考研数学二模拟试题2及答案解析word版本

1
2 dx
1( x1)2 1 x
f (x, y)dy
2
dx
1
1( x1)2 0
f (x, y)dy
2
2
1 y2
1
1 y2
(C) 2 dy
0
y
f (x, y)dx 2 dy 1 y 2 f (x, y)dx
2
(D)
2
2 dy
1 1 y2
f (x, y)dx
0
1 y
1
1 1 y2
y
f
(x) 在点 (1,
f
(1)) 处的法
线方程为________.
10.
cos 1
x sin cos2
3x x
dx
________.
5
11.
lim(arctan
1
)
4 3
(1
3
2
3
3
3
n)
________.
n
n
12.微分方程 y 4 y 2 cos2 x 的特解形式为________.
6
13.设函数 z z(x, y) 由方程 x az (y bz) 确定，其中 可导， a, b 为常数，且 a b 0 ，则 a z b z ________.
D
9
19.(本题满分 10 分)
设函数 y y(x) 满足 y
1 x
x o(x) ，且 y(1) 1 ，计算
2
y ( x)dx.
2x x2
1
20.(本题满分 11 分)
x t sin t
设曲线
L
的参数方程
y
1
cos
t
(0 t 2 ) ，求：
(1)曲线 L 的参数方程确定的函数 y y(x) 的定义域；
2 dy 1 1 y 2 f (x, y)dx
2
3
1 1 1
7.设
A,
B
为三阶非零矩阵，满足
AB
O
，其中
B
2a
1 a
2a
，则(
)
a a a 2 2
(A) a 2 时，必有 R( A) 1
(B) a 2 时，必有 R( A) 2
(C) a 1 时，必有 R( A) 1
(D) a 1 时，必有 R( A) 2
(C)连续且偏导数存在
(D)不连续且偏导数不存在
6.将极坐标系下的二次积分
3
4 d
1 f (1 r cos , r sin )rdr 转化为直角坐标系下的二
0
0
次积分为( )
0
1 x2
1
1 x2
(A) 2 dx x
f (x, y)dy dx
0
0
f (x, y)dy
2
(B)
(C)可去间断点
(D)无穷间断点
2.设 f (x) 是连续且单调增加的奇函数， F (x)
x
(2u
x)
f
(x
u)du
，则
F (x)
是(
)
0
(A)单调增加的奇函数
(B)单调减少的奇函数
(C)单调增加的偶函数
(D)单调减少的偶函数
1
3.设函数
f
(
x)
具有一阶连续导数，且
lim
x0
e
x x2
1
数学二模拟试题二
校区
学管师
班级
姓名
分数
一、选择题：1-8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在答题纸指定位置上．
1.设函数
f
(x)
lim
n
x2 e(n1) x 1 enx
，则点 x
0为
f
(x) 的(
)
(A)连续点
(B)跳跃间断点
f
(x)
x
3 ，则(
)
(A) f (0) 1, f (0) 5 2
(B) f (0) 1, f (0) 5 2
(C) f (0) 1, f (0) 5 2
(D) f (0) 1, f (0) 5 2
4.设 I cos x2dx ， J cos xesin2 xdx ，则( )
2
4
(2)至少存在一点 (0,1) ，使得
f (1) f (0)
f () .
4
22.(本题满分 11 分)
已知 1,2 ,3
为三个三维列向量，
A
11T
2
T 2
3
T百度文库3
.
(1)证明存在矩阵 B 使得 A BT B ；
(2)当1,2 ,3 线性无关时，证明 R( A) 3 ；
1 2 3
(3)当 1
2
,
2
2
,
3
4
时，求
Ax
0
的通解.
3
1
4
11
23.(本题满分 11 分)
z 1 (1)曲线 y f (z) 的方程；(2)若将容器内水装满，需要多少时间?
8
17.(本题满分 10 分)
已知平面上两点 A(4, 6), B(6, 4) ， C 为椭圆 x2 y2 1上的点，求 ABC 面积的最大值 5 20
和最小值.
18.(本题满分 10 分)
设区域 D : 0 x 1, 0 y 2 ，计算 I [( y 1)e x2 y1 x y ]d.
8.已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) x12 x22 2ax1x3 4x2x3 的秩为 2 ，则该二次型的正负惯性指
数分别为( )
(A) 2, 0
(B) 0, 2
(C)1,1
(D)依赖于 a 的取值
4
9.设
f
(x) 为可导的偶函数，lim x0
f
(cos x) x2
2 ，则曲线
x y
1 2
14.设
2
,
1
，对任意的正整数
n
，矩阵 (E
T)n
________.
3 0
7
15.(本题满分 10 分)
设0
x
1，证明(1)ln(1
x)
x(2x 1) (x 1)2
；(2) (1
1)x (1 x
1
x) x
4
16.(本题满分 10 分)
将 yoz 坐标面上的曲线段 y f (z) ( f (z) 0, 0 z 12) 绕 z 轴旋转一周所得旋转曲面 与 xoy 坐标面围成一个无盖容器，已知它的底面积为16 (m2) ，如果以 3(m3 / s) 的速度 把水注入容器内，在高度为 z(m) 的位置，水的上表面积以 3 (m2 / s) 的速度增大，求：
0
0
(A) I 0, J 0
(B) I 0, J 0
(C) I 0, J 0
(D) I 0, J 0
2
x2y
5.设函数
f
(x,
y)
x4
y2
x2 y2 0 ，则 f (x, y) 在点 (0, 0) 处(
)
0
x2 y2 0
(A)连续，但偏导数不存在
(B)不连续，但偏导数存在
(2)曲线 L 与 x 轴围成的平面图形绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体体积Vy ；
(3)设曲线 L 的形心坐标为 (x, y) ，求 y.
10
21.(本题满分 11 分)
设函数 f (x) 在[0,1] 上具有二阶连续导数，且 f (0) f (1) 0 ，证明：
(1)至少存在一点 (0,1) ，使得 2 f ( 1) f (0) f (1) f () ；