奇数和偶数相关练习

2、奇数和偶数

知识点：

1.奇数和偶数

整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k+1（k为整数）表示。特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。

2.奇数与偶数的运算性质

性质1：偶数±偶数=偶数，奇数±奇数=偶数。

性质2：偶数±奇数=奇数。

性质3：偶数个奇数相加得偶数。

性质4：奇数个奇数相加得奇数。

性质5：偶数×奇数=偶数，奇数×奇数=奇数。

利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题。

1、1+2+3+…+1993的和是奇数？还是偶数？

2、一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？

3、元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？

4、已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7。求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。

5、任意改变某一个三位数的各位数字的顺序得到一个新数.试证新数与原数之和不能等于999。

6、桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。

7、假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。

8、在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝。求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。

9、某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。

10、某学校一年级一班共有25名同学，教室座位恰好排成5行，每行5个座位.把每一个座位的前、后、左、右的座位叫做原座位的邻位.问：让这25个学生都离开原座位坐到原座位的邻位，是否可行？

11、在中国象棋盘任意取定的一个位置上放置着一颗棋子“马”，按中国象棋的走法，当棋盘上没有其他棋子时，这只“马”跳了若干步后回到原处，问：“马”所跳的步数是奇数还是偶数？

12、线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不重叠的线段）.试证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。

13、有100个自然数，它们的和是偶数.在这100个自然数中，奇数的个数比偶数的个数多.问：这些数中至多有多少个偶数？

14、有一串数，最前面的四个数依次是1、9、8、7.从第五个数起，每一个数都是它前面相邻四个数之和的个位数字.问：在这一串数中，会依次出现1、9、8、8这四个数吗？

15、求证：四个连续奇数的和一定是8的倍数。

16、把任意6个整数分别填入右图中的6个小方格内，试说明一定有一个矩形，它的四个角上四个小方格中的四个数之和为偶数。

17、如果两个人通一次电话，每人都记通话一次，在24小时以内，全世界通话次数是奇数的那些人的总数为____。

（A）必为奇数，（B）必为偶数，（C）可能是奇数，也可能是偶数。

18、一次宴会上，客人们相互握手.问握手次数是奇数的那些人的总人数是奇数还是偶数。

19、有12张卡片，其中有3张上面写着1，有3张上面写着3，有3张上面写着5，有3张上面写着7。你能否从中选出五张，使它们上面的数字和为20？为什么？

20、有10只杯子全部口朝下放在盘子里.你能否每次翻动4只杯子，经过若干次翻动后将杯子全部翻成口朝上？

21、电影厅每排有19个座位，共23排，要求每一观众都仅和它邻近（即前、后、左、右）一人交换位置.问：这种交换方法是否可行？

第7讲奇偶性（一）

整数按照能不能被2整除，可以分为两类：

（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如

0， 2， 4， 6， 8， 10， 12， 14， 16，…

（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如

1，3，5，7，9，11，13，15，17，…

整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n 为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。

每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。奇偶数有如下一些重要性质：

（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。

（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。任意多个偶数的和（或差）是偶数。

（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。

（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。奇数肯定不能被偶数整除。

（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。

因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；

因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。

（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。

（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。

整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。

例1下式的和是奇数还是偶数？

1+2+3+4+…+1997+1998。

分析与解：本题当然可以先求出算式的和，再来判断这个和的奇偶性。但如果能不计算，直接分析判断出和的奇偶性，那么解法将更加简洁。根据奇偶数的性质（2），和的奇偶性只与加数中奇数的个数有关，与加数中的偶数无关。1～1998中共有999个奇数，999是奇数，奇数个奇数之和是奇数。所以，本题要求的和是奇数。

例2 能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？

1□2□3□4□5□6□7□8□9=66。