第3章 非稳态导热

指如图所示的那样的物体，其
特点是从x=0的界面开始可以 0
x
向x正的方向及其它两个坐标
(y,z)方向无限延伸。半无限大 z
物体是非稳态导热的特有概念。
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二、相似性变换法求解给定壁温问题
一个半无限大物体, 初始温度均匀为t0 ，在 =0
时刻，在x=0的一 侧表面温度突然升高到tw ，并保 持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。
0
t0 t
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对于厚度为2δ1的大平壁，数学描述为
对于厚度为2δ2的大平壁，数学描述为
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1证明 2证明
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满足导热微分方程 满足初始条件
3证明
满足边界条件
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3-3 半无限大物体的非稳态导热
一、半无限大物体概述
y
所谓半无限大物体，几何上是
x , - t x h(t t )
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为了表达式的简洁便于求解，引入过余温度
t t
2
a
x2
0, t0-t 0 x 0, x 0
x , x h 0
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Q f (x, y, z, )
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初始温度均匀为t0， 左侧突然升温至t1.
如果平壁左侧有 恒定的热流q加热， 平壁内温度如何 变化？
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无限大平板内的温度分布如图所示，试分析
（1）如果大平板为稳态无内热源导热，
导热系数随温度如何变化？
t
（2）如果大平板为常物性无内热源导热, 则该大平板是加热过程还是冷却过程？
rVc
hA
d d


Af
cos

0 0 t0 t f
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解为：



0

1

Af
2
2 r

exp


r
随时间按指数规律衰减

Af
1


2
2 r
cos arctan
随时间周期性变化
h(V / A)
BiV 0.1M 对于厚为2δ的平板： M=1 V / A 2δ
R 半径为R的圆柱： M=1/2 V / A 1 R
2
半径为R的球： M=1/3 V / A 1 R 3
R
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3、时间常数
r
rVc
hA
—时间常数
如果导热体的热容量
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3.解的结果（分离变量法）


t t

2
e
(
n
)2
a 2
s
in(
n
)
cos[(
n
)
x

]
0 t0 t n1
n sin(n ) cos(n )
(x, ) f (Bi, Fo, x )
0

Fo a 2
Bi h
t

0
a
2t x2
t
(
x,0)

t0
x 0
t(0, ) tw
t tw
x t(x, ) t0
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a 2

x 2
0, 0
x 0, 0, 0
x , 0, 0
（ rVc ）小、换热条件好
（hA大），那么时间常数
( rVc / hA) 小，导热体的温
度变化快。


t t
hA
e rVc
0 t0 t
流体
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管道
热电偶接点
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传热学 Heat Transfer
对于测温的热电偶接点，时间常数越小，说明热 电偶对流体温度变化的响应越快。这是测温技术所 需要的。
1.采用近似拟合公式
见相关文献 2.线算图法-海斯勒图
对于无限大平板按如下公式和图计算。
(x, ) (x, ) m ( )
0
m ( ) 0
f (Bi, x ) f (Bi, Fo)

m 平板中心的过余温度
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0

Aexp( 12Fo) f
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第3章 非稳态导热
知识回顾
t f (x, y, z, ) t 0
一、非稳态导热的分类

周期性
温度场随时间变化特点 非周期性(瞬态的）
温度场随空间变化特点
零维 一维 二维 三维
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二、特点(以非周期性的为例)
t f (x, y, z, )
导热体的内能随时间发生变化，导热体要储存或释放能量。
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(x, ) (x, ) m ( ) ;
0
m ( ) 0
m ( ) f (Bi, Fo) 0
无限大平板中心无量纲过余温度曲线
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(x, ) (x, ) m ( ) ; (x, ) f (Bi, x )
t t0
x t(x, ) t0
1、导热数学描述及求解
任意形状的固体在第 三类边界条件下的换热， 且满足集总体的概念。其 体积为V，表面积为A，具 有均匀的初始温度t0。环境 流体温度恒为t∞，t0>t∞。物 性参数为常量。
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流体温度t∞ 表面换热系数h
体积为V 表面积为A
物性r, , c
初始温度t0
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能量守恒方程式
rcV
dt
d

qr
r dA

A
V qV dV
如果表面对流换热，且导热体内无内热源时，
rcV
dt
d
hA(t
t)
令： t t — 过余温度
rVc d hA 0
d
分离变量得
1 d hA d

rVc
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从0到任意时刻 积分
(1 )
几何形状
A
平板
2sin 1 1 cos1 sin 1
f (1)
cos(1)
圆柱
2
J1(1)
1
J
2 0
(1)

J12 (1)
J0 (1)
球
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2(sin 1 1 cos1) 1 cos1 sin 1
sin( 1 ) 1
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x
傅里叶数—无量纲时间
毕渥数—表示内部导热热阻与表 面对流换热热阻相对大小 无量纲距离
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二、非稳态导热的正规（正常）状况阶段
计算表明，当傅里叶数Fo0.2（0.5）后，对于 公式只取级数的第一项计算和完整计算误差很小。
(x, ) 0

1
2sin( 1 ) sin( 1 ) cos(1 )
hA rVc


b


rVc
hA

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四、环境温度按简谐波变化( 周期性变化）
t t f Af cos( )
周期：2 / 振幅：Af
令： t t f
0时， 0 t0 t f
数学描述（能量方程）
r
其中：
r

rcV
hA
t t f Af cos( )
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3-2 有限厚度物体的非稳态导热
一、无限大平壁的分析解
1. 问题描述
厚度 2 的无限大平壁，
、a为已知常数，=0时温
度为 t0， 突然将其放置于两 h, t∞
h, t∞
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矩形截面的无限长方柱体是由两个无限大平壁垂 直相交而成；短圆柱是由一个无限长圆柱和一个无 限大平壁垂直相交而成 ；短方柱体（或称垂直六面 体）是由三个无限大平壁垂直相交而成；
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无量纲过高等余传温热学度乘积解
对于无限长方柱体
x, y, x, y,
1 d hA

d
0
rVc 0

t t
hA
e rVc
0 t0 t
上式中右端的指数可作如下变化
hA rVc

h(V /

A)
a
(V / A)2

BiV FoV
式中BiV是特征尺度l用V/A表示的毕渥数。
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FoV
0
0
0
对于短圆柱体
x,r, x, r,


0
0
0
对于短方柱体
x, y,z, x, y, z,
0
0
0
0
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令Θ (x, y, ) t t
和（2）之间。
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3-1 集总热容分析
一、 集总体的概念
Bi0
内部导热热阻远小于表面换热 热阻的非稳态导热体称为集总体， 任意时刻导热体内部各点温度接近 均匀，这样导热体的温度只随时间 变化，而不随空间变化，故又称之 为零维问题。
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二、环境温度为定值
（3）如果大平板为常物性稳态导热，
则其内热源为正还是负？
0
δx
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三、第三类边界下非稳态导热的定性分析
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毕渥准则数 Bi hl 式中l为特征尺度

Bi

hl



1

h
物体内部导热热阻 物体表面对流换热热阻
(1) 当 Bi 时，意味着表面传
0
m ( ) 0
m ( )

四、无限长圆柱 过程类似 图线类似
无限大平板无量纲过 华北电力大学 余温度曲线
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四、乘积解
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在二维和三维非稳态导热问题中，几种典型几何 形状物体的非稳态导热问题可以利用一维非稳态导 热分析解的组合求得。无限长方柱体、短圆柱体及 短方柱体就是这类典型几何形状的例子。
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二、相似性变换法求解给定壁温问题
一个半无限大物体, 初始温度均匀为t0 ，在 =0
时刻，在x=0的一 侧表面温度突然升高到tw ，并保 持不变，现在要确定物体内部温度随时间的变化。
t

0
a
2t x2
t
(
x,0)

t0
x 0
t(0, ) tw
热系数 h （Bi=h / ），
对流换热热阻趋于0。平壁的表 面温度几乎从冷却过程一开始， 就立刻降到流体温度 t 。
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(2) 当Bi0时Hale Waihona Puke Baidu意味着物体的导 热系数很大、导热热阻 0
（Bi=h/ ）。任何时间物体内
的温度分布都趋于均匀一致。
(3) 当0<Bi<时，情况介于（1）
e(
1
)
2
a 2
cos[(
1
)
x

]
m
2sin( 1 )
e(
1
)2
a 2
0 1 sin( 1 ) cos(1 )

(x, m
)

cos[( 1
)
x

]
(x, ) m (x, )
0
0 m
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三、正规状况阶段的实用计算方法
侧介质温度为 t并保持不变
2δ
的流体中，两侧表面与介质
之间的表面传热系数为h。
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2、数学描述
由于平板温度场对称，因此只取平板的一半进行研究， 以平板的中心为坐标原点建立坐标系，如图所示。
t 2t a
x2
0, t t 0
x 0, t x 0

a
(V / A)2
称为傅立叶数
同样FoV是特征尺度l用V/A表示的傅里叶数。
导热体在时间 0~ 内传给流体的总热量，即散热量

Q0

Φ( )d
0
rVc(t0 t)
hA
rVc0 (1 e rVc ) J
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2.符合集总体的判别条件
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三、环境温度线性变化 t f t0 b
该问题的数学描述为（能量方程）
rcV
dt
d
hA(t
tf
)

0
令
rVc d b hA d
t t0
积分得
0 0
随时间按指数规律衰减
随时间线性变化


b
rVc
hA
exp
热电偶时间常数
热惰性级别 时间常数（秒）
Ⅰ
90~180
Ⅱ
30~90
Ⅲ
10~30
Ⅳ
≤10
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练习 一厨师在炒鸡肉丝时要品尝一下咸淡，于是他从
100℃的 热炒锅中取出一鸡肉丝，用口吹了一会， 待其降至65℃时再放入口中。试估算厨师需要吹多 长时间？出锅时鸡肉丝可视为平均直径为2mm的圆 条，厨师口中吹出的气流温度为30℃，其与鸡肉丝 之间的表面传热系数为100W/(m2·K), 鸡肉丝的密 度为810kg/m3，比热容为3350J/(kg·K)，导热系 数1.1W/(m·K)。