职高数学知识点总结-(2)

0 若同负，则x1 x2 0
x1x2 0
ⅲ.若两根 x1、x2 位于 (a,b) 内，则利用画图像的办法。
0
若a

0,
则

f
(a)

0
f (b) 0
0
若a

0,
则

f
(a)

0
f (b) 0
注：若二次函数 f (x) 0 的两根 x1、x2 ； x1位于 (a,b) 内， x2 位于 (c, d ) 内，同样利用画 图像的办法。 7. 反函数:
6
（1） 负数指数幂： a n 1 an
m
（2） 分数指数幂： a n n a m
(a 0, n N * ) (a 0, m, n N 且n 1)
（3） 实数指数幂的运算法则： (a 0, m, n R)
① am an amn
② (a m )n a mn ③ (a b)n a n bn
（2）并集： A U B {x | x A或x B} ：
1
A 与 B 的所有元素组成的集合（相同元素只写一次）。 （3）补集： CU A ：U 中元素去掉 A 中元素剩下的元素组成的集合。
注： CU ( A I B) CU A U CU B
CU ( A U B) CU A I CU B
2 （2） 值域的求法： y 的取值范围
① 正比例函数： y kx 和 一次函数： y kx b 的值域为 R
② 二次函数： y ax2 bx c 的值域求法：配方法。如果 x 的取值范围不是 R 则还需画图
像 ③ 反比例函数： y 1 的值域为{y | y 0}
原函数的值域是反函数的定义域 ② 二者的图像关于直线 y x 对称
③ 原函数过点 (a,b) ，则反函数必过点 (b, a)
④ 原函数与反函数的单调性一致
第四章 指数函数与对数函数
1. 指数幂的性质与运算: （1）根式的性质：
① n 为任意正整数， (n a )n a
②当 n 为奇数时， n a n a ；当 n 为偶数时， n a n | a | ③零的任何正整数次方根为零；负数没有偶次方根。 （2） 零次幂： a0 1 (a 0)
2 3. 一元一次不等式的解法
b2 4ac
二次函数 y ax2 bx c (a 0)的图象
一元二次方程 ax2 bx c 0 (a 0)的根
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
0
y
0
y
x1 o x2 x
有两个不等的实 根
x1, x2 (x1 x2 )
（1）函数 y f (x) 有反函数的条件
x与y 是一一对应的关系
（2Biblioteka Baidu求 y f (x) 的反函数的一般步骤：
①确定原函数的值域，也就是反函数的定义域 ②由原函数的解析式，求出 x ③将 x, y 对换得到反函数的解析式，并注明其定义域。 （3） 原函数与反函数之间的关系 ① 原函数的定义域是反函数的值域
a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
第一章 集合
1. 构成集合的元素必须满足三要素：确定性、互异性、无序性。
2. 集合的三种表示方法：列举法、描述法、图像法（文氏图）。
注： 描述法｛ {x | 1x 23, 1x 23}；另重点类型如：｛y | y x2 3x 1, x (1,3]｝
2. 幂运算时，注意将小数指数、根式都统一化为分数指数；一般将每个数都化为最小的一 个数的 n 次方。
x | x x1或x x2
o x1=x2 x
有两个相等的实
根
x1

x2


b 2a
x
|
x


b 2a

0
y
o
x
无实根
R
ax2 bx c 0 (a 0)的解集
x | x1 x x2


4. 一元二次不等式的解法 （1） 保证二次项系数为正 （2） 分解因式（十字相乘法、提取公因式、求根公式法），目的是求根： （3） 定解：（口诀）大于两根之外，大于大的，小于小的；
② 顶点式： f (x) a(x k)2 h （ a 0 ），其中 (k, h) 为顶点
③两根式： f (x) a(x x1 )(x x2 ) （ a 0 ），其中 x1、x2 是 f (x) 0 的两根
（2）图像与性质:
二次函数的图像是一条抛物线，有如下特征与性质：
（3） ( p q) p q
( p q) p q
8. 充分必要条件
p 是 q 的……条件 p 是条件， q 是结论
p
充分
q
不必要
p
不充分
q
必要
p
充分
q
必要
p
不充分
q
不必要
p是q的充分不必要条件 （充分条件） p是q的必要不充分条件 （必要条件） p是q的充分必要条件 (充要条件) p是q的既不充分也不必要条件
6. 逻辑联结词： 且（ ）、或（ ）非（ ）如果……那么……（ ） 量词：存在（ ） 任意（ ） 真值表： p q ：其中一个为假则为假，全部为真才为真； p q ：其中一个为真则为真，全部为假才为假； p ：与 p 的真假相反。 （同为真时“且”为真，同为假时“或”为假，真的“非”为假，假的“非”为真；真 “推”假为假，假“推”真假均为真。） 7. 命题的非 （1）是 不是 都是 不都是（至少有一个不是） （2） ……，使得 p 成立 对于 ……，都有 p 成立。 对于 ……，都有 p 成立 ……，使得 p 成立
第二章 不等式
1. 不等式的基本性质： 注：（1）比较两个实数的大小一般用比较差的方法；另外还可以用平方法、倒数法如：
2010 2009与 2009 2008 （倒数法）等。 （2）不等式两边同时乘以负数要变号！！ （3）同向的不等式可以相加（不能相减），同正的同向不等式可以相乘。
2. 重要的不等式：（ 均值定理）
意） （2）一个集合含有 n 个元素，则它的子集有 2n 个，真子集有 2n 1个，非空真子集有 2n 2 个。 5. 集合的基本运算（用描述法表示的集合的运算尽量用画数轴的方法）
（1）交集： A I B {x | x A且x B} ： A 与 B 的公共元素（相同元素）组成的集合
职高数学概念与公式
初中基础知识：
1. 相反数、绝对值、分数的运算； 2. 因式分解：
提公因式：xy-3x=(y-3)x
十字相乘法 如： 3x2 5x 2 (3x 1)(x 2)
配方法 如： 2x2 x 3 2(x 1 )2 25 48
公式法：（x+y）2=x2+2xy+y2 (x-y)2=x2-2xy+y2 x2-y2=(x-y)(x+y)
元素 元素性质 取值范围
3. 常用数集：
集合名 称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示
N
N 或 N*
Z
Q
R
4. 元素与集合、集合与集合之间的关系： （1） 元素与集合是“”与“”的关系。 （2） 集合与集合是“ ” “ ”“ ”“ ”的关系。
注：（1）空集是任何集合的子集，任何非空集合的真子集。（做题时多考虑 是否满足题


x1 x2
b a
c a
⑥ f (x) ax2 bx c 为偶函数的充要条件为 b 0
⑦ 二次函数（二次函数恒大（小）于 0）
f
(
x)

0

a

0 0

图像位于x轴上方
f
(
x)

0

a

0 0

图像位于x轴下方
⑧ 若二次函数对任意 x 都有
号成立。 （1） a 2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时，等
2
（2） a b 2 ab (a,b R ) ，当且仅当 a b 时，等号成立。
（3） a b c 3 abc (a,b, c R ) ，当且仅当 a b c 时，等号成立。 注： a b （算术平均数） ab （几何平均数）
③ f (x) 0 既是奇函数又是偶函数
5. 函数的单调性:
对于 x1、x2 [a, b] 且 x1 x2 ，若
4

f f
( (
x1 x1
) )

f (x2 ), 称f (x)在[a,b]上为增函数 f (x2 ), 称f (x)在[a,b]上为减函数
增函数： x 值越大，函数值越大； x 值越小，函数值越小。 减函数： x 值越大，函数值反而越小； x 值越小，函数值反而越大。
小于两根之间 注：若 0或 0 ，用配方的方法确定不等式的解集。 5. 绝对值不等式的解法
若
a

0
，则
|
| x
x | | a
a x
a x a或x

a a
6. 分式不等式的解法：与二次不等式的解法相同。注：分母不能为 0.
第三章 函数
1. 映射:
一般地，设 A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中的任何一个元素，
① 开口 a 0 开口向上
a 0 开口向下
② 对称轴： x b 2a
③
顶点坐标： ( b
4ac b2
,
)
2a 4a
0 有两交点
④

与
x
轴的交点：



0

有1交点

0 无交点
⑤ 一元二次方程根与系数的关系：（韦达定理）

x1 x2
3. 一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组的解法： （1） 代入法 （2） 消元法
6.完全平方和（差）公式： a 2 2ab b2 (a b)2
a 2 2ab b2 (a b)2
7.平方差公式： a 2 b2 (a b)(a b)
8.立方和（差）公式： a3 b3 (a b)(a 2 ab b2 )
复合函数的单调性： h(x) f (g(x))
f (x) 与 g(x) 同增或同减时复合函数 h(x) 为增函数； f (x) 与 g(x) 相异时（一增一减）复合
函数 h(x) 为减函数。 注：奇偶性和单调性同时出现时可用画图的方法判断。 6. 二次函数: （1）二次函数的三种解析式: ①一般式： f (x) ax2 bx c （ a 0 ）
x （3） 解析式求法： 在求函数解析式时可用换元法、构造法、待定系数法等。 4. 函数的奇偶性: （1） 定义域关于原点对称
（2） 若 f (x) f (x) 奇
若 f (x) f (x) 偶
注：①若奇函数在 x 0 处有意义，则 f (0) 0
②常值函数 f (x) a （ a 0 ）为偶函数
f (t x) f (t x) ，则其对称轴是 x t 。
5
⑨ 若二次函数 f (x) 0 的两根 x1、x2
0
ⅰ.
若两根
x1、x2
一正一负，则

x1
x2
0
ⅱ. 若两根 x1、x2 同正（同负） 0
若同正，则x1 x2 0 x1x2 0
3. 函数的三要素：定义域、值域、对应法则
（1） 定义域的求法：使函数（的解析式）有意义的 x 的取值范围 主要依据： ① 分母不能为 0 ① 偶次根式的被开方式 0
③ 特殊函数定义域
y x0,x 0
y a x , (a 0且a 1), x R
y loga x, (a 0且a 1), x 0 y tan x, x k , (k Z )
在集合 B 中都有惟一的元素和它对应，这样的对应叫做从集合 A 到集合 B 的映射，记作： f :AB。
3
注：理解原象与象及其应用。 （1） A 中每一个元素必有惟一的象； （2）对于 A 中的不同的元素，在 B 中可以有相同的象； （3）允许 B 中元素没有原象。 2. 函数: （1） 定义：函数是由一个非空数集到时另一个非空数集的映射。 （2） 函数的表示方法：列表法、图像法、解析式法。 注：在解函数题时可以画出图像，运用数形结合的方法可以使大部分题目变得更简单。