求动态规划最优解的一种简便新方法_图解法
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Ξ
李学全教授推荐 收稿日期: 2004 年 10 月 10 日
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数学ຫໍສະໝຸດ Baidu论与应用 第 25 卷
A 为起点, Z 为终点, 中间经过的站点分别为: B j ( j = 1, 2, ) , C j ( j = 1, 2, 3) , D j ( j = 1, 2) ,
2 最短路径问题
动态规划最短路径问题的一般提法是, 从 A 地 ( 起点) 到 Z 地 ( 终点) , 中间经过若干个站 点, 每个站点均有路径与其它站点相连接, 构成一个网状交通图, 两站点之间的各条路径长度 已知, 试求起点到终点的最短路径. 不失一般性, 为了讨论方便, 不妨设动态规划最短路径问题的交通图, 如图 1 所示 .
4
f k ( x ) =
∑x
i= 1
ij
( k = 1, 2, …, 6; j = 1, 2, …)
第三步 求最优解 ( 最短路径) 由于规划是求最短路径, 则最优解的目标函数应达最小, 设
4
m in{f k ( x ) k = 1, 2, …, 6} =
∑x
i= 1
tj j l1
( P t+ 1 +
∑C ) +
I i= 1 L
L
L 年更新, 可行解: X l = X
=
∑
i= 1
Qi -
(P 1 +
∑C ) +
i i= 1
rL ,
总利润: f L ( x ) = x L 1. ( 4) 求最优解 ( 最佳更新年限) 在全部可行解中, 总利润最大的为最优解. 设 m ax{f i ( x ) i = 1, 2, …, L } = X io , 则 X io = {x 0 . 最 ioj } ( j = 1, 2, …) 为最优解, 而 i 0 年为最佳更新年限, 即 i0 年为一个更新周期 大利润为 f io ( x ) =
0
ij k
0 0 0 0 0 0 0 则最优解为 X k 0 = ( x 0 1 j 1 , x z j 2 , x ij 3 , x ij 4 ) 而解变数 x ij 1 , x ij 2 , x ij 3 , x ij 4 对应的路段组成的路径, 即为规划的最短路径. 一般地, 设动态规划最短路径问题有 n 个阶段, 其树形图有 m 个可行路径, 规划对应有 m 个可行解 X k = ( x 1 j 1 , …x 2 , j 2 , …, x n j n ) ( k = 1, 2, …, m )
2
x 21 = x 22 = 总利润: f
2
∑
i= 1
Qi i
(P 1 + (P 3 +
∑C ) +
i i= 1
r2 r2 …
2
2
∑Q ( x ) = ∑x
i= 1 j
∑C ) +
i i= 1
2j
三年更新, 可行解: X 3 = {x 3 j j = 1, 2, …} 因更新周期为 3 年, 第 1, 4, 7, … 年购进, 每次购进使用三年, 故阶段利润:
1 离散型确定性动态规划问题图解法的步骤
第一步 由于动态规划问题都含有几个 “阶段” 和各阶段的交点, 而图解法是以阶段为 “枝 干” , 以阶段交点为 “节点” , 画出一个类同于运筹学决策论中的 “树形图” ; 第二步 树形图中, 从起点到终点, 每条相连接的杆枝” , 便是规划问题的一个可行解 ( 应 ) 用上叫可行方案 , 根据规划问题的性质和目标, 计算出每个可行解的目标函数数值; 第三步 按照规划要求目标函数达到最大或最小, 以求出最优解 ( 最优方案). 下面, 用动态规划中的 “最短路径问题” 和 “设备更新最佳年限问题” , 叙述这一图解法 .
第 25 卷第 1 期 2005 年 3 月
数学理论与应用
M A TH EM A T ICAL TH EO R Y AND A PPL ICA T I ON S
V o l . 25 N o. 1 M ar. 2005
求动态规划最优解的一种简便新方法——图解法
林志红
( 柳州职业技术学院, 柳州, 545005)
每个可行解对应的目标函数值为
n
f k ( x ) = 设最小目标函数
∑x
i= 1
ij
( k = 1, 2, …, m )
n
m in{f k ( x ) k = 1, 2, …, m } = f
k0
(x ) =
∑x
i= 1
0
ij
第 1 期 求动态规划最优解的一种简便新方法 —— 图解法
Ξ
摘 要 离散型确定性的动态规划问题, 是运筹学规划论中一个重要的组成部分, 其内容包含的问题比较多. 求其最优解的方法, 叫逆序法 ( 又叫回推法). 本文提出一种统一的解法——图解法. 其优点是: 方便简便, 计算 简单. 关键词 离散型 动态规划 图解法
Graph ica l m ethod: a new br ief m ethod to solve opti m a l solution of dynam ic programm ing
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0 0 0 0 0 0 则最优解 X k 0 = ( x 0 1 j 1 , x z j 2 , x n j n 中解变数 x 1 j 1 , x 2 j 2 , x z j 2 x n j n 对应的路段组成的路径, 即为规 划的最短路径.
3 设备更新最佳年限问题
众所周知, 无论任何设备 ( 车辆或设施) , 在每年的使用过程中, 一方面创造了经济价值, 取 得了收益, 另一面要进行维修. 使用年限越长, 年收益越小, 而维修费用则越高, 其残值 ( 折旧的 价值) 也越少. 因此, 使用到一定年限必须进行更新. 否则就会亏损 . 动 态规划设备更新问题的一般提法是: 设某设备 ( 车辆或设施) , 在 L 年内, 每年的购价为 P 1 , P 2 , …, P L , 使用中每年创造的收益分别为 Q 1 , Q 2 , …, Q L , 历年维修费用为 C 1 , C 2 , …, C L , 设 备残值为 r1 , r2 , …, rL , 求设备的最佳更新周期 ( 年限) , 使设备创造的总利润最大 . 为了叙述上的方便, 假设设备的购进时间均为年初, 用到年末为一年, 若更新替换, 时间均 在年末 ( 或第二年初). ( 1) 列动态规划设备更新问题表。 动态规划设备更新问题表如表 1 所示
∑x
0
ioj
参考文献
[ 1 ] 钱颂迪等 1 运筹学 ( 修订版) [M ] 1 北京: 清华大学出版社, 19901 [ 2 ] 汤炎焱 1 管理运筹学 [M ] 1 长沙: 湖南大学出版社, 19971 [ 3 ] 赵新泽 1 最佳管理数学方法 [M ] 1 成都: 西南交通大学出版社, 19881
更新年限为七年, 第 1, t + 1, 2 t + 1, …… 年购进, 每次购进使用七年, 故阶段利润:
t
x t1 = x t2 = 总利润: f
t
∑
i= 1 t i= 1
QiQi-
(P 1 +
∑C ) +
I i= 1 t
rt, r t…
∑ ( x ) = ∑x .
3 3
x 31 = x 32 = 总利润: f
3
∑
i= 1
Qi Qi 3j
(P 1 + (P 4 + .
∑C ) +
I i= 1
r3 r3 , …
3
3
∑ ( x ) = ∑x
i= 1 j t
∑C ) +
I i= 1
t 年更新一次, 可行解: X t = {x tj j = 1, 2, …}
L in Zh ihong
(L iu zhou co llege of job techno logy, L iu Zhou, 545005) Abstract discrete defin itive dynam ic p rogramm ing p rob lem is an i m po rtan t p a rt of op era tiona l resea rch. A un ited m ethod, grap h ica l m ethod, is discu ssed in th is p ap er Its ca lcu la tion is very si m p le and ea sy to be m a stered. Keywords discrete typ e dynam ic p rogramm ing grap h ica l m ethod
∑x
j
1j
.
两年更新, 可行解: X 2 = {x 2 j j = 1, 2, …} 因为更新周期是二年, 第 1, 3, 5, … 年购进, 每次使用 2 年 ( 若 L 为奇数, 最后一次购进, 只 用 1 年) , 故阶段利润
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2
数学理论与应用 第 25 卷
共 9 个站点, 四个阶段, 第 i 阶段中第 j 条路线段的距离用 X ij ( i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, …) 表示 . 从 A 至 Z 的最短路径为最优解, 试用图解法, 求其最优解 . ( ) 第一步 画图 树形图 以 A 为起点, B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , C 3 , D 1 , D 2 为节点, Z 为终点, 各相连的线段为相连的枝杆 . 从起点 A 到终点 Z , 共有 6 条可行路径: A B 1C 1D 1 Z , A B 1C 2D 1 Z , …, A B 2C 3D 2 Z , 因此, 规划 共有 6 个对应的可行解: X 1 = ( x 11 , x 21 , x 31 , x 41 ) , X 2 = ( x 11 , x 22 , x 32 , x 41 ) …, X 6 = ( x 12 , x 24 , x 34 , x 42 ) 第二步 求每个可行解的目标函数值 该规划的最优解是要求总长度最短的路径, 因此, 各条可行路径的总长度, 是其对应的可 行解的目标函数值. 设规划的目标函数为 f ( x ) , 则 6 个可行解, X k ( k = 1, 2, …, 6) , 对应的 6 个 目标函数值为 f k ( x ) ( k = 1, 2, 3, …, 6). 即
表 1 设备更新规划问题表 年 限 第1年 第2年 第3年 … 第L 年 历年收益
Q1 Q2 Q3
历年购价
P1 P2 P3
每提维修费
C1 C2 C3
设备残值
r1 r2 r3
…
QL
…
PL
…
CL
…
rL
( 2) 画设备更新规划问题树形图 虽然, 在 L 年内, 共有: 可能 1 年更新, 2 年更新, …, L 年更新等 L 种可能, 以此为树杆, 使 用中, 每一个使用周期 ( 年限) 为一个阶段, 又为树枝, 可画树形图 . 这种规划在L 年内, 因为有L 个可能的更新周期, 故有L 个可行方案, 对应有L 个可行解 . ( 3) 计算每个可行解的阶段利润和总利润
用 X 表示阶段利润, 用 f ( x ) 表示总利润, 则: X = Q - ( P + C ) + r, f ( x ) = ∑x 设第 i 个可行解 X i ( i = 1, 2, …, L ) 第 j 阶段 ( j = 1, 2, …, k ≤ L ) 的阶段利润 x ij 总利润 为 f i ( x ) ( i = 1, 2, …, L ) , 易知 一年更新, 可行解: X 1 = {x ij j = 1, 2, …, L } 因为更新周期是一年, L 年内购L 次, 每次使用 1 年, 历年购价不同, 而收益、 维修费和残值 分别均是 Q 1 , C 1 , r1 , 故各阶段利润为: x 11 = Q - ( P 1 + C 1 ) + r1 , x 12 = Q - ( P 2 + C 1 ) + r1 … x 1L = Q - ( P L + C 1 ) + r1 总利润: f 1 ( x ) =
李学全教授推荐 收稿日期: 2004 年 10 月 10 日
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数学ຫໍສະໝຸດ Baidu论与应用 第 25 卷
A 为起点, Z 为终点, 中间经过的站点分别为: B j ( j = 1, 2, ) , C j ( j = 1, 2, 3) , D j ( j = 1, 2) ,
2 最短路径问题
动态规划最短路径问题的一般提法是, 从 A 地 ( 起点) 到 Z 地 ( 终点) , 中间经过若干个站 点, 每个站点均有路径与其它站点相连接, 构成一个网状交通图, 两站点之间的各条路径长度 已知, 试求起点到终点的最短路径. 不失一般性, 为了讨论方便, 不妨设动态规划最短路径问题的交通图, 如图 1 所示 .
4
f k ( x ) =
∑x
i= 1
ij
( k = 1, 2, …, 6; j = 1, 2, …)
第三步 求最优解 ( 最短路径) 由于规划是求最短路径, 则最优解的目标函数应达最小, 设
4
m in{f k ( x ) k = 1, 2, …, 6} =
∑x
i= 1
tj j l1
( P t+ 1 +
∑C ) +
I i= 1 L
L
L 年更新, 可行解: X l = X
=
∑
i= 1
Qi -
(P 1 +
∑C ) +
i i= 1
rL ,
总利润: f L ( x ) = x L 1. ( 4) 求最优解 ( 最佳更新年限) 在全部可行解中, 总利润最大的为最优解. 设 m ax{f i ( x ) i = 1, 2, …, L } = X io , 则 X io = {x 0 . 最 ioj } ( j = 1, 2, …) 为最优解, 而 i 0 年为最佳更新年限, 即 i0 年为一个更新周期 大利润为 f io ( x ) =
0
ij k
0 0 0 0 0 0 0 则最优解为 X k 0 = ( x 0 1 j 1 , x z j 2 , x ij 3 , x ij 4 ) 而解变数 x ij 1 , x ij 2 , x ij 3 , x ij 4 对应的路段组成的路径, 即为规划的最短路径. 一般地, 设动态规划最短路径问题有 n 个阶段, 其树形图有 m 个可行路径, 规划对应有 m 个可行解 X k = ( x 1 j 1 , …x 2 , j 2 , …, x n j n ) ( k = 1, 2, …, m )
2
x 21 = x 22 = 总利润: f
2
∑
i= 1
Qi i
(P 1 + (P 3 +
∑C ) +
i i= 1
r2 r2 …
2
2
∑Q ( x ) = ∑x
i= 1 j
∑C ) +
i i= 1
2j
三年更新, 可行解: X 3 = {x 3 j j = 1, 2, …} 因更新周期为 3 年, 第 1, 4, 7, … 年购进, 每次购进使用三年, 故阶段利润:
1 离散型确定性动态规划问题图解法的步骤
第一步 由于动态规划问题都含有几个 “阶段” 和各阶段的交点, 而图解法是以阶段为 “枝 干” , 以阶段交点为 “节点” , 画出一个类同于运筹学决策论中的 “树形图” ; 第二步 树形图中, 从起点到终点, 每条相连接的杆枝” , 便是规划问题的一个可行解 ( 应 ) 用上叫可行方案 , 根据规划问题的性质和目标, 计算出每个可行解的目标函数数值; 第三步 按照规划要求目标函数达到最大或最小, 以求出最优解 ( 最优方案). 下面, 用动态规划中的 “最短路径问题” 和 “设备更新最佳年限问题” , 叙述这一图解法 .
第 25 卷第 1 期 2005 年 3 月
数学理论与应用
M A TH EM A T ICAL TH EO R Y AND A PPL ICA T I ON S
V o l . 25 N o. 1 M ar. 2005
求动态规划最优解的一种简便新方法——图解法
林志红
( 柳州职业技术学院, 柳州, 545005)
每个可行解对应的目标函数值为
n
f k ( x ) = 设最小目标函数
∑x
i= 1
ij
( k = 1, 2, …, m )
n
m in{f k ( x ) k = 1, 2, …, m } = f
k0
(x ) =
∑x
i= 1
0
ij
第 1 期 求动态规划最优解的一种简便新方法 —— 图解法
Ξ
摘 要 离散型确定性的动态规划问题, 是运筹学规划论中一个重要的组成部分, 其内容包含的问题比较多. 求其最优解的方法, 叫逆序法 ( 又叫回推法). 本文提出一种统一的解法——图解法. 其优点是: 方便简便, 计算 简单. 关键词 离散型 动态规划 图解法
Graph ica l m ethod: a new br ief m ethod to solve opti m a l solution of dynam ic programm ing
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0 0 0 0 0 0 则最优解 X k 0 = ( x 0 1 j 1 , x z j 2 , x n j n 中解变数 x 1 j 1 , x 2 j 2 , x z j 2 x n j n 对应的路段组成的路径, 即为规 划的最短路径.
3 设备更新最佳年限问题
众所周知, 无论任何设备 ( 车辆或设施) , 在每年的使用过程中, 一方面创造了经济价值, 取 得了收益, 另一面要进行维修. 使用年限越长, 年收益越小, 而维修费用则越高, 其残值 ( 折旧的 价值) 也越少. 因此, 使用到一定年限必须进行更新. 否则就会亏损 . 动 态规划设备更新问题的一般提法是: 设某设备 ( 车辆或设施) , 在 L 年内, 每年的购价为 P 1 , P 2 , …, P L , 使用中每年创造的收益分别为 Q 1 , Q 2 , …, Q L , 历年维修费用为 C 1 , C 2 , …, C L , 设 备残值为 r1 , r2 , …, rL , 求设备的最佳更新周期 ( 年限) , 使设备创造的总利润最大 . 为了叙述上的方便, 假设设备的购进时间均为年初, 用到年末为一年, 若更新替换, 时间均 在年末 ( 或第二年初). ( 1) 列动态规划设备更新问题表。 动态规划设备更新问题表如表 1 所示
∑x
0
ioj
参考文献
[ 1 ] 钱颂迪等 1 运筹学 ( 修订版) [M ] 1 北京: 清华大学出版社, 19901 [ 2 ] 汤炎焱 1 管理运筹学 [M ] 1 长沙: 湖南大学出版社, 19971 [ 3 ] 赵新泽 1 最佳管理数学方法 [M ] 1 成都: 西南交通大学出版社, 19881
更新年限为七年, 第 1, t + 1, 2 t + 1, …… 年购进, 每次购进使用七年, 故阶段利润:
t
x t1 = x t2 = 总利润: f
t
∑
i= 1 t i= 1
QiQi-
(P 1 +
∑C ) +
I i= 1 t
rt, r t…
∑ ( x ) = ∑x .
3 3
x 31 = x 32 = 总利润: f
3
∑
i= 1
Qi Qi 3j
(P 1 + (P 4 + .
∑C ) +
I i= 1
r3 r3 , …
3
3
∑ ( x ) = ∑x
i= 1 j t
∑C ) +
I i= 1
t 年更新一次, 可行解: X t = {x tj j = 1, 2, …}
L in Zh ihong
(L iu zhou co llege of job techno logy, L iu Zhou, 545005) Abstract discrete defin itive dynam ic p rogramm ing p rob lem is an i m po rtan t p a rt of op era tiona l resea rch. A un ited m ethod, grap h ica l m ethod, is discu ssed in th is p ap er Its ca lcu la tion is very si m p le and ea sy to be m a stered. Keywords discrete typ e dynam ic p rogramm ing grap h ica l m ethod
∑x
j
1j
.
两年更新, 可行解: X 2 = {x 2 j j = 1, 2, …} 因为更新周期是二年, 第 1, 3, 5, … 年购进, 每次使用 2 年 ( 若 L 为奇数, 最后一次购进, 只 用 1 年) , 故阶段利润
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数学理论与应用 第 25 卷
共 9 个站点, 四个阶段, 第 i 阶段中第 j 条路线段的距离用 X ij ( i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, …) 表示 . 从 A 至 Z 的最短路径为最优解, 试用图解法, 求其最优解 . ( ) 第一步 画图 树形图 以 A 为起点, B 1 , B 2 , C 1 , C 2 , C 3 , D 1 , D 2 为节点, Z 为终点, 各相连的线段为相连的枝杆 . 从起点 A 到终点 Z , 共有 6 条可行路径: A B 1C 1D 1 Z , A B 1C 2D 1 Z , …, A B 2C 3D 2 Z , 因此, 规划 共有 6 个对应的可行解: X 1 = ( x 11 , x 21 , x 31 , x 41 ) , X 2 = ( x 11 , x 22 , x 32 , x 41 ) …, X 6 = ( x 12 , x 24 , x 34 , x 42 ) 第二步 求每个可行解的目标函数值 该规划的最优解是要求总长度最短的路径, 因此, 各条可行路径的总长度, 是其对应的可 行解的目标函数值. 设规划的目标函数为 f ( x ) , 则 6 个可行解, X k ( k = 1, 2, …, 6) , 对应的 6 个 目标函数值为 f k ( x ) ( k = 1, 2, 3, …, 6). 即
表 1 设备更新规划问题表 年 限 第1年 第2年 第3年 … 第L 年 历年收益
Q1 Q2 Q3
历年购价
P1 P2 P3
每提维修费
C1 C2 C3
设备残值
r1 r2 r3
…
QL
…
PL
…
CL
…
rL
( 2) 画设备更新规划问题树形图 虽然, 在 L 年内, 共有: 可能 1 年更新, 2 年更新, …, L 年更新等 L 种可能, 以此为树杆, 使 用中, 每一个使用周期 ( 年限) 为一个阶段, 又为树枝, 可画树形图 . 这种规划在L 年内, 因为有L 个可能的更新周期, 故有L 个可行方案, 对应有L 个可行解 . ( 3) 计算每个可行解的阶段利润和总利润
用 X 表示阶段利润, 用 f ( x ) 表示总利润, 则: X = Q - ( P + C ) + r, f ( x ) = ∑x 设第 i 个可行解 X i ( i = 1, 2, …, L ) 第 j 阶段 ( j = 1, 2, …, k ≤ L ) 的阶段利润 x ij 总利润 为 f i ( x ) ( i = 1, 2, …, L ) , 易知 一年更新, 可行解: X 1 = {x ij j = 1, 2, …, L } 因为更新周期是一年, L 年内购L 次, 每次使用 1 年, 历年购价不同, 而收益、 维修费和残值 分别均是 Q 1 , C 1 , r1 , 故各阶段利润为: x 11 = Q - ( P 1 + C 1 ) + r1 , x 12 = Q - ( P 2 + C 1 ) + r1 … x 1L = Q - ( P L + C 1 ) + r1 总利润: f 1 ( x ) =