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2020届百校联考高考百日冲刺全国I卷文科数学试题一

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2020年百校联盟高考(文科)数学(4月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) 含解析

2020年百校联盟高考(文科)数学(4月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) 含解析

2020年高考（文科）数学（4月份）模拟试卷（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．03．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．135．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝A．﹣2B．﹣C．﹣D．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．311．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.82819．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x∈Z|x2≤1}，B＝{x|x•ln（x+3）＝0}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣2，﹣1，1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1}【分析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，﹣2}，∴A∪B＝{﹣2，﹣1，0，1}．故选：D．2．设是复数z的共轭复数，若•i＝1+i，则z•＝（）A．B．2C．1D．0【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合求解．解：∵•i＝1+i，∴，则．故选：B．3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A．y＝x sin x B．y＝xlnxC．D．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝x sin x，其定义域为R，有f（﹣x）＝x sin x＝f（x），即函数f（x）为偶函数；对于B，y＝xlnx，其定义域为（0，+∞），既不是奇函数，也不是偶函数；对于C，y＝x•，其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）•＝x•＝f （x），即函数f（x）为偶函数；对于D，y＝xln（﹣x），其定义域为R，有f（﹣x）＝（﹣x）ln（+x）＝xln（﹣x）＝f（x），即函数f（x）为偶函数；故选：B．4．数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，则S3＝（）A．B．12C．D．13【分析】利用等比数列通项公式列出方程组，求出，由此能求出S3的值．解：∵数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和，a n＞0，a2+a3＝4，a3+3a4＝2，∴，解得，∴S3＝＝13．故选：D．5．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．2C．D．【分析】根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P﹣ABCD，体积V＝．故选：C．6．已知函数f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣），则下列结论正确的个数是（）①函数f（x）的最小正周期为π；②函数f（x）在区间[0，]上单调递增；③函数f（x）在[0，]上的最大值为2；④函数f（x）的图象关于直线x＝对称．A．1B．2C．3D．4【分析】先根据函数化简得f（x）＝，根据，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f（x）在在[0，]上的最大值，可以判断③；可求出f（x）的所有对称轴，可判断④．解：f（x）＝2cos2x﹣cos（2x﹣）＝cos2x+1﹣﹣＝＝，∴，①对；由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，得x∈[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以函数f（x）单调递增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，②错；∵x∈[0，]时，2x+∈[，]，cos（2x+）∈[﹣1，]，函数f（x）在[0，]上的最大值为，③错，∵2x+＝kπ，x＝，k∈Z，④对，故选：B．7．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）A．﹣2B．﹣C．﹣D．【分析】根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．解：因为在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝，M、N分别为BC、AM的中点，则＝（）•＝（﹣+）＝[﹣+（）]＝（﹣）＝＝×22﹣×＝﹣．故选：C．8．改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是（）A．B．C．D．【分析】由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P＝．故选：C．9．已知函数在（，+∞）上为减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．[﹣，1]C．（﹣，1]D．（﹣，+∞）【分析】由复合函数的单调性法则可知y＝x2﹣ax+a在上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y＞0恒成立，则实数a应满足，解不等式组即可得到答案．解：∵在（0，+∞）上为减函数，∴y＝x2﹣ax+a在上为增函数，且y＞0恒成立，∴，解得．故选：B．10．若x，y满足约束条件，则z＝|x﹣y+1|的最大值为（）A．2B．C．D．3【分析】作出不等式组对应的平面区域，令t＝x﹣y+1，利用目标函数t的几何意义，结合图象得到结论．解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t＝x﹣y+1，得y＝x+1﹣t表示，斜率为1纵截距为1﹣t的一组平行直线，⇒C（，﹣）；平移直线y＝x+1﹣t，当直线y＝x+1﹣t经过点C（，﹣）时，直线y＝x+1﹣t的截距最小，此时t max＝﹣（﹣）+1＝，当直线y＝x+1﹣t与AB重合时，直线y＝x+1﹣t的截距最大，A（0，）此时t min＝0﹣+1＝，∴z＝|x﹣y+1|的取值范围是：[，]．故z＝|x﹣y+1|的最大值为．故选：C．11．如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝2，点P在平面ABC内的投影D恰好落在AB上，且AD＝1，PD＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为（）A．9πB．10πC．12πD．14π【分析】结合已知构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．解：由题意可知，PD⊥平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC，又因为AB⊥BC，所以BC⊥平面PAB，构造直三棱柱PAB﹣MNC，则直三棱柱PAB﹣MNC的外接球即为所求，球心O为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB中，由正弦定理可得，r＝＝，故R＝＝，故S＝4＝14π故选：D．12．已知函数f（x）＝（x＞0），若a＝＞0，则f（x）的取值范围是（）A．[﹣﹣1，﹣1）B．（﹣2，﹣1）C．[﹣2，﹣1）D．（﹣，0）【分析】依题意，a2+x2＝1，采用三角换元设a＝cosα，x＝sinα，可得，再令，可得在上为减函数，由此求出f（x）的取值范围．解：由得，a2+x2＝1，不妨设a＝cosα，x＝sinα，其中，则，令，，∴在上为增函数，∴在上为减函数，∴．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分．13．从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为．【分析】根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为，故答案为：．14．已知函数f（x）＝x3﹣5x+a，直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，a，b为正实数，则a+b的值为2．【分析】先对f（x）求导，根据条件设切点的坐标为（x0，y0），然后由f'（x0）＝﹣2求出切点坐标，进一步求出a+b的值．解：由f（x）＝x3﹣5x+a，得f'（x）＝3x2﹣5，∵直线2x+y+b＝0与函数f（x）的图象相切，设切点的坐标为（x0，y0），则，∴x0＝1或x0＝﹣1，∴y0＝a﹣4或y0＝a+4，即切点坐标为（1，a﹣4）或（﹣1，a+4），代入直线中，得a+b＝2或a+b＝﹣2，∵a，b为正实数，∴a+b＝2．故答案为：2．15．已知实数x，y满足y≥2x＞0，则的最小值为．【分析】先令t＝，可转化成f（t）＝t+，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．解：设t＝，由题意知t≥2，则＝t+，令f（t）＝t+，t≥2，∵f'（x）＝1﹣＞0，∴f（t）在t≥2上单调递增，∴f（t）≥f（2）＝，故答案为：．16．F1、F2是双曲线C：的左、右焦点．过F2作直线l⊥x轴，交双曲线C于M、N两点，若∠MF1N为锐角，则双曲线C的离心率e的取值范围是（1，1+）．【分析】求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．解：解：当x＝c时，，可得y＝故M（c，）如图只要∠MF1F2＜45°即可，则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，即，即b2＜2ac，则c2﹣a2＜2ac，即c2﹣2ac﹣a2＜0，则e2﹣2e﹣1＜0，解得：1﹣又e＞1，∴故答案为：（1，1+）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，a2＝b2+bc，且sin C+tan B cos C ＝1．（1）求角A；（2）b＝2，P为△ABC所在平面内一点，且满足＝0，求BP的最小值，并求BP 取得最小值时△APC的面积S．【分析】（1）先根据已知条件得到b+c＝2a cos B；再结合正弦定理得到A＝2B，结合sin C+tan B cos C＝1即可求得结论；（2）根据数量积为0推得点P在以CA为直径的圆上，进而得到当点P在BO上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC的面积S即可．解：（1）因为a2＝b2+bc⇒a2+c2﹣b2＝c2+bc；∴＝；∴b+c＝2a cos B；由正弦定理得：sin B+sin C＝2sin A cos B，∴sin B+sin（A+B）＝2sin A cos B⇒sin B＝sin（A﹣B）；因为都是三角形内角；∴A＝2B；又由sin C+tan B cos C＝1．得sin（B+C）＝cos B；∴sin A＝cos B；∴sin B＝．∴B＝，A＝．（2）由（1）可知C＝．∴△ABC为直角三角形．又因为＝0⇒PA⊥PC；所以点P在以CA为直径的圆上，如图：∵b＝2，所以：BC＝2，AB＝4，设O为AC的中点，连接BO，则当点P在BO上时，BP取得最小值，此时BP＝BO﹣PO ＝﹣1＝﹣1．设∠OCP＝α，则∠COP＝π﹣2α，∴sinα＝＝PA；cosα＝＝PC；∴S ＝PA•PC＝2sinαcosα＝sin2α；在直角三角形BOC中，sin∠COB＝sin（π﹣2α）＝sin2α＝＝＝．∴当BP 取得最小值时（﹣1）时，△APC的面积S 为：．18．双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产品在不同电商平台的销售情况，统计了A、B两个电商平台各十个网络销售店铺的销售数据：A电商平64718170796982737560台B电商平60809777968776839496台（1）作出A、B两个电商平台销售数据的茎叶图，根据茎叶图判断哪个电商平台的销售更好，并说明理由；（2）填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台B电商平台总计（3）生产商要从这20个网络销售店铺销售量前五名的店铺中，随机抽取三个店铺进行销售返利，则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？附：，n＝a+b+c+d．P（K2≥k）0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题意画茎叶图，（2）根据数据填表，代公式，比较，判断，（3）根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．解：（1）A、B两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B电商平台的销售更好，因为B整体数据集中比A高，（2）填表如下；销售量＞80销售量≤80总计A电商平台2810B电商平台6410总计81220≈3.333＜3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．（3）从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A，B，C，D，E，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：（A，B，C），（A，B，D），（A，B，E），（A，C，D），（A，C，E），（A，D，E），（B，C，D），（B，C，E），（B，D，E），（C，D，E），恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为．19．如图①，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠ABC＝，E为CD中点．将△ADE沿AE折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P﹣ABCE．（1）求证：平面PAE⊥平面PBE；（2）求点B到平面PEC的距离．【分析】（1）求解三角形可得AE＝2，BE＝2，结合AB＝4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；（2）设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO＝，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．【解答】（1）证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE＝2，BE＝2，又∵AB＝4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE⊂平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；（2）解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO＝．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE＝1，EC＝2，．由余弦定理得OC＝．∴PC＝．在△PEC中，PE＝EC＝2，PC＝．∴，又∵．设点B到平面PEC的距离为d，由V P﹣BCE＝V B﹣PCE，得，解得d＝．∴点B到平面PEC的距离为．20．动圆P过定点A（2，0），且在y轴上截得的弦GH的长为4．（1）若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l'与曲线C的交点S、T满足为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，GB＝GH＝2，PG＝，PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），设其方程为x＝t1y+a （t1≠0），联立，利用根与系数关系表示出QS2，QT2，进而表示出即可．解：（1）设P（x，y），由题意知：PA＝PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB＝GH＝2，∴PG＝，又∵PA＝＝，整理可得y2＝4x（x≠0）；当点P在y轴上时，易知P点与O点重合，P（0，0）也满足y2＝4x，∴曲线C的方程为y2＝4x，（2）假设存在Q（a，0）满足题意，设S（x1，y1），T（x2，y2），根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x＝t1y+a（t1≠0），联立，整理可得y2﹣4t1y﹣4a＝0，∴y1+y2＝﹣4t1，y1y2＝﹣4a，∴x1+x2＝t1（y1+y2）+2a＝4t12+2ax1x2＝＝a2，∵QS2＝（x1﹣a）2+＝（x1﹣a）2+4x1＝x12+（4﹣2a）x1+a2，QT2＝（x2﹣a）2+＝（x2﹣a）2+4x2＝x22+（4﹣2a）x2+a2，∴QS2+QT2＝x12+（4﹣2a）x1+a2+x22+（4﹣2a）x2+a2＝（x1+x2）2+（4﹣2a）（x1+x2）﹣2x1x2+2a2＝（x1+x2）（x1+x2+4﹣2a）﹣2x1x2+2a2＝（4+2a）（4++4），QS2•QT2＝16a2（+1）2，则＝＝，当a＝2时，上式＝与t1无关为定值，所以存在Q（2，0）使过点Q的直线与曲线交于点S、T满足为定值．21．已知函数f（x）＝ax+，g（x）＝﹣1．（1）讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（2）若对任意的x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）对f（x）求导得，，然后分a≤0和a＞0两个类别，讨论f'（x）的正负，即可得f（x）的单调性；（2）构造函数h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），求出h'（x），令H（x）＝h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，再求H'（x）＝e x﹣2a，当时，易证得h（x）在（0，+∞）上为增函数，h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立；当时，由H'（x）＝e x ﹣2a＝0，解得x＝ln2a，可得函数H（x）的单调性即h'（x）的单调性，于是h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，再令t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），求导可知t（a）在上为减函数，t（a）＜，即h'（ln2a）＜0，最后结合隐零点的思维可证得当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，因此得解．解：（1）∵f（x）＝ax+，∴，当a≤0时，f'（x）＜0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递减；当a＞0时，由f'（x）＝0，得（舍负），当时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，当时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增．（2）由f（x）＜g（x），得e x﹣ax2﹣x﹣1＞0，设h（x）＝e x﹣ax2﹣x﹣1（x＞0），则h'（x）＝e x﹣2ax﹣1，令H（x）＝e x﹣2ax﹣1，则H'（x）＝e x﹣2a，当时，∵x∈（0，+∞），∴H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴H（x）＝h'（x）＞h'（0）＝0，∴h（x）在（0，+∞）上为增函数，∴h（x）＞h（0）＝0成立，即f（x）＜g（x）成立．当时，由H'（x）＝e x﹣2a＝0，解得x＝ln2a，x∈（0，ln2a）时，H'（x）＜0，H（x）为减函数，x∈（ln2a，+∞）时，H'（x）＞0，H（x）为增函数，∴h'（x）≥h'（ln2a）≥2a﹣1﹣2aln2a，设t（a）＝2a﹣1﹣2aln2a（），则t'（a）＝﹣2ln2a＜0，∴t（a）在上为减函数，∴t（a）＜，即h'（ln2a）＜0∴∃x0∈（0，+∞），当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，h（x）为减函数，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为增函数，又h（0）＝0，∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，∴当时，对x∈（0，+∞），f（x）＜g（x）不恒成立，综上所述，．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，P为直线l上的任意一点（1）Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．（2）过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），转换为直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y﹣1）2＝1．直线l的极坐标方程为ρsin（φ+）+＝0，转换为直角坐标方程为x+y+2＝0．所以圆心（1，1）到直线x+y+2＝0的距离d＝，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离d＝2，所以构成的切线长为，所以四边形PACB面积的最小值为S＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数．（1）当a＝4时，求函数f（x）的定义域；（2）若函数f（x）的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足＝s时，求3m+4n的最小值．【分析】（1）a＝4时，得出f（x）需满足|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，然后讨论x的取值，去掉绝对值号求出x的范围即可得出f（x）的定义域；（2）根据题意可知a≤|x+2|+|x﹣1|对x∈R恒成立，从而可得出a≤3，进而得出s＝3，从而得出，然后即可得出，然后根据基本不等式即可得出3m+4n的最小值．解：（1）a＝4时，|x+2|+|x﹣1|﹣4≥0，当x＜﹣2时，﹣x﹣2﹣x+1﹣4≥0，解得；当﹣2≤x≤1时，x+2﹣x+1﹣4≥0，解得x∈∅；当x＞1时，x+2+x﹣1﹣4≥0，解得，∴函数f（x）的定义域为{x|或x}；（2）∵函数f（x）的定义域为R，∴|x+2|+|x﹣1|﹣a≥0对任意的x∈R恒成立，∴a≤|x+2|+|x﹣1|，又|x+2|+|x﹣1|≥|x+2﹣x+1|＝3，∴a≤3，∴s＝3，∴，且m＞0，n＞0，∴3m+4n＝（2m+n）+（m+3n）＝＝，当且仅当时取等号，∴3m+4n的最小值为．。

百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试1月高三文科数学试题(全国1卷)及答案

百校联盟2020届普通高中教育教学质量监测考试1月高三文科数学试题(全国1卷)及答案

则 f (3 ) = 8
A. 2 6 4
B. 2 + 6 4
C. 6 2 4
D. 6 2 2
11.在△ABC 中,角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a= 3，b2+c2bc=3，则 2b+3c 的最大值是
A.5 3
B.2 19
C.3 5
D.19 2
12.已知 O 为坐标原点，点 M 是函数 f(x)=2 (x>0)图象上任意一点，过点 M 作直线 MA，MB 分别与 x
已知等差数列{an}的各项均为正数，Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a1=1，a3• a4=7.
(1)求数列{an}的通项 an；
(2)设 bn=an • 3"，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
21. (本小题满分 12 分) 已知圆 M：(x+l)2+y 2= 16 的圆心为 M，过点 N(l，0)的动直线 l(l 与 x 轴不重合)与圆 M 交于 E，F 两点， 且过点 N 作 ME 的平行线交 MF 于点 D. (1) 求动点 D 的轨迹方程； (2)设点 D 的轨迹为曲线 C，若直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点，点 P 是直线 x=4 上任意点，直线 PA，PN， PB 的斜率分别为 k1,k2,k3，试探求 k1,k2,k3 是否成等差数列？若是，请给出证明；若不是，请说明理由.
33
4
A.1
B. 2
C. 3
D.2
3
3
2
3
6.已知 a = log0.20. 3，b=log20. 3，c=log0.32，则 a，b，c 的大小关系为
A. a<b<cຫໍສະໝຸດ B. b<c<a

2020年5月百师联盟高三全国冲刺考(全国I卷)数学(文)试题

2020年5月百师联盟高三全国冲刺考(全国I卷)数学(文)试题

y2 b2
1a
b
0 的左、右焦点为 F1 ，F2 ，焦距为 2，过 F2 的直线 l 交椭圆 C 于
A，
B 两点，若 △AF1B 的周长为 4 3 ，则椭圆 C 的离心率为__________．
15.已知数列 an 的前 n 项和为 Sn n2 2n ，现将该数列按如下规律排成个数阵（第 n 行有 2n1 项），记
在等高处截面的面积恒相等，则体积相等．已知某不规则几何体与某棱锥满足“幂势同”，该三棱锥三视图如
图所示（三视图均为边长为 4 的正方形），则该不规则几何体的体积为（ ）
A. 8 3
B. 32 3
10.函数
f
x
5x
2sin x2 1
x
的部分图象大致为（
C. 128 3
）
A.
B.
D. 64 3
C.
D.
则满足条件的整数 m 的个数为（ ）
A. 9
B. 10
C. 2
D. 12
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
x y 2 0
13.已知
x
，
y
满足约束条件
x y 3 0 2x y 2 0
，则
z
x
y 1
的取值范围为__________．
14.已知椭圆
C
：
x a
2 2
B. a 0 ， b 0
D. a 0 ， b 0
）
A. 3
B. 1
C. 2
D. 2
8.在
2 ABC
中，
AC
4 AD
，
3
P
为
BD
上一点，若

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷(文科)(一)(全国Ⅰ卷)(有答案解析)

2020年百校联考高考百日冲刺数学试卷（文科）（一）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数，则复数z的虚部为A. B. C. D.3.为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为A. 简单随机抽样B. 系统抽样C. 分层抽样D. 不能确定4.若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为，则输出A的值为A.B. 2C.D.6.九章算术卷第五商功中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则该几何体的容积为注：1丈尺．A. 45000立方尺B. 52000立方尺C. 63000立方尺D. 72000立方尺7.记单调递减的等比数列的前n项和为，且，若，则数列的公比为A. B. C. D.8.图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为A.B.C.D.9.设函数，则函数的图象大致为A. B.C. D.10.设抛物线C：的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则A. B. C. D.11.记等差数列的前n项和为，且，若，，成等比数列，则A. 13B. 15C. 17D. 1912.已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，若，则实数的值为______．14.已知首项为1的数列满足，则数列的通项公式为______．15.已知函数，则函数在上的取值范围为______．16.已知函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，则点N的坐标为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，，，，M是线段AC上的一点，且．Ⅰ求AM的长度；Ⅱ求的面积．18.如图，在四棱锥中，，，．在线段AB上作出一点E，使得平面PDE，并说明理由；若，，求点B到平面PAD的距离．19.为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车总计男性8001000女性600总计1200相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：时间分钟频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：根据行驶里程数按1元公里计费；行驶时间不超过45分钟，按元分计费；超过45分钟，超出部分按元分计费．是否有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；根据表中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．附：k20.已知中，，，，点Q在线段上，且Ⅰ求点Q的轨迹E的方程；Ⅱ若点M，N在曲线E上，且M，N，三点共线，求面积的最大值．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；已知函数存在极大值和极小值，且极大值和极小值分别为M，N，若，，求的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转得到点以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点N的轨迹的极坐标方程；Ⅱ若曲线与曲线C，分别交于点A，B，点，求的面积．23.已知函数．Ⅰ求不等式的解集；Ⅱ若关于x的不等式在R上恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：依题意，，，故．故选：D．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间表示集合的定义，函数的定义域，不等式的解法以及交集的运算．2.答案：C解析：解：，复数z的虚部为．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：A学校不同年龄、不同等级的教师的工资情况相差较大，研究人员在A学校进行抽样调查时，则比较合适的抽样方法是按照年龄或等级，采取分层抽样的方法，故选：C．由题意利用分层抽样的定义和方法，得出结论．本题主要考查分层抽样的定义和方法，属于基础题．4.答案：C解析：解：双曲线的离心率为，可得，即，解得，双曲线C的渐近线方程为：．故选：C．利用双曲线的离心率求出a，b关系，即可区间双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，基础题．5.答案：B解析：解：由题意，模拟程序的运行，可得，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，观察规律可知A的取值周期为3，且，可得时，满足条件，执行循环体，，此时，不满足条件，退出循环，输出A的值为2．故选：B．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.答案：B解析：解：进行分割如图所示，故立方尺．故选：B．利用分割几何体为锥体，棱柱，然后求解几何体的体积即可．本题考查几何体的体积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．7.答案：C解析：解：设单调递减的等比数列的公比为，，，，解得：，或舍去．则数列的公比为．故选：C．设单调递减的等比数列的公比为，由，，可得：，解得：q．本题考查了等比数列的通项公式、求和公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.答案：C解析：解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱．则其表面积：．故选：C．由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，上面部分为两个四分之一圆锥，底面半径为2，高为2，中间部分为棱长是4的正方体，下面部分为直三棱柱，则其表面积可求．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.答案：B解析：解：函数的定义域为R，，则函数为偶函数，可排除选项C；当时，，可排除选项D；又，可排除A．故选：B．根据函数解析式判断奇偶性，结合极限和特殊值进行排除选项，即可得解．本题考查根据函数解析式选择合适的函数图象，关键在于熟练掌握函数性质，结合特殊值与极限求解，此类问题常用排除法解决．10.答案：C解析：解：由抛物线的性质可得：焦点F到其准线l的距离为2，可得，所以抛物线的方程为：所以可得焦点，准线方程为，设，，由题意可得，可得，所以，将代入抛物线中，，，及，所以，所以直线AB的方程为：，与抛物线联立可得，所以，所以，所以，故选：C．由抛物线的性质，焦点到准线的距离为p，由题意可得p的值，可求出抛物线的方程，设A，B的坐标，由题意可得E的坐标，求出直线EF的斜率，由题意可得E的坐标，将E的纵坐标代入抛物线求出B的坐标，进而求出直线AB的斜率及方程，代入抛物线的方程求出A的横坐标，由抛物线的性质可得的值．本题考查抛物线的性质，及直线与抛物线的综合，属于中档题．11.答案：C解析：解：等差数列的公差设为d，前n项和为，由，可得，即，由，可得，即，解得，，则，，若，，成等比数列，则，即为，可得，则．故选：C．等差数列的公差设为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，再由等比数列的中项性质，解方程可得m，进而得到所求值．本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.答案：A解析：解：由于，根据三角函数的值，则，由于，所以，根据近似值的运算，整理得．故．故选：A．直接利用三角函数的值和正弦函数的图象的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．13.答案：解析：解：根据题意，向量，则，若，则，则；故答案为：．根据题意，由向量的坐标公式可得，由向量垂直与数量积的关系可得，解可得的值，即可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．14.答案：解析：解：，，又，数列是首项为，公比为5的等比数列，，，故答案为：．由可得，所以构造出等比数列，再利用等比数列的通项公式即可求出．本题主要考查了数列的递推式，以及构造等比数列求数列的通项，是中档题．15.答案：解析：解：，当时，，，则当时，函数取得最大值，最大值为，当时，函数取得最小值，最小值为，即的取值范围是，故答案为：．利用三角函数的倍角公式，以及辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系求出最大值和最小值即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简，求出角的范围，结合三角函数的单调性和最值关系是解决本题的关键．难度不大．16.答案：解析：解：函数，若直线l与曲线交于M，N，P三点，且，所以N是MP的中点，因为函数，可得，，令，解得，此时，所以函数的对称中心的坐标．所以，故答案为：．利用已知条件说明N是函数的对称中心的坐标，通过平方转化求解即可．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的对称中心的关系，是基本知识的考查．17.答案：解：Ⅰ；，；由正弦定理，，即，解得；由余弦定理，，即，解得；Ⅱ，，在中，由余弦定理，有，．解析：Ⅰ先求出的正弦值和余弦值，利用正弦定理求出BM的长，利用余弦定理求出AM 的长；Ⅱ利用正弦定理求出的值，利用余弦定理求出CM的值，最后使用公式求出的面积．本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，已知条件较多，难度不大，但是计算量较大，属中档题．18.答案：解：取AB的中点E，连接PE，DE，，，又，，则四边形DCBE为平行四边形，可得．平面PDE，平面PDE，则平面PDE；，，且，平面PCD，又平面ABCD，平面平面ABCD，平面平面，在平面PCD内过P作，可得平面ABCD，在与中，，，又由题意，，，由已知求得．．连接BD，则，又求得，设B到平面PAD的距离为h，则由，得，即．解析：取AB的中点E，连接PE，DE，可证四边形DCBE为平行四边形，得，由直线与平面平行的判定可得平面PDE；由已知证明平面PCD，可得平面平面ABCD，在平面PCD内过P作，得平面ABCD，求解三角形求得，再由等体积法求点B到平面PAD的距离．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等体积法求点到面的距离，是中档题．19.答案：解：补充完整的列联表如下所示，愿意使用新能源租赁汽车不愿意使用新能源租赁汽车合计男性 800 200 1000女性 400 600 1000合计 1200 800 2000，故有的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关．表2中的数据整理如下，时间分钟频数 150 200 100 50频率所求的平均使用时间为分钟．设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，当时，；当时，．故，当时，；当时，，令，解得，综上所述：当时，使用驾驶新能源租赁汽车上班更加合算；当时，使用滴滴打车上班更加合算；当时，两种方案情况相同．解析：先根据现有数据补充完整列联表，再利用的公式计算出其观测值，并与附表中的临界值进行对比即可作出判断；根据表格2中的频数分布，计算出每一组的频率，再利用平均数的计算方法求解即可；设小明驾驶新能源租赁汽车到达公司需要y元，上班所用的时间为t分钟，写出y关于t的分段函数，并求出每段中对应的y的取值范围，便于知道滴滴打车花费的27元在租赁新能源汽车花费中对应的上班时间，然后，解得，最后分类说明哪种方式上班更合算即可．本题考查独立性检验，根据频数分布表计算平均数，利用函数模型来解决优化问题等，解题的关键是熟练掌握相关计算公式，考查学生对数据的分析能力、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．20.答案：解：Ⅰ设，，，点Q在线段上，且，点Q为焦点在x轴上，长轴长，焦距的椭圆上的点，且，点Q的轨迹E的方程为；Ⅱ设直线MN的方程为，联立可得，设，，则，．，点到直线MN的距离，，令，则在上单调递减，故当也即时，面积的最大值为3．解析：Ⅰ先设点Q的坐标，再由椭圆的定义求得其轨迹方程；Ⅱ先设出直线MN的方程与椭圆方程联立求得，，进而求得与点到直线MN的距离d，找出面积的表达式，最后解决其最值问题．本题主要考查椭圆的定义及圆锥曲线中的最值问题，属于中档题．21.答案：解：依题意，函数的定义域为，，故，而，故所求切线方程为，即；依题意，，故，显然，令，解得或，因为极大值，故，此时，函数，所以，令，得，当a变化时，，，变化情况如下表：a2e增极大值减所以函数的最大值为．解析：根据导函数求出切线斜率，利用点斜式写出直线方程化简得解；根据导函数讨论单调性求出极大值，讨论的单调性即可求得最值．本题考查导数的几何意义，求解切线方程，利用导函数讨论函数单调性，求解极值和最值问题，属于中档题．22.答案：解：Ⅰ依题意，曲线C的普通方程为，即，整理可得：，故曲线C的极坐标方程为，设，则，则有，故点N的轨迹的极坐标方程为．Ⅱ曲线的极坐标方程为，D到曲线的距离为，曲线与曲线C交点，曲线与曲线交点，，故的面积．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用直线和圆的位置关系的应用和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系的应用，极径的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：Ⅰ依题意，，当时，原式化为，解得，故，当时，原式化为，解得，故无解，当时，原式化为，解得，故，综上所述，不等式的解集为．Ⅱ依题意，，则，即，即，则只需，解得，实数m的取值范围是．解析：Ⅰ依题意，，运用零点分区间和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；Ⅱ依题意可得，即，再由二次函数的性质，结合判别式小于等于0，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用绝对值不等式的解法和二次函数的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020年百校联盟高考(文科)数学(5月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) (解析版)

2020年百校联盟高考(文科)数学(5月份)模拟试卷(全国Ⅰ卷) (解析版)

2020年高考数学模拟试卷（文科）（5月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．14．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．345．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素：（1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加；（3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加；（4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（）A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83) B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83] 7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√229．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√210．函数f （x ）＝2+k sin x 在（0，2）处的切线l 也是函数y ＝x 3﹣x 2﹣3x ﹣1图象的一条切线，则k ＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．2D ．﹣211．若0≤α≤β≤π4，sin α+cos α＝a ，sin β+cos β＝b ，则以下结论正确的个数是（ ） ①ab ≥1；②ab ≤2；③2a ﹣b 的最大值为√2；④2a ﹣b 的最大值为2√2−1． A ．0 B ．1C ．2D ．312．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ）A．√24B．√22C．√33D．√32二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，b cos C＝（2a﹣c）cos B，则∠B＝，若b＝2，则△ABC的面积为．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和S n，S3＝15，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a2n−n}的前n项和T n大于2020的最小自然数n．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.82820．已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与过其右焦点F（1，0）的直线交于不同的两点A，B，线段AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为−3 4．（1）求C的方程；（2）设椭圆的左顶点为M，k MA，k MB如分别表示直线MA，MB的斜率，求证k MA+k MB= 43k OD．21．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝kx﹣cos x在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x轴．（1）求函数f（x）的极值；（2）讨论函数F（x）＝g（x）﹣f（x）的零点的个数．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，[选修4一4；坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，A＝{x|（x+1）（x﹣2）＞0}，B＝{x|2x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|﹣1＜x＜1}B．{x|0≤x≤1}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|x≤﹣1}【分析】先解出关于集合A，B的不等式，求出A的补集，从而求出其补集与B的交集．解：因为∁U A＝{x|（x+1）（x﹣2）≤0}＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|2x≤2}＝{x|x≤1}，∴（∁U A）∩B＝{x|﹣1≤x≤1}；故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合A，B是解决本题的关键．2．已知i为虚数单位，复数z=51+2i+i的共轭复数为（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．解：∵z=51+2i+i=5(1−2i)(1+2i)(1−2i)+i=1−2i+i=1−i，∴z=1+i，故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．已知向量a→=（﹣2，m），b→=（1，2），a→•（2a→+b→）=112．则实数m的值为（）A．﹣1B．−12C．12D．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2a→+b→，再根据数量积的坐标运算法则表示出a→•（2a→+b→），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵a→=（﹣2，m），b→=（1，2），∴2a→+b→=(−3，2m+2)，∴a→•（2a→+b→）＝6+m（2m+2）=112，即m2+m+14=0，解得m=−12，故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为（）A．15B．25C．35D．34【分析】由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项，利用列举法能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励、排班制度、激励措施、工作环境、人际关系、晋升渠道．由图可知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，设为A，B，C，其余三项设为a，b，c，从中任选两项的结果为15种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（C，a），（C，b），（C，c），（a，b），（a，c），（b，c），这2项来自影响稍弱区的结果为：（A，B），（A，C），（B，C），共3种，∴这两项来自影响稍弱区的概率为P=315=15．故选：A．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．2020年前为了支授期北省对新冠病毒肺炎的治疗，某市卫健要考在要本市委派医疗队的人员时，有六个人员尚未确定，这大个人分别是呼吸科主治医师甲，呼吸科主治医师乙，护士丙、护士丁，影像民师小李和传料医小周．综合考虑各种因素： （1）甲和乙至少要参加一个；（2）如果丙不能参加或丁不能参加，则甲也不能参加； （3）如果丙不能参加，那么小周也不能参加； （4）只有小李参加，乙之才能参加．卫健委最终定不让小李参加医疗队，由此可以推出（ ） A ．无法确定小周是否参加医庁队B ．甲没参加医疗队C ．无法确定两名护护士是否参医疗队D ．乙参加了医疗队【分析】根据小李不参加，代入（4）得到乙不能参加，再依题意代入（1），进而推得甲丙丁都参加，即可得到答案解：因为小李不参加，故由（4）可得乙不参加，则根据（1）甲必须参加， 而根据（2）甲参加，则丙和丁都参加， 但是无法确认小周是否参加， 故选：A ．【点评】本题考查学生合情推理的能力，小李不参加是突破口，依次代入条件判断，属于中档题．6．已知函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（ ） A ．[136，83)B ．(136，83] C ．[3112，83) D ．(3112，83]【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ+π6∈[9π2，11π2），由此可得结果．解：∵函数f(x)=sin(x +π6)图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的1ω倍后，得到的函数为 y ＝sin （ωx +π6）在[0，2π]上恰有5个不同的x 值，使其取到最值； ωx +π6∈[π6，2ωπ+π6]，∴2ωπ+π6∈[9π2，11π2），则正实数ω∈[136，83），故选：A ．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．7．已知定义在R 上的奇函数f （x ）＝e x ﹣ke ﹣x +2sin x ，则a =f(log 234)，b =f(log 445)，c =f(log 889)的大小关系为（ ） A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．a ＜c ＜b【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k 的值，即可得函数的解析式，求出函数的导数，分析可得函数f （x ）为R 上的增函数，由对数的运算性质可得log 234＜log 445＜log 889，结合函数的单调性分析可得答案．解：根据题意，f （x ）为定义在R 上的奇函数，则f （0）＝e 0﹣ke 0+2sin0＝1﹣k ＝0，解可得k ＝1，即f （x ）＝e x ﹣e ﹣x +2sin x ，其导数f ′（x ）＝e x +e ﹣x +2cos x ≥2√e x ×e −x +2cos x ＝2+2cos x ≥0，则函数f （x ）为R上的增函数，又由log 445=log 2√45=log 2√5，log 889=log 2√893=log 2√93，则有log 234＜log 445＜log 889，又由函数f （x ）为R 上的增函数， 则a ＜b ＜c ； 故选：B ．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意利用导数分析函数的单调性，属于基础题．8．已知O 为等腰直角三角形POD 的直角顶点，以OP 为旋转轴旋转一周得到几何体，CD 是底面圆O 上的弦，△COD 为等边三角形，则异面直线OC 与PD 所成角的余弦值为（ ） A ．14B ．√24C ．√34D ．√22【分析】设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ，则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角，由此能求出异面直线OC 与PD 所成角的余弦值．解：设OP ＝r ，过点D 作OC 的平行线交与CD 于行的半径于点E ， 则OE ＝OC ＝CD ＝OD ＝r ，PC ＝PD =√2r ，∴∠PDE （或其补角）为其异面直线OC 与PD 所成角， 在△PDE 中，PE ＝PO =√2r ，DE ＝r ， ∴cos ∠PDE =r 22r=√24． 故选：B ．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 9．已知椭圆C 1：x 28+y 24=1的左，右焦点分别为F 1，F 2，抛物线C 2：y 2=2px(p ＞0)的准线l 过点F 1，设P 是直线l 与椭圆C 1的交点，Q 是线段PF 2与抛物线C 2的一个交点，则|QF 2|＝（ ） A ．12(3−2√2)B ．12(4−2√2)C ．√2D ．2√2【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三角形相似列式求解|QF 2|的值．解：由题意，F 1（﹣2，0），则抛物线方程为y 2＝8x ． 计算可得|PF 1|=√2，|PF 2|＝2a −√2=4√2−√2=3√2． 过Q 作QM ⊥直线l 与M ，由抛物线的定义知，|QF 2|＝|QM |． ∵|F 1F 2||PF 2|=|MQ||PQ|，∴3√2=3√2−|MQ|，解得：|MQ |＝12（3﹣2√2）． ∴|QF 2|＝|MQ |＝12（3﹣2√2）． 故选：A ．【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．函数f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线l也是函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的一条切线，则k＝（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】分别求得f（x）＝2+k sin x和y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数，可得f（x）在（0，2）处的切线的斜率和方程，再设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k，m，n的方程组，解方程可得所求值．解：函数f（x）＝2+k sin x的导数为f′（x）＝k cos x，y＝x3﹣x2﹣3x﹣1的导数为y′＝3x2﹣2x﹣3，可得f（x）＝2+k sin x在（0，2）处的切线的斜率为k，切线的方程为y＝kx+2，设l与函数y＝x3﹣x2﹣3x﹣1图象的相切的切点为（m，n），可得k＝3m2﹣2m﹣3，n＝m3﹣m2﹣3m﹣1＝km+2，解得m＝﹣1，n＝0，k＝2．故选：C．【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11．若0≤α≤β≤π4，sinα+cosα＝a，sinβ+cosβ＝b，则以下结论正确的个数是（）①ab≥1；②ab≤2；③2a﹣b的最大值为√2；④2a﹣b的最大值为2√2−1．A．0B．1C．2D．3【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和不等式的性质的应用求出a和b的范围，进一步利用线性规划的知识求出结论．解：a ＝sin α+cos α=√2sin(α+π4)，b ＝sin β+cos β=√2sin(β+π4)， 由于0≤α≤β≤π4，所以π4≤α+π4≤β+π4≤π2，所以sin(α+π4)≤sin(β+π4)， 所以1≤a ≤b ≤√2． 则：1≤ab ≤2． 故①②正确．由1≤a ≤b ≤√2，构造平面区域如图所示： 令2a ﹣b ＝t ，可得b ＝2a ﹣t ． 由{b =√2a =√2，可得A （√2，√2）， 当直线b ＝2a ﹣t 经过点A 时，t 取得最大值t ＝2√2−√2=√2．故③正确． 故选：D ．【点评】本题考查了三角函数的关系式的变换、正弦型函数的性质的应用、线性规划应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．设双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线l 分别与双曲线左右两支交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，则直线l 的斜率为（ ） A ．√24B ．√22C ．√33D ．√32【分析】由题意可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由MN 为直径的圆过F 2，且MF 2→•MN →=12MN →2，可得MF 2⊥NF 2，且|MF 2|＝|NF 2|，设|MF 2|＝|NF 2|＝m ，则|MN |=√2m ，由|MF 2|﹣|MF 1|＝2a ，|NF 2|﹣|NF 1|＝2a ，两式相减可得|NF 1|﹣|MF 1|＝|MN |＝4a ，即有m ＝2√2a ，设H 为MN 的中点，在直角三角形HF 1F 2中，可得4c 2＝4a 2+（2a +2√2a ﹣2a ）2，化为c 2＝3a 2，即c =√3a ， 因为|HF 2|=12|MN |＝2a ，所以|HF 1|=√|F 1F 2|2−|HF 2|2=2√c 2−a 2，所以直线l 的斜率为|HF 2||HF 1|=2√c 2−a 2=√22， 故选：B ．【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2020年2月17开始，为实现“停课不停学”，张老师每天晚上20：05～20：50时间通过班群直播的形式为学生们在线答疑，某天一位高三学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，则他等待直播的时间不超过30分钟的概率是 1118．【分析】求出符合条件的区间范围，根据长度比即可求解结论．解：由题意可得：该学生在19：00至20：30之间的某个时刻加入群聊，其时间长度为90分钟，等待直播的时间不超过30分钟的，需在19：35至20：30分之间的任意时刻加入，区间长度为55；由测度比为长度比．可得所求概率为：5590=1118．故答案为：1118．【点评】本题主要考查几何概型的长度比，属于基础题目．14．已知函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，则f （2x ﹣2）≥f （0）的解集为 [1，2] ．【分析】先求出a 的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及f （2x ﹣2）≥f （0），求出x 的范围．解：∵函数f(x)=(12)|x−a|关于x ＝1对称，∴a ＝1，f （x ）=(12)|x−1|∈（0，1]，则由f （2x ﹣2）≥f （0）=12，结合图象可得 0≤2x ﹣2≤2，求得 1≤x ≤2， 故答案为：[1，2]．【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题． 15．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 周长为5，b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，则∠B ＝π3，若b ＝2，则△ABC 的面积为√312．【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sin A ≠0，可得cos B =12，结合范围B ∈（0，π），可求B =π3，进而根据余弦定理可求ac 的值，根据三角形的面积公式即可求解．解：∵b cos C ＝（2a ﹣c ）cos B ，∴由正弦定理可得：sin B cos C ＝（2sin A ﹣sin C ）cos B ，可得sin B cos C +cos B sin C ＝2sin A cos B ， ∴sin （B +C ）＝2sin A cos B ，∵sin （B +C ）＝sin （π﹣A ）＝sin A ，且sin A ≠0，∴可得cos B =12， ∵B ∈（0，π）， ∴B =π3，又∵b ＝2，a +c ＝3， ∴a 2+c 2﹣2ac cos B ＝b 2， ∴（a +c ）2﹣3ac ＝4， ∴ac =53，∴S △ABC =12ac sin B =5√312．故答案为：π3，5√312．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm ，高为18cm （底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为2√85cm 的圆铁棒l （粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，l 的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为1849π16cm 2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h 构成直角三角形求出容器内水面的高度h ，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积． 解：如图所示，六棱柱笔筒的边长为6cm ，高为18cm ，铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长h 构成直角三角形， 所以2√85=√122+h 2，解得h ＝14， 所以容器内水面的高度为14cm ，设球的半径为R ，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为r =√62−32=3√3，球心到截面圆的距离为R ﹣4，所以R 2＝（R ﹣4）2+(3√3)2，解得R =438； 所以球的表面积为4π×(438)2=1849π16（cm 2）． 故答案为：1849π16．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题． 三．解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．已知公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，S 3＝15，a 1，a 4，a 13成等比数列． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列{a 2n −n }的前n 项和T n 大于2020的最小自然数n ．【分析】（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），由题设条件列出d 的方程，解出d ，a 1，求出通项公式； （2）由（1）求得a2n −n ，再使用分组求和求出T n ，研究其单调性，求出满足T n 大于2020的最小自然数n ．解：（1）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），则S 3＝3a 1+3×22d =15， ∴a 1+d ＝5，a 4＝5+2d ，a 13＝5+11d ， ∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴（5+2d ）2＝（5﹣d ）（5+11d ），解得d ＝0（舍）或d ＝2， 故a 1＝5﹣d ＝3．所以a n ＝3+（n ﹣1）×2＝2n +1； （2）根据（1）知a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＝2n +1﹣（2n ﹣1），∴T n ＝（22+23+…+2n +1）﹣[1+3+…+（2n ﹣1）]=4(1−2n)1−2−(1+2n−1)n 2=2n +2﹣n 2﹣4．∵2n ﹣n ＞0， ∴a2n −n=2（2n ﹣n ）+1＞0，∴T n 单调递增，又∵T9＜2020，T10＞2020，所以T n大于2020的最小自然数n为10．【点评】本题主要考查等差数列基本量的运算及数列的分组求和，还有前n项和的单调性，属于中档题．18．如图已知Rt△PCD、PD⊥CD，A，B分別为PD，PC的中点PD＝2DC＝2，将△PAB 沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，E为P'D的中点．（1）证明：P'D⊥平面ABE；（2）当正视图方向与向量BA→的方向相同时，P'﹣ABCD的正视图的面积为√34，求四棱锥P'﹣ABCD的体积．【分析】（1）由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，则AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．再由已知在可得AE⊥P′D．由直线与平面垂直的判定可得P′D⊥平面ABE；（2）P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，求出△P′AD的面积，得到∠P′AD＝120°或60°．再由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，得P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，求得P′到平面ABCD的距离，由棱锥体积公式可得四棱锥P′﹣ABCD 的体积．【解答】（1）证明：由平面图形可知，AB⊥P′A，AB⊥AD，又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，则AB⊥P′D．∵E为P'D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面ABE；（2）解：∵P′﹣ABCD的正视图与△P′AD全等，∴S△P′AD=12×1×1×sin∠P′AD=12sin∠P′AD=√34，∴sin∠P′AD=√32，即∠P′AD＝120°或60°．由（1）可知，平面ABCD⊥平面P′AD，∴P′在平面ABCD内的射影落在直线AD上，得点P′到平面ABCD的距离d=1×sin∠P′AD=√32．∴四棱锥P′﹣ABCD的体积V P′−ABCD=13×√32×12×(12+1)×1=√38．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有A，B两款车型，根据以这往这两种租车车型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年67年8年总计A型出租车（辆）10204525100B型出租车（辆）153********（1）填写下表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计A型B型总计（2）司机师傅小李准备在一辆开了4年的A型车和一辆开了4年的B型车中选择、为了尽最大可能实现3年内（含3年）不换车，试通过计算说明，他应如何选择．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n＝a+b+c+d．参考数据：p（K2≥k0）0.050.0100.001k0 3.841 6.63510.828【分析】（1）根据题目所给的数据填写2×2列联表，计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，分别计算出P （A 1）和P （A 2）的值，再比较即可． 解：（1）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：使用秀命不高于6年使用寿不低于7年总计 A 型 30 70 100 B 型 50 50 100 总计80120200由列联表可知：K 2=200×(50×70−30×50)2100×100×80×120≈8.33＞6.635，所以有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关；（2）记事件A 1，A 2分别表示小李选择A 型出租车和B 型出租车时，3年内（含3年）换车，由表知P （A 1）=10100+20100+45100=0.75，P （A 2）=15100+35100+40100=0.90， 因为P （A 1）＜P （A 2），所以小李应选择A 型出租车．【点评】本题考查了独立性检验的应用问题，也考查了计算能力的应用问题，是基础题目． 20．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)与过其右焦点F （1，0）的直线交于不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，且直线l 与直线OD 的斜率之积为−34． （1）求C 的方程；（2）设椭圆的左顶点为M ，k MA ，k MB 如分别表示直线MA ，MB 的斜率，求证k MA +k MB =43k OD． 【分析】（1）设A ，B 的坐标，代入椭圆中，两式相减可得直线AB ，OD 的斜率之积，由题意可得a ，b 的关系，再由右焦点的坐标及a ，b ，c 之间的关系求出a ，b 的值，求出椭圆的方程；（2）由（1）可得M 的坐标，将直线l 的方程代入椭圆的方程，求出两根之和及两根之积，进而求出直线AM ，BM 的斜率之和，再由直线AB ，OD 的斜率之积可证得k AM +k BM =43k OD ． 解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），D （x 0，y 0），将点A ，B 坐标代入椭圆的方程{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减(x 1−x 2)(x 1+x 2)a 2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)b 2=0，所以k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2， 因为D 为AB 的中点，所以k OD =y 1+y2x 1+x 2，所以k AB •k OD =−b 2a2=−34，所以b 2a =34，又a 2﹣b 2＝1，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1；（2）由（1）可得左顶点M （﹣2，0），由题意设直线AB 的方程：x ＝my +1， 联立直线与椭圆的方程：{x =my +1x 24+y 23=1整理可得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，所以y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2， 所以k AM +k BM =y1x 1+2+y2x 2+2=y 1(my 2+3)+y 2(my 1+3)(my 1+3)(my 2+3)=2my 1y 2+3(y 1+y 2)m 2y 1y 2+3m(y 1+y 2)+9=2m⋅−94+3m 2+3(−6m 4+3m2)m 2⋅−94+3m 2+3m(−6m 4+3m2)+9=−m ，因为k AB •k OD =−1m•k OD =−34，所以m =−43k OD ， 所以k AM +k BM =43k OD ．【点评】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合，属于中档题．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，函数g （x ）＝kx ﹣cos x 在点(−π2，g(−π2))处的切线平行于x 轴．（1）求函数f （x ）的极值；（2）讨论函数F （x ）＝g （x ）﹣f （x ）的零点的个数．【分析】（1）利用函数f （x ）的导数判断函数的单调性，然后求出函数的极值； （2）因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ，设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，分类讨论：（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减，此时可得F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，此时F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减，此时F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点．解：（1）因为函数f （x ）＝xlnx 的定义域为（0，+∞）， 所以f '（x ）＝lnx +1，令f '（x ）＜0，即lnx +1＜0，解得0＜x ＜1e， 所以f （x ）的单调递减区间为（0，1e ），令f '（x ）＞0，即lnx +1＞0，解得x ＞1e， 所以f （x ）的单调递增区间为（1e ，+∞），综上，f （x ）的极小值为f （1e）=−1e，无极大值；（2）由g '（x ）＝k +sin x ，得g '（−π2）＝k ﹣1＝0，故k ＝1，所以g （x ）＝x ﹣cos x ， 因为F （x ）＝x ﹣cos x ﹣xlnx ，F '（x ）＝sin x ﹣lnx ， 设h （x ）＝sin x ﹣lnx ，（i ）当x ∈（e ，+∞）时，h （x ）＝F '（x ）≤0，则F （x ）单调递减， 又F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （32π）=32π（1﹣ln 32π）＜0，故F （x ）在（e ，32π）上存在唯一零点，也即在（e ，+∞）上存在唯一零点；（ii ）当x ∈（π2，e ]时，h '（x ）＝cos x −1x＜0，则F '（x ）在（π2，e ]单调递减，因为F '（e ）＝sin e ﹣lne ＝sin e ﹣1＜0，F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以存在x 0∈（π2，e ]，使得F '（x 0）＝0，且在（π2，x 0）上F '（x ）＞0，在（x 0，e ]上F '（x ）＜0，所以F （x 0）为F （x ）在（π2，e ]上的最大值，又因为F （e ）＝﹣cos e ＞0，F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，所以F （x ）在（π2，e ]上恒大于0，无零点；（iii ）当x ∈（0，1）时，h '（x ）＝cos x −1x ＜0，所以F '（x ）在（0，1）上单调递减， 当x ∈[1，π2]时，h '（x ）＝cos x −1x=xcosx−1x， 设t （x ）＝x cos x ﹣1，所以t '（x ）＝cos x ﹣x sin x ≤cos x ﹣sin x ＜0， 所以t （x ）在[1，π2]上单调递减，所以t （x ）＜t （1）＝cos1﹣1＜0，即h '（x ）＜0， 所以F '（x ）在（0，π2]上单调递减，因为F '（π2）＝1﹣ln π2＞0，所以F （x ）在（0，π2]上单调递增，因为F （π2）=π2（1﹣ln π2）＞0，F （1e ）=2e −cos 1e ＜2e −cos π6=2e −√32=4−√3e 2e＜0，所以F （x ）在（1e，π2]上存在唯一零点，即F （x ）在（0，π2]上存在唯一零点， 综上，F （x ）有且仅有2个零点．【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值以及单调性，考查分析问题解决问题的能力． 一、选择题22．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2． （1）求曲线C 1的普通方程；（2）过曲线C 2上一点P 作直线l 与曲线C 1交于A ，B 两点，中点为D ，|AB|=2√3，求|PD |的最小值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用三角函数关系式的变换和余弦型函数性质的应用求出结果． （2）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（1）曲线C 1的参数方程{ x =−1+4k1+k2y =2(1−k 2)1+k2（k 为参数），整理得y 2+1=21+k ，又x +1=4k 1+k2，两式相除得：k =x+1y+2，代入x +1=4k 1+k2，得到（x +1）2+y 2＝4（y ≠﹣2）．（2）曲线C 2的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=2√2．根据{x =ρcosθy =ρsinθ转换为直角坐标方程为x ﹣y ﹣4＝0．设圆心C 1（﹣1，0）到直线l 的距离为d ， 则|AB |=2√4−d 2=2√3，解得d ＝1． 所以：|PD |=√|PC 1|2−1， 当|PC 1|最小时，|PD |最小，由于|PC 1|的最小值为圆心C 1到直线C 2的距离． 根据|PC 1|=|−1+0−4|2=5√22， 所以|PD|min =√252−1=√462．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=13（x +1）2． （1）求f （x ）+|f （x ）﹣9|的最小值M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足了f （a ）+f （b ）+f （c ）＝M ，求证：a +b +c ≤6． 【分析】（1）由f （x ）≥0，可得f （x ）+|f （x ）﹣9|＝|f （x ）|+|f （x ）﹣9|，由绝对值不等式的性质，可得所求最小值M ；（2）由条件可得（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2＝27，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证．解：（1）由f（x）=13（x+1）2≥0，可得f（x）+|f（x）﹣9|＝|f（x）|+|f（x）﹣9|≥|f（x）﹣f（x）+9|＝9，当0≤f（x）≤9时，取得等号，则最小值M＝9；（2）证明：由a，b，c＞0，f（a）+f（b）+f（c）＝9，可得（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2＝27，由柯西不等式可得（12+12+12）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，当且仅当a+1＝b+1＝c+1，即a＝b＝c时，取得等号，则a+b+c+3≤√3[(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2]=√3×27=9，即a+b+c≤6．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用绝对值不等式的解法，考查不等式的证明，注意运用柯西不等式，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。

2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷(全国I卷)文科数学试题(带答案解析)

2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷(全国I卷)文科数学试题(带答案解析)

○…………外…………○学○…………内…………○2020届百校联盟高考复习全程精练模拟卷（全国I 卷)文科数学试题第I 卷（选择题)一、单选题1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}22530B x x x =-++>，则AB =（ ）A ．{}0,1,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}1,0,1-2．()()()1232i i i -+-=（ ） A ．113i + B ．93i + C ．113i -+D ．93i -+3．若4log 15.9a =， 1.012b =，0.10.4c =，则（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．a c b >>4．某学校有高中学生2200人，其中高一年级、高二年级、高三年级的人数分别为700、700、800.为调查学生参加“春游活动”的意向，现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为110的样本，那么应抽取高一年级学生的人数为（ ） A ．30B ．35C ．38D ．405．函数()211x x f x x +-=-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．…………○…………装…………○…………订…※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※…………○…………装…………○…………订…6．cos525=（ ） A ．4-B ．4C ．4D ．4- 7．已知向量a 与向量()4,6m =平行，()5,1b =-，且14a b ⋅=，则a =（ ） A ．()4,6B ．()4,6--C ．1313⎛ ⎝⎭D ．,1313⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭8．秦九韶是我国南宁时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n 、x 的值分别为3、1，则输出v 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．109．已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2cos 2a C b c =+，若6a =，则ABC ∆的面积的最大值为（ ）A ．6B ．3……○…………订…………______班级：___________考号：_________……○…………订…………10．过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点F 的直线过C 的上顶点B ，且与椭圆C相交于另一点A ，点A 在y 轴上的射影为A '，若34FO AA ='，O 是坐标原点，则椭圆C 的离心率为（ ） A B C ．12D 11．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 12．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，SC =S ABC -外接球的表面积是（ ）A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．函数()11xe f x x+=+的图象在0x =处的切线方程为______.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为()1,0F c -、()2,0F c ，过1F A 、B （B 在右侧），2AF 的中点为D ，若2BD AF ⊥，则该双曲线的离心率是______.15．第七届世界军人运动会（以下简称武汉军运会）专题新闻发布会在武汉举行，武汉军运会会徽、吉祥物正式公布.武汉军运会将于2019年10月1827日举行，赛期10天.若将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，每个运动场馆至少2名志愿者，则其中志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆的概率为______. 16．已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，若sin 2n a n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2019S 的值为_________. 三、解答题17．国家规定每年的7月1日以后的60天为当年的暑假.某钢琴培训机构对20位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：培训机构专业人员统计近20年该校每年暑假60天的课时量情况如下表：（同组数据以这组数据的中间值作代表） （1）估计20位钢琴老师一日的授课量的平均数；（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为200元/小时，…………订…………班级：___________考号：_______…………订…………每天的各类生活成本为80元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率.18．在公比大于1的等比数列{}n a 中，327a =，且2a 、318a +、4a 成等差数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设32log n n b a =，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，//AB CD ，122AB AD AP CD ====，E 为PC 的中点.（1）求证：BE ⊥平面PCD ； （2）求直线AB 到平面PCD 的距离.20．已知F 是抛物线()2:20C y px p =>的焦点，点P 在x 轴上，O 为坐标原点，且满足14OP OF =，经过点P 且垂直于x 轴的直线与抛物线C 交于A 、B 两点，且8AB =.（1）求抛物线C 的方程；（2）直线l 与抛物线C 交于M 、N 两点，若64OM ON ⋅=-，求点F 到直线l 的最大距离.21．已知函数()()()ln 21f x a x a x a R =+-∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若0a ≥且()2f x x ≤，求实数a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求OAB ∆的面积. 23．已知函数()412f x x x =--+. （1）解不等式()2f x >；（2）记函数()52y f x x =++的最小值为k ，正实数a 、b 满足69ka b +=，求证：参考答案1．A 【解析】 【分析】解出集合B ，利用交集的定义可求得集合A B .【详解】因为{}{}2212530253032B x x x x x x x x ⎧⎫=-++>=--<=-<<⎨⎬⎩⎭，又{}1,0,1,2A =-，所以{}0,1,2A B ⋂=.故选：A. 【点睛】本题考查交集的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2．C 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算可求得结果. 【详解】由复数的乘法法则得()()()()()123252113i i i i i i -+-=+-=-+. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的计算，涉及复数乘法法则的应用，考查计算能力，属于基础题. 3．C 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性比较a 、b 、c 三个数与1和2的大小关系，进而可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】对数函数4log y x =为()0,∞+上的增函数，则4441log 4log 15.9log 162=<<=，即12a <<；指数函数2xy =为R 上的增函数，则 1.011222b =>=； 指数函数0.4x y =为R 上的减函数，则100.0.410.4c <==. 综上所述，b a c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查指数幂与对数式的大小比较，一般利用指数函数和对数函数的单调性结合中间值法来比较，考查推理能力，属于基础题. 4．B 【解析】 【分析】计算出总体的入样比，进行可求得样本中高一年级学生的人数. 【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为1101220020=，则高一年级应抽取的人数是17003520⨯=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用分层抽样求样本中各层的容量，考查计算能力，属于基础题. 5．D 【解析】 【分析】将函数()y f x =的解析式变形为()1131f x x x =-++-，利用双勾函数的单调性可得出函数()y f x =的单调区间，结合()01f =可判断出函数()y f x =的图象. 【详解】()2211111111131111x x x x f x x x x x x x +--+-+===+++=-++----，故该图象是由函数1y x x=+的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的， 由于函数1y x x=+在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故函数()y f x =在(),0-∞上单调递增，在()0,1上单调递减，在()1,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增.()01f =，故函数()211x x f x x +-=-的图象大致为D 项.故选：D. 【点睛】本题考查函数图象的识别，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点与函数值符号，结合排除法得解，考查推理能力，属于中等题. 6．A 【解析】 【分析】利用诱导公式得()cos525cos15cos 4530=-=--，结合两角差的余弦公式可计算出结果. 【详解】()()()cos525cos 360165cos165cos 18015cos15cos 4530=+==-=-=--()21cos 45cos30sin 45sin 3022224⎛⎫=-+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：A. 【点睛】本题考查利用诱导公式和两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于基础题. 7．B 【解析】 【分析】设(),a x y =，根据题意得出关于x 、y 的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出向量a 的坐标.【详解】设(),a x y =，且()4,6m =，()5,1b =-，由//a m 得64x y =，即32x y =，①，由514a b x y ⋅=-+=，②，所以32514x y x y =⎧⎨-+=⎩，解得46x y =-⎧⎨=-⎩，因此，()4,6a =--.故选：B. 【点睛】本题考查向量坐标的求解，涉及共线向量的坐标表示和向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中等题. 8．B 【解析】 【分析】列出循环的每一步，由此可得出输出的v 值. 【详解】由题意可得：输入3n =，1x =，2v =，3m =；第一次循环，2135v =⨯+=，312m =-=，312n =-=，继续循环； 第二次循环，5127v =⨯+=，211m =-=，211n =-=，继续循环； 第三次循环，7118v =⨯+=，110m =-=，110n =-=，跳出循环； 输出8v =. 故选：B. 【点睛】本题考查根据算法框图计算输出值，一般要列举出算法的每一步，考查计算能力，属于基础题. 9．D 【解析】 【分析】利用余弦定理求得角A 的值，结合基本不等式可求得bc 的最大值，进而可求得ABC ∆的面积的最大值.【详解】 由余弦定理得222222a b c a b c ab+-⋅=+，所以22222a b c b bc +-=+，所以222b c a bc +-=-. 由余弦定理的推论得2221cos 222b c a bc A bc bc +-==-=-，又()0,A π∈，所以23A π=. 若6a =，由余弦定理的得222222cos 23a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=++≥+=， 当且仅当b c =时取等号，所以336bc ≤，解得12bc ≤.故1sin 2ABC S bc A ∆=≤.因此，ABC ∆面积的最大值为故选：D.【点睛】 本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了三角形面积最值的计算，涉及基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.10．D【解析】【分析】求得点B 的坐标，由34FO AA ='，得出3BF FA =，利用向量的坐标运算得出点A 的坐标，代入椭圆C 的方程，可得出关于a 、b 、c 的齐次等式，进而可求得椭圆C 的离心率.【详解】由题意可得()0,B b 、(),0F c -. 由34FO AA ='，得34BF BA =，则31BF FA =，即3BF FA =. 而(),BF c b =--，所以,33cb FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，所以点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为点4,33b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在椭圆2222:1x y C a b +=上，则22224331b c a b ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+=， 整理可得2216899c a ⋅=，所以22212c e a ==，所以2e =. 即椭圆C的离心率为2 故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，解答的关键就是要得出a 、b 、c 的齐次等式，充分利用点A 在椭圆上这一条件，围绕求点A 的坐标来求解，考查计算能力，属于中等题.11．B【解析】【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】 由图象可得，函数的周期5263T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以22T πω==. 将点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭代入()()2cos 2f x x ϕ=+中，得()2232k k Z ππϕπ⨯+=-∈，解得()726k k Z πϕπ=-∈，由0ϕπ<≤，可得56πϕ=，所以()52cos 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 令()52226k x k k Z ππππ≤+≤+∈，得()51212k x k k πππ-≤≤π+∈Z ， 故函数()y f x =在()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上单调递减， 当1k =-时，函数()y f x =在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，故A 正确； 令()52226k x k k Z ππππ-≤+≤∈，得()1151212k x k k Z ππππ-≤≤-∈，故函数()y f x =在()115,1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦上单调递增. 当2k =时，函数()y f x =在1319,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故B 错误； 令()5262x k k Z πππ+=+∈，得()26k x k Z ππ=-∈，故函数()y f x =的对称中心是,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭()k Z ∈，故C 正确； 令526x k ππ+=()k Z ∈，得5212k x ππ=-()k Z ∈，故函数()y f x =的对称轴是5212k x ππ=-()k Z ∈，故D 正确. 故选：B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式，同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．B【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果.【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则4SD CD ===则(((222222SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=.设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F .由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又143OE DF OE OF =====由勾股定理得OD ==所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280443S R πππ===⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.13．20x y +-=【解析】【分析】求出()0f 和()0f '的值，然后利用点斜式可得出所求切线的方程.【详解】()11x e f x x+=+，()()211x xe f x x -∴=+'，则切线的斜率为()01f '=-， 又()02f =，所以函数()y f x =的图象在0x =处的切线方程为()20y x -=--，即20x y +-=.故答案为：20x y +-=.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，一般要求出切线的斜率和切点坐标，并利用点斜式得出切线方程，考查计算能力，属于基础题.14【解析】【分析】由2BD AF ⊥可得出2AB BF =，利用双曲线的定义求得12AF a =，24AF a =，且有123AF F π∠=，在12AF F ∆利用余弦定理可得出关于a 、c 的齐次等式，进而可求得双曲线C的离心率.【详解】 因为2AF 的中点为D ，2BD AF ⊥，所以BD 既是2ABF ∆的中线，又是2ABF ∆的高，所以2ABF ∆是等腰三角形且2AB BF =. 由双曲线定义得1212BF BF AF a -==，212AF AF a -=，24AF a ∴=，又直线AB 123AF F π∠=.在12AF F ∆中，由余弦定理得222244161cos 3032222a c a e e a c π+-==⇒--=⨯⨯，解得12e -=（舍去），12e +=.【点睛】 本题考查双曲线离心率的求解，在涉及焦点三角形时，一般利用双曲线的定义来求解转化，考查运算求解能力，属于中等题.15．710【解析】【分析】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5，列举出所有的基本事件，并确定事件“志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场馆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可计算得出所求事件的概率.【详解】设甲为1，乙为2，丙为3，另外两名志愿者为4、5.以()123,45表示场馆1、场馆2分别分配123、45的志愿者服务.将5名志愿者分配到两个运动场馆进行服务，基本事件有：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()145,23、()234,15、()235,14、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()14,235、()15,234、()23,145、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共20种，其中，志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的情况如下：()123,45、()124,35、()125,34、()134,25、()135,24、()245,13、()345,12，()12,345、()13,245、()24,135、()25,134、()34,125、()35,124、()45,123，共14种， 故志愿者甲、乙或甲、丙被分到同一场所的概率为1472010P ==. 故答案为：710. 【点睛】 本题考查古典概型概率的计算，一般利用列举法列举出基本事件，考查计算能力，属于中等题.16．0【解析】【分析】直接利用数列的通项公式和数列的周期求出结果.【详解】 解：由于数列的通项公式为：sin 2n a n π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当1n =时，1sin 12a π==， 当2n =时，22sin 02a π==. 当3n =时，33sin 12a π==-， 当4n =时，44sin 02a π==， 当5n =时，55sin 12a π==， …所以：数列的周期为4，故：123410100a a a a +++=+-+=，所以：201920172018201950401010S a a a =⨯+++=+-=.故答案为：0.【点睛】本题主要考查了数列的周期的应用，考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题. 17．（1）4.4小时；（2）0.4.【解析】【分析】（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以20可得出20位老师暑假一日的授课量的平均数；（2）设一位钢琴老师每年暑假60天的授课天数为x ，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师60天暑假授课利润不少于2万元求得x 的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.【详解】（1）估计20位老师暑假一日的授课量的平均数为()11237577391 4.420x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=小时； （2）设每年暑假60天的授课天数为x ，则利润为()4.420080800y x x =⨯-=.由80020000x ≥，得25x ≥.一位老师暑假利润不少于2万元，即授课天数不低于25天，又60天暑假内授课天数不低于25天的频率为3320.420.预测一位老师60天暑假授课利润不少于2万元的概率为0.4.【点睛】本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.18．（1）3n n a =；（2）44n n S n =+. 【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，根据题中条件求得q 的值，进而可求得数列{}n a 的通项公式；（2）求得321log 2n n b a n ==，1111141n n b b n n +⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法可求得n S . 【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q >，因为2a 、318a +、4a 成等差数列，所以()324218a a a +=+.即()272271827q q +=+，整理得231030q q -+=，解得13q =（舍去）或3q =. 故3332733n n n n a a q --==⨯=；（2）由（1）得，2323log log 32n n n b a n ===，则()11111122241n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭.故1111111111422314144n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.19．（1）见解析；（2.【解析】【分析】（1）取PD 的中点F ，连接AF 、EF ，证明出四边形ABEF 为平行四边形，可得出//BE AF ，并推导出AF ⊥平面PCD ，进而可得出BE ⊥平面PCD ；（2）推导出//AB 平面PCD ，可得知直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，即为AF ，进而得解.【详解】（1）如下图，取PD 的中点F ，连接AF 、EF .又E 为PC 的中点，则EF 是PCD ∆的中位线，所以//EF CD 且12EF CD =. 又//AB CD 且12AB CD =，所以//EF AB 且EF AB =. 所以四边形ABEF 是平行四边形，所以//BE AF .因为AD AP =，F 为PD 的中点，所以AF PD ⊥.因为AD AB ⊥，//AB CD ，所以AD CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥.又AD PA A ⋂=，所以CD ⊥平面PAD .AF ⊂平面PAD ，所以CD AF ⊥.又PD CD D ⋂=，所以AF ⊥平面PCD .又//BE AF ，所以BE ⊥平面PCD ；（2）因为//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，所以//AB 平面PCD . 所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离.由（1）得AF ⊥平面PCD ，则AF 等于点A 到平面PCD 的距离. 因为122AB AD AP CD ====，所以12AF PD ===故点A 到平面PCD，即直线AB 到平面PCD.【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了直线到平面距离的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．（1）216y x =；（2）4.【解析】【分析】（1）求得点P 的坐标，可得出直线AB 的方程，与抛物线的方程联立，结合8AB =求出正实数p 的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点()11,M x y ，()22,N x y ，设l 的方程为x my n =+，将直线l 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合64OM ON ⋅=-求得n 的值，可得出直线l 所过定点的坐标，由此可得出点F 到直线l 的最大距离.【详解】（1）易知点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又14OP OF =，所以点,08p P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线AB 的方程为8p x =. 联立282p x y px ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或82p x p y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以822p p AB p ⎛⎫=--== ⎪⎝⎭. 故抛物线C 的方程为216y x =；（2）设l 的方程为x my n =+，联立216y x x my n⎧=⎨=+⎩有216160y my n --=，设点()11,M x y ，()22,N x y ，则1216y y n =-，所以()212212256y y x xn ==.所以212121664OM ON x x y y n n ⋅=+=-=-，解得8n =. 所以直线l 的方程为8x my =+，恒过点()8,0.又点()4,0F ，故当直线l 与x 轴垂直时，点F 到直线l 的最大距离为4. 【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题. 21．（1）见解析；（2）[]0,1. 【解析】 【分析】（1）求出函数()y f x =的定义域和导数()()21a a x f x x+-'=，对实数a 进行分类讨论，分析导数在()0,∞+上的符号变化，进而可得出函数()y f x =在其定义域上的单调区间； （2）由题意得不等式()2ln 210a x a x x +--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，构造函数()()2ln 21g x a x a x x =+--，可得出()max 0g x ≤，利用导数分析函数()y g x =在区间()0,∞+上的单调性，求得函数()y g x =的最大值，然后解不等式()max 0g x ≤即可得出实数a 的取值范围. 【详解】（1）函数()()ln 21f x a x a x =+-()a R ∈的定义域是()0,∞+.()()()2121a a x af x a x x+-'=+-=. ①当210a -≥，即12a ≥时，()210a a x +->，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增；②当210a -<，即12a <时，（i ）若102a <<，则012a a>-. 令()0f x '<，得12a x a >-；令()0f x '>，得012ax a<<-， 此时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减；（ii ）若0a ≤，则()210a x -<，则()210a a x +-<，则()210a a xx+-<.则()0f x '<对任意()0,x ∈+∞恒成立，此时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减. 综上所述，当0a ≤时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递减；当102a <<时，函数()y f x =在0,12a a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭上单调递增，在,12a a ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭上单调递减； 当12a ≥时，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增； （2）()2f x x ≤等价于()2ln 21a x a x x +-≤，即()2ln 210a x a x x +--≤. 令()()2ln 21g x a x a x x =+--，则()0g x ≤.()()()()21221x a x ag x x a x x-+'=-+-=-， ①当0a =时，()20g x x x =--≤对任意的()0,x ∈+∞恒成立，符合题意； ②当0a >时，令()0g x '=，得x a =或12x =-（负根舍去），令()0g x '>，得0x a <<；令()0g x '<，得x a >， 所以函数()y g x =在()0,a 上单调递增，在(),a +∞上单调递减. 故()()2max ln 0g x g a a a a a ==+-≤，因为0a >，所以ln 10a a +-≤，令()ln 1h a a a =+-，则函数()y h a =单调递增. 又()10h =，故由ln 10a a +-≤得()()1h a h ≤，得01a <≤. 综上，实数a 的取值范围为[]0,1. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，涉及分类讨论思想的应用，属于中等题.22．（1）:230l x y +-=，22:40C x y y +-=；（2）5. 【解析】 【分析】（1）在直线l 的参数方程中消去参数t 可得出直线l 的普通方程，在曲线C 的极坐标方程两边同时乘以ρ，结合222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩可将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）计算出直线l 截圆C 所得弦长AB ，并计算出原点O 到直线l 的距离d '，利用三角形的面积公式可求得OAB ∆的面积. 【详解】（1）由32x ty t=⎧⎨=-⎩得32y x =-，故直线l 的普通方程是230x y +-=.由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=，代入公式222sin x y yρρθ⎧=+⎨=⎩得224x y y +=，得2240x y y +-=，故曲线C 的直角坐标方程是2240x y y +-=；（2）因为曲线22:40C x y y +-=的圆心为()0,2，半径为2r，圆心()0,2到直线230x y +-=的距离为d ==，则弦长5AB ===.又O 到直线:230l x y +-=的距离为5d '==，所以1122555OAB S AB d ∆'=⨯=⨯=. 【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了直线与圆中三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题. 23．（1）35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）分2x -≤、124x -<<、14x ≥三种情况解不等式()2f x >，综合可得出原不等式的的解集；（2）利用绝对值三角不等式可求得函数()52y f x x =++的最小值为9k =，进而可得出61a b +=，再将代数式61a b +与6a b +相乘，利用基本不等式求得61a b+的最小值，进而可证得结论成立. 【详解】（1）当2x -≤时，由()2f x >，得1422x x -++>，即130x ->，解得13x <，此时2x -≤；当124x -<<时，由()2f x >，得1422x x --->，即530x +<，解得35x <-，此时325x -<<-；当14x ≥时，由()2f x >，得4122x x --->，即350x ->，解得53x >，此时53x >. 综上所述，不等式()2f x >的解集为35,,53⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()()524142414841489y f x x x x x x x x =++=-++=-++≥--+=， 当且仅当()()41480x x -+≤时取等号，所以9k =，61a b +=.所以()6161366661224b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当36b a a b =，即12a =，112b =时等号成立，所以6124a b+≥.≥≥【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷 数学(文)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷 数学(文)

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(三)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|2x >2}，B ＝{y|y ＝x 2，x ∈R}，则(R ðA)∩B ＝(A)[0，1)(B)(0，2)(C)(－∞，1](D)[0，1](2)已知i 是虚数单位，z(1－12i)＝12i ，则复数z 所对应的点位于(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)已知O 为坐标原点，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，过右焦点F 的直线l ⊥x 轴，交椭圆C 于A ，B 两点，且△AOB 为直角三角形，则椭圆C 的离心率为A.152-+ B.132-+ C.12D.152-(4)如图，长方形内部的阴影部分为六个全等的小正三角形顶点连接组成的图形T ，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分T 的概率是A.18B.14C.12D.23(5)在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，D 为BC 上一点，且BC ＝3BD ，AD ＝2，则BC 的长为(A)3(B)2(C)4(6)已知f(x)＝asin2x ＋bcos2x 的最大值为f(12π)＝4，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍得到的函数解析式为(A)y ＝4sin(2x ＋3π)(B)y ＝4sin(x ＋3π)(C)y ＝4sin(12x ＋3π)(D)y ＝4sin(4x ＋3π)(7)如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.233π- B.223π- C.23π D.413π-(7)函数f(x)＝(x 2－2|x|)e |x|的图象大致为(9)已知a>b>0，ab ＝1，设x ＝2a b ，y ＝log 2(a ＋b)，z ＝a ＋1b，则log x 2x ，log y 2y ，log z 2z 的大小关系为(A)log x 2x>log y 2y>log z 2z (B)log y 2y>log z 2z>log x 2x (C)log x 2x>log z 2z>log y 2y(D)log y 2y>log x 2x>log z 2z(10)执行如图所示的程序框图，则输出的结果为(A)31(B)39(C)47(D)60(11)已知三棱柱ABC －A 1B 1C 13的球，四边形A 1ACC 1与B 1BCC 1均为正方形，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，C 1M ＝12A 1B 1，则异面直线BM 与AN 所成角的余弦值为A.310B.3010C.710D.7010(12)已知函数()221,022,0x e x f x x x x ⎧->⎪=⎨---≤⎪⎩，若|f(x)|≥mx 恒成立，则实数m 的取值范围为(A)[2－2，2](B)[2－2，1](C)[2－2，e](D)[2－e ，e]第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）（有答案解析）

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）（有答案解析）

2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）（有答案解析）2020年百校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）（全国Ⅰ卷）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x ∈Z|x 2≤1}，B ={x|x ?ln (x +3)=0}，则A ∪B =( )A. {?1,0，1}B. {?2,?1,1}C. {?2,0，1}D. {?2,?1,0，1} 2. 设z ?是复数z 的共轭复数，若z ??i =1+i ，则z ?z ?=( )A. √2B. 2C. 1D. 0 3. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A. y =xsinxB. y =xlnxC. y =x ?e x ?1e x +1 D. y =xln(√x 2+1?x)4. 数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，则S 3=( )A. 283B. 12C. 383D. 135. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. 43B. 2C. 83 D. 1036. 已知函数f(x)=2cos 2x ?cos (2x ?π3)，则下列结论正确的个数是( )①函数f(x)的最小正周期为π；②函数f(x)在区间[0,π3]上单调递增；③函数f(x)在[0,π2]上的最大值为2；④函数f(x)的图象关于直线x =π3对称．A. 1B. 2C. 3D. 47. 如图，在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ????? ?AB= ( )A. ?2B. ?34 C. ?54D. 548. 改编自中国神话故事的动画电影《哪吒之魔童降世》自7月26日首映，在不到一个月的时间，票房收入就超过了38亿元，创造了中国动画电影的神话．小明和同学相约去电影院观看《哪吒之魔童降世》，影院的三个放映厅分别在7：30，8：00，8：30开始放映，小明和同学大约在7：40至8：30之间到达影院，且他们到达影院的时间是随机的，那么他们到达后等待的时间不超过10分钟的概率是( )A. 13B. 12C. 25D. 349. 已知函数f(x)=log 12(x 2?ax +a)在(12,+∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,1]B. [?12,1]C. (?12,1]D. (?12,+∞)10. 若x ，y 满足约束条件{4x ?3y ?6≤02x ?2y +1≥0x +2y ?1≥0，则z =|x ?y +1|的最大值为( )A. 2B. 2411C. 2811D. 311. 如图所示，在三棱锥P ?ABC 中，AB ⊥BC ，AB =3，BC =2，点P 在平面ABC 内的投影D 恰好落在AB 上，且AD =1，PD =2，则三棱锥P ?ABC 外接球的表面积为( )A. 9πB. 10πC. 12πD. 14π12. 已知函数f(x)=x+aax?1(x >0)，若a =√1?x 2>0，则f(x)的取值范围是( )A. [?√2?1,?1)B. (?2√2,?1)C. [?2√2,?1)D. (?√2,0)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为______．14. 已知函数f(x)=x 3?5x +a ，直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，a ，b 为正实数，则a +b 的值为______． 15. 已知实数x ，y 满足y ≥2x >0，则yx +9x2x+y 的最小值为______． 16. F 1、F 2是双曲线C ：x 2a 2y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点．过F 2作直线l ⊥x 轴，交双曲线C于M 、N 两点，若∠MF 1N 为锐角，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，a 2=b 2+bc ，且sinC +tanBcosC =1．(1)求角A ；(2)b =2，P 为△ABC 所在平面内一点，且满足APCP =0，求BP 的最小值，并求BP 取得最小值时△APC 的面积S ．18.双十一购物狂欢节，是指每年11月11日的网络促销日，源于淘宝商城(天猫)2009年11月11日举办的网络促销活动，已成为中国电子商务行业的年度盛事．某生产商为了了解其生产的产A B说明理由；(2)填写下面关于店铺个数的2×2列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为销售量与电商平台有关；则其中恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率是多少？，n=a+b+c+d．附：K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)19.如图①，平行四边形ABCD中，AB=4，AD=2，∠ABC=π，E为CD中点．将△ADE沿AE3折起，使平面ADE⊥平面ABCE，得到如图②所示的四棱锥P?ABCE．(1)求证：平面PAE⊥平面PBE；(2)求点B到平面PEC的距离．20.动圆P过定点A(2,0)，且在y轴上截得的弦GH的长为4．(1)若动圆圆心P的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；(2)在曲线C的对称轴上是否存在点Q，使过点Q的直线l′与曲线C的交点S、T满足1|QS|2+1|QT|2为定值？若存在，求出点Q的坐标及定值；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax+1x ，g(x)=exx1．(1)讨论函数f(x)在(0,+∞)上的单调性；(2)若对任意的x∈(0,+∞)，f(x)<g(x)恒成立，求实数a的取值范围．< p="">22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=1+cosθy=1+sinθ(θ为参数)，在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，P为直线l 上的任意一点(1)Q为曲线C上任意一点，求P、Q两点间的最小距离；．(2)过点P作曲线C的两条切线，切点为A、B，曲线C的对称中心为点C，求四边形PACB面积的最小值．23.已知函数f(x)=√|x+2|+|x?1|?a．(1)当a=4时，求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)的定义域为R，设a的最大值为s，当正数m，n满足12m+n +2m+3n=s时，求3m+4n的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵A ={?1,0，1}，B ={0,?2}，∴A ∪B ={?2,?1,0，1}．故选：D ．可以求出集合A ，B ，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 2.答案：B解析：解：∵z ?i =1+i ，∴z ?=1+i i=(1+i)(?i)?i 2=1?i ，则z ?z ?=|z|2=(√2)2=2．故选：B ．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，结合z ?z ?=|z|2求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题． 3.答案：B解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A ，y =xsinx ，其定义域为R ，有f(?x)=xsinx =f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于B ，y =xlnx ，其定义域为(0,+∞)，既不是奇函数，也不是偶函数；对于C ，y =x ?e x ?1e x +1，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)?e ?x ?1e ?x +1=x ?e x ?1e x +1=f(x)，即函数f(x)为偶函数；对于D ，y =2+1?x)，其定义域为R ，有f(?x)=(?x)ln (√x 2+1+x)=xln(√x 2+1?x)=f(x)，即函数f(x)为偶函数；故选：B ．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性，综合即可得答案．本题考查函数奇偶性的判断，注意分析函数的定义域，属于基础题． 4.答案：D解析：解：∵数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，a n >0，a 2+a 3=4，a 3+3a 4=2，∴{a 1q +a 1q 2=4a 1q 2+3a 1q 3=2q >0，解得a 1=9,q =13，∴S 3=9(1?133)1?13=13．故选：D ．利用等比数列通项公式列出方程组，求出a 1=9,q =13，由此能求出S 3的值．本题考查等比数列的前3项和的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基5.答案：C解析：解：根据三视图，可知几何体为四棱锥P?ABCD，体积V=13×2×2√2×√2=83．故选：C．根据三视图可知几何体为四棱锥，画出直观图，利用体积公式求解．本题考查了根据三视图，求几何体的体积，属于中档题．6.答案：B解析：解：f(x)=2cos2x?cos(2x?π3)=cos2x+1?12cos2x?√32sin2x=12cos2x?√32sin2x+1=cos(2x+π3)+1，∴T=2π2=π，①对；由2kπ?π≤2x+π3≤2kπ，得x∈[kπ?2π3,kπ?π6]，k∈Z，所以函数f(x)单调递增区间为[kπ? 2π3,kπ?π6]，②错；∵x∈[0,π2]时，2x+π3∈[π3,4π3]，cos(2x+π3)∈[?1,12]，函数f(x)在[0,π2]上的最大值为32，③错，∵2x+π3=kπ，x=kπ2π6，k∈Z，④对，故选：B．先根据函数化简得f(x)=cos(2x+π3)+1，根据T=2π2=π，可判断①；先求出所以单调递增区间，然后可以判断②；可求f(x)在在[0,π2]上的最大值，可以判断③；可求出f(x)的所有对称轴，可判断④．本题考查命题，以及三角函数的化简和化简，属于中等题．解析：解：因为在△ABC 中，AB =2，AC =3，∠BAC =π3，M 、N 分别为BC 、AM 的中点，则CN ?AB=12(CA +CM ? )?AB =12(?AC +12CB )?AB =12[?AC +12(AB ????? ?AC ????? )]?AB ????? =12(12AB ????? ?32AC )?AB =1AB 2?3AB ?AC =14×22?34×2×3×12=?54．故选：C ．根据已知条件把所求问题转化，即可求得结论．本题考查向量的数量积的应用以及向量的三角形法则，考查向量的表示以及计算，考查计算能力． 8.答案：C解析：解：由题意可知，满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，由几何概型知所求的概率P =2050=25．故选：C ．由满足条件的时间段为7：50～8：00，8：20～8：30共20分钟，结合与长度有关的几何概率公式可求．本题主要考查了与长度有关的几何概率公式的应用，属于基础试题． 9.答案：B解析：解：∵y =log 12x 在(0,+∞)上为减函数，∴y =x 2?ax +a 在(12,+∞)上为增函数，且y >0恒成立，∴{?a 2≤12(12)2?12a +a ≥0，解得?12≤a ≤1．故选：B ．由复合函数的单调性法则可知y =x 2?ax +a 在(12,+∞)上为增函数，由对数函数的真数大于0可知，y >0恒成立，则实数a 应满足{??a2≤12(12)212a +a ≥0，解不等式组即可得到答案．本题主要考查复合函数的单调性法则以及对数函数的图象及性质，考查计算能力，属于基础题． 10.答案：C解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：令t =x ?y +1，得y =x +1?t 表示，斜率为1纵截距为1?t 的一组平行直线，{4x ?3y +6=0x +2y ?1=0C(1511,?211)；平移直线y =x +1?t ，当直线y =x +1?t 经过点C(1511,?211)时，直线y =x +1?t 的截距最小，此时t max =1511?(?211)+1=2811，当直线y =x +1?t 与AB 重合时，直线y =x +1?t 的截距最大，A(0,12)此时t min =0?12+1=12，∴z =|x ?y +1|的取值范围是：[12,2811]. 故z =|x ?y +1|的最大值为2811．故选：C ．作出不等式组对应的平面区域，令t =x ?y +1，利用目标函数t 的几何意义，结合图象得到结论．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合，结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法． 11.答案：D解析：解：由题意可知，PD ⊥平面ABC ，所以平面PAB ⊥平面ABC ，又因为AB ⊥BC ，所以BC ⊥平面PAB ，构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，△PAB 中，由正弦定理可得，r =√52sin π4=√102，故R =(√102)=√142，故S =4π×144=14π故选：D ．结合已知构造直三棱柱PAB ?MNC ，则直三棱柱PAB ?MNC 的外接球即为所求，球心O 为直直三棱柱底面三角形外接圆圆心连心线连心的中点，结合球的性质及勾股定理可求．本题考查球的表面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．12.答案：C解析：解：由a =√1?x 2得，a 2+x 2=1，不妨设a =cosα，x =sinα，其中α∈(0,π2)，则y =sinα+cosαsin αcos α?1，令t =sinα+cosα=√2sin (α+π4)∈(1,√2],sinαcosα=t 2?12,∴1y =t 2?32t =t2?32t 在t ∈(1,√2]上为增函数，∴y =2tt?3在t ∈(1,√2]上为减函数，∴y ∈[?2√2,?1)．故选：C ．依题意，a 2+x 2=1，采用三角换元设a =cosα，x =sinα，可得y =sinα+cosαsin αcos α?1，再令t =sinα+cosα∈(1,√2]，可得y =2tt?3在t ∈(1,√2]上为减函数，由此求出f(x)的取值范围．本题考查函数值域的求法，考查三角换元思想，属于中档题．13.答案：553解析：解：从一个有53名学生的班级中，随机抽取5人去参加活动，若采用系统抽样的方法抽取，则班长被抽中的概率为5 53，故答案为：553．根据在系统抽样中，每个个体被抽到的概率是相等的，得出结论．本题主要考查系统抽样的特征，属于基础题． 14.答案：2 解析：解：由f(x)=x 3?5x +a ，得f′(x)=3x 2?5，∵直线2x +y +b =0与函数f(x)的图象相切，设切点的坐标为(x 0,y 0)，则3x 025=?2，∴x 0=1或x 0=?1，∴y 0=a ?4或y 0=a +4，即切点坐标为(1,a ?4)或(?1,a +4)，代入直线中，得a +b =2或a +b =?2，∵a ，b 为正实数，∴a +b =2．故答案为：2．先对f(x)求导，根据条件设切点的坐标为(x 0,y 0)，然后由f′(x 0)=?2求出切点坐标，进一步求出a +b 的值．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．15.答案：174解析：解：设t=yx，由题意知t≥2，则yx+9x2x+y=t+9t+2，令f(t)=t+9t+2，t≥2，∵f′(x)=1?9(t+2)2>0，∴f(t)在t≥2上单调递增，∴f(t)≥f(2)=174，故答案为：174．先令t=yx ，可转化成f(t)=t+9t+2，t≥2，因为不满足不等式取等号时的条件，使用单调性求最值．本题考查导数求最值，使用不等式求最值时，注意取等号时的条件，属于中档题．16.答案：(1,1+√2)解析：解：解：当x=c时，c2a2?y2b2=1，可得y=±b2a故M(c,b2a)如图只要∠MF1F2<45°即可，则tan∠MF1F2< p="">即b22c=b22ac<1，即b2<2ac，则c2?a2<2ac，即c2?2ac?a2<0，则e2?2e?1<0，解得：1?√2<e<1+√2< p="">又e>1，∴1<e<1+√2< p="">故答案为：(1,1+√2)求出交点M，N的坐标，只要∠MF1F2<45°即可，利用斜率公式进行求解即可．本题主要考查双曲线离心率的计算，根据∠MF1F2<45°转化为斜率解决问题．考查学生的转化能力．17.答案：解：(1)因为a2=b2+bc?a2+c2?b2=c2+bc；∴a2+c2?b22ac =c+b2a；∴b+c=2acosB；由正弦定理得：sinB+sinC=2sinAcosB，∴sinB+sin(A+B)=2sinAcosB?sinB=sin(A?B)；因为都是三角形内角；∴A=2B；又由sinC+tanBcosC=1.得sin(B+C)=cosB；∴sinA=cosB；∴sinB=12.∴B=π6，A=π．(2)由(1)可知C=π2.∴△ABC为直角三角形．又因为AP ????? ?CP=0?PA ⊥PC ；所以点P 在以CA 为直径的圆上，如图：∵b =2，所以：BC =2√3，AB =4，设O 为AC 的中点，连接BO ，则当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，此时BP =BO ?PO =√1+(2√3)2?1=√13?1．设∠OCP =α，则∠COP =π?2α，∴sinα=PA AC=12PA ；cosα=PC AC=12PC ；∴S =12PA ?PC =2sinαcosα=sin2α；在直角三角形BOC 中，sin ∠COB =sin (π?2α)=sin2α=BCBO =√3√13=2√3913．∴当BP 取得最小值时(√13?1)时，△APC 的面积S 为：2√3913．解析：(1)先根据已知条件得到b +c =2acosB ；再结合正弦定理得到A =2B ，结合sinC +tanBcosC =1即可求得结论；(2)根据数量积为0推得点P 在以CA 为直径的圆上，进而得到当点P 在BO 上时，BP 取得最小值，求出最小值以及△APC 的面积S 即可．本题考查了数量积运算性质以及解三角形，考查了推理能力与计算能力，综合性比较强，属于中档题．18.答案：解：(1)A 、B 两个电商平台销售数据的茎叶图如图，由茎叶图可知B 电商平台的销售更好，因为B 整体数据集中比A 高，(2)填表如下；销售量>80 销售量≤80 总计 A 电商平台 2 8 10 B 电商平台 6 4 10 总计 81220K 2=20(2×4?6×8)28×12×10×10≈3.333<3.841，没有95%的把握认为销售量与电商平台有关．(3)从这20个网络销售店铺销售量前五名为97，96，96，94，87．分别设为A ，B ，C ，D ，E ，随机抽取三个店铺共有10种可能，如下：(A,B ，C)，(A,B ，D)，(A,B ，E)，(A,C ，D)，(A,C ，E)，(A,D ，E)，(B,C ，D)，(B,C ，E)，(B,D ，E)，(C,D ，E)，恰好有两个店铺的销售量在95以上有6种，恰好有两个店铺的销售量在95以上的概率为610=35．解析：(1)根据题意画茎叶图，(2)根据数据填表，代公式，比较，判断，(3)根据题意找出店铺销售量前五名，然后求事件，求概率．本题考查独立性检验，以及求概率，属于中档题．19.答案：(1)证明：在图①中连接BE，由平面几何知识，求得AE=2，BE=2√3，又∵AB=4，∴BE⊥AE，在图②中，∵平面APE⊥平面ABCE，且平面APE∩平面ABCE=AE，∴BE⊥平面PAE，又∵BE?平面PBE，∴平面PAE⊥平面PBE；(2)解：设O为AE的中点，连接PO，CO，由已知可得△PAE为等边三角形，∴PO=√3．∵平面PAE⊥平面ABCE，∴PO⊥平面ABCE，得PO⊥CO．在△OEC中，OE=1，EC=2，∠OEC=2π3．由余弦定理得OC=√7．∴PC=√3+7=√10．在△PEC中，PE=EC=2，PC=√10．∴S△PEC=12×√10×(√102)=√152，又∵S△BCE=12×2√3×1=√3．设点B到平面PEC的距离为d，由V P?BCE=V B?PCE，得13×√3×√3=13×√152×d，解得d=2√155．∴点B到平面PEC的距离为2√155．解析：(1)求解三角形可得AE=2，BE=2√3，结合AB=4，得到BE⊥AE，再由平面APE⊥平面ABCE，结合平面与平面垂直的性质可得BE⊥平面PAE，进一步得到平面PAE⊥平面PBE；(2)设O为AE的中点，连接PO，CO，求得PO=√3，进一步求解三角形可得OC、PC的值，求解三角形PEC与BEC的面积，利用等体积法可求得点B到平面PEC的距离．本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求点到平面的距离，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：(1)设P(x,y)，由题意知：PA=PG，当P点不在y轴上时，过P作PB⊥GH，交GH于点B，则B为GH的中点，∴GB=12GH=2，∴PG=√x2+4，又∵PA=√(x?2)2+y2=√x2+4，整理可得y2=4x(x≠0)；当点P 在y 轴上时，易知P 点与O 点重合，P(0,0)也满足y 2=4x ，∴曲线C 的方程为y 2=4x ，(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，根据题意可知直线l′的斜率必不为0，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x ，整理可得y 2?4t 1y ?4a =0，∴y 1+y 2=?4t 1，y 1y 2=?4a ，∴x 1+x 2=t 1(y 1+y 2)+2a =4t 12+2ax 1x 2=116y 12y 22=a 2，∵QS 2=(x 1?a)2+y 12=(x 1?a)2+4x 1=x 12+(4?2a)x 1+a 2，QT 2=(x 2?a)2+y 22=(x 2?a)2+4x 2=x 22+(4?2a)x 2+a 2，∴QS 2+QT 2=x 12+(4?2a)x 1+a 2+x 22+(4?2a)x 2+a 2=(x 1+x 2)2+(4?2a)(x 1+x 2)?2x 1x 2+2a 2=(x 1+x 2)(x 1+x 2+4?2a)?2x 1x 2+2a 2=(4t 12+2a)(4t 12++4)，QS 2?QT 2=16a 2(t 12+1)2，则1|QS|2+1|QT|2=QS 2+QT 2QS 2?QT 2=2t 12+a2a 2(t 12+1)，当a =2时，上式=14与t 1无关为定值，所以存在Q(2,0)使过点Q 的直线与曲线交于点S 、T 满足1|QS|2+1|QT|2为定值14．解析：(1)设P(x,y)，过P 作PB ⊥GH ，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，GB =12GH =2，PG =√x 2+4，PA =√(x ?2)2+y 2=√x 2+4，整理可得y 2=4x(x ≠0)；(2)假设存在Q(a,0)满足题意，设S(x 1,y 1)，T(x 2,y 2)，设其方程为x =t 1y +a(t 1≠0)，联立{x =t 1y +a y 2=4x，利用根与系数关系表示出QS 2，QT 2，进而表示出1|QS|2+1|QT|2即可．本题考查动点轨迹方程的求法，考查韦达定理，考查换元法的应用，考查计算能力，属于中档题．21.答案：解：(1)∵f(x)=ax +1x ，∴f′(x)=a ?1x 2=ax 2?1x 2，当a ≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当a >0时，由f′(x)=0，得x =±√aa (舍负)，当x ∈(0,√a a )时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，当x ∈(√aa ,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．(2)由f(x)0，设?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，则?′(x)=e x ?2ax ?1，令H(x)=e x ?2ax ?1，则H′(x)=e x ?2a ，当a ≤12时，∵x ∈(0,+∞)，∴H′(x)>0，H(x)为增函数，∴H(x)=?′(x)>?′(0)=0，∴?(x)在(0,+∞)上为增函数，∴?(x)>?(0)=0成立，即f(x)12时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，x ∈(0,ln2a)时，H′(x)<0，H(x)为减函数，x ∈(ln2a,+∞)时，H′(x)>0，H(x)为增函数，∴?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，设t(a)=2a ?1?2aln2a(a >12)，则t′(a)=?2ln2a <0，∴t(a)在(12,+∞)上为减函数，∴t(a)<0< p="">∴?x 0∈(0,+∞)，当x ∈(0,x 0)时，?′(x)<0，?(x)为减函数，当x ∈(x 0,+∞)时，?′(x)>0，?(x)为增函数，又?(0)=0，∴当x ∈(0,x 0)时，?(x)<0，∴当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<="" 综上所述，a="">2]．解析：(1)对f(x)求导得，f′(x)=a ?1x 2=ax 2?1x 2，然后分a ≤0和a >0两个类别，讨论f′(x)的正负，即可得f(x)的单调性；(2)构造函数?(x)=e x ?ax 2?x ?1(x >0)，求出?′(x)，令H(x)=?′(x)=e x ?2ax ?1，再求H′(x)=e x ?2a ，当a ≤12时，易证得?(x)在(0,+∞)上为增函数，?(x)>?(0)=0成立，即f(x)12时，由H′(x)=e x ?2a =0，解得x =ln2a ，可得函数H(x)的单调性即?′(x)的单调性，于是?′(x)≥?′(ln2a)≥2a ?1?2aln2a ，再令t(a)=2a ?1?2aln2a(a >12)，求导可知t(a)在(12,+∞)上为减函数，t(a)<t(1< p="">2)=0，即?′(ln2a)<0，最后结合隐零点的思维可证得当a >12时，对x ∈(0,+∞)，f(x)<g(x)不恒成立，因此得解．< p=""> 本题考查导数的综合应用，涉及利用导数判断函数的单调性、求极值、恒成立问题等知识点，还有分类讨论、构造函数、多次求导以及隐零点等方法，有一定综合性，考查学生的分析能力和逻辑推理能力，属于难题．22.答案：解：(1)曲线C 的参数方程为{x =1+cos θy =1+sinθ(θ为参数)，转换为直角坐标方程为(x ?1)2+(y ?1)2=1．直线l 的极坐标方程为ρsin(φ+π4)+√2=0，转换为直角坐标方程为x +y +2=0．所以圆心(1,1)到直线x +y +2=0的距离d =√2=2√2，所以最小距离d min =2√2?1．(2)由于圆心到直线的最小距离d =2√2，所以构成的切线长为√(2√2)2?1=√7，所以四边形PACB 面积的最小值为S =2×12×1×√7=√7．解析：(1)直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 23.答案：解：(1)a =4时，|x +2|+|x ?1|?4≥0，当x2；当?2≤x ≤1时，x +2?x +1?4≥0，解得x ∈?；当x >1时，x +2+x ?1?4≥0，解得x ≥32，∴函数f(x)的定义域为{x|x ≤?52或x ≥32}；(2)∵函数f(x)的定义域为R ，∴|x +2|+|x ?1|?a ≥0对任意的x ∈R 恒成立，∴a ≤|x +2|+|x ?1|，又|x +2|+|x ?1|≥|x +2?x +1|=3，∴a ≤3，∴s =3，∴12m+n+2m+3n=3，且m >0，n >0，∴3m +4n =(2m +n)+(m +3n)=13[(2m +n)+(m +3n)]?(12m+n +2m+3n )=13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n]≥13(3+2√2)=1+2√23，当且仅当m =1+2√215,n =3+√215时取等号，∴3m +4n 的最小值为1+2√23．解析：(1)a =4时，得出f(x)需满足|x +2|+|x ?1|?4≥0，然后讨论x 的取值，去掉绝对值号求出x 的范围即可得出f(x)的定义域；(2)根据题意可知a ≤|x +2|+|x ?1|对x ∈R 恒成立，从而可得出a ≤3，进而得出s =3，从而得出12m+n +2m+3n =3，然后即可得出3m +4n =13[3+2(2m+n)m+3n+m+3n2m+n ]，然后根据基本不等式即可得出3m +4n 的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法，不等式|a|+|b|≥|a ?b|的运用，基本不等式求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．</g(x)不恒成立，因此得解．<></t(1<><0<></e<1+√2<></e<1+√2<><></g(x)恒成立，求实数a的取值范围．<>。

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(一)及答案

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅰ卷数学(文)(一)及答案

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y ＝21x -}，则A ∩B ＝ (A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为133，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x =± B.22y x =± C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2 (6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。

译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。

)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。

，且S3＝0，若az＝号，则数列{an}的公比为(A)12(B)13(C)23(D)34(8)图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(A)104＋85＋2π(B)104＋45＋(2－2)π(C)104＋85＋(2－2)π(D)104＋85＋(22－2) π(9)设函数f(x)＝e|x|－5cosx－x2，则函数f(x)的图象大致为(10)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|＝(A)178(B)98(C)1716(D)3316(11)记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4＋a6＝18，S11＝121。

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)文白卷(一)数学试题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试(全国Ⅰ卷)文白卷(一)数学试题(解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ卷）文白卷（一）数学试题一、单选题1．已知集合{}2,0,2,3,4,5A =-，{}2,3,5B =，则集合A B 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】直接根据交集的运算得出{}2,3,5A B =，即可得出答案.【详解】解：由题可知，{}2,0,2,3,4,5A =-，{}2,3,5B =， 则{}2,3,5AB =，所以集合A B 中元素的个数为3.故选：B . 【点睛】本题考查集合的交集的概念和运算，属于基础题.2．复平面内表示复数()()131z i i =--的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【解析】由复数的乘法运算求出24i z =--，即可得复数对应的点，从而可知正确答案. 【详解】解：()()213113324z i i i i i i =--=--+=--，则对应点坐标为()2,4--在第三象限， 故选:C. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应点的求解.本题的关键是将复数进行整理成标准形式.3．已知{}n a 是等差数列，411a =，720a =.若299n a =，则n =（ ） A ．98 B ．99C ．100D ．101【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，利用411a =，720a =列方程组，解得1a 和d ，再根据299n a =可解得结果. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 则11311620a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得123a d =⎧⎨=⎩，所以1(1)2(1)331n a a n d n n =+-=+-⨯=-， 由31299n -=，解得100n =. 故选：C. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式基本量的计算，属于基础题.4．若向量()1a m =-，，()1,2b =，且a b ⊥，则()()2a b a b -⋅+=（ ） A ．5 B ．13-C ．5-D ．13【答案】B【解析】先由a b ⊥得出0a b ⋅=继而求出m 的值，得出()21a =-，，然后由 ()()2222222a b a b aa b b a a b b -⋅+=+⋅-=+⋅-计算即可得解.【详解】因为a b ⊥，所以有0a b ⋅=，即20m -=，所以2m =，故()21a =-，，所以22(a =+=212b =+=所以()()2222222a b a b a a b ba ab b -⋅+=+⋅-=+⋅-22201055=⨯+-=-=.故选：A . 【点睛】本题考查平面向量的运算法则，考查向量的模的计算，考查平面向量的数量积，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.5．已知函数()cos f x ax ax =+的最小正周期是3，则实数a 的值为（ ） A ．3πB ．23π C ．23π-D ．23π±【答案】D【解析】根据两角和的正弦公式化为()2sin()6f x ax π=+，再根据周期公式可得答案.【详解】因为()3sin cos f x ax ax =+312(sin cos )22ax ax =⋅+⋅2sin()6ax π=+，所以最小正周期23||T a π==，解得23a π=±. 故选：D. 【点睛】本题考查了两角和的正弦公式，考查了三角函数的最小正周期公式，属于基础题. 6．某校高二年级共有2000名学生，其中男女比例为2：3，在某次数学测验中，按分层抽样抽取40人的成绩，若规定85分以上为优秀，且分数为优秀的学生中女生有2人，据此估计高二年级分数为优秀的女生人数为（ ） A ．60 B ．100C ．150D ．200【答案】B【解析】按分层抽样的比例性质计算即可. 【详解】因抽取40人的成绩中，分数为优秀的学生中女生有2人，即比例为20:1, 故高二年级分数为优秀的女生人数为200010020=人. 故选：B. 【点睛】本题考查了分层抽样，属于基础题.7．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形就给人以对称的美感，莱洛三角形的画法：先画等边ABC ，再分别以点A ，B ，C 为圆心、AB 长为半径画弧，如图①，在莱洛ABC 中，以BC 为边，在BC 的上方作矩形BCDE ，使边DE 经过点A .若莱洛三角形的周长为2π，则图②中阴影部分的面积为（ ）A ．4633π- B ．2333π-C ．4333π-D ．2633π-【答案】C【解析】根据莱洛三角形的周长为2π，求出2BC AC AB ===，然后求出矩形BCDE 的面积、两个弓形的面积和等边三角形的面积，用矩形面积减去两个弓形的面积和等边三角形的面积可得答案. 【详解】因为莱洛三角形的周长为2π，所以23AB AC BC π===， 又因为ABC 为等边三角形，所以3A B C π===， 根据弧长公式可得233AB ππ=⨯，所以2AB =，则2BC AC AB ===， 所以3BE =，所以矩形BCDE 的面积为23，AB 所在扇形的面积为2122233ππ⨯⨯=，所以弓形AB 的面积为22322333ππ-⨯=-，同理弓形AC 的面积为233π-， 所以图②中阴影部分的面积为223232(3)234π---⨯=4333π-. 故选：C. 【点睛】本题考查了弧长公式、扇形的面积公式，属于基础题.8．函数()2sin 31cos x xf x x=+的部分图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据题意，可知()f x 的定义域为x ∈R ，利用定义法判断出()f x 为奇函数，排除B 、D 选项，且当0x ≥时，令()0f x =，求出零点20,,,33x ππ=，再代入特殊值求得2224f ππ⎛⎫=-<- ⎪⎝⎭，可排除C 选项，从而得出答案. 【详解】解：由题可知，()2sin 31cos x xf x x=+，则()f x 的定义域为x ∈R ，则()()()()()22sin 3sin 31cos 1cos x x x xf x f x x x----===-+-+，可得()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，故可排除B 、D ， 当0x ≥时，令()0f x =，即2sin 30x x =，解得：20,,,33x ππ=即()f x 的图象与x 轴非负半轴的交点的横坐标从左到右依次为：20,,,33ππ由于2323πππ<<，而223sin 222241cos2f πππππ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭==-<- ⎪⎝⎭+， 而由选项C 的图象中，可知当233x ππ<<时，()20f x -<<，不符合题意， 故可排除C. 故选：A. 【点睛】本题考查根据函数解析式识别函数图象，通过利用定义法判断函数的奇偶性，以及根据零点和特殊值法进行排除，考查运算能力.9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．3220π+B ．3226π+C ．3252π+D ．3256π+【答案】C【解析】根据三视图判断几何体的组成部分，分别求出各部分的表面积，即可求出几何体的表面积. 【详解】解：由三视图可知，该几何体是由一个长方体和半个圆柱组成的，则 长方体的表面积为()2488848256⨯⨯+⨯+⨯=，半圆柱的表面积为21221234πππ⨯+⨯+⨯⨯=+，重合部分的面积为224⨯=，则几何体的表面积为25643442523ππ-++-=+， 故选:C. 【点睛】本题考查了由三视图求几何体的表面积.本题的易错点是忽略了重合的区域面积. 10．若()ln xf x x=，则()2f 、()3f 、()4f 的大小关系不正确的是（ ） A ．()()23f f > B ．()()34f f < C ．()()42f f = D ．()()34f f >【答案】D【解析】作差，根据对数的性质以及对数函数的单调性比较可得答案. 【详解】因为232ln 33ln 2(2)(3)ln 2ln 3ln 2ln 3f f --=-=⋅ln 9ln80ln 2ln 3-=>⋅，所以(2)(3)f f >，故A 正确； 因为343ln 44ln 3(3)(4)ln 3ln 4ln 3ln 4f f --=-=⋅ln 64ln810ln 3ln 4-=<⋅，所以(3)(4)f f <，故B 正确，D 不正确；因为4242(4)(2)0ln 4ln 22ln 2ln 2f f -=-=-=，所以(4)(2)f f =，故C 正确； 故选：D. 【点睛】本题考查了对数的性质以及对数函数的单调性，属于基础题.11．已知有相同焦点1F 、2F 的椭圆()2211x y a a +=>和双曲线()2210x y m m-=>，则椭圆与双曲线的离心率积的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由椭圆和双曲线的方程和有相同的焦点，得出11a m -=+，设椭圆与双曲线交于点P ，设12,PF x PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得出x t x t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，在焦点三角形中利用余弦定理可求出1290F PF ∠=，根据椭圆和双曲线的离心率公式得出12e e ⋅==12e e ⋅的最小值. 【详解】解：由题可知，椭圆()2211x y a a +=>焦点在x 轴上，则21c a =-，对于双曲线()2210x y m m-=>焦点在x 轴上，则21c m =+，椭圆和双曲线有相同的焦点，则11a m -=+，即2a m =+， 设椭圆与双曲线交于点P ，设12,PF x PF t ==，由椭圆和双曲线的定义得：x t x t ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则()()2244x t a x t m⎧+=⎪⎨-=⎪⎩， 解得：2222x t a mxt a m ⎧+=+⎨=-⎩，在12F PF △中，由余弦定理得：()2221222414224cos 022222a m a x t c m a F PF xt a m a m +--+--+∠====--，1290F PF ∴∠=，所以在12Rt F PF 中，2224x t c +=， 则2224a m c +=，即22a mc +=，21222122a mame e a m am am am am+∴⋅=⋅===≥=，当且仅当a m =时取等号，所以12e e ⋅的最小值为1， 即椭圆与双曲线的离心率积的最小值为1. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的离心率，考查椭圆和双曲线的方程、定义、简单几何性质以及焦点三角形的应用，还涉及余弦定理的应用和利用基本不等式求最值，考查化简运算能力，属于中档题.12．函数()3ln 2xf x e x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，若()f x 在(),1k k +，k ∈Z 上存在唯一零点，则k 的值可以是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】由题意可转化为函数3()ln 2g x x x =-+在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点，根据单调性和零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以*k N ∈，所以函数()3ln 2x f x e x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点， 所以3(ln )02xe x x -+=，即3ln 02x x -+=在在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一实根， 所以函数3()ln 2g x x x =-+在(),1k k +，*k N ∈上存在唯一零点， 因为1()1g x x'=-<0在(),1k k +，*k N ∈上恒成立，所以()g x 在(,1)k k +，*k N ∈上为单调递减函数， 因为31(1)01022g =-+=>， 31(2)ln 22ln 222g =-+=-1ln 4ln ln 2ln 022ee -=-=>，33(3)ln 33ln 322g =-+=-3ln 9ln 02e -=<，所以函数3()ln 2g x x x =-+在()2,3上存在唯一零点， 所以2k =. 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的零点，考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题.二、填空题13．已知a 、{}1,1,2b ∈-，则直线10ax by ++=不过第二象限的概率是________. 【答案】29. 【解析】利用列举法和古典概型的概率公式可求得结果. 【详解】因为基本事件(,)a b 有：(1,1)--，(1,1)-，(1,2)-，(1.1)-，(1,1)，(1,2)，(2,1)-，(2,1)，(2,2)，共9个，其中使得直线10ax by ++=不过第二象限的基本事件有：(1,1),-(1,2)-，共2个， 所以 直线10ax by ++=不过第二象限的概率是29. 故答案为：29. 【点睛】本题考查了古典概型的概率公式，属于基础题.14．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n n a S n +=，则n S =________. 【答案】11()2nn -+【解析】当1n =时，代入题干可得112a =，当2n ≥时，111n n a S n --+=-，所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥，用待定系数法化简整理可得{1}n a -是以12-为首项，12为公比的等比数列，解得11()2n n a =-，*n N ∈，运用分组求和法即可求出前n 项和n S 的值. 【详解】因为n n a S n +=，所以当1n =时，121a =，解得112a =， 当2n ≥时，111n n a S n --+=- 所以111n n n n a a S S ---+-=，即11(1)2n n a a -=+，2n ≥ 所以111(1)2n n a a --=-，即11112n n a a --=-，2n ≥ 所以{1}na -是以12-为首项，12为公比的等比数列，所以11111()()()222n n n a --=-⨯=-，即11()2nn a =-，2n ≥又112a =满足上式，所以11()2nn a =-，*n N ∈所以23123111111()1()1()2222nn n S a a a a =+++⋅⋅⋅+=-+-+-+⋅⋅⋅+-=231111[()()()]2222n n -+++⋅⋅⋅+=11[1()]1221()1212n n n n --=-+- 故答案为：11()2nn -+【点睛】本题考查n S 与n a 的关系、待定系数法求数列的通项、分组求和法等知识，综合性较强.解题的关键在于根据n S 与n a 的关系，以及()11(1)2n nn a n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩进行化简求解，当出现1n n a pa q -=+（p ，q 为常数，且1p ≠）时，用待定系数法求通项，计算难度偏大，考查分析理解，计算化简的能力，属中档题.15．双曲线22221x y a b-=的离心率为2，过其左支上一点M 作平行于x 轴的直线交渐近线于P 、Q 两点，若4PM MQ ⋅=，则该双曲线的焦距为________. 【答案】8【解析】设()00,M x y ，写出渐近线方程，即可得00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，结合4PM MQ ⋅=可得222024a x y b=-，由()00,M x y 在双曲线上可求出24a =，结合离心率可求出4c =，即可求出焦距. 【详解】解：设()00,M x y ，则2200221x y a b-=，双曲线渐近线方程为b y x a =±，所以当0y y =时，0a x y b =±，即00,a P y y b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，00,a Q y y b ⎛⎫⎪⎝⎭，因为//PQ x 轴， 所以00a MP y x b =--，00a MQ y x b =-，则2220024P x M a M b Q y =-⋅=，又2200221x y a b-=，即2222002a y x ab -=，所以24a =，即2a =，则离心率22c c e a ===， 所以4c =，所以焦距为28c =， 故答案为:8. 【点睛】本题考查了双曲线的离心率，考查了双曲线的渐近线方程.本题的关键是求出a 的值. 16．如图，在正方体ABCD EFGH -中，M 、N 、P 、Q 分别是FG 、GH 、AD 、AB 的中点，则下列说法：①//HP 平面BMN ；②PQ EG ⊥；③//MQ NP ；④//FQ 平面BMN ， 其中正确的命题序号是________.【答案】①②③④【解析】①构造平行四边形可证明线线平行，通过线线平行可证线面平行； ②利用线面垂直，证明线线垂直； ③构造平行四边形可证明线线平行； ④构造平面，通过线线平行可证线面平行. 【详解】在正方体ABCD EFGH -中，M 、N 、P 、Q 分别是FG 、GH 、AD 、AB 的中点，①如图,设BC 中点为R ，连接PR ，HP ，MB ，MN ，BN ，GR ，则有MG BR ，//MG BR∴四边形MGRB 为平行四边形， 同理四边形PRHG 为平行四边形， ∴//BM GR ，//HP GR ， ∴//BM HP且PH ⊄平面BMN ，BM ⊂平面BMN ， ∴//HP 平面BMN ， 故命题①正确；②如图，连接PQ ，BD ，EG ，FH ，则有EG ⊥平面BDHF ，//PQ BD ， 且BD ⊂平面BDHF ， ∴EG BD ⊥， ∴PQ EG ⊥， 故命题②正确；③如图，连接PN ，PQ ，MQ ，MN ，FH ，BD ，则有//MN FH ，12MNFH ，//PQ BD ，12PQ BD ，//BD FH ，BD FH ，∴//PQ MN ，PQ MN =， ∴四边形PQMN 是平行四边形， ∴//MQ NP ， 故命题③正确；④如图，设EF 中点为S 连接AS ，SN ，DN ，BD ，BN ，MN ，BM ，QF由③得//MN BD ， ∵SFAQ ，//SF AQ ，∴四边形SAQF 为平行四边形， 同理四边形SADN 为平行四边形， ∴//SA FQ ，//SA DN ， ∴//DN FQ ，且DN ⊂平面BDNM ，FQ ⊄平面BDNM ， ∴//FQ 平面BDNM ， 即//FQ 平面BMN ， 故命题④正确. 故答案为：①②③④. 【点睛】本题考查线线平行、线面平行、线线垂直的判断，构造平行四边形利用平行四边形的性质证明线线平行，以及构造三角形利用中位线定理证明线线平行是常用的方法，考查直观想象能力、逻辑推理能力，是中档题.三、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且cos sin 6b A a B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求角A ；（2）若cos 5B =，5b =，求ABC 的面积. 【答案】（1）3π，（2. 【解析】（1）根据正弦定理可得cos sin 6A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再利用两角差的余弦公式变形可得tan A =3A π=；（2）根据正弦定理求出a ，根据诱导公式和两角和的正弦公式求出sin C ，再根据三角形的面积公式求出面积. 【详解】（1）因为cos sin 6b A a B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以sin cos 6b A b A a a π⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭， 所以cos sin 6A A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以cos cos sin sin sin 66A A A ππ+=，所以tan A =0A π<<，所以3A π=.（2）因为cos 5B =，所以sin B ===，由正弦定理得sin sin b A a B ⨯==3=， 所以sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+12=+=所以ABC的面积为11sin 322ab C =⨯=. 【点睛】本题考查了正弦定理、诱导公式、三角形的面积公式、两角和的正弦公式，属于中档题. 18．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，PAD △是边长为2的等边三角形，3BAD π∠=，E ，F ，M 分别为AD ，BC ，PC的中点.（1）证明：//PA 平面MEF ； （2）求四棱锥P ABCD -的侧面积.【答案】（1）证明见解析；（2）3+6+15.【解析】（1）连接AC 交EF 于点G ，显然G 为AC 的中点，证明//MG PA ，//PA 平面MEF 即得证；（2）求出四棱锥P ABCD -的四个侧面的面积即得解. 【详解】（1）连接AC 交EF 于点G ，显然G 为AC 的中点，在PAC 中，M 为PC 中点， 所以//MG PA ，因为MG ⊂平面MEF ，PA ⊄平面MEF , 所以//PA 平面MEF ；（2）PAD △是边长为2的等边三角形，所以122sin 6032PADS=⨯⨯⨯=.连接,,PE BE 3PE =,在ABE △中，由余弦定理得222cos 3BE AE AB AE AB BAE =+-⨯⨯∠=又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PE AD ⊥,PE ⊂平面PAD ,所以PE ⊥平面ABCD ,又BE ⊂平面ABCD ， 所以PE BE ⊥，故6PB =由余弦定理得115cos ,sin 44PAB PAB ∠=∴∠=, 所以1151522242PABS=⨯⨯⨯=. 同理可得157,10,2PCDCE PC S===, 由222,PB BC PC PBC +=∴是直角三角形， 所以16262PBCS==, 所以四棱锥P ABCD -3+6+15【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明，考查几何体侧面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19．某公司为强化自己的市场竞争地位，决定扩大公司规模，拓展业务，建立连锁公司，连锁公司利润的20%归总公司，建立连锁公司的数量与单个公司月平均利润的关系如下表所示： 连锁公司数量x /个56789由相关系数r 可以反映两个变量相关性的强弱，[]0.75,1r ∈，认为变量相关性很强；[]0.3,0.75r ∈，认为变量相关性一般；[]0,0.3r ∈，认为变量相关性较弱.（1）计算相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱； （2）求y 关于x 的线性回归方程（3）若一个地区连锁公司的前期投入p （十万元）与数量()56789x x =、、、、的关系为212.254p x x =--，根据所求回归方程从公司利润角度帮公司对一个地区连锁公司数量做出决策.12.85≈，参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑线性回归方程ˆˆˆybx a =+中，()()()121ˆniii nii x x y y b x x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）0.97r ≈，变量x 、y 相关性很强；（2）ˆ 1.2513.75y x =-+；（3）6个【解析】（1）根据给出的数据和公式，求出相关系数r ，并判断变量x 、y 相关性强弱； （2）根据给出的数据和公式，求出y 关于x 的线性回归方程；（3）将总公司利润表过出来，再根据何时取最大值，帮公司对一个地区连锁公司数量做出决策. 【详解】 （1）由题5678975x ++++==，86 4.5 3.5355y ++++==则()()1niii x x yy =--∑(57)(85)(67)(65)(77)(4.55)(87)(3.55)(97)(35)=--+--+--+--+--=12.5-()21ni i x x=-∑22222(57)(67)(77)(87)(97)10=-+-+-+-+-=()21nii yy=-∑22222(85)(65)(4.55)(3.55)(35)16.5=-+-+-+-+-=则()()niix x y y r--=∑12.512.85-==0.97≈-，则[]0.75,1r ∈，变量x 、y 相关性很强；（2）由题()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑12.51.2510-==-， 又ˆˆay bx =-5( 1.257)13.75=--⨯=， 故ˆ 1.2513.75yx =-+. （3）总公司利润( 1.2513.75)20%y x x p =-+⋅-=2)( 1.2513.75)212.20%(54x x x x -+--⋅-=21.25154x x -++，即21.25154y x x =-++，()56789x =、、、、 对称轴为01561.252x ==⨯，故当6x =时，总公司利润利润最大，故公司对一个地区连锁公司数量为6个. 【点睛】本题考查了相关系数的计算与应用，求线性回归方程，利润的理解与应用，二次函数的最值问题，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.20．已知圆()()22:40M x y a a +-=<与直线40x y ++=相离，Q 是直线40x y ++=上任意点，过Q 作圆M 的两条切线，切点为A ，B .（1）若AB =MQ ；（2）当点Q 到圆M 的距离最小值为2时，证明直线AB 过定点. 【答案】(1)4;(2)证明见解析.【解析】(1) 连接,AB QM 交于点C ，可求出BC =,63MBC QBC ππ∠=∠=，在直角三角形中，可求出cos BCQB QBC==∠股定理可知MQ 的长度.(2)由距离最小值可知圆心到直线的距离为，结合点到直线的距离公式可求出圆心坐标，设(),4Q b b --，结合勾股定理可知222812QA b b =-+，从而可求出以Q 为圆心，QA 为半径的圆Q 的方程，联立圆M 与圆Q ，整理可得()2216568b y x y -+=+，令221601680y x y -+=⎧⎨+=⎩，即可求出定点的坐标.【详解】(1)解：连接,AB QM 交于点C ，由圆的性质可知AB QM ⊥，且12BC AB == 因为()()22:40M x y a a +-=<，所以其半径2r ，即2MB r ==，所以cos 2BC MBC BM ∠==，则,6263MBC QBC ππππ∠=∠=-=，所以cos cos 3BC QB QBC ===∠则4QM ===(2)解：过M 作直线40x y ++=的垂线，当垂足为Q 时，点Q 到圆M 的距离最小，则2QM r =+==8a =-或0(舍去)，所以()0,8M -，设(),4Q b b --，则()2222222422812QA QM MA b b b b =-=+--=-+， 则以Q 为圆心，QA 为半径的圆()()222:42812Q x b y b b b -+++=-+，则AB 是圆M 与圆Q 的公共弦，则联立得()()()222228442812x y x b y b b b ⎧++=⎪⎨-+++=-+⎪⎩ ， 两方程相减可得()2216568b y x y -+=+，令221601680y x y -+=⎧⎨+=⎩ ，解得62x y =⎧⎨=-⎩所以直线AB 过定点()6,2-.【点睛】本题考查了圆的切线问题，考查了两圆公共弦的求解，考查了点到直线的距离，考查了圆的标准方程.21．已知函数()3222f x x ax a x =-+.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若0a <，记()f x 的极小值为()g a ，证明：()()219a g a +<.【答案】（1）当0a =时，单调递增；当0a >时，递增区间为(,),(,)3aa -∞+∞，递减区间(,)3a a ；当0a <时，递增区间(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3aa ； （2）证明见解析.【解析】（1）求得函数的导数()3()()3af x x a x '=--，分类讨论，即可求解函数的单调区间；（2）由（1）可知，取得()3427a g a =，把()2(1)9a g a +<，转化为3243630a a a ---<，设()23,04363x h x x x x ---<=，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()3222f x x ax a x =-+，则()2234()(3)3()()3a f x x ax a x a x a x a x '=-+=--=--，①当0a =时，()230f x x '=≥，此时函数()f x 单调递增；②当0a >时，令()0f x '>，即()()03a x a x -->，解得3ax <或x a >， 令()0f x '<，即()()03ax a x --<，解得3<<ax a ， 所以函数()f x 在(,),(,)3aa -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减；③当0a <时，令()0f x '>，即()()03a x a x -->，解得x a <或3ax >，令()0f x '<，即()()03a x a x --<，解得3a a x <<， 所以函数()f x 在(,),(,)3aa -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减， 综上可得：当0a =时，函数()f x 单调递增；当0a >时，函数()f x 递增区间为(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3a a ；当0a <时，函数()f x 递增区间(,),(,)3a a -∞+∞，递减区间(,)3a a . （2）由（1）可知，当0a <时，()f x 在(,),(,)3a a -∞+∞单调递增，在(,)3a a 上单调递减，所以当3ax =时，函数()f x 取得极小值， 极小值为()33224()()2()333327a a a a a g a f a a ==-⨯+⨯=，要证：()2(1)9a g a +<，只需证：32(1794)2a a +<，只需证：323()41a a <+， 即3243630a a a ---<，设()23,04363x h x x x x ---<=，则()2666(1112)(2)x h x x x x --=-+'=，令()0h x '>，即(1)(21)0x x -+>，解得21x <-或1x >， 令()0h x '<，即(1)(21)0x x -+<，解得112x -<<， 所以函数()h x 在区间1(,0)2-上单调递减，在区间1(,)2-∞-上单调递增，所以当12x =-时，()h x 取得最大值，最大值为15()024h -=-<，即当0x <时，()0h x <，即3243630a a a ---<，所以()2(1)9a g a +<. 【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．22．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4sin 2cos 3ρθρθ-=.（1）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）若过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭的直线m 垂直于l ，求直线m 截曲线C 所得的弦长.【答案】（1）C ：2212y x +=，l ：2430x y -+=；（2）3【解析】（1）消去参数θ后可得C 的普通方程，根据极坐标公式可求得直线l 的直角坐标方程.（2）先求得直线m 的方程，再与C 联立，根据弦长公式求得弦长. 【详解】（1）由曲线C的参数方程为cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩可得2212y x +=.故曲线C 的普通方程为2212y x +=.因为直线l 的极坐标方程为4sin 2cos 3ρθρθ-=，则423y x -=， 所以l 的直角坐标方程为2430x y -+=. （2）由（1）12l k =，则2m k =-，又过点1,12⎛⎫⎪⎝⎭，则1:12()2m y x -=--，即:22m y x =-+，又曲线C ：2212y x +=，设l 与C 交于1122(,),(,)P x y Q x y ，则222212y x y x =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得23410x x -+=，得113x =，21x =，则21||||3PQ x x =-=. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线与曲线相交弦长问题，还考查了学生的运算能力，属于中档题. 23．已知函数()14f x x x =-+-，()g x x m =+. （1）若2m =，解不等式()()f x g x <；（2）若不等式()()f x g x <的解集非空，求m 的取值范围. 【答案】（1）(1,7)，（2）1m >-.【解析】（1）对x 分3种情况讨论去绝对值，可解得结果；（2）不等式()()f x g x <的解集非空，化为|1||4|x x x m -+--<有解，然后分类讨论求出|1||4|x x x -+--的最小值，再根据不等式有解可得结果. 【详解】（1）若2m =时，()()f x g x <化为|1||4|2x x x -+-<+， 当1x ≤时，化为142x x x -+-<+，此时不等式无解； 当14x <<时，化为142x x x -+-<+，解得14x <<； 当4x ≥时，化为142x x x -+-<+，解得47x ≤<. 所以原不等式的解集为(1,7).（2）不等式()()f x g x <的解集非空，化为|1||4|x x x m -+--<有解， 当1x ≤时，|1||4|x x x -+--1453x x x x =-+--=-[2,)∈+∞， 当14x <<时，|1||4|x x x -+--14x x x =-+--3x =-(1,2)∈-； 当4x ≥时，|1||4|x x x -+--145x x x x =-+--=-[1,)∈-+∞， 所以|1||4|x x x -+--[1,)∈-+∞，因为|1||4|x x x m -+--<有解，所以1m >-. 【点睛】本题考查了分类讨论法解绝对值不等式，属于基础题.。

2020届全国1卷百校联考高考冲刺金卷文科数学试卷含答案

2020届全国1卷百校联考高考冲刺金卷文科数学试卷含答案

2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国I 卷·文数(一)注意事项：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第I 卷(非选择题)两部分。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。

3.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.本试卷满分150分，测试时间120分钟。

5.考试范围：高考全部内容。

第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)已知集合A ＝{x|4x 2－3x ≤0}，B ＝{x|y 21x -，则A ∩B ＝(A)[0，34] (B)∅ (C)[0，12] (D) [12，34] (2)设复数4273i z i-=-，则复数z 的虚部为 (A)1729- (B)1729 (C)－129 (D)129 (3)为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A 学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为(A)简单随机抽样 (B)系统抽样 (C)分层抽样 (D)不能确定(4)若双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>13，则双曲线C 的渐近线方程为 A.2y x = B.2y x = C.23y x =± D.32y x =± (5)执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n<2019，则输出A 的值为(A)12(B)2 (C)－1 (D)－2(6)《九章算术(卷第五)·商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”。

译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少?”则该几何体的容积为(注：1丈＝10尺。

)(A)45000立方尺(B)52000立方尺(C)63000立方尺(D)72000立方尺(7)记单调递减的等比数列{an}的前n项和为S。

百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(一)数学(文)试题(PDF版,含解析)

百校联考2020年高考考前冲刺必刷卷(一)数学(文)试题(PDF版,含解析)
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2020届百校联考高考百日冲刺全国I卷文科数学试题一
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|4x2﹣3x≤0}，B＝{x|y＝}，则A∩B＝（）A．[0，]B．∅C．[0，]D．[，]
2．（5分）设复数，则复数z的虚部为（）
A．B．C．D．
3．（5分）为了调查某地区不同年龄、不同等级的教师的工资情况，研究人员在A学校进行抽样调查，则比较合适的抽样方法为（）
A．简单随机抽样B．系统抽样
C．分层抽样D．不能确定
4．（5分）若双曲线的离心率为，则双曲线C的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
5．（5分）执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件为n＜2019，则输出A的值为（）
A．B．2C．﹣1D．﹣2
6．（5分）《九章算术（卷第五）•商功》中有如下问题：“今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺，问积几何”．译文为：“今有上下底面皆为长方形的墓坑，上底宽2丈，长7丈；下底宽8尺，长4丈，深6丈5尺，问它的容积量是多少？”则
该几何体的容积为（）（注：1丈＝10尺．）
A．45000立方尺B．52000立方尺
C．63000立方尺D．72000立方尺
7．（5分）记单调递减的等比数列{a n}的前n项和为S n，且，若，则数列{a n}的公比为（）
A．B．C．D．
8．（5分）图中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A．B．
C．D．
9．（5分）设函数f（x）＝e|x|﹣5cos x﹣x2，则函数f（x）的图象大致为（）A．B．
C．D．
10．（5分）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到其准线l的距离为2，点A，B在抛物线C上，且A，B，F三点共线，作BE⊥l，垂足为E，若直线EF的斜率为4，则|AF|＝（）
A．B．C．D．
11．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，且a4+a6＝18，S11＝121．若3a2，a14，S m成等比数列，则a m＝（）
A．13B．15C．17D．19
12．（5分）已知a＝sin，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．b＜a＜c
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．（5分）已知向量，若，则实数λ的值为．14．（5分）已知首项为1的数列{a n}满足a n+1＝5a n﹣9，则数列{a n}的通项公式为a n ＝．
15．（5分）已知函数，则函数f（x）在上的取值范围为．
16．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣6x2+11x﹣3，若直线l与曲线y＝f（x）交于M，N，P三点，且|MN|＝|NP|，则点N的坐标为．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）在△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，BC＝，M是线段AC上的一点，且tan∠AMB＝﹣2．
（Ⅰ）求AM的长度；
（Ⅱ）求△BCM的面积．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，BC⊥PD，AB＝2BC ＝2CD＝2．
（1）在线段AB上作出一点E，使得BC∥平面PDE，并说明理由；
（2）若P A＝AD，∠PDA＝60°，求点B到平面P AD的距离．
19．（12分）为了响应绿色出行，某市推出了一款新能源租赁汽车，并对该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度进行调查，具体数据如表1所示：
愿意使用新能源租赁
汽车不愿意使用新能源租
赁汽车
总计
男性8001000
女性600
总计1200
相关研究人员还调查了某一辆新能源租赁汽车一个月内的使用时间情况，统计如表2所示：
时间t（分钟）（20，30]（30，40]（40，50]（50，60]频数150********根据上述事实，研究人员针对租赁的价格作出如下调整，该价格分为两部分：
①根据行驶里程数按1元/公里计费；
②行驶时间不超过45分钟，按0.12元/分计费；超过45分钟，超出部分按0.20元/分计
费．
（1）是否有99.9%的把握认为该市市民对这款新能源租赁汽车的使用态度与性别有关；
（2）根据表（2）中的数据求该辆汽车一个月内的平均使用时间；
（3）若小明的住宅距离公司20公里，且每天驾驶新能源租赁汽车到公司的时间在30～60分钟之间，若小明利用滴滴打车到达公司需要27元，讨论：小明使用滴滴打车上班还是驾驶新能源租赁汽车上班更加合算．
附：
P（K2≥k）0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828 20．（12分）已知△PF1F2中，F1（﹣1，0），F2（1，0），|PF1|＝4，点Q在线段PF1上，且|PQ|＝|QF2|．
（Ⅰ）求点Q的轨迹E的方程；
（Ⅱ）若点M，N在曲线E上，且M，N，F1三点共线，求△F2MN面积的最大值．21．（12分）已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在（e，f（e））处的切线方程；
（2）已知函数g（x）＝f（x）+ax（1﹣lnx）存在极大值和极小值，且极大值和极小值分
别为M，N，若M＝g（1），N＝h（a），求h（a）的最大值．
请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），点M是曲线C上的任意一点，将点M绕原点O逆时针旋转90°得到点N．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（Ⅰ）求点N的轨迹C'的极坐标方程；
（Ⅱ）若曲线y＝﹣x（y＞0）与曲线C，C'分别交于点A，B，点D（﹣6，0），求△ABD的面积．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|3x+5|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞8的解集；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）+m≤2x2+|3x+5|在R上恒成立，求实数m的取值范围．。

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