t s t s t s t +=++=++≥所以221214x y x y +≥++. 13．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）（选修物理））已知正数x,y 满足2x+y-2 =0,则2x yxy+的最小值为___________________.【答案】9214．（2011年高考（江苏卷））在平面直角坐标系xOy 中,过坐标原点的一条直线与函数xx f 2)(=的图象交于,M N两点,则线段MN 长的最小值是________【答案】【命题立意】本题考查了函数的图像、直线的方程、基本不等式等基础知识,重在考查学生分析问题和解决问题的能力4．【解析】设过原点与f(x)相交的直线方程为(0)y kx k =>,该直线与函数xx f 2)(=的交点坐标为和(,则线段PQ的长4PQ =≥,当且仅当22k k=即1k =时上式取等号.15．（江苏省盐城市2013届高三10月摸底考试数学试题）常数,a b 和正变量,x y 满足16a b ⋅=,x a +2b y =12,若2x y +的最小值为64,则ba =________.【答案】6416．（镇江市2013届高三上学期期末考试数学试题）已知x ,y 为正数,则22x yx y x y+++的最大值为______. 【答案】32.本题可以进一步推广为:是否存在实数k ,使得2222x y x yk x y x y x y x y+≤≤+++++当 0xy >时恒成立?17．（江苏省徐州市2013届高三上学期模底考试数学试题）已知二次函数2()41f x ax x c =-++的值域是[1,+∞),则1a +9c的最小值是________.【答案】3 解答题18．（江苏省苏南四校2013届高三12月月考试数学试题）建造一条防洪堤,其断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60(如图),考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其断面面积为36平方米,为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省,则断面的外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)要最小.(1)求外周长的最小值,并求外周长最小时防洪堤高h 为多少米? (2)如防洪堤的高限制在]32,3[的范围内,外周长最小为多少米?【答案】19．（苏州市第一中学2013届高三“三模”数学试卷及解答）如图,某农业研究所要在一个矩形试验田ABCD内种植三种农作物,三种农作物分别种植在并排排列的三个形状相同、大小相等的矩形中.试验田四周和三个种植区域之间设有1米宽的非种植区.已知种植区的占地面积为800平方米. (1)设试验田ABCD 的面积为S ,x AB =,求函数)(x f S =的解析式; (2)求试验田ABCD 占地面积的最小值.【答案】解:(1)设ABCD 的长与宽分别为x 和y ,则800)2)(4(=--y x42792-+=x xy试验田ABCD 的面积==xy S 4)2792(-+x xx(2令t x =-4,0>t ,则32002808S t t=++,968≥当且仅当tt 32002=时,40=t ,即44=x ,此时,22=y答: 试验田ABCD 的长与宽分别为44米、22米时,占地面积最小为968米220．（江苏省泰兴市2013届高三上学期期中调研考试数学试题）某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块(如图),长、宽分别是x 米、y 米,中间建三个矩形温室大棚,大棚周围均是宽为1米的小路,大棚所占地面积为S 平方米,其中a ∶b =1∶2. (1)试用x ,y 表示S ;(2)若要使S 最大,则x ,y 的值各为多少?【答案】解:(1)由题意可得:1800xy =,2b a =则333y a b a =++=+38(2)(3)(38)(38)1808333y yS x a x b x a x x -=-+-=-=-=--8818001600180831808318083()33y S x x x x x =--=--⋅=-+1808318082401568-⨯=-=≤ 当且仅当1600x x =,即 40x =时取等号, S 取得最大值.此时 180045y x== 所以当40x =,45y =时,S 取得最大值。

新课改地区高考数学人教B一轮复习攻略核心考点·精准研析 62 均值不等式含解析

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核心考点·精准研析考点一利用均值不等式求最值命题精解读考什么：(1)考查求最值，证明不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的【核心素养】.怎么考：求式子的最值，证明不等式、与函数结合考查求函数的值域，与解析几何结合求面积等几何量的最值.新趋势：与函数相结合求值域.学霸好方法1.求最值的解题思路(1)拼凑法：拼凑成积或和为定值，利用均值不等式求相应的最值.(2)构造法：通过对已知条件的变形，构造定值，代入后利用均值不等式求值.(3)消元法：当要求最值的式子中含有多个字母时，应考虑利用已知条件减少字母的个数，以达到利用均值不等式求最值的目的.2.交汇问题与方程、不等式交汇时，涉及恒成立问题、参数的范围等.通过拼凑定值求最值【典例】已知a,b>0,则+的最小值为__________.【解析】因为a,b>0,方法一:原式=+1+-1=+-1≥2-1=4-1=3,当且仅当=,a=b时取等号.方法二:所以+=+1+-1≥2-1=3,当且仅当+1=,即a=b时取等号.答案:3本例不能直接运用均值不等式时怎么办？提示：通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形，再观察拼凑定值利用均值不等式求最小值.通过常值代换求最值【典例】(2019·深圳模拟)已知a>1,b>0,a+b=2,则+的最小值( )A.+B.+C.3+2D.+【解析】选A.已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-1>0,则+=[(a-1)+b]=1+++≥+2=+;当且仅当=,a+b=2时取等号.则+的最小值为+.将条件进行变形目的是什么？提示：将已知条件变形，变形的方向是要证明的式子，特别是与式子分母相关的定值，将定值变为1后相乘，再利用均值不等式求最值.通过消元求最值【典例】(2020·武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则的最大值为( )A. B. C. D.【解析】选B.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,所以y=>0,解得x>4,所以===≤=,当且仅当x-4=,x=6时等号成立,所以的最大值为.将其中一个字母利用另一个字母表示，代入后的变形方向如何？提示：构造定值以利用均值不等式求最值.构造二次不等式求最值【典例】(2019·重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为________.【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=×2ab≤,所以(2a+b)2+8(2a+b)-48≥0,所以2a+b≥4,当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.答案:4本题利用均值不等式，将已知式子进行转换的目标是什么？提示：转化成关于2a+b的二次不等式，通过解不等式求最值.1.设x,y∈R,且xy≠0,则的最小值为( )A.-9B.9C.10D.02.(2020·厦门模拟)已知0<x<1,当+取得最小值时x= ( )A.2-B.-1C.D.3.(2019·嘉兴模拟)已知a>0,b>0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为( )A.5+2B.8C.5D.94.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是( )A.1B.3C.6D.12【解析】 1.选 B.=5++x2y2≥5+2=9,当且仅当xy=±时,上式取得等号,可得最小值为9.2.选D.因为0<x<1,所以1-x>0,所以+=(x+1-x)=5++≥5+2=9,当且仅当=,即x=时取等号,所以+取得最小值时x=.3.选A.因为a>0,b>0,且2a+b=ab-1,所以a=>0,所以b>2,所以a+2b=+2b=2(b-2)++5≥5+2=5+2,当且仅当2(b-2)=,即b=2+时取等号.所以a+2b的最小值为5+2.4.选B.因为x2+2xy-3=0,所以y=,所以2x+y=2x+==+≥2=3.当且仅当=,即x=1时取等号.1.已知点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,若存在满足该条件的a,b,使得不等式+≤m2+8m成立,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-1]∪[9,+∞)B.(-∞,-9]∪[1,+∞)C.[-1,9]D.[-9,1]【解析】选 B.点A(1,2)在直线ax+by-1=0(a>0,b>0)上,可得a+2b=1,+=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=时取得等号,即+的最小值为9,则9≤m2+8m,解得m≥1或m≤-9.2.以点(-1,-1)为圆心且与曲线C:xy=1(x>0)有公共点的圆称之为C的“望圆”,则曲线C的所有“望圆”中半径最小值为 ( )A.4B.C.8D.2【解析】选D.根据题意,设为曲线C上任意一点,“望圆”的半径为r,若“望圆”与曲线C有公共点,则r2=(t+1)2+=t2++2+2≥2+2×2+2=8,当且仅当t=时,等号成立,则r的最小值为2.考点二均值不等式在实际问题中的应用【典例】经测算,某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y=当该型号汽车的速度为________ km/h时,每小时耗油量最少,最少为每小时________ L.【解析】当x∈[50,80)时,y=(x2-130x+4 900)=[(x-65)2+675], 所以当x=65时,y取得最小值,最小值为×675=9.当x∈[80,120]时,函数y=12-单调递减,故当x=120时,y取得最小值,最小值为12-=10.因为9<10,所以当x=65,即该型号汽车的速度为65 km/h时,可使得每小时耗油量最少,最少为每小时9 L.答案:65 9有关实际问题中的最值问题(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用均值不等式求得函数的最值.(2)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用均值不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是________万元.【解析】由题意知t=-1(1<x<3),设该公司的月利润为y万元,则y=x-32x-3-t=16x--3=16x-+-3=45.5-≤45.5-2=37.5,当且仅当x=时取等号,即最大月利润为37.5万元.答案:37.5考点三均值不等式的交汇应用【典例】1.已知A,B是函数y=2x的图象上不同的两点,若点A,B到直线y=的距离相等,则点A,B的横坐标之和的取值范围是( )A.(-∞,-1)B.(-∞,-2)C.(-∞,-3)D.(-∞,-4)2.已知等差数列{a n}中,a3=7,a9=19,S n为数列{a n}的前n项和,则的最小值为________.【解题导思】序号联想解题由A,B是图象上两点,想到设出点的坐标;由点A,B到直线距离相等想1到构造等式条件2 由a3,a9想到基本量的运算,由S n,a n想到求出代入【解析】1.选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，不妨设x1<x2.函数y=2x为单调增函数，若点A，B到直线y=的距离相等，则-y1=y2-，即y 1+y2=1，即+=1.由均值不等式得1=+≥2，当且仅当x1=x2=-1时取等号，则≤，解得x1+x2<-2(因为x1≠x2，所以等号取不到).2.因为a3=7，a9=19，所以d===2，所以a n=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1，所以S n==n(n+2)，因此==≥×2=3，当且仅当n=2时取等号.故的最小值为3.答案:3关于均值不等式与其他知识点的交汇利用其他知识点的知识进行条件转化，表示出要求最值的式子，根据条件，利用均值不等式求最值.1.已知a>b>1,且2log a b+3log b a=7,则a+的最小值为()A.3B.C.2D.【解析】选A.令log a b=t,由a>b>1得0<t<1,2log a b+3log b a=2t+=7,得t=,即log a b=,a=b2,所以a+=a-1++1≥2+1=3,当且仅当a=2时取等号.故a+的最小值为3.2.设等差数列{a n}的公差是d,其前n项和是S n,若a1=d=1,则的最小值是________.【解析】由题意a n=a1+(n-1)d=n,S n=,所以==≥=,当且仅当n=4时取等号.所以的最小值是.答案:关闭Word文档返回原板块。

高三数学第一轮复习（高考教练）考点46 均值不等式及应用（理科）课件

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理科数学
第六章不等式
考点46 均值不等式及Hale Waihona Puke 用知识要点基础自测
典例示范
互动演练
方法总结
R+ R+
正数正数
积为定值和为定值
等号能成立等号能成立
C
A
B
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4

高三理科数学第一轮复习不等式均值不等式

2013年高三理科数学第一轮复习不等式（3）均值不等式考纲要求1、利用均值不等式证明其他不等式2、利用均值不等式求最值命题规律常以选择题、填空题的形式出现，难度通常为中低档。

由于应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，所以经常与其他内容综合出题。

在高考中不外乎大小判断、求最值、求取值范围等，难度一般不会太高。

考点解读考点1 利用基本不等式、均值不等式求最值利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．考点2 利用基本不等式、均值不等式证明不等式利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，近几年很少直接考了，但随着选学内容进入高考，这种题型有可能重新进入高考。

证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．考点3 解决恒成立问题当不等式一边的函数(或代数式)的最值较易求出时，可直接求出这个最值(最值可能含有参数)，然后建立关于参数的不等式求解．考点突破考点1 利用基本不等式、均值不等式求最值典例1 (1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y 的最小值为________；(2)当x ＞0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________．解题思路第(1)问把1x ＋1y 中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式解题过程 (1)∵x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2xy ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy 时，取等号．(2)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号．易错点拨解题过程中注意隐含条件的挖掘，特别是“1”和“0”的挖掘和使用变式1 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋1x －1的最小值为________．(2)已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．(3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________．点拨 (1)∵x ＞1，∴f (x )＝(x －1)＋1x －1＋1≥2＋1＝3 当且仅当x ＝2时取等号．(2)y ＝2x －5x 2＝x (2－5x )＝15·5x ·(2－5x )，∵0＜x ＜25，∴5x ＜2,2－5x ＞0，∴5x (2－5x )≤⎝⎛⎭⎫5x ＋2－5x 22＝1，∴y ≤15，当且仅当5x ＝2－5x ，即x ＝15时，y max ＝15.(3)由2x ＋8y －xy ＝0，得2x ＋8y ＝xy ， ∴2y ＋8x＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝10＋8y x ＋2x y ＝10＋2⎝⎛⎭⎫4y x ＋x y ≥10＋2×2×4y x ·xy＝18，当且仅当4y x ＝xy ，即x ＝2y 时取等号，又2x ＋8y －xy ＝0，∴x ＝12，y ＝6， ∴当x ＝12，y ＝6时，x ＋y 取最小值18. 答案 (1)3 (2)15 (3)18变式2 已知2()log (2)f x x =-，若实数,m n 满足()(2)3f m f n +=，则m n + 的最小值是 .点拨由22log (2)log (22)3m n -+-=，得(2)(1)4m n --=，则421m n =+-，所以442(1)3243711m n n n n n +=++=+-+≥+=--，（当且仅当“3n =”时，取等号），故m n +的最小值为7 答案 7考点2 利用基本不等式、均值不等式证明不等式典例1 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .解题思路先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质相加得到．解题过程 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0， ∴bc a ＋ca b ≥2 bc a ·cab ＝2c ； bc a ＋ab c ≥2 bc a ·abc ＝2b ； ca b ＋ab c≥2 ca b ·abc＝2a . 以上三式相加得：2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .变式1 已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1c≥9.答案 ∵a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．考点3 解决恒成立问题典例3若对任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是________．解题思路先求x x 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值，要使得x x 2＋3x ＋1≤a (x ＞0)恒成立，只要xx 2＋3x ＋1(x ＞0)的最大值小于等于a 即可．解题过程若对任意x ＞0，x x 2＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求得y ＝xx 2＋3x ＋1的最大值即可，因为x ＞0，所以y ＝x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12 x ·1x ＝15，当且仅当x ＝1时取等号，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫15，＋∞变式1 已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．点拨由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥2 2xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，m ≤10，故m 的最大值为10. 答案 10综合突破突破1 添项拆项求最值典例1 求下列函数的最值（1）()154()454f x x x x =+>-；（2）()2031xy x x x =>++ （3）()()()5211x x y x x ++=<-+ （4）已知0<x <π2，f (x )＝1sin x ＋11sin x -；（5）已知0x >，0y >，2x y +=，求=t 4xy xy+的最小值. 解题思路运用均值不等式求最值时，“正”“定”“等"三个条件缺一不可.将各函数变形整理后能运用均值不等式求解.解题过程（1）()554154+-+-=x x x f 7≥，当且仅当2354154=⇒-=-x x x 时取最小值（2）51311132≤++=++=x x x x x y ，当且仅当11=⇒=x x x 时取最大值（3）()()()()14151110712522+++++=+++=+++=x x x x x x x x x y 5141++++=x x 因为1-<x ，所以1542=+-≤y ，当且仅当3-=x 时取最大值（4）()()11sin 1sin ()sin 1sin f x x x x x=+-+-1sin sin 2sin 1sin x x x x -=++- 4≥ 当且仅当x x x x sin 1sin sin sin 1-=-，6,21sin π==x x 时取最小值（5）0x >，0y >，2x y +=xy 2≥，10≤<xy ，=t 4xy xy+5≥，当且仅当1==y x 时取最小值.易错点拨以上几类问题为利用均值不等式求最值的常见题型.(3)要注意1-<x 这一条件，否则极易出错，（4）要观察到1sin 1sin =-+x x ，运用乘“1”法求解；（5）不能直接用4xy xy+442=≥，因为取到等号的条件是2=xy ，而10≤<xy突破2 数列与不等式结合考查典例1 已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2552,a a ⋅=3417a a +=. （1）求n a ；（2）若数列n b 是等差数列，且()c n b S n n +=，求非零常数c ；（3）是否存在最大的整数m ，使得对任意的*N n ∈均有()191<++n nb n mb 总成立？若存在，求出m ，若不存在，说明理由.解题思路前两问主要是考察等差数列的性质和求和公式，（3）问恒成立问题，分离参数后利用基本不等式求最值.解题过程（1）{}n a 是等差数列，175243=+=+a a a a ，又,5252=⋅a a 所以，52,a a 是方程052172=+-x x 的两个根，又,0>d 所以，13,452==a a .d a a 325+=，3=d ，11=a ，23-=n a n（2）()()()c n n n b n n S n n +-=-=213,213，312,25,11321+=+=+=c b c b c b 3122b b b +=，31,0,03,312112102-=≠=+∴+++=+c c c c c c c . (3)由（2），()313122()3n n n n b n -==-，3213(9)(1)2n mn n <++对*N n ∈恒成立. 1099102++=++<∴n n n n n m 对*N n ∈恒成立，161092109=+≥++nn ，最大的整数m 为15.快乐训练1、如果4log log 33=+n m ，那么n m +的最小值是（）A ．4B ．34C ．9D ．182、设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值是（） A 、2 B 、4 C 、25 D 、5 3、设0,0.a b >>若11333aba b+是与的等比中项，则的最小值为（） A . 8 B . 4 C. 1 D. 144、已知0,0a b >>，则112ab a b++的最小值是（） A ．2B ．22C ．4D ．55、已知t o >,则函数tt t y 142+-=数的最小值为6、已知x >0，y >0,x +2y +2xy =8，则x +2y 的最小值是7、函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中mn >0，则1m ＋2n 的最小值为________．8、已知下列四个结论：①若,,R b a ∈则22=⋅≥+ba ab b a a b ； ②若+∈R y x ,,则y x y x lg lg 2lg lg ≥+；③若,-∈R x 则4424-=⋅-≥+xx x x ； ④若,-∈R x 则222222=⋅≥+--x x x x 。

高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用

高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+；若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。

◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析一、基础题型。

1.直接利用均值不等式求解最值。

例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为。

均值不等式高考一轮复习教师总结含历年高考真题

应用：柯西不等式在数学、物理、工程等领域有广泛的应用，是解决一些问题的有力工具
证明：柯西不等式的证明方法有多种，其中一种常用的方法是利用数学归纳法和二项式定理
变式：柯西不等式有许多变式，如加权柯西不等式、平方和柯西不等式等
切比雪夫不等式
添加标题
定义：对于任意的n个正数x1, x2, ..., xn，有(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)/n ≥ (x1 + x2 + ... + xn)^2/n
时)。
添加标题
考点：二次函数的性质、不等式的性质、分类讨
论思想。
添加标题
2016年高考真题解析
题目：2016年高考数学全国卷（理科）第12题
解析：本题考查了均值不等式的应用，需要掌握均值不等式的性质和证明方法，同时要注意不等式的取等条件。
解题思路：利用均值不等式进行证明，注意取等条件的应用。
证明：利用数学归纳法和基本不等式性质
应用：在解决最值问题、不等式证明等方面有广泛应用
变式：当n=2时，即为算术平均数不小于几何平均数的均值不等式
感谢您的观看
定义导数
利用导数证明均值不等式
导数与函数单调性关系
利用导数证明均值不等式的步骤
证明过程中的注意事项
柯西不等式
定义：柯西不等式是数学中的一个重要不等式，它表明对于任意正实数a1，a2，…，an和b1，b2，…，bn，总有 (a1^2+a2^2+…+an^2)(b1^2+b2^2+…+bn^2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)^2
均值不等式的几何意义：在数轴上，表示点(a,b)到点(0,0)的距离与点(a,b)到直线x=y的距离相等，当且仅当a=b时取等号。

高考数学(山东新高考版)一轮复习课件：1.3 等式、不等式的性质与均值不等式

+
(3)其中
2
时取等号.
称为正数 a,b 的算术平均数, 称为正数 a,b 的几何平
均数.
5.利用均值不等式求最值
已知x>0,y>0,则
(1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当
x=y
时,x+y 有最小
值是 2 (简记:积定和最小).
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当
2
值是 (简记:和定积最大).
< 1⇔
<
(∈R, > 0).
-2-
第八单元
考点一
知识梳理
考点自诊
2.等式的性质
(1)如果a=b,那么b=a.
(2)如果a=b,b=c,那么a=c.
(3)如果a=b,那么a±c=b±c.
(4)如果a=b,那么ac=bc.

(5)如果 a=b,c≠0,那么 = .
考点二
核心素养专项提升
负数或0;
(3)当不等式两边异号时,两边同时平方后不等号不确定;
1
(4)当 ab>0 时,对不等式 a>b 两边取倒数,同等两边同乘以 ,化简
1
1

得 > .

第八单元
考点一
考点1
考点2
考点3
考点4
考点二
核心素养专项提升
-17-
考点5
1
1

对点训练 2(1)(2019 广东清远高三上期末,10)已知 < <0,给出下
2 + 2
4.

2

+ 2
2
≥
(a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.

高考一轮复习不等式和均值不等式

2017 高考一轮复习  不等式和均值不等式一．选择题（共14 小题）1．（2010?上海）（上海春卷16）已知 a1， a2∈（ 0，1），记 M=a1a2， N=a1+a2﹣ 1，则 M与 N的大小关系是（）A． M＜ N B． M＞ N C． M=N D．不确立2．（ 2016 春?乐清市校级月考）设a， b 是实数，则“ a＞ b＞1”是“”的（A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足又不用要条件23．（2013?天津）设a， b∈ R，则“（ a﹣b） a ＜0”是“ a＜b”的（））A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件4．（2012?湖南）设a ＞ b＞ 1， C＜ 0，给出以下三个结论：①＞；c c②a＜ b ；③l og b（ a﹣ c）＞ log a（ b﹣ c）．此中全部的正确结论的序号（）A．①B．①② C．②③ D．①②③5．（2014?山东）已知实数x，y 知足 a x＜ a y（ 0＜ a＜ 1），则以下关系式恒建立的是（）A． x3＞y3B． sinx ＞ siny22D．＞C． ln （ x +1）＞ ln（ y+1）6．（2013?陕西）设[x]表示不大于 x 的最大整数，则对随意实数x， y，有（）A． [ ﹣ x]= ﹣ [x]B． [2x]=2[x]C． [x+y] ≤[x]+[y]D． [x ﹣y] ≤ [x] ﹣ [y]7．（ 2013 秋?丰城市校级期末）以下函数中最小值为 4 的是（）A． y=x+ B ． y=x﹣xD． y=sinx+ ，（ 0＜ x＜π）C． y=e +4e2﹣3xy+4y2﹣ z=0，则当获得最小值时，8．（2013?山东）设正实数x，y， z 知足 x x+2y ﹣z的最大值为（）A． 0B． C ． 2D．9．若实数 a， b 知足 ab﹣ 4a﹣b+1=0（a＞ 1），则（ a+1）（b+2）的最小值为（）A． 24B． 25C． 27 D． 3010．（ 2006 秋?增城市期末）已知0＜ x＜1，则 x（ 3﹣ 3x）获得最大值不时 x 的值为（）A． B ． C． D ．11．（ 2014 秋?周口期末）设x y）x， y∈ R，a＞ 1， b＞ 1，若 a =b =+b=8，则的最大值为（A． 2B． 3C． 4D． log 2312．（2012?河南一模）函数y=log a x+1（ a＞ 0 且 a≠ 1）的图象恒过定点 A，若点 A在直线 +﹣4=0（ m＞0， n＞ 0）上，则 m+n的最小值为（）A． 2+ B． 2C． 1D． 413．（2015?陕西）设 f （ x） =lnx ， 0＜a＜ b，若 p=f （），q=f （）， r= （ f （ a） +f （ b）），则以下关系式中正确的选项是（A． q=r ＜ p B． p=r ＜ q）C． q=r ＞ p D． p=r ＞ q14．（2014?湖北校级模拟）某制冷设施厂设计生产一种长方形薄板，以下图，长方形 ABCD （AB＞ AD）的周长为 4 米，沿 AC折叠使 B 到 B′地点， AB′交 DC于 P．研究发现当 ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A． 2﹣ 2 B． 3﹣ 2 C ． 2﹣ D． 2二．填空题（共 5 小题）15．（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣ A1B1C1 D1的棱长为 1， P 为 BC的中点， Q为线段 CC1上的动点，过点 A，P， Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的选项是（写出全部正确命题的编号）．①当 0＜ CQ＜时， S 为四边形②当 CQ=时， S 为等腰梯形③当 CQ=时， S 与 C1D1的交点 R 知足 C1R=④当＜ CQ＜1 时， S 为六边形⑤当 CQ=1时， S 的面积为．16．（ 2015 秋?中山市校级期中）已知x＞ 3，则 +x 的最小值为．17．已知 x＞ 1，则函数 y= 的最小值是．18．（ 2014?荆州一模）已知 x＞ 0，y＞ 0，且 x+2y=xy ，则 log （4x+2y）的最小值是．19．若 a，b， x， y∈ R，且 a2+b2=3， x2+y2=1，则 ax+by 的最大值为．三．解答题（共 7 小题）20．（2009?广州一模）如图，A1A 是圆柱的母线， AB是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于 A、 B的随意一点， A1A=AB=2．（1）求证： BC⊥平面 A1AC；（2）求三棱锥 A1﹣ ABC的体积的最大值．21．设 a＞0， b＞ 0，且 a≠ b，试比较a b b a的大小．a b与 a b22．设 f （ x）是不含常数项的二次函数，且1≤ f （﹣ 1）≤≤ f （ 1）≤ 4 求 f （ 2）的取值范围．23．已知α，β知足，试求α +3β的取值范围．24．（ 2013 秋?商丘期中）（ 1）已知 a， b， c 为随意实数，求证：222a +b +c ≥ ab+bc+ca；（2）设 a， b， c 均为正数，且 a+b+c=1，求证： ab+bc+ca≤．25．（2015?丹东二模）已知a，b 为正实数，（1）若 a+b=2，求的最小值；（2）求证： a2 b2+a2+b2≥ ab（ a+b+1）．26．（ 2016 春?和平区期末）已知x＞ 0， y＞ 0，且 2x+8y ﹣xy=0 ，求：（1） xy 的最小值；（2） x+y 的最小值．2017 高考一轮复习  不等式和均值不等式参照答案与试题分析一．选择题（共14 小题）1．（2010?上海）（上海春卷16）已知 a1， a2∈（ 0，1），记 M=a1a2， N=a1+a2﹣ 1，则 M与 N 的大小关系是（）A． M＜ N B． M＞ N C． M=N D．不确立【剖析】依据题意，利用作差法进行求解．【解答】解：由 M﹣N=a1a2﹣ a1﹣ a2+1=（ a1﹣1）（ a2﹣ 1）＞ 0，故M＞ N，应选 B．【评论】本题考察大小的比较，利用作差法进行求解，是一道基础题．a＞b＞1”是“”的（）2．（ 2016 春?乐清市校级月考）设a， b 是实数，则“A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件 D ．既不充足又不用要条件【剖析】画出 f （ x） =x+图象，依据函数的单一性，联合充足那样条件的定义可判断．【解答】解：∵ f （ a） =a+，f （ b） =b+， f （ x）=x+图象以以下图．∴依据函数的单一性可判断：若“ a＞ b＞1”则“”建立，反之若“”则“ a＞ b＞1”不必定建立．依据充足必需条件的定义可判断：“ a＞ b＞1”是“”的充足不用要条件，应选： A【评论】本题考察了对钩函数的单一性，必需充足条件的定义可判断，属于中档题．3．（2013?天津）设a， b∈ R，则“（a﹣b） a2＜0”是“ a＜b”的（）A．充足而不用要条件 B ．必需而不充足条件C．充要条件 D ．既不充足也不用要条件22【剖析】经过举反例可得“ a＜b”不可以推出“（ a﹣ b） a ＜0”，由“（ a﹣ b） a ＜0”能推出“ a＜b”，从而得出结论．【解答】解：由“ a＜ b”假如 a=0，则（ a﹣ b）a2 =0，不可以推出“（ a﹣b）a2＜0”，故必需性不建立．由“（ a﹣ b） a2＜ 02”可得 a2＞ 0，所以 a＜ b，故充足性建立．2综上可得“（ a﹣ b）a ＜0”是 a＜ b 的充足也不用要条件，应选 A．【评论】本题主要考察充足条件、必需条件、充要条件的定义，经过给变量取特别值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．4．（2012?湖南）设a ＞ b＞ 1， C＜ 0，给出以下三个结论：①＞；c c②a＜ b ；③l og b（ a﹣ c）＞ log a（ b﹣ c）．此中全部的正确结论的序号（）A．①B．①② C．②③ D．①②③【剖析】利用作差比较法可判断①的真假，利用幂函数y=x c的性质可判断②的真假，利用对数函数的性质可知③的真假．【解答】解：①﹣ =，∵ a＞ b＞ 1， c＜ 0∴﹣ =＞ 0，故＞正确；②考察幂函数c c c c正确；y=x ，∵ c＜ 0∴ y=x 在（ 0，+∞）上是减函数，而a＞ b＞0，则 a＜ b③当 a＞ b＞ 1时，有 log b（ a﹣ c）＞ log b（ b﹣ c）＞ log a（ b﹣ c）；正确．应选 D．【评论】本题主要考察了不等式比较大小，以及幂函数与对数函数的性质，属于基础题．5．（2014?山东）已知实数 x，y 知足 a x＜ a y（ 0＜ a＜ 1），则以下关系式恒建立的是（）A． x3＞y3B． sinx ＞ sinyC． ln （ x2+1）＞ ln （ y2+1）D．＞【剖析】本题主要考察不等式的大小比较，利用函数的单一性的性质是解决本题的重点．【解答】解：∵实数 x， y 知足 a x＜a y（0＜ a＜ 1），∴ x＞ y，A．当 x＞ y 时， x3＞ y3，恒建立，B．当 x=π， y=时，知足x＞y，但 sinx ＞ siny 不建立．C．若 ln （x2 +1）＞ ln （ y2+1），则等价为 x2＞y2建立，当 x=1， y=﹣ 1 时，知足 x＞ y，但 x2＞y2不建立．222222D．若＞，则等价为x +1＜ y +1，即 x ＜ y ，当 x=1，y=﹣ 1 时，知足 x＞ y，但 x ＜ y 不建立．【评论】本题主要考察函数值的大小比较，的重点．利用不等式的性质以及函数的单一性是解决本题6．（2013?陕西）设 [x] 表示不大于x 的最大整数，则对随意实数x， y，有（）A． [ ﹣ x]= ﹣ [x]B． [2x]=2[x]C． [x+y] ≤[x]+[y]D． [x ﹣y] ≤ [x] ﹣ [y]【剖析】本题考察的是取整函数问题．在解答时要先充足理解[x] 的含义，从而可知针对于选项注意对新函数的加以剖析即可，注意反例的应用．【解答】解：对 A，设 x=﹣，则 [ ﹣ x]=1 ，﹣ [x]=2 ，所以 A 选项为假．对B，设 x=﹣， [2x]=[ ﹣ ]= ﹣3， 2[x]= ﹣ 4，所以 B 选项为假．对C，设 x=y=，对 A， [x+y]=[]=3 ， [x]+[y]=2 ，所以 C 选项为假．故 D选项为真．应选 D．【评论】本题考察了取整函数的性质，是一道比赛的题目，难度不大．7．（ 2013 秋?丰城市校级期末）以下函数中最小值为 4 的是（）A． y=x+ B ． y=C． y=e x+4e﹣x D． y=sinx+ ，（ 0＜ x＜π）【剖析】 A．当 x＜ 0 时，利用基本不等式的性质，B．变形为，利用基本不等式的性质可知：最小值大于y=﹣≤﹣ 4，可知无最小值；4；C．利用基本不等式的性质即可判断出知足条件；D．利用基本不等式的性质可知：最小值大于4．【解答】解： A．当 x＜ 0 时， =﹣ 4，当且仅当x=﹣ 2 时取等号．所以此时 A 无最小值；B.==4 ，当且仅当2y＞4，所以x +2=1 时取等号，可是此时 x 的值不存在，故不可以取等号，即B 的最小值不是4；C.=4 ，当且仅当，解得e x=2，即 x=ln4 时取等号，即y 的最小值为 4，所以 C 知足条件；D．当 0＜ x＜π 时， sinx ＞ 0，∴ =4，当且仅当，即sinx=2时取等号，可是 sinx 不行能取等号，故 y＞ 4，所以不知足条件．综上可知：只有 C 知足条件．应选 C．【评论】娴熟掌握基本不等式的性质是解题的重点，特别注意“=”能否取到．8．（2013?山东）设正实数 x，y， z 知足 x2﹣3xy+4y 2﹣ z=0，则当获得最小值时，x+2y ﹣z 的最大值为（）A． 0B． C ． 2D．【剖析】将 z=x 2﹣ 3xy+4y 2代入，利用基本不等式化简即可求得x+2y ﹣ z 的最大值．【解答】解：∵ x2﹣ 3xy+4y 2﹣ z=0，∴z=x 2﹣ 3xy+4y 2，又 x， y， z 为正实数，∴=+﹣ 3≥ 2﹣ 3=1（当且仅当 x=2y 时取“ =”），即x=2y （ y＞ 0），∴x+2y ﹣ z=2y+2y ﹣（ x2﹣3xy+4y ）2=4y﹣ 2y2=﹣ 2（ y﹣ 1）2 +2≤ 2．∴x+2y ﹣ z 的最大值为2．应选： C．【评论】本题考察基本不等式，将查配方法求最值，属于中档题．z=x2﹣ 3xy+4y 2代入，求得获得最小值时x=2y是重点，考9．若实数A． 24a， b 知足 ab﹣ 4a﹣b+1=0（a＞ 1），则（B． 25C． 27D． 30a+1）（b+2）的最小值为（）【剖析】先依据 ab﹣ 4a﹣ b+1=0 求得不等式求得答案．【解答】解：∵ ab﹣4a﹣ b+1═ 0∴b==4+，∴（ a+1）（b+2） =6a++6a 和b 的关系式，从而代入到（a+1）（b+2）利用均值=6a++9=6（ a﹣ 1）++15≥27（当且仅当a﹣1=即 a=2 时等号建立），即（ a+1）（b+2）的最小值为27．应选： C．【评论】本题主要考察了基本不等式在最值问题中的应用．形式．解题的重点是配出均值不等式的10．（ 2006 秋?增城市期末）已知0＜ x＜1，则x（ 3﹣ 3x）获得最大值不时x 的值为（）A． B ． C． D ．【剖析】法一：设y=x（ 3﹣ 3x） =﹣ 3，利用二次函数的性质可求函数的最大值法二：由0＜ x＜ 1 可得 1﹣ x＞ 0，从而利用基本不等式可求值及获得最大值的x【解答】解：法一：设y=x （3﹣ 3x）x（ 3﹣ 3x） =3x（ 1﹣x）的最大则y=﹣ 3（x2﹣ x） =﹣ 3∵0＜ x＜ 1当x=时，函数获得最大值应选 C法二：∵ 0＜ x＜ 1∴1﹣ x＞ 0∵x（ 3﹣ 3x） =3x（ 1﹣ x）当且仅当 x=1﹣ x 即 x=时获得最大值应选 C【评论】本题主要考察了二次函数在闭区间上的最值的求解，进行配方，联合函数在区间上的单一性判断获得最值的条件．一般的办理方法是对二次函数11．（ 2014 秋?周口期末）设A． 2B． 3C． 4x， y∈ R，a＞ 1， b＞ 1，若D． log 23a x=b y=+b=8，则的最大值为（）x y【剖析】由 a =b =2，求出 x， y，从而可表示，再利用基本不等式，即可求的最大值．x y∴，∴=log 2a+log 2b=log 2ab，∵2a+b=8≥，∴a b≤ 8（当且仅当 2a=b 时，取等号），∴≤ log 28=3，即的最大值为3．应选 B．【评论】本题考察基本不等式的运用，考察对数运算，考察学生剖析转变问题的能力，表示是重点．正确12．（2012?河南一模）函数﹣4=0（ m＞0， n＞ 0）上，则A． 2+B． 2C． 1y=log a x+1（ a＞ 0 且m+n的最小值为（D． 4a≠ 1）的图象恒过定点）A，若点A在直线+【剖析】利用对数的性质可得：函数y=log a x+1（ a＞ 0 且 a≠ 1）的图象恒过定点A（ 1，1），代入直线 +﹣ 4=0（ m＞0，n＞ 0）上，可得．再利用“乘1 法”和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：当 x=1 时， y=log a1+1=1，∴函数 y=log a x+1（ a＞ 0 且 a≠ 1）的图象恒过定点A（ 1， 1），∵点 A 在直线 +﹣ 4=0（ m＞ 0，n＞ 0）上，∴．∴m+n===1，当且仅当m=n=时取等号．应选： C．【评论】本题考察了对数的运算性质、“乘 1 法”和基本不等式的性质，属于基础题．13．（2015?陕西）设 f （ x） =lnx ， 0＜a＜ b，若 p=f （），q=f （）， r= （ f （ a） +f （ b）），则以下关系式中正确的选项是（A． q=r ＜ p B． p=r ＜ q）C． q=r ＞ p D． p=r ＞ q【剖析】由题意可得 p=（ lna+lnb ）， q=ln （）≥ ln （） =p， r= （ lna+lnb ），可得大小关系．【解答】解：由题意可得若 p=f （） =ln （） =lnab= （ lna+lnb ），q=f （） =ln （）≥ ln （） =p，r= （ f （ a）+f （ b））=（ lna+lnb ），∴p=r ＜ q，应选： B【评论】本题考察不等式与不等关系，波及基本不等式和对数的运算，属基础题．14．（2014?湖北校级模拟）某制冷设施厂设计生产一种长方形薄板，以下图，长方形ABCD （AB＞ AD）的周长为 4 米，沿 AC折叠使 B 到 B′地点， AB′交DC于 P．研究发现当ADP的面积最大时最节能，则最节能时ADP的面积为（）A． 2﹣ 2 B． 3﹣ 2 C ． 2﹣D． 2【剖析】利用PA2=AD2+DP2，建立函数，可得y=2（1﹣），1＜x＜2，表示出△ADP的面积，利用基本不等式，可求最值．【解答】解：设 AB=x， DP=y，BC=2﹣ x， PC=x﹣y．∵x＞ 2﹣ x，∴ 1＜ x＜ 2，∵△ ADP≌△ CB′P，∴P A=PC=x﹣ y．2222=（ 2﹣ x）22由 PA =AD+DP，得（ x﹣ y）+y ? y=2（ 1﹣）， 1＜ x＜ 2，记△ ADP的面积为 S，则 S=（1﹣）（ 2﹣x） =3﹣（ x+）≤ 3﹣ 2，当且仅当 x=∈（ 1，2）时， S 获得最大值．应选： B．【评论】本题主要考察应用所学数学知识剖析问题与解决问题的能力．试题以常有的图形为载体，再现对基本不等式、导数等的考察．二．填空题（共 5 小题）15．（2013?安徽）如图，正方体ABCD﹣ A1B1C1 D1的棱长为1， P 为 BC的中点， Q为线段 CC1上的动点，过点 A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则以下命题正确的选项是①②③⑤（写出全部正确命题的编号）．①当 0＜ CQ＜时， S 为四边形②当 CQ=时， S 为等腰梯形③当 CQ=时， S 与 C1D1的交点 R 知足 C1R=④当＜ CQ＜1 时， S 为六边形⑤当 CQ=1时， S 的面积为．【剖析】由题意作出知足条件的图形，由线面地点关系找出截面可判断选项的正误．【解答】解：如图当 CQ=时，即 Q为 CC中点，此时可得PQ∥ AD， AP=QD==，111故可得截面APQD1为等腰梯形，故②正确；由上图当点 Q向 C 挪动时，知足 0＜ CQ＜，只要在 DD1上取点 M知足 AM∥ PQ，即可得截面为四边形 APQM，故①正确；③当 CQ=时，如图，延伸 DD1至 N，使 D1N=，连结 AN交 A1 D1于 S，连结 NQ交 C1D1于 R，连结 SR，可证 AN∥ PQ，由△ NRD1∽△ QRC1，可得 C1R： D1R=C1Q： D1N=1： 2，故可得C1R=，故正确；④由③可知当＜CQ＜1 时，只要点Q上移即可，此时的截面形状仍旧上图所示的APQRS，显然为五边形，故错误；⑤当 CQ=1时， Q与 C1重合，取A1D1的中点 F，连结 AF，可证 PC1∥AF，且 PC1 =AF，可知截面为APC1F 为菱形，故其面积为AC1?PF==，故正确．故答案为：①②③⑤．【评论】本题考察命题真假的判断与应用，波及正方体的截面问题，属中档题．16．（ 2015 秋?中山市校级期中）已知x＞ 3，则 +x 的最小值为7．【剖析】本题能够经过配凑法将原式化成积为定值的形式，再用基本不等式求出原式的最小值，即本题答案．【解答】解：∵ x＞ 3，∴x﹣ 3＞ 0．∴+x=≥．当且仅当x=5 时取最值．故答案为： 7．【评论】本题考察了基本不等式，注意不等式使用的条件．本题难度适中，属于中档题．17．已知 x＞ 1，则函数y= 的最小值是8．y=的最小值．【剖析】利用换元法化简函数，依据基本不等式求出函数【解答】解：∵ x＞ 1，∴ t=x ﹣ 1＞ 0，∴y===t++2 ≥ 2+2=8，当且仅当t= ，即 t=3 ， x=4 时，取等号，∴函数 y=的最小值是8．故答案为： 8．【评论】本题考察求函数y=的最小值，考察基本不等式的运用，正确变形是重点．18．（2014?荆州一模）已知x＞0， y＞ 0，且 x+2y=xy ，则 log 4（ x+2y ）的最小值是．【剖析】依据基本不等式求出 xy ≥8，而后利用对数的基本运算和对数的换底公式进行计算即可．【解答】解：∵ x＞ 0， y＞ 0，且 x+2y=xy ，∴x+2y=xy ，平方得（xy）2≥8xy ，解得 xy ≥ 8，∴l og 4（ x+2y ） =log 4（ xy ），故答案为：【评论】本题主要考察基本不等式的应用以及对数的基本计算，考察学生的计算能力．19．若 a，b， x， y∈ R，且 a2+b2=3， x2+y2=1，则 ax+by的最大值为．2222222222【剖析】依据柯西不等式（ x1x2+y1y2）≤（ x1+y1）（ x2 +y2），获得（ ax+by）≤（ a +b）（x +y），从而求得 ax+by 的最大值．【解答】解：依据柯西不等式（ x1x2+y1y2）2≤（ x12+y12）（ x22+y22），? （ ax+by）2≤（ a2+b2）（x2+y2） =3× 1=3，当且仅当ay=bx 时取等号，所以， ax+by ∈ [ ﹣， ] ，所以， ax+by 的最大值为，故填：．【评论】本题主要考察了柯西不等式在最值问题中的应用，解题的重点是利用了柯西不等式，属于基础题．三．解答题（共7 小题）20．（2009?广州一模）如图， A1A 是圆柱的母线， AB是圆柱底面圆的直径， C 是底面圆周上异于 A、 B的随意一点， A1A=AB=2．（1）求证： BC⊥平面 A1AC；（2）求三棱锥 A1﹣ ABC的体积的最大值．【剖析】（ 1）欲证 BC⊥平面 AA1C，依据直线与平面垂直的判断定理可知只要证BC与平面 AA1C 内两订交直线垂直，而BC⊥ AC， AA1⊥ BC， AA1∩AC=A知足定理条件；（2）设 AC=x，在 Rt△ ABC中，求出 BC，依据体积公式 VA1﹣ ABC=S△ABC?AA1表示成对于 x 的函数，依据二次函数求出其最大值．【解答】解：（ 1）证明：∵ C是底面圆周上异于 A、B 的随意一点，且 AB 是圆柱底面圆的直径，∴BC⊥ AC．∵AA1⊥平面 ABC， BC?平面 ABC，∴AA1⊥BC．∵AA1∩AC=A， AA1?平面 AA1C， AC?平面 AA1C，∴BC⊥平面 AA1 C．（2）设 AC=x，在 Rt△ ABC中，BC==（ 0＜ x＜ 2），故VA1﹣ ABC=S△ABC?AA1=??AC?BC?AA1=x（ 0＜ x＜2），即VA1﹣ ABC=x==．22∵0＜ x＜ 2， 0＜ x ＜ 4，∴当 x =2，即 x=时，【评论】本小题主要考察直线与平面垂直，以及棱柱、棱锥、棱台的体积等基础知识，考察空间想象能力，运算能力和推理论证能力．21．设 a＞0， b＞ 0，且 a≠ b，试比较a a b b与 a b b a的大小．a﹣ bb﹣a a b b a时，同理可【剖析】由题意可得 =a?b=，当 a＞ b＞ 0 时，可得 a b＞ a b ．当 b ＞ a＞ 0a b b a a b b a得 a b＞ a b ．综上可得 a b 与 a b 的大小关系．【解答】解：∵ a＞ 0， b＞ 0，且 a≠ b，并且 =a a﹣b ?b b﹣a=，当 a＞ b＞ 0 时，由＞ 1， a﹣ b＞ 0，可得＞ 1，∴ a a b b＞ a b b a．当 b ＞ a＞0 时，由 0＜＜ 1，a﹣ b＜ 0，可得＞ 1，∴ a a b b＞ a b b a．a bb a综上可得， a b ＞ a b ．【评论】本题主要考察用作商比较法比较两个正实数的大小关系，不等式性质的应用，属于基础题．22． f （ x）是不含常数的二次函数，且1≤ f （ 1）≤≤ f （ 1）≤ 4 求 f （ 2）的取范．2点，而后求出f （ 2）的范即可．2作出可行域如，所以M（3， 1）， N（，）分目函数 f （ 2） =4a 2b 的取范， f （ 2）∈ [7 ， 14] ．【点】本主要考了的性划，以及利用几何意求最，注意特别点的，属于基．23．已知α，β足，求α +3β的取范．【剖析】是已知不等关系求范的，能够用待定系数法来解决．【解答】解α +3β=λ（α +β）+v（α +2β）=（λ +v）α +（λ +2v）β．比α、β 的系数，得，从而解出λ= 1， v=2．分由①、②得 1≤ α β≤1， 2≤2α +4β≤ 6，两式相加，得 1≤α +3β≤ 7．故α +3β的取范是 [1 ，7] ．【点】用待定系数法，利用不等式的性解决，是基．24．（ 2013 秋?商丘期中）（ 1）已知 a， b， c 随意数，求：222≥ ab+bc+ca；a +b +c（2） a， b， c 均正数，且a+b+c=1，求： ab+bc+ca≤．【剖析】（ 1）利用基本不等式可得222222a +b≥ 2ab，b +c≥2bc ，c +a ≥ 2ca ，三式相加即得，2222222（2）利用（ a+b+c） =a +b +c +2ab+2bc+2ca=1， a +b +c ≥ ab+bc+ca，即可明．222222【解答】明：（ 1）由 a +b ≥ 2ab， b +c ≥ 2bc ， c +a ≥ 2ca ，三式相加即得a2+b2+c2≥ ab+bc+ca ，（6 分）（2）因（ a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1， a2+b2+c2≥ ab+bc+ca，所以（ 12 分）【点】本考不等式的明，考基本不等式的运用，考学生剖析解决的能力，属于中档．25．（2015?丹二模）已知a，b 正数，（1）若 a+b=2，求的最小；2 222（2）求： a b +a +b ≥ ab（ a+b+1）．【剖析】（ 1）利用“ 1”的代，合基本不等式求解即可．（2）利用均不等式，利用合法明即可．【解答】（Ⅰ）解： ==≥ =等号建立条件，而a+b=2，所以 a=，b=表达式的最小：⋯（ 5 分）（Ⅱ）明：由均不等式得a2b2+a2≥ 2a2b， a2b2+b2≥ 2b2a， b2+a2≥ 2ab，．高考一轮复习不等式和均值不等式11 / 11三式相加得 2 2 2 2 2 2 2a b +2a +2b ≥ 2a b+2ab +2ab=2ab （ a+b+1）．2 2 2 2 所以 a b +a +b ≥ ab （ a+b+1）．⋯（ 10 分）【点】本考不等式的明，考基本不等式的运用，考合法，属于中档．26．（ 2016 春?和平区期末）已知x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x+8y xy=0 ，求：（ 1） xy 的最小；（ 2） x+y 的最小．【剖析】（ 1）利用基本不等式建立不等式即可得出；（ 2）由 2x+8y=xy ，形得 +=1，利用“乘 1 法”和基本不等式即可得出．【解答】解：（ 1）∵ x ＞ 0， y ＞ 0， 2x+8y xy=0 ，∴xy=2x+8y ≥ 2，∴≥ 8，∴ xy ≥ 64．当且当 x=4y=16 取等号．故 xy 的最小 64．（ 2）由 2x+8y=xy ，得： +=1，又 x ＞ 0， y ＞ 0，∴ x +y= （ x+y ）?=10++≥ 10+=18．当且当 x=2y=12 取等号．故 x+y 的最小 18．【点】熟掌握“乘 1 法”和形利用基本不等式是解的关．。

高考数学一轮复习第七章不等式 7.3 基本(均值)不等

必考部分
第七章不等式
§7.3 基本(均值)不等式及应用
考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程． 2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．
考点 1 利用基本(均值) 不等式求最值
1.基本(均值)不等式 a＋b≤a＋ 2 b (1)基本(均值)不等式成立的条件：__a_>_0_， __b_>__0__. (2)等号成立的条件：当且仅当___a_＝__b__时等号成立．
主要有以下几个命题角度：角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值
[典题 1] 值为( B )
1 A.3
3 C.4
(1)已知 0<x<1，则 x(3－3x)取得最大值时 x 的
1 B.2
2 D.3
[解析] 因为 0<x<1，所以 x(3－3x)＝3x(1－x)≤3x＋21－x2＝34. 当且仅当 x＝1－x，即 x＝12时等号成立．
当 x<0 时，－x>0，
y＝x＋1x＝－－x＋－1x
≤－2
－x×－1x＝－2，
当且仅当－x＝－1x，即 x＝－1 时取等号，
故 y 的最大值为－2.
(2)函数 y＝sin x＋sin4 x，x∈0，π2的最小值为___5_____．
(2)已知 x＜54，求 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5的最大值． [解] 因为 x＜54，所以 5－4x＞0，则 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5＝－5－4x＋5－14x＋3 ≤－2＋3＝1. 当且仅当 5－4x＝5－14x，即 x＝1 时等号成立．故 f(x)＝4x－2＋4x－ 1 5的最大值为 1.

x
≥2
－lg x×－4lg x＝4，

9.1均值不等式知识点及典型例题专练-2025届高三数学一轮复习

均值不等式①②一．积定和最小，和定积最大1.若，则对有最值，最值为2. 设x ＞0，y ＞0，且x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是____________3. 若0<x<1，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为____________4.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为____________5.函数y ＝3x 2＋6x 2＋1的最小值是____________6.函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1(x >－1)的图象最低点的坐标为____________二．一正二定三相等7.已知f(x)＝x ＋1x －2(x<0)，则f(x)有最值，最值为。

0>xy xy y x +8.设a ＞0，b ＞0，下列不等式中，不正确的是____________A ．a 2＋b 2≥2|ab | B. b a ＋a b ≥2 C. b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D .1a ＋1b ≤1a ＋b9.下列结论正确的是A ．当x ＞0且x ≠1时，lg x ＋1lg x ≥2B ．当x ＞0时，x ＋1x≥2 C ．当x ≥2时，x ＋1x 最小值为2 D ．当0＜x ≤2时，x －1x无最大值 10.若210≤≤x ，则当f(x)＝x(4－3x)取得最大值时，x 的值为( ) 三．等式转为不等式11.若实数,x y 满足221x y xy ++=，则x y +的取值范围是________.xy 的取值范围是________.12. 若a ，b ∈(0，＋∞)，满足a ＋b ＋3＝ab ，则a ＋b 的取值范围是________．ab 的取值范围是________四．“1”的作用13. 若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．14. 函数y ＝log a (x ＋3)－1(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中m ，n ＞0)，则1m ＋2n 的最小值等于________．五．恒成立与有解问题．15. 若x ＋1x ≥a 2－a 对任意的x ∈(0，＋∞)恒成立，则实数a 的取值范围________．16. 已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋1y＝1，若x ＋2y ＞m 2＋2m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．17. 当x ＞2时，不等式x ＋4x －2≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．六．实际问题18.建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．19．某公司一年购买某种货物200吨，分成若干次均匀购买，每次购买的运费为2万元，一年存储费用恰好为每次的购买吨数(单位：万元)，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买________吨．七．证明20.不等式选讲设均为正数，且，证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）21.（1）已知都是正数，且，求证：；（2）求证：,,a b c a b ≠3322a b a b ab +>+222222a b b c c a abc a b c++++≥22.已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+. （Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112n a a a ++<…+. .测试1.设0a b <<，则下列不等式中正确的是（）（A ）2a b a b ab +< （B ）2a b a ab b +< （C ）2a b a ab b +<<<2a b ab a b +<< 2．已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 3. a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y )>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是____________．4．已知向量a ＝(x ，－1)，b ＝(y －1,1)，x ，y ∈R ＋，若a ∥b ，则t ＝x ＋1x ＋y ＋1y的最小值是____________． 5.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件，则平均仓储时间为8x 天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品____________．6．设x ，y ∈R ，且x ＋y ＝5，则3x ＋3y 的最小值是____________．7．已知a ＞0，b ＞0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是____________． 8.设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1.若x a ＝y b ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为____________．9．当点(x ，y )在直线x ＋3y －2＝0上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为____________．10.若a ，b ，c>0，且a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝4，则2a ＋b ＋c 的最小值为________．11．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁1 m 2的造价分别为120元和80元，那么水池表面积的最低造价为__________元．12.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1，3x ＋4y的最小值为____________．． 13.已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为_______ 14.已知函数f (x )＝2x ，f (a )·f (b )＝8，若a ＞0且b ＞0，则1a ＋4b 的最小值为________．15．已知a ＋b ＝t (a >0，b >0)，t 为常数，且ab 的最大值为2，则t ＝________.16．若不等式4x 2＋9y 2≥2k xy 对一切正数x ，y 恒成立，则k 的最大值为________．17．当x ＝________时，函数f (x )＝x 2(4－x 2)(0＜x ＜2)取得最大值________．18．已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是_______． 19．已知x ＞0，则的最大值为________________________． 242x x ＋。