平行板电容器的等效计算分析_丁舒忻

∫∫
x －y
y， z） dxdy ε0 ε （ x ，
图4
三维空间非均匀介质示意图
参考文献：
［ 1］ 叶伟国． 有电介质时平行板电容器电容计算问题的 J］ ． 物理与工程， 2008 ， 18 （ 3 ） ： 63 － 64． 讨论［ ［ 2］ 梁成升． 平行板类电容器电容的计算［ J］ ． 物理与工 2009 ， 19 （ 1 ） ： 58 － 60． 程， ［ 3］ 袁聿海．“串并联” 法在计算平行板电容器电容中的 J］ ． 湖南文理学院学报 （ 自然科学版 ） ， 2005 ， 应用［ 17 （ 1 ） ： 22 － 23 49．
利用微分的思想， 将每个微元当作等效计算 ， 中的电容 再进行串并联计算， 可以运用于任何情 形下平行板电容器电容计算公式推导中， 即提出 了三维空间非均匀介质下利用微元的方式计算平 对 行板电容器电容的通用方法。 通过这种方法， 于任何平行板电容器， 无论该平行板是否是均匀 介质， 只要知道了该电容器的介电常数分布情况 ， 都可以通过这种方法计算其电容值， 解决了电子 元件中电容器电容值的计算问题 。
Abstract ： Capacitance is the most important parameters of the capacitor． By analyzing the equivalent capacitance of the parallelplate capacitor filled with uniform or nonuniform dielectric， which is analogous to the seriesparallel connection theories of resistance calculation． The calculation method is discussed and a differential element method to calculate the capacitance of a threedimensional nonuniform medium is proposed． Key words： Parallelplate capacitor， Equivalent calculation， Seriesparallel connection， The theory of calculus 时， 需采用等效电容串并联的方法进行等效计 ［2 ］ 算 ， 本文对三维空间非均匀介质采用三维微分 法（ 或称为微元方式） ， 推导出了平行板电容器的 通用计算方法。
根据以上推导后得到的通用电容公式， 对前 面 3 种简单情形验证如下。 在图 1 的情况中， 其相应的电容值为
∫∫ε ε dxdy ∫ dx∫ ε ε dy ε ε al = C = = = d ∫ dz ∫ dz
l a 0 r S 0 0 0 r 0 r d d 0 0
ε0 ε r S 。 d
The Analysis of Calculation of Equivalent Capacitance of the Parallelplate Capacitor
DING Shuxin
（ School of Automation， Beijing Institute of Technology， Beijing 100081 PRC）
通过 2 种方法比较， 不难发现， 在平行板间有 多种不同介质的情形时， 利用等效电容串并联法 计算电容值比用定义方法在很大程度上减少了计 算量。
。
当电容器中存在的介质分布如图 2 所示， 则 2 其可等效为 个分别充满介质 ε1 和介质 ε2 的电 容器的并联， 直接利用式 （ 1 ） 分别计算它们的电 ε0 ε1 al1 ε0 ε2 al2 ， C2 = ， 容： C1 = 再根据电容的并联 d d 求得： C = C1 + C2 = ε0 ε1 al1 ε0 ε2 al2 + d d （ 2） 图3 非均匀介质串联法示意图
∫
z） dxdy / dz， 整个平行板间电容可通过不同 z 位置 1 的单位 x － y 平面上的电容串联之和来计算， 即 C = 所以 ∫ c （1z） 。
z z
∫ ∫
0
∫
0
∫ ∫
0
0
=
ε0 al 。 d 1 / ε1 + d 2 / ε2
4
结论
C =
∫ห้องสมุดไป่ตู้
z
1 = 1 c z （ z）
∫
z
1 1
。 dz
如果利用电容的定义法计算电容， 即： E1 = q1 q2 ， E2 = ， 且 E1 = E2 = E ， 电压 U = Ed， ε0 ε1 al1 ε0 ε2 al2 q = q1 + q2 = E1 ε0 ε1 al1 + E2 ε0 ε2 al2 ， 所以 C = q ε0 ε1 al1 ε0 ε2 al2 = + ， 和式（ 2 ） 相同。 Ed d d q = U
0
引言
电容器是电子、 电力领域中不可缺少的电子 元件。它广泛应用于电源滤波、 信号滤波、 信号耦 合、 谐振、 隔直流等电路中。 电容 （ 或称电容量 ） 是表征电容器容纳电荷本领的物理量， 是电容器
［1 ］ 的最重要的一个参数， 其计算方法多种多样 ， 特别是电容器中存在多种电介质时， 情况更加复 杂。
0 x －y
在图 2 的情况中， 其相应的电容值为 1 C = d 1
= dz
∫
0
∫ dx∫ ε ε dy + ∫ dx∫ ε ε dy
0 0 0 1 0 0 0 2
l1
a
l2
a
ε0 ε1 al1 ε0 ε2 al2 + 。 d d 在图 3 的情况中， 其相应的电容值为 1 C = d1 d2 1 1 + l a l a 0 0 dx ε0 ε1 dy） dz dx ε0 ε2 dy） dz
［3 ］
如果利用电容的定义法计算电容 ， 即： 两部分 q q ， E2 = ， 介质中的 E 分别为： E1 = 则U al ε0 ε1 ε0 ε2 al qd1 qd2 → → = E ·d l = E1 d1 + E2 d2 = + ， 所以 ε0 ε1 al ε0 ε2 al L
∫
C=
ε0 al q = ， 和式（ 3 ） 结果相同。 U d 1 / ε1 + d 2 / ε2
2
多介质情形
当平行板间介质不再单一， 而是存在多种介 它的电容值也随之相应的变化。 质时， 以 2 种不同的介质 ε1 和 ε2 为例， 通过定义 方法和等效电容串、 并联方法来分析电容器电容 值求法。其中， 等效为电容器串联时， 电容值倒数 应为各电容器电容倒数和， 而等效为电容器并联 时电容值应为各电容器电容之和 2 ． 1 非均匀介质并联法
第 29 卷 第 4 期 2011 年 8 月
江
西
JIANGXI
科
SCIENCE
学
Vol． 29 No． 4 Aug． 2011
文章编号：1001 － 3679 （ 2011 ） 04 － 0470 － 03
平行板电容器的等效计算分析
丁 舒 忻
（ 北京理工大学自动化学院 ， 北京 100081 ） 摘要：电容是电容器的最重要的一个参数 ， 通过分析平行板电容器内部充有均匀或非均匀电介质的情形 ， 类比 与电阻计算中的串并联原理 ， 对电容的计算方法进行了讨论 ， 并提出了三维空间非均匀介质下利用微元的方 式计算电容的通用方法 。 关键词：平行板电容器； 等效计算； 串联并联； 微积分原理 中图分类号：O441． 1 文献标识码：A
3
三维空间非均匀介质的通用计算 方法
当平行板间介质不再均匀， 而是在不同坐标 y， z ） 时 （ 如图 下有着不同的相对介电常数 ε （ x， 4） ， 这种情形再利用电容器定义的方法求平行板 电容值时变的十分困难， 而通过等效成众多平行 板电容器串并联的方法较为简单 。
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2011 年第 29 卷
q ， 可推导出： U （ 1）
这是最基本的情形， 若没有介质（ 真空） 时， εr = 1 ， ε0 S 。 此时 C = d 2． 2
图2
非均匀介质并联示意图
非均匀介质串联法
当电容器中存在的介质分布如图 3 所示， 则 其可等效为 2 个分别充满介质 ε1 和介质 ε2 的电 容器的串联， 利用式（ 1 ） 分别计算它们的电容： C1 ε0 ε1 al1 ε0 ε2 al2 = ， C2 = ， 再根据电容的串联求得： d d C= 图1 平行板间单一介质 C1 C2 ε0 al = C 1 + C 2 d 1 / ε1 + d 2 / ε2 （ 3）
收稿日期：2011 － 06 － 09 ； 修订日期：2011 － 07 － 21 作者简介：丁舒忻（ 1991 － ） ， 男， 江西南昌人， 本科。
第4 期
丁舒忻： 平行板电容器的等效计算分析 qd ， 根 ε0 ε r S
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平行板面积） ， 则两板电势差为 U = Ed = 据电容器电容的定义式 C = C= ε0 ε r S d
1
单一介质在平行板电容器的情形
假设两极板 （ 如图 1 所示 ） 带电量分别为 + q 和 － q， 电荷均匀分布在两极板相对的内表面， 介 质相对介电常数为 ε r ， 真空绝对介电常数为 ε0 ， q （ S = al 为 板间均匀电场， 其电场强度为 E = ε0 ε r S
以平行板电容器为例， 单一介质在平行板电 容器是电容器中最普通的一种情形， 它的电容值 比较容易计算。 但是， 平行板间若有非均匀介质
y， z） 与 由于这种情形的相对介电常数 ε （ x， x － y － z ， 坐标有关 所以可以利用微元的思 它的 想将每个位置当做一个平行电容器进行计算 ， 所 以平行板间每个位置的电容 y， z） dxdy ε0 ε （ x ， c（ x ， y， z） = 。 dz 计算总电容时可以先在 x － y 平面上利用电 容串并联的方法， 所以每个单位 x － y 平面上的电 容通过电 容 并 联 计 算 得 到 c z （ z ） = y， ∫∫ε ε（ x，