大学物理 麦克斯韦分子速率分布定律
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N dN Nf ( )d 7N N 3 ( 0 )d 0 27
13
6
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~
0
3
0 3 0 0 3 0
dN
dN
0 3 0
6 2 N 3 ( 0 )d 3 0 v0 7 N 27 14
1/ 2
e 1
p 当分子的Mmol 一定时 T f ( p ) 73Ｋ 273Ｋ f() Mmol相同
1273Ｋ
9
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
e
1
8 M mol π RT
2
f ( )d
0
0
0
6 2 ( 0 )d 3 0
0
0 2
3 0 10
2
方均速率
f ( )d
2 2 0
0 3 0
0
6 3 ( 0 )d 3 0
0 3 0
(3)速率介于0~0/3之间的分子数
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率 的计算是 2
~
1
2
f ( )d f ( )d
1 2 1
而非
~ f ( )d
1 2
2
1
14
作业题
设有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
.
Av 30 v f v 0
vp
的概念
下面哪种表述正确？
（A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. p （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
v v v
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
11
例:
设有N个气体分子，其速率分布函数为 A ( 0 ) 0 0 f ( ) 0 0 求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根； (3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3 之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件
0
0
0
f ( )d 1
0
0
A 3 A ( 0 )d 0 1 6
6 A 3 0
12
(2)最概然速率 df ( ) A( 0 2 ) v 0 p d v p 平均速率
p
0
4
2
3kT m
3 RT RT 1.73 M mol M mol
讨论分布函数的特征用p 讨论分子的平均平动动能用 讨论分子碰撞问题时用
8
2
四、麦克斯韦速率分布曲线的性质
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
8 M mol e 1 π RT
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率 （3）N个粒子的平均速率 v
15
2. f ( ) 的性质
0
dN N
dN Nf ( )d
0
Nf ( )d N
0
f ( )d 1
分布函数的归一化条件
3
二.麦克斯韦速率分布规律
1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平 衡态(T)下，分子速率分布函数为： m — 气体 m 3/2 mkT 2 f ( ) 4 ( ) e 2 分子的质量 2 kT
只与有关
0
dN f ( ) Nd
N 1 dN f ( ) lim 0 N N d
~ +△
dN f ( ) Nd
分子的速率分布函数
f()d
0
~ +d
2
1.速率分布函数的物理意义 表示分布在速率附近单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比 对于一个分子来说，f () 就是分子处于速率附 近单位速率区间的概率，也称为概率密度。
1/ 2
e 1
当气体温度T一定时,不同分子 p M mol Mmol1 <Mmol2 <Mmol3 f ( p )
Mmol3
f(v) Mmol2 T相同, Mmol1<Mmol2<Mmol3 Mmol1
v
10
讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率
f ( )d
0
将麦氏速率分布函数式代入得
8kT 8 RT RT 1.60 m M mol M mol
7
3.方均根速率
2 f ( )d
2 0
m 3/ 2 4 ( ) e 0 2kT
2
mv 2 2 kT
3kT d m
p
2kT m
0
2 RT RT 1.41 M mol M mol
6
2.平均速率 分立：平均速率 i Ni
N
连续： i , △ Ni dN=Nf ()d , ∑→∫
N
0
dN
N
N
0
dN f ( ) d 0 N
t D
D
D l Βιβλιοθήκη Baidu 2
5
D 2 l 2
三.分子速率的三个统计值
1.最概然速率p 速率分布函数 f() 极大值对应的速率p称为最 概然速率 f()
d f ( ) d
T，m 一定
P
0
p
在单位速率区间内,处在 最概然速率 p 附近的分子数 占总分子数的百分比最大。
2
麦克斯韦速率分布律
dN m 3/2 f ( )d 4 ( ) e N 2 kT
m 2 2 kT
f()
2 d
T，m 一定
麦氏速率分布曲线
+d
4
测定分子速率分布的实验装置
真空室
B
S
G P
P
A
分子源
圆筒
G是弯曲玻璃板，沉积射到它上面的各种速率的分子。 圆筒不转动时，分子束中的分子都射在G板的P处。 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置.
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。 只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
一. 速率分布函数
0 ℃ 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 m/s
1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7
1.4 8.1 16.5 21.4 20.6 15.1 9.2
7~8
4.8
8~9
2.0
9以上
0.9
%
•把速率分成若干相等区间 ～+ △ •在平衡态下，气体分布在各区间内的分子数△N
1
•各区间的分子数△N占气体分子总数N的百分比
N N
其值与及△有关
ΔN NΔ
消除△的影响后
N N
13
6
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~
0
3
0 3 0 0 3 0
dN
dN
0 3 0
6 2 N 3 ( 0 )d 3 0 v0 7 N 27 14
1/ 2
e 1
p 当分子的Mmol 一定时 T f ( p ) 73Ｋ 273Ｋ f() Mmol相同
1273Ｋ
9
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
e
1
8 M mol π RT
2
f ( )d
0
0
0
6 2 ( 0 )d 3 0
0
0 2
3 0 10
2
方均速率
f ( )d
2 2 0
0 3 0
0
6 3 ( 0 )d 3 0
0 3 0
(3)速率介于0~0/3之间的分子数
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率 的计算是 2
~
1
2
f ( )d f ( )d
1 2 1
而非
~ f ( )d
1 2
2
1
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作业题
设有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
.
Av 30 v f v 0
vp
的概念
下面哪种表述正确？
（A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. p （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
v v v
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
11
例:
设有N个气体分子，其速率分布函数为 A ( 0 ) 0 0 f ( ) 0 0 求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根； (3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3 之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件
0
0
0
f ( )d 1
0
0
A 3 A ( 0 )d 0 1 6
6 A 3 0
12
(2)最概然速率 df ( ) A( 0 2 ) v 0 p d v p 平均速率
p
0
4
2
3kT m
3 RT RT 1.73 M mol M mol
讨论分布函数的特征用p 讨论分子的平均平动动能用 讨论分子碰撞问题时用
8
2
四、麦克斯韦速率分布曲线的性质
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
8 M mol e 1 π RT
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率 （3）N个粒子的平均速率 v
15
2. f ( ) 的性质
0
dN N
dN Nf ( )d
0
Nf ( )d N
0
f ( )d 1
分布函数的归一化条件
3
二.麦克斯韦速率分布规律
1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平 衡态(T)下，分子速率分布函数为： m — 气体 m 3/2 mkT 2 f ( ) 4 ( ) e 2 分子的质量 2 kT
只与有关
0
dN f ( ) Nd
N 1 dN f ( ) lim 0 N N d
~ +△
dN f ( ) Nd
分子的速率分布函数
f()d
0
~ +d
2
1.速率分布函数的物理意义 表示分布在速率附近单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比 对于一个分子来说，f () 就是分子处于速率附 近单位速率区间的概率，也称为概率密度。
1/ 2
e 1
当气体温度T一定时,不同分子 p M mol Mmol1 <Mmol2 <Mmol3 f ( p )
Mmol3
f(v) Mmol2 T相同, Mmol1<Mmol2<Mmol3 Mmol1
v
10
讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率
f ( )d
0
将麦氏速率分布函数式代入得
8kT 8 RT RT 1.60 m M mol M mol
7
3.方均根速率
2 f ( )d
2 0
m 3/ 2 4 ( ) e 0 2kT
2
mv 2 2 kT
3kT d m
p
2kT m
0
2 RT RT 1.41 M mol M mol
6
2.平均速率 分立：平均速率 i Ni
N
连续： i , △ Ni dN=Nf ()d , ∑→∫
N
0
dN
N
N
0
dN f ( ) d 0 N
t D
D
D l Βιβλιοθήκη Baidu 2
5
D 2 l 2
三.分子速率的三个统计值
1.最概然速率p 速率分布函数 f() 极大值对应的速率p称为最 概然速率 f()
d f ( ) d
T，m 一定
P
0
p
在单位速率区间内,处在 最概然速率 p 附近的分子数 占总分子数的百分比最大。
2
麦克斯韦速率分布律
dN m 3/2 f ( )d 4 ( ) e N 2 kT
m 2 2 kT
f()
2 d
T，m 一定
麦氏速率分布曲线
+d
4
测定分子速率分布的实验装置
真空室
B
S
G P
P
A
分子源
圆筒
G是弯曲玻璃板，沉积射到它上面的各种速率的分子。 圆筒不转动时，分子束中的分子都射在G板的P处。 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置.
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。 只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
一. 速率分布函数
0 ℃ 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 m/s
1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7
1.4 8.1 16.5 21.4 20.6 15.1 9.2
7~8
4.8
8~9
2.0
9以上
0.9
%
•把速率分成若干相等区间 ～+ △ •在平衡态下，气体分布在各区间内的分子数△N
1
•各区间的分子数△N占气体分子总数N的百分比
N N
其值与及△有关
ΔN NΔ
消除△的影响后
N N