出版社资源配置的数学模型

出版社的资源配置问题

摘要

本文综合考虑出版社的人力、生产等资源,以利润最大化为目标,合理配置书号,使出版的教材取得最好的经济效益。

书号是生产图书的前提条件，在书号有限的情况下，应合理规划书号的分配，使出版社达到最大的经济效益。本文分两步对出版社的资源进行配置，第一步，综合考虑消费者满意程度,市场占有率和销售额增长率三个因素,确定该出版社各分社的强势度,并按照强势度给各分社分配书号；第二步，根据利益最大化原则，将书号分配给具体的课程。

针对步骤一，首先对各学科的市场占有率、满意度和销售额增长率进行统计分析，利用线性拟合的方法，建立预测模型，估计出2006年的具体情况，然后以市场占有率，消费者满意度和销售额增长率为指标，利用主成分分析法求得各指标权重，并建立强势度评价模型，确定英语类和数学类为强势学科根据增加强势学科支持力度原则进行书号分配。

针对步骤二，以销售额最大为目函数，以有限的人力资源、书号分配原则为约束条件，建立整数规划模型，利用Lingo软件进行求解，得出各课程的分配方案。

最后，本文对模型进行了评价，提出了改进方案：引入WBS（工作分解结构）理念，首先画出层次结构图，然后通过对出版社资源配置的2个子项目——增大强势学科支持力度、提高销售额的分析，建立了多目标规划模型，并利用分层序列法进行求解。

关键词: 主成分分析；强势度；整数规划；WBS理念；分层序列法

1. 问题重述

本题是对出版社的资源进行配置。出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本和利润。

某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。

资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。

本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。

2．问题分析

每一个图书的出版需要书号，因此书号的合理配置是出版社利润最大化的前提。出版社出版图书，从内部角度来看，存在着人力资源和生产资源有限的情况，从外部角度来看，存在市场占有率的不同，销售增长率不同和顾客满意度差异等情况。

首先本文要对 2001-2005年问卷调查数据进行统计分析，筛选出有用数据，并通过线性拟合的方法预测2006年的相关数据；在各分社的书号分配问题上，根据出版社资源分配的增加强势产品支持力度的原则，综合考虑市场占有率、满意度等方面，计划引入强势度的概念。然后，拟采用主成分分析法求取权重，计算各学科的强势度，并确定强势学科。本文尝试以强势学科书号尽量多为目标，以有限的书号为约束条件，建立整数规划模型，最终求得各学科所得书号。

在各分社书号已求得的基础上，本文欲以销售额最大为目标函数，以有限的

人力资源、书号分配原则为约束条件，建立整数规划模型，利用Lingo软件进行求解，得出各课程的分配方案。

3．模型的假设

1．由题意知成本占售价的比例基本保持不变,销售额和利润成线形正相关,因此本题我们用销售额最大化代表利润最大化；

2. 假设分社之间人力资源不相互流通,保证分社间工作的独立性,因此各分社策划,编辑和校对人员基本稳定；

3. 假设强势产品由市场占有率,销售量增长情况,消费者满意度三个因素决定；4．假定同一课程不同书目价格差别不大，即均用课程均价表示，彼此销售量相近。同时该出版社在定价时保持对所有教材利润率同一，在此原则上制定教材单价；

5. 假设调查的情况基本符合市场的情况，不存在信息不完全造成的偏差较大，严重不符合实际需求的情况。

4．符号说明

5. 模型建立与求解

5.1数据的预处理

5.1.1市场占有率的统计分析

表1 各类科目的市场占有率

说明：

从表1中可以看出，在9个学科的市场占有率中，环境类、地理地质类的市场占有率高4，英语类、计算机类的市场占有率较低。

5.1.2销售额增长率的统计分析

本文根据2001年-2005年各类学科图书的实际销售量和单价计算出各年的销售额。

表2 2001-2005各年的实际销售额

然后计算销售额增长率，如下表：

表3 销售额增长率

表格说明：

从表3中可以得到每年各类学科的销售额增长率,从而对题目中附表二进行了简化。

5.2预测模型的建立与求解

5.2.1市场占有率预测模型的建立与求解

由表格可以看出，这九类学科的增长率都保持一种上升的趋势，因此我们用线性拟合法来对2006年的数据进行估计，得出2006年的市场占有率如表4：

表4 2006年各科目市场占有率预测值

表格说明：

表2中是利用线性拟合对2006年的市场占有率进行的预计，可见环境类、地理地质类市场占有率较高，英语类较低。

5.2.2销售额增长率预测模型求解

表5 预测2006年各科目图书的销售额增长率

5.2.3强势度模型的建立与求解

表6 数据的汇总

5.3.1对原始数据进行标准化处理

假设进行主成分分析的指标变量有m 个：1x ，2x ···m x ，共有n 个评价对象，第i 个评价对象的第j 个指标的取值为ij x 。将各指标值ij x 转换成标准化指标~

ij x

~

(1,2...)j

i ij j

x x x i m s -

-=

= (1)

1

1n

j ij i x x n -

==∑ (2)

2

1

1(),(1,2 (1)

j j ij i s x x j m n -==-=-∑ (3)

即j x -

，j s 为第j 个指标的样本均值和样本标准差，标准化指标变量如下式：

,(1,2...)i

i i i

x x x i m s -

-

-=

= (4) 5.3.2计算相关系数矩阵

()ij m m R r ⨯= (5)

~

~

1

,(,1,2...,)1

n

ki

kj

k ij x

x r i j m n ==

=-∑ (6) 式中1ii r =，ij ji r r =ij ji r r =，ij r 是第i 个指标与第j 个指标的相关系数。

5.3.3计算特征值和特征向量

计算相关系数矩阵R 的特征值12...0m λλλ≥≥≥≥，及对应的特征向量1u ，

2u ，···m u ，其中12(,,...,)T j j j mj u u u u =，由特征向量组成m 个新的指标变量