矩阵论--武汉理工大学研究生考试试题2017(科学硕士)A卷
研究生《矩阵论》 期末考试题
武汉大学2018-2019第一学期研究生《矩阵论》期末考试题
一、（15分）设W={（x 1,x 2,x 3,x 4）|x 1-x 2+x 3-x 4=0}，其中（x 1,x 2,x 3,x 4）∈R 4
（1）证明W 是线性空间；
（2）求W 的一组基和维数；
（3）将W 的基扩充为R 4的基。
二、（15分）设V 是欧氏空间，W 是V 的任意一个子空间，令W ⊥={α∈V|α⊥W}
证明：（1）W ⊥也是V 的子空间；
（2）V=W ⊕W ⊥。
三、（15分）在R 3中定义变换σ（x 1,x 2,x 3）丅=（x 1+x 2，x 1-x 2，x 3）
丅（1）证明σ是线性变换；
（2）求σ的像lmσ和σ的核kerσ；
（3）求σ在基β1=（1.0.0）丅，β2=（1.1.0）丅，β3=（1.1.1）丅下的矩阵表示。
四、（15分）设σ是n 维线性空间，
V （F ）上的一个线性变换，关于基α1，α2，...，αn 和基β1，β2，...，βn 的矩阵分别为A 和B 。
证明：存在可逆矩阵P 使得B=P -1AP 。
五、（15分）已知A=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛0 2 21- 2 21- 1 3（1）求A 的最小多项式；
（2）求A 所有的行列式因子、不变因子和初等因子；（3）求可逆矩阵P 使得P -1AP 为对角矩阵或Jordan 矩阵。
六、（25分）设A ∈R m ×n ，B ∈R n ×p
（1）证明：秩（AB ）≤秩（A ），秩（AB ）≤秩（B ）（2）证明：秩（AB ）≥秩（A ）+秩（B ）-n。
2017年全国硕士研究生统一入学考试自命题试题.doc
某公司需制定今后四个月的生产计划。各月的需求量分别是650，800，900和1200件。该公司每月的正常生产能力为：前两个月700件，后两个月800件，且前两个月的正常生产成本为每件160元，后两个月的正常生产成本为每件180元。在第2月和第3月可以加班生产，加班生产后每月增加400件，但是生产成本比正常生产时高出50元。过剩产品的单位存储费用为每月20元。用运输模型来建立使总成本最小的求解模型，并运用MC方法求一个初始可行解。
A.30,000件B.40,000件C.50,000件D.60,000件
3.下述哪项活动和领导职能无关？（）。
A.向下属传达自己对销售工作目标的认识
B.与某用户谈判以期达成一项长期销售计划
C.召集各地分公司经理探讨和协调销售计划的落实情况
D.召集公司有关部门的职能人员开联谊会，鼓励他们克服难关
4、“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，这里的“运筹帷幄”反映了管理的哪一个职能？（）。
2017年全国硕士研究生统一入学考试自命题试题
********************************************************************************************
学科与专业名称：管理科学与工程
考试科目代码与名称：827，管理学、运筹学
考生注意：所有答案必须写在答题纸（卷）上，写在本试题上一律不给分。
第一部分：管理学部分
一、单项选择题（5题×3分，共15分）
1.控制的最高境界是（），它能够在事故发生之前就采取有效的预防措施，以防患于未然。
A.前馈控制B.现场控制C.即时控制D.反馈控制
2.甲公司生产某种产品的固定成本是30万元,除去固定成本外,该产品每单位成本为4元,市场价格为10元,若要实现盈亏平衡,该产品的产量应该为（）。
【2017年最新】武汉理工大学考试试题
武汉理工大学考试试题（A 卷）课程名称：高等数学A （下） 专业班级：2009级理工科专业题号 一 二 三 四 五 六 七 总分 题分151524161686100备注：学生不得在试题纸上答题（含填空题、选择题等客观题）应按顺序答在答题纸上。
一、单项选择题（35⨯=15分）1. 设线性无关的函数123(),(),()y x y x y x 均是二阶非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，12,c c 是任意常数，则该方程的通解是（ ）.A ．1122123(1)y c y c y c c y =++--B ．11223y c y c y y =++C ．1122123(1)y c y c y c c y =+---D ．1122123()y c y c y c c y =+-+ 2. 曲线23,,x t y t z t ===在点(1,1,1)处的法平面方程为（ ）.A ．236x y z +-=B ．236x y z ++=C ．236x y z --=D ．236x y z -+=3.设有三元方程ln 1xz xy z y e -+=，根据隐函数存在定理，存在点()0,1,1的一个邻域，在该邻域内该方程只能确定（ ）.A ．一个具有连续偏导数的隐函数(,)z z x y =B ．两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)z z x y =C ．两个具有连续偏导数的隐函数(,)x x y z =和(,)y y x z =D ．两个具有连续偏导数的隐函数(,)y y x z =和(,)z z x y =4. 设(,)f x y 为连续函数，则二次积分140(cos ,sin )d f r r rdr πθθθ⎰⎰=（ ）.A ．2212(,)x xdx f x y dy -⎰⎰B ．2212(,)x dx f x y dy -⎰⎰C ．2212(,)y dy f x y dx -⎰⎰D ．2212(,)y ydy f x y dx -⎰⎰5. 级数31sin n n n α∞=∑的收敛情况是（ ）. A ．绝对收敛 B ．收敛性与α有关 C ．发散 D ．条件收敛二、填空题（35⨯=15分）1. 设向量2,m a b n ka b =+=+，其中1,2,a b a b ==⊥ ，则k = 时，以,m n 为邻边的平行四边形面积为6。
武汉理工大学线性代数考试试题
⎝⎭武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸 课程名称:线性代数 （ A 卷） 一、选择题（每小题3分，共12分） 1.B 2.C 3.B 4.D二、填空题（每小题3分，共12分）1.2；2.113021002⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭； 3.a=1；4. 2,2,5；（注：本小题每个数字为一分，错一个则减一分）三、解答题（每小题8分，共40分）1. 解：从第二列起，将其后各列加到第一列，有：1(1)1110111011011101(1)1011101111111111c n n n n D n n n ÷---==---L L L L M M M M M M M M M ML L LL121(1)(2)(1)122000101(1)01001111(1)(1)(1)(1)(1)n n n nr r r r r r n n n n n n n n -----+----=--=-⋅--=--M L LM M M M ML L4分注：若采用其他方法计算出正确结果也应给满分，其正确的步骤也相应给分。
2. 由题，有E A B E A +=-)(2 2分且2202030360,402A E --==≠--故2()A E -可逆。
2分在等式左右两边左乘21()A E --得21()()B A E A E -=-+ 2分 11001001/2()010*********A E ---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭3.解：2分2分2分2分11111131132231213331 3--------=-=-=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭*()A A A A A A A A A 2分 1133-=∴=Q ,A A ,上式＝311339⎛⎫-⨯=- ⎪⎝⎭2分注：若前面所有步骤正确，最后计算出现符号错误，扣一分。
4.解：令矩阵123413011031(,,,)27124142A αααα⎛⎫⎪-- ⎪== ⎪⎪⎝⎭，并通过初等行变化化成最简形，有：1301103010310110271200014142A r -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭% 4分 故向量组A 的的一个最大无关组为124,,ααα， 2分 且3123ααα=-+。
研究生期末试题矩阵论a及答案
,
可得谱分解式 （10分）
六、当 时， ；当 时，存在 与 使得 ，从而有
，（4分）
对于 ，有
，（7分）
对于 ，有
所以 是 中的矩阵范数.（10分）
七、解
，
， ，
.（10分）
八、容易求出矩阵A的最小多项式为 ，所以 ，于是
由此知 的内插多项式表示为
.（6分）
将矩阵A代入上式得
.
当 时， ，故
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为
，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵，判断该变换是否为可逆变换．
解：因 ， ，故 为 上的变换， 不是 上的变换。（4分）
又对于线性空间 中任意矩阵 ， ， ，故为线性变换。（6分）
七、(10分)已知函数矩阵
，
其中 ，试求 ， ， ， .
八、(10分)已知矩阵 ，写出矩阵函数 的Lagrange-Sylvester内插多项式表示，并计算 .
.
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试标准答案及评分标准
科目名称：矩阵论命题人：姜志侠
适用专业：审核人：
开课学期：2012——2013学年第 一 学期□开卷√闭卷
长 春 理 工 大 学
研 究 生 期 末 考 试试 题
科目名称：矩 阵 论命题人：姜志侠
适用专业：理 工 科审核人：
开课学期：2013 ——2014 学年第 一 学期□开卷 √闭卷
一、(10分) 为数域，对于线性空间 中任意矩阵 ，规则 ， 分别为 ，问 ， 是否为 上的变换，如果是，证明该变换为线性变换，并求该变换在基 ， ， ， 下的矩阵．
矩阵论研究生考试题(2012-2013)-推荐下载
证明:1) E 1;2) A 1时， E A 可逆，且 1 E A1 1 .
3. A 为秩为 r 的半正定 Hermite 矩阵，则存在列满秩矩阵 P ,
使得
A
P
（其中 Ir 为 r 阶单位矩阵）
P
H
,其中
1
r
(i
1 A
0, i
1.
A
是
n
阶方阵，
则 A 的最小多项式 m
2.矩阵
3.矩阵
4.设
A
A
0 2 1
2
1 2 0
a1
a2
a3
1 3
E
0
4 5
2
A
的标准型为
的
的谱半径
为给定的常向量，
1
1
范数（列和范数）
X
，
.
则
总分
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
研究生课程-《矩阵分析》试题及答案
第一套试题答案一（10分）、证明：（1）设11k x +22k x +33k x =0， ①用σ作用式①两端，有111k x λ+222k x λ+333k x λ=0 ②1λ⨯①-②，有21223133()()0k x k x λλλλ-+-= ③再用σ作用式③两端，有2122231333()()0k x k x λλλλλλ-+-= ④ ③⨯2λ-④，有313233()()0k x λλλλ--=。
由于123,,λλλ互不相等，30x ≠，因此30k =，将其代入④，有20k =，利用①，有10k =。
故1x ，2x ，3x 是线性无关的。
（2）用反证法。
假设1x +2x +3x 是σ的属于特征值λ的特征向量，于是有123123()()x x x x x x σλ++=++即112223123()x x x x x x λλλλ++=++112223()()()0x x x λλλλλλ-+-+-=由于1x ，2x ，3x 线性无关，因此123λλλλ===，这与123,,λλλ互不相等矛盾。
所以，1x +2x +3x 不是σ的特征向量。
二（10分）、解:2312321232()()1;()(2);()(2)()1;()(2);()(2)1()(2)(2)A D D D d d d A λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ==-=-==-=-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭的行列式因子分别为，不变因子分别为，于是的Smith 标准形为.三（10分）、解:11121634E A λλλλ+⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪---⎝⎭210001000(1)λλ⎛⎫ ⎪≅- ⎪ ⎪-⎝⎭A λλ2矩阵的初等因子为: -1, (-1)，100:011001J ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭故约当标准形为。
四（12分）、解：令()()()1120,E A λλλλ-=-++=得特征值123112λλλ==-=-，，，解齐次方程组()0,E A x -=()2;Tii α=1得基础解系解齐次方程组()0,E A x --=()101;Tα=-2得基础解系解齐次方程组()20,E A x --=()1;T ii α=-3得基础解系αααααα123123由于，，已两两正交，将，，单位化得()()()11121011623T T Tp i i p p i i --123=，=，= ()1,(2)1.3H U p p p U AU ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭123令分，则五（10分）、解：(){}11(1),01,()TAx o i N A span ξξ===解齐次方程组得基础解系，，；又(){}{}()232323010,,,,100,,00H H R A span o span A o i ξξξξξξ⎛⎫⎪===-= ⎪ ⎪-⎝⎭这里，； 显然(),0,iji j ξξ=≠当时；()().HN A R A ⊥故有()()()()()()()()()333(2)dim dim dim 3dim ,Q H H H H N A R A C N A R A N A R A C N A R A C ++=+==+=是的子空间且故。
研究生矩阵论试题及答案与复习资料大全
B.
1 2 1
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
……………………………………………………………………………………………………………………………
0 0 0
五、(15 分)求矩阵
的满秩分解：
1 0 1 2 A 1 2 1 1
2 2 2 1
解：
A
E
1 1
0 2
1 1
2 1
1 0
0 1
0 0
2 2 2 1 0 0 1
1 0 1 2 1 0 0
令 g n n2 2 1 n2 2 1 2 1
2 1 n2 1 2 1 1 n3 n4 1 3
由 Hamilton-Cayley 定理知 gA 0
et e 2t
a0 a0
a1 2a1
于是解得：
a0 a1
2et e2t
e 2t et
从而：
f A e At gA a0 E a1 A
17级矩阵论
学科专业代码_ _ 学科专业名称 全校考试科目代码__0806121410_ 考试科目 矩阵理论及其应用（本试卷考试时间为2个小时，卷面分数100分，答案请写在答题本上）一、填空题（每题5分，共25分）________100110001 1=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--=F A J A 的有理标准形为，则矩阵的约当标准形为设矩阵、 _________2223221232221的取值范围为为正定二次型，则、设二次型t x tx x x x x x f ++++=_______422 3的奇异值为矩阵、⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=i i A ____ ____ ____ 23 21===⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=∞x x x i i x ； ；则，设４、 _______)12)(12(14132)2(1 5111的和为矩阵级数、∑∞=--⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+k k k k k k k 二、解答题（每题15分，共75分）关组表示其余多项式极大无关组并用极大无的秩、，，，，求中，在、 343 33 74 732 ][ 1235234233222314++--=---=+++=+-=+++=x x x x x x x x x x x x x x F ααααα的通解、求微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=2122112d d 2d d 2x x t x x x t x 初等因子及标准形行列式因子、的不变因子、求、 111111)( 3⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡------=λλλλA 矩阵在该基下的矩阵为对角的一组标准正交基，使为对称变换，并求证明，且正交基，为内积空间的一组标准，，设、T V T T T T V L T ⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=∈321332113211321444)( 4εεεεεεεεεεεεεεε的谱分解为正规矩阵，并求，证明设、A A i i i i A ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡----=01010 5。
武汉理工大学whut线性代数考试试题及其参考答案
标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数 ( A 卷)一、填空题(每小题3分,共15分)1、23-; 2、E; 3、-15; 4、5t ≠; 5、 2 二、选择题(每小题3分,共15分)1、C2、A3、B4、C 5 、D 三、解答题(每小题8分,共32分)1、 121000121000(1)2121000121121n n n x xn x n x n n D x x n n x x n n n n-+-++⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦+-+--L L L L MMLM M M M L MM L L LL………………(4分)(1)12(1)(1)2n n n n n x x --+⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦………………………………………………………………(8分) 2、 由题意(1,2)B AE = ……………………………………………………………………………………(4分)又BX A =,即(1,2)AE X A =,所以1(1,2)X E -=(1,2)E =……………………………………………(8分)3、 记1200A A A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则1111200A A A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭, ……………………………………………………………(2分) 又*11211,10A A ⎛⎫==⎪-⎝⎭,故112110A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭…………………………………………………………(4分)*21211,31A A -⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭,故122131A --⎛⎫= ⎪-⎝⎭………………………………………………………(6分)所以121010*******031A -⎛⎫ ⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭。
…………………………………………………………………(8分)4、记()1234,,,A αααα=,对A 进行行初等变换,将其化为行最简形:1211241012213631A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭～1211003200320064-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭～121100320000000-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎪⎝⎭～112032001300000000⎛⎫-⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭…………………(4分)()2R A =,又显然13,αα线性无关,所以13,αα即为原向量组的一个最大无关组;………………………(6分)且212αα=,4131233ααα=--。
武汉理工大学研究生入学考试(五套试题)
2002年武汉理工大学汽车理论考试一．名词解释（3*3）1.传动系的最小传动比：变速器最高档位的传动比与主减速器传动比的乘积。
2.汽车的制动效率：车轮不锁死的最大制动减速度与车轮和地面间附着系数的比值，也就是车轮将要抱死时的制动强度与被利用的附着系数之比。
a '与轴距L的比值。
3.汽车的静态储备系数：中性转向点至a’与汽车质心至前轴距离a之差a二．填空（2*5）1．汽车行驶时，总存在的行驶阻力有滚动阻力和空气阻力。
2．汽车顶起失效与通过性几何参数最小离地间隙h和纵向通过角β有关。
3．汽车动力因素是驱动力Ft与空气阻力Fw之差和汽车重力的比值。
4．汽车制动器的作用时间是消除蹄片与制动鼓间隙的时间t1和制动增长过程所需的时间t2之和。
5．对于垂直振动来说，人敏感的频率范围为4—12.5Hz,对于水平振动来说，人敏感的频率范围为0.5—2Hz。
三．选择题（2*5）1．某轿车的空气阻力系数为（B）A0.1 B0.3 C0.6 D0.82.东风EQ1092汽车的越沟能力主要取决于(A)A后轮B前轮C后轮或前轮D后轮和前轮3.某轿车的比功率大小主要取决于（B）A加速能力B最高车速C汽车总质量D最大爬坡能力4.当汽车由抵档换入高档行驶时，汽车能够产生的动力因素（A）A减少B增加C没有变化D减少或增加5.当汽车车身振动时，如果车身固有频率增大，则（A）A车身振动加速度增大B车身振动加速度减小C悬架动挠度增大D悬架动挠度减小四．判断（2*5）1.汽车制动器制动力总是等于地面制动力（×）2.汽车行驶时，发动机发出的功率始终等于滚动阻力，坡道阻力，加速阻力，空气阻力四项阻力之和（×）3.滑动附着系数出现在滑动率为15%到20%时（×）4.对于单横臂独立悬架：在小侧向加速度时，如汽车右转弯行驶，则车轮向右倾斜（√）5.对于车身，车轮振动系统，车身固有频率小于低的主频率（×）五．请说明确定汽车变速器头档传动比的方法？（6分）解析：确定最大传动比时，要考虑三方面的问题最大爬坡度，附着率以及最低稳定车速。
武汉理工大学研究生考试试题(科学硕士)A卷2017年
武汉理工大学研究生考试试题（2017）A 卷课程: 矩阵论（答题时不必抄题，标明题目序号）一．填空题（每题3分，共15分）1．已知矩阵1111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则432822A A A A −−+= 2. 若矩阵A 相似于对角阵100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的最小多项式为 3. 已知矩阵234321556A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则A 的LU 分解为 4. 已知103540231i A i +−⎛⎫⎪= ⎪ ⎪−⎝⎭，则A 的范数1m A = ； m A ∞= ；F A = ；5. 已知12102101,11111137A B −⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭，设1V 和2V 分别为齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，则12dim()V V +=二．（15分）设311202113A −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−−⎝⎭（1）求A 的行列式因子，不变因子，初等因子；（2）求A 的Jordan 标准形；（3）求A 的最小多项式。
三．（15分）设1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2101B −⎛⎫= ⎪⎝⎭, 11122122|x x V X AX XA x x ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭为线性空间，对于任意的X V ∈，定义：()T X XB =（1）（5分）证明：T 是V 上的线性变换；（2）（10分）求V 的一组基，并求T 在所求基下的矩阵.四．（15分）已知微分方程组0()()(0)dx t Ax t dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，03111202,11131A x −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭（1）（7分）求A e ；（2）（8分）求At e ，并求微分方程组的解。
五．（20分）设101211211,122211A b −⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭。
（1）求A 的满秩分解；（2）求A 的广义逆A +；（3）求Ax b =的最小二乘解；（4）求Ax b =的极小范数最小二乘解。
矩阵论复习题 带答案1
矩阵论复习题1设A 、B 均为n 阶正规矩阵，试证A 与B 酉相似的充分必要条件是A 与B 的特征值相同。
证明: 充分性：A 与B 的特征值相同，A 、B 均为n 阶正规矩阵，则有11,A P IP B Q IQ --== 故11111,,A P QIQ P R Q P R P Q -----==令= A 与B 酉相似 必要性:A,B 为n 阶正规矩阵，存在初等变换R,1A RBR -=11,,,I E PQ A P IP B Q EQ --==为对角矩阵，存在初等变换111,I PAP E QRAR Q ---== ，因为I,E 为对角矩阵，故I=E 。
因此A 与B 的特征值相同。
#2 作出下列矩阵的奇异值分解10(1)A 0111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦011(2)A 200-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (1)632- 6 3 2101263011,130 2 6 311206333T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 2221 2 2,131222 2 2TC A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应故263 2 6 32210263 2 203 2 6 3220063 2 20 33HA ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦(2) 2010,240401T B AA ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应， 0040012201-1,2-400- 2 20-11022- 2 2T C A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦特征值对应，特征值对应，特征值对应 0101022200A 001 2202022022H⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦3.求下列矩阵A 的满秩分解123002111021A ⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭112211001230010,021110102111001230010,021101100001001230=010021-11-11L L A L L L A A ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦故4 设A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，证明：若B A ≥且BA AB =，则33B A ≥.证明：由于A 、B 均为n 阶Hermite 正定矩阵，且BA AB =，则AB 与BA 均为n 阶Hermite 正定矩阵。
矩阵论武汉理工试卷
武汉理工大学研究生试卷---矩阵论（1）222211A=011.(){}2.3.()C A S P AB BA P C A C A ⨯⨯⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈=一.（15分）设证明：是的子空间；求（）的一般表达式；求的维数与一组基；22222212212211111.10010000,00001001P a b a b a b P c d c d c d P E E E ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11二.（15分）在中定义，T ；证明：T是上的线性变换；2.求T在基下E 的矩阵；三.（20分）1.已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种化学成分x 有关，下表记录了某厂生产中y 与相应x 的数值。
y （%） 1.00 0.9 0.9 0.81 0.60 0.56 0.35x （%） 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0 4.1 4.2用最小二乘法求y 对x 的一个一次近似公式（y=ax+b ）2. 求方程组12121202120x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 的最优最小二乘解四.（15分）3321.010865A --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭求矩阵＝的Jordan标准形；4222f 23m 23ordan A J λλλλλλ----2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为：（）＝（）（）；（）＝（）（）；求的标准形8542102.10 011010g 34A A A A A A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭-++-五（分）设试计算（）＝2 A At 01e e 02⎛⎫ ⎪⎝⎭六.（15分）设A＝，求和； 12n n e e e V V 七.（10分）设V是实数域R上的维线性空间，，，，是的一组基；对中任二向量：1n i i i x e α=∑＝ 1 ni i i y e β=∑＝1 , n i i i ix y αβαβ=∑规定（）＝证明（）是V中的一种内积，从而V对此内积构成一欧式空间。
武汉理工大学研究生矩阵论试卷
1 0 0 0 1 0 10 6 ，则 A A 8 A 0 0 1 0 0 0
T
2
5、已知向量 (1,2,0, i) ， i 1 ，则其范数 1 二， （20）设 V A
；
2
；
；
a11 a12 22 a11 a21 0 为 R 的子集合， a21 a22
x1 x2 0 2 x1 x2 1 x 2x 0 2 1
四.（15 分）
的最优最小二乘解
3 3 2 1.求矩阵A＝ 0 1 0 的Jordan标准形； 8 6 5
2.已知A的特征多项式，最小多项式分别为：
4 2 f（）＝（ 2） （ 3） ； 2 2 m（）＝（ 2） （ 3） ；
1 , 2 , 3 下的坐标
3、已知矩阵 A1
1 1 1 0 2 1 0 1 , A2 , A3 , A4 ，则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 0 0 1 1 3 3 1 1
0 0 4、已知 A 0 1
0 b 1 1
3、求 AX b 的最小二乘解； 4、求 AX b 的极小范数最小二乘解。 六、 （15 分）已知
0 A 0 1
1、求矩阵函数 e ； 2、求微分方程组
At
0 2 1 1 0 , x0 0 0 3 1
n
n
＝ xi ei
i 1
＝ yi ei
i 1
规定（ ）＝ ixi yi , 证明（ ）是V中的一种内积，从而V对此内积
i 1
武汉理工大学矩阵论题2018试卷
武汉理理⼯工⼤大学研究⽣生考试试题（2018）
课程矩阵论
（共6题，答题时不不必抄题，标明题⽬目序号）
⼀一，填空题（15分）
1、已知矩阵，则的奇异值为
2、已知线性空间V的基为，线性变换T在这组基下的矩阵，
则核空间ker T的⼀一组基为=;
3、已知，则的QR分解为
4、已知，则的LU分解为
5、设向量量，则范数=；
⼆二，已知矩阵。
1.求的⾏行行列列式因⼦子，不不变因⼦子，初级因⼦子；
2.求的Jordan标准形；
3.求的最⼩小多项式。
三，（20）设线性空间.对于任意的，定义
1、证明：是的⼀一个内积；
2、令，证明是的⼦子空间；
3、求在上⾯面所定义的内积下的⼀一组标准正交基。
四，（15分）设，,
为线性空间，对于任意的，定义：
1、（5分）证明：是上的线性变换；
2、（10分）求的⼀一组基，并求在所求基下的矩阵.
五（20分）已知线性⽅方程组
1、求的满秩分解
2、求的⼴广义逆；
3、求的最⼩小⼆二乘解；
4、求极⼩小范数最⼩小⼆二乘解.
六、（15分）已知
1、求矩阵函数；
2、求微分⽅方程组满⾜足初始条件的解。
1.（8分）
由得的⾏行行列列式因⼦子为
------------------4分
于是得到不不变因⼦子为
---------------6分
得到初级因⼦子为：-------------------8分
2.（4分）矩阵的Jordan标准形为
--------------------4分
3.（3分）矩阵的最⼩小多项式为：--------------3分。
矩阵论--武汉理工大学研究生考试试题2010(科学硕士)
武汉理工大学研究生考试试题（2010）课程矩阵论（共6题，答题时不必抄题，标明题目序号），填空题（15 分）1 1 1 0已知矩阵A 0 °,A 2 1 1 ,A 3所生成的子空间的维数为证明：（代B ）是V 的一个内积;多项式所成的线性空间，对于任意的 f （t ） a 2t 2 a 1t a 。
F[t]3，定义:1、 已知矩阵A 的初级因子为 ,（ 1)2, 2 ,( 1）3，则其最小多项式为2、 设线性变换T 在基1, 2, 3的矩阵为A ，由基 3到基 3的过渡矩阵为P ， 向量在基3下的坐标为x ，则像T （）在基 3下的坐标 1 ，则由这四个矩阵 14、 0已知A 0，则 A 10 A 6 8A已知向量 1,2,0, T i)， i 2 则其范数 二，（20）设 V A a 11 a 21 a 22an a 21 0为R 2 2的子集合,1、 证明：V 是R 2 2的线性子空间;2、 求V 的维数与一组基;3、 a*i1 a^对于任意的A , a 21 a 22 V ，定义(A, B) 4a 11b 113a 〔2b [2 2玄21匕21 a 22b 22 4、 求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。
三、（15 分）设 F[t]32 f(t) a 2t a 〔t 玄 a j R, i 0,1,2为所有次数小于3的实系数1、 证明：T 是F[tb 上的线性变换;2、 求T 在基1,t,t 2下的矩阵A 。
四，(15分)设矩阵1 2 3A 0 1 20 0 11、 求A 的Jordan 标准形；2、 求A 的最小多项式。
五(20分)已知1 0 1 0A 0 11, b 11 0 1 11、 求A 的满秩分解；2、 求 A ；3、 求AX b 的最小二乘解；4、 求AX b 的极小范数最小二乘解。
六、(15分)已知X 。
01、求矩阵函数e At ；2 T[f(t)] (a 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
武汉理工大学研究生考试试题（2017）A 卷
课程: 矩阵论
（答题时不必抄题，标明题目序号）
一．填空题（每题3分，共15分）
1．已知矩阵1111A ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，则432822A A A A --+= 2. 若矩阵A 相似于对角阵100020002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的最小多项式为 3. 已知矩阵234321556A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
，则A 的LU 分解为 4. 已知103540231i A i +-⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
，则A 的范数1m A = ； m A ∞= ；F A = ；
5. 已知12102101,11111137A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
，设1V 和2V 分别为齐次线性方程组0Ax =和0Bx =的解空间，则12dim()V V +=
二．（15分）设311202113A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭
（1）求A 的行列式因子，不变因子，初等因子；
（2）求A 的Jordan 标准形；
（3）求A 的最小多项式。
三．（15分）设1102A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2101B -⎛⎫= ⎪⎝⎭
, 11122122|x x V X AX XA x x ⎧⎫⎛⎫===⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭
为线性空间，对于任意的X V ∈，定义：()T X XB =
（1）（5分）证明：T 是V 上的线性变换；
（2）（10分）求V 的一组基，并求T 在所求基下的矩阵.
四．（15分）已知微分方程组
0()()(0)dx t Ax t dt x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩，03111202,11131A x -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
（1）（7分）求A e ；
（2）（8分）求At e ，并求微分方程组的解。
五．（20分）设101211211,122211A b -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭。
（1）求A 的满秩分解；
（2）求A 的广义逆A +；
（3）求Ax b =的最小二乘解；
（4）求Ax b =的极小范数最小二乘解。
六．（20分）对3中任意的123123(,,),(,,)x x x y y y αβ==，定义
112233(,)2x y x y x y αβ=++。
（1）（5分）证明(,)αβ为3上的内积；
（2）（10
分）已知γ=，求span{}W γ=的正交补W ⊥的一组标准正交基；
（3）（5分）设(3,6,9)δ=
，求满足min x W x δ∈-的x 。