高一必修一复合函数的单调性
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又u x 2 1在 2,3 上是减函数。
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
(问：函数y x 2 4 x 3的单调递增区间是什么 ？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间 是定义域的某个区间。
例2.求函数y x 4 x 3的单调递减区间 .
2
解： x 4 x 3 0，即x 4 x 3 0， 1,3. 1 x 3，即函数的定义域为
ຫໍສະໝຸດ Baidu2 2
令u x2 4x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递 增函数 .
练习 1：求y x 4 x 5函数的单调区间。
2
解： x2 4x 5 0
,1 5,。 函数的定义域为
令u x 4x 5, 则y u ,
2
y u在定义域内是增函数。 2 又u x 2 1在2,上是减函数，
（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？
不能
反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性
同加，单调性不变
f x 是 例2 如果 g x 是[m,n]上的减函数，且a g x b ， g x 在[m,n]上也是减函数。 [a,b]上的增函数，求证 f
[ f ( x1 ) f ( x2 )] [ g ( x1 ) g ( x2 )] [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ g ( x1 ) g ( x2 )] 0,即F ( x1 ) F ( x2 )
所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数
（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？ 是
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。 定义域： 1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的定义域由 a g x b 解出。 2、若已知 f g x 的定义域为[a,b],则函数 f x 的定 义域即为 当x a, b时，函数g x 的值域。
在 ,2上是增函数。
,1上是增函数。 y x 2 4 x 5在5,上是减函数，在
小结
（1）掌握复合函数单调性的判断方法.
同增异减
（2）求复合函数的单调区间.
注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.
小结
（一）函数单调性解题应用.
1、已知单调性，求参数范围。(有时候需要讨论)
复合函数单调性
对于复合函数 y f [ g ( x)] 的单调性，必须考虑 y f (u)与 u g ( x)的单调性，从而得出 y f [ g ( x)] 的单调性。
y f ( x)
增函数 增函数 减函数 减函数
u g ( x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [ g ( x)]
复合函数的单调性
思考
例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 是 为什么？
x1 , x2 D, 且x1 x2 f ( x)在区间D上是增函数，g ( x)在区间D上是增函数 f ( x1 ) f ( x2 ), g ( x1 ) g ( x2 ) F ( x1 ) F ( x2 ) [ f ( x1 ) g ( x1 )] [ f ( x2 ) g ( x2 )]
例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的 单调区间。
解： 令t x ＝2 x, 由已知得，f t 在t 2, 6 上是增函数。 而t x 2, 6 , 2 x 2, 6 , x 4, 0 . 又 t x ＝2 x在x 4, 0 上是单调递减的， 由复合函数单调性知： f 2 x f t x 在x 4, 0 上是单调递减的。 f 2 x 的单调减区间是 4, 0 。
2、利用函数单调性求函数的值域或最值。 3、利用单调性求解不等式。(重在转化问题)
4、求函数单调区间的题型(包括求复合函数单调区间)
（二）掌握复合函数单调性的判断方法.
同增异减
（三）求复合函数的单调区间. 注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.
增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
证：x1 , x2 m, n , 且x1 x2 ,
g ( x)是 m, n 上减函数，且a g x b a g ( x2 ) g ( x1 ) b. 又 f x 是 a, b 上的增函数,
f g x2 f g x1 . f g x 在 m, n 上是减函数.
2
y x 2 4 x 3在 2,3 上是减函数。
故函数y x 2 4 x 3的单调递减区间为 2,3。
(问：函数y x 2 4 x 3的单调递增区间是什么 ？）
小结:在求解函数单调区间时必须注意单调区间 是定义域的某个区间。
例2.求函数y x 4 x 3的单调递减区间 .
2
解： x 4 x 3 0，即x 4 x 3 0， 1,3. 1 x 3，即函数的定义域为
ຫໍສະໝຸດ Baidu2 2
令u x2 4x 3，故y u，
y u是定义域内是的单调递 增函数 .
练习 1：求y x 4 x 5函数的单调区间。
2
解： x2 4x 5 0
,1 5,。 函数的定义域为
令u x 4x 5, 则y u ,
2
y u在定义域内是增函数。 2 又u x 2 1在2,上是减函数，
（3）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：能否确定函数F(x)=f(x)+g(x)的单调性？
不能
反例：f(x)=x在R上是增函数，g(x)=-x在R上是减函数 此时 F(x)= f(x)+ g(x)=x-x=0为常函数，不具有单调性
同加，单调性不变
f x 是 例2 如果 g x 是[m,n]上的减函数，且a g x b ， g x 在[m,n]上也是减函数。 [a,b]上的增函数，求证 f
[ f ( x1 ) f ( x2 )] [ g ( x1 ) g ( x2 )] [ f ( x1 ) f ( x2 )] [ g ( x1 ) g ( x2 )] 0,即F ( x1 ) F ( x2 )
所以函数F(x)=f(x)+g(x)在D上仍为增函数
（2）如果函数f(x)在区间D上是减函数， 函数g(x)在区间D上是减函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为减函数？ 为什么？ 是
复合函数: f g x
判断：一个函数的函数值，作为另一个函数的自变量。 定义域： 1、若已知 f x 的定义域为[a,b],则复合函数 f g x 的定义域由 a g x b 解出。 2、若已知 f g x 的定义域为[a,b],则函数 f x 的定 义域即为 当x a, b时，函数g x 的值域。
在 ,2上是增函数。
,1上是增函数。 y x 2 4 x 5在5,上是减函数，在
小结
（1）掌握复合函数单调性的判断方法.
同增异减
（2）求复合函数的单调区间.
注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.
小结
（一）函数单调性解题应用.
1、已知单调性，求参数范围。(有时候需要讨论)
复合函数单调性
对于复合函数 y f [ g ( x)] 的单调性，必须考虑 y f (u)与 u g ( x)的单调性，从而得出 y f [ g ( x)] 的单调性。
y f ( x)
增函数 增函数 减函数 减函数
u g ( x)
增函数 减函数 增函数 减函数
y f [ g ( x)]
复合函数的单调性
思考
例1（1）如果函数f(x)在区间D上是增函数， 函数g(x)在区间D上是增函数。 问：函数F(x)=f(x)+g(x)在D上是否仍为增函数？ 是 为什么？
x1 , x2 D, 且x1 x2 f ( x)在区间D上是增函数，g ( x)在区间D上是增函数 f ( x1 ) f ( x2 ), g ( x1 ) g ( x2 ) F ( x1 ) F ( x2 ) [ f ( x1 ) g ( x1 )] [ f ( x2 ) g ( x2 )]
例1.设y=f(x)的单增区间是(2,6)，求函数y=f(2－x)的 单调区间。
解： 令t x ＝2 x, 由已知得，f t 在t 2, 6 上是增函数。 而t x 2, 6 , 2 x 2, 6 , x 4, 0 . 又 t x ＝2 x在x 4, 0 上是单调递减的， 由复合函数单调性知： f 2 x f t x 在x 4, 0 上是单调递减的。 f 2 x 的单调减区间是 4, 0 。
2、利用函数单调性求函数的值域或最值。 3、利用单调性求解不等式。(重在转化问题)
4、求函数单调区间的题型(包括求复合函数单调区间)
（二）掌握复合函数单调性的判断方法.
同增异减
（三）求复合函数的单调区间. 注意：求函数的单调区间首先要求函数的定义域.
增函数 减函数 减函数 增函数
小结：同增异减。研究函数的单调性，首先考虑函数的定 义域，要注意函数的单调区间是函数定义域的某个区间。
注：
1、复合函数y=f[g(x)]的单调区 间必须是其定义域的子集 2、对于复合函数y=f[g(x)]的单 调性是由函数y=f(u)及u=g(x)的 单调性确定的且规律是“同增， 异减”
证：x1 , x2 m, n , 且x1 x2 ,
g ( x)是 m, n 上减函数，且a g x b a g ( x2 ) g ( x1 ) b. 又 f x 是 a, b 上的增函数,
f g x2 f g x1 . f g x 在 m, n 上是减函数.