历年高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编
高考全国1卷文数试题(解析版)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}1,3,5,7A =,{}25B x x =,则AB =（A ）{1,3} （B ）{3,5} （C ）{5,7} （D ）{1,7} 【答案】B考点：集合的交集运算【名师点睛】集合是每年高考中的必考题,一般以基础题形式出现,属得分题.解决此类问题一般要把参与运算的集合化为最简形式再进行运算,如果是不等式解集、函数定义域及值域有关数集之间的运算,常借助数轴进行运算.(2) 设()()12i i a ++的实部与虚部相等,其中a 为实数,则a= （A ）－3 （B ）－2 （C ）2 （D ）3 【答案】A 【解析】试题分析：i a a i a i )21(2))(21(++-=++,由已知,得a a 212+=-,解得3-=a ,故选A. 考点：复数的概念及复数的乘法运算【名师点睛】复数题也是每年高考必考内容,一般以客观题形式出现,属得分题.高考中复数考查频率较高的内容有：复数相等,复数的几何意义,共轭复数,复数的模及复数的乘除运算,这类问题一般难度不大,但容易出现运算错误,特别是2i 1=-中的负号易忽略,所以做复数题要注意运算的准确性.（3）为美化环境,从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中,余下的2种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）13 （B ）12 （C ）23（D ）56【答案】A考点：古典概型【名师点睛】作为客观题形式出现的古典概型试题,一般难度不大,解答常见错误是在用列举法计数时出现重复或遗漏,避免此类错误发生的有效方法是按照一定的标准进行列举. （4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =2c =,2cos 3A =,则b= （A 2 （B 3 （C ）2 （D ）3 【答案】D 【解析】试题分析：由余弦定理得3222452⨯⨯⨯-+=b b ,解得3=b （31-=b 舍去）,故选D. 考点：余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 的一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14,则该椭圆的离心率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34 【答案】B 【解析】试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42===⨯=在Rt OFB ∆中,|OF||OB||BF||OD |⨯=⨯,且222a b c =+,代入解得22a 4c =,所以椭圆得离心率得1e 2=,故选B.考点：椭圆的几何性质【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后,所得图像对应的函数为 （A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3) 【答案】D考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x 而言的,不用忘记乘以系数.（7）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3,则它的表面积是y xOB FD（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 【解析】考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. （8）若0a b >>,01c <<,则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b 【答案】B 【解析】试题分析：由01c <<可知log c y x =是减函数,又0a b >>,所以log log c c a b <．故选B.本题也可以用特殊值代入验证. 考点：指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.（9）函数22xy x e =-在[]2,2-的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D考点：函数图像与性质【名师点睛】函数中的识图题多次出现在高考试题中,也可以说是高考的热点问题,这类题目一般比较灵活,对解题能力要求较高,故也是高考中的难点,解决这类问题的方法一般是利用间接法,即由函数性质排除不符合条件的选项.（10）执行右面的程序框图,如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足 （A ）2y x = （B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =结束【答案】C 【解析】试题分析：第一次循环：0,1,2x y n ===,第二次循环：1,2,32x y n ===, 第三次循环：3,6,32x y n ===,此时满足条件2236x y +≥,循环结束,3,62x y ==,满足4y x =．故选C考点：程序框图与算法案例【名师点睛】程序框图基本是高考每年必考知识点,一般以客观题形式出现,难度不大,求解此类问题一般是把人看作计算机,按照程序逐步列出运行结果. （11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面,11ABBA n α=平面,则m ,n 所成角的正弦值为（A （B ）2 （C （D ）13【答案】A考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增,则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【答案】C考点：三角变换及导数的应用【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性. 第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题,每小题5分（13）设向量a =(x ,x +1),b =(1,2),且a ⊥b ,则x = . 【答案】23- 【解析】试题分析：由题意, 20,2(1)0,.3x x x ⋅=++=∴=-a b 考点：向量的数量积及坐标运算【名师点睛】全国卷中向量大多以客观题形式出现,属于基础题.解决此类问题既要准确记忆公式,又要注意运算的准确性.本题所用到的主要公式是：若()()1122,,,x y x y ==a b ,则1122x y x y ⋅=+a b .（14）已知θ是第四象限角,且sin(θ+π4)=35,则tan(θ–π4)=.【答案】43- 【解析】试题分析：由题意sin sin 442θθπππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦3cos 45θπ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭, 因为2222k k θ3ππ+<<π+π()k ∈Z ,所以722444k k θ5ππππ+<-<π+()k ∈Z , 从而4sin 45θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,因此4tan 43θπ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭．故填43-． 考点：三角变换【名师点睛】三角函数求值,若涉及到开方运算,要注意根式前正负号的取舍,同时要注意角的灵活变换.（15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若,则圆C 的面积为【答案】4π考点：直线与圆【名师点睛】注意在求圆心坐标、半径、弦长时常用圆的几何性质,如圆的半径r 、弦长l 、圆心到弦的距离d 之间的关系：2222l r d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在求圆的方程时常常用到. （16）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时,生产一件产品A 的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为元. 【答案】216000【解析】试题分析：设生产产品A 、产品B 分别为x 、y 件,利润之和为z 元,那么1.50.5150,0.390,53600,0,0.x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩ ①目标函数2100900z x y =+.取得最大值.解方程组10390053600x y x y +=⎧⎨+=⎩,得M 的坐标(60,100).所以当60x =,100y =时,max 210060900100216000z =⨯+⨯=. 故生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点,一般以客观题形式出现,基本题型是给出约束条件求目标函数的最值,常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.（17）.（本题满分12分）已知{}n a 是公差为3的等差数列,数列{}n b 满足12111==3n n n n b b a b b nb +++=1，，,. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和.【答案】（I ）31n a n =-（II ）131.223n --⨯ （II ）由（I ）和11n n n n a b b nb +++= ,得13n n b b +=,因此{}n b 是首项为1,公比为13的等比数列.记{}n b 的前n 项和为n S ,则111()313.122313nn n S --==-⨯- 考点：等差数列与等比数列【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.（18）.（本题满分12分）如图,在已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形,PA =6,顶点P 在平面ABC 内的正投影为点E ,连接PE 并延长交AB 于点G .（I ）证明G 是AB 的中点；（II）在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由）,并求四面体PDEF的体积．PABD CGE【答案】（I）见解析（II）作图见解析,体积为43试题解析：（I）因为P在平面ABC内的正投影为D,所以.AB PD⊥因为D在平面PAB内的正投影为E,所以.AB DE⊥所以AB⊥平面PED,故.AB PG⊥又由已知可得,PA PB=,从而G是AB的中点.（II）在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下：由已知可得PB PA⊥,⊥PB PC,又//EF PB,所以EF PC⊥,因此EF⊥平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.由（I ）知,G 是AB 的中点,所以D 在CG 上,故2.3=CD CG 由题设可得⊥PC 平面PAB ,⊥DE 平面PAB ,所以//DE PC ,因此21,.33==PE PG DE PC 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且6=PA ,可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中,可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323=⨯⨯⨯⨯=V 考点：线面位置关系及几何体体积的计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.（19）（本小题满分12分）某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：频数记x 表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y 表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元）,n 表示购机的同时购买的易损零件数.（I ）若n =19,求y 与x 的函数解析式；（II ）若要求“需更换的易损零件数不大于n ”的频率不小于0.5,求n 的最小值；（III ）假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？【答案】（I ）)(,19,5700500,19,3800N x x x x y ∈⎩⎨⎧>-≤=（II ）19（III ）19（Ⅱ）由柱状图知,需更换的零件数不大于18的概率为0.46,不大于19的概率为0.7,故n 的最小值为19.（Ⅲ）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为4050)104500904000(1001=⨯+⨯. 比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.考点：函数解析式、概率与统计【名师点睛】本题把统计与函数结合在一起进行考查,有综合性但难度不大,求解关键是读懂题意,所以提醒考生要重视数学中的阅读理解问题.（20）（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中,直线l :y =t (t ≠0)交y 轴于点M ,交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ,M 关于点P 的对称点为N ,连结ON 并延长交C 于点H .（I ）求OH ON； （II ）除H 以外,直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.【答案】（I ）2（II ）没有【解答】试题分析：先确定),(2t p t N ,ON 的方程为x t p y =,代入px y 22=整理得0222=-x t px ,解得01=x ,pt x 222=,得)2,2(2t p t H ,由此可得N 为OH 的中点,即2||||=ON OH .（II ） 把直线MH 的方程x tp t y 2=-,与px y 22=联立得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.（Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下：直线MH 的方程为x tp t y 2=-,即)(2t y p t x -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ,解得t y y 221==,即直线MH 与C 只有一个公共点,所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.考点：直线与抛物线【名师点睛】高考解析几何解答题大多考查直线与圆锥曲线的位置关系,直线与圆锥曲线的位置关系是一个很宽泛的考试内容,主要由求值、求方程、求定值、最值、求参数取值范围等几部分组成；解析几何中的证明问题通常有以下几类：证明点共线或直线过定点；证明垂直；证明定值问题.其中考查较多的圆锥曲线是椭圆与抛物线,解决这类问题要重视方程思想、函数思想及化归思想的应用.（21）（本小题满分12分）已知函数()()()22e 1x f x x a x =-+-．(I)讨论()f x 的单调性；(II)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.【答案】见解析(II)()0,+∞ 【解析】试题分析：(I)先求得()()()'12.x f x x e a =-+再根据1,0,2a 的大小进行分类确定()f x 的单调性；(II)借助第一问的结论,通过分类讨论函数单调性,确定零点个数,从而可得a 的取值范围为()0,+∞.试题解析： (I)()()()()()'12112.x x f x x e a x x e a =-+-=-+(i)设0a ≥,则当(),1x ∈-∞时,()'0f x <；当()1,x ∈+∞时,()'0f x >.所以在(),1-∞单调递减,在()1,+∞单调递增.(ii)设0a <,由()'0f x =得x =1或x =ln(-2a). ①若2e a =-,则()()()'1x f x x e e =--,所以()f x 在(),-∞+∞单调递增. ②若2e a >-,则ln(-2a)<1,故当()()(),ln 21,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >； 当()()ln 2,1x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),ln 2,1,a -∞-+∞单调递增,在()()ln 2,1a -单调递减. ③若2e a <-,则()21ln a ->,故当()()(),1ln 2,x a ∈-∞-+∞时,()'0f x >,当()()1,ln 2x a ∈-时,()'0f x <,所以()f x 在()()(),1,ln 2,a -∞-+∞单调递增,在()()1,ln 2a -单调递减.考点：函数单调性,导数应用【名师点睛】本题第一问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第二问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及到导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,△OAB是等腰三角形,∠AOB=120°.以O为圆心,12OA为半径作圆.(I)证明：直线AB与O相切；(II)点C,D在⊙O上,且A,B,C,D四点共圆,证明：AB∥CD.OD CBA【答案】(I)见解析(II)见解析在Rt AOE ∆中,12OE AO =,即O 到直线AB 的距离等于圆O 的半径,所以直线AB 与⊙O 相切． E O'DC OBA（Ⅱ）因为2OA OD =,所以O 不是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,设'O 是,,,A B C D 四点所在圆的圆心,作直线'OO ．由已知得O 在线段AB 的垂直平分线上,又'O 在线段AB 的垂直平分线上,所以'OO AB ⊥． 同理可证,'OO CD ⊥．所以//AB CD ．考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明【名师点睛】近几年几何证明题多以圆为载体命制,在证明时要抓好“长度关系”与“角度关系的转化”,熟悉相关定理与性质.该部分内容命题点有：平行线分线段成比例定理；三角形的相似与性质；四点共圆；圆内接四边形的性质与判定；切割线定理.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中,曲线C 1的参数方程为cos 1sin x a t y a t =⎧⎨=+⎩（t 为参数,a ＞0）． 在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2：ρ=4cos θ.（I ）说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程；（II ）直线C 3的极坐标方程为0θα=,其中0α满足tan 0α=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a ．【答案】（I ）圆,222sin 10a ρρθ-+-=（II ）1试题解析：⑴ cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ① ∴1C 为以()01，为圆心,a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+=，224x y x ∴+=,即()2224x y -+= ②3C ：化为普通方程为2y x =,由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C①—②得：24210x y a -+-=,即为3C∴210a -=,∴1a =考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用【名师点睛】“互化思想”是解决极坐标方程与参数方程问题的重要思想,解题时应熟记极坐标方程与参数方程的互化公式及应用.（24）（本小题满分10分）,选修4—5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--.（I ）在答题卡第（24）题图中画出()y f x =的图像；（II ）求不等式()1f x >的解集．【答案】（I ）见解析（II ）()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，试题解析：⑴如图所示：2016年高考全国1卷文数试题(解析版)- 21 - /21考点：分段函数的图像,绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写出集合形式.。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题11平面解析几何解答题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y2＝2，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与轴垂直时，＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y+1，或：y﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：＝ty+2，M（1，y1），N（2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有BN+BM0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．2．【2017年新课标1文科20】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（1，），B（2，）为曲线C：y上两点，则直线AB的斜率为（1+2）4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝+t，代入曲线C：y，可得2﹣4﹣4t＝0，即有1+2＝4，12＝﹣4t，再由y的导数为y′，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，AM•BM＝﹣1，即为•1，化为12+2（1+2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝+7．3．【2016年新课标1文科20】在直角坐标系Oy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2p（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴，t，∴N（，t），∴ON的方程为y，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知MH，∴直线MH的方程为y+t，与抛物线方程联立，消去可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．4．【2015年新课标1文科20】已知过点A（0，1）且斜率为的直线l与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．（1）求的取值范围；（2）若•12，其中O为坐标原点，求|MN|．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y＝+1，即：﹣y+1＝0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．故由1，故当，过点A（0，1）的直线与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．（2）设M（1，y1）；N（2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝+1，代入圆C的方程（﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得（1+2）2﹣4（+1）+7＝0，∴1+2，1•2，∴y1•y2＝（1+1）（2+1）＝212+（1+2）+1•2+•1，由•1•2+y1•y212，解得＝1，故直线l的方程为y＝+1，即﹣y+1＝0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|＝2．5．【2014年新课标1文科20】已知点P（2，2），圆C：2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解答】解：（1）由圆C：2+y2﹣8y＝0，得2+（y﹣4）2＝16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（，y），则，．由题意可得：．即（2﹣）+（y﹣4）（2﹣y）＝0．整理得：（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．∴M的轨迹方程是（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵ON＝3，∴直线l的斜率为．∴直线PM的方程为，即+3y﹣8＝0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|．∴．6．【2013年新课标1文科21】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．7．【2012年新课标1文科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．8．【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系Oy中，曲线y＝2﹣6+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝2﹣6+1与y轴的交点为（0，1），与轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆2+y2+D+Ey+F＝0＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，2﹣6+1＝0与2+D+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为2+y2﹣6﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（1，y1），B（2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程22+（2a﹣8）+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到1+2＝4﹣a，12①，由于OA⊥OB可得12+y1y2＝0，又y1＝1+a，y2＝2+a，所以可得212+a（1+2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．9．【2011年新课标1文科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为510．【2010年新课标1文科20】设F1，F2分别是椭圆E：21（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|＝4又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y＝+c，其中设A（1，y1），B（2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）2+2c+1﹣2b2＝0．则．因为直线AB 的斜率为1，所以 即． 则． 解得． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>6，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C， 所以22619b a=-，解得223a b =.①将点22⎛ ⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =， 故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=， 所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±-=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0）， 则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥， ∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即k =时取等号，max ||PQ =u u u r又||AB =u u u rmaxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为3． 5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y kx m=+，因为直线l与圆O相切，1=，∴221m k=+，由221,5,xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y得()2221510550k x kmx m+++-=.设()()1122,,,P x y Q x y，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x mk k+=-+=++=++，.所以PQ中点N的坐标为225,1515km mk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ的垂直平分线方程为22151515m kmy xk k k⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭，即2415kmx kyk++=+.所以MN=将m=MN=得2441155||||kMNk kk====++…k=，即m=取等号）.所以三角形MON的面积为111=2255S OM MN=⨯⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得22cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-， 故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在． 设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝， 设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >， 设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故2k =±，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+.()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明 【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=， 因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=， 所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=， 当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥， 若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ， 联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=， 则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 22002281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+， 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-， 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=， 即221616ba k k-=， 整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=， 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••， 由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+， 点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -==2212122m m m +-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为(()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p = 所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-； 记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线， 故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=， 由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-， 由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值． 【答案】（1）y 2=2；（2）见解析 【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，p122=，p=1．∴抛物线的方程为y2=2；（2）根据已知，设直线AB的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x1y2x⎧=-⎨=⎩，可得y22y2=0．设A（211yy2，），B（222yy2，），则122y yk+=，y1y2=2．∵1112211y2yky y212==++，2222222y2yky y212==++．∴22221222221212(y2)(y2)11k k4y4y+++=+=22222212212212(y2)y(y2)y4y y+++=() 42422222122112122212y y y y8y y4y y4y y++++=()2221212128y y32(y y)2y y4 162+++-+==22482k42k+=+．∴222121124k k k+-=．。
解析几何(解答题)--五年(2020-2024)高考数学真题分类汇编(解析版)
专题解析几何(解答题)考点五年考情(2020-2024)命题趋势考点01椭圆及其性质2024Ⅰ甲卷北京卷天津卷2023北京乙卷天津2022乙卷北京卷浙江卷2021北京卷Ⅱ卷2020ⅠⅡ卷新ⅠⅡ卷椭圆轨迹标准方程问题，有关多边形面积问题，定值定点问题，新结构中的新定义问题是高考的一个高频考点考点02双曲线及其性质2024Ⅱ卷2023Ⅱ新课标Ⅱ2022Ⅰ卷2021Ⅰ双曲线离心率问题，轨迹方程有关面积问题，定值定点问题以及斜率有关的证明问题以及新结构中的新定义问题是高考的高频考点考点03抛物线及其性质2023甲卷2022甲卷2021浙江甲卷乙卷2020浙江抛物线有关三角形面积问题，关于定直线问题，有关P 的证明类问题考点01：椭圆及其性质1(2024·全国·高考Ⅰ卷)已知A (0,3)和P 3,32 为椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上两点.(1)求C 的离心率;(2)若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且△ABP 的面积为9，求l 的方程．【答案】(1)12(2)直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.【详解】(1)由题意得b =39a 2+94b2=1，解得b 2=9a 2=12 ，所以e =1-b 2a2=1-912=12.(2)法一：k AP =3-320-3=-12，则直线AP 的方程为y =-12x +3，即x +2y -6=0，AP =0-3 2+3-322=352，由(1)知C :x 212+y 29=1，设点B到直线AP的距离为d，则d=2×9352=1255，则将直线AP沿着与AP垂直的方向平移1255单位即可，此时该平行线与椭圆的交点即为点B，设该平行线的方程为：x+2y+C=0，则C+65=1255，解得C=6或C=-18，当C=6时，联立x212+y29=1x+2y+6=0，解得x=0y=-3或x=-3y=-32，即B0,-3或-3,-3 2，当B0,-3时，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当B-3,-3 2时，此时k l=12，直线l的方程为y=12x，即x-2y=0，当C=-18时，联立x212+y29=1x+2y-18=0得2y2-27y+117=0，Δ=272-4×2×117=-207<0，此时该直线与椭圆无交点.综上直线l的方程为3x-2y-6=0或x-2y=0.法二：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B x0,y0，则x0+2y0-65=1255x2012+y209=1，解得x0=-3y0=-32或x0=0y0=-3，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一.法三：同法一得到直线AP的方程为x+2y-6=0，点B到直线AP的距离d=125 5，设B23cosθ,3sinθ，其中θ∈0,2π，则有23cosθ+6sinθ-65=1255，联立cos2θ+sin2θ=1，解得cosθ=-32sinθ=-12或cosθ=0sinθ=-1，即B0,-3或-3,-3 2，以下同法一；法四：当直线AB的斜率不存在时，此时B0,-3，S△PAB=12×6×3=9，符合题意，此时k l=32，直线l的方程为y=32x-3，即3x-2y-6=0，当线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=kx+3，联立椭圆方程有y =kx +3x 212+y 29=1，则4k 2+3 x 2+24kx =0，其中k ≠k AP ，即k ≠-12，解得x =0或x =-24k 4k 2+3，k ≠0，k ≠-12，令x =-24k 4k 2+3，则y =-12k 2+94k 2+3，则B -24k 4k 2+3,-12k 2+94k 2+3同法一得到直线AP 的方程为x +2y -6=0，点B 到直线AP 的距离d =1255，则-24k4k 2+3+2×-12k 2+94k 2+3-65=1255，解得k =32，此时B -3,-32 ，则得到此时k l =12，直线l 的方程为y =12x ，即x -2y =0，综上直线l 的方程为3x -2y -6=0或x -2y =0.法五：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当l 的斜率存在时，设PB :y -32=k (x -3)，令P x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，y =k (x -3)+32x 212+y 29=1 ，消y 可得4k 2+3 x 2-24k 2-12k x +36k 2-36k -27=0，Δ=24k 2-12k 2-44k 2+3 36k 2-36k -27 >0，且k ≠k AP ，即k ≠-12，x 1+x 2=24k 2-12k 4k 2+3x 1x 2=36k 2-36k -274k 2+3,PB =k 2+1x 1+x 2 2-4x 1x 2=43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3 ，A 到直线PB 距离d =3k +32k 2+1,S △PAB =12⋅43k 2+13k 2+9k +2744k 2+3⋅3k +32k 2+1=9，∴k =12或32，均满足题意，∴l :y =12x 或y =32x -3，即3x -2y -6=0或x -2y =0.法六：当l 的斜率不存在时，l :x =3,B 3,-32,PB =3,A 到PB 距离d =3，此时S △ABP =12×3×3=92≠9不满足条件.当直线l 斜率存在时，设l :y =k (x -3)+32，设l 与y 轴的交点为Q ，令x =0，则Q 0,-3k +32，联立y =kx -3k +323x 2+4y 2=36，则有3+4k 2 x 2-8k 3k -32x +36k 2-36k -27=0，3+4k2x2-8k3k-3 2x+36k2-36k-27=0，其中Δ=8k23k-3 22-43+4k236k2-36k-27>0，且k≠-1 2，则3x B=36k2-36k-273+4k2,x B=12k2-12k-93+4k2，则S=12AQx P-x B=123k+3212k+183+4k2=9，解的k=12或k=32，经代入判别式验证均满足题意.则直线l为y=12x或y=32x-3，即3x-2y-6=0或x-2y=0.2(2024·全国·高考甲卷)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，点M1,32在C上，且MF⊥x轴．(1)求C的方程；(2)过点P4,0的直线交C于A,B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y 轴．【答案】(1)x24+y23=1(2)证明见解析【详解】(1)设F c,0，由题设有c=1且b2a=32，故a2-1a=32，故a=2，故b=3，故椭圆方程为x24+y23=1.(2)直线AB的斜率必定存在，设AB:y=k(x-4)，A x1,y1，B x2,y2，由3x2+4y2=12y=k(x-4)可得3+4k2x2-32k2x+64k2-12=0，故Δ=1024k4-43+4k264k2-12>0，故-12<k<12，又x1+x2=32k23+4k2,x1x2=64k2-123+4k2，而N52,0，故直线BN:y=y2x2-52x-52，故y Q=-32y2x2-52=-3y22x2-5，所以y1-y Q=y1+3y22x2-5=y1×2x2-5+3y22x2-5=k x1-4×2x2-5+3k x2-42x2-5=k 2x1x2-5x1+x2+82x2-5=k2×64k2-123+4k2-5×32k23+4k2+82x2-5=k 128k2-24-160k2+24+32k23+4k22x2-5=0，故y1=y Q，即AQ⊥y轴.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：(1)设直线方程，设交点坐标为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ；(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x (或y )的一元二次方程，注意Δ的判断；(3)列出韦达定理；(4)将所求问题或题中的关系转化为x 1+x 2、x 1x 2(或y 1+y 2、y 1y 2)的形式；(5)代入韦达定理求解.3(2024·北京·高考真题)已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 ，以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点0,t t >2 且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点A ,B ，过点A 和C 0,1 的直线AC 与椭圆E 的另一个交点为D ．(1)求椭圆E 的方程及离心率；(2)若直线BD 的斜率为0，求t 的值．【答案】(1)x 24+y 22=1,e =22(2)t =2【详解】(1)由题意b =c =22=2，从而a =b 2+c 2=2，所以椭圆方程为x 24+y 22=1，离心率为e =22；(2)直线AB 斜率不为0，否则直线AB 与椭圆无交点，矛盾，从而设AB :y =kx +t ,k ≠0,t >2 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，联立x 24+y 22=1y =kx +t，化简并整理得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-4=0，由题意Δ=16k 2t 2-82k 2+1 t 2-2 =84k 2+2-t 2 >0，即k ,t 应满足4k 2+2-t 2>0，所以x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-42k 2+1，若直线BD 斜率为0，由椭圆的对称性可设D -x 2,y 2 ，所以AD :y =y 1-y 2x 1+x 2x -x 1 +y 1，在直线AD 方程中令x =0，得y C =x 1y 2+x 2y 1x 1+x 2=x 1kx 2+t +x 2kx 1+t x 1+x 2=2kx 1x 2+t x 1+x 2 x 1+x 2=4k t 2-2 -4kt +t =2t =1，所以t =2，此时k 应满足4k 2+2-t 2=4k 2-2>0k ≠0 ，即k 应满足k <-22或k >22，综上所述，t =2满足题意，此时k <-22或k >22.4(2024·天津·高考真题)已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)椭圆的离心率e =12．左顶点为A ，下顶点为B ，C 是线段OB 的中点，其中S △ABC =332．(1)求椭圆方程．(2)过点0,-32 的动直线与椭圆有两个交点P ，Q ．在y 轴上是否存在点T 使得TP ⋅TQ ≤0．若存在求出这个T 点纵坐标的取值范围，若不存在请说明理由．【答案】(1)x 212+y 29=1(2)存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.【详解】(1)因为椭圆的离心率为e =12，故a =2c ，b =3c ，其中c 为半焦距，所以A -2c ,0 ,B 0,-3c ,C 0,-3c 2 ，故S △ABC =12×2c ×32c =332，故c =3，所以a =23，b =3，故椭圆方程为：x 212+y 29=1.(2)若过点0,-32 的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：y =kx -32，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,T 0,t ，由3x 2+4y 2=36y =kx -32可得3+4k 2 x 2-12kx -27=0，故Δ=144k 2+1083+4k 2 =324+576k 2>0且x 1+x 2=12k 3+4k 2,x 1x 2=-273+4k2,而TP =x 1,y 1-t ,TQ=x 2,y 2-t ，故TP ⋅TQ =x 1x 2+y 1-t y 2-t =x 1x 2+kx 1-32-t kx 2-32-t =1+k 2 x 1x 2-k 32+t x 1+x 2 +32+t 2=1+k 2 ×-273+4k 2-k 32+t ×12k 3+4k 2+32+t 2=-27k 2-27-18k 2-12k 2t +332+t 2+3+2t 2k 23+4k 2=3+2t2-12t -45 k 2+332+t 2-273+4k 2，因为TP ⋅TQ ≤0恒成立，故3+2t 2-12t -45≤0332+t 2-27≤0，解得-3≤t ≤32.若过点0,-32的动直线的斜率不存在，则P 0,3 ,Q 0,-3 或P 0,-3 ,Q 0,3 ，此时需-3≤t ≤3，两者结合可得-3≤t ≤32.综上，存在T 0,t -3≤t ≤32，使得TP ⋅TQ ≤0恒成立.5(2023年全国乙卷理科)已知椭圆C :y 2a 2+x 2b 2=1(a >b >0)的离心率是53，点A -2,0 在C 上．(1)求C方程；(2)过点-2,3 的直线交C 于P ,Q 两点，直线AP ,AQ 与y 轴的交点分别为M ,N ，证明：线段MN 的中点为定点．【答案】(1)y 29+x 24=1(2)证明见详解解析：(1)由题意可得b =2a 2=b 2+c 2e =c a =53，解得a =3b =2c =5，所以椭圆方程为y 29+x 24=1．(2)由题意可知：直线PQ 的斜率存在，设PQ :y =k x +2 +3,P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，联立方程y =k x +2 +3y 29+x 24=1，消去y 得：4k 2+9 x 2+8k 2k +3x +16k 2+3k =0，则Δ=64k 22k +3 2-644k 2+9 k 2+3k =-1728k >0，解得k <0，可得x 1+x 2=-8k 2k +34k 2+9,x 1x 2=16k 2+3k 4k 2+9，因为A -2,0 ，则直线AP :y =y 1x 1+2x +2 ，令x =0，解得y =2y 1x 1+2，即M 0,2y 1x 1+2,同理可得N 0,2y 2x 2+2，则2y 1x 1+2+2y2x 2+22=k x 1+2 +3 x 1+2+k x 2+2 +3 x 2+2=kx 1+2k +3 x 2+2 +kx 2+2k +3 x 1+2x 1+2 x 2+2=2kx 1x 2+4k +3 x 1+x 2 +42k +3x 1x 2+2x 1+x 2 +4=32k k 2+3k 4k 2+9-8k 4k +3 2k +34k 2+9+42k +3 16k 2+3k 4k 2+9-16k 2k +34k 2+9+4=10836=3，所以线段MN 的中点是定点0,3 ．6(2020年高考课标Ⅱ)已知椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．(1)求C 1的离心率；(2)设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．【答案】(1)12；(2)C 1:x 236+y 227=1，C 2:y 2=12x ．解析：(1)∵F c ,0 ，AB ⊥x 轴且与椭圆C 1相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x =c ，联立x =c x 2a 2+y 2b 2=1a 2=b 2+c 2，解得x =c y =±b 2a，则AB =2b 2a ，抛物线C 2的方程为y 2=4cx ，联立x =cy 2=4cx ，解得x =cy =±2c，∴CD =4c ，∵CD =43AB ，即4c =8b 23a ，2b 2=3ac ，即2c 2+3ac -2a 2=0，即2e 2+3e -2=0，∵0<e <1，解得e =12，因此，椭圆C 1的离心率为12；(2)由(1)知a =2c ，b =3c ，椭圆C 1的方程为x 24c 2+y 23c 2=1，联立y 2=4cxx24c2+y 23c 2=1，消去y 并整理得3x 2+16cx -12c 2=0，解得x =23c 或x =-6c (舍去)，由抛物线的定义可得MF =23c +c =5c3=5，解得c =3．因此，曲线C 1的标准方程为x 236+y 227=1，曲线C 2的标准方程为y 2=12x ．7(2021年新高考全国Ⅱ卷)已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】解析:(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x23+y 2=1 可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,kb <0 即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得bk 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +bx 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2,x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 22-4x 1⋅x 2=1+k2-6kb 1+3k22-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．8(2020年高考课标Ⅰ卷)已知A 、B 分别为椭圆E ：x 2a2+y 2=1(a >1)左、右顶点，G 为E 的上顶点，AG ⋅GB =8，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E方程；(2)证明：直线CD 过定点．【答案】(1)x 29+y 2=1；(2)证明详见解析．【解析】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E :x 2a2+y 2=1(a >1)可得：A -a ,0 ， B a ,0 ，G 0,1∴AG =a ,1 ，GB =a ,-1 ∴AG ⋅GB =a 2-1=8，∴a 2=9∴椭圆方程为：x 29+y 2=1(2)证明：设P 6,y 0 ，则直线AP 的方程为：y =y 0-06--3x +3 ，即：y =y 09x +3 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：x 29+y 2=1y =y 09x +3 ，整理得：y 02+9 x 2+6y 02x +9y 02-81=0，解得：x =-3或x =-3y 02+27y 02+9将x =-3y 02+27y 02+9代入直线y =y 09x +3 可得：y =6y 0y 02+9所以点C 的坐标为-3y 02+27y 02+9,6y 0y 02+9 ．同理可得：点D 的坐标为3y 02-3y 02+1,-2y 0y 02+1∴直线CD 的方程为：y --2y 0y 02+1=6y 0y 02+9--2y 0y 02+1-3y 02+27y 02+9-3y 02-3y 02+1x -3y 02-3y 02+1，整理可得：y +2y 0y 02+1=8y 0y 02+3 69-y 04x -3y 02-3y 02+1 =8y 063-y 02 x -3y 02-3y 02+1整理得：y =4y 033-y 02 x +2y 0y 02-3=4y 033-y 02x -32故直线CD 过定点32,09(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A (2，1)．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析．解析：(1)由题意可得：c a =324a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1．(2)设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．因为AM ⊥AN ，∴AM·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0,①当直线MN 的斜率存在时，设方程为y =kx +m ,如图1．代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0x 1+x 2=-4km 1+2k 2,x 1x 2=2m 2-61+2k 2②,根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入①整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0将②代入，k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km1+2k2+m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0,∵A (2,1)不在直线MN 上，∴2k +m -1≠0，∴2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13，所以直线过定点直线过定点E 23,-13．当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ,如图2．代入x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0得x 1-2 2+1-y 22=0,结合x 216+y 213=1,解得x 1=2舍 ,x 1=23,此时直线MN 过点E 23,-13,由于AE 为定值，且△ADE 为直角三角形，AE 为斜边，所以AE 中点Q 满足QD 为定值(AE 长度的一半122-232+1+132=423)．由于A 2,1 ,E 23,-13 ，故由中点坐标公式可得Q 43,13．故存在点Q 43,13，使得|DQ |为定值．10(2022年高考全国乙卷)已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A 0,-2 ,B 32,-1两点．(1)求E 的方程；(2)设过点P 1,-2 的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段AB 交于点T ，点H 满足MT =TH．证明：直线HN 过定点．【答案】(1)y 24+x 23=1(2)(0,-2)解析：设椭圆E 的方程为mx 2+ny 2=1，过A 0,-2 ,B 32,-1，则4n =194m +n =1 ，解得m =13，n =14，所以椭圆E 的方程为：y 24+x 23=1．【小问2详解】A (0,-2),B 32,-1，所以AB :y +2=23x ，①若过点P (1,-2)的直线斜率不存在，直线x =1．代入x 23+y 24=1，可得M 1,-263 ，N 1,263 ，代入AB 方程y =23x -2，可得T -6+3,-263 ，由MT =TH 得到H -26+5,-263 ．求得HN 方程：y =2+263x -2，过点(0,-2)．②若过点P (1,-2)的直线斜率存在，设kx -y -(k +2)=0,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．联立kx -y -(k +2)=0x 23+y 24=1,得(3k 2+4)x 2-6k (2+k )x +3k (k +4)=0，可得x 1+x 2=6k (2+k )3k 2+4x 1x 2=3k (4+k )3k 2+4，y 1+y 2=-8(2+k )3k 2+4y 2y 2=4(4+4k -2k 2)3k 2+4，且x 1y 2+x 2y 1=-24k 3k 2+4(*)联立y =y 1y =23x -2,可得T 3y12+3,y 1 ,H (3y 1+6-x 1,y 1).可求得此时HN :y -y 2=y 1-y 23y 1+6-x 1-x 2(x -x 2)，将(0,-2)，代入整理得2(x 1+x 2)-6(y 1+y 2)+x 1y 2+x 2y 1-3y 1y 2-12=0，将(*)代入，得24k +12k 2+96+48k -24k -48-48k +24k 2-36k 2-48=0,显然成立，综上，可得直线HN 过定点(0,-2).11(2020年新高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点M (2，3),点A 为其左顶点，且AM 的斜率为12，(1)求C 的方程；(2)点N 为椭圆上任意一点，求△AMN 的面积的最大值．【答案】(1)x 216+y 212=1；(2)18．解析：(1)由题意可知直线AM 的方程为：y -3=12(x -2)，即x -2y =-4．当y =0时，解得x =-4，所以a =4，椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 过点M (2，3)，可得416+9b 2=1，解得b 2=12．所以C 的方程：x 216+y 212=1．(2)设与直线AM 平行的直线方程为：x -2y =m ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM 距离比较远的直线与椭圆的切点为N ，此时△AMN 的面积取得最大值．联立直线方程x -2y =m 与椭圆方程x 216+y 212=1，可得：3m +2y 2+4y 2=48，化简可得：16y 2+12my +3m 2-48=0，所以Δ=144m 2-4×163m 2-48 =0，即m 2=64，解得m =±8，与AM 距离比较远的直线方程：x -2y =8，直线AM 方程为：x -2y =-4，点N 到直线AM 的距离即两平行线之间的距离，利用平行线之间的距离公式可得：d =8+41+4=1255，由两点之间距离公式可得|AM |=(2+4)2+32=35．所以△AMN 的面积的最大值：12×35×1255=18．12(2020年高考课标Ⅲ卷)已知椭圆C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．(1)求C 的方程；(2)若点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，求△APQ 的面积．【答案】(1)x 225+16y 225=1；(2)52．解析：(1)∵C :x 225+y 2m 2=1(0<m <5)∴a =5，b =m ，根据离心率e =ca=1-b a2=1-m 5 2=154，解得m =54或m =-54(舍)，∴C 的方程为：x 225+y 2542=1，即x 225+16y 225=1；(2)不妨设P ,Q 在x 轴上方∵点P 在C 上，点Q 在直线x =6上，且|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设x =6与x 轴交点为N 根据题意画出图形，如图∵|BP |=|BQ |，BP ⊥BQ ，∠PMB =∠QNB =90°，又∵∠PBM +∠QBN =90°，∠BQN +∠QBN =90°，∴∠PBM =∠BQN ，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：△PMB ≅△BNQ ，∵x 225+16y 225=1，∴B (5,0)，∴PM =BN =6-5=1，设P 点为(x P ,y P )，可得P 点纵坐标为y P =1，将其代入x 225+16y 225=1，可得：x P 225+1625=1，解得：x P =3或x P =-3，∴P 点为(3,1)或(-3,1)，①当P 点为(3,1)时，故MB =5-3=2，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=2，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,2)，可求得直线AQ 的直线方程为：2x -11y +10=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =2×3-11×1+1022+112=5125=55，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+2-0 2=55，∴△APQ 面积为：12×55×55=52；②当P 点为(-3,1)时，故MB =5+3=8，∵△PMB ≅△BNQ ，∴|MB |=|NQ |=8，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图∵A (-5,0),Q (6,8)，可求得直线AQ 的直线方程为：8x -11y +40=0，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：d =8×-3 -11×1+4082+112=5185=5185，根据两点间距离公式可得：AQ =6+52+8-0 2=185，∴△APQ 面积为：12×185×5185=52，综上所述，△APQ 面积为：52．1313(2023年北京卷)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)离心率为53，A 、C 分别是E 的上、下顶点，B ，D 分别是E 的左、右顶点，|AC |=4．(1)求E 的方程；(2)设P 为第一象限内E 上的动点，直线PD 与直线BC 交于点M ，直线PA 与直线y =-2交于点N ．求证：MN ⎳CD ．【答案】(1)x 29+y 24=1(2)证明见解析：(1)依题意，得e =c a =53，则c =53a ，又A ,C 分别为椭圆上下顶点，AC =4，所以2b =4，即b =2，所以a 2-c 2=b 2=4，即a 2-59a 2=49a 2=4，则a 2=9，所以椭圆E 的方程为x 29+y 24=1．(2)因为椭圆E 的方程为x 29+y 24=1，所以A 0,2 ,C 0,-2 ,B -3,0 ,D 3,0 ，因为P 为第一象限E 上的动点，设P m ,n 0<m <3,0<n <2 ，则m 29+n 24=1，易得k BC =0+2-3-0=-23，则直线BC 的方程为y =-23x -2，k PD =n -0m -3=n m -3，则直线PD 的方程为y =n m -3x -3 ，联立y =-23x -2y =n m -3x -3，解得x =33n -2m +63n +2m -6y =-12n 3n +2m -6，即M 33n -2m +6 3n +2m -6,-12n 3n +2m -6，而k PA =n -2m -0=n -2m ，则直线PA 的方程为y =n -2mx +2，令y =-2，则-2=n -2m x +2，解得x =-4m n -2，即N -4mn -2,-2 ，又m 29+n 24=1，则m 2=9-9n 24，8m 2=72-18n 2，所以k MN =-12n3n +2m -6+233n -2m +6 3n +2m -6--4mn-2=-6n +4m -12 n -29n -6m +18 n -2 +4m 3n +2m -6=-6n 2+4mn -8m +249n 2+8m 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +249n 2+72-18n 2+6mn -12m -36=-6n 2+4mn -8m +24-9n 2+6mn -12m +36=2-3n 2+2mn -4m +12 3-3n 2+2mn -4m +12 =23，又k CD =0+23-0=23，即k MN =k CD ，显然，MN 与CD 不重合，所以MN ⎳CD ．14(2023年天津卷)设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1,A 2，右焦点为F ，已知A 1F =3,A 2F =1．(1)求椭圆方程及其离心率；(2)已知点P 是椭圆上一动点(不与端点重合)，直线A 2P 交y 轴于点Q ，若三角形A 1PQ 的面积是三角形A 2FP 面积的二倍，求直线A 2P 的方程．【答案】(1)椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =12．(2)y =±62x -2 ．解析：(1)如图，由题意得a +c =3a -c =1，解得a =2,c =1，所以b =22-12=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1，离心率为e =c a =12．(2)由题意得，直线A 2P 斜率存在，由椭圆的方程为x 24+y 23=1可得A 22,0 ，设直线A 2P 的方程为y =k x -2 ，联立方程组x 24+y 23=1y =k x -2，消去y 整理得：3+4k 2 x 2-16k 2x +16k 2-12=0，由韦达定理得x A 2⋅x P =16k 2-123+4k 2，所以x P =8k 2-63+4k 2，所以P 8k 2-63+4k 2,--12k3+4k 2，Q 0,-2k ．所以S △A 2QA 1=12×4×y Q ,S △A 2PF =12×1×y P ,S △A 1A 2P =12×4×y P ，所以S △A 2QA 1=S △A 1PQ +S △A 1A 2P =2S △A 2PF +S △A 1A 2P ，所以2y Q =3y P ，即2-2k =3-12k3+4k 2，解得k =±62，所以直线A 2P 的方程为y =±62x -2 ．15(2022高考北京卷)已知椭圆：E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个顶点为A (0,1)，焦距为23．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (-2,1)作斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与x 轴交于点M ，N ，当|MN |=2时，求k 的值．【答案】解析:(1)依题意可得b =1，2c =23，又c 2=a 2-b 2，所以a =2，所以椭圆方程为x 24+y 2=1；(2)解：依题意过点P -2,1 的直线为y -1=k x +2 ，设B x 1,y 1 、C x 2,y 2 ，不妨令-2≤x 1<x 2≤2，由y -1=k x +2x 24+y 2=1，消去y 整理得1+4k 2 x 2+16k 2+8k x +16k 2+16k =0，所以Δ=16k 2+8k 2-41+4k 2 16k 2+16k >0，解得k <0，所以x 1+x 2=-16k 2+8k 1+4k 2，x 1⋅x 2=16k 2+16k1+4k2，直线AB 的方程为y -1=y 1-1x 1x ，令y =0，解得x M =x 11-y 1，直线AC 的方程为y -1=y 2-1x 2x ，令y =0，解得x N =x 21-y 2，所以MN =x N -x M =x 21-y 2-x 11-y 1=x 21-k x 2+2 +1 -x 11-k x 1+2 +1=x 2-k x 2+2 +x 1k x 1+2=x 2+2 x 1-x 2x 1+2k x 2+2 x 1+2=2x 1-x 2k x 2+2 x 1+2=2，所以x 1-x 2 =k x 2+2 x 1+2 ，即x 1+x 22-4x 1x 2=k x 2x 1+2x 2+x 1 +4即-16k 2+8k 1+4k22-4×16k 2+16k 1+4k 2=k 16k 2+16k 1+4k 2+2-16k 2+8k 1+4k2+4 即81+4k 22k 2+k 2-1+4k 2 k 2+k =k1+4k216k2+16k -216k 2+8k +41+4k 2整理得8-k =4k ，解得k =-416(2022年浙江省高考)如图，已知椭圆x 212+y 2=1．设A ，B 是椭圆上异于P (0,1)的两点，且点Q 0,12 在线段AB 上，直线PA ,PB 分别交直线y =-12x +3于C ，D 两点．(1)求点P 到椭圆上点的距离的最大值；(2)求|CD |的最小值．【答案】解析:(1)设Q (23cos θ,sin θ)是椭圆上任意一点,P (0,1),则|PQ |2=12cos 2θ+(1-sin θ)2=13-11sin 2θ-2sin θ=-11sin θ+111 2+14411≤14411，当且仅当sin θ=-111时取等号，故|PQ |的最大值是121111．(2)设直线AB :y =kx +12,直线AB 方程与椭圆x 212+y 2=1联立,可得k 2+112 x 2+kx -34=0,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，所以x 1+x 2=-kk 2+112x 1x 2=-34k 2+112 ，因为直线PA :y =y 1-1x 1x +1与直线y =-12x +3交于C ,则x C=4x 1x 1+2y 1-2=4x 1(2k +1)x 1-1,同理可得,x D =4x 2x 2+2y 2-2=4x 2(2k +1)x 2-1．则|CD |=1+14x C -x D =524x 1(2k +1)x 1-1-4x 2(2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)x 1-1 (2k +1)x 2-1=25x 1-x 2(2k +1)2x 1x 2-(2k +1)x 1+x 2 +1=352⋅16k 2+13k +1=655⋅16k 2+1916+13k +1≥655×4k ×34+1×123k +1=655，当且仅当k =316时取等号，故CD 的最小值为655．17(2021高考北京)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)一个顶点A (0,-2)，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．(1)求椭圆E 的方程；(2)过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【答案】(1)x 25+y 24=1；(2)[-3,-1)∪(1,3]．解析：(1)因为椭圆过A 0,-2 ，故b =2，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故12×2a ×2b =45，即a =5，故椭圆的标准方程为：x 25+y 24=1．(2)设B x 1,y 1 ,C x 2,y 2 ， 因为直线BC 的斜率存在，故x 1x 2≠0，故直线AB :y =y 1+2x 1x -2，令y =-3，则x M =-x1y 1+2，同理x N =-x 2y 2+2直线BC :y =kx -3，由y =kx -34x 2+5y 2=20可得4+5k 2 x 2-30kx +25=0，故Δ=900k 2-1004+5k 2 >0，解得k <-1或k >1．又x 1+x 2=30k 4+5k 2,x 1x 2=254+5k 2，故x 1x 2>0，所以x M x N >0又PM +PN =x M +x N =x 1y 1+2+x 2y 2+2=x1kx1-1+x2kx2-1=2kx1x2-x1+x2k2x1x2-k x1+x2+1=50k4+5k2-30k4+5k225k24+5k2-30k24+5k2+1=5k故5k ≤15即k ≤3，综上，-3≤k<-1或1<k≤3．考点02双曲线及其性质1(2024·全国·高考Ⅱ)已知双曲线C:x2-y2=m m>0，点P15,4在C上，k为常数，0<k<1．按照如下方式依次构造点P n n=2,3,...：过P n-1作斜率为k的直线与C的左支交于点Q n-1，令P n为Q n-1关于y轴的对称点，记P n的坐标为x n,y n .(1)若k=12，求x2,y2；(2)证明：数列x n-y n是公比为1+k1-k的等比数列；(3)设S n为△P n P n+1P n+2的面积，证明：对任意正整数n，S n=S n+1.【答案】(1)x2=3，y2=0(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】(1)由已知有m=52-42=9，故C的方程为x2-y2=9.当k=12时，过P15,4且斜率为12的直线为y=x+32，与x2-y2=9联立得到x2-x+322=9.解得x=-3或x=5，所以该直线与C的不同于P1的交点为Q1-3,0，该点显然在C的左支上.故P23,0，从而x2=3，y2=0.(2)由于过P n x n,y n且斜率为k的直线为y=k x-x n+y n，与x2-y2=9联立，得到方程x2-k x-x n+y n2=9.展开即得1-k2x2-2k y n-kx nx-y n-kx n2-9=0，由于P n x n,y n已经是直线y=k x-x n+y n和x2 -y2=9的公共点，故方程必有一根x=x n.从而根据韦达定理，另一根x=2k y n-kx n1-k2-x n=2ky n-x n-k2x n1-k2，相应的y=k x-x n+y n=y n+k2y n-2kx n1-k2.所以该直线与C 的不同于P n 的交点为Q n2ky n -x n -k 2x n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2，而注意到Q n 的横坐标亦可通过韦达定理表示为-y n -kx n 2-91-k 2x n ，故Q n 一定在C 的左支上.所以P n +1x n +k 2x n -2ky n 1-k 2,y n +k 2y n -2kx n1-k 2.这就得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n1-k 2.所以x n +1-y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2-y n +k 2y n -2kx n1-k 2=x n +k 2x n +2kx n 1-k 2-y n +k 2y n +2ky n 1-k 2=1+k 2+2k 1-k2x n -y n =1+k 1-k x n -y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1-y 1≠0，所以数列x n -y n 是公比为1+k 1-k 的等比数列.(3)方法一：先证明一个结论：对平面上三个点U ,V ,W ，若UV =a ,b ，UW=c ,d ，则S △UVW =12ad -bc .(若U ,V ,W 在同一条直线上，约定S △UVW =0)证明：S △UVW =12UV ⋅UW sin UV ,UW =12UV ⋅UW 1-cos 2UV ,UW=12UV⋅UW 1-UV ⋅UWUV ⋅UW 2=12UV 2⋅UW 2-UV ⋅UW 2=12a 2+b 2c 2+d 2-ac +bd2=12a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2-a 2c 2-b 2d 2-2abcd =12a 2d 2+b 2c 2-2abcd =12ad -bc2=12ad -bc .证毕，回到原题.由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n=121-k 1+k m -1+k 1-k mx 2n -y 2n=921-k 1+k m -1+k 1-k m .而又有P n +1P n =-x n +1-x n ,-y n +1-y n ，P n +1P n +2=x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 ，故利用前面已经证明的结论即得S n =S △P n P n +1P n +2=12-x n +1-x n y n +2-y n +1 +y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1-x n y n +2-y n +1 -y n +1-y n x n +2-x n +1 =12x n +1y n +2-y n +1x n +2 +x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2=12921-k 1+k -1+k 1-k +921-k 1+k -1+k 1-k-921-k 1+k 2-1+k 1-k 2.这就表明S n 的取值是与n 无关的定值，所以S n =S n +1.方法二：由于上一小问已经得到x n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2，y n +1=y n +k 2y n -2kx n 1-k 2，故x n +1+y n +1=x n +k 2x n -2ky n 1-k 2+y n +k 2y n -2kx n 1-k 2=1+k 2-2k 1-k2x n +y n =1-k1+k x n +y n .再由x 21-y 21=9，就知道x 1+y 1≠0，所以数列x n +y n 是公比为1-k 1+k 的等比数列.所以对任意的正整数m ，都有x n y n +m -y n x n +m=12x n x n +m -y n y n +m +x n y n +m -y n x n +m -12x n x n +m -y n y n +m -x n y n +m -y n x n +m =12x n -y n x n +m +y n +m -12x n +y n x n +m -y n +m =121-k 1+k m x n -y n x n +y n-121+k 1-k mx n +y n x n -y n =121-k 1+k m -1+k 1-k m x 2n -y 2n =921-k 1+k m -1+k 1-k m .这就得到x n +2y n +3-y n +2x n +3=921-k 1+k -1+k1-k=x n y n +1-y n x n +1，以及x n +1y n +3-y n +1x n +3=921-k 1+k 2-1+k 1-k 2=x n y n +2-y n x n +2.两式相减，即得x n +2y n +3-y n +2x n +3 -x n +1y n +3-y n +1x n +3 =x n y n +1-y n x n +1 -x n y n +2-y n x n +2 .移项得到x n +2y n +3-y n x n +2-x n +1y n +3+y n x n +1=y n +2x n +3-x n y n +2-y n +1x n +3+x n y n +1.故y n +3-y n x n +2-x n +1 =y n +2-y n +1 x n +3-x n .而P n P n +3 =x n +3-x n ,y n +3-y n ，P n +1P n +2 =x n +2-x n +1,y n +2-y n +1 .所以P n P n +3 和P n +1P n +2平行，这就得到S △P n P n +1P n +2=S △P n +1P n +2P n +3，即S n =S n +1.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将解析几何和数列知识的结合，需要综合运用多方面知识方可得解.2(2023年新课标全国Ⅱ卷)已知双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点为-25,0 ，离心率为5．(1)求C的方程；(2)记C左、右顶点分别为A1，A2，过点-4,0的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P．证明:点P在定直线上．【答案】(1)x24-y216=1(2)证明见解析．解析：(1)设双曲线方程为x2a2-y2b2=1a>0,b>0，由焦点坐标可知c=25，则由e=ca=5可得a=2，b=c2-a2=4，双曲线方程为x24-y216=1．(2)由(1)可得A1-2,0,A22,0，设M x1,y1,N x2,y2，显然直线的斜率不为0，所以设直线MN的方程为x=my-4，且-12<m<12，与x24-y216=1联立可得4m2-1y2-32my+48=0，且Δ=64(4m2+3)>0，则y1+y2=32m4m2-1,y1y2=484m2-1，直线MA1的方程为y=y1x1+2x+2，直线NA2的方程为y=y2x2-2x-2，联立直线MA1与直线NA2的方程可得：x+2 x-2=y2x1+2y1x2-2=y2my1-2y1my2-6=my1y2-2y1+y2+2y1my1y2-6y1=m⋅484m2-1-2⋅32m4m2-1+2y1m×484m2-1-6y1=-16m4m2-1+2y148m4m2-1-6y1=-13，由x+2x-2=-13可得x=-1，即x P=-1，据此可得点P在定直线x=-1上运动．3(2022新高考全国II卷)已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方程为y=±3x．(1)求C的方程；(2)过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点P x1,y1,Q x2,y2在C上，且．x1>x2>0,y1>0．过P 且斜率为-3的直线与过Q 且斜率为3的直线交于点M ．从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立：①M 在AB 上；②PQ ∥AB ；③|MA |=|MB |．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】(1)x 2-y 23=1(2)见解析:(1)右焦点为F (2,0)，∴c =2,∵渐近线方程为y =±3x ，∴ba=3，∴b =3a ，∴c 2=a 2+b 2=4a 2=4，∴a =1，∴b =3．∴C 的方程为：x 2-y 23=1；(2)由已知得直线PQ 的斜率存在且不为零，直线AB 的斜率不为零，若选由①②推③或选由②③推①：由②成立可知直线AB 的斜率存在且不为零；若选①③推②，则M 为线段AB 的中点，假若直线AB 的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知M 在x 轴上，即为焦点F ,此时由对称性可知P 、Q 关于x 轴对称，与从而x 1=x 2，已知不符；总之，直线AB 的斜率存在且不为零．设直线AB 的斜率为k ,直线AB 方程为y =k x -2 ,则条件①M 在AB 上，等价于y 0=k x 0-2 ⇔ky 0=k 2x 0-2 ；两渐近线方程合并为3x 2-y 2=0,联立消去y 并化简整理得：k 2-3 x 2-4k 2x +4k 2=0设A x 3,y 3 ,B x 3,y 4 ,线段中点N x N ,y N ,则x N =x 3+x 42=2k 2k 2-3,y N =k x N -2 =6kk 2-3,设M x 0,y 0 , 则条件③AM =BM 等价于x 0-x 3 2+y 0-y 3 2=x 0-x 4 2+y 0-y 4 2,移项并利用平方差公式整理得：x 3-x 4 2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4 2y 0-y 3+y 4 =0，2x 0-x 3+x 4 +y 3-y 4x 3-x 42y 0-y 3+y 4 =0,即x 0-x N +k y 0-y N =0,即x 0+ky 0=8k 2k 2-3；由题意知直线PM 的斜率为-3, 直线QM 的斜率为3,∴由y 1-y 0=-3x 1-x 0 ,y 2-y 0=3x 2-x 0 ,∴y 1-y 2=-3x 1+x 2-2x 0 ,所以直线PQ 的斜率m =y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2-2x 0 x 1-x 2,直线PM :y =-3x -x 0 +y 0,即y =y 0+3x 0-3x ,代入双曲线的方程3x 2-y 2-3=0,即3x +y 3x -y =3中，得：y 0+3x 0 23x -y 0+3x 0 =3,解得P 的横坐标：x 1=1233y 0+3x 0+y 0+3x 0,。
全国高考文科数学试题解析几何
高考文科数学真题分类汇编：解析几何H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程6．［2014·福建卷] 已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直,则l的方程是（）A．x＋y－2＝0 B．x－y＝2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝020．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P(2,2），圆C:x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点,线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程;（2）当|OP｜＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．21．[2014·重庆卷] 如图1。
5，设椭圆错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2,错误!＝2错误!,△DF1F2的面积为错误!。
（1)求该椭圆的标准方程．(2)是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．图1。
5H2 两直线的位置关系与点到直线的距离18．[2014·江苏卷］如图1。
6所示，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80 m．经测量,点A位于点O正北方向60 m处,点C位于点O正东方向170 m处（OC为河岸），tan∠BCO＝错误!。
（1)求新桥BC的长．(2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大?图1.622．［2014·全国卷］已知抛物线C:y2＝2px(p＞0）的焦点为F，直线y＝4与y轴的交点为P,与C的交点为Q，且｜QF｜＝错误!｜PQ｜。
（1)求C的方程；（2)过F的直线l与C相交于A，B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M，N两点，且A，M,B，N四点在同一圆上，求l的方程．21．［2014·重庆卷］如图1。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题11平面解析几何解答题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y2＝2，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与轴垂直时，＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y+1，或：y﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：＝ty+2，M（1，y1），N（2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有BN+BM0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．2．【2017年新课标1文科20】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（1，），B（2，）为曲线C：y上两点，则直线AB的斜率为（1+2）4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝+t，代入曲线C：y，可得2﹣4﹣4t＝0，即有1+2＝4，12＝﹣4t，再由y的导数为y′，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，AM•BM＝﹣1，即为•1，化为12+2（1+2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝+7．3．【2016年新课标1文科20】在直角坐标系Oy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2p（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴，t，∴N（，t），∴ON的方程为y，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知MH，∴直线MH的方程为y+t，与抛物线方程联立，消去可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．4．【2015年新课标1文科20】已知过点A（0，1）且斜率为的直线l与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．（1）求的取值范围；（2）若•12，其中O为坐标原点，求|MN|．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y＝+1，即：﹣y+1＝0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．故由1，故当，过点A（0，1）的直线与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．（2）设M（1，y1）；N（2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝+1，代入圆C的方程（﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得（1+2）2﹣4（+1）+7＝0，∴1+2，1•2，∴y1•y2＝（1+1）（2+1）＝212+（1+2）+1•2+•1，由•1•2+y1•y212，解得＝1，故直线l的方程为y＝+1，即﹣y+1＝0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|＝2．5．【2014年新课标1文科20】已知点P（2，2），圆C：2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解答】解：（1）由圆C：2+y2﹣8y＝0，得2+（y﹣4）2＝16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（，y），则，．由题意可得：．即（2﹣）+（y﹣4）（2﹣y）＝0．整理得：（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．∴M的轨迹方程是（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵ON＝3，∴直线l的斜率为．∴直线PM的方程为，即+3y﹣8＝0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|．∴．6．【2013年新课标1文科21】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．7．【2012年新课标1文科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．8．【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系Oy中，曲线y＝2﹣6+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝2﹣6+1与y轴的交点为（0，1），与轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆2+y2+D+Ey+F＝0＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，2﹣6+1＝0与2+D+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为2+y2﹣6﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（1，y1），B（2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程22+（2a﹣8）+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到1+2＝4﹣a，12①，由于OA⊥OB可得12+y1y2＝0，又y1＝1+a，y2＝2+a，所以可得212+a（1+2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．9．【2011年新课标1文科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为510．【2010年新课标1文科20】设F1，F2分别是椭圆E：21（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|＝4又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y＝+c，其中设A（1，y1），B（2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）2+2c+1﹣2b2＝0．则．因为直线AB 的斜率为1，所以 即． 则． 解得． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>6，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C， 所以22619b a=-，解得223a b =.①将点22⎛ ⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =， 故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=， 所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±-=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0）， 则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥， ∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即k =时取等号，max ||PQ =u u u r又||AB =u u u rmaxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为3． 5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y kx m=+，因为直线l与圆O相切，1=，∴221m k=+，由221,5,xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y得()2221510550k x kmx m+++-=.设()()1122,,,P x y Q x y，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x mk k+=-+=++=++，.所以PQ中点N的坐标为225,1515km mk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ的垂直平分线方程为22151515m kmy xk k k⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭，即2415kmx kyk++=+.所以MN=将m=MN=得2441155||||kMNk kk====++…k=，即m=取等号）.所以三角形MON的面积为111=2255S OM MN=⨯⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得22cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-， 故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在． 设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝， 设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >， 设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故2k =±，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+.()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明 【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=， 因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=， 所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=， 当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥， 若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ， 联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=， 则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 22002281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+， 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-， 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=， 即221616ba k k-=， 整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=， 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••， 由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+， 点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -==2212122m m m +-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为(()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p = 所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-； 记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线， 故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=， 由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-， 由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值． 【答案】（1）y 2=2；（2）见解析 【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，p122=，p=1．∴抛物线的方程为y2=2；（2）根据已知，设直线AB的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x1y2x⎧=-⎨=⎩，可得y22y2=0．设A（211yy2，），B（222yy2，），则122y yk+=，y1y2=2．∵1112211y2yky y212==++，2222222y2yky y212==++．∴22221222221212(y2)(y2)11k k4y4y+++=+=22222212212212(y2)y(y2)y4y y+++=() 42422222122112122212y y y y8y y4y y4y y++++=()2221212128y y32(y y)2y y4 162+++-+==22482k42k+=+．∴222121124k k k+-=．。
2010-2018年全国卷文科数学解析几何高考真题
2010-2018年全国卷文科数学解析几何高考真题直线与圆1．(2018全国卷Ⅲ)直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．2．（2016年全国II 卷）圆x 2+y 2−2x −8y +13=0的圆心到直线ax +y −1=0的距离为1，则a =A ．−43 B ．−34C D ．23．（2015新课标2）已知三点)0,1(A ，)3,0(B ，)3,2(C ，则ABC ∆外接圆的圆心到原点的距离为A ．35 B ．321 C ．352 D ．344．(2018全国卷Ⅰ)直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于A ，B 两点，则||AB =__．5．（2016年全国I 卷）设直线2y x a =+与圆C ：22220x y ay +--=相交于,A B 两点，若||AB =，则圆C 的面积为 .6．（2016全国III 卷）已知直线l ：60x -+=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_____________.7．（2018全国Ⅰ）设抛物线C ：22=y x ，点(2,0)A ，(2,0)-B ，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程； (2)证明：ABM ABN =∠∠．8．（2017全国Ⅲ）在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1)．当m 变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC BC ⊥的情况？说明理由；(2)证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．9．（2015全国1）已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．（Ⅰ）求k 的取值范围；（Ⅱ）若12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN ．直线与圆答案部分1．A 【解析】圆心(2,0)到直线的距离d ==所以点P 到直线的距离1d ∈．根据直线的方程可知A ，B 两点的坐标分别为(2,0)A -，(0,2)B -，所以||AB =ABP ∆的面积111||2S AB d ==．因为1d ∈，所以[2,6]S ∈，即ABP ∆面积的取值范围是[2,6]．故选A ． 2．A 【解析】由题意知圆心为(1,4)1=，解得43a =-，故选A ．3．B 【解析】由题意可得，2AB BC AC ===，∴ΔABC 为等边三角形，故ΔABC 的外接圆圆心时ΔABC的中心，又等边ΔABC ，故中心为，故ΔABC 外接圆的圆心到原点的距离为3=．4．22(1)4x y ++=，所以圆心坐标为(0,1)-，半径为2，则圆心到直线1y x =+的距离d ==||AB ==5．4π【解析】圆C 的方程可化为222()2x y a a +-=+，可得圆心的坐标为(0,)C a ，半径r =所以圆心到直线20x y a -+==，所以222+=，解得22a =，所以圆C 的半径为2，所以圆C 的面积为4π．6．4【解析】设112234(,),(,),(,0),(,0)A x y B x x C x D x ，由60x +=，得6x =-，代入圆的方程，并整理，得260y -+=，解得1y =2y =，所以10x =，23x =-，所以直线AC 的方程为y -=，令0y =得32x =，直线BD 的方程为3)y x -=+，令0y =得42x =-， 则34||||4CD x x =-=．7．【解析】(1)当l 与x 轴垂直时，l 的方程为2=x ，可得M 的坐标为(2,2)或(2,2)-．所以直线BM 的方程为112=+y x 或112y x =--． (2)当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠=∠ABM ABN ． 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则10>x ，20>x ．由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得2240--=ky y k ，可知122+=y y k ，124=-y y ．直线BM ，BN 的斜率之和为 1221121212122()22(2)(2)++++=+=++++BM BN y y x y x y y y k k x x x x ．① 将112y x k =+，222yx k=+及12+y y ，12y y 的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0++-++++===y y k y y x y x y y y k k．所以0+=BM BN k k ，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠=∠ABM ABN ． 综上，∠=∠ABM ABN ．8．【解析】（1）不能出现AC BC ⊥的情况，理由如下：设1(,0)A x ，2(,0)B x ，则1x ，2x 满足220x mx +-=，所以122x x =-．又C 的坐标为(0,1)，故AC 的斜率与BC 的斜率之积为121112x x --⋅=-， 所以不能出现AC BC ⊥的情况.（2）BC 的中点坐标为21(,)22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22x y x x -=-． 由（1）可得12x x m +=-，所以AB 的中垂线方程为2mx =-．联立2221()22m x x y x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，又22220x mx +-=，可得212m x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 所以过A 、B 、C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m --，半径r =故圆在y轴上截得的弦长为3=，即过A 、B 、C 三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值．9．【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．因为l 与C1<．k <<．所以k 的取值范围是⎝⎭． （Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．将1y kx =+代入方程()()22231x y -+-=，整理得22(1)4(1)70k x k x +-++=，所以1224(1)1k x x k ++=+，12271x x k =+． 21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x kx x k +⋅=+=++++=++，由题设可得24(1)8=121k k k+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+． 故圆心在直线l 上，所以||2MN =．椭圆1．(2018全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12CD 2．(2018全国卷Ⅱ)已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为A ．1B ．2CD 13．（2017新课标Ⅲ）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段12A A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．3 B ．3 C ．3 D ．134．（2017新课标Ⅰ）设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足AMB ∠=120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞B ．[9,)+∞C ．(0,1][4,)+∞D ．[4,)+∞ 5．（2016年全国I 卷）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为A ．13 B ．12 C ．23 D ．346．（2016年全国III 卷）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 A ．13B ．12C ．23D ．347．（2015新课标1）已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C ：28y x =的焦点重合，A B 、是C 的准线与E 的两个交点，则AB = A ．3 B ．6 C ．9 D ．128．（2018全国卷Ⅲ）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >．(1)证明：12k <-；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．9．（2017新课标Ⅱ）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =． （1）求点P 的轨迹方程；（2）设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=．证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．10．（2016年全国II 卷）已知A 是椭圆E ：22143x y +=的左顶点，斜率为()0k k ＞的直线交E 与A ，M两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当AM AN =2k <<.11．（2015新课标2）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，点在C 上．（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M ．证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．椭圆答案部分1．C 【解析】不妨设0a >，因为椭圆C 的一个焦点为(20)，，所以2c =，所以222448a b c =+=+=，所以C 的离心率为2c e a ==．故选C ． 2．D 【解析】由题设知1290F PF ∠=，2160PF F ∠=︒，12||2F F c =，所以2||PF c =，1||PF =．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=2c a +=，所以1)2c a =，故椭圆C 的离心率1c e a ===．故选D ． 3．A 【解析】以线段12A A 为直径的圆是222x y a +=，直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离d a ==，整理为223a b =，即()22222323a a c a c =-⇒=，即2223c a = ，c e a ==，故选A ．4．A 【解析】当03m <<，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥，得01m <≤；当3m >，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=，则tan 603a b ≥=≥， 得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞，选A ．5．B 【解析】不妨设直线l 过椭圆的上顶点(0,)b 和左焦点(,0)c -，0,0b c >>，则直线l 的方程为0bx cy bc -+=124b =⨯，解得223b c =， 又222b ac =-，所以2214c a =，即12e =，故选B ．6．A 【解析】由题意，不妨设点P 在x 轴上方，直线l 的方程为()(0)y k x a k =+>，分别令x c =-与0x =，得||()FM k a c =-，||OE ka =，设OE 的中点为G ，由OBG FBM ∆∆，得||||||||OG OB FM BF =，即2()ka a k a c a c =-+，整理得13c a =，所以椭圆C 的离心率13e =，故选A ． 7．B 【解析】∵抛物线C ：28y x =的焦点坐标为(2,0)，准线l 的方程为2x =- ①，设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，所以椭圆E 的半焦距2c =，又椭圆的离心率为12，所以4,a b ==，椭圆E 的方程为2211612x y +=②，联立①②， 解得(2,3),(2,3)A B ---或(2,3),(2,3)A B ---，所以||6AB =．8．【解析】(1)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212y y k x x -=-得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-．① 由题设得302m <<，故12k <-．(2)由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)x y x y x y -+-+-=． 由(1)及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<． 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =．于是1||(22xFA x ===-．同理2||22x FB =-．所以121||||4()32FA FB x x +=-+=．故2||||||FP FA FB =+ 9．【解析】（1）设(,)P x y ,00(,)M x y ,则0(,0)N x ，0(,)NP x x y =-，0(0.)NM y =．由2NP NM =得 0x x =，02y y =． 因为00(,)M x y 在C 上，所以22122x y +=．因此点P 的轨迹方程为222x y +=． （2）由题意知(1,0)F -．设(3,)Q t -，(,)P m n ，则(3,)OQ t =-，(1,)PF m n =---，33OQ PF m tn ⋅=+-， (,)OP m n =，(3,)PQ m t n =---，由1OP PQ ⋅=得2231m m tn n --+-=，又由（1）知222m n +=， 故330m tn +-=．所以0OQ PF ⋅=，即OQ PF ⊥．又过点P 存在唯一直线垂直与OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F ．10．【解析】（Ⅰ）设11(,)M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又(2,0)A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =.因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=. （Ⅱ）将直线AM 的方程(2)(0)y k x k =+>代入22143x y +=得 2222(34)1616120k x k x k +++-=.由2121612(2)34k x k -⋅-=+得2122(34)34k x k -=+，故12||2|34AM x k =+=+.由题设，直线AN 的方程为1(2)y x k=-+，故同理可得212||43AN k =+.由2||||AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=.设32()4638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，22'()121233(21)0f t t t t =-+=-≥，所以()f t 在(0,)+∞单调递增，又260,(2)60f f =<=>， 因此()f t 在(0,)+∞有唯一的零点，且零点k在2)2k <<.11．【解析】=22421a b+=，解得228,4a b ==． 所以C 的方程为22184x y +=． （Ⅱ）设直线l ：y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y将y kx b =+代入22184x y +=得222(21)4280k x kbx b +++-=． 故1222221M x x kb x k +-==+，221M M by k x b k =⋅+=+． 于是直线OM 的斜率12M OM M y k x k ==-，即12OM k k ⋅=-． 所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．双曲线1．(2018全国卷Ⅱ)双曲线22221(0,0)-=>>x y a b a bA．=y B．=y C．2=±y x D．=y x 2．(2018全国卷Ⅲ)已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为 AB ．2C．2D．3．（2017新课标Ⅰ）已知F 是双曲线C ：2213y x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)．则APF ∆的面积为A ．13 B ．12 C ．23 D ．324．（2017新课标Ⅱ）若1a >，则双曲线2221x y a-=的离心率的取值范围是A ．)+∞B ．2)C ．D ．(1,2)5．（2017新课标Ⅲ）双曲线2221(0)9x y a a -=>的一条渐近线方程为35y x =，则a = ． 6．（2015新课标1）已知双曲线过点)3,4(，且渐近线方程为x y 21±=，则该双曲线的标准方程为 ．7．（2015新课标1）已知F 是双曲线C ：2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当APF ∆ 周长最小时，该三角形的面积为 ．双曲线答案部分1．A 【解析】解法一 由题意知，==c e a ，所以=c ，所以=b ，所以=ba所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=b a 所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．．2．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=D ． 3．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=， 得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1，故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．4．C 【解析】由题意e a ==1a >，21112a <+<，∴1e <<． 5．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =． 6．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为 22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以2244λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2214x y -=．7．由题意，双曲线C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM 的方程为13x +=-，与双曲线的方程联立得P 的坐标为(2,-，此时，ΔAPF 的面积为116622⨯⨯⨯⨯=．抛物线1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：24y x =的焦点F ，的直线交C 于点M (M 在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为A B ． C ． D ．2．（2016全国II ）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y =kx（k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ．12 B ．1 C ．32D ．23．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线24=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与C 交于A ，B两点，||8=AB ．(1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．4．（2017新课标Ⅰ）设A ，B 为曲线C ：24x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程． 5．（2016年全国I 卷）在直角坐标系xOy 中，直线l ：(0)y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线C ：22(0)y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（I ）求||||OH ON ； （II ）除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由． 6．（2016年全国III 卷）已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线12,l l 分别交C 于A B，两点，交C 的准线于P Q ，两点．（I ）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明ARFQ ；（II ）若PQF ∆的面积是ABF ∆的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．抛物线答案部分1．C 【解析】由题意可知，如图60MFx ∠=，又抛物线的定义得MF MN =，所以MNF ∆ 为等边三角形，在三角形NFH 中，2FH =，cos 60FHNF=，得4NF =，所以M 到NF 的距离为等边三角形MNF ∆中NFNF =C ．x2．D 【解析】易知抛物线的焦点为(1,0)F ，设(,)P P P x y ，由PF x ⊥轴得1P x =，代入抛物线方程得2P y =(2-舍去)，把(1,2)P 代入曲线(0)ky k x=>的2k =，故选D ．3．【解析】(1)由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->．设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=．所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =．因此l 的方程为1y x =-． (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--， 即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 4．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2224x y =，x 1+x 2=4，于是直线AB 的斜率12121214y y x x k x x -+===-．（2）由24x y =，得2xy'=．设33(,)M x y ，由题设知312x =，解得32x =，于是(2,1)M ．设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+．将y x m =+代入24x y =得2440x x m --=．当16(1)0m ∆=+>，即1m >-时，1,22x =±从而12||AB x x -=．由题设知||2||AB MN =，即2(1)m =+，解得7m =． 所以直线AB 的方程为7y x =+．5．【解析】（Ⅰ）由已知得),0(t M ，),2(2t pt P . 又N 为M 关于点P 的对称点，故),(2t p t N ，ON 的方程为x t py =，代入px y 22=整理得0222=-x t px ，解得01=x ，pt x 222=，因此)2,2(2t p t H ．所以N 为OH 的中点，即2||||=ON OH ． （Ⅱ）直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点.理由如下： 直线MH 的方程为x tp t y 2=-，即)(2t y p tx -=.代入px y 22=得04422=+-t ty y ，解得t y y 221==，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外直线MH 与C 没有其它公共点.6．【解析】（Ⅰ）由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . （Ⅰ）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=. 所以FQ AR ∥.（Ⅱ）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ，则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得1112222a bb a x -⨯--=，所以01=x （舍去），11=x . 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为12-=x y .。
(完整版)—高考全国卷Ⅰ文科数学立体几何专题复习(附详细解析)
2012-2018年新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编立体几何一、选择题【2017，6】如图，在下列四个正方体中,A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ,Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中,直接AB 与平面MNQ 不平行的是（）【2016，7】如图所示,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（） A ．17π B ．18π C ．20π D ．28π【2016，11】平面α过正方体1111ABCD A BC D -的顶点A ,α∥平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =,则,m n 所成角的正弦值为(）A ．3 B ．22C ．3D ．13【2015，6】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委M 依垣内角,下周八尺，高五尺，问”积及为M 几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放M （如图,M 堆为一个圆锥的四分之一)，M 堆底部的弧长为8尺,M 堆的高为5尺，M 堆的体积和堆放的M 各位多少？”已知1斛M 的体积约为1．62立方尺,圆周率约为3，估算出堆放的M 有（ ) A ．14斛 B ．22斛 C ．36斛 D ．66斛【2015，11】圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为16+20π，则r =( ) B A ．1 B ．2 C ．4 D ．8【2015，11】【2014，8】【2013,11】【2012，7】【2014，8】如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ）A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱【2013，11】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）．A ．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π【2012，7】如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为A ．6B ．9C ．12D ．15【2012，8】平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为（）A ．6πB ．43πC ．46πD ．63π【2018，5】已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1,O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,该圆柱的表面积为A. 12π B. 12π C. 8π D. 10π【2018，9】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图,圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为A 。
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题11平面解析几何解答题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y2＝2，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与轴垂直时，＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y+1，或：y﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：＝ty+2，M（1，y1），N（2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有BN+BM0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．2．【2017年新课标1文科20】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（1，），B（2，）为曲线C：y上两点，则直线AB的斜率为（1+2）4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝+t，代入曲线C：y，可得2﹣4﹣4t＝0，即有1+2＝4，12＝﹣4t，再由y的导数为y′，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，AM•BM＝﹣1，即为•1，化为12+2（1+2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝+7．3．【2016年新课标1文科20】在直角坐标系Oy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2p（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴，t，∴N（，t），∴ON的方程为y，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知MH，∴直线MH的方程为y+t，与抛物线方程联立，消去可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．4．【2015年新课标1文科20】已知过点A（0，1）且斜率为的直线l与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．（1）求的取值范围；（2）若•12，其中O为坐标原点，求|MN|．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y＝+1，即：﹣y+1＝0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．故由1，故当，过点A（0，1）的直线与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．（2）设M（1，y1）；N（2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝+1，代入圆C的方程（﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得（1+2）2﹣4（+1）+7＝0，∴1+2，1•2，∴y1•y2＝（1+1）（2+1）＝212+（1+2）+1•2+•1，由•1•2+y1•y212，解得＝1，故直线l的方程为y＝+1，即﹣y+1＝0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|＝2．5．【2014年新课标1文科20】已知点P（2，2），圆C：2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解答】解：（1）由圆C：2+y2﹣8y＝0，得2+（y﹣4）2＝16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（，y），则，．由题意可得：．即（2﹣）+（y﹣4）（2﹣y）＝0．整理得：（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．∴M的轨迹方程是（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵ON＝3，∴直线l的斜率为．∴直线PM的方程为，即+3y﹣8＝0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|．∴．6．【2013年新课标1文科21】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．7．【2012年新课标1文科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．8．【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系Oy中，曲线y＝2﹣6+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝2﹣6+1与y轴的交点为（0，1），与轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆2+y2+D+Ey+F＝0＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，2﹣6+1＝0与2+D+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为2+y2﹣6﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（1，y1），B（2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程22+（2a﹣8）+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到1+2＝4﹣a，12①，由于OA⊥OB可得12+y1y2＝0，又y1＝1+a，y2＝2+a，所以可得212+a（1+2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．9．【2011年新课标1文科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为510．【2010年新课标1文科20】设F1，F2分别是椭圆E：21（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|＝4又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y＝+c，其中设A（1，y1），B（2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）2+2c+1﹣2b2＝0．则．因为直线AB 的斜率为1，所以 即． 则． 解得． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>6，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点33,22⎛ ⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C， 所以22619b a=-，解得223a b =.①将点,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =， 故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=， 所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0）， 则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥， ∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即k =±时取等号，max ||PQ =u u u r ，又||AB =u u u r，maxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为35．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y kx m=+，因为直线l与圆O相切，1=，∴221m k=+，由221,5,xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y得()2221510550k x kmx m+++-=.设()()1122,,,P x y Q x y，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x mk k+=-+=++=++，.所以PQ中点N的坐标为225,1515km mk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ的垂直平分线方程为22151515m kmy xk k k⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭，即2415kmx kyk++=+.所以MN=.将m=MN=2441155||||kMNk kk====++…k=，即m=取等号）.所以三角形MON的面积为111=2255S OM MN=⨯⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得22cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-， 故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在． 设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝， 设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >， 设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+ 整理得21124k =>．故2k =±，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+.()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明 【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=， 因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=， 所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=， 当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥， 若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ， 联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=， 则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 22002281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+， 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-， 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=， 即221616ba k k-=， 整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=， 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••， 由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+， 点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -==+2212122m m m +-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++ 222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p = 所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-； 记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线， 故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=， 由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-， 由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB =点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值． 【答案】（1）y 2=2；（2）见解析 【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，p122=，p=1．∴抛物线的方程为y2=2；（2）根据已知，设直线AB的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x1y2x⎧=-⎨=⎩，可得y22y2=0．设A（211yy2，），B（222yy2，），则122y yk+=，y1y2=2．∵1112211y2yky y212==++，2222222y2yky y212==++．∴22221222221212(y2)(y2)11k k4y4y+++=+=22222212212212(y2)y(y2)y4y y+++=() 42422222122112122212y y y y8y y4y y4y y++++=()2221212128y y32(y y)2y y4 162+++-+==22482k42k+=+．∴222121124k k k+-=．。
高中数学全国Ⅰ卷文科解析几何近三年高考题
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】知 ，∴ ， ，∴离心率 .
14.（2018全国Ⅰ文）若 满足约束条件 ，则 的最大值为__________.
【答案】
【解析】 画出可行域如图所示，可知目标函数过点 时取得最大值， .
15.（2018全国Ⅰ文）直线 与圆 交于 两点，则 __________.
A.0B.1C.2D.3
【答案】D
【解析】如图，目标函数 经过 时最大，故 ，故选D.
12.（2017全国Ⅰ文）设A、B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C上存在点M满足 ，则m的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】当 ，焦点在 轴上，要使C上存在点M满足 ，则 ，即 ，得 ；当 ，焦点在 轴上，要使C上存在点M满足 ，则 ，即 ，得 ，故m的取值范围为 ，选A.
【答案】(1) 或 ; (2)见解析.设圆的方程为 ,又 ,根据 得 ;∵ 与直线 相切,
∴ ,联解方程得 或 . (2)设 的坐标为 ,根据条件 即 化简得 ,即 的轨迹是以 为焦点,以 为准线的抛物线,所以存在定点 ,使 .
2018年文科解析几何
∴ .
2017年文科解析几何
5.（2017全国Ⅰ文）已知 是双曲线 ： 的右焦点， 是 上一点，且 与 轴垂直，点 的坐标是 .则 的面积为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由 得 ，所以 ，将 代入 ，得 ，所以 ，又 的坐标是 ，故 的面积为 ，选D.
7.（2017全国Ⅰ文）设 满足约束条件 则 的最大值为（ ）
2019年文科解析几何
10.（2019全国Ⅰ文）双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ,则 的离心率为( )
近5年全国1卷_解析几何
近五年全国卷分类汇编——解析几何一、双曲线1.【2013课标全国Ⅰ，理4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x2.【2014课标全国Ⅰ，理4】已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )．A B ．3 C D ．3m3.【2015课标全国Ⅰ，理5】已知M （00,x y ）是双曲线C ：2212x y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF •<，则0y 的取值围是( )A ．（B ．（C ．（） D.（ 4.【2016课标全国Ⅰ，理5】已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值围是（ ）A ．)3,1(-B ．)3,1(-C ．)3,0(D ．)3,0(5.【2017课标全国Ⅰ，理15】已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点．若∠MAN =60°，则C 的离心率为________． 二、椭圆和抛物线1.【2013课标全国Ⅰ，理10】已知椭圆E ：2222=1x y a b+(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( ) A ．22=14536x y + B ．22=13627x y + C ．22=12718x y + D ．22=1189x y + 2. 【2014课标全国Ⅰ，理10】已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =（ ）A ．72 B ．52C ．3D ．23.【2015课标全国Ⅰ，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 ．4.【2016课标全国Ⅰ，理10】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点，交C 的准线于E D ,两点，已知24=AB ,52=DE ，则C 的焦点到准线的距离为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．85.【2017课标全国Ⅰ，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．106.【2013课标全国Ⅰ，理20】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，圆心P 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |．7 .【2014课标全国Ⅰ，理20】已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>，F是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点． (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程．8.【2015课标全国Ⅰ，理20】在直角坐标系xOy 中，曲线C ：24x y =与直线l ：y kx a =+（0a >）交于,M N 两点．（Ⅰ）当0k =时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程；（Ⅱ）在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由．9.【2016课标全国Ⅰ，理20】设圆015222=-++x y x 的圆心为A ，直线l 过点)0,1(B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于D C ,两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E ．（Ⅰ）证明EB EA +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（Ⅱ）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于N M ,两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于Q P ,两点，求四边形MPNQ 面积的取值围．10.【2017课标全国Ⅰ，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，2 ），P 4（1，2）中恰有三点在椭圆C 上． （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点．近五年全国卷分类汇编——解析几何答案一、双曲线1.【2013课标全国Ⅰ，理4】解析：选C ，∵52c e a ==，∴22222254c a b e a a +===，∴a 2＝4b 2，1=2b a ±，∴渐近线方程为12b y x x a =±±.2.【2014课标全国Ⅰ，理4】【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,33c m c m =+=+设)33,0Fm +，一条渐近线33y x m=，即0x m =，则点F 到C 的一条渐近线的距离331m d m+=+3 A. 3.【2015课标全国Ⅰ，理5】解析：从120MF MF ⋅<入手考虑，120MF MF ⋅=可得到以12F F 为直径的圆与C 的交点1234,,,M M M M （不妨设12,M M 在左支上，34,M M 在右支上），此时1112M F M F ⊥，111222M F M F -=-1223F F =112111201211||22M F F S M F M F y F F ∆=⋅=⋅解得03||y =，则M 在双曲线的12M M 或34M M 上运动，0y ∈33(，故选A ．. 4.【2016课标全国Ⅰ，理5】 【解析】222213x y m n m n-=+-表示双曲线，则()()2230m n m n +->，∴223m n m -<<由双曲线性质知：()()222234c m n m n m =++-=，其中c 是半焦距，∴焦距2224c m =⋅=，解得1m = ∴13n -<<，故选A ． 5. 【2017课标全国Ⅰ，理15】【解析】如图，OA a =，AN AM b ==， ∵60MAN ∠=︒，∴3AP =，222234OP OA PA a b =--，∴2232tan 34b AP OP a b θ==-，又∵tan b a θ=，∴223234b b a a b=-，解得223a b =，∴22123113b e a =+=+=；二、椭圆和抛物线1.【2013课标全国Ⅰ，理10】解析：选D ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∵A ，B 在椭圆上，∴2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②①－②，得1212121222=0x x x x y y y y a b (+)(-)(+)(-)+，即2121221212=y y y y b a x x x x (+)(-)-(+)(-)， ∵AB 的中点为(1，－1)，∴y 1＋y 2＝－2，x 1＋x 2＝2，而1212y y x x --＝k AB ＝011=312-(-)-，∴221=2b a .又∵a 2－b 2＝9，∴a 2＝18，b 2＝9.∴椭圆E 的方程为22=1189x y +.故选D. 2.【2014课标全国Ⅰ，理10】【解析】选C ，过Q 作QM ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM ==3.【2015课标全国Ⅰ，理14】解析：由椭圆的性质可知，圆只能经过短轴顶点和右顶点三个点(0,2),(0,2),(4,0)-； （方法一）设圆的半径为r ，则有222(4)2r r -+=，可得52r =，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法二）设圆的标准方程为222()(0)x a y r a -+=>，代入点(0,2),(4,0)，解方程组可得35,22a r ==半径为r ，故所求圆的标准方程为22325()24x y -+=. （方法三）设圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，代入点(0,2),(0,2),(4,0)-，解方程组可得3,0,4D E F =-==-,化为标准方程为22325()24x y -+=. 4.【2016课标全国Ⅰ，理10】【解析】以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理设抛物线为22y px =()0p >，设圆的方程为222x y r +=，如图：设(0,22A x ，52p D ⎛- ⎝，点(0,22A x 在抛物线22y px =上，∴082px =……①；点52p D ⎛- ⎝在圆222x y r +=上，∴2252p r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭……②；点(0,22A x 在圆222x y r +=上，∴2208x r +=……③；联立①②③解得：4p =，焦点到准线的距离为4p =．故选B ． 5.【2017课标全国Ⅰ，理10】【解析】设AB 倾斜角为θ．作1AK 垂直准线，2AK 垂直x 轴，易知11cos 22⎧⎪⋅+=⎪⎪=⎨⎪⎛⎫⎪=--= ⎪⎪⎝⎭⎩AF GF AK AK AF P P GP Pθ（几何关系）（抛物线特性），cos AF P AF θ⋅+=∴，同理1cos P AF θ=-，1cos P BF θ=+，∴22221cos sin P PAB θθ==-， 又DE 与AB 垂直，即DE 的倾斜角为π2θ+， 2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，而24y x =，即2P =． ∴22112sin cos AB DE P θθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭2222sin cos 4sin cos θθθθ+=224sin cos θθ=241sin 24=θ 21616sin 2θ=≥，当且仅当π4θ=取等号，即AB DE +最小值为16，故选A ； 【法二】依题意知：22sin PAB θ=，2222πcos sin 2P PDE θθ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，由柯西不等式知： 2222211(11)22816sin cos sin cos AB DE P P P θθθθ+⎛⎫+=+≥⋅== ⎪+⎝⎭，当且仅当π4θ=取等号，故选A ； 三、解答题1.【2013课标全国Ⅰ，理20】解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为23(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心F为(2,0)时，R ＝2.所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得2|3|=11k k +，解得k ＝24±. 当k ＝24时，将224y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝4627-±. 所以|AB |＝221181||7k x x +-=. 当24k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187. 综上，|AB |＝23或|AB |＝187. 2.【2014课标全国Ⅰ，理20】【解析】：(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又3c a =， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. …….6分 （Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k±-=+ 从而2221241431k k PQ k x +-=+-=，又点O 到直线PQ 的距离21d k =+，所以∆OPQ 的面积214432OPQk S d PQ ∆-== 243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±0∆>，||M NMN y y=-所以当∆OPQ的面积最大时，l的方程为：2y x=-或2y x=-. ……12分3.【2015课标全国Ⅰ，理20】解：（Ⅰ）当0k=时，点)M a和()N a-，2xy'=，故x=，切线方程为y a x-=-0y a--=；同理，x=-处的导数值为y a x-=+0y a++=.（Ⅱ）在y轴上存在点P，使得当k变动时，总有OPM OPN∠=∠.证明如下：设(0,)P b为符合题意的点，1122(,),(,)M x y N x y，直线,PM PN的斜率分别为12,k k.直线l与曲线C的方程联立可得2440x kx a--=，则12124,4x x k x x a+==-.1212121212122()()()y b y b kx x a b x x k a bk kx x x x a--+-+++=+==，当b a=-时，12k k+=，则直线,PM PN的倾斜角互补，故OPM OPN∠=∠，即(0,)P a-符合题意.4.【2016课标全国Ⅰ，理20【解析】：⑴圆A整理为(x+BE AC∥，则C=∠EBD D∴=∠∠，则EB⑵221:143x yC+=；设:l联立1l C与椭圆：24xx=⎧⎪⎨⎪⎩则圆心A到PQ距离d==所以||PQ=，()2212111||||2234MPNQmS MN PQm+⎡∴=⋅=⋅==⎣+5.【2017课标全国Ⅰ，理20】【解析】（1）根据椭圆对称性，必过3P、4P，又4P横坐标为1，椭圆必不过1P，所以过234P P P，，三点，将()23011P P⎛-⎝⎭，，代入椭圆方程得：222113141ba b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得24a=，21b=，∴椭圆C的方程为：2214xy+=．（2）①当斜率不存在时，设()():A Al x m A m y B m y=-，，，，，221121A AP A P By yk km m m----+=+==-，得2m=，此时l过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足．②当斜率存在时，设()1l y kx b b=+≠∶，()()1122A x yB x y，，，，联立22440y kx bx y=+⎧⎨+-=⎩，整理得()222148440k x kbx b+++-=，122814kbx xk-+=+，21224414bx xk-⋅=+，则22121211P A P By yk kx x--+=+()()21212112x kx b x x kx b xx x+-++-=222228888144414kb k kb kbkbk--++=-+()()()811411k bb b-==-+-，又1b≠，21b k⇒=--，此时64k∆=-，存在k使得0∆>成立．∴直线l的方程为21y kx k=--，当2x=时，1y=-，所以l过定点()21-，．。
十年全国高考数学真题分类汇编(文科) (立体几何大题)
(1)证明: ;
(2)已知 是直角三角形, ．若 为棱 上与 不重合的点,且 ,求四面体 与四面体 的体积比．
【答案】（1）略；（2） ．
【解析】（1）证明：取 中点 ，连
∵ ， 为 中点
∴
又∵ 是等边三角形，∴
又∵ ，∴ 平面 ， 平面
．
【点睛】本题主要考查了证明线线平行和面面垂直，及其求四棱锥的体积，解题关键是掌握面面垂直转为求证线面垂直的证法和棱锥的体积公式，考查了分析能力和空间想象能力，属于中档题．
5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷文科)如图， 长方体 中，点 ， 分别在棱 ， 上，且 ， ．证明：
(1)当 时， ；
(2)点 在平面 内．
2．(2021年全国高考乙卷文科)如图，四棱锥 的底面是矩形， 底面 ，M为 的中点，且 ．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ，求四棱锥 的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
解析：（1）因为 底面 ， 平面 ，所以 ，又 ， ，所以 平面 ，而 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）由（1）可知， 平面 ，所以 ，从而 ，设 ， ，则 ，即 ，解得 ，所以 ．因为 底面 ，故四棱锥 的体积为 ．
(1)证明：AA1//MN，且平面A1AMN⊥平面EB1C1F；
(2)设O为△A1B1C1的中心，若AO=AB=6，AO//平面EB1C1F，且∠MPN= ，求四棱锥B–EB1C1F的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】（1） 分别为 ， 的中点，
又
在等边 中， 为 中点，则
又 侧面 为矩形，
(2)在线段 上是否存在点 ，使得 平面 ？说明理由．
十年真题(2010-2019)高考数学(文)分类汇编专题11 平面解析几何解答题(新课标Ⅰ卷)(解析版)
专题11平面解析几何解答题历年考题细目表历年高考真题汇编1．【2018年新课标1文科20】设抛物线C：y2＝2，点A（2，0），B（﹣2，0），过点A的直线l与C交于M，N两点．（1）当l与轴垂直时，求直线BM的方程；（2）证明：∠ABM＝∠ABN．【解答】解：（1）当l与轴垂直时，＝2，代入抛物线解得y＝±2，所以M（2，2）或M（2，﹣2），直线BM的方程：y+1，或：y﹣1．（2）证明：设直线l的方程为l：＝ty+2，M（1，y1），N（2，y2），联立直线l与抛物线方程得，消得y2﹣2ty﹣4＝0，即y1+y2＝2t，y1y2＝﹣4，则有BN+BM0，所以直线BN与BM的倾斜角互补，∴∠ABM＝∠ABN．2．【2017年新课标1文科20】设A，B为曲线C：y上两点，A与B的横坐标之和为4．（1）求直线AB的斜率；（2）设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．【解答】解：（1）设A（1，），B（2，）为曲线C：y上两点，则直线AB的斜率为（1+2）4＝1；（2）设直线AB的方程为y＝+t，代入曲线C：y，可得2﹣4﹣4t＝0，即有1+2＝4，12＝﹣4t，再由y的导数为y′，设M（m，），可得M处切线的斜率为m，由C在M处的切线与直线AB平行，可得m＝1，解得m＝2，即M（2，1），由AM⊥BM可得，AM•BM＝﹣1，即为•1，化为12+2（1+2）+20＝0，即为﹣4t+8+20＝0，解得t＝7．则直线AB的方程为y＝+7．3．【2016年新课标1文科20】在直角坐标系Oy中，直线l：y＝t（t≠0）交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2p（p＞0）于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H．（Ⅰ）求；（Ⅱ）除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．【解答】解：（Ⅰ）将直线l与抛物线方程联立，解得P（，t），∵M关于点P的对称点为N，∴，t，∴N（，t），∴ON的方程为y，与抛物线方程联立，解得H（，2t）∴2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知MH，∴直线MH的方程为y+t，与抛物线方程联立，消去可得y2﹣4ty+4t2＝0，∴△＝16t2﹣4×4t2＝0，∴直线MH与C除点H外没有其它公共点．4．【2015年新课标1文科20】已知过点A（0，1）且斜率为的直线l与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1交于点M、N两点．（1）求的取值范围；（2）若•12，其中O为坐标原点，求|MN|．【解答】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，设过点A（0，1）的直线方程：y＝+1，即：﹣y+1＝0．由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R＝1．故由1，故当，过点A（0，1）的直线与圆C：（﹣2）2+（y﹣3）2＝1相交于M，N两点．（2）设M（1，y1）；N（2，y2），由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y＝+1，代入圆C的方程（﹣2）2+（y﹣3）2＝1，可得（1+2）2﹣4（+1）+7＝0，∴1+2，1•2，∴y1•y2＝（1+1）（2+1）＝212+（1+2）+1•2+•1，由•1•2+y1•y212，解得＝1，故直线l的方程为y＝+1，即﹣y+1＝0．圆心C在直线l上，MN长即为圆的直径．所以|MN|＝2．5．【2014年新课标1文科20】已知点P（2，2），圆C：2+y2﹣8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【解答】解：（1）由圆C：2+y2﹣8y＝0，得2+（y﹣4）2＝16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（，y），则，．由题意可得：．即（2﹣）+（y﹣4）（2﹣y）＝0．整理得：（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．∴M的轨迹方程是（﹣1）2+（y﹣3）2＝2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|＝|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵ON＝3，∴直线l的斜率为．∴直线PM的方程为，即+3y﹣8＝0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|．∴．6．【2013年新课标1文科21】已知圆M：（+1）2+y2＝1，圆N：（﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．【解答】解：（I）由圆M：（+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（﹣1）2+y2＝9，圆心N（1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．∴曲线C的方程为（≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（，y），由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（﹣2）2+y2＝4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与轴不平行，设l与轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝（+4），由l于M相切可得：，解得．当时，联立，得到72+8﹣8＝0．∴，．∴|AB|由于对称性可知：当时，也有|AB|．综上可知：|AB|或．7．【2012年新课标1文科20】设抛物线C：2＝2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，F A为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD＝90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【解答】解：（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|＝2p点A到准线l的距离，∵△ABD的面积S△ABD，∴，解得p＝2，所以F坐标为（0，1），∴圆F的方程为2+（y﹣1）2＝8．（2）由题设，则，∵A，B，F三点在同一直线m上，又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．由点A，B关于点F对称得：得：，直线，切点直线坐标原点到m，n距离的比值为．8．【2011年新课标1文科20】在平面直角坐标系Oy中，曲线y＝2﹣6+1与坐标轴的交点都在圆C上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若圆C与直线﹣y+a＝0交与A，B两点，且OA⊥OB，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）法一：曲线y＝2﹣6+1与y轴的交点为（0，1），与轴的交点为（3+2，0），（3﹣2，0）．可知圆心在直线＝3上，故可设该圆的圆心C为（3，t），则有32+（t﹣1）2＝（2）2+t2，解得t＝1，故圆C的半径为，所以圆C的方程为（﹣3）2+（y﹣1）2＝9．法二：圆2+y2+D+Ey+F＝0＝0，y＝1有1+E+F＝0y＝0，2﹣6+1＝0与2+D+F＝0是同一方程，故有D＝﹣6，F＝1，E＝﹣2，即圆方程为2+y2﹣6﹣2y+1＝0（Ⅱ）设A（1，y1），B（2，y2），其坐标满足方程组，消去y，得到方程22+（2a﹣8）+a2﹣2a+1＝0，由已知可得判别式△＝56﹣16a﹣4a2＞0．在此条件下利用根与系数的关系得到1+2＝4﹣a，12①，由于OA⊥OB可得12+y1y2＝0，又y1＝1+a，y2＝2+a，所以可得212+a（1+2）+a2＝0②由①②可得a＝﹣1，满足△＝56﹣16a﹣4a2＞0．故a＝﹣1．9．【2011年新课标1文科22】如图，D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，且不与△ABC的顶点重合．已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于的方程2﹣14+mn＝0的两个根．（Ⅰ）证明：C，B，D，E四点共圆；（Ⅱ）若∠A＝90°，且m＝4，n＝6，求C，B，D，E所在圆的半径．【解答】解：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB＝mn＝AE×AC，即又∠DAE＝∠CAB，从而△ADE∽△ACB因此∠ADE＝∠ACB∴C，B，D，E四点共圆．（Ⅱ）m＝4，n＝6时，方程2﹣14+mn＝0的两根为1＝2，2＝12．故AD＝2，AB＝12．取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．∵C，B，D，E四点共圆，∴C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH．由于∠A＝90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF＝AG＝5，DF（12﹣2）＝5．故C，B，D，E四点所在圆的半径为510．【2010年新课标1文科20】设F1，F2分别是椭圆E：21（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A、B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求|AB|；（Ⅱ）若直线l的斜率为1，求b的值．【解答】解：（1）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|＝4又2|AB|＝|AF2|+|BF2|，得（2）L的方程式为y＝+c，其中设A（1，y1），B（2，y2），则A，B两点坐标满足方程组．，化简得（1+b2）2+2c+1﹣2b2＝0．则．因为直线AB 的斜率为1，所以 即． 则． 解得． 考题分析与复习建议本专题考查的知识点为：直线方程、圆的方程，直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线，曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现，重点考查的知识点为：直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等，预测明年本考点题目会比较稳定，备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系，椭圆、双曲线、抛物线及其性质，直线与圆锥曲线等为重点较佳.最新高考模拟试题1．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>6，椭圆22222:1(0)33x y C a b a b +=>>经过点3322⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆1C 的标准方程；（2）设点M 是椭圆1C 上的任意一点，射线MO 与椭圆2C 交于点N ，过点M 的直线l 与椭圆1C 有且只有一个公共点，直线l 与椭圆2C 交于,A B 两个相异点，证明：NAB △面积为定值.【答案】（1）22113y x +=； （2）见解析. 【解析】（1）解：因为1C， 所以22619b a=-，解得223a b =.①将点22⎛ ⎝⎭代入2222133x y a b +=，整理得2211144a b +=.② 联立①②，得21a =，213b =， 故椭圆1C 的标准方程为22113y x +=. （2）证明：①当直线l 的斜率不存在时，点M 为()1,0或()1,0-，由对称性不妨取()1,0M ，由（1）知椭圆2C 的方程为2213x y +=，所以有()N .将1x =代入椭圆2C的方程得y =，所以11122NAB S MN AB ∆=⋅=3=. ②当直线l 的斜率存在时，设其方程为y kx m =+， 将y kx m =+代入椭圆1C 的方程 得()222136310kxkmx m +++-=，由题意得()()()2226413310km k m∆=-+-=，整理得22313m k =+.将y kx m =+代入椭圆2C 的方程， 得()222136330kxkmx m +++-=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122613km x x k +=-+，21223313m x x k-=+， 所以AB ===. 设()00,M x y ，()33,N x y ，ON MO λ=u u u v u u u u v，则可得30x x λ=-，30y y λ=-.因为220022333113x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，所以2200222003113x y x y λ⎧+=⎪⎛⎫⎨+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得λ=λ=， 所以ON =u u u vu u u v，从而)1NM OM =.又因为点O 到直线l的距离为d =所以点N 到直线l 的距离为)11m d ⋅=所以))111122NABS d AB ∆=⋅==，综上，NAB ∆2．如图，在平面直角坐标系Oy 中，椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)经过点(0，)，点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆于M ，N 两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；（3）若直线l 上存在点P 满足PM·PN＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（25250x y ±=；（3）见解析. 【解析】（1）设椭圆的截距为2c ，由题意，b 3，由点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等，得a+c ＝2a c c-，又a 2＝b 2+c 2，联立解得a ＝2，c ＝1．∴椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）当直线l 与轴重合时，M （﹣2，0），N （2，0），此时MF ＝3NF ，不合题意； 当直线l 与轴不重合时，设直线l 的方程为＝my+1，M （1，y 1），N （2，y 2），联立22my 1x y 143x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得（3m 2+4）y 2+6my ﹣9＝0．△＝36m 2+36（m 2+4）＞0．122634m y y m +=-+ ①，1229y y 3m 4=-+②，由MF ＝2FN ，得y 1＝﹣2y 2③， 联立①③得，1222126,3434m my y m m =-=++， 代入②得，()22227293434m m m-=-++，解得25m =5250x y ±-=；（3）当直线l 的斜率为0时，则M （2，0），N （﹣2，0），设P （0，y 0）， 则PM•PN＝|（0﹣2）（0+2）|，∵点P 在椭圆外，∴0﹣2，0+2同号，又()()()()2220000PF x 1,x 2x 2x 1=-∴-+=-，解得052x =． 当直线l 的斜率不为0时，由（2）知，1212226m 9y y ,y y 3m 43m 4+=-=-++，10200PM y ,PN y ,PF =-=-=．∵点P 在椭圆外，∴y 1﹣y 0，y 2﹣y 0同号， ∴PM•PN＝（1+m 2）（y 1﹣y 0）（y 2﹣y 0）＝()()221201201my yy y y y ⎡⎤+-++⎣⎦()()2222002269113434m m y m y m m ⎛⎫=++-=+ ⎪++⎝⎭，整理得032y m =，代入直线方程得052x =．∴点P 在定直线52x =上． 3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点． （1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点． 【答案】（1）1y x =-或1y x =-+；（2）(2,0). 【解析】解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠.()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =.||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±， 所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=，可得124y y m +=，124y y b =-. 由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =. 故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0).4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，()2,0A 是长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，点C 在第一象限，且0AC BC ⋅=u u u r u u u r，||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）设P 、Q 为椭圆上不重合的两点且异于A 、B ，若PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴，问是否存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r？若不存在，请说明理由；若存在，求λ取得最大值时的PQ 的长．【答案】(1) 223144x y += (2)【解析】（1）∵0AC BC ⋅=u u u r u u u r，∴90ACB ∠=︒，∵||2||OC OB AB BC -=+u u u r u u u r u u u r u u u r．即||2||BC AC =u u u r u u u r ，∴AOC △是等腰直角三角形， ∵()2,0A ，∴()1,1C ， 而点C 在椭圆上，∴22111a b +=，2a =，∴243b =， ∴所求椭圆方程为223144x y +=．（2）对于椭圆上两点P ，Q ， ∵PCQ ∠的平分线总是垂直于x 轴， ∴PC 与CQ 所在直线关于1x =对称，PC k k =，则CQ k k =-，∵()1,1C ，∴PC 的直线方程为()11y k x =-+，①QC 的直线方程为()11y k x =--+，②将①代入223144x y +=，得()()22213613610k x k k x k k +--+--=，③∵()1,1C 在椭圆上，∴1x =是方程③的一个根，∴2236113P k k x k --=+，以k -替换k ，得到2236131Q k k x k +-=+． ∴()213P Q PQ P Qk x x kk x x +-==-， ∵90ACB ∠=o ，()2,0A ，()1,1C ，弦BC 过椭圆的中心O ， ∴()2,0A ，()1,1B --，∴13AB k =， ∴PQ AB k k =，∴PQ AB ∥， ∴存在实数λ，使得PQ AB =λu u u r u u u r，||PQ =u u ur =≤ 当2219k k =时，即k =时取等号，max ||PQ =u u u r又||AB =u u u rmaxλ==，∴λ取得最大值时的PQ的长为3． 5．已知抛物线216y x =，过抛物线焦点F 的直线l 分别交抛物线与圆22(4)16x y -+=于,,,A C D B （自上而下顺次）四点.（1）求证：||||AC BD ⋅为定值； （2）求||||AB AF ⋅的最小值. 【答案】(1)见证明；(2)108 【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l 的方程为4x my =+，1122(,),(,)A x y B x y联立直线和抛物线方程2164y x x my ⎧=⎨=+⎩，消x 可得216640y my --=，所以1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义可知，112||4,||42pAF x x BF x =+=+=+， 又||||4,||||4AC AF BD BF =-=-，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616y y AC BD AF BF x x ⋅=--==⋅==，所以||||AC BD ⋅为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8AB AF BF x x =+=++，1||4AF x =+，212111212||||(8)(4)12432AB AF x x x x x x x x ⋅=+++=++++，由1216x x =，可得2116x x =， 所以211164||||1248AB AF x x x ⋅=+++（其中1>0x ）， 令264()1248f x x x x =+++，222642(2)(4)()212x x f x x x x -+'=+-=， 当(0,2)x ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当(2,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数单调递增， 所以()(2)108f x f ≥=. 所以||||AB AF ⋅的最小值为108.6．已知O 为坐标原点，点()()2,02,0A B -，，()01AC AD CB CD λλ===<<u u u r u u u r，过点B 作AC的平行线交AD 于点E .设点E 的轨迹为τ. （Ⅰ）求曲线τ的方程；（Ⅱ）已知直线l 与圆22:1O x y +=相切于点M ，且与曲线τ相交于P ，Q 两点，PQ 的中点为N ，求三角形MON 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105x y y +=≠；. 【解析】（Ⅰ）因为,AD AC EB AC =∥， 故EBD ACD ADC ∠=∠=∠， 所以EB ED =，故EA EB EA ED AD +=+==由题设得()()2,02,04A B AB -=，，，由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为：()22105x y y +=≠.（Ⅱ）由题意，直线l 的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y kx m=+，因为直线l与圆O相切，1=，∴221m k=+，由221,5,xyy kx m⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y得()2221510550k x kmx m+++-=.设()()1122,,,P x y Q x y，由韦达定理知：()1212122210221515km mx x y y k x x mk k+=-+=++=++，.所以PQ中点N的坐标为225,1515km mk k⎛⎫-⎪++⎝⎭，所以弦PQ的垂直平分线方程为22151515m kmy xk k k⎛⎫-=-+⎪++⎝⎭，即2415kmx kyk++=+.所以MN=将m=MN=得2441155||||kMNk kk====++…k=即m=取等号）.所以三角形MON的面积为111=2255S OM MN=⨯⨯⨯⨯≤，综上所述，三角形MON.7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，F 是椭圆C 的一个焦点．点(02)M ,，直线MF 的． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点M 的直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，线段AB 的中点为N ，且AB MN ＝．求l 的方程．【答案】（1）22182x y +=；（2）22y x =±+【解析】（1）由题意，可得22cac⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩，则222=2b a c =-， 故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当l 的斜率不存在时，=2AB MN AB MN ≠=，，，不合题意，故l 的斜率存在． 设l 的方程为2y kx =+，联立221822x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(14)1680k x kx +++＝， 设1122(()A x y B x y ，)，，，则12122216k 8,14k 14kx x x x +=-=++， ()222(16)3214128320k k k ∆=-+=->即214k >， 设00()N x y ，，则12028214x x kx k+==-+，120||||,0AB MN x =-=-Q0x =，即28||14k k =+整理得21124k =>．故2k =±，l 的方程为22y x =±+．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点(，右焦点F 是抛物线28y x =的焦点.（1）求椭圆C 的方程；（2）已知动直线l 过右焦点F ，且与椭圆C 分别交于M ，N 两点.试问x 轴上是否存在定点Q ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立?若存在求出点Q 的坐标若不存在，说明理由.【答案】(1) 2211612x y += (2)见解析【解析】（1）因为椭圆C 过点，所以221231a b+=， 又抛物线的焦点为()2,0，所以2c =. 所以2212314a a +=-，解得23a =（舍去）或216a =. 所以椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）假设在x 轴上存在定点(,0)Q m ，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r. ①当直线l 的斜率不存在时，则(2,3)M ，(2,3)N -，(2,3)QM m =-u u u u r，(2,3)QN m =--u u u r，由2135(2)916QM QN m ⋅=--=-u u u u r u u u r ，解得54m =或114m =；②当直线l 的斜率为0时，则(4,0)M -，(4,0)N ，(4,0)QM m =--u u u u r ，(4,0)QN m =-u u u r，由21351616QM QN m ⋅=-=-u u u u r u u u r ，解得114m =-或114m =.由①②可得114m =，即点Q 的坐标为11,04⎛⎫⎪⎝⎭. 下面证明当114m =时，13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.当直线l 的斜率不存在或斜率为0时，由①②知结论成立.当直线l 的斜率存在且不为0时，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，()11,M x y ，()22,N x y .直线与椭圆联立得()()222234161630kxk x k +-+-=，直线经过椭圆内一点，一定与椭圆有两个交点，且21221643k x x k +=+，()212216343k x x k -=+.()()()222121212122224y y k x k x k x x k x x k =-•-=-++，所以()1122121212111111121,,44416QM QN x y x y x x x x y y ⎛⎫⎛⎫•=-•-=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r ()()()()222222221212221631112111161211241244164344316k k k x x k x x k k k k k k -⎛⎫⎛⎫=+-++++=+-+++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭13516-恒成立 综上所述，在x 轴上存在点11,04Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得13516QM QN ⋅=-u u u u r u u u r 恒成立.9．关于椭圆的切线由下列结论：若11(,)P x y 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上的一点，则过点P 的椭圆的切线方程为11221x x y y a b +=.已知椭圆22:143x y C +=.(1)利用上述结论，求过椭圆C 上的点(1,)(0)P n n >的切线方程；(2)若M 是直线4x =上任一点，过点M 作椭圆C 的两条切线MA ，MB （A ，B 为切点），设椭圆的右焦点为F ，求证：MF AB ⊥.【答案】（1）240x y +-=（2）见证明 【解析】(1)由题意，将1x =代入椭圆方程22:143x y C +=，得32y =，所以3(1,)2P ，所以过椭圆C 上的点3(1,)2P 的切线方程为32143yx +=，即240x y +-=.(2)设(4,)M t ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则过A ，B 两点的椭圆C 的切线MA ，MB 的方程分别为11143x x y y +=，22143x x y y +=， 因为(4,)M t 在两条切线上，114143x y t ⨯∴+=，224143x y t⨯+=， 所以A ，B 两点均在直线4143x yt +=上，即直线AB 的方程为13tyx +=， 当0t ≠时，3AB k t=-，又(1,0)F ，0413MF t t k -==-，313AB MF tk k t ⋅=-⨯=-，所以MF AB ⊥， 若0t =，点(4,0)M 在x 轴上，A ，B 两点关于x 轴对称，显然MF AB ⊥.10．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，离心率为12，P 为椭圆上一动点（异于左右顶点），若12AF F △（1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 过点1F 交椭圆C 于,A B 两点，问在x 轴上是否存在一点Q ，使得QA QB ⋅u u u r u u u r为定值？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22143x y +=（2）见解析【解析】（1）由题意，当P 在上或下顶点时，12PF F ∆的面积取值最大值，即最大值为bc = 又12c a =，且222a c b =+，解得24a =，23b =， 故椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）易知()11,0F -，设直线l 的方程为1x my =-，()()()11220,,,,,0A x y B x y Q x ， 联立方程组221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得22(34)690m y my +--=， 则122634my y m +=+，122934y y m =-+， ()()()()10120200212,,y QA QB x x y x x y x x x x y y ⋅=-⋅-=--+u u u r u u u r()212001212x x x x x x y y =+-++，∵111x my =-，221x my =-，∴()()()2212121212215111134m x x my my m y y m y y m =--=+-+=-+，()()()212122226112234m x x my my m y y m +=-+-=+-=-+， ∴222000222156912343434m m QA QB x x x m m m ⋅=-+-+-+++u u u r u u u r 22002281253434m x x m m +=+-++()222000231248534x m x x m -++-=+， 要使QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值，则2200031248534x x x -+-=，解得0118x =-， 所以在x 轴上存在点11,08Q ⎛⎫-⎪⎝⎭，使得QA QB ⋅u u u r u u u r 为定值． 11．已知点()1,0F ，直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过点P 作直线的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）设直线y kx b =+与轨迹C 交于两点，()11,A x y 、()22,B x y ，且12y y a -= (0a >，且a 为常数)，过弦AB 的中点M 作平行于x 轴的直线交轨迹C 于点D ，连接AD 、BD .试判断ABD ∆的面积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由 【答案】(1) 24y x = (2)见解析 【解析】（1）设(,)P x y ，则(1,)Q y -，QP QF FP FQ •=•u u u r u u u r u u u r u u u r Q ，(1,0)(2,)(1,)(2,)x y x y y ∴+•-=-•-，即22(1)2(1)x x y +=--+，即24y x =，所以动点P 的轨迹的方程24y x =.（2）联立方程组2,4,y kx b y x =+⎧⎨=⎩消去x ，得2440ky y b -+=，依题意，0k ≠，且124y y k+=，124b y y k =，由12y y a -=得()2212124y y y y a +-=， 即221616ba k k-=， 整理得：221616kb a k -=，所以2216(1)a k kb =-，① 因为AB 的中点222,bk M k k -⎛⎫⎪⎝⎭，所以点212,D k k ⎛⎫⎪⎝⎭，依题意， 122111||22BD bkS DM y y a k∆∆-=-=， 由方程2440ky y b -+=中的判别式16160kb ∆=->，得10kb ->，所以2112ABD bkS a k∆-=••， 由①知22116a k kb -=，所以23121632MBDa a S a ∆=••=，又a 为常数，故ABD S ∆的面积为定值. 12．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 24x y = (2)4 【解析】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+， 点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =，∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 13．已知抛物线方程24y x =，F 为焦点，P 为抛物线准线上一点，Q 为线段PF 与抛物线的交点，定义()PFd P FQ=. （1）当8(1)3P --，时，求()d P ； （2）证明存在常数a ，使得2()d P PF a =+.（3）123,,P P P 为抛物线准线上三点，且1223PP P P =，判断13()()d P d P +与22()d P 的关系. 【答案】（1）83；（2）证明见解析；（3）()()()1322d P d P d P +>. 【解析】 （1）因为8443(1)233PFk y x ==⇒=-. 联立方程24(1)1344Q y x x y x ⎧=-⎪⇒=⎨⎪=⎩， 则1083()534PF d P QF ⎧=⎪⎪⇒=⎨⎪=⎪⎩. （2）当()1,0P -，易得2()2a d P PF =-=， 不妨设()1,P P y -，0P y >， 直线:1PF x my =+，则2P my =-，联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，2440y my --=，2Q y m ==+2()||2P P Q y d P PF y m -==2212122m m m +-+=-+=.（3）设()()()1122331,,1,,1,P y P y P y ---，则()()()13224d P d P d P +-⎡⎤⎣⎦1322PF P F P F =+-2221324424y y y =+++222131344242y y y y +⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭()22213134416y y y y =++++因为(()222213134416y y y y ⎡⎤++-++⎣⎦22131224428y y y y =++-，又因()()()()2222213131313444480y y y y y y y y ++-+=+->，所以()()()1322d P d P d P +>.14．已知抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点F 到准线距离为2. （1）若点(1,1)E ，且点P 在抛物线C 上，求||||PE PF +的最小值；（2）若过点(0,)N b 的直线l 与圆22:(2)4M x y +-=相切，且与抛物线C 有两个不同交点,A B ，求AOB ∆的面积.【答案】(1)2(2) 2ABC S b ∆=【解析】解：（1）根据题意可知2p = 所以抛物线方程为24x y =则抛物线C 焦点为(0,1)F ，准线为1y =-； 记点,P E 到抛物线C 准线的距离分别为12,d d ，故12||||||2PE PF PE d d +=+≥=，等号成立当且仅当PE 垂直于准线， 故||||PE PF +的最小值为2 （2）设()11,A x y ，()22,B x y由题意知，直线l 斜率存在，设直线l 的方程为：y kx b =+ 将y kx b =+与24x y =联立得2440x kx b --=， 由韦达定理得12124,4x x k x x b +==-， 由()0,2M 到直线l的距离为12d ==得：2244b b k -=，又||AB ==点O 到直线l 的距离为2d =所以2|ABC S b b ∆=== 15．已知曲线C 上的任意一点到直线l ：=12的距离与到点F （102，）的距离相等． （1）求曲线C 的方程；（2）若过P （1，0）的直线与曲线C 相交于A ，B 两点，Q （1，0）为定点，设直线AQ 的斜率为1，直线BQ 的斜率为2，直线AB 的斜率为，证明：22212112k k k +-为定值． 【答案】（1）y 2=2；（2）见解析 【解析】（1）由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，p122=，p=1．∴抛物线的方程为y2=2；（2）根据已知，设直线AB的方程为y=（1）（≠0），由()2y k x1y2x⎧=-⎨=⎩，可得y22y2=0．设A（211yy2，），B（222yy2，），则122y yk+=，y1y2=2．∵1112211y2yky y212==++，2222222y2yky y212==++．∴22221222221212(y2)(y2)11k k4y4y+++=+=22222212212212(y2)y(y2)y4y y+++=() 42422222122112122212y y y y8y y4y y4y y++++=()2221212128y y32(y y)2y y4 162+++-+==22482k42k+=+．∴222121124k k k+-=．。
历年高考全国卷Ⅰ文科数学解析几何汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞ B ．(0,3][9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞ D ．(0,3][4,)+∞【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，03tantan 6032AEB a b m∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tantan 60323AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF的面积为( )．A ．2B ．22C ．23D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝23． 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12CD【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===．【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2p x =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|P A |+|PF |+|AF |=|P A |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|P A |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x2-y 2=8消去x 整理得y 2+y -96=0，解得y=或y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=．三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM = 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<. 解得474733k .所以k的取值范围是44(33-. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1.故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得21k +＝1，解得k ＝2±. 当k ＝24时，将224y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝4627-±， 所以|AB |＝21k +|x 2－x 1|＝187.当k ＝2-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
20—207高考全国卷Ⅰ文科数学解析汇报几何总汇编
新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( )A ．(0,1][9,)+∞UB ．(0,3][9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．(0,3][4,)+∞U【解法】选A ．图 1 图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，03tantan 6032AEB a b m∠==≥=1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，0tantan 602AEB a b ∠==≥=，解得9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u r u u u r u u u r ，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-u u u r u u u r ，即12EA EB EA EB⋅≤-u u u r u u u ru u u r u u u r ，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞U ，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1 解：2222232c a b a e a a a++====，解得a=1，故选D 【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)的离心率为52，则C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )．A ．2B ．22C ．23D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝23． 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ） A ．13 B ．12C ．3D ．22【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以222c e a ===．【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）．A ．18B ．24C ．36D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2p x =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B 两点，若AB =则圆C的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|PA |+|PF 1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x2-y 2=8消去x 整理得y 2+y -96=0，解得y=或y =-舍去)，此时SΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程．解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y =4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM =g 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y b x y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty pxy ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)u u u u r u u u rOM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |.解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<.解得4433k -<<所以k的取值范围是44(33-. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++所以u u u u r u u u rOM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1. 故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4. 由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得21k +＝1，解得k ＝24±. 当k ＝24时，将224y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝4627-±， 所以|AB |＝21k +|x 2－x 1|＝187.当k ＝24-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。
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新课标全国卷Ⅰ文科数学汇编解 析 几 何一、选择题【2017，5】已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则APF ∆的面积为（ ）A ．13 B ．12 C ．23 D ．32【解法】选D ．由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得3y =±，所以3PF =，又A 的坐标是(1,3)，故APF 的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ．【2017，12】设A 、B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1][9,)+∞ B ．(0,3][9,)+∞ C ．(0,1][4,)+∞ D ．(0,3][4,)+∞【解法】选A ．图 1图 2解法一：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，03tantan 6032AEB a b m∠=≥=，解得1m ≤，故01m <≤； 2． 当3m >时，如图2，0tantan 60323AEB a m b ∠==≥9m ≥． 综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．解法二：设E F 、是椭圆C 短轴的两个端点，易知当点M 是椭圆C 短轴的端点时AMB ∠最大，依题意只需使0120AEB ∠≥．1．当03m <<时，如图1，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得1m ≤，故01m <≤；2． 当3m >时，如图2，01cos ,cos1202EA EB ≤=-，即12EA EB EA EB⋅≤-，带入向量坐标，解得9m ≥．综上可知，m 的取值范围是(0,1][9,)+∞，故选A ．【2016，5】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．12 C ．23D ．34解析：选B ． 由等面积法可得1112224bc a b ⨯=⨯⨯⨯，故12c a =，从而12c e a ==．故选B ． 【2015，5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为12，E 的右焦点与抛物线C : y 2=8x ，的焦点重合，A ,B 是C 的准线与E 的两个交点，则|AB |=( )A ．3B ．6C ．9D ．12解：选B ．抛物线的焦点为(2,0)，准线为x =-2，所以c=2，从而a=4，所以b 2=12，所以椭圆方程为2211612x y +=，将x =-2代入解得y=±3，所以|AB |=6，故选B 【2014，10】10．已知抛物线C ：y 2=x 的焦点为F ，A (x 0,y 0)是C 上一点，|AF |=054x ，则x 0=( )A A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解：根据抛物线的定义可知|AF |=001544x x +=，解之得x 0=1． 故选A 【2014，4】4．已知双曲线)0(13222>=-a y a x 的离心率为2，则a=( ) D A ．2 B ．26 C ．25 D ．1解：2c e a ====，解得a=1，故选D【2013，4】已知双曲线C ：2222=1x y a b-(a ＞0，b ＞0)C 的渐近线方程为( )．A ．y ＝14x ±B ．y ＝13x ±C ．y ＝12x ± D ．y ＝±x解析：选C ．∵52e =，∴52c a =，即2254c a =．∵c 2＝a 2＋b 2，∴2214b a =．∴12b a =．∵双曲线的渐近线方程为b y x a =±，∴渐近线方程为12y x =±．故选C ．【2013，8】O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF的面积为( )．A ．2B ．22C ．23D ．4 答案：C解析：利用|PF |＝242P x +=，可得x P ＝32，∴y P ＝26±．∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝23． 故选C ．【2012，4】4．设1F 、2F 是椭圆E ：2222x y a b +（0a b >>）的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，21F PF ∆是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A ．12 B ．23 C ．34 D ．45【解析】如图所示，21F PF ∆是等腰三角形，212130F F P F PF ∠=∠=︒，212||||2F P F F c ==，260PF Q ∠=︒，230F PQ ∠=︒，2||F Q c =，又23||2a F Q c =-，所以32a c c -=，解得34c a =，因此34c e a ==，故选择C ． 【2012，10】10．等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于A ，B 两点，||43AB =，则C 的实轴长为（ ）A ．2B ．22C ．4D ．8【解析】设等轴双曲线C 的方程为22221x y a a-=，即222x y a -=（0a >），抛物线216y x =的准线方程为4x =-，联立方程2224x y a x ⎧-=⎨=-⎩，解得2216y a =-，因为||43AB =，所以222||(2||)448AB y y ===，从而212y =，所以21612a -=，24a =，2a =，因此C 的实轴长为24a =，故选择C ．【2011，4】椭圆221168x y +=的离心率为（ ）A ．13 B ．12CD【解析】选D ．因为221168x y +=中，2216,8a b ==，所以2228c a b =-=，所以42c e a ===．【2011，9】已知直线l 过抛物线的焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，12AB =，P 为C 的准线上一点，则ABP △的面积为（ ）． A ．18 B ．24 C ．36 D ．48【解析】不妨设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由于l 垂直于对称轴且过焦点，故直线l 的方程为2p x =．代入22y px =得y p =±，即2AB p =，又12AB =，故6p =，所以抛物线的准线方程为3x =-，故1612362ABP S =⨯⨯=△．故选C ．二、填空题【2016，15】设直线2y x a =+与圆22:220C x y ay +--=相交于,A B两点，若AB =C 的面积为 ．解析：4π．由题意直线即为20x y a -+=，圆的标准方程为()2222x y a a +-=+，所以圆心到直线的距离d =，所以AB===， 故2224a r +==，所以24S r =π=π．故填4π．【2015，16】已知F 是双曲线C :2218y x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，A ，当ΔAPF 周长最小时，该三角形的面积为．解： a =1，b 2=8，⇒ c =3，∴F (3,0)．设双曲线的的左焦点为F 1，由双曲线定义知|PF |=2+|PF 1|，∴ΔAPF 的周长为|P A |+|PF |+|AF |=|P A |+|AF |+|PF 1|+2，由于|AF |是定值，只要|P A |+|PF1|最小，即A ,P ,F 1共线，∵A，F 1 (-3,0)，∴直线AF 1的方程为13x +=-，联立8x2-y 2=8消去x 整理得y 2+y -96=0，解得y=或y =-舍去)，此时S ΔAPF =S ΔAFF 1-S ΔPFF13=⨯=．三、解答题【2017，20】设A ，B 为曲线C ：42x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且BM AM ⊥，求直线AB 的方程． 解析：第一问：【解法1】设 1122(,),(,)A x y B x y ,AB 直线的斜率为k ，又因为A,B 都在曲线C 上，所以 4/211x y = ①4/222x y = ②②-①得2221122121()()44x x x x x x y y -+--==由已知条件124x x += 所以，21211y yx x -=-即直线AB 的斜率k=1．【解法2】设 ),(),,(2211y x B y x A ,AB 直线的方程为y=kx+b,所以⎩⎨⎧=+=4/2x y b kx y整理得：,4,044212k x x b kx x =+∴=--且421=+x x 所以k=1第二问：设 00(,)M x y 所以200/4y x =① 又12y x =所以00011,2,12k x x y ==∴== 所以M （2,1），11(2,1)MA x y =--，22(2,1)MB x y =--，且AM BM ⊥，0AM BM = 即05)()(221212121=++-++-y y y y x x x x ②，设AB 直线的方程为y x b =+，,4/2⎩⎨⎧=+=x y bx y化简得0442=--b x x ，所以2212121,24,4b y y b y y b x x =+=+-=由②得0772=--b b 所以b=7或者b=-1(舍去) 所以AB 直线的方程为y=x+7【2016，20】在直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连结ON 并延长交C 于点H ．（1）求OH ON；（2）除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？请说明理由．解析 （1）如图，由题意不妨设0t >，可知点,,M P N 的坐标分别为()0,M t ，2,2t P t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,N t t p ⎛⎫⎪⎝⎭，从而可得直线ON 的方程为y x p t =，联立方程22p x ty px y ⎧==⎪⎨⎪⎩，解得22x t p =，2y t =． 即点H 的坐标为22,2t t p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而由三角形相似可知22H N OH y tON y t ===．（2）由于()0,M t ，22,2t H t p ⎛⎫⎪⎝⎭，可得直线MH 的方程为22ty t x t p-=， 整理得2220ty px t --=，联立方程222202ty y px t px--==⎧⎪⎨⎪⎩，整理得22440ty y t -+=，则2216160t t ∆=-=，从而可知MH 和C 只有一个公共点H ．【2015，20】已知过点A (0, 1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点.(Ⅰ)求k 的取值范围； (Ⅱ)OM ON ⋅=12，其中O 为坐标原点，求|MN |. 解：(Ⅰ)依题可设直线l 的方程为y=kx +1，则圆心C (2,3)到的l 距离1d =<. 解得474733k .所以k的取值范围是44(33-. (Ⅱ)将y=kx +1代入圆C 的方程整理得 (k 2+1)x 2-4(k +1)x +7=0.设M (x 1, y 1),N (x 2, y 2)，则1212224(1)7,.11k x x x x k k ++==++所以OM ON ⋅=x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+(kx 1+1)(kx 2+1)=(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+124(+1)8+1k k k =+=12，解得k =1=1k ，所以l 的方程为y=x +1.故圆心在直线l 上，所以|MN |=2.【2013，21】已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .(1)求C 的方程；(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3.设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为22=143x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2. 所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4. 若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |＝23.若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则1||||QP RQM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．由l 与圆M 相切得21k +＝1，解得k ＝2±. 当k ＝24时，将224y x =+代入22=143x y +，并整理得7x 2＋8x －8＝0，解得x 1,2＝4627-±， 所以|AB |＝21k +|x 2－x 1|＝187.当k ＝2-时，由图形的对称性可知|AB |＝187.综上，|AB |＝23或|AB |＝187.【2012，20】设抛物线C ：py x 22=（0>p ）的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点。