矩形的性质和判定复习总结

A

C

B

D

一、复习回顾基础知识

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。

矩形的性质： 矩形的四个角都是直角；矩形的对角线平分且相等。AC=BD 矩形判定定理： 1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2.对角线相等的平行四边形是矩形。

3.有三个角是直角的四边形是矩形。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

巩固练习

(1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ）

A 、对边相等

B 、对角相等

C 、对角线相等

D 、对边平行

(2)矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，∠AOB ＝60°，AC ＝10cm ，则AB ＝___________cm ，BC ＝___________cm ．

(3)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝3，则AB 边上的中线CD ＝___________． (4)矩形的对角线长为,132两条邻边之比是2∶3，则矩形的周长是___________． (5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿AE 向上折叠，使点B 落在DC 边上的F 点处．若△AFD 的周长为9，△ECF 的周长为3，则矩形ABCD 的周长为___________．

(6).矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ，对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________

二、经典例题、针对训练、延伸训练

例1．已知：如图，在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，BE ∶ED ＝1∶3，从两条对角线的交点O 作OF ⊥AD 于F ，

且OF ＝2，求BD 的长．

例2．已知：如图，在□ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是∠DAB 、∠ABC 、∠BCD 、∠CDA 的平分线，AQ 与

BN 相交于P ，CN 与DQ 相交于M ，试说明四边形MNPQ 是矩形．

例3．已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD互相平分于点O，∠AEC＝∠BED＝90°．求证：四边形ABCD 是矩形．

例4．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，若

∠CAE=15°，求∠BOE的度数．

例5．如图，直角坐标平面中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标分别为（3，0），（3，4）. 动点M、N分别从O、B同时出发，以每秒1个单位的速度运动. 其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动. 过点N作NP⊥BC，交AC于P，连结MP. 已知动点运动了x秒.

（1）P点的坐标为（，）；（用含x的代数式表示）

（2）试求△MPA面积的最大值，并求此时x的值.

O

H

E

F D

C

A

B

（3）请你探索：当x 为何值时，△MPA 是一个等腰三角形？你发现了几种情况？请写出你的研究成果.

针对训练：

1、在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC

交于点H 。求证：①ED BE 3=②BF BO =；③ CH CA =。

2.如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F 。①求证：EO=FO ；②当O 点运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。

Y

C

N

B

A

P

O

M

x

C

B A

D

3.如图，以△ABC 的三边为边，在BC•的同侧分别作3•个等边三角形，•即△ABD 、△BCE 、△ACF ．请回答问题并说明理由：

（1）四边形ADEF 是什么四边形？

（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形？

4.已知:如图，在△ABC 中，∠BAC ≠90° ∠ABC=2∠C ，AD ⊥AC ，交BC 或CB 的延长线D 。试说明:DC=2AB.

总结提高：

三、上节作业讲评 四、课后作业

1．如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的F 点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）．

A ．15° B.30° C.45° D.60°

2． 若矩形的一条角平分线分一边为3cm 和5cm 两部分，则矩形的周长为 （ ） A ．22 B ．26 C ．22或26 D ．28

3．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对

角线的夹角为（ ）

A 、22.5°

B 、45°

C 、30°

D 、60°

4.如图，两张宽为1cm 的矩形纸条交叉叠放，其中重叠部分部分是四边形ABCD,已知∠BAD=60°则重叠部分的面积是 cm 2．

5．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于 E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的（ ）

B

A C

E

D

F

F

E D C A

A 、

51 B 、41 C 、31 D 、10

3 6．矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． （A ）2对 （B ）4对 （C ）6对 （D ）8对

7．如图1，宽为50 cm 的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，其中一个小长方形的面积为 （ ）

（A ） 400 cm 2

（B ） 500 cm 2

（C ） 600 cm 2

（D ） 4000 cm 2

8．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，E 、F 、G 、H 分别是OA 、OB 、

OC 、OD 的中点，顺次连结E 、F 、G 、H 所得的四边形EFGH 是矩形吗？说明理由．

9.如图，△ABC 中，∠ACB=900，点D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 在BC 延长线上，且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF 是平行四边形；

10、在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，EF 过点O ，且AF ⊥BC ，求证：四边形AFCE 是矩形

图1

H G

F

E A

O

B D

C