Sturm-Liouville算子特征值与特征函数更精确的估计
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当势 函数 越 来 越 光 滑 时 ， 可将渐近式的表达式计算得更精 确． 但怎样 确定估计 式中的系数 ， 没 有 文 献 绐 出具 体 的 讨 论 ．
当ｑ （ 。） Ｅ Ｃ Ｅ ｏ ， ］ 及ｑ （ ）∈ Ｃ Ｅ ｏ ， ］时 ， 文献［ ４— ６ ］分 别 给 出 算 子 特 征 值 和 特 征 函数 的 渐 近 式 ． 笔 者 利用 迭 代 法 求 解 了 ｑ （ ）∈ Ｃ。 ［ Ｏ ， ］时 算 子 特 征 值 和 特 征 函数 的渐 近 展 开 式 ．
引理 １ Ｅ 记 — Ｓ ． 则
（ ｚ， Ａ ）一 ｃ 。 ｓ ５ ＋
５
ｓ ｉ ｎ ｓ ｚ ＋
Ｊ ｏ
ｓ ｉ ｎ （ Ｘ－ ／ ＂ ） ｑ （ ｒ ） （
。
） ｄ ｒ，
Ｉ ｊ ｆ ’ （ ｚ， Ａ ）一 了 １
ｓ ｚ ＋ ÷ 『 ＝ ｓ ｉ ｎ ｓ （ ９ ： ｍ Ｚ － ） ｑ （ ） （ ） ｄ ｒ ＿
√
Ｃ。十 Ｃ１ 十 ・ 一 ” 十 ‘ ．
．
。 。
［ ／ ２ ］
”２ Ｉ ａ／ ｒ ２ ］ ＋１
ｙ
２ ［ ｍ／ ２ ］ 十ｌ’
其 中 （ 。 一 ÷ （ ＋ Ｈ ＋ １ Ｉ － ｑ （ ｒ ） ｄ ｒ ） ， ｃ （ １ ≤ ≤ ［ ｍ ／ ２ ］ ） 是 与 ＾ 。 Ｈ ， ｑ （ ｚ ） 及 其 导 数 相 关 的 实 常 数 ．
里 ｃ 一 ＾ ＋ Ｈ 十 一 １ Ｓ ． ｑ （ ｒ ） 出 ， 一 ＋ ＋ 一 小 ＋
胁刚 ｒ 一 胁洲ｒ 一
＊
， ， 胁 捌ｒ ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ １—０ ７
基金项 目 ： 全 国化 工 高 职 公 共 课 教 学 指 导 委 员 会 教 科 研 课 题 （ ＨＧ Ｇ Ｊ １ ２ １ ３ ） 作者简介 ： 陈莉敏（ １ ９ ７ ７ 一 ） ， 女， 江苏扬州人 ， 常州工程职业技术学院基础部讲师 ， 硕士 ， 主 要 从 事 微 分 方 程 研 究
第 ３期
陈莉敏 ： Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算 子 特 征 值 与 特 征 函数 更 精 确 的估 计
１ ３
。 ： 一 ＾ Ｈ ຫໍສະໝຸດ Baidu
证 明 由 引理 ２ 递 推得
… ｓ
一 ｈ ＋ ｚ Ｈ ｆ ｌ ｑ （ ｒ ） ｄ ｒ － — ． ［ ￣） ｆ ｌ ｑ
ｌ 预 备 知 识
对于 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｉ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ特 征值 问题 Ｌ ｙ（ ）一 一 ＋ ｑ （ ｚ） — ， （ Ｏ ） 一＾ （ Ｏ ）一 ０ ， （ ） ＋ Ｈｙ（ 丁 ｃ ）： ０ ， 若ｑ （ ）Ｅ Ｃ Ｅ ｏ ， ］ ， 则 特 征 值 渐 近 式 可 表 示 为
Ｍａ ｙ ２０ １ ３
２ Ｏｌ ３年 ５月
文章 编 号 ： １ ０ ０ ７ —２ ９ ８ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ —０ ０ １ ２ —０ ３
Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ－ Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算 子特征 值 与特征 函数 更精确 的估 计
陈莉敏
（ 常州 工 程 职业 技 术 学 院 基 础 部 ， 江 苏 常 州 ２ １ ３ １ ６ ４ ）
引 理 ２ 记 ｓ 一 ＋ ｉ ｆ ， 则 存 在 ｓ 。 ＞ 。 ， 使 得 当 ｌ ｓ Ｉ ＞ 。 时 有 （ ｚ ， Ａ ） 一 。 （ ｅ … ） ， （ ｚ ， Ａ ） ＝ 。 （ ） ， 或 者 更 准
确些 ， （ ｚ， ）： ｃ 。 ｓ一 ＋ 。 ｅ
摘 要 ： 应 用 迭 代 法 计 算 势 函 数 光 滑 性 提 高 时 自伴 型 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ — Ｉ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算 子 特 征 值 与 特 征 函数 的 渐 近 估 计 式
关键词 ： Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算子 ； 特征值 ； 特 征 函数 ； 估 计 中 图分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文 献 标 志码 ： Ａ
第 ３ ４卷
第 ３期
吉 首 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ｓ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
Ｖｏ １ ．３ ４ ＮＯ ．３
ｃ “ 一 Ｂ 一 十 ｊ ． ： （ ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ＋
ｃｏ ｓ
ｓ￣
＿
Ｃ ＯＳ Ｓ ｒ
“ ， 『 ＝ ｑ （ 洲池＋ ０ （ ） ） ａ ｒ ， …＋ 了 ｈ ｓ ＋ ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ． ． ） ｄ ｕ ｄ 一 ｃ 下 ｏ ｓ ｓ ｒ （ ｑ （ ｒ ） － ｑ （ ０ ） ） ～
ｑ （ ｒ
— —
（ ｕ） ｄ ｕｄ ｒ
～
—
—
．
（ ¨
ｒ ） ＋ （
一
一
ｇ （ ｒ 胁 ） ＋ ｏ （ ） ．
由边 条 件 得 （ 一 ＋ Ｂ） ｓ ｉ ｎ ＋ Ａｃ ｏ ｓ ７ ｒ 一０ ， 其 中
㈣
Ａ 一 ＾ ＋ Ｈ ＋ Ｊ ’ ： （ Ｃ Ｏ Ｓ ｓ ｒ ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ） ｃ ｒ （ ｃ 。 ｓ ｓ ｒ ＋ 争 ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ＋ ÷ 』 ： ｓ Ｔ ｉ ｎ ｓ ｒ ＋ ｃ 下 ｏ ｓ ｓ ｒ （ ｑ （ ｒ ） － ｑ （ Ｏ ） ） 一
．
１ ＇ ｌ ｘ ￣
，
（ ， Ａ ） ＝ ｓ 了 ｉ ｎ ｓ ｘ ＋ （ ） （ ） ， 当 ｚ ∈ ［ 。 ， ］ 时 ， 估 计 式 一 致 成 立 ．
２ 主 要 结 果 及 其 证 明
定理 １ Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算子在 ｑ （ ｚ）Ｅ Ｃ 。 Ｅ ０ ， Ⅱ ］时 ， 特 征值 的 渐 近 展 开 式 中系 数 为 Ｃ 。一 二 ， Ｃ， ：
当ｑ （ 。） Ｅ Ｃ Ｅ ｏ ， ］ 及ｑ （ ）∈ Ｃ Ｅ ｏ ， ］时 ， 文献［ ４— ６ ］分 别 给 出 算 子 特 征 值 和 特 征 函数 的 渐 近 式 ． 笔 者 利用 迭 代 法 求 解 了 ｑ （ ）∈ Ｃ。 ［ Ｏ ， ］时 算 子 特 征 值 和 特 征 函数 的渐 近 展 开 式 ．
引理 １ Ｅ 记 — Ｓ ． 则
（ ｚ， Ａ ）一 ｃ 。 ｓ ５ ＋
５
ｓ ｉ ｎ ｓ ｚ ＋
Ｊ ｏ
ｓ ｉ ｎ （ Ｘ－ ／ ＂ ） ｑ （ ｒ ） （
。
） ｄ ｒ，
Ｉ ｊ ｆ ’ （ ｚ， Ａ ）一 了 １
ｓ ｚ ＋ ÷ 『 ＝ ｓ ｉ ｎ ｓ （ ９ ： ｍ Ｚ － ） ｑ （ ） （ ） ｄ ｒ ＿
√
Ｃ。十 Ｃ１ 十 ・ 一 ” 十 ‘ ．
．
。 。
［ ／ ２ ］
”２ Ｉ ａ／ ｒ ２ ］ ＋１
ｙ
２ ［ ｍ／ ２ ］ 十ｌ’
其 中 （ 。 一 ÷ （ ＋ Ｈ ＋ １ Ｉ － ｑ （ ｒ ） ｄ ｒ ） ， ｃ （ １ ≤ ≤ ［ ｍ ／ ２ ］ ） 是 与 ＾ 。 Ｈ ， ｑ （ ｚ ） 及 其 导 数 相 关 的 实 常 数 ．
里 ｃ 一 ＾ ＋ Ｈ 十 一 １ Ｓ ． ｑ （ ｒ ） 出 ， 一 ＋ ＋ 一 小 ＋
胁刚 ｒ 一 胁洲ｒ 一
＊
， ， 胁 捌ｒ ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ３—０ １—０ ７
基金项 目 ： 全 国化 工 高 职 公 共 课 教 学 指 导 委 员 会 教 科 研 课 题 （ ＨＧ Ｇ Ｊ １ ２ １ ３ ） 作者简介 ： 陈莉敏（ １ ９ ７ ７ 一 ） ， 女， 江苏扬州人 ， 常州工程职业技术学院基础部讲师 ， 硕士 ， 主 要 从 事 微 分 方 程 研 究
第 ３期
陈莉敏 ： Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算 子 特 征 值 与 特 征 函数 更 精 确 的估 计
１ ３
。 ： 一 ＾ Ｈ ຫໍສະໝຸດ Baidu
证 明 由 引理 ２ 递 推得
… ｓ
一 ｈ ＋ ｚ Ｈ ｆ ｌ ｑ （ ｒ ） ｄ ｒ － — ． ［ ￣） ｆ ｌ ｑ
ｌ 预 备 知 识
对于 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｉ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ特 征值 问题 Ｌ ｙ（ ）一 一 ＋ ｑ （ ｚ） — ， （ Ｏ ） 一＾ （ Ｏ ）一 ０ ， （ ） ＋ Ｈｙ（ 丁 ｃ ）： ０ ， 若ｑ （ ）Ｅ Ｃ Ｅ ｏ ， ］ ， 则 特 征 值 渐 近 式 可 表 示 为
Ｍａ ｙ ２０ １ ３
２ Ｏｌ ３年 ５月
文章 编 号 ： １ ０ ０ ７ —２ ９ ８ ５ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ３ —０ ０ １ ２ —０ ３
Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ－ Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算 子特征 值 与特征 函数 更精确 的估 计
陈莉敏
（ 常州 工 程 职业 技 术 学 院 基 础 部 ， 江 苏 常 州 ２ １ ３ １ ６ ４ ）
引 理 ２ 记 ｓ 一 ＋ ｉ ｆ ， 则 存 在 ｓ 。 ＞ 。 ， 使 得 当 ｌ ｓ Ｉ ＞ 。 时 有 （ ｚ ， Ａ ） 一 。 （ ｅ … ） ， （ ｚ ， Ａ ） ＝ 。 （ ） ， 或 者 更 准
确些 ， （ ｚ， ）： ｃ 。 ｓ一 ＋ 。 ｅ
摘 要 ： 应 用 迭 代 法 计 算 势 函 数 光 滑 性 提 高 时 自伴 型 Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ — Ｉ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算 子 特 征 值 与 特 征 函数 的 渐 近 估 计 式
关键词 ： Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算子 ； 特征值 ； 特 征 函数 ； 估 计 中 图分 类 号 ： Ｏ１ ７ ５ 文 献 标 志码 ： Ａ
第 ３ ４卷
第 ３期
吉 首 大学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎａ ｌ ｏ ｆ Ｊ ｉ ｓ ｈ ｏ ｕ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ（ Ｎａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ）
Ｖｏ １ ．３ ４ ＮＯ ．３
ｃ “ 一 Ｂ 一 十 ｊ ． ： （ ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ＋
ｃｏ ｓ
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＿
Ｃ ＯＳ Ｓ ｒ
“ ， 『 ＝ ｑ （ 洲池＋ ０ （ ） ） ａ ｒ ， …＋ 了 ｈ ｓ ＋ ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ． ． ） ｄ ｕ ｄ 一 ｃ 下 ｏ ｓ ｓ ｒ （ ｑ （ ｒ ） － ｑ （ ０ ） ） ～
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．
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一
一
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由边 条 件 得 （ 一 ＋ Ｂ） ｓ ｉ ｎ ＋ Ａｃ ｏ ｓ ７ ｒ 一０ ， 其 中
㈣
Ａ 一 ＾ ＋ Ｈ ＋ Ｊ ’ ： （ Ｃ Ｏ Ｓ ｓ ｒ ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ） ｃ ｒ （ ｃ 。 ｓ ｓ ｒ ＋ 争 ｓ ｉ ｎ ｓ ｒ ＋ ÷ 』 ： ｓ Ｔ ｉ ｎ ｓ ｒ ＋ ｃ 下 ｏ ｓ ｓ ｒ （ ｑ （ ｒ ） － ｑ （ Ｏ ） ） 一
．
１ ＇ ｌ ｘ ￣
，
（ ， Ａ ） ＝ ｓ 了 ｉ ｎ ｓ ｘ ＋ （ ） （ ） ， 当 ｚ ∈ ［ 。 ， ］ 时 ， 估 计 式 一 致 成 立 ．
２ 主 要 结 果 及 其 证 明
定理 １ Ｓ ｔ ｕ ｒ ｍ— Ｌ ｉ ｏ ｕ ｖ ｉ ｌ ｌ ｅ 算子在 ｑ （ ｚ）Ｅ Ｃ 。 Ｅ ０ ， Ⅱ ］时 ， 特 征值 的 渐 近 展 开 式 中系 数 为 Ｃ 。一 二 ， Ｃ， ：