北师大版九年级上《相似图形》教案

第三章 相似图形1．成比例线段一、目标导航1．了解两条线段的比的概念；※1. 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比AB :CD =m :n ，或写成nm B A =.2．若线段d c b a ::=，则线段d c b a ,,,叫做成比例线段(或比例线段)； 3．dcb a =与bc ad =在指定条件下可以互相转化，即比例式与等积式可以互相转化． 二、基础过关1．若2x －5y =0，则y ∶x =________，xyx +=________． 2．如果53=-b b a ，那么ba=________． 3．若a =2，b =3，c =33，则a 、b 、c 的第四比例项d 为________．4．若753z y x ==，则z y x z y x -++-=________． 5．在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm ，而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为________．三、能力提升6．若AEACAD AB =，且AB=12，AC=3，AD=5，则AE=________． 7．已知O 点是正方形ABCD 的两条对角线的交点，则AO ∶AB ∶AC=________．8．已知yx 23=，那么下列式子成立的是( )A ．3x =2yB ．xy =6C ．32=y x D ．32=x y 9．把ab =21cd 写成比例式，不正确的写法是( ) A ．bd ca 2=B ．b dc a =2 C ．bd c a =2 D ．da b c2=10．已知线段x ，y 满足(x +y )∶(x －y )=3∶1，那么x ∶y 等于( )A ．3∶1B ．2∶3C ．2∶1D ．3∶211．已知直角三角形的两条直角边长的比为a ∶b =1∶2，其斜边长为45cm ，那么这个三角形的面积是( )cm 2．A ．32B ．16C ．8D ．412．等腰梯形ABCD 的周长是104 cm ，AD ∥BC ，且AD ∶AB ∶BC=2∶3∶5，则这个梯形的中位线的长是( )cm ． A ．72．8B ．51C ．36．4D ．2813．已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例? (1)a =16 cm b =8 cm c =5 cm d =10 cm(2)a =8 cm b =5 cm c =6 cm d =10 cm四、聚沙成塔在△ABC 中，D 是BC 上一点，若AB=15 cm ，AC=10 cm ，且BD ∶DC=AB ∶AC ， BD －DC=2 cm ，求BC 的长．4．1线段的比(2)一、目标导航1．合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±； 2．等比性质：如果n m d c b a =⋅⋅⋅==(0≠+⋅⋅⋅++n d b )，那么ban d b m c a =++++++ ． 二、基础过关1．若d cb a ==3(b +d ≠0)，则db c a ++=________．2．已知,32===f e d c b a (b +f ≠ 0)，则f b ea ++=___________． 3．已知342=+x y x ，yx= ． 三、能力提升4．已知dcb a =，则下列式子中正确的是( ) A ．a ∶b =c 2∶d 2 B ．a ∶d =c ∶b C ．a ∶b =(a +c )∶(b +d ) D ．a ∶b =(a －d )∶(b －d ) 5．若ac = bd (0≠ac )，则下列各式一定成立的是( )A ．d c b a =B ．c c b d d a +=+C ．c dba =22D ．dacd ab = 6．已知0432≠==c b a ，则c ba +的值为( ) A ．54B ．45C ．2D ．21 7．若875cb a ==，且3a －2b +c =3，则2a +4b －3c 的值是( ) A ．14 B ．42 C ．7 D ．314 8．若572z y x ==，设A =z y x y ++，B =yzx +，C =x z y x -+，则A ，B ，C 的大小顺序为( ) A ．A ＞B ＞C B ．A ＜B ＜C C ．C ＞A ＞B D ．A ＜C ＜B9．若点P 在线段AB 上，点Q 在线段AB 的延长线上，AB=10，32AP AQ BPBQ==．求线段PQ 的长．10．已知：3a =5b =7c ．求：⑴b c b a ++的值； ⑵ca cb a +-+32的值．11．已知：x ∶y ∶z=2∶3∶4．求：⑴y y x 2+； ⑵z y x x 5323-+； ⑶zy x zy x --++2332．12．若65432+==+c b a ，且2a －b +3c =21．试求a ∶b ∶c ．四、聚沙成塔13．已知实数a ，b ，c 满足cba b a c a c b +=+=+，求a cb +的值．2．平行线分线段成比例(1)如图，任意画两条直线l1、l2，再画三条与l1、l2相交的平行线l3、l4、l5，分别量度l3、l4、l5在l1上截得的两条线段AB、BC和在l2上截得的两条线段DE、EF的长度，AB︰BC与DE︰EF相等吗? 任意平移l5，再量度AB、BC、DE、EF的长度，AB︰BC与DE︰EF相等吗?(2)问题，AB︰AC=DE︰( )，BC︰AC=( )︰DF．(3)归纳总结：平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的________线段的比________。

=_____=_____、例1 如图，若AB=3c m，BC=5c m，EK=4c m，写出EKKFAB_____=______。

求FK的长?AC平行线分线段成比例定理推论思考：1、如果把图中l1、l2两条直线相交，交点A刚好落到l3上，如图(1)，所得的对应线段的比会相等吗?2、如果把图中l1、l2两条直线相交，交点A刚好落到l4上，如图(2)，所得的对应线段的比会相等吗?3、归纳总结：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的________线段的比_____。

3．相似多边形图形的相似例1 如图，下面右边的四个图形中，与左边的图形相似的是( )例2 一张桌面的长a=1.25m，宽b=0.75m，那么长与宽的比是多少?(1)如果a=125c m，b=75c m，那么长与宽的比是多少?(2)如果a=1250mm，b=750mm，那么长与宽的比是多少?小结：上面分别采用m、c m、mm三种不同的长度单位，求得的ab的值是________的，所以说，两条线段的比与所采用的长度单位_________，但求比时两条线段的长度单位必须________．例3 已知：一张地图的比例尺是1：32000000，量得北京到上海的图上距离大约为3.5c m，求北京到上海的实际距离大约是多少km?分析：根据比例尺=图上距离实际距离，可求出北京到上海的实际距离．【巩固练习】1、如图，从放大镜里看到的三角尺和原来的三角尺相似吗?2．如图，图形a～f中，哪些是与图形(1)或(2)相似的?3、下列说法正确的是( )A．小明上幼儿园时的照片和初中毕业时的照片相似. B．商店新买来的一副三角板是相似的. C．所有的课本都是相似的. D．国旗的五角星都是相似的.【能力提升】1、如图，请测量出右图中两个形似的长方形的长和宽，(1)(小)长是_______c m ，宽是_______c m ； (大)长是_______c m ，宽是_______c m ； (2)(小)=长宽 ；(大)=长宽 ． (3)你由上述的计算，能得到什么结论吗?2、在比例尺是1：8000000的“中国政区”地图上，量得福州与上海之间的距离是7.5c m ，那么福州与上海之间的实际距离是多少?3、AB 两地的实际距离为2500m ，在一张平面图上的距离是5c m ，那么这张平面地图的比例尺是多少?相似多边形如图的左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形．问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等．【结论】：(1)相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______． 几何语言：在∆ABC 和∆A 1B 1C 1中若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．111111C A ACC B BC B A AB == 则∆ABC 和∆A 1B 1C 1相似(2)相似比：相似多边形__________的比称为相似比．问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系? 结论：相似比为1时，相似的两个图形________．例1 下列说法正确的是( )A ．所有的平行四边形都相似B ．所有的矩形都相似C ．所有的菱形都相似D ．所有的正方形都相似 例2、如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．【巩固练习】1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 c m ，求两地的实际距离．2．如图所示的两个直角三角形相似吗? 为什么?3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度．【能力提升】1． △ABC 与△DEF 相似，且相似比是32，则△DEF 与△ABC 与的相似比是( )． A ．32 B ．23 C ．52 D ．942． 下列所给的条件中，能确定相似的有( )(1)两个半径不相等的圆；(2)所有的正方形；(3)所有的等腰三角形；(4)所有的等边三角形；(5)所有的等腰梯形；(6)所有的正六边形． A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个3．已知四边形ABCD 和四边形A 1B 1C 1D 1相似，四边形ABCD 的最长边和最短边的长分别是10c m 和4c m ，如果四边形A 1B 1C 1D 1的最短边的长是6c m ，那么四边形A 1B 1C 1D 1中最长的边长是多少?4．如图，AB∥EF∥CD，CD=4，AB=9，若梯形CDEF与梯形EFAB相似，求EF的长．4．探索三角形相似的条件四. 相似三角形※1. 在相似多边形中，最为简简单的就是相似三角形.※2. 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.※3. 全等三角形是相似三角的特例，这时相似比等于1. 注意:证两个相似三角形，与证两个全等三角形一样，应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.※4. 相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.※5. 相似三角形周长的比等于相似比.※6. 相似三角形面积的比等于相似比的平方.五. 探索三角形相似的条件※1. 相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一边且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形与原三角形相似.①两角对应相等；②两边对应成比例，且夹角相等；③三边对应成比例. ①一个锐角对应相等；②两条边对应成比例:a. 两直角边对应成比例；b.斜边和一直角边对应成比例.相似三角形在相似多边形中，最简单的就是相似三角形． 在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′， ∠B=∠B′， ∠C=∠C′， 且AB BC CAk A B B C C A ===''''''． 我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比． 反之如果△ABC ∽△A′B′C′，则有∠A=_____， ∠B=_____， ∠C=____， 且A C CAC B BC B A AB ''=''=''． 问题：如果k =1，这两个三角形有怎样的关系?【巩固练习】如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4，AB=3，EC=1. 求AD 和BD.【能力提升】1．如图，△ABC ∽△AED ，其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式．2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．【反思归纳】● “三角形相似的预备定理”．这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似． ● 相似比是带有顺序性和对应性的：如△ABC ∽△A′B′C′的相似比k A C CAC B BC B A AB =''=''=''，那么△A′B′C′∽△ABC 的相似比就是kCA A C BC C B AB B A 1=''=''=''，它们的关系是互为倒数．思考：如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 分别交AB ，AC 于点D ，E 。