多元积分例题

et
0
sin tdet
et
sin t |0

etห้องสมุดไป่ตู้
0
cos
tdt



cos tdet
0
et
cos t |0

et
0
sin
tdt

e
1
A
因此 A 1 1 e 2
故 I e 1 e 1 e
f
(
x)

g(x)

a, 0,
若o x 1 其他，
而表示全平面，则 I f (x)g(y x)dxdy
D
【分析】本题积分区域为全平面，但只有当
0 x 1 0 y x 1
时，被积函数才不为0，因此实际上只需在满足此不 等式的区域内积分即可。
解因
a, 若0 y x 1
0 x t 1 y x
t
x
t
F (t) 0 dx1 f (x)dy 0 f (x)(x 1)dx
于是，F(t) f (t)(t 1)，所以，F(2) f (2)
例5. (04,) 设函数f (u) 连续,区域 D {(x, y) | x2 y2 2 y}
积分次序和积分限。
例4.
(04，一)
设f
(x)为连续函数, F(t)

t
1
t
dyy
f
(x)dx,
则F ' (2)等于
A. 2 f (2) B. f (2)
C. f (2)
D.0
【解答】选B。先交换积分次序，使被积函数中不
含有变量t
，由y型区域
Dy
：1y
y x

t t
得x型区域 Dx
g( y x) 0,
其它
故 I f (x)g( y x)dxdy a2dxdy
D
0x1,0 yx1
a2
1
dx
0
x1
dy

a2
x
1 0

x

1

xdx

a2
【评注】对于分段函数的二重积分，要利用可加性 分块积分。
例3. (02，三)交换积分次序:
2
1 y2
D. 2 dy
f (x, y)dx.
0
0
例6 (05，二) 设区域 D {(x, y) | x2 y2 4, x 0, y 0}
f (x)为 D上的正值连续函数, a, b为常数,则
a

D
f (x) b f ( y)d
f (x) f (y)
等于
A. ab
B. I1 I2 I3 D. I3 I1 I2
【解答】选 A，因为当 0 x2 y2 1 时
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2
而余弦函数在0,1 上是单调减少的，故由二重积分
的比较性质，有 I3 I2 I1
例2. (03，三) 设a 0
B. ab
2
C. (a b) D. a b
2
【解答】选D。考虑积分
I1 D
f (x) d
f (x) f (y)
I2
D
f ( y) d
f (x) f (y)
因 D关于直线 y x对称,
故由二重积分的对称性：I1 I2
又 I1 I2
有
I e
e(x2 y2 ) sin(x2 y2 )dxdy e
2
d
rer2 sin r 2dr
0
0
D
令 t r 2,则 I e et sin tdt 0
记 A et sin tdt 则 I e A 0
A
则 f (xy)dxdy 等于
D
1
1 x2
A. dx
f (xy)dy
1
1x2
2
2 yy2
B. 20 dy0 f (xy)dx
C.

d
0
2sin 0
f (r2 sin cos )dr
D. d 2sin f (r2 sin cos )rdr
dx 1
4 dy
y
f (x, y)dx
0
y
1
1
2 1
dy
2 y
f (x, y)
4
【分析】此类问题首先根据原累次积分确定积分域, 并画出积分域的草图，然后交换次序。 【解答】由原累次积分可知
1
Dy1 y x
y,0 y 4
11
1
Dy2 y x 2 , 4 y 2
0
0
【解答】选D。D为圆心在1,0 ，半径为1的圆域，
排除A,B.
D的边界 x2 y2 2 y 化为极坐标方程为 r 2sin
于是
0 D 0 r 2sin
原式 =

d
2sin f (r2 sin cos )rdr
0
0
C的面积元素缺少 r ，故选D。
由此积分区域如图所示，
y
1
D : x2 y x,0 x 1
x
2
2
1 4
因此
0
1
x
2
1
y
1
1
1
x
4 dy
0
y
f (x, y)dx
2 1
dy
2 f (x, y)dx
y
2 dx
0
f (x, y)dy
x2
4
• 解决交换次序题型问题的关键是根据已给出的积
分次序，来画出积分区域示意图，然后确定新的
多元积分例题
重积分
例1．(05，三) 设 I1 cos x2 y2 d
D
I2 cos(x2 y2 )d I3 cos(x2 y2)2 d
D
D
其中 D {(x, y) | x2 y2 1} ,则
A. I3 I2 I1 C. I2 I1 I3
• (06,一)设 f (x, y)为连续函数，则
等于

1
4 d f (r cos , r sin )rdr
0
0
2
1 x2
A.
2 0
dx x
f (x, y)dy.
2
1 y2
C. 2 dy
f (x, y)dx.
0
y
2
1 x2
B.
2 0
dx 0
f (x, y)dy.
1d
即 2I1
故
I1

I2


2
D
a b
于是,原式= aI1 bI2 2
例7．(03，三) 计算二重积分
I e(x2y2 ) sin(x2 y2 )dxdy
其中积分区域 DD {(x, y) | x2 y2 }
【解答】作极坐标变换：x r cos y r sin