2020年陕西省咸阳市二模理科数学试题含答案

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2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷

2020年陕西高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西高三二模理科第1题5分 2020年陕西咸阳高三二模文科第2题5分 2020年陕西咸阳高三二模理科第2题5分已知复数z =41+i（i 为虚数单位），则z 的虚部为（）． A. 2B. 2iC. −2D. −2i2、【来源】 2020年陕西高三二模理科第2题5分已知集合A ={x |−1⩽x <1} ,B ={y |y =x 2,x ∈A }，则 A ∪B = （）． A. {x |−1⩽x <1} B. {x |−1⩽x ⩽1} C. {x |−1<x <1} D. {x |−1<x ⩽1}3、【来源】 2020年陕西高三二模理科第3题5分若变量x ，y 满足约束条件{x +y ⩾3x −y +1⩽0x +2y −6⩽0，则目标函数z =2x −y 的最小值是（）．A. −3B. 0C. 13D. 1034、【来源】 2020年陕西高三二模理科第4题5分已知向量a →，b →满足a →=(1,√3)，(a →−2b →)⊥a →，则b →在a →上的投影为（）． A. −1B. 1C. −12D. 125、【来源】 2020年陕西高三二模理科第5题5分已知函数f(x)={−ln⁡x,0<x⩽1−x2+4x−3,x>1，若f(f(a))=1，则满足条件的实数a的个数是（）．A. 1B. 2C. 3D. 46、【来源】 2020年陕西高三二模理科第6题5分设X∼N(0,1)，其正态分布密度曲线如图所示，点A(1,0)，点B(2,0)，点C(2,1)，点D(1,1)，向正方形ABCD内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（）．（注：X∼N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X⩽μ+σ)=0.6827，P(μ−2σ<X⩽μ+2σ)=0.9545，P(μ−3σ<X⩽μ+3σ)=0.9973）A. 0.8641B. 0.6587C. 0.5228D. 0.97857、【来源】 2020年陕西高三二模理科第7题5分在公差不为0的等差数列{a n}中，a1=1，a32=a4a6，则a2=（）．A. 711B. 511C. 311D. 1118、【来源】 2020年陕西高三二模理科第8题5分2019~2020学年4月陕西西安碑林区西安市第三中学高一下学期月考第3题4分已知0<α<β<π2，且cos⁡(α−β)=6365，sin⁡β=1213，则sin⁡α=（）．A. −35B. 35C. −45D. 459、【来源】 2020年陕西高三二模理科第9题5分2021年陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高三零模理科第6题5分若将函数f(x)=2sin⁡(3x +π4)的图象向右平移a(a >0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a 的最小值为（）． A. π4 B. 5π4 C. π12 D. 5π1210、【来源】 2020年陕西高三二模理科第10题5分在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB =BC =AC =a ，AA 1=b ，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且a +b =2，则该球的表面积的最小值为（）． A. 7π3 B. 13π4 C. 52π21 D.16π711、【来源】 2020年陕西高三二模理科第11题5分已知抛物线C:y 2=4x ，点M (3,0)，直线l 过焦点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，若|AB |=8，则△AMB 的面积为（）．A. 4B. 4√2C. 4√3D. 812、【来源】 2020年陕西高三二模理科第12题5分已知函数f (x )=xe x +12x 2+x +a ，g (x )=xln⁡x +1，若存在x 1∈[−2,2]，对任意x 2∈[1e 2,e]，都有f (x 1)=g (x 2)，则实数a 的取值范围是（）． A. [−3−1e−2e 2,e −3−2e 2] B. (−3−1e −2e 2,e −3−2e 2)C. [e−3−2e2,32]D. (e−3−2e2,32)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西高三二模理科第13题5分如图是样本容量为1000的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．14、【来源】 2020年陕西高三二模理科第14题5分在(x+1)(ax+1)5的展开式中，x2的系数为15，则a=．15、【来源】 2020年陕西高三二模理科第15题5分在△ABC，D为AC的中点，且AD:BD:AB=1:√7:3，若BC=√7，则△ABC的周长为．16、【来源】 2020年陕西高三二模理科第16题5分已知双曲线C:x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过双曲线C的左焦点F作一斜率为√2的直线交双曲线C的左支于A，B两点，若以AB为直径的圆过坐标原点O，则双曲线C的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）17、【来源】 2020年陕西高三二模理科第17题12分如图，正四棱锥P−ABCD的底边长为2，侧棱长为√3，M为PC上一点，且PM=3CM，点E，F 分别为AD，BC上的点，且AE=BF=3ED．(1) 证明：平面MEF//平面PAB．(2) 求锐二面角P−EF−M的余弦值．18、【来源】 2020年陕西高三二模理科第18题12分已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，2S n=a n a n+1(n∈N∗)．(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 若数列{b n}满足b n=a2n，令T n=a1b1+a2b2+a3b3+⋅⋅⋅+a n b n，求证：T n<n⋅2n+1．19、【来源】 2020年陕西高三二模理科第19题12分某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取100份，统计得出如下2×2列联表：(1) 根据上述列联表，是否有85%的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？(2) 现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取9人，然后再从这9人中随机抽取3人，求这三位市民中男女都有的概率．(3) 以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取10人，用X表示这10人中优秀的人数，求随机变量X的期望和方差．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（其中n=a+b+c+d）．20、【来源】 2020年陕西高三二模理科第20题12分已知函数f(x)=e x(x2+ax+1)(a∈R)．(1) 求函数f(x)的极值．(2) 当3<a<4时，若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，求证：−5e3<f(x1)f(x2)<−3e4．21、【来源】 2020年陕西高三二模理科第21题12分已知椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，点P的坐标为(0,32)，且椭圆C上任意一点到点P的最大距离为√7．(1) 求椭圆C的标准方程．(2) 若过点(1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点M为椭圆C长轴上的一点，求△MAB面积的最大值．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）选修4-4：坐标系与参数方程22、【来源】 2020年陕西高三二模理科第22题10分2020年陕西高三二模文科第22题10分在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=82+ty=4t2+t（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2sin⁡θ．(1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程．(ρ>0)与直线l和曲线C分别交于A，B两点，求|AB|的值．(2) 若射线θ=π4选修4-5：不等式选讲23、【来源】 2020年陕西高三二模理科第23题10分2020年陕西高三二模文科第23题10分设函数f(x)=|x−1|+|x−t|(t>0)的最小值为1．(1) 求t的值．(2) 若a3+b3=t(a,b∈R∗)，求证：a+b⩽2．1 、【答案】 C;2 、【答案】 B;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 D;6 、【答案】 A;7 、【答案】 A;8 、【答案】 D;9 、【答案】 C;10 、【答案】 D;11 、【答案】 B;12 、【答案】 C;13 、【答案】3.5;14 、【答案】−3或1;215 、【答案】5+√7;16 、【答案】√3;17 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √1010．;18 、【答案】 (1) a n=n．;(2) 证明见解析．;19 、【答案】 (1) 没有．;(2) 56．;(3) 期望5.5，方差2.475．;20 、【答案】 (1) 当a<0时，函数f(x)的极大值为2−ae ，极小值为2+ae a+1；当a=0时，无极值；当a>0时，函数f(x)的极大值为2+ae a+1，极小值为2−ae．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) x24+y2=1．;(2) 3√32．;22 、【答案】 (1) 直线l的普通方程为x+y−4=0(x≠0)，曲线C的直角坐标方程为x2+y2−2y=0．;(2) √2．;23 、【答案】 (1) t=2．;(2) 证明见解析．;。

陕西省咸阳市2020届高考模拟考试试题理科数学(含答案)

2020届陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测数学(理)试题(带答案解析)

16．已知各棱长都相等的直三棱柱所有顶点都在球的表面上，若球的表面积为，则该三棱柱的体积为________.
17．已知等差数列满足，，其前项和为 .
（1）求数列的通项公式及；
（2）若，求数列的前项和 .
18．已知四棱锥中，底面为直角梯形，平面，且，， .
（1）求证：平面平面；
2．C
【解析】
【分析】
按照复数的运算法则进行计算即可得出虚部.
【详解】
由题意得: ，
的虚部为 .
故选：C.
【点睛】
本题考查复数的运算，属于基础题.
3．D
【解析】
【分析】
求出以及的值,即可求出向量在向量上的投影.
【详解】
解:由题意知, ,
则
故选:D.
【点睛】
本题考查了向量投影的概念,考查了向量的数量积,考查了向量的模.在求一个向量在另一个向量的投影时,有两种做题思路:一是直接求,即 ;另外还可以由向量数量积的运算可知, .
（2）是否存在圆心在原点的定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
21．已知函数（且）.
（1）讨论的单调性；
（2）对任意，恒成立，求的取值范围.
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为 ( 为参数)，曲线 .
（1）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求，的极坐标方程；
【详解】
依题意，由于为定义域上的减函数，故，故A选项不等式成立.由于为定义域上的增函数，故，则，所以B选项不等式不成立，D选项不等式成立.由于，故，所以C选项不等式成立.综上所述，本小题选B.
【点睛】

2020年陕西高三二模数学试卷(理科)

解析:
（ 1 ）由已知得
．
则
，
由
，得
，
由
，得
，
∴函数
在
上单调递减，在
上单调递增．
（ 2 ）由
，
得
，
若
，则
，单调递减，而
，
∴ 有一个零点．
若
，可得当
时，
，
当
时，
．
14
∴在
上单调递增．在
上单调递减，
∴
．
令
，
则
．
当
时，
．
当
时，
，
∴ 在上单调递减，在
上单调递增，而
．
∴当
时，
，有两个零点．
当
时，
，有一个零点．
，考虑到，关于轴对称，不妨设
，
，
则点，的坐标分别为
，
，
此时综上，
．的面积为定值．
22.（ 1 ）直线的直角坐标方程为
，曲线的普通方程为
．
（2）．
解析:
（ 1 ）由
，得
，
由
，
，得
，
因为
，消去得
，
所以直线的直角坐标方程为
，曲线的普通方程为
．
（ 2 ）点的直角坐标为，点在直线上，
非高薪收入群体
高薪收入群体高薪收入群体
合计合计
专业专业
合计
，
所以在犯错误的概率不超过
的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关．
（ 2 ）1 月薪频率分布表如下：
月薪（百元）
人数
频率

2020年陕西省高考数学二模试卷2 (含答案解析)

2020年陕西省高考数学二模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=i(−2+3i)(i是虚数单位)的虚部是()A. −2B. −2iC. 3D. 3i2.已知全集U={−1,0，1，2，3}，集合A={0,1，2}，B={−1,0，1}，则(C U A)∩B=()A. {−1}B. {0,1}C. {−1,2，3}D. {−1,0，1，3}3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10=100，则a2+a9=()A. 100B. 40C. 20D. 124.如图，作圆(大圆)的内接正三角形，在这个三角形内作内切圆，然后再作新圆(小圆)的内接正三角形，如图所示．在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是()A. 38πB. 3√38πC. 316πD. 3√316π5.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D.1 a <1b6.在如图所示的程序框图中，若输出i的值是3，则输入x的取值范围是()A. (3,+∞)B. (3,7]C. (7,+∞)D. (7,19]7.函数f(x)=e|x|−2x2在[−2,2]上的图象大致为()A. B. C. D.8.要得到函数y=3sin2x的图象，可将函数y=3cos(2x−π4)的图象()A. 沿x 轴向左平移π8 B. 沿x 轴向右平移π8 C. 沿x 轴向左平移π4D. 沿x 轴向右平移π49. 若实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4≥03x −y −4≤0x +y ≥0，则z =3x −2y 的最大值是( ) A. 2B. 1C. 5D. 710. 在四面体PABC 中，PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，AP =BP =AB =2PC =2，则四面体PABC 外接球的表面积是( )A.17π12B.19π12C.19π3D.17π311. (1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x 4的系数为( )A. 50B. 55C. 45D. 6012. 已知函数f(x)=ax 3+2x 2−1有且只有两个零点，则实数a 的取值集合( )A. {−1,0，1}B. {0,4√69}C. {0,2√33}D. {−4√69,0，4√69}二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知向量a ⃗ =(1,−3)，b ⃗ =(−2,0)，则|2a ⃗ +b ⃗ |=____．14. 14.曲线y =e −2x +1在点(0,2)处的切线与直线y =0和y = x 围成的三角形面积为_________ 15. 若数列{a n }的前n 项和为S n =23a n +13，则数列{a n }的通项公式是an =______． 16. 设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ，左、右顶点分别是A 1，A 2，过点F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则双曲线的离心率为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12．(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为√34a ，求bc 的最小值．18.某高三年级在一次理科综合检测中统计了部分“住校生”和“非住校生”共20人的物理、化学的成绩制成下列散点图(物理成绩用表示，化学成绩用表示)(图1)和生物成绩的茎叶图(图2)．(1)若物理成绩高于90分，我们视为“优秀”，那么以这20人为样本，从物理成绩优秀的人中随机抽取2人，求至少有1人是住校生的概率；(2)若化学成绩高于80分，我们视为“优秀”，根据图1完成如下列联表，并判断是否有95%的把握认为优秀率与住校有关；住校非住校优秀非优秀附：(K2=2，其中n=a+b+c+d)(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828(3)若生物成绩高于75分，我们视为“良好”，将频率视为概率，若从全年级学生中任选3人，记3人中生物成绩为“良好”的学生人数为随机变量ξ，求出ξ的分布列和数学期望．19.如图，设△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，若EA：AB：DC=2：2：1，F是BE的中点．(1)证明：FD⊥平面ABE；(2)求CE与平面EAB所成角的正弦值．20.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点到两焦点F1F2距离之和为4√2，离心率为√32．(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于A，B两点.点P(2,1)为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．21. 已知g(x)=e 2x−2−ax 2+(2a −2)x −a +1(x ≠0,a ∈R).(Ⅰ)当a =2时，求函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程； (Ⅱ)若x ≥1时，g(x)≥0，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =2−3ty =√3t,(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ．(1)求l 的极坐标方程和C 1的直角坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，C 2与l 的交点为A ，与C 1异于极点的交点为B ，求|AB|．23. 已知函数f(x)=|3x −2|−|x −3|．(Ⅰ)求不等式f(x)≥4的解集；(Ⅱ)求函数g(x)=f(x)+f(−x)的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法法则，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．根据复数的四则运算及定义直接求解即可．【解答】解：复数z=i(−2+3i)=−3−2i，所以虚部为−2．故选A．2.答案：A解析：【分析】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．由全集U以及A求A的补集，然后根据交集定义得结果．【解答】解：∵C U A={−1,3}，∴(C U A)∩B={−1,3}∩{−1,0，1}={−1}，故选：A．3.答案：C解析：【分析】本题考查的是等差数列的性质和求和公式，属于基础题．通过求和公式得到5(a2+a9)=100,从而求出结果，属于基础题．【解答】解：∵S10=10(a1+a10)2=10(a2+a9)2=5(a2+a9)=100,∴a2+a9=20．故选C．4.答案：D解析：【分析】本题考查与面积有关的几何概型，属于中档题．求得大圆与阴影部分的面积，根据几何概型概率公式求解．【解答】解：如图所示，设O为大圆球心，B为大圆内接正三角形一边中点，A为此边一端点，设OB=1，所以阴影三角形的边长为√3，所以阴影三角形的面积为√34×(√3)2=3√34，因为OB=1，所以OA=2，即大圆的半径为2，所以大圆的面积为4π，在大圆内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是3√316π．故选D．5.答案：A解析：【分析】本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．【解答】解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得：当i=2时，3(3x−2)−2≤55，当i=3时，3(9x−8)−2>55，满足判断框内的条件，退出循环，输出i的值为3．可得：3<x≤7，则输入x的取值范围是(3,7]．故选：B．模拟程序的运行过程，分析循环中变量值x的变化情况，解不等式组可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7.答案：A解析：【分析】本题考查由函数解析式选图像，属于基础题.由特殊值，排除法进行解答．【解答】解：当x=0时，f(0)=1，排除D;当x=1时，0<f(1)=1e<1，排除B，C;故选A．8.答案：B解析：解：因为函数y=3cos(2x−π4)=3sin(2x+π4)，所以可将函数y=3cos(2x−π4)的图象，沿x轴向右平移π8，得到y=3sin[2(x−π8)+π4]=3sin2x，得到函数y=3sin2x的图象，故选：B．利用诱导公式化简函数y=3cos(2x−π4)为正弦函数类型，然后通过平移原则，推出选项．本题考查三角函数的诱导公式的应用，函数的图象的平移，考查计算能力．9.答案：C解析：【分析】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由实数x ，y 满足约束条件{x −3y +4⩾03x −y −4⩽0x +y ⩾0作出可行域如图，联立{x +y =03x −y −4=0，解得C(1,−1)，化目标函数z =3x −2y 为y =32x −12z ，由图可知，当直线y =32x −12z 过C(1,−1)时，直线在y 轴上的截距最大，即z 有最大值5．故选：C ．10.答案：C解析：【分析】本题给出特殊的三棱锥外接球的表面积的求解．着重考查了线面垂直的判定与性质、勾股定理与球的表面积公式等知识，属于中档题．由已知可得PC ⊥平面PAB ，先设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由去球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，且OH =12PC ，根据勾股定理求出外接球半径，即可求解．【解答】解：∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，且PA ∩PB =P ， ∴PC ⊥平面PAB ，AP =BP =AB =2PC =2，设O 是外接球球心，H 是△ABP 的中心，由球的性质可知，OH ⊥平面PAB ，则OH =12PC =12，PH =2×√32×23=2√33，则R 2=OP 2=OH 2+PH 2=1912，故四面体外接球的表面积是S =4πR 2=19π3．故选C ．11.答案：B解析：【分析】本题考查二项式定理，求展开式中某项的系数，属于基础题．由题意可得展开式中x 4的系数是C 54 +C 64 +C 74，运算求得结果．【解答】解：在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中x 4的系数是C 54+C 64+C 74=55，故选B .12.答案：D解析：解：当a =0时，函数f(x)=2x 2−1有且只有两个零点，满足条件；当a ≠0时，令f′(x)=3ax 2+4x =0，解得：x =0，或x =−43a ，∵f(0)=1≠0，∴f(−43a )=3227a 2−1=0，解得：a =±4√69，故a ∈{−4√69,0，4√69}，故选：D当a =0时，函数f(x)=2x 2−1有且只有两个零点，满足条件；当a ≠0时，函数的极值为0，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的零点及零点个数，分类讨论思想，难度中档． 13.答案：6解析：【分析】本题考查平面向量坐标运算以及模的计算，属于基础题.先根据向量的坐标运算得到2a⃗+b⃗ =(0,−6)，再根据模的公式计算，即可得到答案．【解答】解：因为a⃗=(1,−3)，b⃗ =(−2,0)，所以2a⃗+b⃗ =(0,−6)，所以|2a⃗+b⃗ |=6．故答案为6．14.答案：解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及两直线交点和三角形的面积，考查运算能力，属于基础题．根据导数的几何意义求出函数f(x)在x=0处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式，然后求出与y轴和直线y=x的交点，根据三角形的面积公式求出所求即可．解：∵y=e−2x+1，∴y′=(−2)e−2x∴y′|x=0=(−2)e−2x|x=0=−2∴曲线y=e−2x+1在点(0,2)处的切线方程为y−2=−2(x−0)，即2x+y−2=0令y=0，解得x=1；令y=x，解得x=y=．∴切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为．故答案为：．15.答案：(−2)n−1解析：【分析】本题考查利用S n求通项公式，属于中档题．【解答】解：n=1时，a1=S1=23a1+13⇒a1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1=23a n−23a n−1⇒a n=−2a n−1，∴数列{a n}是以1为首项，以−2为公比的等比数列，则a n=(−2)n−1，故答案为(−2)n−1．16.答案：√2解析：【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的方程和两直线垂直的条件：斜率之积为−1．由题意可得F(c,0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，令x=c，代入双曲线的方程，求得B，C的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为−1，结合a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F(c,0)，A1(−a,0)，A2(a,0)，令x=c，代入双曲线的方程可得y=±b√c2a2−1=±b2a，可设B(c,b2a )，C(c,−b2a)，由A1B⊥A2C，可得k A1B ⋅k A2C=−1，即有b2ac+a·b2aa−c=−1，即为b4=a2(c2−a2)=a2b2，∴a=b，∴e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2=2，即e=√2，故答案为√2．17.答案：解：(1)∵√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12，∴√32sin 2A =1+cos2A 2+12， ∴√32sin 2A −cos2A 2=1， ∴sin(2A −π6)=1，∵A ∈(0,π)，∴2A −π6∈(−π6,11π6)，∴2A −π6=π2，即A =π3．(2)因为S ▵ABC =12bcsinA =√34bc =√34a ，所以a =bc ．又因为a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc ，由b 2+c 2≥2bc ，当且仅当b =c 时取等号，得2bc −bc ≤b 2c 2，即bc ≥1，所以当b =c 时，bc 取得最小值1．解析：本题主要考查了诱导公式，二倍角的公式及两角和差的公式，考查余弦定理，基本不等式及三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，属于中档题．(1)利用诱导公式，二倍角的公式及两角和差的公式，化√3sinAsin(π2−A)=cos 2A +12为sin(2A −π6)=1，结合范围A ∈(0,π)，可得A 的值．(2)由三角形的面积公式得到a =bc.再由余弦定理，基本不等式即可求bc 的最小值． 18.答案：解：(1)由图(1)可知20人中物理成绩优秀的有5人，其中住校生2人；记“从物理成绩优秀的5人中随机抽取2人，至少有1人是住校生”为事件A ，则P(A)=C 22+C 21C 31C 52=710；(2)填写列联表如下；计算K 2=20×(8×6−2×4)212×8×10×10=103≈3.3，经查表知K 2≈3.3<3.841，所以没有95%的把握认为优秀率与住校有关；(3)由图(2)可知，20人中生物成绩为“良好”的学生有12人，则从样本中任取一人生物成绩为“良好”的概率为1220=35，所以从全年级学生中任选3人，生物成绩为“良好”的学生人数ξ服从二项分布，其分布列为(或ξ～B(3,35)：ξ0123P8125361255412527125计算数学期望为E(ξ)=np=3×35=95．解析：(1)由图(1)知20人中物理成绩优秀的人数以及住校生人数，计算所求的概率值；(2)填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；(3)由图(2)，结合题意知ξ服从二项分布，计算分布列，求出数学期望值．本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了二项分布的计算问题，是中档题．19.答案：证明：(1)取AB中点M，连结MC，∵△ABC是边长为2的正三角形，F是BE的中点，∴FM//EA，FM=12EA=1=DC，又EA//DC，∴FM//DC，且FM=DC，∴四边形FMCD是平行四边形，∴FD//MC，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥CM，又AE//CD，∴AE⊥CM，∵CM⊥AB，∴DF⊥AE，DF⊥AB，AE∩AB=A，∴FD⊥平面ABE．解：(2)连结EM，∵MC⊥平面ABE，∴∠CEM是CE与平面EAB所成角，∵△ABC是边长为2的正三角形，DC⊥平面ABC，EA//DC，EA：AB：DC=2：2：1，∴CM=√4−1=√3，CM=√22+22=2√2，sin∠CEM=CMCE =√32√2=√64．∴CE与平面EAB所成角的正弦值为√64．解析：(1)取AB中点M，连结MC，推导出FM//EA，从而FM//DC，且FM=DC，进而四边形FMCD 是平行四边形，FD//MC，由CD⊥平面ABC，得CD⊥CM，从而AE⊥CM，求出DF⊥AE，DF⊥AB，由此能证明FD⊥平面ABE．(2)连结EM，由MC⊥平面ABE，得∠CEM是CE与平面EAB所成角，由此能求出CE与平面EAB所成角的正弦值．本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．20.答案：解：(1)∵a=2√2,e=√32∴c=√6,b2=2，∴椭圆的标准方程为x28+y22=1；(2)设直线l的方程为y=12x+m，并设点A(x1,y1),B(x2,y2)将直线方程代入到椭圆方程中可得x2+ 2mx+2m2−4=0，∴，∴|AB|=√1+14|x1−x2|=√52√(−2m)2−4(2m2−4)=√5(4−m2)，又因为点P到直线l的距离为d=√5，所以S▵PAB=12|AB|⋅d=√(4−m2)⋅m2≤2，当且仅当m=√2<2，满足题意.所以△PAB的面积最大值为2.解析：本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系、面积最值问题等，属中档题．(1)依题意a=2√2,e=√32即可求椭圆的标准方程；(2)设直线l的方程为y=12x+m，将直线方程代入到椭圆方程中，由韦达定理得∴|AB|=√1+14|x1−x2|=√52√(−2m)2−4(2m2−4)=√5(4−m2)，点P到直线l的距离为d=√5，所以S▵PAB=12|AB|⋅d=√(4−m2)⋅m2≤2，即可求△PAB的面积最大值．21.答案：解：(Ⅰ)当a=2时，g(x)=e2x−2−2x2+2x−1，所以g(1)=0，∴g′(x)=2e2x−2−4x+2，∴函数g(x)在(1,g(1))处的切线斜率k=g′(1)=0，∴函数g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y=0．(Ⅱ)若x≥1时，g(x)=e2x−2−ax2+(2a−2)x−a+1≥0，∴g′(x)=2e2x−2−2ax+2a−2，设ℎ(x)=2e 2x−2−2ax +2a −2，∴ℎ′(x)=4e 2x−2−2a ，当a ≤2时，ℎ′(x)≥0(当且仅当a =2,x =1时等号成立)，∴ℎ(x)即g′(x)在(1,+∞)上是增函数，∴当x ≥1时，g′(x)≥g′(1)=0，∴g(x)在(1,+∞)上是增函数，∴当x ≥1时，g(x)≥g(1)=0；当a >2时，当1<x <12ln a 2+1时，ℎ′(x)<0，∴g′(x)在(1,12ln a 2+1)是减函数，∴当1<x <12ln a 2+1时，g′(x)<g′(1)=0，∴g(x)在(1,12ln a 2+1)是减函数，∴当1<x <12ln a 2+1时，g(x)<g(1)=0，不满足题中条件，∴实数a 的取值范围为(−∞,2].解析：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，求函数的极值和最值． (Ⅰ)求出g′(x)，得到g′(1)，就求得函数g(x)在(1,g(1))处的切线斜率，由点斜式求出切线方程； (Ⅱ)求出g′(x)=2e 2x−2−2ax +2a −2，利用导数研究g′(x)的单调性，当a ≤2时，求出g′(x)的最小值，可得到g′(x)≥0，从而得到g(x)为增函数，g(x)≥g(1)=0；当a >2时，可得到g(x)在(1,+∞)上先减后增，不满足g(x)≥0恒成立，由此可求得a 的取值范围．22.答案：解：(1)直线l 的参数方程为{x =2−3t y =√3t ,(t 为参数)，转换为直角坐标方程为：x +√3y −2=0．设代入x +√3y −2=0，整理得直线l 的极坐标方程为，曲线C 1的极坐标方程为ρ=4cosθ．转换为直角坐标方程为：(x −2)2+y 2=4，(2)曲线C 2的极坐标方程为θ=π6，曲线C 2与l 的交点为A ，则：ρA cos π6+√3ρA sin π6−2=0，解得：ρA =2√33，与C 1异于极点的交点为B ，所以：ρB =4cos π6=2√3，则：|AB|=|ρA −ρB |=4√33．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，直线方程的求法及应用，主要考查学生的运算能力和转化能力．属于基础题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换，(2)利用线的关系建立方程组，求出极径，进一步求出结果．23.答案：解：(Ⅰ)①当x <23时，2−3x +x −3≥4，解得x ≤−52；②当23≤x ≤3时，不等式可化为3x −2+x −3≥4，解得x ≥94，∴94≤x ≤3；③当x >3时，不等式可化为3x −2−x +3≥4，即得x >52，∴x >3综上所述：不等式的解集为{x|x ≤−52或x ≥94}；(Ⅱ)g(x)=|3x −2|−|x −3|+|3x +2|−|x +3|①当x <−3时，g(x)=−4x >12；②当−3≤x <−23时，g(x)=−6x −6>−2；③当−23≤x <23时，g(x)=−2；④当23≤x <3时，g(x)=6x −6≥−2；⑤当x ≥3时，g(x)=4x ≥12综上所述：g(x)的最小值为−2．解析：(Ⅰ)对x 分3种情况讨论去绝对值；(Ⅱ)对x 分5种情况讨论．本题考查了绝对值不等式的解法．属中档题．。

2020年陕西高三二模数学试卷(理科)

2020年陕西高三二模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）．A. B. C. D.2.已知集合 ,，则（）．A. B. C. D.3.若变量，满足约束条件，则目标函数的最小值是（）．A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则在上的投影为（）．A. B. C. D.5.已知函数，若，则满足条件的实数的个数是（）．A.B.C.D.6.设，其正态分布密度曲线如图所示，点，点，点，点，向正方形内任意投掷一粒黄豆，则该黄豆落入阴影部分的概率是（）．（注：，则，，）A.B.C.D.7.在公差不为的等差数列中，，，则（）．A.B.C.D.8.已知，且，，则（）．A.B.C.D.9.若将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则的最小值为（）．A.B.C.D.10.在直三棱柱中，，，若该三棱柱的六个顶点都在同一个球面上，且，则该球的表面积的最小值为（）．A.B.C.D.11.已知抛物线，点，直线过焦点且与抛物线交于，两点，若，则的面积为（）．A.B.C.D.12.已知函数，，若存在，对任意，都有，则实数的取值范围是（）．A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图是样本容量为的频率分布直方图，根据该图估计该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值是．频率组距14.在的展开式中，的系数为，则．15.在，为的中点，且，若，则的周长为．16.已知双曲线，过双曲线的左焦点作一斜率为的直线交双曲线的左支于，两点，若以为直径的圆过坐标原点，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.如图，正四棱锥的底边长为，侧棱长为，为上一点，且，点，分别为，上的点，且．证明：平面平面．求锐二面角的余弦值．（1）（2）18.已知正项数列的前项和为，，．求数列的通项公式．若数列满足，令，求证：．19.某市正在进行创建全国文明城市的复验工作，为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度，某权威调查机构对市民进行随机调查，并对调查结果进行统计，共分为优秀和一般两类，先从结果中随机抽取份，统计得出如下列联表：优秀一般总计男女总计（1）（2）（3）根据上述列联表，是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”？现从调查结果为一般的市民中，按分层抽样的方法从中抽取人，然后再从这人中随机抽取人，求这三位市民中男女都有的概率．以样本估计总体，视样本频率为概率，从全市市民中随机抽取人，用表示这人中优秀的人数，求随机变量的期望和方差．附：（其中）．（1）（2）20.已知函数．求函数的极值．当时，若函数有两个极值点，，且，求证：．（1）（2）21.已知椭圆：的离心率为，点的坐标为，且椭圆上任意一点到点的最大距离为．求椭圆的标准方程．若过点的直线与椭圆相交于，两点，点为椭圆长轴上的一点，求面积的最大值．四、选择题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程．若射线与直线和曲线分别交于，两点，求的值．23.设函数的最小值为．【答案】解析:方法一：本题考查复数的运算．由题意得，∴的虚部为，故选．方法二：∵，∴的虚部为，故选．解析:本题考查集合并集的运算．由题意可知集合，∴．故选．解析:本题考查简单的线性规划．如图所示，图中的阴影部分为不等式组所表示的平面区域（含边界），（1）（2）求的值．若，求证：．C1.B2.A3.其中，，．先作出的图象，然后通过平移，发现当目标函数的图象经过点时，取到最小值，故选．解析:本题考查平面向量的数量积及向量的投影．由题可得，，∴，∴在上的投影为，故选．解析:本题考查分段函数及分段函数的图象．作函数的图象如图所示，x123y12O由题意可得当时，；当时，．若，则或，解得或，则或，结合函数图象可知的取值有个．故选．解析:B 4.D 5.A 6.本题考查几何概型与正态分布的相关概率的运算．由题意可得正态分布密度曲线的对称轴是，则，标准差是，而，∴，∴图中阴影部分的面积为．记“黄豆落入阴影部分”为事件，则，故正确，错误．故选．解析:本题考查等差数列的通项公式，由题意可设数列的公差为（），则通项公式，∴，，，，∴，解得（舍去），∴．故选．解析:本题考查三角恒等变换，由题意可得，∵，∴，∴．故选：．解析:本题考查三角函数图象的平移变换与性质．由题意可得平移后的函数解析式为，若该函数图象关于坐标原点对称，则，阴影部分的面积正方形面积A 7.D 8.C 9.解得．∵，∴，∴∴的最大值为，∴．故选．解析:由题意可知外接圆的半径．设该三棱柱外接球的半径为，则．由可得，∴，∴，当且仅当，时取得最小值，∴该三棱柱外接球的表面积的最小值为．故选．解析:方法一：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，D 10.B 11.，∴，，∴，∴，∴直线的方程为，则点到直线的距离为，∴的面积为．故选．方法二：由题意可得抛物线的焦点，设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程得，即，设，两点的坐标为，，则由韦达定理可得，，∴，∴，即，∵，∴．故选．解析:本题考查函数的图象与性质、导函数及利用导函数解不等式．由题意可得，C 12.令，得，而，，，∴，，∴，∵，令，得，而，，，∴，，∴．由题意可知存在，对任意，都有等价于，即，∴，故选．解析:由样本容量为的频率分布直方图，知：的频率为，的频率为，∴该样本数据的中位数为：，该样本数据的平均数为：，∴该样本数据的中位数与平均数的差的绝对值为：，故答案为：．解析:本题考查二项式定理．∵展开式的通项为，13.或14.则由可知，展开式中的系数为，∴，即，解得或．15.解析:本题考查余弦定理．令，则，，则．∵，∴．又点为的中点，∴，在中，由余弦定理得，∴，∴，，故的周长为．16.解析:本题考查双曲线的离心率、直线与双曲线的位置关系．设直线的方程为，与双曲线的方程联立可得，化简得，令，，则，，，∵以为直径的圆过坐标原点，∴，∴，∴，∴，即，又∵，，代入化简可得，即，（1）（2）又∵双曲线的离心率，∴．解析:∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．∵，，，∴，∴．∵，平面，，，平面，，∴平面平面．如图：如图，连接，相交于点，连接．∵四棱锥为正四棱锥，∴，，又，∴，且，同理可得，∴，，两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，．，，，（1）证明见解析．（2）．17.，，，，（1）（2）∴，，，令平面的法向量为，则，即，解得，∴取，则，，故，同理可得平面的一个法向量，∴，∴锐二面角的余弦值为．解析:由题意可得当时，，∴；当时，，，∴，∵，∴，∴数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项也是公差为的等差数列，又∵ ，∴数列是公差为的等差数列，∴．由（）知，，，∴，，两式相减得，，（1）．（2）证明见解析．18.（1）（2）（3）（1）∴，∵当时，，∴．解析:由列联表可得，∴没有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”．调查结果为一般的市民中有男人，女人，人数之比为，所以按分层抽样抽取的人中，男人，女人．设“这三位市民中男女都有”为事件，则（或）．由列联表可得在样本中任选一人，其优秀的概率为，∴，，，，，，，∴~，∴，，∴随机变量的期望为，方差为．解析:由题意可得（1）没有．（2）．（3）期望，方差．19.（1）当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．（2）证明见解析．20.（2）（1），当时，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，；当时，，，，函数在上单调递增，∴无极值；当，，函数的单调性和极值如表：递增极大值递减极小值递增∴，，综上所述，当时，函数的极大值为，极小值为；当时，无极值；当时，函数的极大值为，极小值为．由题意得，即，，由（）可知，，∴，，∴，令，则，∴在上单调递减，∴，即，∵，∴．解析:方法一：极大值极小值极大值极小值（1）．（2）．21.（2）由题意可得离心率，又，∴，，令点为椭圆上任意一点，则，∴，∴，，∴椭圆的标准方程为．方法二：由题意可得离心率，又，∴，，令椭圆上任意一点，∴，当时，，∴，满足；当时，，解得（负值舍去），，则，不满足条件，舍去．综上，，，椭圆的标准方程为．设点坐标为，直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程化简得，令，两点的坐标分别为，，（1）由韦达定理可得，，则，化简得，点到直线的距离，∴的面积，令，则，,当时，，当且仅当，时等号成立，此时，∴，∵，∴当且仅当时，取到最大值为，此时面积取到最大值，即，此时直线的方程为，点的坐标为，综上，面积的最大值为．解析:由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为，由得，将，代入上式，得，（1）直线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为．（2）．22.（2）（1）（2）所以曲线的直角坐标方程为．由（）可知直线的普通方程为，化为极坐标方程得，当时，设，两点的极坐标分别为，，则，，所以．解析:由可得，则．∵，∴．由（）可知，∴，（当且仅当时等号成立），∴，故．（1）．（2）证明见解析．23.。

2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)

2020年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={x|−1<x<1}，N={x|y=√2x−1}，则M∩N=()A. {x|12≤x<1} B. {x|12<x<1}C. {x|0≤x<1}D. {x|−1<x≤12}2.已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为()A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i3.随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是()A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当4.在正项等比数列{a n}中，若a1，12a3，2a2成等差数列，则a5a3=()A. 1+√2B. 1−√2C. 3+2√2D. 3−2√25.如图，正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a，a，连接CE和CG，在两个正方形区域内任取一点，则该点位于阴影部分的概率是()A. 35 B. 38 C. 310 D. 3206. 已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是( )A. α⊥β，α∩β=a ，a ⊥b ，则b ⊥αB. α⊥β，β⊥γ，则α//γC. α∩β=a ，β∩γ=b ，α⊥β，则a ⊥bD. α//β，β⊥γ，则α⊥γ7. 已知双曲线x 2−y 2b 2=1(b >0)的一个焦点是(2,0)，则其渐近线的方程为( )A. x ±√3y =0B. √3x ±y =0C. x ±3y =0D. 3x ±y =08. 已知函数f(x)=10(x 2+1)x⋅e |x|，则函数f(x)的图象大致为( )A.B.C.D.9. 已知抛物线y =18x 2与双曲线y 2a 2−x 2=1(a >0)有共同的焦点F ，O 为坐标原点，P 在x 轴上方且在双曲线上，则OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FP⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A. 2√3−3B. 3−2√3C. 74D. 3410.正四棱锥P−ABCD的五个顶点在同一个球面上，若其底面边长为4，侧棱长为2√6，则此球的表面积为()A. 18πB. 36πC. 72πD. 9π11.函数f(x)=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在(0,π2)上的单调递增区间是()A. (0,π4) B. (π4,π2) C. (0,π8) D. (π8,π4)12.函数f(x)=ax2+bx+lnx在点(1,f(1))处的切线方程为y=4x−2，则b−a=()A. −1B. 0C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗=(−1,3)，b⃗ =(x,2)，若向量a⃗+b⃗ 与a⃗垂直，则x=______．14.(x2+2x)5的展开式中x4的系数为________．15.已知a>0，b>0，且ℎ=min(a,ba2+b2)，求h的范围______ ．16.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知3(b2+c2)=3a2+2bc，则sinA=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1+a3=10，S4=24．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令T n=1S1+1S2+⋯+1S n，求证：T n<34．18.眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，调节肌肉，改善眼的疲劳，达到预防近视等眼部疾病的目的．某学校为了调查推广眼保健操对改善学生视力的效果，在应届高三的全体800名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图的频率分布直方图．(1)若直方图中后三组的频数成等差数列，试估计全年级视力在5.0以上的人数；(2)为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对年级不做眼保健操和坚持做眼保健操的学生进行了调查，得到表中数据，根据表中的数据，能否在犯错的概率不超过0.005的前提下认为视力与眼保健操有关系？是否做操不做操做操是否近视近视4432不近视618(3)在(2)中调查的100名学生中，按照分层抽样在不近视的学生中抽取8人，进一步调查他们良好的护眼习惯，在这8人中任取2人，记坚持做眼保健操的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图，四边形ABCD为平行四边形，∠DAB=π，点E在AB上，AE=2EB=2，且DE⊥AB.以4DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB=60°．(1)求证：平面BFC⊥平面BCDE；(2)求二面角B−EF−C的余弦值．20.如图所示，已知椭圆：C∈(0,π)的离心率为，右准线方程是直线，点为直线上的一个动点，过点作椭圆的两条切线、，切点分别为、(点在x轴上方，点在轴下方)．(1)求椭圆的标准方程；(2)①求证：分别以、PB为直径的两圆都恒过定点C；②若，求直线的方程．21.设函数f(x)=e x．x−1(I)求函数f(x)的单调区间；(II)若当x≥2时，f′(x)≥af(x)恒成立，求实数a的取值范围．22.已知直线l过原点且倾斜角为θ0，θ0≠π，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标2系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．(I)写出直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(Ⅱ)已知直线l´过原点且与直线l相互垂直，若l∩C=M，l´∩C=N，其中M，N不与原点重合，求△OMN面积的最小值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：A解析：本题考查交集的运算．可以求出集合N，然后进行交集的运算即可．解：N={x|x≥12}；∴M∩N={x|12≤x<1}．故选：A．2.答案：A解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i +i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z−=1+i，故选：A．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查图表，进行推理，属于基础题．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A=0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A=0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A =0.4A ，2015年教育医疗的消费额为0.3×A =0.3A ，0.4A0.3A =43，B 错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A =0.6A ，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A =0.1A ，0.6A 0.1A =6，C 对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A =0.3A ，2015年生活用品的消费额为0.15×A =0.15A ，不相等，D 错；故选：C ．4.答案：C解析：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式，属于基础题．根据等差数列的性质，结合等比数列的通项公式求出等比数列{a n }的公比即可．解：由于a 1， 12a 3， 2a 2成等差数列，所以a 3=a 1+2a 2，{a n }是正项等比数列，设公比为q (q >0)，则负值舍去)，所以a5a 3=q 2=3+2√2．故选C ．5.答案：C解析：本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．根据几何概型的概率公式求出阴影部分的面积与两个正方形面积和的比即可．解：如图所示，正方形BCDE 和正方形ABFG 的边长分别为2a 和a ，∴S 阴影=S 正方形ABFG +S △BCE −S △ACG =a 2+12⋅2a ⋅2a −12⋅a ⋅3a=32a2；∴该平面图形内随机取一点P，则点P来自阴影部分区域的概率是P=32a2a2+(2a)2=310．故选：C．6.答案：D解析：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，是解答的关键．属于基础题．根据空间线面平行和线面垂直的判定方法，性质及几何特征，逐一分析四个答案中推理过程及结论的正误，可得答案．解：若α⊥β，α∩β=a，a⊥b，则b与α的关系不确定，故A错误；若α⊥β，β⊥γ，则α与γ可能平行也可能相交(此时交线与β垂直)，故B错误；若α∩β=a，β∩γ=b，α⊥β，则a与b可能平行，也可能相交，故C错误；若α//β，根据两个平行平面与第三个平面的夹角相等，结合β⊥γ可得α⊥γ，故D正确．故选：D．7.答案：B解析：解：由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b=√3，可得渐近线方程为y=±√3x.故选B．由题意可得c=2，即1+b2=4，解得b，进而得到双曲线的方程，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的方程和渐近线方程的求法，注意运用双曲线的基本量的关系和渐近线方程与双曲线的方程的关系，考查运算能力，属于基础题．8.答案：A解析：。

【2020届咸阳二模】理科数学试题及答案解析

2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学注意事项：1.试卷分第I 卷和第Ⅱ卷两部分，将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡和答案卷；2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、填写在本试题相应位置；3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效；4．本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 集合{}1M x y x ==-，{}1,0,1,2N =-，则M N =I A ．{0,1} B ．{1,0,1}- C ．{1,1}- D.{0,1,2}2. 已知 i 为虚数单位，复数(1i)(2i)z =++的共轭复数z =A ．13i +B ．13i -+C ．13i -D ．13i -- 3. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.右图是20152019-年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误．．的是 A ．这五年，出口总额．．之．和．比进口总额．．之．和．大 B ．这五年，2015年出口额最少 C ．这五年，2019年进口增速最快 D . 这五年，出口增速前四年逐年下降 4.已知数列321121,,,,n n a a a a a a a -⋅⋅⋅是首项为8，公比为12得等比数列，则3a 等于A.64B.32C.2D.45. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样．为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165 B ． 325C ．10 D.1856.已知,a b 为两条不同直线，,,αβγ为三个不同平面，下列命题： ①若//,//αβαγ，则//βγ ②若//,//a a αβ，则//αβ ③若,αγβγ⊥⊥，则αβ⊥ ④若,a b αα⊥⊥，则//a b 其中正确命题序号为A . ②③ B. ②③④C. ①④D. ①②③7. 双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为(,0)(0)F c c >，且双曲线1C 的两条渐近线与圆2222:()4c C x c y -+=均相切，则双曲线1C 的渐近线方程为A. 30x y ±=B. 30x y ±=C. 50x y ±=D.50x y ±=8.函数2()1x x f x e =-的大致图像是A B C D9.已知AB 是过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 是原点,则OA OB ⋅=u u u r u u u rA.2-B. 4-C. 3D. 3-10.正四棱锥P ABCD -的五个顶点在同一个球面上,6,侧棱长为3则它的外接球的表面积为A. 4πB.8πC. 16πD. 20π11.关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++,下列说法正确的是 A.函数()f x 的定义域为RB. 函数()f x 一个递增区间为3[,]88ππ-C.函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D. 将函数22y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 12.已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为A. 12e -B. 14e -C. 1e -D. 2e -12()t h 3(/)y mg m 01第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分. 第13题:第21题为必考题，每个考生都必须作答. 第22题:第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置.13.若向量(1,2)a x =-r 与向量(2,1)b =r垂直，则x =_____ .14.4(1)(1)x x -+展开式中,含2x 项的系数为__ __. 15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量3(/)y mg m 与时间()t h 的函数关系为1,0211,2kt t y t kt⎧<<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩（如图所示）实验表明，当药物释放量30.75(/)y mg m <时对人体无害. (1)k =____;(2) 为了不使人身体受到药物伤害，若使用该消毒剂对房间进行消毒，则在消毒后至少经过_____分钟人方可进入房间.（第一问2分，第二问3分）16. 在ABC ∆中, 角,,A B C 的对边分别是,,a b c 3cos 1,2A A a -==,则ABC ∆的面积的最大值为_________.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知37618,36a a S +==. (I )求数列{}n a 的通项公式及前n 项和为n S ; （Ⅱ）设n T 为数列1{}n S n+的前n 项的和,求证: 1n T <. 18.（本小题满分12分）为了响应国家号召，促进垃圾分类，某校组织了高三年级学生参与了“垃圾分类，从我做起”的知识问卷作答，随机抽出男女各20名同学的问卷进行打分，作出如图所示的茎叶图，成绩大于70分的为“ 合格”.(I )由以上数据绘制成22⨯联表,是否有0095以上的男女总计合格不合格总计60分)的男女学生问卷中任意选2个,记来自男生的个数为X ，求X 的分布列及数学期望. 附：19．（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD 中，//,90,22,AB DC ABC AB DC BC E ∠===o为AB 的中点，沿DE 将ADE ∆折起，使得点A 到点P 位置，且PE EB ⊥，M 为PB 的中点，N 是BC 上的动点（与点,B C 不重合）.(I )证明：平面EMN ⊥平面PBC 垂直；（Ⅱ）是否存在点N ，使得二面角B EN M --N 点位置；若不存在，说明理由. 20.（本小题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为2，它的四个顶点构成的四边形面积为.(I )求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设P 是直线2x a =上任意一点，过点P 作圆222x y a +=的两条切线，切点分别为,M N . 求证：直线MN 恒过一个定点.21．（本小题满分12分）已知函数()(,0),()ln 1xf x axe a ag x x x =∈≠=++R . （I ）讨论()f x 的单调性;（Ⅱ）若对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修44-:坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程是2cos 4sin 0ρθθ-=,直线1l 和直线2l 的极坐标方程分别是()R θαρ=∈和()2R πθαρ=+∈,其中k απ≠()k z ∈.(I )写出曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线1l 和直线2l 分别与曲线C 交于除极点O 的另外点,A B ,求OAB ∆的面积最小值. 23.（本小题满分10分）选修45-：不等式选讲已知关于x 的不等式20x m x +-≤解集为[1,)(0)m +∞>. (I )求正数m 的值；（Ⅱ）设,,a b c ∈+R ，且a b c m ++=，求证:2221a b c b c a++≥. BBCDEMNP22()()()()()n ad bc K n a b c da b c d a c b d -==+++++++2020年咸阳市高考模拟考试试题（二）理科数学参考答案一、选择题： BCDAD CABDC BA二、填空题： 13. 0 14. 2 15. 2， 40 16. 3 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）解: (I ) 等差数列{}n a 的公差为d ,由37618,36a a S +==得5169,12a a a =+=,即1149,2512a d a d +=+=,解得11,2a d ==∴21n a n =-,2135(21)n S n n =+++⋅⋅⋅+-= ……………………6分(Ⅱ)证明:由(I )得2n S n =,∴211111(1)1n S n n n n n n n ===-++++∴11111111122311n T n n n =-+-+⋅⋅⋅+-=-<++ 即 1n T < ……………………12分 18.（本小题满分12分）解：(I )根据茎叶图可得2240(1041016)3603.956 3.8412614202091K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯知有0095以上的把握认为“性别” 与“问卷结果”有关.……………………6分(Ⅱ)从茎叶图可知, 成绩在60分以下(不含60分)的男女学生人数分别是4人和2人,从中任意选2人,基本事件总数为2615C =,0,1,2X =211224241862(0),(1),(2),1515151515155C C C C P X P X P X ==========……………………12分 19．（本小题满分12分）解:(I )证明: ∵PE EB ⊥,,PE ED EB ED E ⊥=I∴PE ⊥平面EBCD又PE 平面PEB , ∴平面PEB ⊥平面EBCD而BC 平面EBCD , BC EB ⊥, ∴平面PBC ⊥平面PEB 由,PE EB PM MB ==知EM PB ⊥,可知EM ⊥平面PBC又EM 平面EMN , ∴平面EMN ⊥平面PBC ……………………6分0118264()153E X ⨯+⨯+⨯==(Ⅱ)法1：假设存在点N 满足题意，过M 作MQ EB ⊥于Q ，由PE EB ⊥知//PE MQ 易证PE ⊥平面EBCD ，所以MQ ⊥平面EBCD过Q 作QR EN ⊥于R ，连接MR ，则EN MR ⊥（三垂线定理）即MRQ ∠是二面角B EN M --的平面角不妨设2PE EB BC ===，则1MQ =，在Rt EBN ∆中，设(02)BN x x =<<，由Rt EBN Rt ERQ ∆∆:得，BN ENRQ EQ=即1x RQ =，得RQ =∴tan MQ MRQ RQx∠==，依题意知cos 6MRQ ∠=，即tan MRQ x∠==1(0,2)x =∈，此时N 为 BC 的中点综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值6，此时N 为BC 的中点. ……………………12分法2：假设存在点N 满足题意，取E 为原点，直线,,EB ED EP 分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，不妨设2PE EB ==，显然平面BEN 的一个法向量为1(0,0,1)n =u r，设(02)BN m m =<<，则(1,0,1),(2,,0)EM EN m ==u u u u r u u u r设平面EMN 的法向量为2(,,)n x y z =u u r ，则由220EM n EN n ⋅=⋅=u u u u r u u r u u u r u u r得(1,0,1)(,,)00(2,,0)(,,)020x y z x z m x y z x my ⋅=+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，取2(,2,)n m m =-u u r∴121212cos ,n n n n n n ⋅<>===⋅u r u u ru r u u r u r u u r 依题意,=,解得1(0,2)m =∈,此时N 为BC 的中点CRBC DE MNPQ综上知，存在点N ，使得二面角B EN M --的余弦值66，此时N 为BC 的中点. ……………………12分 20.（本小题满分12分）解: （I ）依题意得2221222222a b c a b c a ⎧⎪=+⎪⎪⋅⋅=⎨⎪⎪=⎪⎩解得22221a b c ⎧=⎨==⎩ ∴椭圆22:12x C y += ……………………5分（Ⅱ）法1：设点0(2,)P y ，1122(,),(,),M x y N x y其中222211222,2x y x y +=+=，由PM OM ⊥，PN ON ⊥得10201211221,122y y y y y y x x x x --⋅=-⋅=--- 即2222111102222020,20x y x y y x y x y y +--=+--= 注意到222211222,2x y x y +=+=，于是110220220,220x y y x y y --=--= 因此1122(,),(,)M x y N x y 满足0220x yy --=由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分法2：设点0(2,)P y ,过点P 且与圆222x y +=相切的直线为,PM PN ,切点分别为,,M N 由圆的知识知, ,M N 是圆以OP 为直径的圆222200(1)()1()22y yx y -+-=+和圆222x y +=的两个交点,由222222002(1)()1()22x y y y x y ⎧+=⎪⎨-+-=+⎪⎩消去二次项得直线MN 方程为 0220x y y --=,由0y 的任意性知,1,0x y ==,即直线MN 恒过一个定点(1,0).……………………12分 21．（本小题满分12分）解: （I ）()(1)(0)xf x a x e a '=+≠当0a >时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞]Z ;当0a <时, ()f x 在(,1)(1,)-∞--+∞Z ]. ……………………5分 (Ⅱ)法1： ()()(0)f x g x x ≥>，即ln 1ln 1(0)(0)xxx x axe x x x a x xe++≥++>⇔≥> 令ln 1()(0)xx x F x x xe ++=>，则221()(1)(ln 1)(1)(ln )()()x x x xx xe x e x x x x x x F x xe x e +-+++-++'==令()ln x x x ϕ=+，显然()x ϕ在(0,)+∞Z ，注意到11()10,(1)10e eϕϕ=-<=>，于是存在 01(,1)x e∈使得000()ln 0x x x ϕ=+=，可知()F x 在00(0,)(,)x x +∞Z ]∴00max 00ln 1()()1x x x F x F x x e ++=== 综上知,1a ≥ ……………………12分法2:先证1xe x ≥+,令()1xh x e x =--,则0()1xxh x e e e '=-=-,知()h x 在(,0),-∞](0,)+∞Z ,于是()(0)0h x h ≥=,即1x e x ≥+∴ln ln 1x x xxe ex x +=≥++,当且仅当ln 0x x +=时取等号 ∴当1a ≥时, 对任意的0x >,()()f x g x ≥恒成立综上知,1a ≥ ……………………12分请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号. 22.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程解：（I ）曲线C ：2cos 4sin ρθθ-0=，即22cos 4sin ρθρθ-0= 化为直角坐标方程为：24x y =（Ⅱ）法1：212cos 4sin 04sin cos ρθθαραθα⎧-=⇒=⎨=⎩，即124sin cos OA αρα== 同理2224sin()4cos 2sin cos ()2OB πααρπαα+===+ ∴22114sin 4cos 8161622cos sin sin cos sin 2OAB S OA OB ααααααα∆==⋅==≥当且仅当sin 21α=，即()4k k z παπ=+∈时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………5分法2：显然12l l ⊥，设直线1:l y kx =，直线21:l y x k=-(0)k ≠ 2212440,0,4x yx kx x x k y kx ⎧=⇒-===⎨=⎩，得124OA x =-=同理24OB k ===∴221111488()1622OABk S OA OB k k k k∆+==⋅==+≥当且仅当1k k=，即1k =±时取等号即OAB ∆的面积最小值为16 ……………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）解：不等式20x m x +-≤，即不等式222x m x x x m x +≤⇔-≤+≤∴3x m m x ≥⎧⎪⎨≥-⎪⎩，而0m >，于是x m ≥依题意得1m = ……………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知1a b c ++=，原不等式可化为222a b c a b c b c a++≥++ 法1：∵,,a b c ∈+R ，222a b ab +≥∴22a a b b ≥-，同理22b b c c ≥-，22c c a a ≥- 三式相加得222a b c a b c b c a ++≥++，当且仅当a b c ==时取等号综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分法2：由柯西不等式得1a b c =++=≤ （,,a b c ∈+R ，且1a b c ++=）整理得2221a b c b c a ++≥（当且仅当13a b c ===时取等号）……………………10分法3:不妨设0a b c ≥≥>,则2221110,0a b c c b a ≥≥>≥≥>,由排序不等式知反序和最小,所以222222111111a b c a b c b c a b b c⋅+⋅+⋅≥⋅+⋅+⋅,即222a b c a b c b c a ++≥++ 综上 2221a b c b c a++≥ ……………………10分。

2023年陕西省咸阳市高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)

2023年陕西省咸阳市高考数学二模试卷（理科）1. 已知复数z满足，那么( )A. 1B.C.D. 22. 已知集合，，那么( )A. B. C. D.3. 某商场要将单价分别为36元，48元，72元的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等.那么该商场对混合糖果比较合理的定价应为( )A. 52元B. 50元C. 48元D. 46元4. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下四个命题：①若，，则②若，，则③若，，则④若，，，则其中正确的命题是( )A. ②③B. ②④C. ①③D. ①②5. 函数的大致图像为( )A. B.C. D.6. 已知函数，当时，取得最小值，则的最小值是( )A. B. C. D.7. 数列的前n项和为，对一切正整数n，点在函数的图象上，且，则数列的前n项和为( )A. B.C. D.8. 已知直角三角形ABC，，，，现将该三角形沿斜边AB旋转一周，则旋转形成的几何体的体积为( )A. B. C. D.9. 巴塞尔问题是一个著名的级数问题，这个问题首先由皮耶特罗门戈利在1644年提出，由莱昂哈德欧拉在1735年解决.欧拉通过推导得出：某同学为了验证欧拉的结论，设计了如图的算法，计算的值来估算，则判断框填入的是( )A.B.C.D.10. 2022年卡塔尔世界杯足球赛落幕，这是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行、也是第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.有甲，乙，丙，丁四个人相互之间进行传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙，丙，丁中的任何一个人，以此类推，则经过三次传球后乙只接到一次球的概率为( )A. B. C. D.11. 已知双曲线C：，c是双曲线的半焦距，则当取得最大值时，双曲线的离心率为( )A. B. C. D.12. 已知实数，…，对任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 二项式的展开式中的系数为______.14. 过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若l的倾斜角为，则线段AB的中点到x轴的距离是______ .15.已知非零向量，，满足，，的夹角为，且，则向量，的数量积为______ .16. 如图，已知在扇形OAB中，半径，，圆内切于扇形圆和OA、OB、弧AB均相切，作圆与圆、OA、OB相切，再作圆与圆、OA、OB相切，以此类推.设圆、圆…的面积依次为，…，那么…______ .17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求；若，求的周长.18. 如图，直四棱柱的底面是菱形，，，E，M，N分别是BC，，的中点.证明：平面；求二面角的正弦值.19. 2023年1月26日，世界乒乓球职业大联盟支线赛多哈站结束，中国队包揽了五个单项冠军，乒乓球单打规则是首先由发球员发球2次，再由接发球员发球2次，两者交替，胜者得1分.在一局比赛中，先得11分的一方为胜方，10平后，先多得2分的一方为胜方，甲、乙两位同学进行乒乓球单打比赛，甲在一次发球中，得1分的概率为，乙在一次发球中，得1分的概率为，如果在一局比赛中，由乙队员先发球.甲、乙的比分暂时为8：8，求最终甲以11：9赢得比赛的概率；求发球3次后，甲的累计得分的分布列及数学期望.20. 椭圆C：的左、右焦点分别为、，且椭圆C过点，离心率为求椭圆C的方程；若点是椭圆上任一点，那么椭圆在点M处的切线方程为已知是中椭圆C上除顶点之外的任一点，椭圆C在N点处的切线和过N点垂直于切线的直线分别与y轴交于点P、求证：点P、N、Q、、在同一圆上.21. 已知函数当时，求函数的零点；对于任意的，恒有，求实数a的取值范围.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；若直线l与曲线C交于P，Q两点，且点，求的值.23. 已知：，若，求不等式的解集；，若图像与两坐标轴围成的三角形面积不大于2，求正数m 的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，所以，所以，即，所以，所以故选：根据复数的四则运算求出复数z，即可得的值．本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：由，得，所以，由及，得，解得，解得，所有，故选：根据偶次根式要求被开方式大于等于零，求得集合，解分式不等式求得集合，然后求交集得到结果．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：定价元故选：本质上是求3种糖果单价的加权平均值，只需将三种糖果的单价加权平均即可．本题主要考查加权平均值的求法，考查运算求解能力，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，①若，，则或，故①错误；②若，，则，故②正确；③若，，则，故③正确；④若，，，则m，n平行、相交或异面，故④错误．故选：由线面的位置关系可判断①；由面面垂直的判定定理可判断②；由线面垂直的性质可判断③；由线线的位置关系可判断④．本题考查空间中线线、线面和面面的位置关系，考查转化思想和推理能力，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：因为，，当时，，单调递增，当时，，单调递减且，所以只有B选项才满足，故选：求出当和的解析式，再根据指数函数的单调性及值域即可得答案．本题考查了指数函数的性质、值域，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为当时，取得最小值，即，所以，即，解得：，当时，，当时，，所以的最小值是故选：根据时，取得最小值，列出等式后解出，取k为连续的整数时，刚好正负发生变化，即可得出的最小值．本题主要考查三角函数的最值，正弦函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．7.【答案】D【解析】解：由题意知①，当时，，当时，②，①-②得，又，，符合题意，，，故选：根据与的关系求得，进而求出，利用裂项相消求和法即可求解．本题考查根据数列的前n项和求通项公式，裂项求和法的应用，属中档题．8.【答案】C【解析】解：将直角三角形ABC沿斜边AB旋转一周，旋转形成的几何体的如图所示，，，故选：由题意作出旋转体由两个圆锥构成，利用等面积法求出底面圆的半径，即可根据圆锥的体积公式求出旋转体的体积．本题主要考查了圆锥的结构特征，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：若，时，当判断框填入的是，或时，则直接输出，错误，由题意得，，，，，，，，，，当时，则直接输出，若时，则满足，则还需要再循环1次，则输出的结果为，则需要，故选：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，属于中档题．10.【答案】D【解析】解：传球的结果可以分为：分别传给3人时：乙丙丁，乙丁丙，丙乙丁，丙丁乙，丁乙丙，丁丙乙，共6种；若传给2人时：乙丙乙，丙乙丙，乙丁乙，丁乙丁，丁丙丁，丙丁丙，共6种；再传给甲的：乙甲乙，丙甲丙，丁甲丁，乙丙甲，乙甲丙，乙丁甲，乙甲丁，丙乙甲，丙甲乙，丁乙甲，丁甲乙，丙丁甲，丙甲丁，丁甲丙，丁丙甲，共15种；共27种，只传乙一次的有16种，所以所求概率为故选：将所有传球的结果列出，再利用古典概型求结果．本题主要考查了古典概型的概率公式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：是双曲线C：的半焦距，，设，，则，令，则，当时，有最大值，，，故选：由题意得，利用三角换元，用c表示a，b，利用三角函数求得最值，结合离心率公式，即可得出答案．本题考查双曲线的性质，考查转化思想和换元法，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：因为，所以，即，即，所以，令，，易知在上单调递增，又因为，所以，所以，，所以，，令，，则，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，所以，解得故选：将原不等式变化为，令，，则在上单调递增，故有，即有，，，，令，，求出的最小值即可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性及最值，考查不等式的恒成立问题，查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．13.【答案】80【解析】解：二项式的展开式的通项公式为，令，，故展开式中的系数为，故答案为在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得展开式中的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．14.【答案】3【解析】解：由题意得抛物线的标准方程为，则，即直线l为，联立，整理得，设，，则，故线段AB的中点的横坐标为，代入直线l得，线段AB的中点到x轴的距离是3，故答案为：由题意可设直线l的方程为，联立抛物线方程，利用韦达定理可得AB的中点横坐标，即可得出答案．本题考查抛物线的性质，考查方程思想和转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．15.【答案】0【解析】解：，，又，的夹角为，且，向量，的数量积，故答案为：由题意得，根据向量数量积的性质，即可得出答案．本题考查平面向量数量积的性质及其运算，考查转化思想，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】【解析】解：如图，设圆圆，与OA分别切于点C，E，则，，圆，，，⋯⋯的半径为，，，⋯⋯，，因为，所以，在中，，则，即，解得，在中，，则，即，解得，同理可得，所以，，，⋯⋯，是以为首项，为公比的等比数列，因为，所以面积，，，⋯⋯，构成一个以为首项，以为公比的等比数列，则故答案为：分别设圆，，，⋯⋯的半径为，，，⋯⋯，根据题意可得，，，⋯⋯，是以为首项，为公比的等比数列，然后结合圆的面积公式和等比数列求和公式计算即可求解．本题考查数列的求和，考查运算求解能力，属中档题．17.【答案】解：在中，，，，，；在中，，由正弦定理可得，，又，，由余弦定理可得，，，解得，故的周长为【解析】根据已知条件，结合余弦函数的两角和公式，即可求解；根据已知条件，结合正弦定理，以及余弦定理，即可求解．本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．18.【答案】解：证明：连接ME，，，E分别为，BC中点，且，又且，四边形为平行四边形，且，又N为中点，且，，，四边形MNDE为平行四边形，，又平面，平面，平面；连接AC，BD，，，设，，则由直四棱柱性质可知平面ABCD，四边形ABCD为菱形，，以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，则根据题意可得：，，，，，取AB中点F，连接DF，则，，，四边形ABCD为菱形且，为等边三角形，，又平面ABCD，平面ABCD，，又，，平面，平面，即平面，为平面的一个法向量，且，设平面的一个法向量为，则，取，，，二面角的正弦值为【解析】连接ME，，证明四边形MNDE为平行四边形，可得，再根据线面平行的判定定理即可得证；连接AC，BD，，，设，，以O为原点，可建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解即可．本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．19.【答案】解：甲以11：9赢得比赛，共计20次发球，在后4次发球中，需甲在最后一次获胜，最终甲以11：9赢得比赛的概率为：；设甲累计得分为随机变量X，X的可能取值为0，1，2，3，，，，，随机变量X的分布列为：X0123P【解析】根据题意可得甲以11：9赢得比赛，则甲再得到3分，乙得到1分，且甲得到最后一分，再根据独立事件的乘法公式求概率即可；根据题意可得X的可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率列出分布列，再求其数学期望即可．本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．20.【答案】解：由题意得，解得，，所以椭圆C的标准方程为证明：由题意知：过点的椭圆的切线方程为，令，则；且，则设直线NQ方程为，令，则；又，，则；，即，，，即点N、P、Q、、在以PQ为直径的圆上．【解析】根据离心率和椭圆所过点及得到方程组，求出答案；根据题意得到过点的椭圆的切线方程及直线NQ方程，得到P、Q两点坐标，从而得到，得到，，得到证明．本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：当时，，得，令，则，，即，所以在R上单调递增，注意到，故有唯一的零点注意到，只要即可，，，令，则，当时，，有，即，符合题意；当时，，若，即时，，此时，即，符合题意；若，即时，在上单调递减，在上单调递增知，，不合题意，综上，即实数a的取值范围为【解析】的正负不明显时，对其再次求导判断值域，即可得出的正负，从而得出的单调性，再结合函数值即可判断零点个数．注意到，可考虑让在单调递增求出a的范围即可符合题意，然后再检验不单调递增时a的范围即可，此法为端点效应．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的零点以及不等式的恒成立问题，本题第二问的关键在于分类讨论，首先讨论时的情况，然后讨论时，利用端点效应代入求出a的范围，并检验是否符合题意，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由曲线为参数，消去t得，曲线C的普通方程为，由直线l：，，，可得其直角坐标方程为直线l：化为参数式为为参数，将直线l的参数方程代入，可得，即由根与系数的关系可得，，，【解析】消去参数t，可得曲线C的普通方程，由极坐标和直角坐标间的转化关系可得直线l 的直角坐标方程；写出直线l的参数方程，与曲线C的方程联立，利用参数的几何意义即可得解．本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义及其应用等知识，属于中等题．23.【答案】解：当时，，所以当时，，即，解得，当时，，即，解得，当时，，即，解得，综上，或，所以不等式的解集为，如图所示，图像与两坐标轴交于点，，则，依题意，即，所以实数m的取值范围为【解析】将代入函数，并将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；作出函数图象，结合图象得到点A，B的坐标，进而表示出的面积，由此可得解．本题考查分段函数及其运用，考查分类讨论思想，数形结合思想以及运算求解能力，属于中档题．。

陕西省咸阳市2020年高考模拟检测理科数学试题(附参考答案)

咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题一、选择题1．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,42．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，432a a =，11a =，则4S =（） A ．31B ．15C ．8D ．73．2020年春节突如其来的XGFY 在湖北爆发，一方有难八方支援，全国各地的白衣天使走上战场的第一线，某医院抽调甲、乙、丙三名医生，抽调A 、B 、C 三名护士支援武汉第一医院与第二医院，参加武汉疫情狙击战.其中选一名护士与一名医生去第一医院，其它都在第二医院工作，则医生甲和护士A 被选为第一医院工作的概率为（） A ．112B ．16C ．15D ．194．已知非零向量,a b 满足a =，且()a b b -⊥，则a 与b 的夹角为（）A ．6π B ．4πC ．3π D ．2π 5．设复数z 满足11z i -+=，z 在复平面内对应的点为(),P x y ，则点P 的轨迹方程为（） A ．()2211x y ++=B ．()2211x y -+=C ．()2211x y +-=D ．()()22111x y -++=6．“22ππα-<<”是“方程2212cos x y α-=表示双曲线”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积过程中构造在一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）.其直观图如图所示，图中四边形是体现其直观性所做的辅助线，当其正视图与侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别是（）A ．,a bB ．,a cC ．,a dD ．,b d8．若数列{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，且满足：1202027a a +=，120202b b ⋅=，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且()x f x e =，[]0,2x ∈，则10101011101010111a a f b b ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（）A ．eB ．2eC ．1e -D ．9e9．函数21sin 21x xy x -=⋅+的图像大致为（） A ． B ．C ．D ．10．已知实数,x y 满足不等式组00y y x x y m ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，且目标函数3z x y =-的最大值为180，则实数m的值为（） A ．60B ．70C ．80D ．9011．已知抛物线2:8C y x =，点,P Q 是抛物线上任意两点，M 是PQ 的中点，且10PQ =，则M 到y轴距离的最小值为（） A ．9B ．8C ．4D ．312．已知函数()xx f x e e ax -=-+（a 为常数）有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,+∞B ．[)2,+∞C ．()2,+∞D ．()1,+∞二、填空题 13．若1tan 3α=，()1tan 2αβ+=，则tan β=______. 14．已知在三棱锥A BCD -中，,,AB AC AD 两两垂直，且1AB =，3AC =，22AD =，则三棱锥A BCD -外接球的表面积为______.15．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为24a .类比到空间，有两个村长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为______.16．给出以下四个命题：①数列{}n a 为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数； ②在面积为S 的ABC △的边AB 上任取一点P ，则PBC △的面积大于4S的概率为34.③将多项式56510...n a x a x a x a ++++分解因式得()()522x x -+，则58a =.④若()0b af x dx <⎰，那么由()y f x =，x a =，x b =以及x 轴所围成的图形一定在x 轴下方.其中正确命题的序号为______.（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题17．设,,a b c 分别为锐角ABC △内角,,A B C ()cot cot 2sin A A B C +=，4b =. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）求ABC △面积的最大值.18．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 分别是其左、右焦点，过1F 的直线l 与椭圆C 交于,A B两点，且椭圆C 的离心率为12，2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若247AB =时，求直线l 的方程. 19．2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取120名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为11:13，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有15名表示对线上教学不满意.（Ⅰ）完成22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（Ⅱ）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，再在这8名学生中抽取3名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取男生的人数为ξ，求出ξ的分布列及数学期望.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20．如图，在三棱锥A BCD -中，ABC △是边长为2的正三角形，ADC △是等腰直角三角形，90ADC ∠=︒，AB BD =.（Ⅰ）证明：平面ADC ⊥平面ABC ；（Ⅱ）点E 在BD 上，若平面ACE 把三棱锥A BCD -分成体积相等的两部分，求二面角A CE D --的余弦值.21．已知函数()()21212ln 2f x ax a x x =-++. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当0a =时，证明：()24xf x e x <--（其中e 为自然对数的底数）.22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 过,A B 两点，且这两点的极坐标分别为()A，2B π⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若M 为曲线C 上一动点，求点M 到直线l 的最小距离. 23．已知0a >，0b >，且2a b +=. （Ⅰ）若1421x a b+≥-恒成立，求x 的取值范围；（Ⅱ）证明：()22114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭.咸阳市2020年高考模拟检测（三）数学（理科）试题参考答案一、选择题1．C 2．B 3．D 4．B 5．D 6．A 7．A 8．A 9．D 10．A 11．D 12．C 二、填空题 13．1714．15．38a16．②③ 三、解答题17．解：()cot cot 2sin A A B C +cos cos 2sin sin sin A B A C A B ⎛⎫+=⎪⎝⎭，sin cos cos sin 2sin sin sin B A B A A C A B +⎛⎫=⎪⎝⎭()sin 2sin sin sin A B A C A B +⨯=，所以有sin 2B =，又因B 为锐角，则3B π=. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知3B π=，且有4b =，由余弦定理可得：222cos b c ac B +-，则22162a c ac ac ac ac =+-≥-=，11sin 16222ABC S ac B =≤⨯⨯=△18．解：（Ⅰ）由题可得，12c e a ==， 2AF B △的内切圆面积为π，24AF B S =△，易得2AF B △的周长为8，即48a =而222a b c =+，解得2a =，b =1c =，则椭圆C 的方程为：22143x y +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，由（Ⅰ）可得()11,0F -，当直线l 的斜率不存在时3AB =，不符合题意，当直线l 的斜率存在时，可设():1l y k x =+，联立直线l 与椭圆C 可得：()22224384120k x k x k +++-=，2122843k x x k -+=+，212241243k x x k -=+，()2212124437k AB k +===+，解得1k =±，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=. 19．解：（Ⅰ）()2212030152550 6.713 6.63555658040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯这说明有99%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”.（Ⅱ）依题意，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取8名学生，其中男生3人，女生5人，抽取男生的人数ξ的取值为0,1,2,3.则()3305385028C C P C ξ===，()12353815128C C P C ξ===， ()21353815256C C P C ξ===，()3035381356C C P C ξ===. 则ξ的分布列为：所以()0123282856568E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，即ξ的期望值为98.20．解：（Ⅰ）取AC 的中点O ，连接,OD OB ，由题设可知，ACD △是等腰直角三角形，且90ADC ∠=︒，从而AD DC =. 所以OD AC ⊥，又由于ABC △是正三角形，故BO AC ⊥. 所以DOB ∠为二面角D AC B --的平面角. 在Rt AOB △中，222BO AO AB +=，又AB BD =，而OD AO =，所以222222BO DO BO AO AB BD +=+==，故90DOB ∠=︒，所以平面ADC ⊥平面ABC . （Ⅱ）由题设及（Ⅰ）知，,,OA OB OD 两两垂直，以O 为坐标原点，OA u u u r的方向为x 轴正方向，OA 、OB 、OD 分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.则()1,0,0A ，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1D . 由题设知，三棱锥A BCE -的体积为三棱锥A BCD -的体积的12，从而E 到平面ABC 的距离为D 到平面AC 的距离的12，即E 为DB的中点，得10,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. 故()1,0,1CD =u u u r ，()2,0,0CA =u u u r，11,22CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r .设(),,n x y z =是平面ACE 的法向量，则00n CA n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r即20,102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩可取(0,1,n =.设m 是平面DCE的法向量，同理可取1,1m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.则cos ,7m n n m n m ⋅==.所以二面角A CE D --.21．解：（Ⅰ）由题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，()()()()()()2212122210ax a x ax x f x ax a x x x x-++--'=-++==>，当0a =时，()()20xf x x x-'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<；当0a <时，()()()120a x x a f x x x⎛⎫-- ⎪⎝⎭'=>，()020x f x '<<⇒>；()20x f x '>⇒<；当102a <<时，()002f x x '>⇒<<或1x a >；()102f x x a'<⇒<<；当12a =时，()()00f x f x ''≥⇒≥；当12a >时，()100f x x a '>⇒><或2x >；()102f x x a'<⇒<<.综上讨论知：当0a ≤时，()f x 在()0,2上单调递增，在()2,+∞上单调递减；当102a <<时，()f x 在()0,2，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当12a =时，()f x 在()0,+∞上单调递增；当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()2,+∞上单调递增，在1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. （Ⅱ）当0a =时，由()24xf x e x <--，只需证明ln 2xe x >+.令()()ln 20xg x e x x =-->，()1xg x e x'=-，设()00g x '=，则()000101xe x x =<<.当()00,x x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， ∴当0x x =时，()g x 取得唯一的极小值，也是最小值，()g x 的最小值是()0000000111ln 2ln 220x x g x e x x x e x =--=--=+->成立.故()24x f x e x <--成立.22．解：（Ⅰ）直线l的直角坐标方程为0x y +-=.曲线C 的普通方程为22143x y +=.（Ⅱ）设点()2cos M θθ，则点M 到直线l 的距离为2d==≥=. 所以点M 到直线l . 23．解：（Ⅰ）由2a b +=，得()112a b +=.故()14114141914142222b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥++= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝. 所以9212x ≥-. 解得，71144x -≤≤.（Ⅱ）()3311a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 3322b a a b a b =+++ ()3322b a a b ab a b =+++-()()2224a b ab a b ≥++=+=.。

陕西省咸阳市武功县2020届高三上学期第二次模拟考试数学(理科)试题含解析

（3）且等差数列；
（4）为等差数列。
4。已知向量，，则是向量与向量垂直的
A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件
C。充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
由可得向量与向量垂直；反之，由向量与向量垂直,不一定得到．然后结合充分必要条件的判定方法得答案．
对于C,直线平面，直线平面 ,且，则或与相交或或，∴C错误；
对于D，直线平面，直线平面，且，则或与相交或与异面，∴D错误．
故选A．
【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．
10。过双曲线的一个焦点作一条与其渐近线垂直的直线,垂足为 , 为坐标原点，若，则此双曲线的离心率为（ )
6。七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方模板”,它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的.如图所示的是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为( ）
A. B。 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
将右下角黑色三角形进行移动，可得黑色部分面积等于一个等腰直角三角形加一个直角梯形的面积之和，求解出面积再根据几何概型公式求得结果.
14.正方体的全面积是6。它的顶点都在球面上，这个球的表面积是________
【答案】
【解析】
【分析】
通过正方体的表面积求出棱长，然后求出正方体的外接球的半径,即可求解表面积．
【详解】因为正方体的全面积为6，
所以正方体的棱长为:1,正方体的对角线为：．

陕西省高考理科数学全真模拟试卷二含解析

2020年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二）一、选择题（共12小题，每题5分，满分60分）1M={x f x）=ln1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）．设会集|}，函数（（A．[，1]B．[，1）C．（0，]D．（0，）2．已知命题p：?x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：?x∈R，log3x≤0B．￢p：?x∈R，log3x≤0C．￢p：?x∈R，log3x＜0D p x∈R，log3x＜．￢：?3．若tan ，则sin4α﹣cos4α的值为（）A．﹣B．﹣C．D．4．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图以以下列图，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π6．将除颜色外完满同样的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友最少分得一个球的分法有（）种．A．15B．18C．21D．247．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1B．2C．4D．88．假如履行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）第1页（共20页）A ．B ．C ．D ．9．曲线y=e在点（6，e 2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A ．B ．3e 2C ．6e 2D ．9e 210．已知函数 f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象以以下列图，且 f （α）=1，α∈（0，），则cos （2 ）=（）A ．B ．C ．﹣D ．11．若f （x ）是定义在（﹣ ∞，+∞）上的偶函数， ?x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x 2），有，则（）A ．f （3）＜f （1）＜f （﹣2）B ．f （1）＜f （﹣1）＜f （3）C ．f （﹣2）＜f （1）＜f （3）D ．f （3）＜f （﹣2）＜f （1）x 2 y 212．若直线l1：y=x l2： y=x2 C 2mx﹣ 2ny=0 的四个交点把圆 C分红的四条， +与圆： +﹣弧长相等，m=（）则A．0或1B．0或﹣1C．1或﹣1D．0二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．定积分．14．已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．第2页（共20页）15．不等式a2+8b2≥λb（a+b）对于随意的a，b∈R恒建立，则实数λ的取值范围为．16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y轴上一点，则△APF面积的最小值为．三、解答题（共5小题，满分60分）17ABC中，角A、B、C所对的边分别为ab c ac=3b=3．在△，，．已知+，．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，挨次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外检查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数以以下列图．（1）写出2×2列联表，并判断能否有90%的掌握以为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的原由．（下边的临界值表供参照）P（K2≥k0）k0（2）在统计过的参照选手中按年龄段分层采用9名选手，并抽取3名好运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学希望．（参照公式：K2n=a bcd=，此中+++）19．如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四周体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．（1）求二面角 B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四周体 A﹣BCD的棱AD上能否存在点P，使得？若存在，请指出点P的地点；若不存在，请给出证明．第3页（共20页）20．设O是坐标原点，椭圆23y2F2，且P Q是椭圆C上C：x+=6的左右焦点分别为F1，，不同样的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．21．设函数 f（x）=e x﹣lnx．1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜；3）求证：f（x）＞对x∈（0，+∞）恒建立．（参照数据：e≈，ln2≈，ln3≈，ln5≈，ln7≈）．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延伸线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA?DB．[选修4-4：坐标系与参数方]程23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2y2x22y2+=4，圆C2：（﹣）+=4．（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．（（[选修4-5：不等式选讲]（24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．（1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；（2）若存在实数x满足f（x）=log2a，务实数a的取值范围．第4页（共20页）2020年陕西省高考数学全真模拟试卷（理科）（二）参照答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题 5分，满分60分）1．设会集M={x| }，函数f（x）=ln（1﹣）的定义域为N，则M∩N为（）A．[ ，1] B．[ ，1）C．（0，] D．（0，）【考点】交集及其运算．【解析】先分别求出会集 M和会集N，此后再求出会集M∩N．．【解答】解：会集M=x|}=[3），函数f x）=ln1=01 {，（（﹣）[，），则M∩N=[，1），应选：B．2．已知命题p：?x∈R，log3x≥0，则（）A．￢p：?x∈R，log3x≤0B．￢p：?x∈R，log3x≤0C．￢p：?x∈R，log3x＜0D p x∈R，log3x＜．￢：?【考点】复合命题的真假．【解析】利用命题的否定即可判断出．【解答】解：命题p x∈R，log：?3x0p?x Rlog3x0≥，则￢：∈，＜．应选：C．3．若tan ，则sin 4α﹣cos 4α的值为（）A ．﹣B ．﹣C ．D ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【解析】由条件利用平方差公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tan ，则sin 442 2 22=si n2 2α﹣cos=sincos α）?（ si nα﹣cos α） α﹣ cosαα（ α+= = =﹣ ，应选：B ．4．等比数列{an}的前n 项和为Sn ，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A ．B ．C ．D ．【考点】等比数列的前 n 项和．第5页（共20页）【解析】设等比数列{an}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可获得，解出即可．【解答】解：设等比数列 {a n}的公比为q，∵S3=a2+10a1，a5=9，∴，解得．∴．应选C．5．某几何体的三视图以以下列图，则此几何体的体积是（）A．28πB．32πC．36πD．40π【考点】由三视图求面积、体积．【解析】由三视图可知几何体是一个圆柱和一个圆台的组合体，求解其体积相加即可．【解答】解：图为三视图复原的几何体是一圆台和一个圆柱的组合体，圆柱的底面半径为2，高为2，体积为：22π?2=8π．圆台的底面半径为4，上底面半径为2，高为3，体积为：=28π，几何体的体积为：36π．应选：C．6．将除颜色外完满同样的一个白球、一个黄球、两个红球分给三个小朋友，且每个小朋友最少分得一个球的分法有（）种．A．15 B．18 C．21 D．24【考点】计数原理的应用．【解析】把4个小球分红（2，1，1）组，此中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄），分两类，依据分类计数原理可得．【解答】解：把4个小球分红（2，1，1）组，此中2个小球分给同一个小朋友的有4种方法（红红，红黄，红白，白黄），第6页（共20页）若（红红，红黄，红白）分给此中一个小朋友，则剩下的两个球分给2个小朋友，共有3×2=18种，3×A2若（白黄两个小球）分给此中一个小朋友，剩下的两个红色小球只有1种分法，故有3×1=3种，依据分类计数原理可得，共有183=21种．+应选：C．7．已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，则x0=（）A．1B．2C．4D．8【考点】抛物线的简单性质．【解析】利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出．【解答】解：抛物线C：y2=x的焦点为F，∵A（x0，y0）是C上一点，AF=|x0|，∴=x0+，解得x0=1．应选：A．8．假如履行如图的框图，输入N=5，则输出的数等于（）A．B． C．D．【考点】程序框图．【解析】依据程序框图的流程，写出前五次循环的结果，直到第五次不满足判断框中的条件，履行输出结果．【解答】解：经过第一次循环获得S= ，满足进入循环的条件，k=2，经过第二次循环获得S= + = ，满足进入循环的条件，k=3，经过第三次循环获得S= + = ，满足进入循环的条件，k=4，第7页（共20页）经过第四次循环获得S= + = ，满足进入循环的条件，k=5，经过第五次循环获得S= + = ，不满足进入循环的条件，履行输出，故输出结果为：，应选：D9．曲线y=e在点（6，e2）处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为（）A．B．3e2C．6e2D．9e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【解析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程，分别令x=0，y=0求得与y，x轴的交点，运用三角形的面积公式计算即可获得所求值．【解答】解：y=e的导数为y′=e，可得在点（6，e2）处的切线斜率为 e2，即有在点（6，e2）处的切线方程为y﹣e2= e2（x﹣6），即为y= e2x﹣e2，令x=0，可得y=﹣e2；令y=0，可得x=3．即有切线与坐标轴所围成的三角形的面积为?3?e2= e2．应选：A．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象以以下列图，且f （α）=1，α∈（0，），则cos（2 ）=（）A．B．C．﹣D．【考点】正弦函数的图象．【解析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．第8页（共20页）【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f x）=3sin（2x+φ），代入点（33sin（=3，（，﹣）可得+φ）﹣故sin（φ=1+φ=2kπφ=2kπk∈Z +）﹣，﹣，∴﹣，联合0＜φ＜π可适合k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，应选：C．11．若f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，?x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，则（）A．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）B．f（1）＜f（﹣1）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）【考点】奇偶性与单一性的综合．【解析】依据条件判断函数的单一性，利用函数奇偶性和单一性的关系进行比较即可．【解答】解：∵?x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有，∴当x≥0时函数f（x）为减函数，f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的偶函数，∴f（3）＜f（2）＜f（1），即f（3）＜f（﹣2）＜f（1），应选：D12．若直线l1：y=x l2：y=x2C x2y22mx﹣2ny=0的四个交点把圆C分红的四条，+与圆：+﹣弧长相等，则m=（）A．0或1B．0或﹣1C．1或﹣1D．0【考点】直线与圆的地点关系．【解析】直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分红的四条弧长相等，⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时及当m=﹣1，n=0时，满足条件．【解答】解：∵l1：y=x，l2：y=x+2与圆C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0，∴直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分红的四条弧长相等，画出图形，以以下列图．又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，第9页（共20页）此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分红的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分红的四条弧长相等；应选：B．二、填空题（共4小题，每题5分，满分20分）13．定积分．【考点】定积分．【解析】依据定积分的计算法规计算即可．【解答】解：（x2+sinx）| =故答案为：．14．已知单位向量，的夹角为60°，则向量与的夹角为．【考点】平面向量数目积的运算．【解析】分别求出| + |，| |，（+ ）（），从而代入求余弦值，从而求角．【解答】解：∵单位向量，的夹角为60°，∴|+ |= = = ，| |= = ，（+ ）（）=﹣? ﹣2 + =﹣﹣2+1=﹣，设向量与的夹角为θ，第10页（共20页）则cosθ==﹣，故θ=，故答案为：．28b2bab ab∈R恒建立，则实数λ的取值范围为815．不等式a+≥λ（+）对于随意的，[﹣，4．]【考点】函数恒建立问题．【解析】由已知可得a2﹣λba﹣（λ﹣8）b2≥0，联合二次不等式的性质可得△2=λ+4λ﹣32≤0，可求【解答】解：∵a2+8b2≥λb（a+b）对于随意的a，b∈R恒成∴a2+8b2﹣λb（a+b）≥0对于随意的a，b∈R恒成即a2﹣（λb）a+（8﹣λ）b2≥0恒建立，由二次不等式的性质可得，△22=λ+4（λ﹣8）=λ+4λ﹣32≤0∴（λ+8）（λ﹣4）≤0解不等式可得，﹣8≤λ≤42=λ+4（λ﹣8）故答案为：[﹣8，4]16．已知F是双曲线C：x2﹣=1的右焦点，若P是C的左支上一点，A（0，6）是y 轴上一点，则△APF面积的最小值为6+9．【考点】双曲线的简单性质．【解析】求得双曲线的焦点，直线AF的方程以及AF的长，设直线y=﹣2xt+与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立双曲线方程，消去y，由鉴别式为0，求得m，再由平行直线的距离公式可得三角形的面积的最小值．【解答】解：双曲线C：x2﹣=1的右焦点为（3，0），由A（0，6），可得直线AF的方程为y=﹣2x+6，|AF|==15，设直线y=﹣2xt+与双曲线相切，且切点为左支上一点，联立，可得16x2﹣4tx+t2+8=0，由鉴别式为0，即有96t2﹣4×16（t2+8）=0，解得t=﹣4（4舍去），可得P到直线AF的距离为d= = ，第11页（共20页）即有△APF的面积的最小值为d?|AF|=××15=6+9．故答案为：6+9 ．三、解答题（共5小题，满分60分）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知a+c=3 ，b=3．（I）求cosB的最小值；（Ⅱ）若=3，求A的大小．【考点】平面向量数目积的运算；正弦定理；余弦定理．【解析】（I）依据基本不等式求出 ac的最大值，利用余弦定理得出cosB的最小值；（II）利用余弦定理列方程解出a，c，cosB，使用正弦定理得出sinA．【解答】解：（I）在△ABC中，由余弦定理得cosB= =∵= ．∵∵ac≤（）2= ．∵∵∴当ac= 时，cosB获得最小值．∵II）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB．∵=accosB=3．∴9=a2+c2﹣6，∴a2+c2=15．ac=3，∴ac=6．又∵+∴a=2，c=或a=，c=2．∴cosB=，sinB=．由正弦定理得，∴sinA==1或．A=或A=．18．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，挨次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外检查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数以以下列图．1）写出2×2列联表，并判断能否有90%的掌握以为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的原由．（下边的临界值表供参照）P（K2≥k0）k0第12页（共20页）（2）在统计过的参照选手中按年龄段分层采用9名选手，并抽取3名好运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学希望．（参照公式：K2n=abcd=，此中+++）【考点】独立性检验的应用．【解析】（1）依据所给的二维条形图获得列联表，利用公式求出k2=3＞，即可得出结论．2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解希望即可．【解答】解：（1）2×2列联表正确错误共计2130103040～31～40107080共计20100120∴K2==3＞有90%的掌握以为猜对歌曲名称与否和年龄有关．﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）依据分层抽样方法可知：21～30（岁）抽取3人，31～40（岁）抽取 6人．设3名选手中在21～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3﹣﹣﹣﹣P（ξ=0）= = ，P（ξ=1）= = ，P（ξ=2）= = ，P（ξ=3）= = ．﹣﹣﹣﹣﹣ξD的分布列ξ0123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣E（ξ）=0×+1×+2×+3×=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣19．如图①，在△ABC中，已知AB=15，BC=14，CA=13．将△ABC沿BC边上的高AD折成一个如图②所示的四周体A﹣BCD，使得图②中的BC=11．第13页（共20页）（1）求二面角 B﹣AD﹣C的平面角的余弦值；（2）在四周体 A﹣BCD的棱AD上能否存在点P，使得？若存在，请指出点P的地点；若不存在，请给出证明．【考点】二面角的平面角及求法；平面向量数目积的运算．【解析】（1）依据图象折以前和折今后的边长关系，联合二面角的定义进行求解．（2）假设在四周体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得依据向量数目积的定义联合向量的运算法规进行化简求解．【解答】解：（1）由已知AD⊥BD，AD⊥CD，故二面角B﹣AD﹣C的平面角为∠BDC，在图①，设BD=x，AD=h，则CD=14﹣x，在△ABD与△ACD中，分别用勾股定理得x2+h2=152，（14﹣x）2+h2=132，得x=9，h=12，从而AD=12，BD=9，CD=5，在图②的△BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+CD2﹣2BD?CDcos∠BDC，即112=92+52﹣2×9×5cos∠BDC，则cos∠BDC=﹣，即二面角B﹣AD﹣C的平面角的余弦值是﹣．（2）假设在四周体A﹣BCD的棱AD上存在点P，使得，则0==（+）?（+）=2+?+?+?=2+0+0+9×5×（﹣）2﹣，则||=＜12，符号题意，即在棱AD P，此时||=．上存在点，使得20．设O是坐标原点，椭圆2+3y2F1，F，且P，Q是椭圆C上C：x=6的左右焦点分别为2不同样的两点，（I）若直线PQ过椭圆C的右焦点F2，且倾斜角为30°，求证：|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；（Ⅱ）若P，Q两点使得直线OP，PQ，QO的斜率均存在．且成等比数列．求直线PQ的斜率．【考点】椭圆的简单性质．【解析】（I）求得椭圆的a，b，c，设出直线PQ的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得|PQ|，再由椭圆的定义可得|F1P|+|PQ|+|QF1|=4a，由等差数列的中项的性质，可得结论；第14页（共20页）（Ⅱ）设出直线PQ 的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和鉴别式大于0，由等比数列的中项的性质，联合直线的斜率公式，化简整理，解方程即可获得直线PQ 的斜率．【解答】解：（ I）证明：x 23y 2 =6即为 +=1，+即有a= ，b= ，c= =2，由直线PQ 过椭圆C 的右焦点 F2（2，0），且倾斜角为 30°，可得直线PQ 的方程为y= （x ﹣2），代入椭圆方程可得， x 2﹣2x ﹣1=0，即有x1+x2=2，x1x2=﹣1，由弦长公式可得 PQ=?||=? =，由椭圆的定义可得 |F1P|+| PQ|+| QF1|=4a=4，可得 | F1P|+|QF1| =4﹣ = =2 |PQ|，则有|F1P|、|PQ|、|QF1|成等差数列；x 2 3y 2（ Ⅱ）设直线PQ的方程为y=kx m+，代入椭圆方程 +=6，消去y 得：（1+3k 2）x 2+6kmx+3（m 2﹣2）=0，则△=36k 2m 2﹣12（1+3k 2）（m 2﹣2）=12（6k 2 ﹣ m 2 2+）＞，x1+x2=﹣，x1x2=，故y1y2=（kx1+m ）（kx2+m ）=k 2x1x2+km （x1+x2）+m 2， ∵直线OP 、PQ 、OQ 的斜率挨次成等比数列，∴? = =k2，即km（x x2）+m22+=0，即有﹣m=0，1+因为m≠0，故k2= ，∴直线PQ的斜率k为±．21．设函数 f（x）=e x﹣lnx．（1）求证：函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）求函数f（x）的极值点x0的近似值x′，使得|x′﹣x0|＜；（3）求证：f（x）＞对x∈（0，+∞）恒建立．第15页（共20页）（参照数据：e≈，ln2≈，ln3≈，ln5≈，ln7≈）．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【解析】（1）求出f（x）的导数，依据导函数的单一性，求出零点的范围，从而证出极值点的个数；2）求出函数的导数，求出零点的范围，即极值点的范围，求出满足条件的零点的近似值即可；3）求出函数的导数，获得函数零点的范围，联合函数的单一性证明即可．【解答】（1）证明：f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）=e x﹣，∵函数y=e x和y=﹣在（0，+∞）均递加，∴f′（x）在（0，+∞）递加，而f′（）= ﹣2＜0，f′（1）=e﹣1＞0，∴f′（x）在（，1）上存在零点，记x0，且f′（x）在x0左右双侧的函数值异号，综上，f′（x）有且只有一个零点x0，即函数f（x）有且只有一个极值点x0；（2）解：∵ln =ln5﹣ln3≈＜? ＞，且f′（x）在[ ，]上的图象连续，f′（）＜0，f′（）= ﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），即f（x）的极值点x0∈（，），即x0∈（，），x0的近似值x′可以取x′，此时的x′满足|x′﹣x0|＜﹣；（3）证明：∵ln=ln7﹣2ln2≈＜?＞，且f′（x）在[，]上图象连续，f′（）＜0，f′（）=﹣＞0，∴f′（x）的零点x0∈（，），∈（，）?x0＜，f（x）的极值点x0由（1）知：f′（x0）=﹣=0，第16页（共20页）且f（x）的最小值是f（x0）=﹣lnx0=﹣lnx0，∵函数g（x）=﹣lnx在（0，+∞）递减，且x0＜，∴g（x0）＞g（）﹣（2ln2﹣ln7）≈＞，∴f（x）≥f（x0）=﹣lnx0＞对x∈（0，+∞）恒建立．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，已知AB为⊙O的直径，C，F为⊙O上的两点，OC⊥AB，过点F作⊙O的切线FD交AB的延伸线于点D，连接CF交AB于点E．求证：DE2=DA?DB．【考点】与圆有关的比率线段．【解析】欲证DE2=DB?DA，因为由切割线定理得DF2=DB?DA，故只须证：DF=DE，也就是要证：∠CFD=∠DEF，这个等式利用垂直关系经过互余角的变换即得．【解答】证明：连接OF．因为DF切⊙O于F，因此∠OFD=90°．因此∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF，因此∠OCF=∠OFC．因为CO⊥AB于O，因此∠OCF+∠CEO=90°．因此∠CFD=∠CEO=∠DEF，因此DF=DE．2因此DE2=DB?DA．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：（x﹣2）2+y2=4．第17页（共20页）（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别求圆C1与圆C2的极坐标方程及两圆交点的极坐标；（Ⅱ）求圆C1与圆C2的公共弦的参数方程．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．【解析】（Ⅰ）第一把直角坐标方程转变为极坐标方程，进一步建立极坐标方程组求出交点坐标，再转变为极坐标．（Ⅱ）利用二元二次方程组解得交点坐标再转变为参数方程．【解答】解：（Ⅰ）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=4，转变为极坐标方程为：ρ=2．圆C2：（x﹣2）2+y2=4．转变为极坐标方程为：ρ=4cosθ，因此：解得：ρ=2，，（k∈Z）．交点坐标为：（2，2kπ+），（2，2k ）．（Ⅱ）已知圆C1：x2+y2=4①圆C2：（x﹣2）2+y2=4②因此：①﹣②得：x=1，y= ，即（1，﹣），（1，）．因此公共弦的参数方程为：．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣2|x|．1）求不等式f（x）≤﹣6的解集；2）若存在实数x满足f（x）=log2a，务实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【解析】（1）经过议论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）求出f（x）的最大值，问题转变为≤1，解出即可．【解答】解：（1）x≥0时，f（x）=x+1﹣2x=﹣x+1≤﹣6，解得：x≥7，1＜x＜0时，f（x）=x+1+2x≤﹣6，无解，x≤﹣1时，f（x）=﹣x﹣1+2x≤﹣6，解得：x≤﹣7，故不等式的解集是{x|x≥7或x≤﹣7}；2）x≥0时，f（x）=﹣x+1≤1，1＜x＜0时，f（x）=3x+1，﹣2＜f（x）＜1，x≤﹣1时，f（x）=x﹣1≤﹣2，故f（x）的最大值是1，若存在实数x满足f（x）=log2a，第18页（共20页）只要≤1即可，解得： 0＜a≤2．第19页（共20页）2020年8月1日第20页（共20页）。

2020年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷(理科)(二) (含答案解析)

2020年陕西省咸阳市高考数学模拟试卷(理科)(二)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2,3,4,5}，集合A ={2,3,4}，B ={2,5}，则B ∪(C U A)=( )A. {5}B. {1,2,5}C. {1,2,3,4,5}D. ⌀2. i 为虚数单位，复数z =i−1i+1的虚部为( )A. 1B. 0C. iD. 以上都不对3. 已知点A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)，则向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为( ) A. 5√22B. −5√22C. 5√1717D. −5√17174. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，将其所对应的石子个数称为三角形数，则第8个三角形数是( )A. 24B. 27C. 36D. 455. 一组数据9.8,9.9,10,a,10.2的平均数为10，则该组数据的方差为( )A. 0.02B. 0.03C. 0.04D. 0.056. 设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A. ab <b 2<1B. log 12b <log 12a <0 C. 2b <2a <2D. a 2<ab <17. 若a 、b 、c 表示直线，α、β表示平面，则“a//b ”成立的一个充分非必要条件是( )A. a ⊥b ，b ⊥cB. a//α，b//αC. a ⊥β，b ⊥βD. a//c ，b ⊥c8. 在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x 2项的系数是( )A. 119B. 120C. 121D. 7209. 已知，则的值为( )．A. −√22B. √22C. −1D. 110. 已知离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，若点P 是抛物线y 2=12x 的准线与C 的渐近线的一个交点，且满足PF 1⊥PF 2，则双曲线的方程是( )A. x 216−y29=1B. x 23−y 24=1C. x 29−y 216=1D. x 24−y 23=111. 设函数f(x)=2cos(2x −π4)，将y =f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，使得到的图象关于原点对称，则φ的最小值为( )A. π8B. 3π8C. π4D. 3π412. 若函数f(x)=ax +lnx −x 2x−lnx有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A. [1e −ee−1,−1]B. [1,ee−1−1e ] C. (1e −ee−1,−1)D. (1,e e−1−1e )二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0x +y −1≥0x <2，则z =2x −y 的取值范围是______．14. 已知函数，则f (−2018)=________．15. 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别内a ，b ，c ，若a 2sinC =4sinA ，cosB =√74，则△ABC 的面积为______．16. 已知ΔSAB 是边长为2的等边三角形，∠ACB =45°，当三棱锥S −ABC 体积最大时，其外接球的表面积为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知等差数列{a n }中，a 2=5，前5项和S 5=45．(Ⅰ)求{a n }的通项公式．(Ⅱ)若b n =(−1)n a n ，求数列{b n }前2n 项和T 2n ．18.如图，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．(1)求证：平面PAD⊥平面PCD．(2)求平面AMC与平面BMC所成二面角的余弦值．19.一次考试中，5名同学的数学、物理成绩如表所示：学生A1A2A3A4A5数学(x分)8991939597物理(y分)8789899293(1)请在图中的直角坐标系中作出这些数据的散点图，并求出这些数据的回归方程；(2)要从4名数学成绩在90分以上的同学中选2名参加一项活动，以X表示选中的同学的物理成绩高于90分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．参考公式：线性回归方程ŷ=b∧x+a∧；，其中b̂=ni=1i−x)(y i−y)∑(n x−x)2=ini=1i−nxy∑x2n−nx2，â=y−b̂x．20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点A(0,2)，离心率为√22，过点A的直线l与椭圆交于另一点M．(I)求椭圆Γ的方程；(II)是否存在直线l，使得以AM为直径的圆C，经过椭圆Γ的右焦点F且与直线x−2y−2=0相切？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=x−1−alnx(a<0)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对任意x1，x2∈(0,1]，且x1≠x2，都有|f(x1)−f(x2)|<4|1x1−1x2|，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点P 的极坐标为(2,π2)，曲线C 的极坐标方程为ρcosθ−ρsinθ=1，曲线D 的参数方程为{x =1+cosαy =sinα (α为参数).曲线C 和曲线D 相交于A ，B 两点． (1)求点P 的直角坐标；(2)求曲线C 的直角坐标方程和曲线D 的普通方程； (3)求△PAB 的面积S ．23. 已知函数f(x)=|x −m|+|x +1|(m ∈R)的最小值为4．(1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈(0,+∞)，且a +2b +3c =m ，求证：1a +12b +13c ≥3．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题主要考查集合的交并补的混合运算，属于基础题．解：因为全集U ={1,2,3，4，5}，集合A ={2,3,4}，所以∁U A ={1,5}，又B ={2,5}，所以B ∪(∁U A)={1,2,5}，故选B ．2.答案：A解析：利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：复数z =i−1i+1=−(1−i)2(1+i)(1−i)=2i 2=i 的虚部为1．故选：A ．3.答案：A解析：本题主要考查向量坐标运算以及向量投影的应用，根据向量投影和向量数量积的关系进行转化是解决本题的关键．根据条件求出向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，再根据投影的定义即可得到答案．解：∵A(−1,3)、B(3,2)、C(−4,5)、D(−3,4)， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1)，则向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=5√22，故选：A ．4.答案：C解析：本题考查等差数列求和，考查了合情推理，属基础题．根据条件得到该数列的通项公式为a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，即可求出答案．解：三角形数依次为1，3，6，10，15，…，该数列的通项公式为：a n=1+2+3+⋯+n=n(n+1)2，则第8个三角形数为：1+2+3+4+⋯+8=8(1+8)2=36．5.答案：A解析：本题考查了数据的方差，根据数据9.8，9.9，10，a，10.2的平均数为10，可得a=10.1，根据方差公式即可求得，属于基础题．解：因为数据9.8，9.9，10，a，10.2的平均数为10，所以a=10.1，因此s2=15[(9.8−10)2+(9.9−10)2+(10−10)2+(10.1−10)2+(10.2−10)2]=0.02．故选A．6.答案：C解析：本题首先对于这类选择题可以通过排除分析法作答．对于条件0<b<a<1，然后根据基本不等式，各种函数的单调性的知识一个一个选项排除，即可得到答案，是基础题．解：对于A：因为0<b<a<1，则乘以b不变号，即b2<ab，故A错误．对于B：因数y=log12x在定义域内单调递减，所以log12a<log12b<0，故B错误;对于C：因为y=2x是单调递增函数，且0<b<a<1，所以2b<2a<21，即2b<2a<2.故C正确．对于D：因为0<b<a<1，则乘以a不变号，即ab<a2.故D错误．故选C．7.答案：C解析：解：由a、b、c表示直线，α、β表示平面，在A中，a⊥b，b⊥c，则a与b相交、平行或异面，故A错误；在B中，a//α，b//α，则a与b相交、平行或异面，故B错误；在C中，a⊥β，b⊥β，则a//b，反之a//b，不一定得到a⊥β，b⊥β，故C正确；在D中，a//c，b⊥c，则a与b相交或异面，故D错误．故选：C．在A中，a与b相交、平行或异面；在B中，a与b相交、平行或异面；在C中，a⊥β，b⊥β，则a//b，反之a//b，不一定得到a⊥β，b⊥β；在D中，a与b相交或异面．本题考查命题成立的一个充分非必要条件的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.答案：B解析：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．利用二项展开式的通项公式求得含x2项的系数，再利用二项式系数的性质化简得到结果．解：在(1+x)2+(1+x)3+⋯+(1+x)9的展开式中，含x2项的系数为C22+C32+C42+⋯+C92=120，故选：B．9.答案：A解析：本题考查了二倍角的三角函数公式和两角和与差的三角函数公式等知识，属于基础题．解：故选A ．10.答案：C解析：解：离心率为53的双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)可得c a =53，则b a =43，双曲线的一条渐近线方程为：4x −3y =0，抛物线y 2=12x 的准线：x =−3，可得P(−3,−4)，双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1(−c,0)，F 2(c,0)，满足PF 1⊥PF 2，(3−c,4)⋅(3+c,4)=0，解得c =5，则a =3；b =4；舍去的双曲线方程为：x 29−y 216=1．故选：C ．求出抛物线的直准线方程，双曲线的渐近线方程，利用已知条件列出关系式，求出a ，b 即可得到双曲线方程．本题考查双曲线与抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．11.答案：A解析：本题是基础题，考查三角函数的图象的平移变换，函数的奇偶性，考查计算能力．函数的图象关于原点对称，说明函数是奇函数，通过函数的图象的平移使得函数为奇函数即可得到φ的最小值．解：函数f(x)=2cos(2x −π4)，将y =f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位，得到函数f(x)=2cos[2(x −φ)−π4]=2cos(2x −2φ−π4)，使得到的图象关于原点对称，就是函数是奇函数，所以2φ+π4=kπ+π2，k ∈Z ，φ>0，结合选项可知，φ=π8．故选A ．12.答案：D解析：本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，属于较难题．令f(x)=0，分离参数可得，判断g(x)的单调性，求出g(x)的极值即可得到a 的范围．解：令f(x)=0可得令，则g ′(x)=(1−lnx)(1(x−lnx)2−1x 2) 即g ′(x)=(1−lnx)(2x−lnx )lnx (x−lnx)2x 2令g ′(x)=0可得x =e 或x =1或2x =lnx ，令ℎ(x)=2x −lnx ，则ℎ′(x)=2−1x ， ∴ℎ(x)在(0,12)单调递减，在(12,+∞)单调递增， ∴ℎ(x)的最小值为ℎ(12)=1−ln 12>0， ∴方程2x =lnx 无解．综上得到：当0<x <1时，g′(x)<0，当1<x <e 时，g′(x)>0，当x >e 时，g′(x)<0， ∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减，∴当x =1时，g(x)取得极小值g(1)=1，当x =e 时，g(x)取得极大值g(e)=ee−1−1e ． ∵f(x)有3个零点， ∴a =g(x)有3解， ∴1<a <ee−1−1e ．故选D ．13.答案：[0,5)解析：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义即可得到结论．解：画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，做直线l ：2x −y =0，平移l 可知过C 时z 最小，过B 时z 最大，联立{x −2y +1=0x +y −1=0得C(13,23)，同理B(2,−1)，即z 的取值范围是[0,5)．故答案为：[0,5)．14.答案：−2解析：本题主要考查了分段函数，函数定义域与值域，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意求出函数x >1时的周期为6，从而即可得到f(−2018)=−f(1)=−2．解：因为−2018<1，且x <1时，f(x)=−f(x +3)， ∴f(x)=−f(x +3)=−[−f(x +6)]=f(x +6)， ∴当x <1时，函数f(x)的周期为6，所以f(−2018)=f(−336×6−2)=f(−2)=−f(−2+3)=−f(1)=−(1+1)=−2; 故答案为−2．15.答案：32解析：解：∵a 2sinC =4sinA ，∴由正弦定理可得：a 2c =4a ，解得：ac =4，∵cosB=√74，可得：sinB=√1−cos2B=34，∴S△ABC=12acsinB=12×4×34=32．故答案为：32．由正弦定理化简已知可得ac=4，由cos B利用同角三角函数基本关系式可求sin B，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：28π3解析：【试题解析】本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间几何体的体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．作出图形，由平面CAB与平面SAB垂直且CA=CB时，三棱S−ABC的体积最大，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O，利用几何关系计算出球O的半径，然后利用球体表面积公式可得出答案．解：由题可知，当平面CAB⊥平面SAB且C到AB的距离最大时，三棱锥S−ABC体积达到最大，如右图所示，设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，此时三角形CAB面积最大，，即ab最大，在三角形ABC中，，a2+b2−4=√2ab≥2ab−4，ab≤4+2√2，当且仅当a=b，ab有最大值，此时设点D，点E分别为△ASB，△ACB的外心，并过两个三角形的外心作所在三角形面的垂线，两垂直交于点O．∴点O是此三棱锥外接球的球心，AO即为球的半径．在△ACB中，AB=2，∠ACB=45°⇒∠AEB=90°，由正弦定理可知ABsin∠ACB =2AE，∴AE=EB=EC=√2，延长CE交AB于点F，延长SD交AB于点F，∴四边形EFDO是矩形，且OE⊥平面ACB，则有OE⊥AE，又∵OE=DF=13SF=13×√32AB=√33，∴OA=√OE2+AE2=√73．∴S球表=4πR2=4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．17.答案：解：(Ⅰ)等差数列{a n}的公差设为d，a2=5，前5项和S5=45，可得a1+d=5，5a1+10d=45，解得a1=1，d=4，则a n=1+4(n−1)=4n−3；(Ⅱ)b n=(−1)n a n=(−1)n(4n−3)，可得前2n项和T2n=(−1+5)+(−9+13)+⋯+[−4(2n−1)+3+8n−3]=4+4+⋯+4=4n．解析：(Ⅰ)等差数列{a n}的公差设为d，由等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，即可得到所求通项公式；(Ⅱ)求得b n =(−1)n a n =(−1)n (4n −3)，运用并项求和，即可得到所求和．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的并项求和，以及方程思想和运算能力，属于基础题．18.答案：解：以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为 A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(1,1，0)，D(1,0，0)，P(0,0，1)，M(0,1，12). (1)证明：因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)，所以AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AP ⊥DC ．由题设知AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线，由此得DC ⊥面PAD ．又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ． (2)解：在MC 上取一点N(x,y ，z)则存在λ∈R,使NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λMC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−x,1−y,−z ),MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−12) ∴x =1−λ,y =1,z =12λ．要使AN ⊥MC ，只需．可知当λ=45时，点N 的坐标为(15,1,25).此时AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(15,1,25),BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(15,−1,25),且BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 由AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,得AN ⊥MC,BN ⊥MC ． ∴∠ANB 为所求二面角的平面角． ∵|AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√305,|BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√305,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−45．．故所求二面角的平面角的余弦值为−23．解析：本题考查面面垂直，面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． (1)以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，建立空间直角坐标系，证明DC ⊥面PAD ，可得面PAD ⊥面PCD ；(2)求出平面AMC 、BMC 的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面AMC 与平面BMC 夹角的余弦值．19.答案：解：(1)散点图如下图所示．x =89+91+93+95+975=93， y =87+89+89+92+935=90，∑(5i=1x i −x)2=(−4)2+(−2)2+02+22+42=40，∑(5i=1x i −x)(y i −y)=(−4)×(−3)+(−2)×(−1)+0×(−1)+2×2+4×3=30，b ̂=ni=1i −x)(y i −y)∑(n x −x)2=∑x i ni=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx2=3040=0.75， a ̂=y −b ̂x =90−34×93=20.25. 故这些数据的回归方程是：ŷ=0.75x +20.25． (2)随机变量X 的可能取值为0，1，2． P(X =0)=C 22C 42=16，P(X =1)=C 21C 21C 42=23，P(X =2)=C 22C 42=16，故X 的分布列为：∴E(X)=0×16+1×23+2×16=1．解析：(1)把所给的五组数据作为五个点的坐标描到直角坐标系中，得到散点图，再根据所给的数据先做出数据的平均数，即样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(2)根据题意得到变量X 的可能取值，结合变量对应的事件写出变量的概率，写出分布列，做出期望值．本题主要考查读图表、线性回归方程、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力，是中档题． 20.答案：解：(Ⅰ)依题意得{b =2ca =√22a 2=b 2+c 2，解得{a =2√2b =2c =2，所以所求的椭圆方程为x 28+y 24=1；(Ⅱ)假设存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆Γ的右焦点F 且与直线x −2y −2=0相切，因为以AM 为直径的圆C 过点F ，所以∠AFM =90°，即AF ⊥MF ，又k AF =2−00−2=−1，所以直线MF 的方程为y =x −2，由{y =x −2x 28+y 24=1消去y ，得3x 2−8x =0，解得x =0或x =83，所以M(0,−2)或M(83,23)，(1)当M 为(0,−2)时，以AM 为直径的圆C 为：x 2+y 2=4，则圆心C 到直线x −2y −2=0的距离为d =22=25√5≠2，所以圆C 与直线x −2y −2=0不相切；(2)当M 为(83,23)时，以AM 为直径的圆心C 为(43,43)，半径为r =12|AM|=12√(83)2+(23−2)2=2√53，所以圆心C 到直线x −2y −2=0的距离为d =|43−83−2|√5=2√53=r ，所以圆C 与直线x −2y −2=0相切，此时k AM =23−283−0=−12，所以直线l 的方程为y =−12x +2，即x +2y −4=0，综上所述，存在满足条件的直线l ，其方程为x +2y −4=0．解析：(Ⅰ)由点A(0,2)可得b 值，由离心率为√22可得ca=√22，再由a 2=b 2+c 2，联立方程组即可求得a ，b 值；(II)假设存在直线l ，使得以AM 为直径的圆C ，经过椭圆后的右焦点F 且与直线x −2y −2=0相切，根据以AM 为直径的圆C 过点F 可得∠AFM =90°，求出直线MF 方程，联立直线MF 方程与椭圆方程可得M 坐标，利用直线与圆相切的条件d =r 分情况验证圆与直线x −2y −2=0相切即可；本题考直线与圆锥曲线的关系、椭圆方程的求解，考查直线与圆的位置关系，考查分类讨论思想，解决探究型问题，往往先假设存在，由此推理，若符合题意，则存在，否则不存在．21.答案：解：(1)函数f(x)的定义域(0,+∞)，f′(x)=1−a x =x−a x，当a <0时，f′(x)>0恒成立，此时，函数f(x)在(0,+∞)上是增函数； (2)当a <0时，函数f(x)在(0,1]上单调递增，又函数y =1x 在(0,1]上单调递减，不妨设0<x 1<x 2≤1，则|f(x 1)−f(x 2)|=f(x 2)−f(x 1)，|1x 1−1x 2|=1x 1−1x 2，所以|f(x 1)−f(x 2)|<4|1x 1−1x 2|等价于f(x 2)−f(x 1)<4x 1−4x 2，即f(x 2)+4x 2<f(x 1)+4x 1，设ℎ(x)=f(x)+4x =x −1−alnx +4x ，则|f(x 1)−f(x 2)|<4|1x 1−1x 2|等价于函数ℎ(x)在区间(0,1]上是减函数．于是ℎ′(x)=1−a x −4x2=x 2−ax−4x 2≤0，即x 2−ax −4≤0在x ∈(0,1]时恒成立，从而a ≥x −4x 在x ∈(0,1]上恒成立，而函数y =x −4x 在区间(0,1]上是增函数，所以y =x −4x 的最大值为−3．于是a ≥−3，又a <0，所以a ∈[−3,0)．解析：(1)求出函数的导数，根据a 的范围，求出导函数的符号，从而求出函数的单调区间， (2)将问题转化为x 2−ax −4≤0在x ∈(0,1]时恒成立，而函数y =x −4x 在区间(0,1]上是增函数，所以y =x −4x 的最大值为−3，从而求出a 的范围．本题考查了函数的单调性，函数的最值问题，考查导数的应用，求参数的范围，考查转化思想，是一道综合题．22.答案：解：(1)P 点的直角坐标为(0,2)；(2)曲线C 的直角方程为：x −y −1=0；曲线D 的直角坐标方程为：(x −1)2+y 2=1． (3)曲线D 的圆心(1,0)到直线C 的距离√2=0， ∴曲线C 经过圆D 的圆心，∴|AB|=2，又P(0,2)到直线AB 的距离d =√2=3√22，∴S △PAB =12AB ⋅d =12×2×3√22=3√22．解析：本题考查了极坐标方程，参数方程与直角坐标方程的转化，直线与圆的位置关系，属于基础题．(1)根据极坐标的定义转化；(2)根据极坐标与直角坐标的对于关系转化，消参数得出普通方程； (3)求出AB ，再计算P 到AB 的距离即可得出三角形的面积．23.答案：解：(1)f(x)=|x −m|+|x +1|≥|(x −m)−(x +1)|=|m +1|，所以|m +1|=4，解得m =−5或m =3． (2)由题意，a +2b +3c =3．于是1a +12b +13c =13(a +2b +3c)(1a +12b +13c ) =13(3+2b a +a 2b +3c a+a 3c +3c 2b +2b 3c )≥13(3+2√2b a ⋅a 2b +2√3c a ⋅a 3c +2√3c 2b ⋅2b3c )=3，当且仅当a =2b =3c 时等号成立，即a =1，b =12，c =13时等号成立，故1a +12b +13c ≥3．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式的性质，是一道中档题．(1)根据绝对值不等式的性质得到关于m的方程，解出即可；(2)求出a+2b+3c=3，根据基本不等式的性质证明即可．。

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2020 年咸阳市高考模拟考试试题（二）
理科数学
第I卷一、选择题:本大题共 12 小题，每小题分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
{ } 1.集合 M= x | =y 1− x N={-1,0,1,2},则 M∩N=
A.{0,1}
B.{-1,0,1}
C.{1,-1}
二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置.
13.若向量 a= (x −1, 2) 与向量 b = (2,1) 垂直,则 x=___.
14.(1-x)(1+x) 4 展开式中,含 x 2 项的系数为____.
15.为了抗击新型冠状病毒肺炎，某医药公司研究出一种消毒剂，据实验表明，该药物释放量 y(mg/m3) 与
θ=α(ρ∈R)和θ
= α +
π 2
(ρ
∈ R) ,其中
α≠kπ(k∈z).
(I)写出曲线 C 的直角坐标方程;
(I)设直线 l1 和直线 l 2 分别与曲线 C 交于除极点 O 的另外点 A,B,求 ΔOAB 的面积最小值.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲已知关于 x 的不等式|x+m|-2x≤0 解集为[1,+∞)(m>0).
时间
t（h）的函数关系为
y
=
kt, 0
<
t
<
1 2
,（如图所示）实验表明,当药物释放量
y<0.75(mg/m
3
)对人体无
1
, t
1
kt 2
害.
(1)k=_____; (2)为了不使人身体受到药物伤害,若使用该消毒剂对房间进行消毒,则在消毒后至少经过____分钟人方可进入房间.(第一问 2 分,第二问 3 分)
2.
(I)求椭圆 C 的方程:
(II)设 P 是直线 x=a 2 上任意一点,过点 P 作圆 x 2 +y 2 =a 2 的两条切线,切点分别为 M,N,
求证:直线 MN 恒过一个定点.
21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=axe x (a∈R,a≠0),g(x)=x+lnx+1. (I)讨论 f(x)的单调性; （II）若对任意的 x>0， f（x）≥g（x）恒成立，求实数 a 的取值范围.
8
12.已知函数 f (x=) ex + b 的一条切线为 y=a(x+1),则 ab 的最小值为
A. − 1 2e
B. − 1 4e
C. − 1 e
D. − 2 e
第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两个部分.第 13 题~第 21 题为必考题，每个考生都必须作答.第 22 题~第 23 题为选考题，考生根据要求作答.
x2 a2
−
y2 b2
= 1(a > 0, b > 0 )的一个焦点为 F(c,0)(c>0),且双曲线 C1 的两条渐近线与圆
C
2
:
(x c2 均相切,则双曲线 4
C1 的渐近线方程为
A. x ± 3y = 0
B. 3x ± y =0
C. 5x ± y =0
D. x ± 5 y = 0
(I)求正数 m 的值;
(II)设 a,b,c∈R+,且 a+b+c=m,求证: a2 + b2 + c2 1. . bca
16.在 ΔABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,若 3 sin A − cos A = 1,a=2,则 ΔABC 的面积的最大值为
_______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)
等差数列{an}的前 n 项和为 Sn , 已知 a3 + a=7 18, S=6 36.
(I)求数列{an}的通项公式及前 n 项和为 Sn ;
(II)设 Tn
为数列{ 1 Sn +
} 的前 n
n
项的和,求证: Tn
< 1.
18.(本小题满分 12 分) 为了响应国家号召,促进垃圾分类,某校组织了高三年级学生参与了"垃圾分类,从我做起"的知识问卷作答,随机抽出男女各 20 名同学的问卷进行打分,作出如图所示的茎叶图,成绩大于 70 分的为"合格".
A.9
B.5
C.4
D.2
5. “纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所
示)的面积，作一个边长为 3 的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷 2000 个点，己知恰有 800
个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是
A. 16 5
B. 32
(I)由以上数据绘制成 2×2 联表,是否有 95%以上的把握认为"性别"与"问卷结果"有关?
（II）从上述样本中，成绩在 60 分以下（不含 60 分）的男女学生问卷中任意选 2 个，记来自男生的个数为 X，求 X 的分布列及数学期望。
附：
19.(本小题满分 12 分) 如图,在直角梯形 ABCD 中,AB//DC,∠ABC=90°,AB=2DC=2BC,E 为 AB 的中点,沿 DE 将 ΔADE 折起,使得点 A 到点 P 位置,且 PE⊥EB,M 为 PB 的中点,N 是 BC 上的动点(与点 B,C 不重合).
(I)求证:平面 EMN⊥平面 PBC﹔
(II)是否存在点 N，使得二面角 B- EN- M 的余弦值 6 ?若存在,确定 N 点位置;若不存在，说明理由. 6
20.(本小题满分 12 分)
椭圆
C:
x2 a2
+
y2 b2
=
1(a > b > 0) 的离心率为
2 ,它的四个顶点构成的四边形面积为 2 2
8.
函数
f
(
x)
=
|
e
x2 x−
1
|
的大致图像是
9. 已知 AB 是过抛物线 y 2 =4x 焦点 F 的弦,O 是原点,则 OA ⋅ OB =
A.-2
B.-4
C.3
D.-3
10. 正四棱锥 P-ABCD 的五个顶点在同一个球面上,它的底面边长为 6 ,高为 3,则它的外接球的表面积
为
A.4π
B.8π
D.{0,1,2}
2. 已知 i 为虚数单位，复数 z=(1+i)(2+i)的共轭复数 z =
A.1+3i
B. -1+3i
C.1-3i
D. -1-3i
3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济
合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体。自 2015 年以来，“一带一路”建设成果
显著。右图是 2015- 2019 年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是
A.这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B.这五年，2015 年出口额最少 C.这五年，2019 年进口增速最快 D.这五年，出口增速前四年逐年下降
4. 已知数列 a1, a2 − a1, a3 − a2 ,, an − an−1 是首项为 1,公差为 2 得等差数列，则 a3 等于
C.10
5
6. 已知 a,b 为两条不同直线,α,β,γ 为三个不同平面,下列命题:
D.18 5
①若 α∥β,α∥γ,则 β∥γ ②若 a∥α,a∥β,则 α∥β
③若 α⊥γ,β⊥γ,则 α⊥β ④若 a⊥α,b⊥α,则 a∥b
其中正确命题序号为
A.②③
B.②③④
C.①④
D.①②③
7.
双曲线
C
1
:
请考生在第 22、23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程
以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程是 ρcos 2 θ-4sinθ=0,直线 l1 和直
线
l
2
的极坐标方程分别是
C.16π
11. 关于函= 数 f (x)
2 1+
tan tan
x 2x
+
cos
2x
下列说法正确的是
A.函数 f(x)的定义域为 R
D.20π
B.函数
f(x)一个递增区间为
−
3π 8
,
π 8
C.函数 f(x)的图像关于直线 x = π 对称 8
D.将函数 y =
π 2 sin 2x 图像向左平移个单位可得函数 y=f(x)的图像

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