K2.14-离散系统稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据
线性离散系统的稳定性判据(1) 修正劳斯—胡尔维茨稳定判据连续系统的劳斯—胡尔维茨稳定判据，是通过系统特征方程的系数及其符号来判断系统的稳定性。
这个方法实际上仍是判断特征方程的根是否都在s平面的左半部。
然而，在离散系统中，判断系统的稳定性，是判断系统特征方程的根是否全在z平面的单位圆内。
因此，离散系统不能直接应用劳斯—胡尔维茨判据来分析稳定性。
从理论上分析，利用关系式z=eTs，可以将z为变量的特征方程转换为以s为变量的特征方程。
但因为s在指数中，代换运算不方便。
为此，必须引入另一种线性变换。
将z平面单位圆内区域映射为另一平面上的左半部。
这样，就可以应用劳斯—胡尔维茨稳定判据来判断离散系统的稳定性。
为此，可采用双线性变换方法开展判断。
双线性变换Ⅰ：（1）式中w是复变量，由上式解得（2）或采用双线性变换Ⅱ：（3）或写成（4）此时（5）双线性变换Ⅱ与双线性变换Ⅰ一样，可以将z平面的单位圆变换成w平面的虚轴。
令w平面的虚轴为，则w平面的左半平面为稳定区域，为w平面的频率，且由上式可知其中为s平面的频率。
此时，s平面、z平面以及w平面的关系为图1 s平面、z平面及w平面映射关系当较小时有（6）即w平面的频率近似于s平面的频率。
这是采用双线性变换Ⅱ的优点之一。
另外，双线性变换Ⅱ也与下一章的双线性变换一致，故建议使用双线性变换Ⅱ。
通过z-w变换，就可以应用劳斯—胡尔维茨判据分析线性离散系统的稳定性。
胡尔维茨判据：由系统特征方程各系数组成的主行列式及其顺序主子式全部为正。
该方法随着系统阶数的增加，计算会变得复杂。
此时可以采用下面劳斯判据。
劳斯判据的要点是：①对于特征方程，若系数的符号不一样，则系统不稳定。
若系数符号一样，建立劳斯行列表。
②建立劳斯列表③若劳斯行列表第一列各元素严格为正，则所有特征根均分布在左半平面，系统稳定。
④若劳斯行列表第一列出现负数，系统不稳定。
且第一列元素符号变化的次数，即右半平面上特征根个数。
系统的稳定性和代数稳定判据
系统的稳定性和代数稳定判据系统的稳定性和代数稳定判据系统稳的定和代性稳数定判据系统的稳定性和代数稳定判据稳定性的本概基一、念统系稳定的性如一个果性定线常统在扰系作用消动后，失如一个果性定常线统系在扰作动用失消，能后恢够到复始的原衡状平态，能够复恢到始的平原衡态状，系即的零统输响入应是收的，则称敛统系是定的。
稳应收敛是的则，称统是系定的。
反之稳，若统不能恢系复到始的平原衡状，态反之若系，统能不复到原恢的平始衡态状，即系的零统入响应具输有幅震荡或等发性散，质即系统的零入输响具应等幅有荡或震发性质，散则称统是不稳系的。
定则称系统不是稳定的。
系统的稳定性和代数稳定判据二、线性统稳定系的充条件要设闭环系统的传函数C(s)递bmsm+m1bsm1 + +bs +b B(s)0 Φ1s( ) = = = nn 1(R) ans s+ n1sa++ a1 + as0D s()(m ≤ n )令p 系为特征统程) 方0= (Ds ,, , (i =i 12 n)而R( ) =s1 彼此等不干扰为理。
脉冲函数想：C ()s=k的根,B( ) s(Bs) R( s) =D( )s D (s)则αr js +β cji =∑ ∑ j +=1 (sσ j+j ωj ) (σs j jω j ) =i1 s pi[][]k+ 2 r=n ct() = ∑ i cei =1kpi t ∑+ej=1 rσ jt( A joc ωs j t+ B j s n i ω jt )(t≥ )0系统的稳定性和代数稳定判据式上明表：式表明上：1 当且。
仅系统当的征特根全具有负部部(和实均小。
当于且当系仅统特的征全部具有根实负部(),即征特的位根分布置在面平左半的时部，即征特根的置分布在S平面位的半左部时),零即特征根位置的分在布平的左面半时，才能成部此系时在扰动统消后能失恢复原来的平衡到态，状立此时，系统在扰消动失后能复到恢来的原衡状平态，系则统是稳的定统。
K2.14 离散系统稳定性判别
特例：对二阶系统：A(z)=a2z2+a1z+a0，易得
A(1)>0, A(-1)>0, a2>|a0|
6
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离散系统稳定性判据 例2 已知：A(z)=4z4-4z3+2z-1，判断系统稳定性。
解：
A(1)=1>0 (-1)4A(-1)=5>0
an-1 a1 cn-2 c1 dn-3 d1
第2n-3行 r2 r1
an-2 …… a2 a1 a0 a 2 …… an-2 an-1 an cn-3 …… c1 c0 c2 …… cn-2 cn-1 dn-4 …… d0 d2 …… dn-2
r0
5
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z2 (z 1)
(z 1)(z 0.4)(z 0.6)
Y (z) 2.08z 0.93z 0.15z z 1 z 1 z 0.4 z 0.6
g(k) 2.08 0.93(0.4)k 0.15(0.6)k (k)
4
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(2) H(z) 极点是0.4和-0.6，在单位圆内，故系统稳定。
(3) 将H(z)/z进行部分分式展开，得到
H (z) 1.4z 0.4z z 0.6 z 0.4 z 0.6
h(k ) 1.4(0.4)k 0.4(0.6)k (k )
(4) 求阶跃响应
Y(z) F(z)H(z)
(1) 离散系统稳定的时域充要条件： | h (k ) | k
离散系统Z变换分析法02
3.闭环 Z 传递函数的结构图1
闭环 Z 传递函数的结构图2
2.5.4 过渡过程特性
与连续系统用传递函数分析过渡过程类 似，可以用 Z传递函数来分析离散系统的过 渡过程特性。 • 分析离散系统的过渡过程特性的步骤： • • 1）Y（Z）=GC（Z）R（Z）
•
•
2）由Y(Z)求出y(kT)
例题12 例题12
2. 开环 Z 传递函数 • 线件离散系统的开环 Z传递函数 跟连续系统的开环传递函数具有类似 的特性。
串联环节的Z传递函数
例题9
z az , G2 ( z ) = , 设图2 − 10 a）中G1 ( z ) = （ − aT z −1 z −e 试求开环Z传递函数G ( z )。 z az 解：G ( z ) = G1 ( z )G2 ( z ) = z − 1 z − e − aT az 2 = ( z − 1)( z − e − aT )
（1）离散系统稳定的充要条件（时域） 设：系统差分方程
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = b0 r (k ) + b1r (k − 1) + L + b0 r (k − m)
系统齐次方程
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
c(k ) + a1c(k − 1) + a2 c(k − 2) + L + an c(k − n) = 0
−1 −1 −Ts
1 1 )( − )] s s+a
= 1(t ) − 1(t − T ) − e − at + e − a ( t −T ) 对y (t )采样，离散化后，得 y (kT ) = 1(kT ) − 1(kT − T ) − e −akT + e − a ( kT −T ) 则 HG ( z ) = Z [ y (kT )] z 1 z 1 1 − e − aT = − − − = − aT − aT z −1 z −1 z − e z−e z − e −aT
第五节系统的稳定性和代数稳定判据
yδ (t ) = 0 ， − p j 和 −ζ k ωk 应为负实数。 要使 lim t →∞
其单位脉冲响应函数为：
Yδ ( s ) = Φ ( s ) ⋅1 = ∑
j =1 n1
线性定常系统稳定的充要条件：
Aj +∑ Bk ( s + ζ k ωk ) + Ck ωk 1 − ζ k2 s 2 + 2ζ k ωk s + ωk2 k =1
Monday, October 14, 2013
2
定义1：对于线性定常系统，在零初始条件下，当t→∞时，系 统的单位脉冲响应为零，即
lim yδ (t ) = 0
t →∞
设系统或元件的微分方程为：
y ( n ) (t ) + an −1 y ( n −1) (t ) + ... + a0 y (t ) = bm x ( m ) (t ) + bm −1 x ( m −1) (t ) + ... + b0 x (t )
0≤ t < ∞ 0≤ t < ∞
式中：x(t)—输入，y(t)—输出 ai , (i = 0 ~ n − 1); b j , j = 0 ~ m ) 为常系数。将上式求拉氏变化，得
(sn + an−1sn−1 + ... + a1s + a0 )Y (s) = (bm sm + bm−1sm−1 + ... + b1s + b0 ) X (s)
k =1 k =1
Monday, October 14, 2013
t≥0
5
Monday, October 14, 2013
离散系统的稳定性分析
I实验名称：离散糸统的稳定性分析一、 目的要求1 •掌握香农定理，了解信号的采样保持与采样周期的关系2 •掌握采样周期对采样系统的稳定性影响。
二、 原理简述 1.信号的采样保持:电路图：连续信号x(t)经采样器采样后变为离散信号x*(t)，香农(Shannon)采样定理指 出，离散信号x*(t)可以完满地复原为连续信号条件为：3 s >2® max系姓名 预定时 间____________ 专业 ________________ ____________ 学号 ________________ 实验时2014-5-27 2014-5-27____________ 间 _________________班授课老师 ________________________ 实验台号I n I® = -------式中3 S为米样角频率，且',(T为米样周期),3 max为连续信号x (t)的幅频谱| x (j CD 的上限频率T s 若连续信号x (t)是角频率为D S = 22.5的正弦波，它经采样后变为x*(t)，则25（1-尹） ,1 _ 12 占[(2厂一1+訂巧二+ (1—訂「一 27＞力)]0-1)匕-严)闭环脉冲传递函数为：C ⑵12.5[(2厂-l + d + (l -严—22)]丽'一 X 匚(25丁二 13.5 — 11.牝引)二十(12.5 — 11.5邑血—25T 严) 闭环采样系统的特征方程式为：z 2 +(25T-13.5 1 L5e _2r )z+ Q2.5-11 .Se'3r -25Te^T ) = 0特征方程式的根与采样周期T 有关，若特征根的模均小于1,则系统稳定，若有 一个特征根的模大于1,则系统不稳定，因此系统的稳定性与采样周期 T 的大小 有关。
仪器设备PC 机一台，TD-ACC+ (或TD-ACS )教学实验系统一套。
系统的稳定性常见判据
例4
(4s 1) G(s)H (s) s2(s 1)(2s 1)
P=1
P=0
稳定
1 22
G( j)H( j)
10.6
1/ 2 2
不稳定
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例1 P=0
G(s)H(s)
K
(T1s 1)(T2 s 1)
不论K取任何正值，系统总是稳定的
2. 不稳定现象的存在是由于反馈作用 3. 稳定性是指自由响应的收敛性
定义：
无输入时的初态
系统在初始状态作用下
输入引起的初态
输出
收敛（回复平衡位置）
（响应） 发散（偏离越来越大）
系统稳定 系统不稳定
2. 系统稳定条件
线性定常系统：
anxo(n) (t )
an
1
x ( n1) o
(
t
)
a1
x o(
➢ 减小K值，使G(j)H(j)减小，曲线①有可能因模减小， 相位不变，而不包围(－1，j0），因而系统趋于稳定。
➢ 若K不变，亦可增加导前环节的时间常数T4、T5使相位减 小，曲线①变成曲线②。由于曲线②不包围点(－1，j0),故 系统稳定。
三、Nyquist 稳定判据
7. 应用举例
例4
G(s)H(s)
sn
an1 an
sn1 a1 an
s
a0 an
(s s1 )( s s2 )(s sn )
s1,s2,…,sn：特征根
n
n
n
因为
(s s1 )( s s2 )(s sn ) sn ( si )sn1 ( si s j )sn2 (1)n si
第七节 离散系统的稳定性分析
22 可以看出主频段的面积影射成单位圆内，
而且任一次频段包围面积也影射为同一单 位圆，说明Z与S平面间的影射不是一一对 应，S中一点对应Z面中一点，但Z中一点对 应S平面中多个点。
例一：
轧钢机压下位置控制系统速度， T u 控制系
统等效时间常数，T u 100ms , 采样周期取为
系统稳定性。
一 稳定条件及S，E平面对应关 系
Z eTS eT ( j )
j 2
eT e jT eT e s ,s采样频率, 则，Z eT , T
连续系统中，闭环传递函数极点均位于s平面
的左半平面( 0)时，系统稳定，由此可以对
应出Z，S平面稳定区域之间的映射关系。
S平面
0 系统稳定
T=100ms,开环增益K=10
U（S）
K
S (T u S 1)
Y（S）
分析系统的稳定性
开环脉冲传递函数
G（Z）
Z
K
S（T u
S
1 ）
KZ
1
Tu
S T u S 1
K
Z Z 1
Z
Z
e
T
T
u
T
KZ（1 e T u）
T
(z 1)(z e T u )
0.632KZ (Z 1)(Z 0.368)
概念介绍（反映系统动态品质） 一.等频线（等 线） 在S平面上，等频线是一条平行于实轴的直
线，频率 恒定
Z eTS eT *e jT
J s
S2 S 4
z
S
4
s
T
2
对应到Z平面上，映射成了从原点出发向外 辐射的一条直线，与实轴夹角T 2
系统稳定性判别方法
2、当开环传递函数 G s 在s复数平面的虚轴上存在极点或零点时
当遇到位于虚轴上G s 的极点 图中用×表示 时,要用半径很小 的半圆从右侧绕过，Z=P-2N
带有延迟环节时的系统稳定，
幅频特性
Gk(s)G1(s)es
|G K (j)| |G 1(j)|
相频特性 G k(j) G 1(j)
优点：1、开环频率响应容易通过计算或实验途径定出,所以它在 应用上非常方便和直观，
开环传递函数： G KsGsHs
特征方程：Fs1G sHs
若
G
B
G sK sGsHsF s M Nss
GK s
零零则点点Fs极 点1G sH 零s 点M 极sN 点 sN s零零点点 极点
相同
相同
G Bs1G G ssH sM M ss N N ss
作图方法： 1、写出幅频特性|G jω |和相频特性 G jω 表达式， 2、求出ω=0和ω→∞时的G jω ， 3、求乃氏图与实轴虚轴的交点， 4、必要时画几点中间的,并勾勒大致曲线
2、能解决代数稳定判据不能解决的比如含延迟环节的系 统稳定性问题，
3、能定量指出系统的稳定储备,即系统的相对稳定性定量 指标,进一步提高和改善系统动态性能，
由伯德图判断系统的稳定性
与乃奎斯特稳定性判据类似,该方法是利用开环系统的伯德图来 判别系统的稳定性,同样也是能够用实验来获得,因此也得到广泛 的应用，
等s于0 在w1右半平面若上第根一的列个系数数，有负数,则第一列系数符号的改变次数
优点：不必求解方程,方便系统的稳定性的判断，不但可以判别绝 对稳定性还可以判别相对稳定性，
应用领域：分析系统参数对稳定性的影响，
赫尔维兹稳定性判据 先依据特征方程写出Δ
K2.14-离散系统稳定性判据
圆，则系统为稳定系统。
若LTI离散因果系统稳定，要求其系统函数H(z)的极
点全部在单位圆内。
2
离散系统稳定性判据
例1 某离散系统的差分方程为 y(k) 0.2y(k 1) 0.24y(k 2) f (k) f (k 1)
a2 an2
…
一直到第2n-3行，该行有3个元素。
朱里准则指出:
A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是:
(1) A(1)>0
(2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0| 对奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例：对二阶系统：A(z)=a2z2+a1z+a0，易得 A(1)>0, A(-1)>0, a2>|a0|
H(z)
B(z) A(z)
bmzm an zn
bm1zm1 b0 an1zn1 a0
要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。
朱里列表：
第1行 an 第2行 a0 第3行 cn-1 第4行 c0 第5行 dn-2 第6行 d0 ……
an-1 a1 cn-2 c1 dn-3 d1
第2n-3行 r2 r1
6
离散系统稳定性判据 例2 已知：A(z)=4z4-4z3+2z-1，判断系统稳定性。
解：
A(1)=1>0 (-1)4A(-1)=5>0
朱里列表：
4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209 -210 56
系统的稳定性和代数稳定判据
4
3.5 系统的稳定性和代数稳定判据
稳定的充要条件和属性
前面讨论的当外作用消失后，如果经过足够长的时间它能回复到 原来的起始平衡状态可看作第二项经过足够长的时间变为零。
系数取决于初始条件的多项式 系数取决于初始条件的多项式
Y2(s)
sn an1sn1 ... a1s a0
n1
n2
(s p j ) (s2 2 kk k2 )
Y (s)
bmsm bm1sm1 ... b1s b0 sn an1sn1 ... a1s a0
X (s)
系数取决于初始条件的多项式 sn an1sn1 ... a1s a0
y(t) y1(t) y2(t)
上式右边第一项为零状态解，对应与由输入引起的响应过程。
第二项为零输入解，对应于由初始状态引起的响应过程。
由特征方程系数组成的劳思阵的第一列也为正。
sn an
an2 an4 ...
sn1 an1 an3 an5 ...
j1
k 1
n1
aj
j1 s p j
n2 k 1
bk (s
kk ) ckk 1 k 2 s2 2 kk s k2
时域表达式为：
n1
n2
n2
y2(t)
a jepjt
bkekkt cosk
1
2 k
t
ckekkt sink
j1
k 1
k 1
线性定常系统稳定的充要条件：
1
2 k
t
式中：x(t)—输入，y(t)—输出 ai ,(i 0 ~ n 1);bj , j 0 ~ m) 为常系数。将上式求拉氏变化，得(初始值不全为零）
(sn an1sn1 ... a1s a0 )Y (s) (bmsm bm1sm1 ... b1s b0 ) X (s)
离散力学系统的稳定性判定与优化
离散力学系统的稳定性判定与优化离散力学系统是一类重要的力学系统，它由一系列离散的质点或刚体组成，通过相互作用力而产生运动。
在实际应用中，我们常常需要对离散力学系统进行稳定性判定和优化，以确保系统的可靠性和效率。
一、稳定性判定在离散力学系统中，稳定性判定是指系统在给定条件下是否能保持平衡或者稳定运动的能力。
稳定性判定的方法有很多种，其中一种常用的方法是通过线性化系统方程来进行判断。
线性化是一种常用的数学方法，它将非线性系统方程在某一点附近进行近似，得到线性化的系统方程。
通过求解线性化系统方程的特征值，可以判断系统的稳定性。
特征值的实部大于零，则系统不稳定；特征值的实部小于零，则系统稳定；特征值的实部等于零，则需要进一步分析。
除了线性化方法外，还有一些其他的稳定性判定方法，如李雅普诺夫稳定性判据和拉普拉斯变换法等。
这些方法各有特点，可以根据具体问题选择适合的方法进行稳定性判定。
二、优化方法离散力学系统的优化是指通过调整系统的参数或结构，使得系统在给定的性能指标下达到最优状态。
离散力学系统的优化问题可以分为单目标优化和多目标优化两种情况。
在单目标优化中，我们需要确定一个性能指标，如系统的能量消耗最小或者系统的振动幅度最小等。
通过建立数学模型，可以利用数值优化方法，如梯度下降法和遗传算法等，求解优化问题的最优解。
而在多目标优化中，我们需要考虑多个性能指标的综合效果。
多目标优化问题的解决方法有很多种，如加权和法、Pareto最优解法等。
这些方法可以帮助我们找到系统在多个性能指标下的最优解。
除了数值优化方法外，还有一些启发式算法，如模拟退火算法和粒子群算法等，可以用于求解离散力学系统的优化问题。
这些算法通过模拟自然界的某些行为，如退火过程和鸟群飞行等，来搜索最优解。
综上所述，离散力学系统的稳定性判定和优化是一个重要的研究领域。
通过合适的稳定性判定方法，可以判断系统的稳定性，并采取相应的措施进行修正。
而通过优化方法，可以使系统在给定的性能指标下达到最优状态。
计算机控制技术13离散系统的能控(观测)性及稳定性
1）对角线标准型：特征值互异时，H中不包含元素全为0的行； 重特征根时，一定不可控。
2）约当标准型：H中与每个约当小块首行所对应的行，其元素 不全为零。2个推论（SI系统必不可控；MI系统，同一特征值 对应的约当块最后一行所对应H中的行，行线性无关则可控）
4、能达、能控性判别准则三（Z域分析法） 定理：对于n阶线性定常离散系统，其状态完全能控且能 观测的充分必要条件是：以下的Z传递函数或Z传递矩阵的 分子分母间没有零、极点对消。
端状态的控制序列是否存在，不涉及具体转移几步。 2）对于n阶SI定常系统，若在第n步上不能将初始状态（零
态）转移到零态（任意终端状态），则在n+1及以后的任 何一步都不能转移。
[例]：系统的状态方程如下，试判定系统的状态能达性和能控性。
x1(k 1) 1 0 0 x1(k) 1
且系统的李亚普诺夫函数是：V x(k) xT (k)Px(k)
推导：
对于线性离散时间系统, V x(k)的导数用V x(k)代替，则有：
V x(k) V x(k 1)V x(k)
xT (k 1)Px(k 1) xT (k)Px(k)
Gx(k)T PGx(k) xT (k)Px(k)
x
2
(
k
1)
0
2
2
x2
(k
)
0
u(k
)
x3 (k 1) 1 1 0 x3(k) 1
2019/9/1
7
[解]： 首先构造能控判别阵：
1 H 0,
1
1 0 0 1 1
2 1
0 2
系统的稳定性判据以及判据讲课文档
第43页，共44页。
s
第 四 节 系 统 的 相 对 稳 定 性
第44页，共44页。
ZP2N
若Z=0，则闭环系统稳定，
则闭环系统不稳定
Z 0 Z为闭环特征方程正实部根的个数。
第27页，共44页。
例：如图5-17所示的四种开环Bode曲线，试用Nyquist稳定性判 据, 判断系统的稳定性。
已知P=0，在L(ω)≥0的范围内，
N 1 N 1 NNN0
ZP2N0
闭环系统稳定 。
第28页，共44页。
系统闭环不稳定。
1/T
0
1 0
0 0 0
180
第26页，共44页。
Bode图上的稳定性判据可定义为
一个反馈控制系统, 其闭环特征方程正实部根的个数 为Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点的个数P和 开环对数幅频特性大于0dB的所有频率范围内，对数相
频曲线与-π线的正负穿越之差N = N+-N-来确定, 即
s
N=0 P=1 Z=P-2N=1 闭环系统有1个右半平面 的特征根
第12页，共44页。
具有单位反馈的非最小相位系统
G(s)K/T ( s1)
试分析闭环系统的稳定性。
P=? N=?
右半侧极点数为1 P=1
逆时针绕（-1，j0）圈 数与K有关
j Im
解：（1）绘制奈氏曲线
G (j)K/(jT 1)K1jT 1T22
已知P=1 ，在L(ω)≥0时
相频曲线有一次从负到正穿越π线
N 1/2
ZP2N0
闭环系统稳定 。
第29页，共44页。
已知P=2, 在L(ω)≥0的范围 内,
N 2 N 1
N N N 2 1 1
离散系统稳定性判据
§ 5、4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1、 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L (5、17)称=e Ax 0的e x 为(5、17)的平衡状态(点)、 当A 奇异时, 有无数个平衡状态、 2、 平衡状态(点)的稳定性(1)稳定:∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有-<≥e x k x k (),0ε;(2)渐近稳定:∃>0δ,使当-<e x x 0δ时,有→∞-=e k x k x lim ()0;(3)全局渐近稳定:任意∈nx 0R ,都有→∞-=e k x k x lim ()0;(4)不稳定:∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使->e x k x 10()ε对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定、 3、稳定性判别对定常系统(1)()x k Ax k +=若0e x =稳定(渐近稳定),则其它e x 也稳定(渐近稳定);若0e x =渐近稳定,则e x 必为一致全局渐近稳定; 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5、17)的解==kx k A x k 0(),0,1,2,L则渐近稳定⇔→∞→∞-==kk k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),⇔→∞=k k A lim 0⇔-→∞=k k TJ T1lim 0⇔→∞=kk J lim 0⇔A 的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、其中J为A的若当形、如11......k kkkr r J JJJ J⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦且再如11221111001000000k k kkk kk k kkkC CJ Cλλλλλλλλλ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦⇔A的所有特征值的模全小于1⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、 例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλL , 则T , 使⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦kkk kk n n A T T T T 112-1-12λλλλλλOO由此可得→∞<=⇔==ki i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλL L→∞⇔=kk A lim 0、定理5、12 系统为(5、17)的稳定性判定如下: (i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,且模等于1的特征值对应的约当块就是一阶的; (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1、 对一般非线性系统+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,L (5、18)在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有定理5、13 对(5、18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满足(i) V x k (())为正定;(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定; (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((())、 则=e x 0全局渐近稳定的、 若无(iii), 则=e x 0就是渐近稳定的;再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅就是稳定的、 定理用于定常系统(5、17), 即得定理5、14 线性定常离散(5、17)的=e x 0为渐近稳定⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程-=-TA PA P Q有唯一正定解P 证只证充分性,即已有对∀Q > 0, -=-TA PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k kk V x x Px (), 则有+++=-=-T T k k k k k kk V x V x V x x Px x Px 111()()()∆=-=-T TT kk kk x A PA P x x Qx (),显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定、例5、6 设⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦a x k x kb 0(1)()0 试分析稳定的条件、解 选Q = I , 则有-=-TA PA P I , 即 -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211122122212200100001 整理且比较, 得,1)1(,0)1(,1)1(22212211=-=-=-b p ab p a p要P 为正定, 需满足<<a b ||1,||1, (5、19)解出===--p p p ab1112222211,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定、实质上:<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1、。
离散控制系统的稳定性分析方法
离散控制系统的稳定性分析方法离散控制系统是指系统状态的变化是以离散的方式进行的控制系统。
在实际工程中，我们经常需要对离散控制系统进行稳定性分析，以确保系统的可靠性和正常工作。
本文将介绍几种常用的离散控制系统的稳定性分析方法。
一、特征方程法特征方程法是离散控制系统稳定性分析中使用最广泛的方法之一。
特征方程反映了离散系统的稳态响应特性。
对于一个线性离散控制系统，其特征方程可以通过以下公式表示：G(z) = N(z)/D(z)其中，N(z)和D(z)分别是分子和分母多项式。
为了分析系统的稳定性，我们需要求解特征方程的根。
通常情况下，离散系统稳定的充要条件是特征方程的所有根的模都小于1。
二、相位平面法相位平面法是另一种常用的离散控制系统稳定性分析方法。
通过绘制系统的相位平面图，我们可以直观地了解系统的稳定性。
相位平面图以根轨迹的形式表示，根轨迹是特征方程的根随着参数的改变而移动的轨迹。
相位平面图的绘制过程可以通过以下步骤完成：1. 根据特征方程，将根轨迹的初始点和终点确定在单位圆上；2. 根据特征方程的根的个数，确定根轨迹的曲线走向；3. 绘制根轨迹，并观察根轨迹与单位圆的交点。
通过相位平面法，我们可以直观地判断系统的稳定性。
当根轨迹上的点都位于单位圆内部时，系统为稳定。
而当根轨迹上的点位于单位圆外部时，系统为不稳定。
三、频域法频域法是利用频率响应函数来分析系统稳定性的方法。
频率响应函数是指在系统输入为正弦信号时，输出的幅值和相位与输入频率之间的关系。
常用的频域法包括傅里叶变换法、拉普拉斯变换法等。
在频域法中，我们可以通过绘制系统的频率响应曲线来分析系统的稳定性。
通常情况下，稳定的离散控制系统的频率响应曲线在低频段有较大的增益，而在高频段有较小的增益。
综上所述，离散控制系统的稳定性分析方法包括特征方程法、相位平面法和频域法等。
不同的方法适用于不同的系统，我们可以根据实际需求选择合适的方法进行分析。
通过稳定性分析，我们可以确保离散控制系统的可靠性和正常运行。
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解：(1) 将差分方程两边取 z变换，得
Y (z) 0.2z1Y (z) 0.24z2Y (z) F (z) z1F (z)
H
(z)
Y (z) F(z)
1
1 0.2 z 1
H(z)
B(z) A(z)
bmzm an zn
bm1zm1 b0 an1zn1 a0
要判断A(z)=0的所有根的绝对值是否都小于1。
朱里列表：
第1行 an 第2行 a0 第3行 cn-1 第4行 c0 第5行 dn-2 第6行 d0 ……
an-1 a1 cn-2 c1 dn-3 d1
第2n-3行 r2 r1
6
离散系统稳定性判据 例2 已知：A(z)=4z4-4z3+2z-1，判断系统稳定性。
解：
A(1)=1>0 (-1)4A(-1)=5>0
朱里列表：
4 -4 0 2 -1 -1 2 0 -4 4 15 -14 0 4 4 0 -14 15 209 -210 56
根据朱里准则：4>1 ， 15>4 ， 209>56 所以系统稳定。
Y(z) F(z)H(z)
z2 (z 1)
ห้องสมุดไป่ตู้
(z 1)(z 0.4)(z 0.6)
Y (z) 2.08z 0.93z 0.15z z 1 z 1 z 0.4 z 0.6
g(k) 2.08 0.93(0.4)k 0.15(0.6)k (k)
离散系统稳定性判据
(3) 离散因果系统稳定性判定－－朱里准则
z 1 0.24z2
3
离散系统稳定性判据
(2) H(z) 极点是0.4和-0.6，在单位圆内，故系统稳定。
(3) 将H(z)/z进行部分分式展开，得到
H (z) 1.4z 0.4z z 0.6 z 0.4 z 0.6
h(k ) 1.4(0.4)k 0.4(0.6)k (k )
(4) 求阶跃响应
an-2 …… a2 a1 a0 a 2 …… an-2 an-1 an cn-3 …… c1 c0 c2 …… cn-2 cn-1 dn-4 …… d0 d2 …… dn-2
r0
5
离散系统稳定性判据
第3行按下列规则计算：
c n1
an a0
a0 an
cn2
an a0
a1 an1
c n3
an a0
a2 an2
…
一直到第2n-3行，该行有3个元素。
朱里准则指出:
A(z)=0的所有根都在单位圆内的充要条件是:
(1) A(1)>0
(2) (-1)nA(-1)>0
(3) an>|a0| cn-1>|c0| dn-2>|d0| …… r2>|r0| 对奇数行，其第1个元素必大于最后一个元素的绝对值。
特例：对二阶系统：A(z)=a2z2+a1z+a0，易得 A(1)>0, A(-1)>0, a2>|a0|
(2) 离散系统稳定性的Z域充要条件： 若LTI离散系统的系统函数H(z)的收敛域包含单位
圆，则系统为稳定系统。
若LTI离散因果系统稳定，要求其系统函数H(z)的极
点全部在单位圆内。
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离散系统稳定性判据
例1 某离散系统的差分方程为 y(k) 0.2y(k 1) 0.24y(k 2) f (k) f (k 1)
知识点K2.14
离散系统稳定性判据
离散系统稳定性判据
主要内容：
1.系统函数与系统特性 2.离散系统稳定性判据
基本要求：
1.掌握系统函数与系统特性 2.掌握离散系统稳定性判据
1
离散系统稳定性判据 K2.14 离散系统稳定性判据（因果系统）
(1) 离散系统稳定的时域充要条件： | h (k ) | k
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