角平分线定理应用.doc
角平分线定理的应用
角平分线定理的应用最近忙于写《向量恒等式》，就发一下我的手写笔记啦字丑，勿怪。
先说一下角平分线的两大定理定理1:角平分线上的一点到角两边的距离相等。
定理2:三角形内角的平分线分为两条线段，与相邻的两条边成正比。
证明思路：第一个定理大家都很熟悉，初中课本上已经给过了。
至于第二个定理，虽然初中的课本已经删掉了，但是我听数学老师的意思是可以直接用(我这里针对的是高中汗)，但是很多同学都不知道这个定理(定理2)。
本文主要介绍定理2的神奇作用。
注意这两个定理的逆定理成立！可以作为角平分线的判定定理。
先发两道例题读者可以用搜索软件看看答案，用角平分线定理就简单多了。
读者：为什么狗不用搜题软件？择梦舟：因为我没有无限号（卑微）圆锥曲线的焦点三角形内心的轨迹方程我承认圆锥曲线内接圆圆心的轨迹方程有很多方法求解，但这个方法比定义法好，比如双曲线的焦点三角形内心的轨迹，角平分线定理可以知道它的范围我的版面比较糊，椭圆的焦点三角形内心轨迹你们可以参考一下 @fasnreis至于双曲线，知乎好像没有。
例题（看题号，好像都在压轴题上诶）例题1：湖北2021年模拟（改编）例2：例3：圆锥曲线的光学性质光从椭圆的一个焦点发出，光碰到椭圆边界反射的路径经过另一个焦点。
光线从双曲线的一个焦点射出，双曲线的边界反射的路径的反向延长线穿过另一个焦点从抛物线的焦点射出，抛物线的边界反射的路径平行于抛物线的对称轴即：椭圆的两个焦点分别与椭圆上的任意一点相连，两条直线与通过该点的切线的夹角相等。
双曲线的两个焦点与双曲线上的任意一点相连，两条直线与通过该点的切线之间的夹角相等。
连接抛物线焦点和抛物线上任意一点的直线与抛物线对称轴和该点切线的夹角相等。
我们可以利用这组等角进行证明：虽然光学性质的大题出现频率少之又少，但还是很有意思的，感兴趣的可以看看 @上进的z君他归纳的比较全。
第3节 角平分线的性质及应用
第三节角平分线的性质及应用一、课标导航二、核心纲要1．角平分线的性质定理角的平分线上的点到角的两边的距离相等．如下左图所示：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．注：考查点到线的距离相等时，可以考虑角平分线的性质．2．角平分线的判定定理到角的两边距离相等的点在角的平分线上．如下中图所示：∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE,∴OC平分∠AO B．注：用来证明一条线是一个角的平分线．3．角平分线的画法如下右图所示，已知：∠AO B．作法；（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以M、N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部交于点C．（3）作射线O C．∴射线OC即为所求．4.三角形的角平分线三角形的三个内角的角平分线交于一点，且到三边的距离相等．5.与角平分线有关的辅助线模型（1）在角的平分线上取一点向角的两边作垂线．（点垂线，垂两边，线等全等都出现）如下左图所示，过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，则CD=CE，△OCD≌△OCE．（2）在角两边截取相等的线段，构造全等三角形．（角分线，分两边，对称全等要记全）如下图所示:在OA、OB上分别截取OD=OE，连接CD、CE，则△OCD≌△OCE．（3）角平分线+垂线，全等必出现．如下右图所示：延长DC交OB于点E，则△OCD≌△OCE．本节重点讲解：两个定理，两个作法（角平分线的作法和与角平分线有关的辅助线）．三、全能突破基础演练1．如图12-3-1所示，OA是∠BAC的平分线，OM⊥AC于点M，ON⊥AB于点N，若ON=8cm，则OM长为（）．A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm2．如图12-3-2所示，OP平分∠AOB，P A⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A、B．下列结论中不一定成立的是（）A．P A=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB D．AB垂直平分OP 3．如图12-3-3所示，AD是△ABC的角平分线，且AB：AC=3：2，则△ABD与△ACD的面积之比为（）．A．3:2 B．9：4 C．2：3 D．4：94．如图12-3-4所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是∠ABC的平分线，交AC于点D，若CD=n，AB=m，则△ABD的面积是．5．如图12-3-5所示，BD是∠ABC的平分线，AB=CB，点P在BD的延长线上，PM⊥AD，PN ⊥CD，垂足分别是点M、N，求证：PM=PN．6．如图12-3-6所示，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=DC，DF⊥BC，BD平分∠AB C．（1）求证：∠BAD+∠BCD=180°．（2）若DF=3，BF=6，求四边形ABCD的面积．7．如图12-3-7所示，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BA C．能力提升8．如图12-3-8所示，∠AOB和一条定长线段a，在∠AOB内找一点P，使点P到OA、OB的距离都等于a，作法如下：（1）作OB的垂线NH，使NH=a，点H为垂足；（2）过点N作NM∥OB；（3）作∠AOB的平分线OP，与NM交于点P；（4）点P即为所求．其中（3）的依据是（）．A．平行线之间的距离处处相等B．到角的两边距离相等的点在角的平分线上C．角的平分线上的点到角的两边的距离相等D．到线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上9．如图12-3-9所示，在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S．若AQ=PQ，PR=PS，QD⊥AP，下列结论：①AS=AR；②AP平分∠BAC；③△BRP≌△CSP；④PQ∥AR．其中正确的是（）．A．①③B．②③C．①②④D．①②③④10．如图12-3-10所示，直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）处．A．1 B．2 C．3D．411．如图12-3-11所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，BE⊥AD交AC 的延长线于F，E为垂足．则结论：①AD=BF；②CF=CD；③AC+CD=AB；④BE=CF；⑤BF=2BE，其中正确结论的个数是（）．A．1 B．2 C．3 D．412．如图12-3-12所示，已知AB平行CD，∠CAB，∠ACD的平分线交于点O，OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD之间的距离等于．13．（1）如图12-3-13所示，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：S△BCO：S△CAO等于．（2）如图12-3-14所示，已知△ABC的周长是18cm，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD ⊥BC于点D，若△ABC的面积为54cm2，则OD= ．14．如图12-3-15所示，∠B=∠C=90°，M是BC中点，AM平分∠DAB，求证：DM平分∠AD C．15．如图12-3-16所示，在河中有座水文观测台O，它到河岸以及河上大桥AB的距离相等，一水文数据记录员站在台上，发现桥上有辆漂亮的彩车，从桥头A走到桥头B，问记录员的视线转过多大角度？16．如图12-3-17所示，在△ABC中，PB、PC分别是△ABC的外角的平分线，求证：∠1=∠2．17．已知，如图12-3-18所示，在△ABC和△DCE中，BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，B、C、E三点在一条直线上，A、B、C、D、E、F、G、O为“公交停靠点”，甲公共汽车从A站出发，按照A、F、G、E、C、F的顺序达到F站，乙公共汽车从B哦出发，按照BOFDGDF的顺序达到F站，（1）如果甲乙两公共汽车分别从AB站出发，在各站耽误的时间相同，两车的速度也相同，试问哪一辆公共汽车先达到指定站点？为什么？（2）求证：①∠AFB=∠CDE；②CF平分∠BFE．18．如图12-3-19所示，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为点D，（1）求证：∠2=∠1+∠C；（2）若ED∥BC，∠ABD=28°，求∠ADE的度数．19．如图12-3-20所示，在△ABC中，AB＞AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：AB－AC＞PB-P C．20．如图12-3-21所示，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由．中考链接21．（2011·浙江衢州）如图12-3-22所示，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，点Q是射线OM 上的一个动点，若P A=2，则PQ的最小值为（）．A．1 B．2 C．3 D．422．(2010·青海西宁)八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图12-3-23所示）设计了如下方案：（I）∠AOB是一个任意角，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线．（II）∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，将角尺的直角顶点P介于射线OA、OB之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M、N重合，即PM=PN，过角尺顶点P 的射线OP就是∠AOB的平分线．（1）方案（I）、方案（II）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由．（2）在方案（I）PM=PN的情况下，继续移动角尺，同时使PM⊥OA，PN⊥O B．此方案是否可行？请说明理由．巅峰突破23．如图12-3-24所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，∠ACB的平分线与∠ABC 的外角平分线交于点E，则∠AEB=（）．A．50° B．45° C．40°D．35°24．如图12-3-25所示，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D是AC上一点，且AE垂直BD的延长线于E，AE=12BD，求证：BD是∠ABC的平分线．。
角平分线的性质定理和判定（经典）
第一部分：知识点回顾1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上第二部分：例题剖析例1. 已知：在等腰Rt Rt△△ABC 中，AC=BC AC=BC，，∠C=90°，AD 平分∠平分∠BAC BAC BAC，，DE DE⊥⊥AB 于点E ，AB=15cm AB=15cm，，（1）求证：）求证：BD+DE=AC BD+DE=AC BD+DE=AC．．（2）求△）求△DBE DBE 的周长．的周长．例2. 如图，∠如图，∠B=B=B=∠C=90°，∠C=90°，∠C=90°，M M 是BC 中点，中点，DM DM 平分∠平分∠ADC ADC ADC，求证：，求证：，求证：AM AM 平分∠平分∠DAB DAB DAB．．例3. 如图，已知△如图，已知△ABC ABC 的周长是2222，，OB OB、、OC 分别平分∠分别平分∠ABC ABC 和∠和∠ACB ACB ACB，，OD OD⊥⊥BC 于D ，且OD=3OD=3，△，△，△ABC ABC 的面积是多少？的面积是多少？角平分线的性质定理和判定第三部分：典型例题例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ．【变式练习】如图，已知∠1=∠2，如图，已知∠1=∠2，P P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC PA=PC，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ． （1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论；？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．有怎样的位置关系？请说明理由．（3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△如图，△ABC ABC 中，中，P P 是角平分线AD AD，，BE 的交点．的交点． 求证：点P 在∠在∠C C 的平分线上．21NPF CBA【变式练习】如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的三条边上的点，CE=BF ，△DCE 和△DBF 的面积相等．求证：AD 平分∠BAC ．例3.如图，在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，且DE=2cm ，AB=9cm ，BC=6cm ，求△ABC 的面积．的面积．第四部分：思维误区第五部分：方法规律第七部分：巩固练习DAD M A B C N P E D B C A E F ADP7．如图，如图，已知在△已知在△ABC 中，90C Ð=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ^ 交AC 于E ．求证：BE 平分ABC Ð．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ，求证：AM 平分∠DAB. 9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．上．第八部分：中考体验ＢＤＡＥＣA ． 1B ． 2C ． 3D ． 4A ． 11 B ． 5.5 C ． 7D ． 3.5 3．（2010•鄂州）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ．S △=7，A ． 4B ．3 C ．6 D ．5 间的距离为间的距离为 _________ ．2．（2011•恩施州）如图，AD △ABC DF AB F DE=DG △ADG △AED。
角平分线性质定理之应用
角平分线性质定理之应用三角形的角平分线是三角形的主要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．那么如何利用三角形的角平分线解题呢？下面举例说明． 一、由角平分线的性质联想两线段相等例1 如图1，AB ＞AC ，∠A 的平分线与BC 的垂直平分线相交于D ，自D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ．求证：BE=CF证明 连结DB ，DC ．∵D 在∠A 的平分线上，∴DE=DF ． ∵D 在BC 的垂直平分线上，∴BD=DC ． 又∠BED=∠CFD=90°，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF ，∴BE=CF ． 二、由角平分线的轴对称性构造全等三角形例2 如图2，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且AD=DC 求证：∠A+∠C=180°．证明 延长BA 至F ，使BF=BC ．由BD 平分∠ABC 在△FBD 与△CBD 中，BF=BC ∠ABD=∠CBD BD=BD ∴△FBD ≌△CBD ，∴∠C=∠F ，DF=CD=AD ，∠F=DAF ， ∴∠A+∠C=∠BAD+∠DAF=180°．三、过角平分线上一点作一边的平行线，构成等腰三角形例3 已知：如图3，∠ABC 的平分线BF 与∠ACB 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，求证：BD+CE=DE ．证明：∵BF 是∠ABC 的平分线 ∴∠DBF=∠CBF 又∵DE ∥BC ∴∠DFB=∠CBF ∴∠DBF=∠DFB∴BD=FD ，同理CE=FE ． ∴BD+CE=DF+FE=DE ． 四、实际生活中的应用例4 如图4，有三条公路1l 、2l 、3l 两两相交，要选择一地点建一座加油站，是加油站到三条公路的距离相等，应如何选择建加油站的地址？这样的位置有几种选择？解析：分别作△ABC 两内角的平分线，它们相交于一点，根据角平分线的性质知，这个点到三条公路的距离相等；或者分别作△ABC 相邻两外角的平分线，它们的交点到三条公路的距离也相等，这样点共有三个，所以建加油站的位置共有4种选择．图4。
角平分线定理及其应用
从这个结果出发,你还能联想到什么?
做一做
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图. 求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC. E 作法: 1.在OAT和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
A
C
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长 为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C. O
3.作射线OC.
课本：P32 1、2
堂堂清：
课本：P34 2
鲁教版课标九上
6.5 角平分线
回顾与思考 你还能利用折纸的方法得到角平分线及角平分线上的点吗? 你还记得角平分线上的点有什么性质吗? 你能证明这一结论吗? 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一,PD⊥OA, PE⊥OB,垂足分别是D,E.求证:PD=PE. A D 分析:要证明PD=PE,只要证明它们 所在的△OPD≌△OPE. 1 P O 2 C 而△OPD≌△OPE的条件由已 知易知它满足公理(AAS). E B 故结论可证.
D
B
则射线OC就是∠AOB的平分线. 请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
课内练习
1.如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线和外 角平分线,它们有什么关系?
C
E D
B
A
F
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
随堂练习：
C
分析:要证明点P在∠AOB的平分线上, 可以先作出过点P的射线OC,然后证明 ∠1=∠2. 老师期望:你能写出规范的证明过程.
E B
Hale Waihona Puke 动手练一练逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的 点,在这个角的平分线上. 如图, A ∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB,垂足 D 分别是D,E(已知), 1 P ∴点P在∠AOB的平分线上.(在一 O 2 C 个角的内部,且到角的两边距离相 等的点,在这个角的平分线上). E B 老师提示:这个结论又是经常用 来证明点在直线上(或直线经过某一 点)的根据之一.
角平分线的应用
B
D●
O
C● A
３.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,
AD是Rt△ABC的角平分线.
求证:BD=2CD.
A
B
D
C
延伸训练
１、如图,在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=900,AD是 △ABC的角平线,DE⊥AB, 垂足为E.
A
E C D B
(1)如果CD=4cm, 求AC的长; (2)求证:AB=AC+CD.
∴ BE+PF>PB.
图1-30
三.尺规作图 角平分线的作法
用尺规作角的平分线.
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC
作法:
A
O
B
1.以O为圆心，以任意长为半径画弧交OA、OB
于点E、D 2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为 半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C
２: 已知：如图所示：PA，PC分别是 ⊿ABC外角∠MAC与∠NCA平分线，它 们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F 求证： 点P在∠MBN的平分线上
D A P E M
B
C
F
N
３、已知：如图，∠B= ∠C=90°，M是 BC的中点，DM平分∠ ADC
求证：AM平分∠DAB。
E
４、已知：△MON中，MP平分 ∠OMN，OP平分∠MON，且 PD⊥MN，PE⊥ON，垂足分别为 点D、E 求证：点P在∠MNO的平分线上
证明 作CM⊥AB于点M. M
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM. ∴ AD = AM. . 同理， BE = BM.
角平分线的性质与应用
角平分线的性质与应用角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的线段。
在几何学中，研究角平分线的性质与应用有助于解决各种角相关的问题。
本文将探讨角平分线的性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线的性质1. 定理1：角平分线将角分成两个相等的角。
证明：设角AOB为已知角，AC是角AOB的平分线。
假设角CAC'和角C'AB是不等的，即角CAC'≠角C'AB。
因为角CAC'和角C'AB之和等于角AOB，即角CAC'+角C'AB=角AOB。
又因为角CAC'和角C'AB是不等的，所以它们的和必然小于角AOB，产生矛盾。
因此，角CAC'和角C'AB必然相等。
2. 定理2：如果一个角的两条平分线相交于一个点，则该点在角的内部，并且到角的各边距离相等。
证明：设角AOB为已知角，AC和BD是角AOB的两条平分线，交于点E。
我们分别证明点E在角AOB的内部以及到角的各边距离相等：a) 点E在角AOB的内部的证明：假设点E在角AOB的外部，我们取点F在射线EB上，使得EF = EC。
在△AFC中，角AFC =角AFC’ +角C’FA =角 ABD +角 BDA =90°。
另一方面，在△BFD中，角BFD=角BFD’+角DFB=角ABD’+角DBA=90°。
因此，角AFC和角BFD之和等于180°，即角AFCB为一直线，这与假设矛盾。
因此，点E在角AOB的内部。
b) 到角的各边距离相等的证明：由定理1可知，∠ACB =∠DCB。
又因为∠AEC和∠BEC分别是角ACB的两个相等的角，所以∠AEC=∠BEC。
由于∠AEB是锐角，所以点E到射线AB上的点的距离相等。
二、角平分线的应用角平分线在几何学中有广泛的应用，下面介绍几种常见的应用情况：1. 求角平分线的长度：已知一个角的两条边长以及夹角的大小，可以利用三角函数求出角平分线的长度。
角平分线定理的巧妙应用
Go thedistance 浅谈角平分线定理的巧妙应用吉林省磐石市第一中学：周喜瑞 定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例， 即在△ABC 中，BD 平分∠ABC，则AD ：DC=AB ：BC （注：定理的逆命题也成立） 这是初中和高中都没有直接给出的重要定理，而它的应用却是那么的广泛，令很多老师学生望而生畏，下面就其三个方面的应用作以详细的介绍，仅供参考：应用1：半角与倍角这是在人教A 版必修Ⅱ练习册中出现的习题，而此时还没有学习三角函数的半角与倍角公式，因此很多教师把这样的习题都删了。
笔者认为放在这里自有它的作用，通过平面几何知识可以巧妙地解决此类问题。
例题1、已知两点()10,2--A ，()4,6-B ，直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半，求直线l 的斜率。
解析：43=AB k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DBCD AB AC =，又由勾股定理得5=AB x x -=∴354，解得34=x ，因此31=AC DC ，31=l k 例题2、一条直线l 经过点()1,2P ，并且满足倾斜角是直线1l ：034=+-y x 的倾斜角的两倍；求直线l 方程。
解析：411=l k ，如图：作直角三角形ACB ，AD 是角A 的平分线 由角平分线定理得DBCD AB AC =，又由勾股定理得 ()()222144++=x x ，解得1517=x 或1-=x （舍）， 因此158415171=+=AC BC ，158=l k ，所以直线l 的方程为01158=--y x 应用2：求轨迹方程我们知道动点P 与两个定点A ，B 的距离的比为定值λ，若1=λ，则动点P 的轨迹是线段AB 的垂直平分线。
若1≠λ，则动点P 的轨迹是圆。
我们可以通过建立适当的坐标系，用坐标法求出动点P 的轨迹方程，进而说明轨迹形状。
下面用另一种方法，从几何角度求出动点P 的轨迹。
角平分线的性质定理及应用
角平分线的性质定理及应用角平分线的性质定理可以分为下面几个方面进行详细阐述：1. 定理一：角平分线的定义及性质角平分线是指将一个角分成两个相等的部分的直线。
具体来说，设角AOB的内部有一条直线OC（O是角AOB的顶点），且∠AOC=∠COB，则称OC为角AOB 的角平分线。
特性：角平分线的两个性质如下：（1）OC是角AOB内角的平分线，即∠AOC=∠COB；（2）OC上的点到角AOB的两边的距离相等，即OD=OE。
2. 定理二：角平分线存在唯一性角平分线存在唯一性是指在一个角中，只存在一条角平分线。
证明如下：假设在角AOB中有两条角平分线OC1 与OC2。
不妨设OC1 与AB交于E1，OC2与AB交于E2。
由于OC1 是角AOB的角平分线，所以∠AOC1=∠C1OB。
同理，由于OC2 是角AOB的角平分线，所以∠AOC2=∠C2OB。
因为OC1 与OC2 都在角AOB内部，所以C1、C2两个点是可以重合的。
不管C1与C2 是重合还是不重合，都有∠C1OC2=0。
又因为OC1 与OC2 是交于同一条直线上的两个点，所以也有∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。
将∠C1OE2、∠E2OC2、∠C2OE1、∠E1OC1在图上绘出，我们可以发现角AOB的度数，使用的角平分线有两种情况：（1）∠C1OE2和∠E2OC2同时等于180，此时C1 与C2 必须是同一个点，所以OC1和OC2 是同一条线。
（2）∠C1OE2=∠C2OE1，∠E2OC2=∠E1OC1=0 ，此时C1 与C2 可以是同一个点，也可以是两个不同的点。
但无论如何选择，∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=0+0+0+0=0，不满足∠C1OE2+∠E2OC2+∠C2OE1+∠E1OC1=360。
综上所述，角平分线存在唯一性。
3. 定理三：角平分线与等分点的关系设在角AOB的内部有一点M，并且OM是角AOB的角平分线。
角平分线性质定理的应用
例析角平分线性质定理的应用.可联想角平分线的性质，数学问题中，若出现角平分线这一条件时，往往可以化难为易.下面举例予以说明．MAN，AC平分∠MAN例1 （临沂）已知∠；＋AD＝AC，求证：＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°AB（1）在图1中，若∠MAN，则⑴中的结论是否仍然成180°ABC＋∠ADC＝（2）在图2中，若∠MAN＝120°，∠立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．MMMCCCEDDD G BAAB F NNBAN图32图图1分析：（1）中可利用“直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半”的性质解题；（2）中猜想结论仍成立，可通过添加辅助线，构造全等三角形进行等线段的转化．解：（1）∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，∴∠CAB＝∠CAD＝60°．∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＝30°．1AC．＝AB∴＝AD2∴AB＋AD＝AC．（2）成立．如图3，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F．∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF．∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠CDE＝180°．∴∠CDE＝∠ABC．∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB，∴ED＝FB．∴AB＋AD＝（AF＋BF）＋（AE－ED）＝AF＋AE，由（1）知AF＋AE＝AC，∴AB＋AD＝AC．例2 如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.分析：由于CE平分∠ACB，可过点E作∠ACB的两边的垂线，通过证明DE是∠ADB- 1 -的平分线解决问题.图4解：作EN⊥CA，EM⊥BD，EP⊥CB，垂足分别是N、M、P.因为∠ABD=∠ABC-∠CBD=100°－20°=80°，∠PBA=180°－100°=80°，所以∠PBA=∠ABD.因为EM⊥BD于M，EP⊥CB于P，所以EP=EM.又CE平分∠ACB，EN⊥CA，EP⊥CB，所以EN=EP，所以EN=EM.11∠ADB=×40°平分∠ADB，所以∠ADE==20°. ED所以22例3 如图5，OC平分∠AOB，P是OC上一点，D是OA上一点，E是OB上一点，且PD=PE，求证：∠PDO＋∠PEO ＝180°．分析：要证∠PDO＋∠PEO＝180°，∠PDO、∠PEO在图形的不同位置，又无平行线使它们联系起来，但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角，问题便可以解决．由于OC是角平分线，故可过P点作两边的垂线，构造出两个直角三角形，再证明这两个三角形全等即可．证明：过点P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N．因OC是角平分线，故PM=PN．由PD=PE，PM=PN，得Rt△PMD≌RtPNE，所以∠MDP＝∠NEP．图5则∠PEO＝∠MDP，而∠MDP＋∠PDO＝180°，∠PDO＋∠PEO＝180°．?A?90ABPD?BCADC//AD P．求4例如图6是，，平分的中点，，已知：CP?DCB．证：平分?ADC?DCB PP的角平分线上，可转化为证的平分线上，而欲证点在在点分析：DC PP引垂线，这是本题证明的关键．点到这个角两边的距离相等，从而考虑过点一点向- 2 -以便充分运用角平分线的性质定理和判定定理．EDCPE?证明：作，垂足为，D A90?4??A??3?2 ，所以1 E 4 3P PE???ADC?1?2PAPD，所以．因为平分，所以CBPBPE??ABPAPB P因为是，所以的中点，所以，6 图DCB?CPDCB?P平分的平分线上，所以．所以点在- 3 -。
角平分线定理及其应用
角平分线定理及其应用角平分线定理是平面几何中一个重要的定理，它是指一个角的平分线将该角分成两个相等的角。
这个定理是很多其它定理的基础，而且在各种应用中也有着广泛的应用。
角平分线定理的表述很简洁，即一个角的平分线将该角分成两个相等的角。
对于一个角ABC，假设BD是角ABC的平分线，那么角ABD和角CBD是相等的。
这个性质可以通过严谨的证明得出，但在此不再详述。
角平分线定理的应用非常广泛。
首先，它可以用来证明其它定理。
例如，利用角平分线定理可以证明“一个角所对的弧等于该角所对的另一个角所对的弧”的定理。
具体来说，如果一个角ABD的平分线BD所对的弧是AC，那么角CBD所对的弧也是AC。
这个定理在圆的相关问题中有着重要的应用。
其次，角平分线定理还可以用来解决一些有关角度的问题。
例如，在解决三角形的相关问题中，可以利用角平分线定理求解未知的角度。
假设有一个三角形ABC，若角BAD和角CAD是相等的，即平分了角BAC，那么可以根据已知的角度求得角BAD和角CAD的具体数值。
这在解决三角形的角度问题时是非常有用的。
除了以上两个应用之外，角平分线定理还可以在一些几何建模问题中有所应用。
例如，在设计建筑物或道路时，需要进行各种测量和角度确定。
利用角平分线定理可以确保所设计的结构物的角度准确无误。
这对于保证建筑物的安全和美观性非常重要。
总的来说，角平分线定理是平面几何中一个非常重要的定理，它的应用涉及到了各个领域。
在证明其它定理、解决角度问题以及几何建模中都有着广泛的应用。
它不仅是数学研究的基础，也在实际生活中发挥着重要的作用。
对于学习数学的学生来说，理解和掌握角平分线定理是至关重要的。
角平分线定理不仅仅在数学领域中有着广泛的应用，它也可以在生活中的各种场景中得到运用。
例如，当我们使用罗盘进行导航时，角平分线定理可以帮助我们确定正确的方向。
在使用罗盘时，我们需要将罗盘的指针对准北方，以便获得准确的方向信息。
然而，在实际使用中，我们很难完全准确地判断罗盘指针是否指向了北方，因为我们无法直接看到罗盘的指针和地球北极。
角平分线的性质及应用
利用角平分线定理求角度
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解一些与角度相关的几何问题。
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解某个角度的大小。利用角平分线定理，我们可以将问题转化为求 解两个相等的线段之间的夹角。例如，如果一个角的平分线将相对边分为两段相等的线段，那么这个 角被平分线分为两个相等的部分，因此可以利用这个性质来求解角度。
总结词
角平分线定理是几何学中的重要定理之一，它可以用于证明 各种几何命题，如三角形中的角平分线性质、平行线性质等 。
详细描述
角平分线定理指出，角平分线将相对边分为两段相等的线段 。利用这个定理，我们可以证明一些与角平分线相关的几何 命题。例如，如果一个角的平分线与另一个角的两边相交， 那么这两个交点到角平分线的距离相等。
利用角平分线定理证明三角恒等式
总结词
通过构造角平分线，可以将复杂的三角恒等式证明问题转化为简单的几何问题，从而证 明三角恒等式。
详细描述
在证明三角恒等式时，我们可以根据题目的特点，构造角平分线，将问题转化为几何问 题。然后利用角平分线定理和三角形的性质，推导出恒等式。这种方法可以简化证明过
程，使证明更加直观和简单。
利用角平分线定理求距离
总结词
通过利用角平分线定理，我们可以求解 一些与距离相关的几何问题。
VS
详细描述
在几何问题中，有时候我们需要求解两个 点之间的距离。利用角平分线定理，我们 可以将问题转化为求解两个相等的线段之 间的距离。例如，如果一个角的平分线将 相对边分为两段相等的线段，那么这两个 相等的线段之间的距离就是所求的距离。 因此，可以利用这个性质来求解距离。
详细描述
这是角平分线的一个非常重要的性质。在几何学中，我们可以通过这个性质来证明一些与角平分线相关的命题。 例如，如果我们从一个固定点向一个角的两边画线，那么这些线中最短的一条必定是角的平分线。这个性质在解 决几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们找到最短的路径或线段。
第2课时 角平分线的性质与判定的综合应用
求证：BD=2CD。
A
B 证明：
D
C
∵∠C=90°，∠B=30° ∴Rt△ABC中，AB=2BC，∠BAC=60° ∵AD是△ABC的角平分线 ∴∠BAD=∠DAC=30°，AD=BD ∴Rt△ACD中，AD=2CD ∴BD=2CD
3.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相
交于点F。
E
C
H
（三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等）
这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫做三 角形的内心。
比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定 理
三边角三角形
交点性质
交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点
第二课时
角平分线
1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等。
A D
如图，
O1 2
P C
∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上任意一点， PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E（已知
E B
）
∴PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边距
离这相个等结）论是经常用来证明两条线段相等的根据之一。
A
求证：点F在∠DAE的平分线上。
B
C
证明：
∵BF是∠CBD的角平分线 D ∴F到BC，AD的距离相等
F
E
∵BF是∠CBD的角平分线
∴F到BC，AE的距离相等
∴F到AD，AE的距离相等
从而点F在∠DAE的平分线上
4.已知：如图，P是∠AOB平分线上的一个点，并且
PC⊥OA，
PD⊥OB，垂足分别是C，D。 C A 求证：（1）OC=OD;
多边形及角平分线.doc
教师:秦国荣学科:数学年级:初二课题名称：多变形及角平分线凸多边形加油绽个性化辅导教案时间:2014 年11 月9 日8:00-10:00f定义：由三条或三条以上的线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做多边形。
凸多边形分类1：凹多边形正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
分类2：形' ' 非正多边形：r 1、n边形的内角和等于180。
（n-2）o 多边形的定岫2、任意凸形多边形的外角和等于360。
L 3、n边形的对角线条数等于l/2・n （n-3）r 只用一种正多边形：3、4、6/。
'I镶嵌' 〔拼成360度的角I 只用一种非正多边形（全等）：3、4。
（点一：多边形及有关概念1、多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.（1）多边形的一些要素：边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.顶点：每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角，一个n边形有n个内角。
外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
（2）在定义中应注意：%1一些线段（多边形的边数是大于等于3的正整数）；%1首尾顺次相连，二者缺一不可；%1理解时要特别注意“在同一平面内”这个条件，其目的是为了排除几个点不共面的情况，即空间多边形.2、多边形的分类：（1）多边形可分为凸多边形和凹多边形，画出多边形的任何一条边所在的直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，则此多边形为凸多边形，反之为凹多边形（见图1）.本章所讲的多边形都是指凸多边形.凹多边形(2)多边形三角知识点二：正各个角都相可见多边形内角和与边数n有关，每增加图1通常还以边数命名，多边形有〃条边就叫做〃边形.三角形、四边形都属于多边形，其中形是边数最少的多边形.多边形等、各个边都相等的多边形叫做正多边形。
如正三角形、正方形、正五边形等。
要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可.如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形知识点三：多边形的内角和公式1.公式：％边形的内角和为5-©1町32刃要点诠释：(1)注意：以上各推导方法体现出将多边形问题转化为三角形问题来解决的基础思想。
角平分线定理在高考中的运用
角平分线定理在高考中的运用
三角平分线定理是几何学中一种重要定理，它在高考中也可以发挥作用。
一、三角平分线定理
三角平分线定理是指在一个三角形中，如果从一个顶点出发，穿过另外两个顶点以外的任一点，则这条线一定能平分这个三角形，如图1所示。
二、在高考中的应用
1、求向量的模长
应用三角平分线定理，可以将原向量分解为两个向量，再利用向量相加等于原来向量的性质，再求得向量的模长。
如图2所示。
2、求直线夹角
应用三角平分线定理，把小三角形两条夹角的一条分解为两等份，再利用小三角形的相等定理求得夹角的大小，如图3所示。
3、求圆周长
应用三角平分线定理，将圆分解为多个三角形，利用圆的性质，可以求出多个三角形的长度，用求出的所有小三角形的边之和求出圆的周长。
图4所示。
3、求圆心角
应用三角平分线定理，将圆心角分解为三角形，求出小三角形的相等规律，根据圆心角的内等弧定理，求出圆心角的大小，如图5所示。
三、总结
总而言之，三角平分线定理在高考中用于求向量模长、求直线夹角、求圆周长及求圆心角，有利于我们解决一些几何概念以及几何求解中的问题，运用的步骤也相对简单，值得我们在复习期间多加练习。
角平分线定理的应用
C D
以角平分线为轴，构造全等三角形，证线段之差不等
已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____
3.其他方面： 通过本节课的学习你有哪些收获？
∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD=________ 已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°， ∠B=40°， AD平分 直接应用定理求线段的长度：
已知： OE平分∠AOB，P为OE上一点，PC⊥OA于C，且PC=5，则P点到OB的距离为_____ ∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD=________ 直接应用定理求线段的长度：
已知：如图，在直角三角形ACB中，∠ACB=90°， ∠B=40°， AD平分 已知：如图，点P是∠BAC平分线上一点，P与A不重合，AC﹥AB. ∠ CAB交BC于D点， DE⊥AB于E，则∠CAD=________ 如图所示，在△ABC外作等腰三角形ABD和等腰三角形ACE，且使它们的顶角∠DAB=∠EAC，联结BE，CD相交于P点，AP的延长线 交BC于F点，试判断∠BPF与∠CPF的关系，并加以证明。 现在要在京周公路，良乡西路和西潞北大街的中间修一个货站，要求到这三条路的距离相等，请你找一下建货站的地址。
A
E
C
D
B
角平分线与四边形组合
已知：如图，四边形ABCD中，AC平分 ∠BAD，CE⊥AB于E，且 ∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE
A D
E C
B
以角平分线为轴，构造全等三角形， 证线段之差不等
已知：如图，点P是∠BAC平分线上一点， P与A不重合，AC﹥AB.
求证：PC-PB﹤AC-AB
角平分线定理
由定理2和斯特瓦尔特定理可以推导出三角形内的角平分线长公式。 如右图3，在△ABC中，AD平分∠BAC 图3可设AB=x,AC=y,BD=u,CD=v，则BC=u+v 由定理2我们知道 AB:AC=BD:CD，所以xv=uy 由 斯 台 沃 特 定 理 ， 有 w ²= ( x ²v + y ²u ) / ( u + v ) - u v 用u=xv/y,v=uy/x替换原式中的u和v 即 得 A D ²= x y - u v = A B × A C - B D × D C
应用例子
三角形内外角平分线性质定理：三角形的内外角平分线内、外分对边与其延长线所得的两条线段与夹这个角 的两边对应成比例。
谢谢观看
定理1
定理2 角平分线长
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。 证明：如图1，AD平分∠BAC，DB⊥AB，DC⊥AC 图1定理1证明图∵AD是∠BAC的平分线 ∴∠BAD=∠CAD ∵DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B、C ∴∠ABD=∠ACD=90° 又 AD=AD ∴△ABD≌△ACD ∴CD=BD 故原命题得证。 该命题有逆定理：
过C作CN∥AB，交AM的延长线于N 相似法图∵CN∥AB ∴∠ABC=∠BCN 又 ∠AMB=∠CMN ∴△ABM∽△NCM ∴AB:NC=BM:CM ∵AM是∠BAC的角平分线 ∴∠BAN=∠CAN 又 ∠BAN=∠ANC ∴∠CAN=∠ANC ∴AC=CN
作△ABC的外接圆，AM交圆于D 正弦定理法图由正弦定理，得 AB:sin∠AMB=MB:sin∠BAM, AC:sin∠AMC=MC:sin∠CAM ∵AM是∠BAC的角平分线 ∴∠BAM=∠CAM ∴sin∠BAM=sin∠CAM 又∠AMB+∠AMC=180° sin∠AMB=sin∠AMC ∴AB:AC=MB:MC
(完整版)角平分线定理.doc
角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！ ( 即内心 ) 。
■定理 1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理 2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ ABC 中， BD平分∠ ABC，则AD： DC=AB： BC提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ ABC 的角平分线，求证AB／ AC=MB／ MC已知和证明1 图证明：方法1：（面积法）S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin ∠BAM,S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin ∠CAM,∴S△ABM：S△ACM=AB:AC又△ ABM和△ ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，证明 2图即三角形ABM面积 S：三角形 ACM面积 S=BM:CM ∴AB／ AC=MB／ MC方法 2（相似形）过 C 作 CN‖AB 交 AM的延长线于 N则△ ABM∽△ NCM∴AB/NC=BM/CM又可证明∠ CAN=∠ANC∴AC=CN∴AB／ AC=MB／ MC证明 3图方法 3（相似形）过 M作 MN‖AB 交 AC于 N则△ ABC∽△ NMC,∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC又可证明∠ CAM=∠AMN∴AN=MN∴AB/AC=AN/NC∴AB／ AC=MB／ MC方法 4（正弦定理）作三角形的外接圆，AM交圆于 D，由正弦定理，得，证明 4图AB/sin ∠BMA=BM/sin∠BAM,∴A C/sin ∠CMA=CM/sin∠CAM又∠ BAM=∠CAM，∠ BMA+∠AMC=180°sin ∠BAM=sin∠CAM,sin∠BMA=sin∠AMC,∴AB／ AC=MB／ MC。
角平分线的原理及应用
角平分线的原理及应用角平分线的原理及应用1. 介绍角平分线的概念和定义角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体来说，对于一个角ABC，如果有一条线段AD，且AD等于BD，那么AD就是角ABC的平分线。
角平分线可以通过作图和计算来确定，它从角的顶点向角的两边延伸。
2. 角平分线的原理与性质角平分线有一些重要的原理和性质，下面将逐一介绍。
2.1 角平分线将角分成相等的两个角根据角平分线的定义，角平分线将一个角分成两个相等的角。
这是角平分线的基本性质之一。
2.2 角平分线与角的两边相交于角的顶点角平分线与角的两边相交于角的顶点。
这是角平分线的另一个重要性质。
具体来说，如果一条线段与角的两边相交于角的顶点，并且将这个角分成两个相等的角，那么这条线段就是角的平分线。
2.3 角平分线对称地分割角的两边角平分线将角的两边对称地分割成相等的线段。
也就是说，将角的两边上的点与角的顶点连线后，由角平分线分割的两个线段的长度相等。
3. 角平分线的一些常见应用3.1 三角形内部角平分线定理在一个三角形中，如果一条线段从一个角的顶点出发，并且平分了这个角，那么这条线段分割了相对应的边，并且这些分割线段的比值等于相邻两边的比值。
这个定理可以用于解决一些与三角形有关的问题。
3.2 角平分线判定角的大小关系通过角平分线可以判断两个角的大小关系。
如果两个角的平分线相交且交点在角的内部，那么这两个角的大小关系可以根据平分线分割角的两边的长度来确定，长度较长的一边对应的角较大。
3.3 三角形外角平分线定理在一个三角形中，如果从三角形的一个外角作出一条平分线，那么这条平分线将另外两个内角分割成相等的角。
这个定理可以应用于解决一些与三角形外角有关的问题。
总结回顾：角平分线是将一个角分成相等的两个角的直线。
它具有多个重要性质，如：将角分成相等的两个角、与角的两边相交于角的顶点等。
角平分线可以运用于三角形内部角平分线定理、判定角的大小关系以及三角形外角平分线定理等问题的求解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
１
A
B
C
P
一、选择题
1. (2009 山东省临沂市) 如图，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，
垂足分别为A ，B ．下列结论中不一定成立的是（ ） A ．PA PB = B ．PO 平分APB ∠
C ．OA OB =
D ．AB 垂直平分OP
2. (2010 吉林省长春市) 如图，ABC △中，90C ∠=°，40B ∠=°，AD 是角平分线，则ADC ∠的度数为（ ）
（A ）25° （B ）50° （C ）65° （D ）70°
3. (2010 广西柳州市) 如图，Rt ABC △中，90C ∠=°，ABC ∠的平分线BD 交AC 于D ，若3cm CD =，则点D 到AB 的距离DE 是（ ）
A ．5cm Ｂ．4cm Ｃ．3cm Ｄ．2cm
4. (2010 湖南省益阳市) 如图3，已知△ABC ，求作一点P ，使P 到∠A 两边的距离相等，且P A ＝PB ．下
列确定P 点的方法正确的是
Ａ．P 为∠A 、∠B 两角平分线的交点
Ｂ．P 为∠A 的角平分线与AB 的垂直平分线的交点 Ｃ．P 为AC 、AB 两边上的高的交点 Ｄ．P 为AC 、AB 两边的垂直平分线的交点
5. (2010 湖北省襄樊市) 如图１，已知直线AB CD BE ∥，平分ABC ∠，交CD 于D ，150CDE ∠=°，则C ∠的度数为( )
A.150°
B.130°
C.120°
D.100°
O
B
A
P A B C D E E
D
C
B
A
图1
２
二、填空题
6. (2011 江西省) 如图，在ABC △中，点P ABC 是△的内心，则PBC PCA PAB ∠+∠+∠=______度．
7. (2012 广东省广州市) 已知30ABC ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，则ABD ∠=_______度．
8. (2013 湖南省长沙市) 如图，BD 是ABC ∠的平分线，P 是BD 上的一点，PE BA ⊥于点E ，4cm PE =，
则点P 到边BC
的距离为 cm ．
9. (2013 福建省泉州市) 如图，70AOB ∠=o
，QC OA ⊥于C ，QD OB ⊥于D ，若QC QD =，则
AOQ ∠= °.
B P
C A
３
10. (2013 浙江省义乌市) 如图，AD BC ⊥于点D ，D 为BC 的中点，连结AB ，ABC ∠的平分线交AD 于点O ，连结OC .若125AOC ∠=°，则ABC ∠=_________°；
三、证明题
11. (2009 湖南省怀化市) 如图，P 是∠BAC 内的一点，
PE AB PF AC ⊥⊥，，垂足分别为点
E F ，，AF AE =． 求证：（1）PF PE =；
（2）点P 在∠BAC 的角平分线上．
12. (2009 内蒙古赤峰市) 如图，在四边形ABCD 中，AB BC =，BF 是ABC ∠的平分线，AF DC ∥，连接AC CF ，．求证：CA 是DCF ∠的平分线．
13. (2010 广西梧州市) 如图，AB 是∠DAC 的平分线，且AD ＝AC . 求证：BD ＝BC .
A
D F B C D
B
A
C
４
四、画(作)图题
14. (2009 广东省梅州市) 1本题满分 7 分．
如图 ，已知线段AB ，分别以A B 、
为圆心，大于
1
2
AB 长为半径画弧，两弧相
交于点C 、Q ，连结CQ 与AB 相交于点D ，连结AC ，BC ．那么： （1）∠ ADC =________度； （2）当线段460AB ACB =∠=，°时，ACD ∠= ______度， ABC △的
面积等于_________（面积单位）．
五、说理题
15. (2010 青海省西宁市) 八（1）班同学上数学活动课，利用角尺平分一个角（如图）.设计了如下方案：
（Ⅰ）∠AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.
（Ⅱ）∠AOB 是一个任意角，在边OA 、OB 上分别取OM=ON ，将角尺的直角顶点P 介于射线OA 、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与M 、N 重合，即PM=PN ，过角尺顶点P 的射线OP 就是∠AOB 的平分线.
（1）方案（Ⅰ）、方案（Ⅱ）是否可行？若可行，请证明；若不可行，请说明理由.
（2）在方案（Ⅰ）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使PM ⊥OA ，PN ⊥OB.此方案是否可行？请说明理由.
C
B
D
A
Q
５
六、阅读理解与信息迁移
16. (2011 青海省) 认真阅读下面关于三角形内外角平分线所成夹角的探究片段，完成所提出的问题． 探究１：如图1，在ABC △中，O 是ABC ∠与ACB ∠的平分线
BO 和CO 的交点，通过分析发现
1
902
BOC A ∠=+
∠°
，理由如下：
BO Q 和CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的角平分线，
11
12.22
ABC ACB ∴∠=∠∠=∠，
1
12()2
ABC ACB ∴∠+∠=∠+∠．
又180ABC ACB A ∠+∠=-∠Q °，
112(180)2A ∴∠+∠=-∠°＝1
902A -∠°．
180(12)BOC ∴∠=-∠+∠°
＝1
180(90)2
A --∠°° ＝1
902
A +∠°．
探究2：如图2中，O 是ABC ∠与外角ACD ∠的平分线BO 和CO 的交点，试分析BOC ∠与A ∠有怎样的关系？请说明理由．
探究3：如图3中，O 是外角DBC ∠与外角ECB ∠的平分线BO 和CO 的交点，则BOC ∠与A ∠有怎样的关系？（只写结论，不需证明）
结论：________________________________________．
图1
图2
图3
６。