第二节标准正交基
标准正交基
A1
,
A2
,
An
, An En
（8）
练习：
1.设1 (0,1,1,0,0),2 (1,1,0,1,0),3 (4,5,0,0,1). 求L(1, 2 ,3 )的一个标准正交基.
答案：
标准正交基为：
1
1 2
(0,1,1,0,0), 2
1 10
因为 m n,
所以必有向量 不能被 1,2, ,m 线性表出，
作向量 m1 k11 k22 kmm ( 0)
ki R 待定．
证明续： 从正交向量组的性质知
(i ,m1 ) ( ,i ) ki (i ,i ), i 1, 2, , m.
证明 设有一组数 k1, k2 , , kr使得
k11 k22 krr 0 等号两边的向量分别和1作内积
k11 k22 krr , 1 0, 1 展开得 k1 1,1 k2 2,1 kr r ,1 0
L(1, 2 , , i ) L(1,2, ,i ), i 1, 2, , n
证： 基本方法─逐个构成出满足要求的 1,2 ,
首先，可取
1
1
| 1
|1
.
,n .
证明续：
一般地，假定已求出 1,2 , ,m 是单位正交的 ，且
L(1, 2 , , i ) L(1,2 , ,i ), i 1, 2, , m (4) 当 m n 时，因为有 m1 L(1, 2 , , m ), 由(4)知 m1不能被 1,2 , ,m线性表出．
于是取
ki
( ,i ) , (i ,i )
§2 标准正交基§5 子空间
§5 子空间一、 欧氏空间中的正交子空间 1．定义：1) 1V 与2V 是欧氏空间V 中的两个子空间，如果对1V α∀∈，V β∈，恒有(),0αβ=，则称子空间1V 与2V 为正交的，记作12V V ⊥. 2) 对给定向量V α∈,如果对∀1V β∈,恒有(),0αβ=，则称向量α 与子空间1V 正交，记作1V α⊥. 注：① 12V V ⊥当且仅当1V 中每个向量都与2V 正交． ② {}12120V V V V ⊥⇒⋂=.( ()12,00V V αααα∀∈⋂⇒=⇒=.) ③ 当1V α⊥且V α∈时，必有0α=. 2．两两正交的子空间的和必是直和． 证明：设子空间12,,,s V V V 两两正交， 要证明12s V V V ⊕⊕⊕,只须证： 12s V V V +++中零向量分解式唯一． 设 12s ααα+++=0, i i V α∈, 1,2,,i s = 12V V ⊥, i j ≠∴ ()()()12,0,,0i i s i i ααααααα=+++==由内积的正定性，可知 0,i α= 1,2,,i s = 二、子空间的正交补 1．定义：如果欧氏空间V 的子空间12,V V 满足12V V ⊥,并且12V V V +=, 则称 2V 为1V 的正交补.2．n 维欧氏空间V 的每个子空间1V 都有唯一正交补. 证明：当{}10V =时，V 就是1V 的唯一正交补． 当{}10V ≠时，1V 也是有限维欧氏空间. 取1V 的一组正交基12,,,,m εεε 由定理1，它可扩充成V 的一组正交基 121,,,,,,,m m n εεεεε+ 记子空间()12,,.m n L V εε+= 显然, 12V V V +=.又对 11221m m x x x V αεεε∀=+++∈,112m m n n x x V βεε++=++∈,()()1111,,,0m n m ni i j j i j i j i j m i j m x x x x αβεεεε==+==+⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑∴ 12V V ⊥. 即2V 为1V 的正交补. 再证唯一性. 设23,V V 是1V 的正交补，则1213V V V V V =⊕=⊕对2,V α∀∈由上式知 13V V α∈⊕ 即有 13,ααα=+ 1133,V V αα∈∈ 又 1213,V V V V ⊥⊥ ∴ 131,,αααα⊥⊥从而有 ()()()()()1131113111,,,,,0ααααααααααα=+=+== 由此可得 10α=,即有 3V α∈ ∴ 23V V ⊆. 同理可证 32V V ⊆, ∴ 23.V V = 唯一性得证. 注：① 子空间W 的正交补记为W ⊥.即{}|W V W αα⊥=∈⊥② n 维欧氏空间V 的子空间W 满足: i) ()WW ⊥⊥=ii) dim dim dim W W V n ⊥+== iii) W W V ⊥⊕=ⅳ) W 的正交补W ⊥必是W 的余子空间. 但一般地，子空间W 的余子空间未必是其正交补. 3．内射影设W 是欧氏空间V 的子空间，由,V W W ⊥=⊕对,V α∀∈有唯一的12,W W αα⊥∈∈,使12ααα=+称1α为α在子空间W 上的内射影. 小结：两空间正交、直和、正交补。
§9-2标准正交基
§9-2 标准正交基复习欧氏空间的概念、两向量正交的定义、度量矩阵的定义及性质。
一、概念定义5: 欧氏空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，则称为一个正交向量组。
例1: 向量(),0101=α()1012=α，()1013-=α构成3R 的一个正交组。
事实上，很容易验证 ()0=j iαα3,2,1,=j i例2: 在()π20C 上，函数组 1，cosx, sinx, … cos nx, sin nx … 构成()π20C 上的一个正交组。
事实上，我们有ππ2120=⎰dx ；⎩⎨⎧≠==⎰nm nm nxdx mx ,0,cos cos 20ππ； ⎩⎨⎧≠==⎰nm nm n x d x mx 0,sin sin 20ππ； 0sin cos sin cos 202020===⎰⎰⎰πππnxdx nxdx nxdx mx所以 ()()0sin 1cos 1==nx nx ；()()()0sin ,sin ,cos sin ,cos ===nx mx coxnx mx nx mx ， 当n m ≠时一般情况下，正交向量组是对两个或两个以上的向量而言，对于特殊情况我们规定：单个非零向量所成的向量组是正交向量组。
由正交向量组的定义很容易得出以下结论： 1、正交向量组一定是线性无关的。
证明：设m ααα ,,21正交，欲证其无关设有关系式 02211=+++m m k k k ααα 用i α与等式两边做内积，由于()0=j iαα当j i ≠时所以可得 ()0i=i i k αα 而()i i αα﹥0 所以()m i k i 2,1,0==注①：此定理的逆不成立，即无关的向量组不一定是正交的。
如()3,2,11=α，()0,1,22=α无关（不成比例），但()0421≠=αα注②：相关的向量组一定是不正交的。
于是可得2、在n 维欧氏空间中，两两正交的非零向量不超过n 个。
事实上，在n 维空间中，任何n+1个向量都是相关的。
标准正交基
ki R 待定．
§2 标准正交基
从正交向量组的性质知
( i , m1 ) ( , i ) ki ( i , i ),
于是取
( , i ) ki , ( i , i )
i 1,2, , m .
i 1,2, , m ,
可得 ( i , m 1 ) 0 ,
( i , j ) 1 i j， 0 i j
i , j 1,2,, n
(1)
③ n 维欧氏空间V中的一组基 1 , , n 为标准正交基 当且仅当其度量矩阵 A ( i , j ) En . ④ n 维欧氏空间V中标准正交基的作用: 设 1 , , n为V的一组标准正交基，则
§2 标准正交基
例2. 在 R[ x ]4 中定义内积为
( f , g ) f ( x ) g( x )dx
1 1
求 R[ x ]4 的一组标准正交基． (由基 1, x , x 2 , x 3 出发作正交化)
2 3 1, x , x , x 解: 取 1 2 3 4
§2 标准正交基
3
3 x i y j z k , x i y j z k R 设 1 1 1 2 2 2 ① 从 ( , i ) x1 , ( , j ) y1 , ( , k ) z1 得 ( , i ) i ( , j ) j ( , k ) k
2 再单位化得标准正交向量组 1 ,2 ,,m .
i
1 | i |
i , i 1,2,, m
§2 标准正交基
例1. 把 1 (1,1,0,0), 2 (1,0,1,0),
9.2__标准正交基
2. 正交向量组的性质
定理1 正交向量组是线性无关的.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 .
用 i 与等式两边作内积，得
ki (i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
则 xi = (i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
(i , ) = (i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= (i , x11) + … + (i , xii ) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi(i , i ) + … + xn(i , n )
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
注意
1）应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准 正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 2）特别地，在欧氏空间的任一标准正交基下，有
| | x12 L xn2
第九章 欧几氏空间
§1 定义与基本性质 §5 子空间
§2 标准正交基
§6 对称矩阵的标准形
§3 同构 §4 正交变换
§7 向量到子空间的 距离─最小二乘法
第二节 标准正交基
主要内容
定义 标准正交基的求法 正交矩阵
一、定义
4-2标准正交基
α1，α2，…，αm两两正交，则称α1，α2，…，αm是V的 ， 两两正交， ， 的 ， 又都是单位向量， 一个正交基；如果α1，α2，…，αm又都是单位向量， 一个正交基； 正交基 的一个标准正交基 则称α1，α2，…，αm是V的一个标准正交基. ， 的一个标准正交基.
定义4.7 定义4.7 设α1，α2，…，αm是欧氏空间 的一个基.如果 ， 是欧氏空间V的一个基.
1 1 1 1 1 1 α 3 = ,− ,0, ,0 为R4的一个基 ,α 4 = − , , 的一个基. 2 2 2 2 2 2
T T
说明 1）自然基 1，e2，…，en是Rn标准正交基. 标准正交基. ）自然基e ，
T
T
4
3）向量空间V的任意向量α ，在V中的一个标准正交基 ）向量空间 的任意向量 中的一个标准正交基 α1，α2，…，αm下的坐标为： = k α + k α + L + k α ， 下的坐标为： α
由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 由单位向量组成的正交向量组称为标准正交向量组. 标准正交向量组
2
正交向量组是线性无关的. 定理4.2 正交向量组是线性无关的. 定理 ， 是正交向量组， 证 设α1，α2，…，αm是正交向量组，并有一组数使 k1α1 + k2α2 + … + kmαm= 0. ， ， ， ）对上式的两边做内积， 用αi（i=1，2，…，m）对上式的两边做内积，得 <k1α1 + k2α2 + … + kmαm ,αi >= <0 ,αi> 0 k1<α1, αi> + k2<α2, αi> + … + km<αm, αi>= 0 因α1, α2, …, αm两两正交, 所以<αi, αj>= 0( i ≠ j, )， 两两正交 所以 ， 故 ki<αi，αi>=0，（i=1，2，…，m） ， ， ， ， ） 所以< 因αi ≠ 0，所以 αi，αi>≠0，故ki =0（i=1，2，…，m）. ， （ ， ， ， ） 于是向量组α1，α2，…，αm线性无关 ， 线性无关.
§2 标准正交基
上页
下页
返回
结束
注3 若基 1, 2 ,, n 满足：
1, i j, ( i , j ) ij 0, i j.
则它就是一组标准正交基. 综上可知，一组基为标准正交基的充分必要条件 是：它的度量矩阵为单位矩阵.
上页
下页
返回
结束
注4 设基 1, 2 ,, n 的度量矩阵为A，则 A 为
x11 x2 2 xn n ,
上页
下页
返回
结束
注7 标准正交基下的向量内积的计算
在标准正交基 1 , 2 ,, n 下，
x11 x2 2 xn n ,
y11 y2 2 yn n .
则
( , ) x1 y1 x2 y2 xn yn X TY .
推论 在n维欧氏空间中，两两正交的非零向量
不可能超过n个.
上页 下页 返回 结束
定义6
在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量 组称为正交基； 由单位向量组组成的正交向量组称 为标准正交基.
注1 对一组正交基进行单位化就可得到一组标
准正交基. 注2 设 1, 2 ,, n 是一组标准正交基，由定义， 有 1, i j, ( i , j ) ij 0, i j.
上页 下页 返回 结束
注6 向量在标准正交基下的坐标
设 1 , 2 ,, n 为V 的一组标准正交基，则任一向 量 V , 则 ( , 1 )1 ( , 2 ) 2 ( , n ) n . 事实上，设
两边同时与 i 作内积，即得 xi ( , i ), i 1,2,, n.
§2 标准正交基
线性代数第二章 线性方程组2.6 Rn的标准正交基
定理2.16 设1, 2, ,s(s2)为Rn中的一个线性无关的向
量组, 令
1 = 1
2
2
T 2
1
1T 1
1,
3
3
T 3
1
1T 1
1
3T 2 2T 2
2,
……………………..
s
s
T s
1T
1 1
1
T s
2T
b2 bn
n
= a1 b1 + a2 b2 +…+an bn aibi
i 1
称为向量与的内积.
显然, T R.
例题 = (1,1,1,1)T, = (1,-2,0,-1)T, = (3,0,-1,-2), 则
1
T 1,
1,
1,
1,
2 0 1
=
-2
3
T 1,
1,
1,
1,
0 1 2
=0
1
T 1,
1,
1,
1,111 = 4
性质:
, , 1,2, 1, 2为Rn中的任意向量, k, k1, k2 R (1) T = T ; (2) (k )T = k T ; (3) ( + )T = T + T ; (4) T 0; 且 T = 0 = 0 (5) (k1 1 + k2 2)T = k1 1T + k2 2 T ;
k
2.6 标准正交基
则称a1 , a2 , … , an 为 向量 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标， 记作 ( a1 , a2 , … , an ) .
二、向量的内积
1.Def .
给定Rn中向量
a1 a2 an
n i1
b1 b2 , bn
i j 0
T
1 0 0 1 2 0 0
0 0 , n 1
是两两正交的.
( i j ; i , j 1, 2 , ..., s )
则称向量组1, 2,…,s 为正交向量组. 正交向量组1,2,…,s 中无零向量.
§2.6 R 的标准正交基
n
0
向量空间的基 , 标准正交基 , 内积 , 向量的正交组， 1 基本知识点： Schmidt 正交化方法 , 正交矩阵 . 0 熟练掌握利用 Schmidt 正交化方法变换向量组 . 2 重点：
熟练掌握将向量变换为 单位向量 .
1 0 0 0 1 0 , , , n , 1 2 0 0 1
a1 a2 an
n R ,
都可由 1 , , n 线性表出 .
a1 0 0
0 0 0 a2 a 1 1 a 2 2 a n n an 0
QTQ=
sin
co s sin
1 cos 0
0 1
3-2标准正交基
正交基 .由n个 标 准 正 交 向 量 组 成 基 midt正交化手续
设 1 , 2 , , r 是n维 酉 空 间 （ 欧 氏 空 间 中 ）r个 线 性 无 关 的 向 量 ， 求 由r 这 个向量生成的 r维 线 性 子 空 间 span 1 , 2 ,, r 中的一个标准正交基 .
求span 1 , 2 , 3 的一个标准正交基 .
解 易知 , , 线性相关 , 1 , 2线性无关， 1 2 3
故span 1 , 2 , 3 span1 , 2 ，
应用Schmidt 正交化手续 T 1 1 （ 1， 1， 1， 1） ,
2 , 1 T 2 2 1 2 1 （4,2,0,2） 1 , 1
6/7
1 , 2 把 1 , 2单位化，得到 span 的一个标准
正交基，
1 1 1 1 1 1 , , , 1 2 2 2 2
2、 标 准 化
1 2 r 命 1 , 2 , , r 1 2 r
组 1 , 2 ,, r出 发 ， 定理 2 从r维 内 积 空 间 的 任 意 一 基 可以通过 Sthmidt 正交化手续构 造出一标 个准正交基 .
5/7
4 在空间 R 中，设 例1
T T T 1 （1， 1， 1， 1） , 2 （5,1,1,1） , 3 （ 3,3,1,3） ,
第二节 标准正交基、Schmidt方法
定义 1
第三章
若向量 和 的内积 ( , ) 0，则称
与 正交，记作 .
i 是正交向量组 正交，则称向量组 .
i 若不含零向量的向量组 内的向量两两
线性代数标准正交基
y
(x, y)
1 1 x , y
x2 y2
x2 y2 x2 y2
x
是与 同方向的单位向量.
o
用非零向量旳长度清除向量, 得到一种与同
方向旳单位向量, 称为把向量单位化。如
( 4,0, 1, 2 )T 21
1
4
21
,
0 , 1 ,
21 21
2 T
21
四、正交向量组 定义2.20 设 , Rn 假如 T=0,则称与正交
则称 1,2 ,...,n 为Rn 旳一种原则正交基. 如 1 (1, 0, ..., 0 )T , 1, 2 ,..., n 为Rn 旳原则正交基.
2 ( 0, 1, ..., 0 )T ,
n ( 0, 0, ..., 1 )T
又如 1 (1, 2, 3 )T
2 ( 0, 1, 2 )T 3 ( 0, 0, 1 )T
QTQ E
1, 2 ,..., n 是单位正交向量组.
1, 2 ,..., n 两两正交,且 1 2 ... n 1
与正交
T 0
一般地, 在 n 维空间Rn 中 1 (1 0 0 ... 0 )T
2 ( 0 1 0 ... 0)T
3 ( 0 0 1 ... 0 )T
i j时,
T i
j
0
i
j
n ( 0 0 0 ... 1 )T
Rn 中旳单位向量组 1,2,…,n 两两正交.
1, 2 ,..., n 称为Rn 中旳 正交单位向量组.
)
k2(
iT
2
)
...
ki
(
iT
i
)
...
ks
(
线性代数课件7-2标准正交基
正交矩阵有哪些特殊性质和应用？如何判断一个矩阵 是否为正交矩阵？
THANKS
感谢观看
标准正交基的性质
01
标准正交基中的向量两两正交 ，且模长都为1。
02
标准正交基具有唯一性，即对 于给定的向量空间，其标准正 交基是唯一的。
03
标准正交基具有良好的计算性 质，可以简化向量在基下的坐 标计算以及向量间的内积、外 积等运算。
03
标准正交基的构造方法
施密特正交化过程
01
选取一组线性无关的向量组；
正交变换与标准正交基的关系
正交变换的定义
若线性变换T保持向量的内积不变，即对任意向量x,y，有$(Tx,Ty)=(x,y)$，则称T为正交变换；
正交变换的性质
正交变换保持向量的长度和夹角不变；
正交变换与标准正交基的关系
标准正交基是正交变换的基础，通过正交变换可以得到新的标准正交基。同时，标准正交基也是 正交变换的简化形式，可以方便地表示和计算正交变换。
正交矩阵及其性质
施密特正交化过程 标准正交基的定义与性质
01
03 02
学习目标
01
02
03
掌握标准正交基的概念 和性质，理解其在向量
空间中的重要性
学会利用施密特正交化 过程将一组线性无关的 向量正交化，进而得到
标准正交基
了解正交矩阵的定义和 性质，掌握正交矩阵的 判定方法及其在线性变
换中的应用
02
线性代数课件7-2 标准正交基
目录
• 引言 • 标准正交基的定义与性质 • 标准正交基的构造方法 • 标准正交基在线性空间中的应用 • 标准正交基在解决实际问题中的
应用举例 • 总结与拓展
第二节标准正交基
(5)
(5) 式相当于一个矩阵的等式
ATA = E ，
(6)
或者
A-1 = AT .
定义 7 n 级实数矩阵 A 称为正交矩阵，如
果 ATA = E . 因此，以上分析表明，由标准正交基到标准正
交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来，如果第一组 基是标准正交基，同时过渡矩阵是正交矩阵，那么
第二组基一定也是标准正交基. 最后我们指出，根据逆矩阵的性质，由
i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同 于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
理 1 证明中的方法，作向量
m
m1 m1 ( m1,i )i . i 1
显然
m +1 0 , 且 (m +1 , i) = 0 ，i = 1 , 2 , … , m .
令
m1
m1 | m1
|
.
则 1 , 2 , … , m , m +1 就是一单位正交向量组.
同时
L(1 , 2 , … , m +1 ) = L(1 , 2 , … , m +1) .
交向量组的方法称为施密特(Schimidt)正交化过程.
三、举例
例1 设
1
1
4
a1 2 , a2 3 , a3 1 ,
1
1
0
试用施密特正交化过程把这组向量变成单位正交
标准正交基
§2 标准正交基一、正交向量组 定义：设Ｖ为欧氏空间，非零向量12,,,m V ααα∈,如果它们两两正交，则称之为正交向量组. 注：① 若0α≠，则α是正交向量组. ② 正交向量组必是线性无关向量组. 证：设非零向量12,,,m V ααα∈两两正交. 令 11220m m k k k ααα+++=， i k R ∈则 ()()11,,,0m mi j j j i j i i i j j k a k a a k a a α==⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑由 0i a ≠知 (),0i j a a >， ∴ 0i k =， 1,2,,i m = 故 12,,,m ααα线性无关.③ 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组． 例如：3R 中 ()11,1,0α=，()21,0,1α=线性无关． 但12,αα不是正交向量组.()12,10αα=≠.④ n 维欧氏空间中正交向量组所含向量个数≤n 二、标准正交基 1. 几何空间3R 中的情况在直角坐标系下()1,0,0i =,()0,1,0j =,()0,0,1k =是由单位向量构成的正交向量组，即()()(),,,0i j j k k i ===1i j k ===i ,j ,k 是3R 的一组基.设 111x i y j z k α=++,3222x i y j z k R β=++∈ ① 从 ()1,i x α=,()1,j y α=,()1,k z α= 得 ()()(),,,i i j j k k αααα=++ ② ()121212,x x y y z z αβ=++③ α=④,arccos βθ=即在基,,i j k 下，3R 中的与内积有关的度量性质有简单的表达形式. 2. 标准正交基的定义n 维欧氏空间中，由n 个向量构成的正交向量组称为正交基； 由单位向量构成的正交基称为标准正交基. 注：① 由正交基的每个向量单位化，可得到一组标准正交基. ② n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基()1,,1,2,0i j i ji j n i j εε=⎧⇔==⎨≠⎩③ n 维欧氏空间V 中的一组基1,,n εε为标准正交基当且仅当其度量矩阵 ()(),i j n A E εε==.④ n 维欧氏空间V 中的标准正交基的作用: 设1,,n εε为V 的一组标准正交基，则 (i) 设 1122n n x x x V αεεε=+++∈ 由(1) ，(),i i x αε= .有 ()()()1122,,,n n ααεεαεεαεε=+++ (2) (ii) ()11221,nn n i i i x y x y x y x y αβ==+++=∑ (3)这里 1122n n x x x αεεε=+++ , 1122n n y y y βεεε=+++ .(iii) α=3. 标准正交基的构造─施密特(Schmidt)正交化过程1） (定理1) n 维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基.证：设 12,,,m ααα欧氏空间Ｖ中的正交向量组，对n m -作数学归纳法． 当0n m -=时， 12,,,m ααα就是一组正交基了.假设n m k -=时结论成立，即此时可找到向量12,,k βββ 使 12,,m ααα，12,,k βββ 成为一组正交基.现在来看()11n m k -=+≥的情形. 因为m n <，所以必有向量β不能被12,,m ααα线性表出， 作向量 ()111220m m mk k k αβααα+=---≠ i k R ∈ 待定． 从正交向量组的性质知()()()1,,,,i m i i i i k ααβααα+=-1,2,.i m = 于是取 ()(),,i i i i k βααα=1,2,.i m =可得()1,0,i m αα+= 1,2,.i m = 即 121,,,,m m αααα+ 为正交向量组．由归纳法假设知，对这1m +个向量构成的正交组可扩充得正交基. 于是定理得证．2）(定理2) 对于n 维欧氏空间中任一组基12,,n εεε都可找到一组标准正交基12,,,n ηηη,使()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,,i n = 证：(基本方法─逐个构成出满足要求的12,,,n ηηη.)首先，可取 1111ηεε=.一般地，假定已求出12,,,m ηηη是单位正交的 ，且()()1212,,,,,i i L L εεεηηη=， 1,2,i m = (4)当m<n 时，因为有 ()112,,,m m L εεεε+∉ 由(4)知 1m ε+不能被12,,,m ηηη线性表出． 按定理1证明中的方法，作向量111122m m m m k k k ξεηηη++=---， ()()1,,m i i i i k εηηη+=即 ()1111,mm m m i i i ξεεηη+++==-∑ (5)则 10m ε+≠ 且 ()1,0m i εη+=， 1,2,i m = 再设 1111m m m ηξξ+++=.可知 121,,,,m m ηηηη+ 是单位正交向量组．从(4)和(5)知 121,,,,m m ηηηη+与121,,,m m εεεε+是等价向量组,因此，有()()121121,,,,,,m m L L εεεηηη++=由归纳原理，定理2得证. 注：① 由()()1212,,,,,,i i L L εεεηηη=, 1,2,i n = 知，若 ()()1212,,,,,,i n T ηηηεεε=,则过渡矩阵()ij T t =是上三角形（即0,ij t i j =>） 且 0,ij t > 1,2,i n = ②Schmidt 正交化过程:1。
正交基与标准正交基
(2) 两个向量的内积等于它们关于标准正交基
的对应坐标求积的和.
n
n
设 , V , xii , yj j
i 1
j1
n
n
nn
n
于是 , xii , yj j
xi yj i , j xi yj
i 1
j1
i1 j1
i 1
证 必要性：若V W 则作为线性空间也同构，故 dimV=dimW
充分性：设 dimV dimW ,若 n=0 则V W .
设 n>0，并且{1,2,
n
}和{
1T
,
T 2
,
T n
}分别是V
和W 的标准正交基，对于V 中每一个向量，
x11 x22 xnn
前页 后页 返回
4．标准正交基的存在性
定理7.2.2（施密特正交化方法) 设 {1,2 ,,n} 是欧氏空间V的一组线性无关的向量, 那么可以求
出V 的一个正交组 {1, 2,, n}, 使得 k 可以由
1,2,,k 线性表示，k = 1,2,…,m.
证 取 1 1, 那么 2 是 1 的线性组合，且
再令
3
|
3 3
|
1, 6
2, 6
1 6
于是 1, 2 , 3 就是 R3 的一个标准正交基.
前页 后页 返回
例 4：以知1 ，2 R3 ，1 =（1，1，0）， 2 = （-2，0，0）扩充为 R3 的一个标准正交基.
解 （1 ,2 , 3 ）=（ 1 , 2 , 3 ）A
所以 由
第四章1欧几里得空间的定义与基本性质2标准正交基与正交变换
3. 以这些向量为列构成正交矩阵 P (1,2 , ,n ),
有 P 1 AP diag(l1, ,l1, ,ls , ls ).
3 2 4
例： 设
A
2 4
0 2
2 3
求正交矩阵 P ，使得 P 1 AP 为对角阵。
14
性质: (1)若 A为正交矩阵，则 | A |=±1.
(2)实矩阵 A 为正交矩阵的充要条件为 A1 A . (3)实矩阵 A为正交矩阵的充要条件是：
A的行(列)向量组为两两正交的单位向量组。
例: 设 A 为三阶非零实方阵, 且 aij = Aij , 其中Aij 是 aij 的代数余子式, i , j = 1, 2, 3. 证明 : |A| = 1, 且 A 是正交矩阵.
1
得基础解系
p1
2 0
,
0
p2
2 1
.
21
先正交化：
1
b1
p1
2 0
,
0 1 4
b2
p2
[b1 , [b1 ,
p2 ] b1 ]
b1
2 1
4 5
2 0
1 5
2 5
再单位化：
1
1
1 5
2 0
,
4
2
1 35
2 5
22
当 l3 8 时，齐次线性方程组为 A 8E x 0
a
2 n
称 || α || 为向量 α 的长度（模或范数）。
特别地，当 || || 1 时，称 α 为单位向量。
由α
(≠
0)求出单位向量
||
||
标准正交基(II)
qkiqlj (ξk ,ξl ) =
qkiqljδ kl
=k 1=l 1
=k 1=l 1
n
∑ = qkiqkj =δ ij (i, j = 1,, n).
k =1
所以η1,η2 , ...,ηn也是V 的一个标准正交基.
8.2.2 标准正交基 (II)
定理 (1) 正交阵是可逆阵且其逆也是正交阵; (2) 正交阵的乘积是正交阵; (3) 一个n阶实方阵Q为正交阵的充分必要条件是
QT = Q−1 .
(4) Q为正交阵的充分必要条件是Q的列向量组是欧氏空间
n 的一个标准正交基.
8.2.2 标准正交基 (II)
证明 (4) 记Q = ( X1 , X2 ,, Xn ),
因为QTQ = En , 所以X= iT X j δ= ij (i, j 1, 2,, n).
这说明Q的列向量组是欧氏空间n 的一个标准正交基. 反之，若 X1 , X2 ,, Xn 是欧氏空间n的一个标准正交基，则
(η1 ,η2 , ...,ηn ) = (ξ1 ,ξ2 , ...,ξn )Q.
记 Q = (qij )n×n , 则δ ij = (ηi ,η j )
= (q1iξ1 + + qniξn , q1 jξ1 + + qnjξn )
nn
nn
n
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =
qkiqlj (ξk ,ξl )=
8.2.2 标准正交基 (II)
证明 (1)由前面的讨论即得.
(2) 设Q 是正交矩阵，即 QTQ = En .
由于(ξk ,ξl )=δ kl (k, l = 1,, n), 所以
(ηi ,η j=) (q1iξ1 + + qniξn , q1 jξ1 + + qnjξn )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理 2 对于 n 维欧氏空间中任意一组基 1 ,
2 , … , n ，都可以找到一组标准正交基 1 , 2 , … , n ，使
定理 1 n 维欧氏空间中任一个正交向量组都
能扩充成一组正交基.
证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
我们对 n - m 作数学归纳法.
当 n - m = 0 时， 1 , 2 , … , m 就是一组正交 基.
假设 n - m = k 时定理成立，也就是说，可以
找到向量 1 , 2 , … , s , 使得
ki = 0 ( i = 1, 2, …, m) .
证毕
这个结果说明，在 n 维欧氏空间中，两两正交
的非零向量不能超过 n 个. 这个事实的几何意义是
清楚的. 例如，在平面上找不到三个两两垂直的非 零向量； 在空间中，找不到四个两两垂直的非零向
量. 从解析几何中看到，直角坐标系在图形度量性 质的讨论中有特殊的地位. 在
定义
标准正交基的求法
举例 正交矩阵
一、定义
1. 正交向量组的定义 定义 5 欧氏空间 V 中一组非零的向量，如
果它们两两正交，就称为一正交向量组. 应该指出，按定义，由单个非零向量所成的向 量组也是正交向量组. 当然，以下讨论的正交向量 组都是非空的.
2. 正交向量组的性质
(i 1,2,, m) .
( i = 1, 2, … , m).
由 的选择可知， m +1 0 . 因此
1 , 2 , … , m , m +1
是一正交向量组，根据归纳法假定，1,2 ,…,m ,
m +1 可以扩充成一正交基.
证毕
应该注意，定理的证明实际上也就给出了一个
L(1 , 2 , … , i ) = L(1 , 2 , … , i) , i = 1,2,…,n .
证明
设 1 , 2 , … , n 是一组基，我们来逐
个地求出向量 1 , 2 , … , n . 首先，可取 1
1 | 1 |
1 . 一般地，假定已经
性质 2 设1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
向量 在该基下的坐标为 (x1 , x2 , … , xn ) , 即
= x1 1 + x2 2 + … + xn n ，
则 xi = ( i , ) ( i = 1, 2, … , n ) .
证明
( i , ) = ( i , x1 1 + x2 2 + … + xn n )
= xi .
证毕
性质 3 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
且
= x1 1 + x 2 2 + … + x n n ， = y1 1 + y2 2 + … + yn n ，
那么 ( , ) = x1 y1 + x2 y2 + … + xn yn = XTY . (2)
i j; i j.
(1)
显然，(1) 式完全刻画了标准正交基的性质. 换句
话说，一组基为标准正交基的充分必要条件是：
它的度量矩阵为单位矩阵. 因为度量矩阵是正定的.
根据第五章关于正定二次型的结果，正定矩阵合同
于单位矩阵. 这说明在 n 维欧氏空间中存在一组基, 它的度量矩阵是单位矩阵. 由此可以断言，在 n 维 欧氏空间中，标准正交基是存在的.
3. 正交基的定义
定义 6 在 n 维欧氏空间中，由 n 个向量组成
由单位向量组成的正交 的正交向量组称为正交基；
基称为标准正交基. 对一组正交基进行单位化就得到一组标准正交
基.
4. 正交基的性质
性质 1 设 1 , 2 , … , n 是一组标准正交基，
则
1, ( i , j ) 0,
性质 正交向量组是线性无关的. 证明 设 1 , 2 , … , m 是一正交向量组，
k1 , k2 , … , km 是 m 个实数，且有
k1 1 + k2 2 + … + kmm = 0 . 用 i 与等式两边作内积，得
ki ( i , i ) = 0 . 由 i 0，有 (i , i ) > 0 ，从而
这里 k1 , k2 , … , km 是待定的系数. 用 i 与 m +1 作
内积，得 (i , m +1 ) = ( , i ) - ki(i , i ) ( i = 1, 2, … , m).
取
( , i ) ki ( i , i )
有 ( i , m +1 ) = 0
这个表达式正是几何中向量的内积在直角坐标系中
的坐标表达式的推广.
应该指出，内积的表达式 (2) , 对于任一组标准
正交基都是一样的. 这说明了，所有的标准正交基 在欧氏空间中有相同的地位. 在下一节，这一点将 得到进一步的说明. 下面我们将结合内积的特点来讨论标准正交基 的求法.
二、标准正交基的求法
= (i , x11) + … + (i , xi-1i-1) + (i , xii ) +
+ (i , xi+1i+1) + … + (i , xnn ) = x1(i , 1) + … + xi-1(i , i-1) + xi(i , i ) +
+ xi+1(i , i+1) + … + xn(i , n ) = xi(i , i )
1 , 2 , … , m , 1 , 2 , … , s
成为一组正交基.
现在来看 n - m = k + 1 的情形. 因为 m < n ，
所以一定有向量 不能被1 , 2 , … , m线性表出， 作向量
m +1 = - k11 - k22 - … - kmm ,