几种简单的几何图形及其推理复习
人教版七年级上册数学第四章几何图形初步总复习教案
第 23 题图
设计意图： 通过形式不同，层次不同的练习，从不同角度帮助学生加深对本章知识的理解，训练学生熟
练的运算技能，考察学生的综合能力。
【单元检测题】
第四章 几何图形初步检测题
（本检测题满分：120 分，时间：90 分钟）
一、 选择题（每小题 3 分，共 24 分）
1.下列说法正确的是（
）
①教科书是长方形；②教科书是长方体，也是棱柱；③教科书的表面是长方形.
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
2.下列各图中，经过折叠能围成一个立方体的是（ ）
第四章几何图形初步总复习教案
教学目标
知识与技能 掌握本章节的所有知识，应用本章知识解决一些实际问题 过程与方法 通过实验、操作，提高对图形的认识能力，探索学习空间与图形的方法 情感 、态度与价值观： 在解决一些实际问题的过程中，体验推理的意义,获取学习的经验。
教学重点：
理解本章的知识结构，掌握本章的全部定理和公理；
（2）若∠1+∠2=180°，则∠1 与∠2 互为补角.其中∠1 是∠2 的补角，∠2 是∠1 的补角.
（3）余（补）角的性质：等角的补（余）角相等.
10、方位角
（1）正方向
（2）北（南）偏东（西）方向
（3）东（西）北（南）方向
设计意图： 通过引学生回忆本章的知识要点，形成知识框架，让学生对本章知识有一个整体把握，同时 了解各知识点之间的内在联系。
第 15 题图
第 16 题图
16.一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分（如图 2），则这串珠子被
盒子遮住的部分有________颗．
图形的规律总结
图形的规律总结图形的规律可以是形状或者图案的重复、变化、对称等。
对于一些特定的图形，我们可以通过观察和推理来找出它们的规律，并用数学的方式描述出来。
在这篇文章中，我将总结一些常见的图形规律，并且介绍如何用数学方法来描述它们。
首先，我们来看一些常见的图形规律。
对于一些简单的几何图形，如正方形、矩形和圆形，它们的规律通常是很明显的。
例如，正方形的四条边相等且相互平行，内角都是直角；矩形的对边相等且相互平行，内角仍然是直角；圆形的周长与直径之间有一个固定的比例关系，即π（pi）。
这些规律可以通过观察和测量来确定。
另一个常见的图形规律是图形的对称性。
对称性是指图形可以被分成两个相互对称的部分。
例如，正方形和圆形都具有对称性，因为它们可以通过某条轴线进行折叠，两边完全一致。
而心形和星形则没有对称性，因为它们无法通过任何轴线折叠成两部分。
对称性是一种十分有趣和重要的图形规律，它不仅存在于几何图形中，也存在于自然界中的很多物体和生物体中。
另一种常见的图形规律是图形的重复性。
重复性是指图形中某些元素的不断重复出现。
例如，螺旋线就是一个具有重复性的图形，其中螺旋的形状和方向不断重复出现。
由于图形的重复性，我们可以用一些简单的数学方法来描述它们。
例如，我们可以用数列来描述螺旋线中每个点的坐标，从而得到一个数学模型。
除了上述的常见图形规律外，还有一些更复杂的图形规律存在。
例如，菲波那切数列中的每个数字都是前两个数字的和。
这个数列正是菲波那切螺旋的边长与半径之比。
这个规律的数学描述为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中n>2，Fi表示第i个菲波那切数。
这个规律不仅在螺旋线中存在，还在数学、自然科学、金融等领域中有广泛的应用。
事实上，这个规律是无穷多级的，即每个数字都是前两个数字的和，这使得这个数列有一些奇特的性质。
除了菲波那切数列，还有其他一些数列和图形规律有着类似的特点。
例如，斐波那契数列中的每个数字都是前两个数字的和。
2019年精选北京课改版数学七年级下册第七章 观察、猜想与证明7.7 几种简单几何图形及其推理复习特训六十四
2019年精选北京课改版数学七年级下册第七章观察、猜想与证明7.7 几种简单几何图形及其推理复习特训六十四第1题【单选题】某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某小组比赛结束后，甲、乙，丙、丁四队分别获得第一，二，三，四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是( )A、甲B、甲与丁C、丙D、丙与丁【答案】：【解析】：第2题【单选题】4个人进行游泳比赛，赛前A、B、C、D等4名选手进行预测．A说：“我肯定得第一名．”B说：“我绝对不会得最后一名．”C说：“我不可能得第一名，也不会得最后一名．”D说：“那只有我是最后一名！”，比赛揭晓后，发现他们之中只有一位预测错误．预测错误的人是( )A、AB、BC、CD、D【答案】：【解析】：第3题【单选题】如图，∠1＝60o，∠2＝60o，∠3＝57o，则∠4＝57o，下面是A，B，C，D四个同学的推理过程，你认为推理正确的是( )A、因为∠1＝60o＝∠2，所以a∥b，所以∠４＝∠3＝57oB、因为∠4＝57o＝∠3，所以a∥b，故∠1＝∠2＝60oC、因为∠2＝∠5，又∠1＝60o，∠2＝60o，故∠1＝∠5＝60o，所以a∥b，所以∠4＝∠3＝57oD、因为∠1＝60o，∠2＝60o，∠3＝57o，所以∠1＝∠3＝∠2－∠4＝60o－57o＝3o，【答案】：【解析】：第4题【单选题】世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积( )A、6分B、7分C、8分D、9分【答案】：【解析】：第5题【单选题】一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形．在满足条件的所有分割中，若知道九个小矩形中n个小矩形的周长，就一定能算出这个在大矩形的面积，则n的最小值是( )A、3B、4C、5D、6【答案】：【解析】：第6题【单选题】甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为止，甲已经赛了5场，乙已经赛了4场，丙已经赛了3场，丁已经赛了2场，戊已经赛了1场，小强已经赛了( )A、1场B、2场C、3场D、4场【答案】：【解析】：第7题【单选题】某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下列选项中，该旅行团可能游览的景点是( )A、甲、丙B、甲、丁C、乙、丁D、丙、丁【答案】：【解析】：第8题【单选题】七年级（1）班的四位同学参加数学知识竞赛活动，分别获得第一、二、三、四名，大家猜测谁得第几名时，明明说：“甲得第一，乙得第二”；文文说：“甲得第二，丁得第四”；凡凡说：“丙得第二，丁得第三”．名次公布后，他们每人只猜对一半，那么甲、乙、丙、丁的名次顺序为( )A、甲、乙、丙、丁B、甲、丙、乙、丁C、甲、丁、乙、丙D、甲、丙、丁、乙【答案】：【解析】：第9题【单选题】如图是琳琳6个装好糖果的礼包盒，每盒上面的数字代表这盒礼包实际装有的糖果数量．她把其中的5盒送给好朋友小芬和小红，自己留下1盒．已知送的都是整盒，包装没拆过，送给小芬的糖果数量是小红的2倍，则琳琳自己留下的这盒有糖果( )A、15粒B、18粒C、20粒D、31粒【答案】：【解析】：第10题【填空题】老师问A、B、C、D、E五位学生：“昨天你们有几个人玩过游戏？”他们的回答分别为A：没有人；B：一个人；C：二个人；D；三个人；E：四个人。
巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组
智汇好题目小学生的思维具有直观性和形象性等特点，借助现实可见的实物学具、模型、几何图形等可为学生提供丰富的学材，将抽象的推理内容变得具体形象，为复杂推理问题提供解决的路径和方法。
在数与代数领域中如何借助几何直观，开展数学观察、对比、分析、推理等活动，是发展学生逻辑思维的关键切入口。
我们尝试设计一组图形推理题目，运用几何直观打通数与形之间的关联，引导学生在逐步深入的观察、思考和探究中，发现变与不变的规律，建构数量关系的模型，并在此过程中发展推理意识。
【题目】第1题 静态转化中的推理数学课上，李老师让同学们探索一类特殊分数之和的计算方法。
爱思考的轩轩总有不同的想法，借助图形（如图1）巧算它们的和。
1 2+14+18+116=22-116=151613+16+112+124=23-124=152414+18+116+132=24-1=…… (1)2141818116116131611212414132图1（1）仔细观察轩轩的做法，把第三道算式的计算过程补充完整。
（2）轩轩的想法让大家眼前一亮，不禁跃跃欲试。
请你填一填：15+110+120+140=-；17+114+128+…+1224=-。
第2题 动态关联中的推理聪聪用1cm2的正方形纸片摆出不同的图形（如图2）并进行研究，你能帮帮他吗？图2（1）观察图2，填写表1。
表1 层数与面积关系统计表层数1234…8…n 面积/cm2149……（2）利用发现的规律，佳佳制作了图3所示“方阵”。
照这样排下去，排在（5，1）位置的数是（ ），排在（8，2）位置的数是（ ），当n大于2时，排在（n，3）位置的数是（ ）。
……………10111213…56714…23815…14916…5432112345图3巧用几何直观，明晰推理路径——图形推理题目一组华 松 陈维花76智慧教学 2024年2月第3题 联想操作中的推理数学中有些证明和推理是不需要文字的，仅凭图形就能清楚解释数学公式或道理，这种以图代字、不证自明的“无字证明”比严谨的文字证明更为优雅和有条理。
图形数字推理技巧
行测考试中图形数字推理备考要点目前，图形数字推理常见的题型有三种：㈠圆圈型数字推理：1、有心圆圈型；2、无心圆圈型；㈡九宫格数字推理：3×3网格形式；㈢其他几何型数字推理：1、三角形；2、环形；3、正方形；4、长方形一、圆圈型数字推理1、有心圆圈型：周边数字通过运算得到中间圈内的数字。
2、无心圆圈型：周边数字之间满足一个基本运算等式。
解题一般规律1、基本规律是通过加减乘除，较少情况用到“倍数”和“乘方”。
2、运算方向一般为上下、左右、交叉（交叉最常见）。
(一) 有心圆圈型1、奇数法则：（1）如果每个圆圈中都是偶数个奇数，那么解题一般从“加减”入手。
（2）如果有一个圆圈中有奇数个奇数，那么这道题一般无法通过“加减”完成，应该优先考虑“乘法”和“除法”。
2、非奇数解法：（1）先加减，后相乘。
如果前面两个中心数字容易分解，先对其分解，然后在周边数字中构造因数。
（2）先乘除，后加减。
如果两个中心数字有一个较大且不易分解，应先从周边数字出发，选取两个先相乘，然后进行修正。
（二）无心圆圈型1、运算目标：有心圆圈型一般以中心数字为运算目标，而无心圆圈型从形式上看没有一个确定的目标，那么一般的运算目标我们定位为，圆圈中的两个数字的加减乘除=两外两个数字的加减乘除。
2、当无心圆圈型涉及到乘法，优先考虑较小数字相乘。
3、把一个两位数字拆分成个位数和十位数，分别放在圆圈的两个位臵得考法，大家一定要注意。
二、九宫格数字推理（一）等差等比型（最简单，越来越少考）：数字沿行方向与列方向呈等比或等差规律。
（二）分组计算型：九宫格中按照行和列分组计算，得到的结果呈简单规律。
（三）线性递推型（较常见）：一般模式为“第一列的a倍加上第二列的b倍等于第三列”，但目标数列可能是第一列，也可能是第三列。
三、其他几何型数字推理（一）三角形：中心数字为运算的目标数字。
（二）正方形（略）（三）五格型（略）图形形式数字推理常见题型一、圆圈形式数字推理此类题型题干是几个圆圈，每个圆圈被分成四份，考生需要总结前几个圆圈中数字之间的关系，选择最恰当的一项，使得最后一个圆圈也符合前面的规律。
图形数字推理技巧
行测考试中图形数字推理备考要点目前，图形数字推理常见的题型有三种：㈠圆圈型数字推理：1、有心圆圈型；2、无心圆圈型；㈡九宫格数字推理：3×3网格形式；㈢其他几何型数字推理：1、三角形；2、环形；3、正方形；4、长方形一、圆圈型数字推理1、有心圆圈型：周边数字通过运算得到中间圈内的数字。
2、无心圆圈型：周边数字之间满足一个基本运算等式。
解题一般规律1、基本规律是通过加减乘除，较少情况用到“倍数”和“乘方”。
2、运算方向一般为上下、左右、交叉（交叉最常见）。
(一) 有心圆圈型1、奇数法则：（1）如果每个圆圈中都是偶数个奇数，那么解题一般从“加减”入手。
（2）如果有一个圆圈中有奇数个奇数，那么这道题一般无法通过“加减”完成，应该优先考虑“乘法”和“除法”。
2、非奇数解法：（1）先加减，后相乘。
如果前面两个中心数字容易分解，先对其分解，然后在周边数字中构造因数。
（2）先乘除，后加减。
如果两个中心数字有一个较大且不易分解，应先从周边数字出发，选取两个先相乘，然后进行修正。
（二）无心圆圈型1、运算目标：有心圆圈型一般以中心数字为运算目标，而无心圆圈型从形式上看没有一个确定的目标，那么一般的运算目标我们定位为，圆圈中的两个数字的加减乘除=两外两个数字的加减乘除。
2、当无心圆圈型涉及到乘法，优先考虑较小数字相乘。
3、把一个两位数字拆分成个位数和十位数，分别放在圆圈的两个位置得考法，大家一定要注意。
二、九宫格数字推理（一）等差等比型（最简单，越来越少考）：数字沿行方向与列方向呈等比或等差规律。
（二）分组计算型：九宫格中按照行和列分组计算，得到的结果呈简单规律。
（三）线性递推型（较常见）：一般模式为“第一列的a倍加上第二列的b倍等于第三列”，但目标数列可能是第一列，也可能是第三列。
三、其他几何型数字推理（一）三角形：中心数字为运算的目标数字。
（二）正方形（略）（三）五格型（略）图形形式数字推理常见题型一、圆圈形式数字推理此类题型题干是几个圆圈，每个圆圈被分成四份，考生需要总结前几个圆圈中数字之间的关系，选择最恰当的一项，使得最后一个圆圈也符合前面的规律。
大模型推理题目
以下是几何六大模型推理：
鸟头（共角）模型：两个三角形中有一个角相等或互补，特点是有相等的角或共同的角或有互补的角。
倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形。
当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或倍长类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。
已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”模型。
等腰三角形有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相等或边相等。
已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理。
在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：DE∥BC，且DE=1/2BC来解题。
全等变换：包括平移、对称、旋转等模型。
平移模型是平行等线段（平行四边形）；对称模型是以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等；旋转模型是相邻等线段绕公共顶点旋转。
构造法：当问题条件不够时，可以通过构造新的条件来解决问题。
例如，通过构造辅助线、辅助圆或辅助图形等方式来添加新的条件，从而将问题转化为易于解决的形式。
以上是几何六大模型推理，希望对你有所帮助。
2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议
2020高考数学解析几何内容剖析及备考建议解析几何是高中数学的重要内容。
高考主要考查直线与圆、椭圆、抛物线、双曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。
其中直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系是考查重点。
运动与变化是研究几何问题的基本观点，利用代数方法研究几何问题是基本方法。
试题强调综合性，综合考查数形结合思想、函数与方程思想、特殊与一般思想等思想方法，突出考查考生推理论证能力和运算求解能力。
一、直线与方程1．在平面直角坐标系下，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2. 理解直线的倾斜角概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．3．能根据两条直线的斜率判断两条直线平行或垂直．4．掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的三种形式（点斜式、两点式、一般式），了解斜截式与一次函数的关系．5．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．6．掌握两点间的距离公式，点到直线的距离公式，会求两平行直线间的距离．二、圆的方程1．掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程．2．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判定圆与圆的位置关系．3．能用直线与圆的方程解决一些简单的问题。
4 ．初步了解用代数方法处理几何问题的思想。
三、空间直角坐标系1．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2．会简单应用空间两点间的距离公式。
四、圆锥曲线（理科）1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．4．了解曲线与方程的对应关系。
5．理解数形结合思想。
了解圆锥曲线的简单应用。
四、圆锥曲线（文科）1．掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）．2．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率、渐近线）．3．了解抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质（范围、对称轴、顶点、离心率）．4．理解数形结合思想。
2024年七年级数学上册第二章几何图形的初步认识复习题及答案解析微探究小专题4与角平分线有关的计算
°−°
所以∠ BMA1＋∠ CMD1＝
＝75°.
所以∠ BMC ＝∠ BMA1＋∠1＋∠ CMD1＝30°＋75°＝105°.
思路点拨
此题主要考查折叠的性质，角平分线的性质，将∠ BMA1＋∠ CMD1
看成一个整体求解，运用了整体思想.
(2)受兴趣小组的启发，智慧小组将一个直角三角尺中60°角的顶点放
在点 O 处(如图3)，即当∠ COD ＝60°时，请你求出∠ MOC ＋∠ DON
的度数；
数学思考：(3)请你在图1中，求∠ MOC ＋∠ DON 的度数(用含有α的式
第二章
几何图形的初步认识
微探究小专题4
与角平分线有关的计算
微探究小专题4
类型1
与角平分线有关的计算
与角的和差倍分有关的计算
1. 如图，直线 AB ， CD 相交于点 O ，∠ DOE ＝90°， OF 平分
∠ BOD ，∠ AOE ＝24°，则∠ DOF 的度数是(
A. 24°
B. 33°
1
2
B
)
所以∠ BOD ＝ ∠ AOB ＝15°.
因为∠ BOC ＝50°，
所以∠ DOC ＝∠ BOC －∠ BOD ＝35°.
综上所述，∠ DOC 的度数为35°或65°.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
微探究小专题4
与角平分线有关的计算
4. 在同一平面内，若∠ BOA ＝50°，∠ BOC ＝30°， OM 平分
1
2
3
4
5
6
7
8
几何图形推理方法
几何图形推理方法几何图形推理是指通过观察和分析几何图形的性质和关系，以推断出未知的信息或构造出满足特定条件的图形的方法。
在解决几何问题时，有效的推理方法可以帮助我们更快地找到解决方案，并提高问题解决的准确性和效率。
本文将介绍几个常见的几何图形推理方法，帮助读者更好地理解和应用。
1. 基于图形特征的推理方法几何图形通常具有特定的性质和特征，通过观察和分析这些特征，我们可以得出很多推理结论。
例如，如果一个四边形的对角线互相垂直且相等，那么它是一个正方形。
在这种推理方法中，我们可以通过观察图形的边长、角度、对称性等特征，推导出相应的结论。
2. 基于图形相似性的推理方法几何图形的相似性是指它们形状和比例相同或相似。
根据几何图形的相似性，我们可以进行比例推理和相似图形构造。
比例推理是指通过图形的相似性，建立起几何图形间边长比例的关系。
而相似图形构造则是通过直接构造相似图形，满足特定条件的几何要求。
通过这种推理方法，我们可以精确计算图形的面积比例、边长比例等参数。
3. 基于图形的变换推理方法图形的变换是指通过平移、旋转、对称等操作，改变图形的位置、方向或形状。
利用图形的变换特性，我们可以推导出一些结论。
比如，通过对称变换，我们可以得出两个对称图形相等的结论。
通过旋转变换，我们可以根据旋转角度和次数，得出图形间角度关系的推理结论。
变换推理方法是一种直观而强大的几何图形推理方法。
4. 基于等价推理的方法等价推理是指利用几何图形的等式关系进行推理。
在几何图形中，有很多等式关系成立，如勾股定理、余弦定理等。
利用这些等式关系，我们可以推导出一些角度、边长的值。
例如，已知一个三角形的两个角度和一边的长度，我们可以通过正弦定理计算出第三边的长度。
通过等式关系的推理方法，我们可以在解决几何问题时，利用已知的条件得出未知的结果。
几何图形推理方法是解决几何问题的重要手段。
通过运用不同的推理方法，我们可以更深入地理解几何图形的性质和关系，并能更高效地解决与几何图形相关的问题。
数学中的几何证明与推理
数学中的几何证明与推理几何学是数学的一个重要分支，研究物体的形状、大小、位置关系以及它们之间的变换关系。
在几何学中，证明和推理是非常重要的，通过证明和推理，我们可以准确地得出结论。
本文将探讨数学中的几何证明与推理的重要性以及一些常见的证明方法。
一、几何证明的重要性几何证明是数学中的基础性内容，它能够帮助我们正确理解和应用几何概念、定理和公式。
通过几何证明，我们可以深入理解各种几何定理，将抽象的数学概念转化为具体的几何图形，从而得出更加准确和有力的结论。
几何证明还培养了我们的逻辑思维能力和问题解决能力。
在证明的过程中，我们需要运用严密的逻辑推理，按照一定的步骤和规律进行推导，找到问题的解决方法。
通过不断练习几何证明，我们可以提高自己的思维敏捷性和逻辑推理能力，培养问题发现和解决问题的能力。
二、常见的几何证明方法1. 直观法：直观法是几何证明中最常用的方法之一，它通过观察几何图形的形状和性质，找出其中的规律和关系，从而得出结论。
直观法通常适用于一些简单的几何问题，对于复杂的问题则需要运用其他更加严谨的证明方法。
2. 数学归纳法：数学归纳法是几何证明中常用的一种推理方法。
它通过证明当n为某个整数时，命题成立，然后通过推理证明当n+1时，命题也成立。
这样一步步推理下去，最终可以得出结论。
数学归纳法的应用范围广泛，特别适用于证明一些集合上的性质。
3. 反证法：反证法是一种常见的证明方法，它通过假设结论不成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题的真实性。
反证法通常用于证明某些命题的唯一性或者存在性，它能够帮助我们找出许多非常规的证明思路。
4. 构造法：构造法是一种通过构造特殊的例子或者图形来证明结论的方法。
通过巧妙地构造特殊的情况，我们可以得到一些直观而有力的证明。
构造法经常用于证明一些几何问题的存在性和特殊情况下的性质。
5. 应用基本定理法：几何学中有许多重要的基本定理，我们可以通过应用这些基本定理，将待证命题和已知条件相联系，逐步推导出结论。
立体几何初步复习
学 校： 年 级： 教学课题：立几初步 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：教学目标 复习立体几何初步的内容教学内容一、空间几何体的结构及其三视图和直观图1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相_______，其余各面都是__________，且每相邻的两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -特征：两底面是对应边平行的_____________；侧面、对角面都是平行四边形,侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
（2）棱锥:定义：有一个面是_______，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的几何体。
分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''E D C B A P -特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面__________，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
（3）棱台：定义：用一个___________的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -特征：①上下底面是_______平行多边形 ②侧面是_________________, ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以______的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体.特征：①底面是__________；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直； ④侧面展开图是一个_______。
8.7几种简单的几何图形及其推理
几种简单的几何图形及其推理等量公理1. 等量加等量，和相等。
即如果a=b ，那么a+c=b=c2. 等量减等量，差相等。
即如果a=b ，那么a-c=b-c3. 等量的同倍量相等。
即a=b ，那么am=bm4. 等量的同分量相等。
即a=b ，且m ≠0，那么m a =mb 5. 在等式中，一个量可以用它得等量来代换称为等量代换。
即如果a=b ，b=c ，那么a=c定理：同角（或等角）的余角相等 定理：同角（或等角）的补角相等 练习11. 若∠1和∠2互为余角，则∠1+∠2=______.2. 若∠1和∠2互为补角，则∠1+∠2=______.3. 30°的余角等于_____，补角等于_______.4. 25°30′角的余角等于_______，补角等于________.5. 如图，∠AOC=∠BOD=90°，∠BOE=∠COD ，则图中互为余角的角共有（ ）对A.2B.3C.4D.5 6. 互补的两个角可以都是（ ）Ａ.锐角 Ｂ.直角 Ｃ.钝角 Ｄ.平角 7. 一个角比它的余角的3倍小10°，求这个角的度数.对顶角的性质：对顶角相等 练习21.下列说法中正确的是（ ）A.对顶角相等B.相等的角是对顶角C.邻补角相等D. 互补的角是邻补角 2.如图，图中对顶角共有（ ）A.6对B.11对C.12对D.13对3.如图，已知∠α+∠β=80°，求∠α、∠γ的度数4.已知：如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC=40°，∠EOD=110°。
求∠1、∠AOD、∠2的度数.同位角、同旁内角、内错角练习31.指出图1中所给的角中，哪些角是同位角，内错角和同旁内角2.指出图2中的内错角和同旁内角3.指出图3中的内错角4.指出图中所给的角中，哪些角是同位角，内错角和同旁内角5.找出图中所有的对顶角，同位角，内错角和同旁内角平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
四年级上册数学学案-总复习 几何与图形｜北师大版
四年级上册数学学案-总复习几何与图形｜北师大版一、引言几何与图形是小学数学教学的重要组成部分，旨在培养学生的空间观念和图形认知能力。
本学案以北师大版四年级上册数学教材为依据，对几何与图形进行总复习，帮助学生巩固所学知识，提高解题技能。
二、复习目标1. 理解和掌握平面图形的基本特征和分类。
2. 学会观察和分析图形，培养空间观念和图形认知能力。
3. 能够运用图形的对称、平移、旋转等性质解决实际问题。
4. 掌握图形的周长、面积计算方法，并能灵活运用。
5. 提高解决实际问题的能力，培养数学思维和创新能力。
三、复习内容1. 平面图形的认识和分类（1）认识和掌握三角形、四边形、圆等基本平面图形。
（2）了解平面图形的分类，如按边数、按角的大小等。
2. 图形的对称、平移、旋转（1）理解图形的对称性质，能判断一个图形是否对称。
（2）掌握图形的平移和旋转，能描述图形平移、旋转后的位置变化。
3. 图形的周长和面积（1）理解图形的周长和面积的概念。
（2）掌握三角形、四边形、圆的周长和面积计算公式。
（3）能够运用公式解决实际问题。
4. 图形在实际生活中的应用（1）能够观察和分析实际生活中的图形问题。
（2）运用所学知识解决实际问题，如平面布置、图形拼接等。
四、复习方法1. 采用讲解、讨论、练习相结合的方式，帮助学生巩固所学知识。
2. 设计丰富多样的练习题，提高学生的解题技能。
3. 鼓励学生积极参与，培养学生的合作意识和团队精神。
4. 注重培养学生的观察、分析、创新能力，提高数学素养。
五、复习安排1. 课堂复习：每节课前进行5-10分钟的复习，巩固上节课所学内容。
2. 课后练习：布置适量的课后练习题，让学生独立完成。
3. 单元测试：每个单元结束后进行测试，检验学生的学习成果。
4. 期末总复习：期末前进行全面复习，为期末考试做好准备。
六、总结与评价1. 对学生的复习情况进行定期检查，了解学生的学习进度。
2. 对学生的课堂表现、作业完成情况进行评价，鼓励优秀，督促改进。
中考数学几何典型例题
中考数学几何典型例题一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。
图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。
图形与转换中建议：能够运用轴对称、位移、转动的科学知识化解直观问题。
二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。
在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。
举例：1、与相近及圆有关的基本图形3、基本辅助线（1）角平分线——过角平分线上的点向角的两边并作垂线（角平分线的性质）、凸状；【参看(一)1；（二）1；西城中考总备考p57基准6】*（2）与中点相关——倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形斜边中线；【参见(一)2、3、4、5】*（3）共端点的等线段——转动基本图形（60°，90°），结构圆；垂直平分线，角平分线——凸状；迁移线段——位移基本图形（线段）线段间有特定关系时，凸状；【参看(一)6,7,8,9】（4）特定图形的辅助线及其搬迁——梯形的辅助线（什么时候须要这样嵌入？）等【参看．．．．(一)7】作双高——上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数平移腰——上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形——三角形平移对角线——上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。
（p5——2021北京，25*）……备注：在绘制辅助线时必须特别注意同样辅助线的相同观点，可能会引致解题难度存有很大差异。
初二的几何知识点总结归纳
初二的几何知识点总结归纳在初二数学课程中，几何是一个非常重要的内容，它涉及到了图形的性质、运算以及几何推理等方面的知识。
下面将对初二的几何知识点进行总结归纳，帮助同学们回顾复习。
一、平面图形1. 三角形三角形是初二几何中最基础的概念之一。
根据边长和角度的不同，我们可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度相等，等腰三角形的两条边长度相等。
三角形的内角和为180度，我们可以根据角度的大小将其分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
2. 四边形四边形是有四条边的图形，常见的四边形包括矩形、正方形、平行四边形和菱形等。
矩形的四个角都是直角，对角线相等；正方形是具有相等边长和四个直角的特殊矩形；平行四边形的对边平行且相等；菱形的对角线相等且相互垂直。
3. 圆形圆是几何中另一个重要的图形，它由一个平面上所有到一个固定点（圆心）距离相等的点组成。
我们常常用半径、直径和周长来描述圆的性质。
圆的周长等于2π乘以半径，直径是两个圆心之间的距离。
二、空间图形1. 立体图形在初二的几何学中，学生将接触到一些常见的立体图形，如长方体、正方体和圆柱体等。
长方体有六个面，分别是前、后、左、右、上和下；正方体是六个面都相等的立方体；圆柱体由一个圆形底面和一个平行于底面的圆形顶面构成。
2. 体积和表面积了解立体图形的容积和表面积是初二学习几何的重点。
体积是立体图形所占的空间大小，我们可以通过公式计算得到不同立体图形的体积。
表面积是立体图形所有面的总面积，同样可以通过公式进行计算。
三、几何推理1. 同位角和对顶角同位角是指两条平行线与一条截线所形成的对应角，它们的大小相等。
对顶角是指两条交叉直线所形成的相互对应的角，也是相等的。
2. 平行定理和相交定理平行定理是指若两条直线在同一平面内被一条截线所截，而截线的两边内或外的对内或对外的同位角相等，则这两条直线平行。
相交定理是指若两条直线在同一平面内被一条截线所截，而截线的两边内、对内或对外的同位角之和为180度，则这两条直线相交。
几种简单几何图形及其推理(一)
⑵互补或互余的两个角只与它们的和有关，而与它们的位置无关；
⑶同一个角的余角与补角相差90°。
想一想：1.如图OC⊥AB，∠1=∠2，图中共有多少对互为余角的角？
答：∠2与∠COE，∠AOD与∠1，∠1与∠COE，∠AOD与∠2
动手实践并回答问题
举例说明
思考回答问题
演示课件
培养学生初步的几何推理过程
渗透方程思想解决几何问题
2.如图，O是直线AB上一点，∠1=∠2，图中共有多少对互为补角的角？
答：∠1与∠COB，∠2与∠AOD，∠1与∠AOD，∠2与∠COB
二、余角补角性质
想一想：完成下面证明过程（练习册P74第2题）
∵∠1+∠2=90°（已知）
∠1+∠3=90°（已知）
两侧
Z
同旁内角
内部
同侧
C
⑵辨别图形中的三种角，关键是找出哪两条直线被哪条直线所截，两个角中必有一公共边——即是第三条截线，而另外两边即是被截的两条直线，可用彩色笔将其恢复画出，再根据上表三种角的特征加以识别即可。
⑶注意“三线八角”的前提，必须是两条直线被第三条直线所截，所形成的特殊角的关系。
三、例题
例1如图，找出图中所有的同位角、内错角、同旁内角。
解：图1中∠1和∠3，∠2和∠4是同位角，∠2和∠3是同旁内角，没有内错角。
例2填空：图2中∠3与∠C是直线DE和BC被直线AC所截而成的内错角；
∠B与∠2是内错角，是直线DE和BC被直线AB所截而成的角；
∠C与∠DAC是直线BC和DE被直线AC所截成的同旁内角。
三、例题
例如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，且∠AOC=∠AOD-80°，求∠AOE的度数。
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几种简单的几何图形及其推理复习专题一、基础知识1．线段的中点（如图） ∵点O 是AB 的中点（已知）∴ = （ ）2．角的平分线（如图） ∵OC 是∠AOB 的平分线（已知）∴∠ =∠ （ ）3．垂线（互相垂直） ∵CD ⊥AB 于点O （已知）∴∠ = °（ ）4．对项角①∵直线 AB 、CD 相交于O （已知） ∴∠AOD=∠BOC （ ） ②∵AOB 是一条直线（已知）∴∠AOC +∠BOC=180°（ ） 5．互余与互补① ∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°(已知) ∴∠ =∠ ( ) ② ∵∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°(已知) ∴∠ =∠ ( )③ ∵∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°且∠2=∠4 (已知) ∴∠ =∠ ( ) ④ ∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°且∠2=∠4 (已知) ∴∠ =∠ ( ) 6．平行线的判定与性质如图① ∵ ∠1=∠A(已知) ∴ AB ∥CD ( ) ② ∵ ∠1=∠C(已知)∴ AB ∥CD ( )③ ∵ AB ∥CD(已知) ∴ ∠1=∠A( ) ④ ∵ AD ∥BC(已知)∴ ∠1=∠C( )⑤ ∵ ∠3=∠4(已知)∴ ∥ ( ) ⑥ ∵ ∠2=∠5(已知)∴ ∥ ( ) ⑦ ∵ ∠A+∠ABC=180°(已知) ∴ ∥ ( ) ⑧ ∵ AD ∥BC(已知)∴ ∠ =∠ ( ) ⑨ ∵ AB ∥CD(已知)∴ ∠ =∠ ( ) 7．等量公理（等式性质）如图① ∵∠AOD=∠BOC(已知)∴∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD( ) 即∠1=∠2A BO · · · AB O C1 2 A BO · · C D C A BD O A BC D E1 3 42 5A O CDB2 13② ∵CE=BF(已知) ∴CE+EF=BF+EF( ) 即CF=BE③∵BO 平分∠ABC(已知)∴∠OBC=21∠ABC( )∵CO 平分∠ACB(已知) ∴∠OCB=21∠ACB( ) ∵∠ABC=∠ACB(已知 )∴∠OBC=∠OCB( ) 二、概念的理解与定理的应用1）．基本图形2）．单项选择题1、下列命题中是真命题的是（ ）A 、延长角平分线OC.B 、同旁内角互补.C 、互余的两角都是锐角.D 、互补的两角必有一个钝角和一个锐角. 2、下列命题中是假命题的是（ ）A 、邻补角一定互补.B 、对顶角相等.C 、同位角相等.D 、等角的补角相等. 3、下列叙述中，正确的命题个数为（ ）① 垂线段最短. ② 经过两点有并且只有一条直线. ③ 两条直线相交,只有一个交点.④ 过一点有并且只有一条直线与已知直线垂直. ⑤ 相等的角是对顶角. ⑥ 同旁内角相等 ⑦ 互补角一定邻补.⑧ 相等且互补的两角都是90°.A 、8个B 、6个C 、5个D 、4个 4、以下条件中能判断点O 是AB 的中点的是（ ） ① AO=BO ② AO=21AB ③ BO=21AB ④ AB=2AO ⑤ AB=2BO A 、①②③④⑤ B 、①②④ C 、只有① D 、一个都没有5、已知点O 是AB 的中点，以下各式中能成立的是（ ） ① AO=BO ② AO=21AB ③ BO=21AB ④ AB=2AO ⑤ AB=2BO A 、①②③④ B 、①②④ C 、只有① D 、都成立6、已知∠1=87°35′44″,∠2=92°24′56″,则∠1与∠2的关系是（ ）A 、互余B 、互补C 、互为邻补角D 、既不互余也不互补 7、以下条件中能判断射线OC 是∠AOB 的平分线的是（ ） ① ∠AOC=∠BOC ② ∠AOC=21∠AOB ③ ∠BOC=21∠AOB ④ ∠AOB=2∠AOC ⑤ ∠AOB=2∠BOC A 、①②③④⑤ B 、①②④ C 、只有① D 、一个都没有A BC D E F A BCOA B C · · · O ABC ABCD8、已知OC 平分∠AOB ，以下各式中能成立的是 ① ∠AOC=∠BOC ② ∠AOC=21∠AOB ③ ∠BOC=21∠AOB ④ ∠AOB=2∠AOC ⑤ ∠AOB=2∠BOC A 、①②③④⑤ B 、①②④ C 、只有① D 、都不成立9、下列说法中错误的是（ ）A 、平行于同一条直线的两条直线平行.B 、垂直于同一条直线的两条直线平行.C 、经过一点有且只有一条直线平行于已知直线.D 、同一平面内不相交的两条直线叫做平行线. 10、一个角是它的余角的三倍，这个角的度数是A 、22．5°B 、30°C 、60°D 、67.5° 11、下列说法中，正确的个数是（ ）① 同角(或等角)的补角相等. ②一个锐角与一个钝角的和一定大于平角 大于直角的角是钝角. ④ 两个锐角的和是钝角. ⑤ 凡是直角都相等.A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 12、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）13、下列各图中，∠1与∠2不是同位角的是（ ）14、下列各图中，∠1与∠2是内错角的是（ ）15、下列各图中，∠1与∠2是同旁内角角的是（ ）16、下列命题中是假命题的是（ ）A.平行于同一条直线的两条直线互相平行 B 垂直于同一条直线的两条直线互相平行。
C 一条直线与两条平行线中的一条垂直，与另一条直线也垂直。
D 同位角的平分线互相平行。
17下列命题中正确的个数有（ ）① 邻补角的平分线互相垂直. ② 同位角的平分线互相平行 内错角的分线互相平行. ④ 同旁内角的平分线互相平行 ⑤ 同旁内角的平分线互相垂直A 、一个B 、二个C 、三个D 、四个 18、下列说法中正确的是（ ） A 、同位角相等 B 、内错角相等 C 、同旁内角互补 D 、对顶角相等19、如图,BE 、BF 分别平分∠ABD 、∠CBD 图中的互余角共有（ ）A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对1 21 2 1 2 A 1 2 B 1 2 C 1 2 A 1 2 B 12D A B 1 2 C 1 2 D1 2 1 2 1 2 12 1 2 C 12DA C DE FA B C D20、如上题图,BE 、BF 分别平分∠ABD 、∠CBD 图中的邻补角共有（ ）A 、3对B 、4对C 、5对D 、6对 21、如上题图,BE 、BF 分别平分∠ABD 、∠CBD 图中的互补角共有（ ） A 、3对 B 、4对 C 、5对 D 、6对 22、已知：如图，下列推理中有错误的是 A 、∵ ∠1=∠A(已知)∴ AB ∥CD (同位角相等，两直线平行 )B 、∵ ∠1=∠C(已知)∴ AB ∥CD (内错角相等，两直线平行 )C 、∵ AB ∥CD(已知)∴ ∠1=∠A(两直线平行,同位角相等) D 、∵ AD ∥BC(已知)∴ ∠1=∠C(两直线平行,内错角相等) 23、下列推理中,正确的是（ ）A 、∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°(已知) ∴∠2=∠3(同角的余角相等)B 、∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°(已知) ∴∠2=∠3(等角的余角相等)C 、∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°(已知) ∴∠2=∠3(同角的补角相等)D 、∵∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°(已知) ∴∠2=∠3(等角的补角相等) 24、下列推理中正确的是（ ）A 、∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠1=∠3(已知) ∴∠2=∠4(同角的余角相等)B 、∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠1=∠3(已知) ∴∠2=∠4(等角的余角相等)C 、∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠1=∠3(已知)∴∠2=∠4(同角的补角相等)D 、∵∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,∠1=∠3(已知) ∴∠2=∠4(等角的补角相等) 3）填空题集锦1、 如图，图中共有 条线段， 条直线，2、 如图,图中小于平角的角共有 可用一个大写字母表示的角有3、图中的线段共有 条,必须用三个大写字母来表示的角有4、∵ACB 是直线(已知) ∴ + =180°( )5、∵AC ⊥BD 于C(已知)∴∠ACB= °( )6、∵O 为AB 的中点(已知) ∴AO= =21( )7、∵OC 平分∠AOB(已知) ∴∠AOC=21∠ ( ) 8、∵CE=BF(已知)∴CE+EF=BF+EF( ) 即CF=BEC A BDE C A D OAB C A BO · · ·ABC DE F A BC D E 1 第2、3题 AB C D9、∵BO 平分∠ABC(已知)∴∠OBC=21∠ABC( )∵CO 平分∠ACB(已知) ∴∠OCB=21∠ACB( ) ∵∠ABC=∠ACB(已知 ) ∴∠OBC=∠OCB( ) 10、∵AO ⊥OC(已知)∴∠1+∠3= ( )∵BO ⊥OD(已知) ∴∠2+∠3= ( )∴∠1=∠2 ( )11、如图∵CD ⊥AB 于D(已知)∴∠1=∠2= ( ) 12、如图∵直线 AB 、CD 相交于O （已知）∴∠AOD=∠BOC ( ) 13、如图∵点C 是AB 的中点(已知) ∴AC=BC= ( )14、如图 ∵OC 平分∠AOB(已知)∴∠1=∠2= ∠ ( )15、如图∵AC=BD(已知) ∴AC+CD=BD+CD( )即16、如图∵∠AOD=∠BOC(已知)∴∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD即∠1=∠2( )17、如图∵∠1+∠COD=90°,∠2+∠COD=90°(已知) ∴∠1=∠2( )18、如图∵∠1+∠COD=∠2+∠COD(已知)∴∠1=∠2( )AB COA B C DO 13 221 A B D CCA BD O O A C B12 A O C D B 21 1 2A O BC D A BC D · · · · A B C ·· · 第16、17题图第12题图第11题图第14题图第18题图第10题图 第9题图19、已知：如图，∵ ∠3=∠4=72°(已知)∴ AB ∥CD ( ) ∴ ∠1+∠2=180°( ) ∵ ∠1=82°(已知)∴ ∠2=20、36°12′48″的余角是 21、36°12′48″的补角是 22、同一个角的余角比这个角的补角小 度23、点到直线的距离是 ；两点的距离是 三、简单推理1．已知：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠1=28°,∠BOE=90° 求:∠2、∠3的度数2． 已知：如图，直线AB 、CD 相交于O ，OA 平分∠DOE, ∠BOC=24°求:∠DOE 、∠COE 的度数3．已知：如图，AC ⊥BC ，CE 平分∠ACD ，∠1=24°求：∠2的度数4． 已知：如图，AB ∥CD, ∠1=∠2 求证:AD ∥BC5．已知：如图，AB ∥CD, ∠B+∠D=180° 求证：BC ∥DE1 2 3 4A BDC第19题图OCBA D E C AE D 21 12 3OBA DE A B D C2 1B A ED C6．已知：如图，DF∥AB, DE∥AC, 求证: ∠A+∠B+∠C=180°7．已知：如图，BD⊥AB, EF⊥AB于E, ∠1=68°求证: ∠2的度数8．已知：如图，DE∥BC, BE平分∠ABC，∠ABC =50°, ∠C=70°求: ∠DEB、∠BEC的度数AEB CDF12BACDEFAEDC。