大学物理 麦克斯韦分子速率分布定律
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大学物理第十二章气体动理论第6节 麦克斯韦气体分子速率分布律
解
m(H 2 ) m(O2 ) v p ( H 2 ) v p (O 2 )
vp (H2 ) 2 000m.s-1
2kT vp m
o
2 000
v/ ms
1
vp ( H 2 )
m( O 2 ) 32 4 v p (O 2 ) m( H 2 ) 2
vp (O2 ) 500m.s
f ( v)
dS
dN f ( v)dv dS N
v
第十二章 气体动理论
o
v v dv
概率密度
3
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律
f (v)dv物理意义
表示在温度为 T 的平衡状态下，速 率在 v 附近单位速率区间 的分子数占总 数的百分比 .
f (v)dv 的物理意义：
表示速率在 v v dv 区间的分 子数占总分子数的百分比.
第十二章 气体动理论
4
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
dN Nf ( v)dv 速率在 v v dv 内分子数： 速率位于 v1 v2区间的分子数： v2 N v N f (v)dv 1 速率位于 v1 v2 区间的分 f ( v)
-1
第十二章 气体动理论
17
f (v )
vp v v
2
第十二章 气体动理论
vp v 2 v
v
15
物理学
第五版
12-6 麦克斯韦气体分子速率分布律 麦克斯韦气体分子速率分布律 12-6
讨论 1 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函 数 f ( v) . 求 （1） 速率在 vp ~ v 间的分子 数；（2）速率在 vp ~ 间所有分子动能 之和 . 解 （ 1）
6.5 麦氏速率分布率
14 首 页 上 页 下 页退 出
2、质量与分子速率
温度下相同时，分子的质量越大， 温度下相同时，分子的质量越大，分布 曲线中的最概然速率v 就越小。 曲线中的最概然速率 p 就越小。 但归一化条件要求曲线下总面积不变， 但归一化条件要求曲线下总面积不变， 因此分布曲线宽度减小，高度升高。 因此分布曲线宽度减小，高度升高。
0 −100 (m/ s), 100 − 200(m/ s) , 200 − 300(m/ s)L L
1 首 页 上 页 下 页退 出
2)求气体在平衡态下分布在各速率区间内的分子数 2)求气体在平衡态下分布在各速率区间内的分子数 ∆N 3)各区间内的分子数占气体分子总数的百分比 3)各区间内的分子数占气体分子总数的百分比 4)各区间内每单位速率区间的分子数占 4)各区间内每单位速率区间的分子数占 气体分子总数的百分比。 气体分子总数的百分比。 描述速率分布的方法如下： 描述速率分布的方法如下： 1）根据实验数据列表——分布表（例见课本P209表6.1） 根据实验数据列表——分布表（例见课本P209表6.1） ——分布表 P209 2）根据分布表作出曲线——分布曲线 根据分布表作出曲线 分布曲线 3）由分布曲线找出函数关系——分布函数 由分布曲线找出函数关系——分布函数 ——
v2 ∆N = ∫ f (v) dv v1 N
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dN dN ⋅ dv = Ndv N
f (v)
f (v)的最大值
分子速率出现 在v-v+dv 区 间内的概率
f (vp )
v1 v2 v p
v2 ∆N = ∫ f (v)dv v1 N
v v+ dv
分子出现在v 分子出现在 1-v2 区 间内的概率
7-6麦克斯韦气体分子速率分布定律剖析.
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布率
物理学教程 （第二版）
f (v)
S
o
v1 v2
dN f (v)dv dS N 速率位于v v dv 内分子数
v
dN Nf (v)dv
速率位于
v1
v2
区间的分子数
N
v2
v1
N
f
(v)dv
速率位于 v1 v2 区间的分子数占总数的百分比
第七章 气体动理论
f (v) dN Ndv
f (v)
o
v
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布率
物理学教程 （第二版）
二 三种统计速率
1）最概然速率 v p
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f (v)
f max
o
vp
v
M mNA , R NA k
vp
2kT 1.41 kT
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
第七章 气体动理论
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布率
物理学教程 （第二版）
例 计算在 27 C 时，氢气和氧气分子的方均
根速率 vrms .
解 MH 0.002kg mol1
MO 0.032kg mol1
8kT
0
πm
o
v
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
第七章 气体动理论
7 – 6 麦克斯韦气体分子速率分布率
物理学教程 （第二版）
大学物理麦克斯韦分子速率分布定律资料
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比 率最大.
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
14
作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
15
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
11
例: 设有N个气体分子，其速率分布函数为
f
(
)
A
(0 0
)
0 0 0
求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根；
(3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3
之间的气体分子的平均速率。
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图
2 1300
N
dN
0
3 Nf ( )d
0
0 3
0
N
6
3 0
(0
)d
7N 27
13
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~0 3
0
3 dN
0 0
0 3
0
N
6 v03
2
(
0
)d
30
7N 27
14
3 dN 0
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率
的计算是
2f ( )d
1~2
1
2 f ( )d
1
而非
1 ~2
2f ( )d
1
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作业题
设. 有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
f
v
Av 30 v
0
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率
（3）N个粒子的平均速率 v
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§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。
只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
麦克斯韦气体速率分布律推导
麦克斯韦气体速率分布律推导麦克斯韦-玻尔兹曼速率分布律描述了理想气体中分子速度的统计分布。
以下是该分布律的推导过程。
首先，考虑一个由大量相同分子组成的理想气体，这些分子在容器中随机、无序地运动。
由于分子间的碰撞非常频繁，我们可以假定每个分子的运动是相互独立的。
我们的目标是求出分子速率的分布函数。
1. 假设分子的运动是三维的随机运动，并且分子间无相互作用力。
2. 假设分子的运动是各向同性的，即在任何方向上运动的概率都是相等的。
3. 假设分子的运动是稳定的，即分子的速率分布不随时间改变。
4. 引入分子速度的微分元素d³v，表示速度在v到v+dv之间的分子数。
5. 引入微元体积元素dV和微元时间元素dt。
接下来，我们将使用微元分析法来推导速率分布律。
对于一个具有速率v的分子，在时间dt内，它将沿着速度方向移动的距离为v·dt。
因此，它所扫过的体积元素为dV = v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv·dt，其中θ是速度方向与某一选定方向（通常是x轴）的夹角。
现在，考虑在dt时间内所有具有速率v的分子所扫过的体积总和，即所有可能的方向θ的贡献。
由于θ的取值范围是0到π，我们可以将上述体积元素乘以角度元素dθ（从0到π）并积分，以得到总的体积元素dV_total：dV_total = ∫(v²·cos²(θ)·sin(θ)·dv)·dθ·dt由于cos²(θ)·sin(θ)是关于θ的偶函数，而在0到π的范围内积分，它的积分结果为零。
为了解决这个问题，我们需要考虑在速度方向上的微小位移。
在速度方向上的微小位移为v·cos(θ)·dt，因此，在dt时间内，具有速率v的分子在速度方向上的微小体积元素为dV_v = v·cos(θ)·dv·dt。
大学物理,气体动理论14-06 麦克斯韦气体分子速率分布律
i ~ i 1
N i
N i N
5
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
气体分子按速率分布的统计规律最早是由麦克 斯韦于1859年在概率论的基础上导出的，1877年玻 耳兹曼由经典统计力学导出。 由于技术条件的限制，测定气体分子速率分布 的实验，直到20世纪二十年代才实现。 1920年斯特 恩首先测出银蒸汽分子的速率分布；1934年我国物 理学家葛正权测出铋蒸汽分子的速率分布；1955年 密勒和库士测出钍蒸汽分子的速率分布。 斯特恩实验是历史上最早验证麦克斯韦速率分 布律的实验。实验证实了麦克斯韦的分子按速率分 布的统计规律。
14.6 麦克斯韦速率分布律
一 测定气体分子速率分布的实验
第14章 气体动理论
实验装置
接抽气泵
2
l v
Hg
金属蒸汽 狭 缝
v l
显 示 屏
8
l
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
9
14.6 麦克斯韦速率分布律
测量原理
第14章 气体动理论
(1) 能通过细槽到达检测 器的分子所满足的条件 L v L v (2) 通过改变角速度ω的 大小，选择速率 v
28
14.6 麦克斯韦速率分布律
第14章 气体动理论
求：速率在 v1 ~ v2 之间的分子的平均速率。
(3) 通过细槽的宽度，选择不同的速率区间 L v v 2
(4) 沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比 相应速率下的分子数。
10
14.6 麦克斯韦速率分布律
速率区间 (m/s) 实验数据 氧分子在 273K时的 速率分布
11.4-11.6 麦克斯韦速率分布规律 麦克斯韦-波尔兹曼分布律、分子平均碰撞次数和平均自由程
1）
v
vp
Nf
(v)dv
2）
vp
1 2
mv 2
Nf
(v)dv
例 如图示两条 f (v) ~ v 曲线分别表示氢气和
氧气在同一温度下的麦克斯韦速率分布曲线， 从图
上数据求出氢气和氧气的最可几速率 .
f (v) O2
H2
vp
2RT M mol
M mol (H2 ) M mol (O2 )
469.1m / s
由公式
v2 3RT M mol
v2
38.31 300 29 103
507.1m
/
s
例 已知分子数 N ，分子质量 m ，分布函数
f (v) 求 1） 速率在vp ~ v 间的分子数； 2）速率
在 vp ~ 间所有分子动能之和 .
解：速率在v v dv 间的分子数 dN Nf (v)dv
N
dN
0
dN
f ()d
N
0N 0
8kT 8RT 1.60 RT
m
M mol
M mol
3
2dN
0
2
f
(
)d
N
0
或由w 1 m2 3 kT
2
2
可得 2 3kT
v1~v2
v2 f ()d
v1
v2 f ()d
v1
v v1~v2
v2 vf (v)dv
v1
对于v的某个函数g(v)，一般地，其平均值可以表示为
7-(4-5)麦克斯韦速率分布
(1) 不同温度下的同种气体
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
f (v)
T 1
T2 > T 1
T2
v
T > T2 , orT < T2 ? 1 1
vp1 = 2RT 1
vp1 vp2
2RT2
µ
vp2 =
µ
vp1 < vp2
T < T2 1
第六章 气体动理学理论 (2) 同温度下的不同种气体
f (v)
O2 , H2 ?
1
2RT
2
v
vp1 vp2
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 出现在v附近 单位速率区间内的分子数dN 附近、 出现在 附近、单位速率区间内的分子数
说出下列各式的物理意义
第六章 气体动理学理论
(4)∫ f (v)dv= ∫
v1
v2
v2
v1
∆Nv1 →v2 dN dv = Ndv N
对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下，气体分子速率 占总分子数N的百分比 概率 概率)。 v1～v2区间内的分子数△N占总分子数 的百分比 (概率 。 占总分子数
(5)∫ Nf (v)dv = ∫
v1
v2
dN N = ∆Nv1→v2 N
对于一定量的气体，在温度为T的平衡态下 的平衡态下， 对于一定量的气体，在温度为 的平衡态下，气体分子速率 v1～v2区间内的分子数△N。 。
一、分子速率分布函数
速率分布： 速率分布：各种不同速率范围内的分子数占总分子数的 百分比为多大。 百分比为多大。
伽 耳 顿 板
第六章 气体动理学理论
麦克斯韦分子速率分布定律的推导
麦克斯韦分子速率分布定律的推导麦克斯韦分子速率分布定律是分子运动理论中一个重要的概念，它用来描述分子或微粒在一定条件下的速率分布情况。
它表明，当以相同速率出射分子时，在不同瞬间可以得到不同的分子速度，而这些分子速度是具有特定分布函数的随机变化，这个分布函数就是麦克斯韦分子速率分布函数。
一般来说，微粒的运动属于无序性运动。
在实验中，出射的分子速度的分布状况不容易分析，只能藉助于实验结果推断出微粒速度的分布规律。
而麦克斯韦分子速率分布定律是1859年俄国物理学家麦克斯韦（Maxwell）推导出来的一个概念，他结合热力学原理和拉格朗日机械统计原理，以蒙特卡洛方法推导出了质点和分子在不同温度下的速率分布情况，结果发现分子速度都符合高斯分布，即可以用一个正态分布概率密度函数来对分子速度进行分析，而这就是麦克斯韦分子速率分布定律。
f(v) = 4πa^3v^2exp(-a^2v^2)其中f(v)是速度为v的粒子数，a是系统的温度模式，用a^3来表示。
其定义概括地表示出温室质点和分子在温度T下的速度分布情况。
而推导时最重要的一个步骤就是综合考虑热力学和机械统计原理，通过这两个原理，可以使得统计模型的概率守恒，即有能量的分配都是满足守恒定律的，从而可得到正态分布，即f(v)为高斯分布函数，最后积分得到麦克斯韦分子速率分布定律。
总的来说，麦克斯韦分子速率分布定律可以较为完整地描述出温室质点或分子在某一温度下的运动规律，统计是一种相对稳定的状态。
它在应用到能量或物质传输等实际场合中有重要作用，比如应用到气体流体动力学中。
历史上，麦克斯韦分子速率分布定律有很多改进版本，比如上面函数中的指数可以做出改变，也可以对新的分子进行同样的推导，从而求出其对应的概率分布函数。
因此，麦克斯韦分子速率分布定律仍然是理解物理世界中的质点运动、热力学和机械统计的重要工具，是实验物理学的理论基础。
气体分子运动学
6下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线可能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？vf (v )O vf (v )O vf (v )Ovf (v )OA.B.D.C.#1a0801034b√大学物理-气体分子运动论真空度:气体稀薄程度•粗真空•低真空•高真空•超高真空•极高真空Pa35103331~100131⨯⋅⨯⋅Pa13103331~103331-⨯⋅⨯⋅Pa61103331~103331--⨯⋅⨯⋅Pa106103331~103331--⨯⋅⨯⋅Pa10103331-⨯⋅<●1标准大气压：(1atm)≈1.013×105Pa(帕)●1Torr≈1mmHg≈133PaP<10-4mmHg时，λ大于一般容器线度(~1m)（26一定质量的气体,在容积不变的条件下,当压强增大时：A.平均碰撞次数和分子平均自由程都不变B.平均碰撞次数变大和分子平均自由程不变C.平均碰撞次数变大和分子平均自由程变小D.平均碰撞次数和分子平均自由程都变大E.无法确定#1a0801014b√大学物理-气体分子运动论29一定质量的气体, 在恒压条件下,当温度升高时：A.平均碰撞次数增大，分子平均自由程减小B.平均碰撞次数减少，分子平均自由程增大C.平均碰撞次数增大，分子平均自由程不变D.平均碰撞次数和分子平均自由程都增大E.平均碰撞次数和分子平均自由程都减少F.以上均不正确#1a0801038c练习√大学物理-气体分子运动论课堂练习31sr 0r合力斥力引力df分子力曲线d —分子有效直径r 0—平衡距离（~10-10m ，~d ）s —有效作用距离（10-9m ，~10d ）-电磁力真实气体分子间的相互作用力分子的热运动-动能物质的状态分子间的相互作用-势能相（Phase)相变(Phase transition)固、液、气在一定温度和压强下所形成的具有某种稳定结构的粒子凝聚态为物态，即：相。
大学物理(12.5.1)--Maxwell气体分子速率分布率
2．平均速率（mean speed）
1）定义：大量气体分子速率的算术平均值叫做平均速率，用 v 表示。
v＝
N i vi Ni
=
N i vi N
2）计算：如取 dN 代表气体分子在 v→v+dv 间隔内的分子数，则平均速
率可由积分计算
v
=
vdN
N
由速率分布函数可得
dN = Nf (v)dv
=
4
m 2kT
3
/
2
e
mv 2 2 kT
v
2
dv
这个结论称为麦克斯韦速率分布律。式中 m 是分子的质量；T 是热力学温度；k
是玻耳兹曼常量。
而 f (v) 为
f
(v)
=
4
m 2kT
3 / 2
mv 2
e 2kT
v2
——速率分布函数
f(v)的物理意义：f(v)表示气体处于平衡态时，气体分子在速率 v 附近单位速率
因而平均速率为
v
=
vdN
N
＝
vNf (v)dv N
=
vf
(v)dv
考虑到
f
(v)
=
4
m 2kT
3 / 2
mv 2
e 2kT
v2
和积分公式 ex2 x3dx = 1/(2 2 ) 0
得平均速率为
v=
8kT m
用摩尔质量表示，有
v=
8RT M
＝1.60
RT M
+
e
m 2 kT
v2
�2v
大学物理第 12 章 第 3 次课 -- 能均分定理 内能 麦克斯韦分布
§12.5
能量均分定理 理想气体内能
一、分子的平均总动能
1. 分子的运动的形式 物体的运动形式有平动、转动和振动. 气体分子的运动也可以有平动、转动和振动. 视具体情况而定. 2. 单原子分子的平均动能 单原子分子的理想气体, 分子可以看成质点, 分子只有平动. 因此单原子分子只有平动动能.
kt m 2 kT
2kT 2 RT m M
(8)
10 /14
上海师范大学
§12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律 2. 平均速率 根据平均值的数学定义, 平均速率为
dN 1 dN1 2 dN 2 n dN n 0 N N m 2 f ( ) Nd m 3 / 2 2 2 kT 0 ) e d f ( )d 4 ( 0 0 N 2kT m 2 m 3/ 2 4 ( ) 3e 2 kT d 0 2kT
(iii) 刚性双原子分子的总平均动能为
kt kr
1 1 1 1 1 2 2 2 2 mCx mCy mCz Jy J z2 2 2 2 2 2 上海师范大学
(6)
2 /14
§12.5
能量均分定理 理想气体内能
非刚性双原子分子
4. 非刚性双原子分子的平均动能 对于非刚性双原子分子, 两原子间的距离随时间变化. 因此, 非刚性双原子分子除了平动和转动外, 还有振动. 如右图所示, 双原子分子好像被一根弹簧相连.
(2) 太阳的内能
3 41 E N N kT 1.1916 10 57 1.5 1.38 10 23 1.159 10 7 2.8610 ( J ) 2
上海师范大学
7 /14
§12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律 理想气体分子的方均根速率
能量均分定理 理想气体内能
一、分子的平均总动能
1. 分子的运动的形式 物体的运动形式有平动、转动和振动. 气体分子的运动也可以有平动、转动和振动. 视具体情况而定. 2. 单原子分子的平均动能 单原子分子的理想气体, 分子可以看成质点, 分子只有平动. 因此单原子分子只有平动动能.
kt m 2 kT
2kT 2 RT m M
(8)
10 /14
上海师范大学
§12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律 2. 平均速率 根据平均值的数学定义, 平均速率为
dN 1 dN1 2 dN 2 n dN n 0 N N m 2 f ( ) Nd m 3 / 2 2 2 kT 0 ) e d f ( )d 4 ( 0 0 N 2kT m 2 m 3/ 2 4 ( ) 3e 2 kT d 0 2kT
(iii) 刚性双原子分子的总平均动能为
kt kr
1 1 1 1 1 2 2 2 2 mCx mCy mCz Jy J z2 2 2 2 2 2 上海师范大学
(6)
2 /14
§12.5
能量均分定理 理想气体内能
非刚性双原子分子
4. 非刚性双原子分子的平均动能 对于非刚性双原子分子, 两原子间的距离随时间变化. 因此, 非刚性双原子分子除了平动和转动外, 还有振动. 如右图所示, 双原子分子好像被一根弹簧相连.
(2) 太阳的内能
3 41 E N N kT 1.1916 10 57 1.5 1.38 10 23 1.159 10 7 2.8610 ( J ) 2
上海师范大学
7 /14
§12.6 麦克斯韦气体分子速率分布律 理想气体分子的方均根速率
大学物理第二十二讲 麦克斯韦、玻尔兹曼分布
v vf v dv
0
v v 2 f v dv
2 0
9
v vf v dv
0
0
m 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v 3dv
8kT 8RT RT v 1.60 m M M
3.方均根速率 v 2 ●分子速率平方的平均值的平方根
T2 T1
v
6
6.曲线随分子量的变化关系
m 2 f v 4 e 2 kT
3
mv 2 2 kT
v
2
☆分子质量越大，曲线峰值越向左，峰值也越高； 反之，质量越小，曲线峰值越向右，峰值也越低。 ☆分子质量越小，曲线越平坦。
f (v )
O2
He
mO2 mHe
f (v )
2 a 5v0
a 0
(v0 v 3v0 ) (v 3v0 )
a
o
2. v vf (v )dv
0
v0
3 v0
v
v0
o
3v0 2 2v 26 v ( 2 )dv vdv v0 v0 5v 5v0 15 0
3. N
2.5v0
1.5v0
Nf (v )dv
o
vP
v
5
5.曲线随温度的变化关系
m f v 4 e 2 kT
2
3
mv 2 2 kT
v
2
☆温度升高，曲线右移。即 T 增大时速率大的分子 增多，速率小的分子减少。 ☆因曲线下的总面积恒等于1，故此时曲线变得较为 平坦。
麦克斯韦速率分布定律
(4) 平均速率和方均根速率.
f ( )
解：（1）求 C :
C (0 ) (0 0 ) 0 ( 0 )
0
f ( )d 1 C
6
3 0
（2） N 0 ~ 0 / 4 N
0 / 4
0
5 f ( ) d N 32
0 df ( ) （3）最可几速率 0 p d p 2
6.5 麦克斯韦速率分布定律
气体中个别分子的速度大小和方向完全是偶然的 , 但 平衡态下，气体分子的速度分布遵从一定的统计规律 — — 麦克斯韦速度分布定律. 若不考虑分子速度的方向， 这个规律就成为麦克斯韦速率分布定律.
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出. 1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
f (v )
av ， (0 v v 0 ) 0 ， (v v 0 )
2
f (v )
v0 v 求： （1）常量 a 和υ0 的关系 0 （2）平均速率 v v0 （3）速率在 0 之间分子的平均速率 v 2
解： （1）由归一化条件
0
2 0
0
f ( )d 1
3 得 a 3 v0
f ( v)
T1 300K T2 1200K
f ( v)
第十二章气体动理论_大学物理
2π kT
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均
为 1 kT 。这样的能量分配原则称为能量按自由度均分定理 2
说明
(1) 能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，是分子 间的频繁碰撞而致。
(2) 若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度， s 个振动自由度， 则每个气体分子的平均总动能为
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布Байду номын сангаас整个速
§12.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
·分布的概念 例如学生人数按年龄的分布
年龄
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
15 ~16 2000 20%
式中μ为分子质量，T 为气体热力学温度， k 为玻耳兹曼常量
k = 1.38×10-23 J / K
理想气体在平衡态下，气体中分子速率在v～v+ dv 区间
内的分子数与总分子数的比率为
dN f (v )dv 4π ( )3/ 2v 2ev2 / 2kT dv
N
2π kT
这一规律称为麦克斯韦速率分布定律
在温度为T 的平衡状态下，分子的每个自由度的平均动能均
为 1 kT 。这样的能量分配原则称为能量按自由度均分定理 2
说明
(1) 能量按自由度均分是大量分子统计平均的结果，是分子 间的频繁碰撞而致。
(2) 若某种气体分子具有t 个平动自由度和r 个转动自由度， s 个振动自由度， 则每个气体分子的平均总动能为
f(v) T
·在dv 间隔内, 曲线下 的面积表示速率分布
O
vv·1 v·＋vd2v
v
在v～v+ dv 中的分子
( 速率分布曲线 )
数与总分子数的比率
f (v)dv dN N
·在v1~v2 区间内,曲线下的面积表示速率分布在v1~v2 之间
的分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
·曲线下面的总面积， 等于分布Байду номын сангаас整个速
§12.5 麦克斯韦速率分布定律
一. 分布的概念
·问题的提出 气体系统是由大量分子组成， 而各分子的速率通过碰撞 不断地改变， 不可能逐个加以描述, 只能给出分子数按 速率的分布。
·分布的概念 例如学生人数按年龄的分布
年龄
人数按年龄 的分布
人数比率按 年龄的分布
15 ~16 2000 20%
6-3 气体分子速率分布率和平均自由程
100~200
200~300 300~400
0.081
0.165 0.214
400~500
500~600 600~700
0.206
0.151 0.092
700~800
800~900 900以上
0.048
0.021 0.009
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
N 1 由此数据为依据，以v N v 为横轴，以单位速率间隔 21.4% 内的分子数在总分子数内 所占的百分比为纵轴，作 16.5% 如图所示的锯齿形图。注 8.0% 意在速率间隔∆ν内实际包 200 400 括由v到v+∆ν内的所有速率 的分子。
f (v)
平 均 速 率
O
v
v
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
方均根速率：
气体分子速率平方的平均值的平方根。
v
2
N
0
v dN N
2
0
m e v f (v) 4p 2pkT
3 dN 2 2 mv 2 f (v )dv 2 2 kT RT 3kT 3 RT v N m 1.73
dN f (v )dv N
或
dN f (v ) Ndv
分子速率分布函数
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
速率分布函数
dN f (v ) Ndv
a、物理意义： 速率在v 附近的单位速率区间的 分子数占总分子的百分比。 b、应用: 确定分布在任一有限速率分布范围v1～v2 内的分子数占总分子数的百分比。
mv2 2 kT v 2 e
第三节
气体分子速率分布律和能量分布律
大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]
![大学物理课件---麦氏速率分布律-[福州大学...李培官]](https://img.taocdn.com/s3/m/39f1ea5a77232f60ddcca1a6.png)
不 同 气 体, 相 同 温 度: v 2 O2 610m / s
2 v1
3 2
m2
m2
v
2 2
1 m1 4
v p1 v p 2 2000 m / sv
同理 : v p1 500m / s
20
【例2】 有N个粒子，其速率分布函数为
c(常数） dN f (v ) Ndv 0
12
3）速率在v1 ~ v2区间内的分子数占总分子数的百分比 ：（v1→v2 区间内曲线下的面积） v2 N f (v ) d v f (v ) v1 N
N N
S
o
4）总面积：
归一化条件：
麦克斯韦速率分布曲线
v1 v 2
v
N
0
d Nv N
0
f v d v 1
13
讨 论
9
【科学家葛正权简介】
１９２１年毕业于南京高 等师范工科， １９２９ 年自费赴美留学， 在南加洲大学攻读物理， 1 9 3 0年获硕士学位后， 入旧金山柏克莱加洲大学 研究院攻读博士学位，研 究课题是： 用分子束方法证明 麦克斯韦－－波尔兹曼 分子速率分布定律实验”
10
。
１９３３年完成重要学术论文
Nf (v ) d v
—不对！ 上式分母上的N应为
v0 2 0
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 ( ) 3 2
3 v0 v 8
23
【例4】. 若某种气体在温度T1=300K时的方均根速 率等于温度为T2时的平均速率，求T2=？ 解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和 平均速率分别为
2 v1
3 2
m2
m2
v
2 2
1 m1 4
v p1 v p 2 2000 m / sv
同理 : v p1 500m / s
20
【例2】 有N个粒子，其速率分布函数为
c(常数） dN f (v ) Ndv 0
12
3）速率在v1 ~ v2区间内的分子数占总分子数的百分比 ：（v1→v2 区间内曲线下的面积） v2 N f (v ) d v f (v ) v1 N
N N
S
o
4）总面积：
归一化条件：
麦克斯韦速率分布曲线
v1 v 2
v
N
0
d Nv N
0
f v d v 1
13
讨 论
9
【科学家葛正权简介】
１９２１年毕业于南京高 等师范工科， １９２９ 年自费赴美留学， 在南加洲大学攻读物理， 1 9 3 0年获硕士学位后， 入旧金山柏克莱加洲大学 研究院攻读博士学位，研 究课题是： 用分子束方法证明 麦克斯韦－－波尔兹曼 分子速率分布定律实验”
10
。
１９３３年完成重要学术论文
Nf (v ) d v
—不对！ 上式分母上的N应为
v0 2 0
v
v0 2 v 0 v0 2 0
f (v ) d v f (v ) d v
a v0 4 ( ) 4 2 a v0 3 ( ) 3 2
3 v0 v 8
23
【例4】. 若某种气体在温度T1=300K时的方均根速 率等于温度为T2时的平均速率，求T2=？ 解：常温下气体可看作理想气体，而方均根速率和 平均速率分别为
麦克斯韦速率分布定律
1859年, 麦克斯韦用概率论导出了气体分子速率分布 定律，后由玻尔兹曼使用经典统计力学理论导出.
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
1920年史特恩用分子束实验, 获得分子有着确定的速 度分布的信息, 但未能给出定量的结果. 1934年我国留学 生葛正权在伯克利首次获得此定律的精确实验验证. 此 成功经报界报道, 当时闻名欧美, 在很大程度上改变了外 国人眼中“中国留学生只会读书不能动手, 我们不欢迎” 的形象, 对当时欧美中国留学生有极大的影响和鼓舞.
氧气分子在 0ºC 时的分子速率分布
(m / s)
100以下
N / N (%)
1.4
100－200
8.1
200－300
16.5
300－400
21.4
400－500
20.6
500－600
15.1
600－700
9.2
700－800
4.8
800－900
2.0
二．气体分子速率分布 N /(Nv)
p (O2 ) 500 m/s
例4. 设某气体的速率分布函数为
f (v )
av 2，(0 v v0 )
0 ， (v v 0 )
f (v )
求：（1）常量 a 和υ0 的关系 0 v0
v
（2）平均速率 v
（3）速率在 0 v 0 之间分子的平均速率v
2
解：（1）由归一化条件
N
0 / 4 0
f ()d
5N 32
（3）最可几速率
df () d p
0p
0
2
（4）
f
( )d
0
0
2
rms
2
[
大学物理学11.6 麦克斯韦分子速率分布律(2)-三种统计速率
o
v
v 1 .60 kT 1 .60 RT
m
M
3）方均根速率 v 2
f (v)
N v2dN v2Nf (v)dv
v2 0
0
N
N
o
v
v2 3kT
m
vp v v2
vrms
v2
3kT m
3RT M
v 1.60 kT 1.60 RT
m
M
vp
2kT m
大学物理
第11章 气体动理论
§11.3 麦克斯韦速率分布律(2)
三种统计速率
主讲教师：郭进教授
三、 三种统计速率
1）最概然速率 vp
df (v) 0 dv vvp
根据分布函数求得
f (v)
f max
o vp v
M mNA ,R NA k
vp
2kT 1.41 kT
m
m
vp 1.41
2RT M
vp
2kT m
v 8kT
πm
v2 3kT
m
f (v)
T1 300K T2 1200K
o vp1 vp2
v
N2 分子在不同温 度下的速率分布
f (v)
O2 H2
o vp0 vpH
v
同一温度下不同 气体的速率分布
都与 成正比， 与 （或 ）成反比 f(v)
v
讨论
麦克斯韦速率分布中最概然速率 vp 的概念
f(vp2) f(vp3)
Mmol2 Mmol1
vp
v
(2)最可几速率由
决定，即
平均速率 方均速率 方均根速率为
麦克斯韦速率分布定律ΔN
f(v) T1
T2(> T1)
f(v) μ2(> μ1) μ1
O
v p1 v p2
vO
v p2 v p1
v
例 氦气的速率分布曲线如图所示。
求 (1) 试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况； (2) 氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率。
解 (2) v p
2RT M
RT 2 103
1、速率分布函数 f(v)
设某系统处于平衡态下， 总分子数为 N ，则在v～v+ dv 区
间内分子数的比率为
dN N
f
(v ) dv
f (v) dN Ndv
f(v)
称为速率分布函数
分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总分子数比率
讨论 分子束中的速率分布和容器中的是否相同？
2、 麦克斯韦速率分布定律 理想气体在平衡态下，分子速率分布函数
df (v ) 0 dv vvp
vp
2kT μ
2RT 1.41 RT
M
M
2. 平均速率
v
v
dN N
1 N
0 v Nf (v
)dv
v
v f (v )dv
8kT 1.60
RT
0
π
M
3. 方均根速率
v 2
v
2
f
(v
)dv
3kT
0
μ
说明
v 2 3kT 1.73 RT
分子数与总分子数的比率
v2 f (v)dv N
v1
N
(7)曲线下面的总面积, 等
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p
2kT m
0
2 RT RT 1.41 M mol M mol
6
2.平均速率 分立：平均速率 i Ni
N
连续： i , △ Ni dN=Nf ()d , ∑→∫
N
0
dN
N
N
0
dN f ( ) d 0 N
1/ 2
e 1
当气体温度T一定时,不同分子 p M mol Mmol1 <Mmol2 <Mmol3 f ( p )
Mmol3
f(v) Mmol2 T相同, Mmol1<Mmol2<Mmol3 Mmol1
v
10
讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率
vp
的概念
下面哪种表述正确？
（A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. p （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
v v v
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
11
例:
设有N个气体分子，其速率分布函数为 A ( 0 ) 0 0 f ( ) 0 0 求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根； (3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3 之间的气体分子的平均速率。
4
2
3kT m
3 RT RT 1.73 M mol M mol
讨论分布函数的特征用p 讨论分子的平均平动动能用 讨论分子碰撞问题时用
8
2
四、麦克斯韦速率分布曲线的性质
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
8 M mol e 1 π RT
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率 （3）N个粒子的平均速率 v
15
1.4 8.1 16.5 21.4 20.6 15.1 9.2
7~8
4.8
8~9
2.0
9以上
0.9
%
•把速率分成若干相等区间 ～+ △ •在平衡态下，气体分布在各区间内的分子数△N
1
•各区间的分子数△N占气体分子总数N的百分比
N N
其值与及△有关
ΔN NΔ
消除△的影响后
N N
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。 只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
一. 速率分布函数
0 ℃ 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 m/s
1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件
0
0Leabharlann 0f ( )d 1
0
0
A 3 A ( 0 )d 0 1 6
6 A 3 0
12
(2)最概然速率 df ( ) A( 0 2 ) v 0 p d v p 平均速率
p
0
t D
D
D l 2
5
D 2 l 2
三.分子速率的三个统计值
1.最概然速率p 速率分布函数 f() 极大值对应的速率p称为最 概然速率 f()
d f ( ) d
T，m 一定
P
0
p
在单位速率区间内,处在 最概然速率 p 附近的分子数 占总分子数的百分比最大。
2
麦克斯韦速率分布律
dN m 3/2 f ( )d 4 ( ) e N 2 kT
m 2 2 kT
f()
2 d
T，m 一定
麦氏速率分布曲线
+d
4
测定分子速率分布的实验装置
真空室
B
S
G P
P
A
分子源
圆筒
G是弯曲玻璃板，沉积射到它上面的各种速率的分子。 圆筒不转动时，分子束中的分子都射在G板的P处。 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置.
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率 的计算是 2
~
1
2
f ( )d f ( )d
1 2 1
而非
~ f ( )d
1 2
2
1
14
作业题
设有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
.
Av 30 v f v 0
1/ 2
e 1
p 当分子的Mmol 一定时 T f ( p ) 73Ｋ 273Ｋ f() Mmol相同
1273Ｋ
9
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
e
1
8 M mol π RT
f ( )d
0
将麦氏速率分布函数式代入得
8kT 8 RT RT 1.60 m M mol M mol
7
3.方均根速率
2 f ( )d
2 0
m 3/ 2 4 ( ) e 0 2kT
2
mv 2 2 kT
3kT d m
N dN Nf ( )d 7N N 3 ( 0 )d 0 27
13
6
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~
0
3
0 3 0 0 3 0
dN
dN
0 3 0
6 2 N 3 ( 0 )d 3 0 v0 7 N 27 14
2. f ( ) 的性质
0
dN N
dN Nf ( )d
0
Nf ( )d N
0
f ( )d 1
分布函数的归一化条件
3
二.麦克斯韦速率分布规律
1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平 衡态(T)下，分子速率分布函数为： m — 气体 m 3/2 mkT 2 f ( ) 4 ( ) e 2 分子的质量 2 kT
2
f ( )d
0
0
0
6 2 ( 0 )d 3 0
0
0 2
3 0 10
2
方均速率
f ( )d
2 2 0
0 3 0
0
6 3 ( 0 )d 3 0
0 3 0
(3)速率介于0~0/3之间的分子数
只与有关
0
dN f ( ) Nd
N 1 dN f ( ) lim 0 N N d
~ +△
dN f ( ) Nd
分子的速率分布函数
f()d
0
~ +d
2
1.速率分布函数的物理意义 表示分布在速率附近单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比 对于一个分子来说，f () 就是分子处于速率附 近单位速率区间的概率，也称为概率密度。
2kT m
0
2 RT RT 1.41 M mol M mol
6
2.平均速率 分立：平均速率 i Ni
N
连续： i , △ Ni dN=Nf ()d , ∑→∫
N
0
dN
N
N
0
dN f ( ) d 0 N
1/ 2
e 1
当气体温度T一定时,不同分子 p M mol Mmol1 <Mmol2 <Mmol3 f ( p )
Mmol3
f(v) Mmol2 T相同, Mmol1<Mmol2<Mmol3 Mmol1
v
10
讨论 麦克斯韦速率分布中最概然速率
vp
的概念
下面哪种表述正确？
（A） p 是气体分子中大部分分子所具有的速率. （B） 是速率最大的速度值. p （C） p 是麦克斯韦速率分布函数的最大值.
v v v
（D） 速率大小与最概然速率相近的气体分子的比
率最大.
11
例:
设有N个气体分子，其速率分布函数为 A ( 0 ) 0 0 f ( ) 0 0 求: (1)常数A；(2)最概然速率，平均速率和方均根； (3)速率介于0~0/3之间的分子数；(4)速率介于0~ 0/3 之间的气体分子的平均速率。
4
2
3kT m
3 RT RT 1.73 M mol M mol
讨论分布函数的特征用p 讨论分子的平均平动动能用 讨论分子碰撞问题时用
8
2
四、麦克斯韦速率分布曲线的性质
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
8 M mol e 1 π RT
v 30 v 30
求: （1）归一化常数A的值；（2）最概然速率 （3）N个粒子的平均速率 v
15
1.4 8.1 16.5 21.4 20.6 15.1 9.2
7~8
4.8
8~9
2.0
9以上
0.9
%
•把速率分成若干相等区间 ～+ △ •在平衡态下，气体分布在各区间内的分子数△N
1
•各区间的分子数△N占气体分子总数N的百分比
N N
其值与及△有关
ΔN NΔ
消除△的影响后
N N
§3.4 麦克斯韦分子速率分布定律
任何一个分子，速度大小和方向都是偶然的， 不可预知。但在平衡态下,大量气体分子的速度分布 将具有稳定的规律 — 麦克斯韦速度分布律。 只考虑速度大小的分布—麦克斯韦速率分布律。
一. 速率分布函数
0 ℃ 时,氧气分子速率分布的粗略情况
100 m/s
1以下 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7
f()
解： (1)气体分子的分布曲线如图 由归一化条件
0
0Leabharlann 0f ( )d 1
0
0
A 3 A ( 0 )d 0 1 6
6 A 3 0
12
(2)最概然速率 df ( ) A( 0 2 ) v 0 p d v p 平均速率
p
0
t D
D
D l 2
5
D 2 l 2
三.分子速率的三个统计值
1.最概然速率p 速率分布函数 f() 极大值对应的速率p称为最 概然速率 f()
d f ( ) d
T，m 一定
P
0
p
在单位速率区间内,处在 最概然速率 p 附近的分子数 占总分子数的百分比最大。
2
麦克斯韦速率分布律
dN m 3/2 f ( )d 4 ( ) e N 2 kT
m 2 2 kT
f()
2 d
T，m 一定
麦氏速率分布曲线
+d
4
测定分子速率分布的实验装置
真空室
B
S
G P
P
A
分子源
圆筒
G是弯曲玻璃板，沉积射到它上面的各种速率的分子。 圆筒不转动时，分子束中的分子都射在G板的P处。 圆筒转动，分子束的速率不同的分子将射在不同位置.
注意：速率介于 1~ 2之间的气体分子的平均速率 的计算是 2
~
1
2
f ( )d f ( )d
1 2 1
而非
~ f ( )d
1 2
2
1
14
作业题
设有N个粒子，其速率分布函数 f v 为
.
Av 30 v f v 0
1/ 2
e 1
p 当分子的Mmol 一定时 T f ( p ) 73Ｋ 273Ｋ f() Mmol相同
1273Ｋ
9
p
2 RT M mol
8m f ( p ) π kT
1/ 2
e
1
8 M mol π RT
f ( )d
0
将麦氏速率分布函数式代入得
8kT 8 RT RT 1.60 m M mol M mol
7
3.方均根速率
2 f ( )d
2 0
m 3/ 2 4 ( ) e 0 2kT
2
mv 2 2 kT
3kT d m
N dN Nf ( )d 7N N 3 ( 0 )d 0 27
13
6
(4)速率介于0~0/3之间的气体分子平均速率为
0~
0
3
0 3 0 0 3 0
dN
dN
0 3 0
6 2 N 3 ( 0 )d 3 0 v0 7 N 27 14
2. f ( ) 的性质
0
dN N
dN Nf ( )d
0
Nf ( )d N
0
f ( )d 1
分布函数的归一化条件
3
二.麦克斯韦速率分布规律
1859年麦克斯韦导出了理想气体在无外场的平 衡态(T)下，分子速率分布函数为： m — 气体 m 3/2 mkT 2 f ( ) 4 ( ) e 2 分子的质量 2 kT
2
f ( )d
0
0
0
6 2 ( 0 )d 3 0
0
0 2
3 0 10
2
方均速率
f ( )d
2 2 0
0 3 0
0
6 3 ( 0 )d 3 0
0 3 0
(3)速率介于0~0/3之间的分子数
只与有关
0
dN f ( ) Nd
N 1 dN f ( ) lim 0 N N d
~ +△
dN f ( ) Nd
分子的速率分布函数
f()d
0
~ +d
2
1.速率分布函数的物理意义 表示分布在速率附近单位速率区间内的分子数 占总分子数的百分比 对于一个分子来说，f () 就是分子处于速率附 近单位速率区间的概率，也称为概率密度。