直线与圆复习专题
会考复习专题八《直线与圆》
会考复习专题八《直线与圆》1．直线1+=x y 的倾斜角是43)(πA 4)(πB 3)(πC 6)(πD 2．直线230x y ++=的斜率是 (A)12- (B)12(C)2- (D)2 3．若直线y =kx +2的斜率为2，则k = (A)-2 (B)2 (C)21- (D)21 4．直线y=x+2的斜率为.(A)-2 （B ）-1 (C)1 (D)25．圆x 2+y 2-4x +6y +3=0的圆心坐标是(A)(2, 3) (B)(-2, 3) (C)(2,-3) (D)( -2,-3)6．圆22(1)3x y -+=的圆心坐标和半径分别是(A)(1,0),3- (B)(1,0),3 (C)(1,-(1,7．圆心坐标)2,2(，半径等于2的圆的方程是 2)2()2)((22=-+-y x A 2)2()2)((22=+++y x B2)2()2)((22=-+-y x C 2)2()2)((22=+++y x D8. 圆心在（ -2 ，0 ），半径长是3的圆的方程是(A) 3)2(22=+-y x （B ）3)2(22=++y x(C) 9)2(22=+-y x (D) 9)2(22=++y x9．已知直线023:1=--y mx l ，,034:2=-+y nx l 若21l l ⊥，则=mn(A)-12 （B ）3 (C) 4 (D) 1210．设圆C ：(x -5)2+(y -3)2=5，过圆心C 作直线l 与圆交于A ，B 两点，与x 轴交于P 点，若A 恰为线段BP 的中点，则直线l 的方程为(A)x -2y +1=0，x +2y -11=0(B)2x -y -7=0，2x +y -13=0 (C)x -3y +4=0，x +3y -14=0(D)3x -y -12=0，3x +y -18=011．已知点P(5，3)和圆C: 9)1(22=+-y x ，点A 为直线PC 与圆的一个交点（点A,P 在圆心C 的两侧），PB 为圆的一条切线，切点为B ，则∙= (A)58 （B ）532 (C) 564 (D) 5128 12．在平面直角坐标系内，对任意向量),(y x AB =，把绕点A 沿逆时针方向旋转θ角得到向量)cos sin ,sin cos (θθθθy x y x +-=，叫做把点B 绕点A 逆时针旋转θ角得到点P.若直线l 上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转3π后，得到的点的轨迹是直线013=++y x ，则直线l 的方程为(A) 012=+y （B ）01=+y (C) 0123=++y x (D) 013=+-y x13．正方形ABCD 的边长为2，E 是线段CD 的中点，F 是线段BE 上的动点，则⋅的取值范围是（A ）[-1,0]（B ）]54,1[- （C ）]1,54[- （D ）[0,1] 14．设P 是曲线331x x y -=上的一个动点，记P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 ]4,0)[(πA )2,4)[(ππB ),43)[(ππC ),2(]4,0)[(πππ D 15．若直线022=-+y x ，与直线01=--y ax 垂直，则实数a 的取值为16．点(1,0)到直线x -2y -2=0的距离是 ．17．如图，圆C 与y 轴相切于点T (0,2)，与x 轴正半轴交于两点M ，N （点M 在点N 的左侧），且|MN |=3.（1）求圆C 的方程；（2）过点M 任作一条直线与圆O ：x 2+y 2=4相交于点A ，B ，连接AN ，BN .求证：∠ANM =∠BNM .(第17题)参考答案1、B2、A3、B4、C5、C6、D7、C8、D9、D10、 A11、 D12、 D13、 B14、 D15、16、17、。
高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系
高考数学专题复习：直线与圆、圆与圆的位置关系一、单选题1．已知圆22:2440A x y x y +---=，圆22:2220B x y x y +++-=，则两圆的公切线的条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条2．已知点(,)P x y 是直线l ：40kx y -+=(0k >)上的动点，过点P 作圆C ：2220x y y =++的切线PA ，A 为切点，若||PA 最小为2时，圆M ：220x y my +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4D 23．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线2y kx =-上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是（ ） A ．23-B ．13C ．43D ．24．已知直线10x my m -+-=被圆O ：224x y +=所截得的弦长为m =（ ）A ．1-B ．1C ．2D ．5．已知直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，则AB 等于（ ）A ．4B ．C ．D ．36．设a ，b 为正数，若圆224210x y x y ++-+=关于直线10ax by -+=对称，则2a bab+的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．6D ．107．已知圆221:4240C x y x y ++--=，2223311:222C x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则这两圆的公共弦长为（ ）A ．2B ．C ．2D ．18．设0r >，圆()()22213x y r -++=与圆2216x y +=的位置关系不可能是（ ） A ．相切B ．相交C ．内切或内含D ．外切或相离9．已知圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=交直线1y =-于A ，B 两点，则对于θ∈R ，线段AB 长度的最小值为（ ）A ．1B C D ．210．在同一平面直角坐标系下，直线ax by ab +=和圆222()()x a y b r -+-=（0ab ≠，0r >）的图象可能是（ ）．A ．B ．C ．D ．11．圆1C ：221x y +=与圆2C ：()224310x y k x y +++-=（k ∈R ，0k ≠）的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定12．若直线:1l y kx =-与圆()()22:212C x y -+-=相切，则直线l 与圆()22:23D x y -+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定二、填空题13．圆22230x y y ++-=被直线0x y k +-=分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1：3，则k =________.14．过原点且倾斜角为60︒的直线与圆2240x y y +-=相交，则直线被圆截得的弦长为_____.15．过点()2,0与圆22 A: 230x y x +--+=相切的直线方程为__________.16．若直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，则mn 的取值范围是________． 三、解答题17．已知以点()1,1A 为圆心的圆与直线1:220l x y ++=相切，过点()2,0B 的动直线l 与圆A 相交于M ､N 两点. （1）求圆A 的方程；（2）当4MN =时，求直线l 的方程.18．已知圆C ：222430x y x y ++-+=．（1）若直线l 过点(2,0)-且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）从圆C 外一点P 向圆C 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且PM PO =，求PM 的最小值．19．直线l ：y x =与圆C ：()()221316x y -+-=相交于A 、B 两点．（1）求平行于l 且与圆C 相切的直线方程； （2）求ABC 面积．20．已知圆C 过点()2,0R 、()4,2S -，且圆心C 在直线280x y --=上． （1）求圆C 的方程；（2）若点P 在圆C 上，O 为原点，()(),00A t t >，求tan POA ∠的最大值．21．已知圆C 的方程为226440x y x y ++-+=.（1）若直线:10l x y -+=与圆C 相交于M 、N 两点，求||MN 的长; （2）已知点()1,5P ，点Q 为圆C 上的动点，求||PQ 的最大值和最小值.22．已知直线:20l mx y m -+-=，C 的方程为22240x y x y +--=. （1）求证：l 与C 相交；（2）若l 与C 的交点为A 、B 两点，求OAB 的面积最大值.（O 为坐标原点）参考答案1．B 【分析】分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆的位置关系的判定方法，求得两圆的位置关系，即可求解. 【详解】由圆22:2440A x y x y +---=可化为22(1)(2)9x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,2)A ，半径为3R =，由圆22:2220B x y x y +++-=可化为22(1)(1)4x y +++=， 可得圆心坐标为(1,1)B --，半径为2r，则圆心距为d AB == 又由5,1R r R r +=-=，所以R r AB R r -<<+， 可得圆A 与圆B 相交，所以两圆公共切线的条数为2条. 故选：B. 2．B 【分析】根据题意当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，进而可得2k =，再根据圆M 与圆C 外切可得0m >，根据圆M 与直线l 相切，利用圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求出. m 的值.【详解】圆C 的圆心为(0,1)C -，半径为1，当CP 与l 垂直时，||PA 的值最小，此时点C 到直线l 的距离为d =，由勾股定理得22212+=，又0k >，解得2k =， 圆M 的圆心为(0,)2mM ，半径为||2m ， ∵圆M 与圆C 外切，∴||1|(1)|22m m+=--，∴0m >，∵圆M 与直线l 相切，∴|4|2m m -+=2m =， 故选:B 3．C 【分析】根据直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式建立不等式，解之可得选项. 【详解】圆C 的标准方程为22(4)1x y -+=，半径1r =，当圆心(4,0)到直线2y kx =-的距离1d r ≤+时，满足题意，圆心在直线上的射影点即满足题意，故有2d =≤，解得403k ≤≤，即k 的最大值为43， 故选：C. 4．A 【分析】由于直线过定点(1,1)--P，而||OP =OP 垂直，从而由斜率的关系列方程可求出m 【详解】∵直线10x my m -+-=过定点(1,1)--P ，连接OP，则||OP ∴直线10x my m -+-=与OP 垂直，11m=-， ∴1m =-， 故选：A. 5．A 【分析】根据直线():10l mx y m R +-=∈是圆22:4210C x y x y +-++=的对称轴，则圆心在直线l 上，求得m ，由过点()2,A m -作圆C 的一条切线，切点为B ，利用勾股定理即可求得AB . 【详解】由方程224210x y x y +-++=得()()22214x y -++=，圆心为()2,1C -，因为直线l 是圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，所以1m =，所以A 点坐标为()2,1-，则AC =4AB =.故选：A ． 6．A 【分析】求出圆的圆心坐标，得到,a b 的关系，然后利用基本不等式求解不等式的最值即可． 【详解】解：圆224210x y x y ++-+=，即()()22214x y ++-=，所以圆心为(2,1)-， 所以210a b --+=，即21a b +=，因为0a >、0b >，则2222(2)(2)2252229a b a b a b a b ab a ab ab abab+++++⋅===，当且仅当13b a ==时，取等号． 故选：A ． 7．C 【分析】先求出两圆的公共弦所在直线的方程，用垂径定理求弦长. 【详解】由题意知221:4240C x y x y ++--=，222:3310C x y x y ++--=，将两圆的方程相减，得30x y +-=，所以两圆的公共弦所在直线的方程为30x y +-=.又因为圆1C 的圆心为(2,1)-，半径3r =，所以圆1C 的圆心到直线30x y +-=的距离d ==所以这两圆的公共弦的弦长为222223222d .故选：C. 8．D 【分析】计算出两圆圆心距d ，并与两圆半径和作大小比较，由此可得出结论. 【详解】两圆的圆心距d 4r +，4r +，所以两圆不可能外切或相离．9．C 【分析】由题意圆C 的圆心C 在单位圆上，求出点C到直线1y =-的距离的最大值，根据圆的弦长AB =. 【详解】解：由圆C ：()()22cos sin 3x y θθ-+-=，知该圆的半径r =()cos ,sin C θθ在单位圆221x y +=上，∵原点O到直线1y =-12=，则点C 到直线1y =-的距离d 的最大值为13122+=，由AB =d 取最大值32时，线段AB故选：C ．10．D 【分析】根据直线的位置及圆心所在的象限判断参数a 、b 的符号，进而确定正确选项. 【详解】直线ax by ab +=在x ，y 轴上的截距分别为b 和a ，圆心横坐标为a ，纵坐标为b ． A ：由直线位置可得0b <，而由圆的位置可得0b >，不正确． B ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确． C ：由直线位置可得0a >，而由圆的位置可得0a <，不正确．D ：由直线位置可得0a >，0b <，而由圆的位置可得0a >，0b <，正确.11．A 【分析】求出两圆的圆心和半径，再求出两圆的圆心距，与两圆的半径和差比较可得结论 【详解】解：圆1C ：221x y +=的圆心1(0,0)C ，半径为11r =，由()224310x y k x y +++-=，得222325(2)()124x k y k k +++=+，所以圆2C 的圆心为23(2,)2C k k --，半径2r所以12121C C r r +=1>0k ≠）1，所以1221C C r r >-所以两圆相交． 故选：A 12．A 【分析】由直线l 与圆C 相切可构造方程求得k；分别在2k =2k =过比较圆心到直线距离与圆的半径之间大小关系可得位置关系. 【详解】由圆C 方程知其圆心()2,1C直线l 与圆C相切，=2k =由圆D 方程知其圆心()2,0D，半径r =∴圆心D 到直线l距离d =当2k =(()222233021d r+-=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交；当2k =(()222233021d r --=-=<+，即d r <，此时圆D 与直线l 相交； 综上所述：圆D 与直线l 相交. 故选：A. 13．1或3- 【分析】由题意可知较短弧所对圆心角是90︒，此时圆心到直线0x y k +-==，再由点到直线的距离公式求解即可 【详解】由题意知，圆的标准方程为()2214x y ++=，较短弧所对圆心角是90︒，所以圆心()0,1-到直线0x y k +-==1k =或3k =-.故答案为：1或3- 14．【分析】由已知求出直线方程，将圆方程化为标准方程求出圆心和半径，然后求出圆心到直线的距离，再利用弦长、弦心距和半径的关系求出弦长 【详解】解：由题意得直线方程为tan60y x =︒0y -=， 由2240x y y +-=，得22(2)4x y +-=，则圆心为(0,2)，半径为2， 所以圆心(0,2)0y -=的距离为1d ==，所以所求弦长为=故答案为：15．x =2或)2y x =-. 【分析】 分斜率不存在和斜率存在两种情况讨论：斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求出k ，即可求出直线方程.【详解】圆22 A: 230x y x +--+=化为标准方程：()(22 11x y -+=，所以当过点()2,0的直线斜率不存在时，直线l ：x =2与圆相切；过点()2,0的直线斜率存在时，设其为k ，则直线l ：()2y k x =-，因为l 与圆A 相切，所以圆心到直线的距离等于半径，1=，解得：k =，此时l：)2y x =-. 故答案为：x =2或)2y x =-. 16．(,1]-∞【分析】 由题意得直线过圆心，进而得到2240m n +-=，所以mn 可转化为()2n n -，结合二次函数的值域即可求解.【详解】因为直线mx ＋2ny －4＝0（m ，n ∈R ）始终平分圆22420x y x y +--=的周长，所以直线经过圆心，又因为圆心为()2,1，则2240m n +-=，即2m n +=，因此2m n =-，所以()()2222111mn n n n n n =-=-+=--+≤，所以mn 的取值范围是(,1]-∞，故答案为：(,1]-∞.17．（1）()()22115x y -+-=；（2）2x =或0y =.【分析】（1）利用圆心到直线的距离求半径，即可得圆的方程；（2）首先考查直线斜率不存在的直线，判断是否满足4MN =，当直线的斜率存在时，设直线20kx y k --=，利用弦长公式求得斜率k ，即可得直线方程.【详解】解：（1）由题意可知，点A 到直线1l 的距离d =因为圆A 与直线1l 相切，则圆A 的半径r d ==所以，圆A 的标准方程为()()22115x y -+-=（2）①当直线l 的斜率不存在时因为直线l 的方程为2x =.所以圆心A 到直线l 的距离11d =.由（1）知圆的半径为r 4MN ==. 故2x =是符合题意的一条直线.②当直线l 的斜率存在时设直线l 的斜率为k ，则直线20kx y k --=圆心A 到直线l 的距离1d =因为22212MN d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以245+=，即()2211k k +=+，解得0k = 因此，直线l 的方程为0y =综上所述，直线l 的方程为2x =或0y =.18．（1）2x =-或3460x y -+=；（2． 【分析】（1）根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，求出直线的方程，综合即可得答案；（2）根据题意，连接MC ，PC ，分析可得PMC △为直角三角形，即222||||||PM PC MC =-，设(,)P x y ，分析可得||MC ||||PM PO =，分析可得2222(1)(2)2x y x y ++--=+，变形可得P 的轨迹方程，据此结合直线与圆的方程分析可得答案．【详解】解：（1）222430x y x y ++-+=可化为22(1)(2)2x y ++-=．当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =-，易求得直线l 与圆C 的交点为(2,1)A -，()23B -，，2AB =，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设其方程为(2)y k x =+，即20kx y k -+=，则圆心C 到直线l 的距离1d ，解得34k =． 所以直线l 的方程为3460x y -+=，综上，直线l 的方程为2x =-或3460x y -+=．（2）如图，PM 为圆C 的切线，连接MC ，PC ，则CM PM ⊥．所以PMC △为直角三角形．所以222PM PC MC =-．设点P 为(,)x y ，由（1）知点C 为(1,2)-，MC =PM PO =，P 的轨迹方程为2430x y -+=． 求PM 的最小值，即求PO 的最小值，也即求原点O 到直线2430x y -+=的距离，代入点到直线的距离公式可求得PM 的最小值d =19．（1）20x y -++或20x y -+-=；（2）【分析】（1）设切线方程为y x b =+，由切线定义求得b ，进而求得结果；（2）作CD AB ⊥，由点到直线距离公式求得CD ，再由弦长公式求得AB ，进而求得面积.【详解】（1）设切线方程为y x b =+，则圆心(1,3)C 到切线的距离4d r ==，解得2b =±所以切线方程为20x y -++或20x y -+-=；（2）作CD AB ⊥，垂足为D ，CD ==，∴AB ==∴1122ABC S AB CD =⋅=⨯△20．（1）()2244x y -+=；（2 【分析】 （1）根据垂径定理的逆定理可得弦RS 的垂直平分线过原点，又圆心C 在直线280x y --=上，联立直线方程即可得解；（2）根据题意知当OP 与圆相切时，tan POA ∠值最大，计算即可得解.【详解】（1）由20142RS k --==--，线段RS 中点坐标为(3,1)-， 所以线段RS 的垂直平分线为4y x =-，即40x y --=，由28040x y x y --=⎧⎨--=⎩可得圆C 的圆心为(4,0)，易得半径2r ，所以圆C 的方程为22(4)4x y -+=；（2）由圆心在x 轴正半轴上，由()(),00A t t >，所以OA 在正半轴上，由090POA <∠<，故当OP 和圆相切时，即P 为切点时POA ∠最大，此时tan POA ∠最大，tanPOA ∠=. 21．（1）2；（2）最大值为8，最小值为3.【分析】（1）先将圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径，求出圆心到直线l 的距离，由勾股定理可得答案.（2）先求出PC 的长度，由圆的性质可得PC r PQ PC r -≤≤+，从而得到答案.【详解】解：（1）圆C 的一般式方程为()()22329x y ++-=，即圆心()C 3,2-，半径3r =，所以圆心C 到直线l ：10x y -+=的距离d ==所以弦长 2MN ==；（2）5PC ，又3r =，所以max 8PQ PC r =+=，min 2PQ PC r =-=，即PQ 的最大值为8，最小值为3.22．（1）证明见解析；（2）5【分析】 （1）由题知直线l 过定点1,2，且为C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由题知2AB r ==l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =.【详解】解：（1）由题知直线():21l y m x -=-，C 的标准方程为()()22125x y -+-=， 所以直线l 过定点1,2，为圆的圆心，所以直线过C 的圆心，故l 与C 相交；（2）由（1）知直线:20l mx y m -+-=过圆C 的圆心，C 的半径为r =所以2AB r ==所以当O 到直线l 的距离最大时，OAB 的面积取最大值，故当直线l 与直线OC 垂直时，O 到直线l 的距离最大，最大值为OC =所以OAB 的面积最大值为11522AB OC =。
高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)
高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析 由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析 直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析 设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析 依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析 直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析 将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析 直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析 对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析 由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析 圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。
直线与圆的位置关系(复习课)1
在实际应用中，常采用第二种方法判定。
问题：1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向？ 2 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向？
下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水，在砂轮上打磨工件飞
出的火星，都是沿着圆的切线的方向飞出的．
１如图, ⊙O切PB于点 B,PB=4,PA=2,则 ⊙O的半径多少？
B O A
例2已知，如图1 A是半径为2的⊙O上一点， P是OA延长线上的动点，过P点作⊙O的切线 为B.当PB=4时，求PO 的值。
B O A P
谢谢指导
2 如图：PA,PC分别切圆 O于点A,C两点,B为圆O 上与A,C不重合的点,若 ∠P=50°,则∠ABC=___
B
O
A
P
C B
O A
P
３．如图，∠APＣ=50°， PA、PC、DE都为⊙O的切 线，则∠DOE为 65° 。 变式：改变切 C 线ＤＥ的位置， D 则∠DOE＝＿ ＿＿ 65° Ｆ P O E 归纳：只要∠APＣ的 A 大小不变． ∠DOE也 不变．
什么叫点到直线的距离？
.A
D
1.直线外一点到这条直线 垂线段的长度叫点到直线 的距离。 2、连结直线外一点与直线所 垂线段 有点的线段中,最短的是______？
a
d d d r
●
直线与圆相离 d>r, 〈=〉 无公共点 直线与圆相切 d=r, 一个公共点 〈=〉 直线与圆相交 d<r, 两个公共点 〈=〉
如图：已知PA，PB分别切⊙O于A，B 两点，如果∠P=60° ，PA=2，那么 AB的长为_____. 2 变式1:CD也与⊙O相切,切 变式2:改变切点E的位置(在劣 P 弧ＡＢ上)，则△ PCD的周长 点为E.交PA于C点，交PB ４ 为____. 于D点，则△ PCD的周长 C E 4 为____. D
备战2023年新高考数学二轮专题复习直线和圆
专题六解析几何第一讲直线和圆——小题备考微专题1直线的方程及应用常考常用结论1．两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．2．直线方程常用的三种形式(1)点斜式：过一点(x0，y0)，斜率k，直线方程为y－y0＝k(x－x0)．(2)斜截式：纵截距b，斜率k，直线方程为y＝kx＋b.(3)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)3．两个距离公式(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝12√A2+B2.(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝00√A2+B2.保分题1.[2022·山东潍坊二模]已知直线l1：x－3y＝0，l2：x＋ay－2＝0，若l1⊥l2，则a＝()A．13B．－13C．3 D．－32．[2022·湖南常德一模]已知直线l1：ax－4y－3＝0，l2：x－ay＋1＝0，则“a＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．[2022·山东济南二模]过x＋y＝2与x－y＝0的交点，且平行于向量v＝(3，2)的直线方程为()A．3x－2y－1＝0 B．3x＋2y－5＝0C．2x－3y＋1＝0 D．2x－3y－1＝0提分题例1 [2022·江苏海安二模](多选)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是()A．x－2y＋2＝0 B．2x－y－2＝0C．2x＋3y－18＝0 D．2x－3y＋6＝0听课笔记：技法领悟1．设直线的方程时要注意其使用条件，如设点斜式时，要注意斜率不存在的情况；设截距式时要注意截距为零的情况．2．已知直线的平行、垂直关系求参数值时，可以直接利用其系数的等价关系式求值，也要注意验证与x，y轴垂直的特殊情况．巩固训练1[2022·山东临沂三模]数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0)，B(0，4)，C(－4，0)，则其欧拉线方程为________________________．微专题2圆的方程、直线与圆、圆与圆常考常用结论1．圆的方程(1)圆的标准方程当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.(r>0)(2)圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(−D2，−E2)为圆心，√D2+E2−4F2为半径的圆．2．直线与圆的位置关系22222切线长的计算：过点P向圆引切线P A，则|P A|＝√|PC|2−r2(其中C为圆心)．弦长的计算：直线l与圆C相交于A，B两点，则|AB|＝2√r2−d2(其中d为弦心距)．3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0)，(1)(2)两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；(3)求公共弦长时，几何法比代数法简单易求．保分题1.[2022·河北石家庄一模]与直线x＋2y＋1＝0垂直，且与圆x2＋y2＝1相切的直线方程是()A．2x＋y＋√5＝0或2x＋y－√5＝0B．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0C．2x－y＋√5＝0或2x－y－√5＝0D．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝02．[2022·北京卷]若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝()A．12B．－12C．1 D．－13．[2022·湖北十堰三模]当圆C：x2＋y2－4x＋2ky＋2k＝0的面积最小时，圆C与圆D：x2＋y2＝1的位置关系是________．提分题例2 (1)[2022·新高考Ⅱ卷]设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于y＝a对称的直线与圆(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共点，则a的取值范围是________．(2)[2022·山东临沂二模]若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝1的公共弦AB的长为1，则直线a2x＋2b2y＋3＝0恒过定点M的坐标为________．听课笔记：【技法领悟】1．圆的切线方程：(1)过圆上一点的切线方程：对于这种情况可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，进而求出直线方程．(2)过圆外一点的切线方程：这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解(交点)时斜率的值，进而求出直线方程．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理．3．两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在的直线方程，这一结论的前提是两圆相交，如果不确定两圆是否相交，两圆方程相减得到的方程不一定是两圆的公共弦所在的直线方程．巩固训练21.[2022·福建德化模拟]已知点A(－2，0)，直线AP与圆C：x2＋y2－6x＝0相切于点P，则AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP⃗⃗⃗⃗ 的值为()A．－15 B．－9C．9 D．152．[2022·广东梅州二模]已知直线l：y＝kx与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0交于A、B两点，若△ABC为等边三角形，则k的值为()A．√33B．√22C．±√33D．±√22微专题3有关圆的最值问题常考常用结论1．与圆有关的长度或距离的最值问题的解法一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解，注意圆的弦长或切线段的长通常利用勾股定理转化为圆心到直线距离或点到圆心距离．2．与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法形如μ＝y−bx−a型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜率的最值问题；形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离平方的最值问题．3．与距离最值有关的常见的结论(1)圆外一点A到圆上距离最近为|AO|－r，最远为|AO|＋r；(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；(3)直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为圆心到直线的距离d＋r，最小为d－r；(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积．(5)直线外一点与直线上的点的距离中，最短的是点到直线的距离；(6)两个动点分别在两条平行线上运动，这两个动点间的最短距离为两条平行线间的距离．4．与圆有关的面积的最值问题或圆中与数量积有关的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．保分题1.圆x2＋y2＋2x－8＝0截直线y＝kx＋1(k∈R)所得的最短弦长为()A．2√7B．2√2C．4√3D．22．[2022·辽宁抚顺一模]经过直线y＝2x＋1上的点作圆x2＋y2－4x＋3＝0的切线，则切线长的最小值为()A．2 B．√3C．1 D．√53．[2022·辽宁辽阳二模]若点P ，Q 分别为圆C ：x 2＋y 2＝1与圆D ：(x －7)2＋y 2＝4上一点，则|PQ |的最小值为________．提分题例3 (1)[2022·广东汕头一模]点G 在圆(x ＋2)2＋y 2＝2上运动，直线x －y －3＝0分别与x 轴、y 轴交于M 、N 两点，则△MNG 面积的最大值是( )A ．10B ．232C ．92D ．212(2)[2022·山东泰安三模](多选)已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0，则下列说法正确的是( )A ．yx的最大值为43B ．yx 的最小值为0C ．x 2＋y 2的最大值为√5＋1D ．x ＋y 的最大值为3＋√2 听课笔记：技法领悟1．要善于借助图形进行分析，防止解题方法错误．2．要善于运用圆的几何性质进行转化，防止运算量过大，以致运算失误．巩固训练31.[2022·北京昌平二模]已知直线l ：ax －y ＋1＝0与圆C ：(x －1)2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，当a 变化时，△ABC 的面积的最大值为( )A ．1B ．√2C ．2D ．2√22．[2022·辽宁鞍山二模](多选)已知M 为圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2上的动点，P 为直线l ：x －y ＋4＝0上的动点，则下列结论正确的是( )A ．直线l 与圆C 相切B ．直线l 与圆C 相离C ．|PM |的最大值为3√22 D ．|PM |的最小值为√22专题六 解析几何第一讲 直线和圆微专题1 直线的方程及应用保分题1．解析：∵l 1⊥l 2，∴13·(－1a)＝－1⇒a ＝13.答案：A2．解析：若l 1∥l 2，则有－a 2＋4＝0，解得a ＝±2，当a ＝2时，l 1：2x －4y －3＝0，l 2：x －2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 当a ＝－2时，l 1：2x ＋4y ＋3＝0，l 2：x ＋2y ＋1＝0，l 1∥l 2， 所以若l 1∥l 2，a ＝±2，则“a ＝2”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件． 答案：A3．解析：由{x −y =0x +y =2，得x ＝1，y ＝1，所以交点坐标为(1，1)，又因为直线平行于向量v ＝(3，2)，所以所求直线方程为y －1＝23(x －1)，即2x －3y ＋1＝0. 答案：C提分题[例1] 解析：当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝3，此时点A 到直线l 的距离为5，点B 到直线l 的距离为1，此时不成立；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0， ∵点A (－2，2)，B (4，－2)到直线的距离相等，∴√k 2+1＝√k 2+1，解得k ＝－23，或k ＝2，当k ＝－23时，直线l 的方程为y －4＝－23(x －3)，整理得2x ＋3y －18＝0， 当k ＝2时，直线l 的方程为y －4＝2(x －3)，整理得2x －y －2＝0. 综上，直线l 的方程可能为2x ＋3y －18＝0或2x －y －2＝0. 答案：BC [巩固训练1]解析：设△ABC 的重心为G ，垂心为H ， 由重心坐标公式得x ＝0+2+(−4)3＝－23，y ＝0+4+03＝43，所以G (－23，43)．由题，△ABC 的边AC 上的高线所在直线方程为x ＝0，直线BC ：y ＝x ＋4，A (2，0)，所以△ABC 的边BC 上的高线所在直线方程为y ＝－x ＋2， 所以{x =0y =−x +2⇒H (0，2)，所以欧拉线GH 的方程为y －2＝2−430−(−23)x ，即x －y ＋2＝0.答案：x －y ＋2＝0微专题2 圆的方程、直线与圆、圆与圆保分题1．解析：由题得直线x ＋2y ＋1＝0的斜率为－12，所以所求的直线的斜率为2，设所求的直线方程为y ＝2x ＋b ，∴2x －y ＋b ＝0. 因为所求直线与圆相切，所以1＝√4+1，∴b ＝±√5.所以所求的直线方程为2x －y ＋√5＝0或2x －y －√5＝0. 答案：C2．解析：因为直线2x ＋y －1＝0是圆(x －a )2＋y 2＝1的一条对称轴，所以直线2x ＋y －1＝0经过圆心．由圆的标准方程，知圆心坐标为(a ，0)，所以2a ＋0－1＝0，解得a ＝12.故选A.答案：A3．解析：由x 2＋y 2－4x ＋2ky ＋2k ＝0，得(x －2)2＋(y ＋k )2＝k 2－2k ＋4＝(k －1)2＋3， 当k ＝1时，(k －1)2＋3取得最小值，此时，圆心坐标为(2，－1)，半径为√3.因为|CD |＝√22+(−1)2＝√5，√3－1<√5<√3＋1，所以两圆相交． 答案：相交提分题 [例2] 解析：(1)因为k AB ＝a−32，所以直线AB 关于直线y ＝a 对称的直线方程为(3－a )x－2y ＋2a ＝0.由题意可知圆心为(－3，－2)，且圆心到对称直线的距离小于或等于1，所以√4+(3−a )2≤1，整理，得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32.(2) 解析：由C 1：x 2＋y 2＝1和C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝1可得公共弦所在直线方程为x 2＋y 2－[(x −a )2+(y −b )2]＝0，即2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，由公共弦AB 的长为1可得直线2ax ＋2by －a 2－b 2＝0与圆C 1：x 2＋y 2＝1相交弦长即为1，又圆心到直线的距离22√4a 2+4b 2＝√a 2+b 22，故2√1−(√a 2+b22)2＝1，即a 2＋b 2＝3，故直线a 2x＋2b 2y ＋3＝0，可化为a 2x ＋(6－2a 2)y ＋3＝0，整理得a 2(x －2y )＋6y ＋3＝0，由{x −2y =06y +3=0，解得{x =−1y =−12，故定点M 的坐标为(−1，−12). 答案：(1)[13，32] (2)(−1，−12) [巩固训练2]1．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝9，圆心为C (3，0)，半径为3，即|CP⃗⃗⃗⃗ |＝3， 由圆的几何性质可知AP ⊥CP ，所以，AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝(AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗ )·CP ⃗⃗⃗⃗ ＝AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·CP ⃗⃗⃗⃗ −CP ⃗⃗⃗⃗ 2＝−|CP ⃗⃗⃗⃗ |2＝－9. 答案：B2．解析：圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，圆心为C (3，0)，半径为2， 由题意可知，圆心C 到直线l 的距离为d ＝2sin π3＝√3， 由点到直线的距离公式可得d ＝√k 2+1＝√3，解得k ＝±√22.答案：D微专题3 有关圆的最值问题保分题1．解析：直线y ＝kx ＋1过定点(0，1)，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0可化为(x ＋1)2＋y 2＝32， 故圆心为(－1，0)，半径为r ＝3.(0＋1)2＋12＝2<32，所以点(0，1)在圆x 2＋y 2＋2x －8＝0内，(0，1)和(－1，0)的距离为√(−1)2+(−1)2＝√2，根据圆的几何性质可知，圆x 2＋y 2＋2x －8＝0截直线y ＝kx ＋1(k ∈R )所得的最短弦长为2√32−(√2)2＝2√7.答案：A2．解析：直线y ＝2x ＋1上任取一点P (x 0，y 0)作圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0的切线，设切点为A ，圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，圆心C (2，0)，r ＝1， 切线长为√|PC|2−r 2＝√|PC|2−1， |PC |min ＝√22+(−1)2＝√5，所以切线长的最小值为√(√5)2−1＝2.答案：A3．解析：因为|CD |＝7>1＋2，所以两圆相离，所以|PQ |的最小值为7－1－2＝4. 答案：4提分题 [例3] 解析：(1)易知点M (3，0)、N (0，－3)，则|MN |＝√32+32＝3√2， 圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心坐标为(－2，0)，半径为√2， 圆心到直线x －y －3＝0的距离为√2＝5√22， 所以，点G 到直线x －y －3＝0的距离的最大值为5√22+√2＝7√22， 所以，△MNG 面积的最大值是12×3√2×7√22＝212. (2)由实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可得点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －1)2＝1上，作其图象如下，因为yx 表示点(x ，y )与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线OB 方程为y ＝kx ，则圆心(2，1)到直线OB 的距离d ＝√k 2+1＝1，解得：k ＝0或k ＝43，∴yx ∈[0，43]，∴(yx )max ＝43，(yx )min ＝0，A ，B 正确；x 2＋y 2表示圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x ，y )到坐标原点的距离的最大值为|OC |＋1，所以x 2＋y 2的最大值为(|OC |＋1)2，又|OC |＝√22+12， 所以x 2＋y 2的最大值为6＋2√5，C 错，因为x 2＋y 2－4x －2y ＋4＝0可化为(x －2)2＋(y －1)2＝1，故可设x ＝2＋cos θ，y ＝1＋sin θ，所以x ＋y ＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋√2sin (θ＋π4)，所以当θ＝π4时，即x ＝2＋√22，y ＝1＋√22时x ＋y 取最大值，最大值为3＋√2，D 对．答案：(1)D (2)ABD [巩固训练3]1．解析：因为直线l ：ax －y ＋1＝0恒过点(0，1)在圆内，所以直线与圆相交，圆C ：(x －1)2＋y 2＝4的圆心C (1，0)，r ＝2，所以△ABC 的面积的最大值为： S ＝12|CA ||CB |sin ∠ACB ＝12r 2sin ∠ACB ≤12r 2＝12×4＝2.2．解析：圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝2的圆心C (－1，0)，半径r ＝√2， ∵圆心C (－1，0)到直线l ：x －y ＋4＝0的距离d ＝√12+(−1)2＝3√22>r ， ∴直线l 与圆C 相离， A 不正确，B 正确； |PM |≥|PC |－r ≥d －r ＝√22， C 不正确，D 正确． 答案：BD。
高考数学专题复习--直线与圆(多角度)课件
解析：方法一：设 的方程为 ,则 解得 所以 的方程为 .
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√
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解析：因为直线 始终平分圆 的面积，所以直线 始终过圆的圆心 ，又圆 与直线 相切，则圆的半径 ,所以圆 的方程为 .故选D.
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求圆的方程的2种方法
几何法
通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程
代数法
用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程
A. B. C. D.
解析：选A.通解（常规求解法）：设圆 的圆心坐标为 ，连接 ， （图略）.因为 ， ， ，所以 ,所以平行四边形 为菱形，所以 且 .
√
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可得 解得 或 （舍去），则圆心 的坐标为 .因为圆 的半径为 ，所以圆 的方程为 .故选A.优解（特值验证法）：由题意可知，平行四边形 为菱形，则 ，即圆 的半径为 ，排除B，D；将点 代入选项A，C，显然选项A符合.故选A.
A. B. C. D.
解析：根据题意直线 与 轴的交点为 .因为圆与直线 相切，所以半径为圆心到切线的距离，即 ,则圆的方程为 ,故选A.
√
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（2）已知直线 与圆 相切，且直线 始终平分圆 的面积，则圆 的方程为( )
A. B. C. D.
直线和圆的方程复习课资料-2023年学习资料
1.曲线与方程-1曲线上的点的坐标都是这个方程的解；-2以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，-2.求曲 方程-1建立适当的坐标系，用x,y表示曲线上任意一-点M的坐标；-2用坐标x,y表示关系式，即列出方程fx y=0;-3化简方程fx,y=0;-4验证x、y的取值范围。
方程注意点-1、特殊形式的方程都有一定的限制条件。-2、解题时应根据实际情况选用合适的形-式以利解题。-3 当我们决定选用某一特殊形式的方程-时，而又不知道其是否满足限制条件，-应加以讨论，或用特殊形式的变式。-返
点与直线-1、点与直线的位置关系-2、点关于直线对称的点坐标-3、直线关于点对称的直线方程-4、点到直线的 离-练习
高考题选-1、设k心1，fx=kx-1x∈R.在平面直角坐标系-xOy中，函数y=fx的图象与x轴交于A点 它的-反函数y=f-x的图象与y轴交于B点，并且这两-个函数的图象交于P点.已知四边形OAPB的面积-是3 则k等于-0-A3-D-2、已知点P到两定点M-1,0,N1,0距离的比为√2-点N到直线PM的距离为1， 直线PN的方程。-略解：直线PN的方程为：y=-x+1-分析：画图利用解三角形知识，先求∠PMN,再由正弦 理，-求出∠PNM,于是可得直线PN的斜率
两直线相交相关练习-1、光线自右上方沿直线y=2x-1射到x轴上一点M,-被x轴反射，则反射光线所在直线的 程是-y=-2x+1-2、已知△ABC的三边方程是AB:5x一y一12=0，-BC:x+3y+4=0,CA x一5y+12=0,则∠A-π-atctan-3、△ABC的三个顶点是A0,3,B3,3,C2,-0,直线 x=a将△ABC分割成面积相等的两部分，-则a的值是-返回
点与直线练习-1、已知直线☑十和☑-相交于点P2,3,则过点三的直线-方程为-2x+3y=1.-2、点P2 5关于直线x+y=1的对称点的坐标是A-A-4,-1B-5,-2C-6,-3D-4,-2）-3、已知△AB 的一个顶点为A3,-1,∠B被y轴平分，∠C-被直线y=x平分，则直线BC的方程是-A.2x-y+5=0B 2x-y+3=0C.3x-y+5=0D.x+2y-5=0-4、已知点a,2a>0到直线l:x一y+3=0的 离为1，则-a等于v2-1-返回
直线与圆的方程复习专题
直线与圆的方程复习专题直线与圆的方程复专题一、斜率与过定点问题1.已知点A(1,3)、B(2,6)、C(5,m)在同一条直线上，求实数m的值。
直线的斜率为：(6-3)/(2-1)=3，因为三点在同一条直线上，所以AC的斜率也为3，即(m-3)/(5-1)=3，解得m=9.2.已知m≠0，过点(1,-1)的直线ax+3my+2a=0的斜率为：-a/3m，因为过点(1,-1)，所以1a+3(-1)m+2a=0，解得a=3m，代入斜率公式得-k=3m/3m，即k=-1.3.已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2)，若直线l:mx+y-m=0与线段PQ有交点，求m的范围。
设交点为R，则PR的斜率为(2-1)/(2-(-1))=1/3，QR的斜率为(2-1)/(2-(-1))=1/3，因为l与PQ有交点，所以l的斜率也为1/3，即m=1/3+(-1)/3=2/3.二、截距问题：4.若三点A(2,2)、B(a,0)、C(0,b)(ab≠0)共线，则(2-0)/(2-0)=(0-b)/(a-0)，解得a=4b/3，所以11/ab=11/4.5.已知ab0,b0时，直线在第二象限；当a<0,b<0时，直线在第一象限。
6.（1）过点A(1,2)且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为y=x+1；（2）过点A(1,2)且在x轴、y轴截距互为相反数的直线方程为y=-x+3.三、平行垂直：7.已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与直线2x+y-1=0平行，则两条直线的斜率相等，即(m-4)/(-2-m)=1，解得m=-1.8.若直线.9.过点P(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为2x+y-5=0.10.已知直线l1:(m+3)x+4y=5-3m，.五、交点问题：11.过直线.12.若直线l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限，求实数k的取值范围。
直线l与x+y-1=0的交点为(1,k-1)，因为在第一象限，所以1+k-1>0，即k>0；又因为直线l与x+y-1=0的斜率相等，即k=1，所以k=1.六、距离问题：13.已知点(3,m)到直线x+3y-4=0的距离等于1，则|3+3m-4|/√(1^2+3^2)=1，解得m=-2或m=2/3.14.已知直线3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，则它们之间的距离为|3(-6)+2(m)-3|/√(3^2+2^2)=|18-2m|/√13.15.（1）平行于直线3x+4y-12=0且与它的距离是7的直线的方程为3x+4y-47=0；（2）垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是5的直线方程为3x-y-4=0.16.过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程是 y = -2x + 4.七：圆的方程例1、若方程x+y-2x+4y+1+a=0表示的曲线是一个圆，则a的取值范围是 -4<a<6.圆心坐标是(1,-2)，半径是√10.例2、求过点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y=-x上的圆的标准方程，并判断点P(2,4)与圆的关系。
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题(WORD版含答案)
高考数学复习直线与圆专题过关训练100题（WORD 版含答案）一、选择题1.点M ，N 是圆22240x y kx y +++-=上的不同两点，且点M ，N 关于直线10x y -+=对称，则该圆的半径等于A ．．3 2.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形．．．．．。
其作法如下：①作一个正方形ABCD ；②以AD 的中点E 为圆心，以EC 长为半径作圆，交AD 延长线于F ；③以D 为圆心，以DF 长为半径作⊙D ；④以A 为圆心，以AD 长为半径作⊙A 交⊙D 于G ，则△ADG 为黄金三角形。
根据上述作法，可以求出cos36°= A ．415-B ．415+ C ．435+ D ．435-3.已知实数a ，b 满足224a b +=，则ab 的取值范围是 A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．(－∞,－2]∪[2,+∞)D ．[－2,2]4.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，其渐近线与圆()2234x a y -+=相切，则该双曲线的方程为（ ）A ．2213y x -= B ．22139x y -=C ．22125x y -= D ．221412x y -= 5.若直线与圆有公共点，则实数a 取值范围是（ ）A. [－3,－1]B. [－1,3]C. [－3,1]D. （－∞,－3]∪[1,+∞）6.直线20x y -与y 轴的交点为P ，点P 把圆()22136x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．57.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),00A m Bm m ->,．若圆．．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．．90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )．A ．．．7B ．．．．6C ．．．．5D ．．．．4．8.已知圆．．．22:(3)(4)1C x y -+-=和两点．．．()()(,0),,00A m B m m ->．． 若圆．．C ．上存在点．．．．P ．，使得．．． 90APB ∠=︒，则．．m ．的最大值为．．．．．(． )． A ．．．7 B ．．．．6 C ．．．．5 D ．．．．4．9.若函数1)(2+=x x f 的图象与曲线C :()01)(>+=a ae x g x存在公共切线，则实数a 的取值范围为 A ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，26e B ．⎥⎦⎤ ⎝⎛28,0e C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，22e D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛24,0e 10.已知直线x +y =a 与圆x 2+y 2=4交于A 、B 两点，且||||-=+，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为 A ．2 B ．±2 C ．－2D ．2±11.已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P 、Q 分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则|PQ |的最小值为（ ）A 1B ． 2C ．．1函数()e cos xf x x =的图象在(0,f (0))处的切线倾斜角为（ ） A. 0 B . 4π C. 1 D .2π 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆C 1：1222=+y x 和C 2：1422=+y x ，又A 点坐标为(3,－1)，M ，N 是C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A ．0个B ．2个C ．4个D ．无数个 14. 曲线11x y x +=-在点(2,3)处的切线与直线10ax y ++=平行，则a =（ ） A ．12B ．12-C ．－2D ．215.已知过点A (a ,0)作曲线:xC y x e =⋅的切线有且仅有两条，则实数a 的取值范围是A ．(－∞,－4)∪(0,+∞)B ．(0,+∞)C ．(－∞,－1)∪(1,+∞)D ．(－∞,－1) 16.若点P (1,1)为圆2260x y x +-=的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线方程为A ．230x y +-=B ．210x y -+=C ．230x y +-=D ．210x y --= 17.直线2x －y 与y 轴的交点为P ,点P 把圆22(1)36x y ++=的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 A. 2B. 3C. 4D. 518.若函数1()(0,0)bxf x e a b a=->>的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，则a b +的最大值是（ ）C.2D.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．220.中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C 的两条渐近线与圆22(2)1x y -+=都相切，则双曲线C 的离心率是（ ）A ．2B ．221.若直线y x b =+与曲线096422=+--+y x y x 有公共点,则b 的取值范围是( )A. 1,1⎡-+⎣B. 1⎡-+⎣C. 1⎡⎤-⎣⎦D. 1⎡⎤-⎣⎦22.已知直线4x －3y +a =0与⊙C : x 2+y 2+4x =0相交于A 、B 两点，且∠AOB =120°，则实数a 的值为（ ）A ．3B ．10 C. 11或 21 D ．3或13 23.过点（2，1）且与直线3x －2y ＝0垂直的直线方程为A ．2x -3y -1=0B ．2x +3y -7=0C ．3x -2y -4=0D ．3x +2y -8=0 24.若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3b 的取值范围是A ．[1,1-+B ．[1-+C ．[1-D ．[1 25.已知动圆圆心在抛物线y 2=4x 上，且动圆恒与直线x=－1相切，则此动圆必过定点（ ）A. (2,0)B. (1,0)C. (0,1)D.(0,－1) 26.已知曲线421y x ax =++在点(－1，f (－1))处切线的斜率为8，则f (－1)= A ．7B ．－4C ．－7D ．427.已知点(1,2)P 和圆222:20C x y kx y k ++++=，过点P 作圆C 的切线有两条，则k 的取值范围是（ ）A ．RB ．(,)3-∞C ．(33-D ．(3- 28.已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则cos2θ的值为 （ ） A ．35 B ．35- C ．15 D ．15- 29.我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分，我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误．．命题的个数是（ ） P 1:对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一；P 2:如果一个函数是两个圆的太极函数，那么这两个圆为同心圆； P 3:圆22(1)(1)4x y -+-=的一个太极函数为32()33f x x x x =-+； P 4:圆的太极函数均是中心对称图形； P 5:奇函数都是太极函数； P 6:偶函数不可能是太极函数. A. 2B. 3C.4D.530.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程4)3()1(22=-+-y x ，则点P 的轨迹经过（）A. 第一、二象限B.第二、三象限C. 第三、四象限D.第一、四象限 31.直线1-=x y 的倾斜角是（）A.6π B.4π C. 2π D.43π32.已知圆221:1C x y +=，圆222:(3)(4)9C x y -+-=，则圆C 1与圆C 2的位置关系是（）A.内含B.外离C.相交D.相切 33.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的方程为2y x =+，则原点O 到直线l 的距离是A.12D.234.过点()1,1P -作圆()()()22:21C x t y t t R -+-+=∈的切线，切点分别为A,B ，则PA PB ⋅的最小值为A. 103B. 403C. 214D.3 35.已知函数()ln ,f x x x =若直线l 过点(0,－1),且与曲线()y f x =相切,则直线l 的方程为 A.10x y +-= B.10x y ++= C.10x y --= D.10x y -+= 36.圆C ：222x y +=，点P 为直线136x y+=上的一个动点，过点P 向圆C 作切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A ．11(,)23B ．21(,)33C ．11(,)32D ．12(,)3337.过双曲线221916x y -=的右支上一点P ，分别向圆C 1：22(5)4x y ++=和圆C 2：222(5)x y r -+=（0r >）作切线，切点分别为M ，N ，若22PM PN -的最小值为58，则r =（ ）A ．1B ．2 38.已知l 1，l 2分别是函数()|ln |f x x =图像上不同的两点P 1，P 2处的切线，l 1，l 2分别与y 轴交于点A ，B ，且l 1与l 2垂直相交于点P ，则△ABP 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C. (0,+∞) D ．(1,+∞) 39.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则△ABP 面积的取值范围是A ．[2,6]B ．[4,8]C ．D ．40.在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 （A ）1（B ）2（C ）3 （D ）441.若圆1C ：2222()(2)410x m y n m n -+-=++（0mn >）始终平分圆2C ：22(1)(1)2x y +++=的周长，则12m n+的最小值为（ ） A ．3 B ．92C.6 D ．9 42.函数()2ln (0,)f x x x bx a b a =+-+>∈R 的图像在点()(),b f b 处的切线斜率的最小值是（ ）A ．BC ．1D ．243.己知直线1:sin 10l x y α+-=，直线212:3cos 10,sin 2=l x y l l αα-+=⊥若，则 A ．23B ．35±C ．35-D ．3544.若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是（ ） A ．]221,221[+- B ．]3,221[- C ．]221,1[+- D ．]3,221[- 45.已知点)3,1(A ，)33,1(-=B ，则直线AB 的倾斜角是（ ） A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°二、填空题46.若直线20l x y +=：与圆()()22:10C x a y b -+-=相切，且圆心C 在直线l 的上方，则ab 的最大值为___________． 47.在四边形ABCD 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ，△ACD 为等边三角形，则△ABC 的外接圆与△ACD 的内切圆的公共弦长=___________. 48.设圆O 1，圆O 2半径都为1，且相外切，其切点为P ．点A ，B 分别在圆O 1，圆O 2上，则PA PB ⋅的最大值为 ▲ ．49.已知直线10ax y +-=与圆()()22:11C x y a -++=相交于A ，B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则实数a 的值为 ※※ . 50.已知a ，b 为正数，若直线022=-+by ax 被圆422=+y x 截得的弦长为32，则221b a +的最大值是 .51.已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=a = ． 52.在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ． 53.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为 ． 54.如图放置的边长为1的正方形PABC 沿x 轴滚动，点B 恰好经过原点．设顶点(),P x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =有下列判断：①函数()y f x =是偶函数；②对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x +=-；③函数()y f x =在区间[2,3]上单调递减；④函数()y f x =的值域是[]0,1；⑤()2π1d 2f x x +=⎰．其中判断正确的序号是__________．55.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1:22=+y x O ，直线a x y l +=:，过直线l 上点P 作圆O 的切线P A ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得23=+，则实数a 的取值范围是 . 56.已知函数a x y +=ln 的图象与直线1+=x y 相切，则实数a 的值为 . 57.函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 58.已知直线:1l mx y -=。
2022-2023学年人教版高二数学阶段复习精练专题2-5 直线与圆,圆与圆位置关系(解析版)
d=rrd专题2.5 直线与圆，圆与圆之间的位置关系1.直线与圆的位置关系：1. 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+-，圆心到直线的距离22BA C Bb Aa d +++=（1）无交点直线与圆相离⇔⇔>r d ； （2）只有一个交点直线与圆相切⇔⇔=r d ；（3）有两个交点直线与圆相交⇔⇔<r d ；弦长|AB|=222d r - 2.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组⎩⎨⎧=++++=++0022F Ey Dx y x C By Ax 求解，通过解的个数来判断：（1）当0>∆时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交； （2）当0=∆时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切； （3）当0<∆时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；2. 两圆的位置关系1.设两圆2121211)()(:r b y a x C =-+-与圆2222222)()(:r b y a x C =-+-，圆心距221221)()(b b a a d -+-= ① 条公切线外离421⇔⇔+>r r d ； ② 条公切线外切321⇔⇔+=r r d ； ③ 条公切线相交22121⇔⇔+<<-r r d r r ； ④ 条公切线内切121⇔⇔-=r r d ； ⑤ 无公切线内含⇔⇔-<<210r r d ；外离 外切 相交 内切 内含3.切线问题1. 过一点作圆的切线的方程： (1) 过圆外一点的切线： ①k 不存在，验证是否成立①k 存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，即：⎪⎩⎪⎨⎧+---=-=-1)()(2110101k x a k y b R x x k y y(2) 过圆上一点的切线方程：圆(x -a )2+(y -b )2=r 2，圆上一点为(x 0，y 0)，设切线方程上某点坐标为),(y x ，10000-=--⋅--ax by x x y y则过此点的切线方程为：0))(())((0000=--+--y y b y x x a x22020)()(r a x b y =-+- ， 则过此点的切线方程也可为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--特别地，过圆222r y x =+上一点),(00y x P 的切线方程为200r y y x x =+. 2.切点弦过①C ：222)()(r b y a x =-+-外一点),(00y x P 作①C 的两条切线，切点分别为B A 、，则切点弦AB 所在直线方程为：200))(())((r b y b y a x a x =--+--3.切线长：若圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2，则过圆外一点P (x 0，y 0)的切线长为 d =22020b)(+)(r y a x --- 4.圆心的三个重要几何性质：① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；① 圆心在某一条弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。
必修2直线和圆复习题及答案
1．直线方程的几种基本形式及适用条件：(1)点斜式： ，注意斜率k 是存在的．(2)斜截式： ，其中b 是直线l 在 上的截距．(3)两点式： (x 1≠x 2且y 1≠y 2)，当方程变形为(y 2－y 1)(x －x 1)－(x 2－x 1)(y －y 1)＝0时，对于一切情况都成立．(4)截距式： ，其中a ·b ≠0，a 为l 在x 轴上的截距，b 是l 在y 轴上的截距．(5)一般式： ，其中A 、B 不同时为0.1．判定两条直线的位置关系(1)两条直线的平行①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1∥l 2⇔ 且 ，l 1与l 2重合⇔ .②当l 1，l 2都垂直于x 轴且不重合时，则有 .③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1∥l 2⇔A 1B 2＝A 2B 1且B 1C 2≠B 2C 1，l 1与l 2重合⇔A 1＝λA 2，B 1＝λB 2，C 1＝(2)两条直线的垂直①假设l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1⊥l 2⇔ . ②假设两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零，则两条直线 ．③假设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2⇔ .(3)直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2相交的条件是 . 直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0相交的条件是 .自测题1．过点M (－1，m )，N (m ＋1,4)的直线的斜斜角为45° ，则m 的值为2. 以下四个命题中真命题是( )A ．经过定点P 0(x 0，y 0)的直线都可以用方程y －y 0＝k (x －x 0)表示B ．经过任意两个不同点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)－(x －x 1)(y 2－y 1)＝0表示C ．不过原点的直线都可以用x a ＋y b ＝1表示D ．经过定点A (0，b )的直线都可以用方程y ＝kx ＋b 表示3．假设三点A (2,3)，B (3，－2)，C (12，m )共线，则m 的值是________．4．已知直线x ＋a 2y ＋6＝0与直线(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0平行，则a 的值为________．5．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直，则a 等于________．例题例1.已知两点A (－1,2)，B (m,3)，求：(1)求直线AB 的斜率； (2)求直线AB 的方程；例2．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值是______例3.已知直线：l 1：ax ＋2y ＋6＝0和直线l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0.(1)试判断l 1与l 2是否平行；(2)l 1⊥l 2时，求a 的值例4.已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0.试确定m 、n 的值，使：(1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2； (3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.练习题1．以下命题中，正确的选项是( )A ．假设直线的斜率为tan α，则直线的倾斜角是αB ．假设直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan αC ．假设直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大D ．直线的倾斜角α∈[0，π2)∪(π2，π)时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增2.．假设直线l 1，l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7，则l 2的斜率是( ) A.7B ．－77 C.77 D ．－7 3.．两直线x m －y n ＝1与x n －y m ＝1的图像可能是图中的哪一个( )4.．假设点A (a,0)，B (0，b )，C (1，－1)(a >0，b <0)三点共线，则a －b 的最小值等于______5.．过点M (1，－2)的直线与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，假设M 恰为线段PQ 的中点，则直线PQ 的方程为______6.．已知直线l 的斜率为16，且和坐标轴围成面积为3的三角形，求直线l 的方程．7.．已知点M 是直线l ：3x －y ＋3＝0与x 轴的交点，将直线l 绕点M 旋转30°，求所得到的直线l ′的方程．8.．在△ABC 中，已知A (1,1)，AC 边上的高线所在直线方程为x －2y ＝0，AB 边上的高线所在直线方程为3x ＋2y －3＝0.求BC 边所在直线方程．9.．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．(1)假设l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程；(2)假设l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．高中数学必修二直线和圆练习一、选择题1．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔 〕A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x2．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值为〔 〕A ．0B ．8-C ．2D ．103．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔 〕A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限 4．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，假设线段AB 的中点为 (1,1)M -，则直线l 的斜率为〔 〕A ．23B ．32C ．32-D ． 23-. 5. 圆C 1:x 2+y 2+4x-4y+7=0和圆C 2:x 2+y 2-4x-10y+13=0的公切线有( )条条条 D.以上均错6. 已知空间两点A(1,3,5)、B(-3,1,3),则线段AB 的中点坐标为( )A.(-1,2,4)B.(2,1,1)C.(1,0,4)D.(3,3,-1)7.假设直线(1+a)x+y+1=0与圆x 2+y 2-2x=0相切，则a 的值为( )、、8.已知圆C ：(x-a)2+(y-2)2=4(a>0)及直线l ：x-y+3=0，当直线l 被圆C 截得的弦长为32时，则a 等于( ) A.2 B.22- C.12- D.12+二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________.2.经过点P(1,2)与圆x 2+y 2=1相切的直线方程为______________.3. 与两平行直线x+3y-5=0和x+3y-3=0相切,圆心在直线2x+y+3=0上的圆的方程是________.4. 已知圆x 2+y 2-4x+6y-12=0的内部有一点A(4，-2)，则以A 为中点的弦所在的直线方程为______________________.三、解答题1．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
2023年新高考数学大一轮复习专题六解析几何第1讲直线与圆(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第1讲 直线与圆[考情分析] 1.和导数、圆锥曲线相结合，求直线的方程，考查点到直线的距离公式，多以选择题、填空题形式出现，中低难度.2.和圆锥曲线相结合，求圆的方程或弦长、面积等，中高难度．考点一 直线的方程 核心提炼1．已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不同时为零)的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.3．两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(A ，B 不同时为零)间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.例1 (1)若直线l 1：x ＋ay ＋6＝0与l 2：(a －2)x ＋3y ＋2a ＝0平行，则l 1与l 2间的距离为( )A.2B.823C.3D.833答案 B解析 由l 1∥l 2得(a －2)a ＝1×3，且a ×2a ≠3×6， 解得a ＝－1，∴l 1：x －y ＋6＝0，l 2：x －y ＋23＝0，∴l 1与l 2间的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6－2312＋－12＝823. (2)直线ax ＋y ＋3a －1＝0恒过定点N ，则直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为( )A ．2x ＋3y －12＝0B ．2x ＋3y ＋12＝0C ．2x －3y ＋12＝0D ．2x －3y －12＝0答案 B解析 由ax ＋y ＋3a －1＝0可得a (x ＋3)＋y －1＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3＝0，y －1＝0，可得x ＝－3，y ＝1，∴N (－3,1)．设直线2x ＋3y －6＝0关于点N 对称的直线方程为2x ＋3y ＋c ＝0(c ≠－6)． 则|－6＋3－6|4＋9＝|－6＋3＋c |4＋9，解得c ＝12或c ＝－6(舍去)． ∴所求直线方程为2x ＋3y ＋12＝0. 易错提醒 解决直线方程问题的三个注意点(1)求解两条直线平行的问题时，在利用A 1B 2－A 2B 1＝0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性．(2)要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x 轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线． (3)讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．跟踪演练1 (1)已知直线l 经过直线l 1：x ＋y ＝2与l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的斜率为－23，则直线l 的方程是( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以两直线的交点为(1,1)． 因为直线l 的斜率为－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.(2)已知直线l 1：kx －y ＋4＝0与直线l 2：x ＋ky －3＝0(k ≠0)分别过定点A ，B ，又l 1，l 2相交于点M ，则|MA |·|MB |的最大值为________． 答案252解析 由题意可知，直线l 1：kx －y ＋4＝0经过定点A (0,4)，直线l 2：x ＋ky －3＝0经过定点B (3,0)．易知直线l 1：kx －y ＋4＝0和直线l 2：x ＋ky －3＝0始终垂直，又M 是两条直线的交点，所以MA ⊥MB ，所以|MA |2＋|MB |2＝|AB |2＝25，故|MA |·|MB |≤252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当|MA |＝|MB |＝522时取“＝”.考点二 圆的方程 核心提炼 1．圆的标准方程当圆心为(a ，b )，半径为r 时，其标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，特别地，当圆心在原点时，方程为x 2＋y 2＝r 2. 2．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F >0，表示以⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆．例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________． 答案 x 2＋y 2－2x ＝0解析 方法一 设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆经过点(0,0)，(1,1)，(2,0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，2＋D ＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝0，F ＝0.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0. 方法二 画出示意图如图所示，则△OAB 为等腰直角三角形， 故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1， ∴所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1， 即x 2＋y 2－2x ＝0.(2)已知圆C 与x 轴相切于点T (1,0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.则圆C 的标准方程为________________________． 答案 (x －1)2＋(y －2)2＝2 解析 设圆心C (a ，b )，半径为r ， ∵圆C 与x 轴相切于点T (1,0)， ∴a ＝1，r ＝|b |.又圆C 与y 轴正半轴交于两点， ∴b >0，则b ＝r ，∵|AB |＝2，∴2＝2r 2－1， ∴r ＝2，故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2. 规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程． (2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．跟踪演练2 (1)(2020·全国Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x －y －3＝0的距离为( ) A.55B.255 C.355 D.455答案 B解析 由题意可知圆心在第一象限，设为(a ，b )． ∵圆与两坐标轴都相切， ∴a ＝b ，且半径r ＝a ，∴圆的标准方程为(x －a )2＋(y －a )2＝a 2. ∵点(2,1)在圆上，∴(2－a )2＋(1－a )2＝a 2， ∴a 2－6a ＋5＝0，解得a ＝1或a ＝5. 当a ＝1时，圆心坐标为(1,1)， 此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×1－1－3|22＋－12＝255； 当a ＝5时，圆心坐标为(5,5)， 此时圆心到直线2x －y －3＝0的距离为d ＝|2×5－5－3|22＋－12＝255. 综上，圆心到直线2x －y －3＝0的距离为255.(2)已知A ，B 分别是双曲线C ：x 2m －y 22＝1的左、右顶点，P (3,4)为C 上一点，则△PAB 的外接圆的标准方程为________________． 答案 x 2＋(y －3)2＝10解析 ∵P (3,4)为C 上一点，∴9m －162＝1，解得m ＝1，则B (1,0)，∴k PB ＝42＝2，PB 的中点坐标为(2,2)，PB 的中垂线方程为y ＝－12(x －2)＋2，令x ＝0，则y ＝3， 设外接圆圆心为M (0，t )，则M (0,3)，r ＝|MB |＝1＋32＝10， ∴△PAB 外接圆的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10. 考点三 直线、圆的位置关系 核心提炼1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法 (1)点线距离法．(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a 2＋y －b2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．例3 (1)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2B ．42C ．6D ．210 答案 C解析 由题意，得圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，知圆C 的圆心为C (2,1)，半径为2.方法一 因为直线l 为圆C 的对称轴，所以圆心在直线l 上，则2＋a －1＝0，解得a ＝－1， 所以|AB |2＝|AC |2－|BC |2＝[(－4－2)2＋(－1－1)2]－4＝36，所以|AB |＝6.方法二 由题意知，圆心在直线l 上，即2＋a －1＝0，解得a ＝－1，再由图知，|AB |＝6.(2)(2020·全国Ⅰ)已知⊙M ：x 2＋y 2－2x －2y －2＝0，直线l ：2x ＋y ＋2＝0，P 为l 上的动点，过点P 作⊙M 的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，当|PM |·|AB |最小时，直线AB 的方程为( ) A ．2x －y －1＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．2x －y ＋1＝0D ．2x ＋y ＋1＝0答案 D解析 ⊙M ：(x －1)2＋(y －1)2＝4， 则圆心M (1,1)，⊙M 的半径为2. 如图，由题意可知PM ⊥AB ，∴S 四边形PAMB ＝12|PM |·|AB |＝|PA |·|AM |＝2|PA |， ∴|PM |·|AB |＝4|PA | ＝4|PM |2－4.当|PM |·|AB |最小时，|PM |最小，此时PM ⊥l . 故直线PM 的方程为y －1＝12(x －1)，即x －2y ＋1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0，∴P (－1,0)．又∵直线x ＝－1，即PA 与⊙M 相切， ∴PA ⊥x 轴，PA ⊥MA ，∴A (－1,1)． 又直线AB 与l 平行，设直线AB 的方程为2x ＋y ＋m ＝0(m ≠2)， 将A (－1,1)的坐标代入2x ＋y ＋m ＝0，得m ＝1. ∴直线AB 的方程为2x ＋y ＋1＝0. 规律方法 直线与圆相切问题的解题策略直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算．跟踪演练3 (1)已知点M 是抛物线y 2＝2x 上的动点，以点M 为圆心的圆被y 轴截得的弦长为8，则该圆被x 轴截得的弦长的最小值为( ) A ．10B ．43C ．8D ．215答案 D解析 设圆心M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ， 而r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫822＝a44＋16，∵圆M 与x 轴交于A ，B 两点， ∴|AB |＝2r 2－a 2＝2a 44＋16－a 2＝a 4－4a 2＋64＝a 2－22＋60≥60＝215.(2)若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0(a >0)相交，公共弦的长为22，则a ＝________. 答案102解析 联立两圆方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，x 2＋y 2＋ax ＋2ay －9＝0，可得公共弦所在直线方程为ax ＋2ay －5＝0， 故圆心(0,0)到直线ax ＋2ay －5＝0的距离为 |－5|a 2＋4a2＝5a(a >0)．故222－⎝⎛⎭⎪⎫5a 2＝22，解得a 2＝52， 因为a >0，所以a ＝102. 专题强化练一、单项选择题1．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( ) A ．y －x ＝1B ．y ＋x ＝3C ．2x －y ＝0或x ＋y ＝3D ．2x －y ＝0或y －x ＝1答案 D解析 当直线过原点时，可得斜率为2－01－0＝2，故直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0，当直线不过原点时，设方程为x a ＋y－a＝1， 代入点(1,2)可得1a －2a＝1，解得a ＝－1，方程为x －y ＋1＝0，故所求直线方程为2x －y ＝0或y －x ＝1.2．若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A ．1B ．－2C ．1或－2D ．－32答案 A解析 由两直线平行的条件可得－2＋m ＋m 2＝0， ∴m ＝－2(舍)或m ＝1.3．已知圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称，则k 的值为( ) A ．－1B ．1C ．±1D．0 答案 A解析 化圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0为(x ＋k 2)2＋(y ＋1)2＝k 4－4k ＋1. 则圆心坐标为(－k 2，－1)，∵圆x 2＋y 2＋2k 2x ＋2y ＋4k ＝0关于y ＝x 对称， ∴直线y ＝x 经过圆心， ∴－k 2＝－1，得k ＝±1.当k ＝1时，k 4－4k ＋1<0，不合题意， ∴k ＝－1.4．(2020·厦门模拟)已知圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0与直线l 相切于点P (3，3)，则直线l 的方程为( ) A ．3x －3y －6＝0 B ．x －3y －6＝0 C ．x ＋3y －4＝0 D ．x ＋3y －6＝0 答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2－4x ＝0可化为(x －2)2＋y 2＝4，则圆心C (2,0)， 直线PC 的斜率为k PC ＝0－32－3＝3，∵l ⊥PC ，则直线l 的斜率为k ＝－1k PC ＝－33，∴直线l 的点斜式方程为y －3＝－33(x －3)，化为一般式得x ＋3y －6＝0. 5．(2020·长沙模拟)已知直线l 过点A (a,0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( ) A ．3 2 B ．±3 2 C ．±2 D ．± 2答案 D解析 直线l 的方程为y ＝x －a ，即x －y －a ＝0.圆上恰有三个点到直线l 的距离为1，可知圆心到直线的距离等于半径的一半，即|a |2＝1，a ＝± 2.6．已知点P 为圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4上一点，A (0，－6)，B (4,0)，则|PA →＋PB →|的最大值为( ) A.26＋2 B.26＋4 C ．226＋4 D ．226＋2 答案 C解析 取AB 的中点D (2，－3)， 则PA →＋PB →＝2PD →，|PA →＋PB →|＝|2PD →|，又由题意知，圆C 的圆心C 的坐标为(1,2)，半径为2， |PD →|的最大值为圆心C (1,2)到D (2，－3)的距离d 再加半径r ， 又d ＝1＋25＝26，∴d ＋r ＝26＋2， ∴|2PD →|的最大值为226＋4， 即|PA →＋PB →|的最大值为226＋4.7．(2020·北京市陈经纶中学月考)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A ，B 距离之比是常数λ(λ>0，λ≠1)的点M 的轨迹是圆，若两定点A ，B 的距离为3，动点M 满足|MA |＝2|MB |，则M 点的轨迹围成区域的面积为( )A ．πB．2πC．3πD．4π 答案 D解析 以A 为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (3,0)．设M (x ，y )，依题意有，x 2＋y 2x －32＋y2＝2，化简整理得，x 2＋y 2－8x ＋12＝0，即(x －4)2＋y 2＝4，则M 点的轨迹围成区域的面积为4π.8．(2020·辽宁省大连一中模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x －y ＋6＝0，在直线l 上任取一点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，则直线AB 一定过定点( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23 B ．(1,2)C ．(－2,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，43 答案 A解析 设点P (x 0，y 0)，则x 0－y 0＋6＝0.过点P 向圆C 作切线，切点为A ，B ，连接AB ，以CP 为直径的圆的方程为x (x －x 0)＋y (y －y 0)＝0，又圆C ：x 2＋y 2＝4，作差可得直线AB 的方程为xx 0＋yy 0＝4，将y 0＝x 0＋6，代入可得(x ＋y )x 0＋6y －4＝0，满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，6y －4＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－23，y ＝23，故直线AB 过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，23.二、多项选择题9．集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝4}，B ＝{(x ，y )|(x －3)2＋(y －4)2＝r 2}，其中r >0，若A ∩B 中有且仅有一个元素，则r 的值是( ) A ．3B ．5C ．7D ．9 答案 AC解析 圆x 2＋y 2＝4的圆心是O (0,0)，半径为R ＝2，圆(x －3)2＋(y －4)2＝r 2的圆心是C (3,4)，半径为r ，|OC |＝5，当2＋r ＝5，r ＝3时，两圆外切，当|r －2|＝5，r ＝7时，两圆内切，它们都只有一个公共点，即集合A ∩B 中只有一个元素． 10．下列说法正确的是( )A ．直线x －y －2＝0与两坐标轴围成的三角形的面积是2B ．点P (0,2)关于直线y ＝x ＋1的对称点为P ′(1,1)C ．过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)两点的直线方程为y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1D ．经过点(1,1)且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为x ＋y －2＝0 答案 AB解析 选项A 中直线x －y －2＝0在两坐标轴上的截距分别为2，－2，所以围成的三角形的面积是2，所以A 正确；选项B 中PP ′的中点⎝⎛⎭⎪⎫0＋12，2＋12在直线y ＝x ＋1上，且P (0,2)，P ′(1,1)两点连线的斜率为－1，所以B 正确；选项C 中需要条件y 2≠y 1，x 2≠x 1，所以C 错误；选项D 中还有一条截距都为0的直线y ＝x ，所以D 错误．11．已知圆C 1：(x ＋6)2＋(y －5)2＝4，圆C 2：(x －2)2＋(y －1)2＝1，M ，N 分别为圆C 1和C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的值可以是( ) A ．6B ．7C ．10D ．15 答案 BCD解析 圆C 2关于x 轴的对称圆C 3为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1，圆心C 3(2，－1)，r 3＝1，点N 关于x 轴的对称点N ′在圆C 3上，又圆C 1的圆心C 1(－6,5)，r 1＝2，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PN ′|≥|PC 1|－r 1＋|PC 3|－r 3＝|PC 1|＋|PC 3|－3≥|C 1C 3|－3＝2＋62＋－1－52－3＝7，∴|PM |＋|PN |的取值范围是[7，＋∞)．12．已知点A 是直线l ：x ＋y －2＝0上一定点，点P ，Q 是圆x 2＋y 2＝1上的动点，若∠PAQ 的最大值为90°，则点A 的坐标可以是( ) A ．(0，2) B ．(1，2－1) C ．(2，0) D ．(2－1,1)答案 AC 解析如图所示，坐标原点O 到直线l ：x ＋y －2＝0的距离d ＝212＋12＝1，则直线l 与圆x 2＋y2＝1相切，由图可知，当AP ，AQ 均为圆x 2＋y 2＝1的切线时，∠PAQ 取得最大值，连接OP ，OQ ，由于∠PAQ 的最大值为90°，且∠APO ＝∠AQO ＝90°，|OP |＝|OQ |＝1，则四边形APOQ为正方形，所以|OA |＝2|OP |＝ 2.设A (t ，2－t )，由两点间的距离公式得|OA |＝t 2＋2－t2＝2，整理得t 2－2t ＝0，解得t ＝0或t ＝2，因此，点A 的坐标为(0，2)或(2，0)． 三、填空题13．若直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是________． 答案 3＋2 2解析 因为直线l ：x a ＋y b＝1(a >0，b >0)经过点(1,2)，所以1a ＋2b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝3＋b a＋2ab≥3＋22，当且仅当a ＝2＋1，b ＝2＋2时等号成立．所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值是3＋2 2.14．已知⊙O ：x 2＋y 2＝1.若直线y ＝kx ＋2上总存在点P ，使得过点P 的⊙O 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是______________________． 答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)解析 ∵⊙O 的圆心为(0,0)，半径r ＝1， 设两个切点分别为A ，B ，则由题意可得四边形PAOB 为正方形， 故有|PO |＝2r ＝2，∴圆心O 到直线y ＝kx ＋2的距离d ≤2， 即|2|1＋k2≤2，即1＋k 2≥2，解得k ≥1或k ≤－1.15．(2020·石家庄长安区期末)直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，当△AOB 的面积达到最大时，k ＝________. 答案 ±1解析 由圆O ：x 2＋y 2＝1，得到圆心坐标为O (0,0)，半径r ＝1，把直线l 的方程y ＝kx ＋1(k ≠0)，整理为一般式方程得l ：kx －y ＋1＝0，圆心O (0,0)到直线AB 的距离d ＝1k 2＋1，弦AB 的长度|AB |＝2r 2－d 2＝2k 2k 2＋1，S △AOB ＝12×2k 2k 2＋1×1k 2＋1＝|k |k 2＋1＝1|k |＋1|k |，又因为|k |＋1|k |≥2|k |·1|k |＝2，S △AOB ≤12，当且仅当|k |＝1|k |，即k ＝±1时取等号，S △AOB 取得最大值，最大值为12，此时k ＝±1.16．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)交于不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，给出下列结论：①a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0；②2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2；③x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b .其中正确的结论是________．(填序号)答案 ①②③解析 公共弦所在直线的方程为2ax ＋2by －a 2－b 2＝0， 所以有2ax 1＋2by 1－a 2－b 2＝0，②正确； 又2ax 2＋2by 2－a 2－b 2＝0，所以a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，①正确；AB 的中点为直线AB 与直线C 1C 2的交点，又AB ：2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，C 1C 2：bx －ay ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2ax ＋2by －a 2－b 2＝0，bx －ay ＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a2，y ＝b2.。
人教版2023年中考数学专题复习练习直线与圆的位置
第27 讲直线与圆的位置一．切线的性质（共1小题）1．（2021•大连）如图1，△ABC内接于⊙O，直线MN与⊙O相切于点D，OD与BC相交于点E，BC∥MN．（1）求证：∠BAC＝∠DOC；（2）如图2，若AC是⊙O的直径，E是OD的中点，⊙O的半径为4，求AE的长．二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（2022•丹东）如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE 交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．（1）请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若sin∠ECD=35，CE＝5，求⊙O的半径．三．切线的判定与性质（共9小题）3．（2022•锦州）如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为BÊ的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF=12∠BAC．（1）求证：BF为⊙O的切线；（2）若AE＝4，OF=92，求⊙O的半径．4．（2022•阜新）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．（1）求证：CD是⊙O的切线；̂的长．（2）若∠A＝60°，AC＝2√3，求BD5．（2021•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，过点C作CE⊥AD 交AD的延长线于点E，延长EC，AB交于点F，∠ECD＝∠BCF．（1）求证：CE为⊙O的切线；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半径．6．（2021•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，AD与⊙O交于点A，点E是半径OA上一点（点E不与点O，A重合）．连接DE交⊙O于点C，连接CA，CB．若CA＝CD，∠ABC＝∠D．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AB＝13，CA＝CD＝5，则AD的长是．7．（2022•鞍山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点E为⊙O上一点，EF∥AC交AB的延长线于点F，CE与AB交于点D，连接BE，若∠BCE=12∠ABC．（1）求证：EF是⊙O的切线．（2）若BF＝2，sin∠BEC=35，求⊙O的半径．8．（2022•沈阳）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD是⊙O的直径，AD，BC的延长线交于点E，延长CB交P A于点P，∠BAP+∠DCE＝90°．（1）求证：P A是⊙O的切线；（2）连接AC，sin∠BAC=13，BC＝2，AD的长为．9．（2021•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．10．（2021•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．（1）求证：BD与⊙O相切；（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．11．（2022•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠F AB．（1）求证：BG与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．四．切线与相似三角形（共5小题）12．（2022•辽宁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，▱ODEF的顶点O，D在斜边AB上，顶点E，F分别在边BC，AC上，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O恰好经过点D 和点E．（1）求证：BC与⊙O相切；（2）若sin∠BAC=35，CE＝6，求OF的长．13．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且AD̂=CD̂，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．14．（2022•朝阳）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．（1）求证：AF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，AD是△AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．15．（2021•鞍山）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为AB上一点，BD＝BC，过点A作AE⊥AB交CD的延长线于点E，CE交⊙O于点G，连接AC，AG，在EA的延长线上取点F，使∠FCA＝2∠E．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若AC＝6，AG=√10，求⊙O的半径．16．（2021•丹东）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D是BĈ的中点，过点D作EF∥BC分别交AB、AC的延长线于点E和点F，连接AD、BD，∠ABC的平分线BM交AD于点M．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若AB：BE＝5：2，AD=√14，求线段DM的长．第 27 讲 直线与圆的位置参考答案一．切线的性质（共1小题）1．（1）见解答；（2）2√7．；二．切线与解直角三角形（共1小题）2．（1）结论：CD 是⊙O 的切线，证明见解析部分；（2）256．；三．切线的判定与性质（共9小题）3．（1）证明见解析；（2）3．； 4．（1）见解析；（2）43π．； 5．（1）证明见解答； （2）⊙O 的半径是4.5．； 6．12013； 7．（1）见解答过程； （2）⊙O 的半径为3．；8．6； 9．（1）见解析； （2）656．； 10．（1）证明见解答；（2）DE ＝6√5．；11．（1）见解析； （2）√2．；四．切线与相似三角形（共5小题）12．（1）见解析；（2）2√10．；13．（1）证明见解答过程； （2）8√155．； 14．（1）见解析； （2）365．； 15．（1）见解答过程；（2）5．；16．（1）见详解； （2）2．；。
高一数学复习考点知识专题讲解11---直线与圆的位置关系
高一数学复习考点知识专题讲解直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判断直线与圆的三种位置关系．知识点直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判断方法几何法：设圆心到直线的距离为d＝|Aa＋Bb＋C|A2＋B2d<r d＝r d>r代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0思考几何法、代数法判断直线与圆的位置关系各有什么特点？答案“几何法”侧重于图形的几何性质，步骤较简洁；“代数法”则侧重于“坐标”与“方程”，判断直线与圆的位置关系，一般用几何法．1．若直线与圆有公共点，则直线与圆相交．(×)2．如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和圆相交或相切．(√)3．若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆的方程联立消元后得到的一元二次方程无解．(√)4．过圆外一点的直线与圆相离．( × )一、直线与圆的位置关系的判断例1 已知直线方程mx －y －m －1＝0，圆的方程x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0.当m 为何值时，圆与直线： (1)有两个公共点； (2)只有一个公共点； (3)没有公共点．解 方法一将直线mx －y －m －1＝0代入圆的方程化简整理得， (1＋m 2)x 2－2(m 2＋2m ＋2)x ＋m 2＋4m ＋4＝0. 则Δ＝4m (3m ＋4)．当Δ>0，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当Δ＝0，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当Δ<0，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．方法二 已知圆的方程可化为(x －2)2＋(y －1)2＝4， 即圆心为C (2,1)，半径r ＝2.圆心C (2,1)到直线mx －y －m －1＝0的距离 d ＝|2m －1－m －1|1＋m 2＝|m －2|1＋m 2.当d <2，即m >0或m <－43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当d ＝2，即m ＝0或m ＝－43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d >2，即－43<m <0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点．反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断．(2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1 (1)已知圆C: x 2＋y 2－4x ＝0，l 是过点P (3,0)的直线，则( ) A ．l 与C 相交 B ．l 与C 相切C ．l 与C 相离D ．以上三个选项均有可能 答案 A解析 将点P (3,0)代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3<0， ∴点P (3,0)在圆内．∴过点P 的直线l 必与圆C 相交．(2)设m ＞0，则直线l ：2(x ＋y )＋1＋m ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝m 的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交C ．相切或相离D ．相交或相切 答案 C解析 圆心到直线l 的距离为d ＝1＋m2，圆的半径为r ＝m ，∵d －r ＝1＋m 2－m ＝12(m －2m ＋1)＝12(m －1)2≥0，∴d ≥r ，故直线l 和圆O 相切或相离． 二、圆的弦长问题例2 (1)过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________． 答案30解析 由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0，圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝22，则有|AB |＝2r 2－d 2＝28－12＝30. (2)如果一条直线经过点M ⎝⎛⎭⎫－3，－32且被圆x 2＋y 2＝25所截得的弦长为8，求这条直线的方程． 解 圆x 2＋y 2＝25的半径长r 为5，直线被圆所截得的弦长l ＝8， 所以弦心距d ＝r 2－⎝⎛⎭⎫l 22＝52－42＝3. 因为圆心O (0,0)到直线x ＝－3的距离恰为3，所以直线x ＝－3是符合题意的一条直线． 设直线y ＋32＝k (x ＋3)也符合题意，即圆心到直线kx －y ＋⎝⎛⎭⎫3k －32＝0的距离等于3， 于是⎪⎪⎪⎪3k －32k 2＋1＝3，解得k ＝－34.故直线的方程为3x ＋4y ＋15＝0.综上可知，满足题意的直线有两条，对应的方程分别为x ＝－3和3x ＋4y ＋15＝0. 反思感悟 直线与圆相交时的弦长求法跟踪训练2 求直线l ：3x ＋y －6＝0被圆C: x 2＋y 2－2y －4＝0截得的弦长． 解 方法一由直线l 与圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0，消去y ，得x 2－3x ＋2＝0. 设两交点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系有x 1＋x 2＝3，x 1·x 2＝2， |AB |＝(1＋32)(x 1－x 2)2 ＝10[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝10×(32－4×2) ＝10.∴弦AB 的长为10.方法二 圆C: x 2＋y 2－2y －4＝0可化为x 2＋(y －1)2＝5.其圆心坐标为C (0,1)，半径r ＝5，点C (0,1)到直线l 的距离为d ＝|3×0＋1－6|32＋12＝102，所以半弦长|AB |2＝r 2－d 2＝(5)2－⎝⎛⎭⎫1022＝102.所以弦长|AB |＝10.三、求圆的切线方程例3 (1)若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点(a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 答案 C解析 因为过圆外一点的圆的切线长l 、半径长r 和这点到圆心的距离d 满足勾股定理，即l 2＝d 2－r 2，所以切线长最短时该点到圆心的距离最小，转化成求该点与圆心的距离的最小值问题．由题意易知圆心C (－1,2)，半径长r ＝2，点(a ，b )在直线y ＝x －3上，所以点(a ，b )与圆心的距离的最小值即圆心到直线y ＝x －3的距离d ，易求d ＝|－1－2－3|2＝32，所以切线长的最小值为d 2－r 2＝(32)2－2＝4.(2)过点A (－1,4)作圆(x －2)2＋(y －3)2＝1的切线l ，则切线l 的方程为__________________． 答案 y ＝4或3x ＋4y －13＝0解析 ∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴点A 在圆外． 当直线l 的斜率不存在时，l 的方程是x ＝－1，不满足题意． 设直线l 的斜率为k ，则切线l 的方程为y －4＝k (x ＋1)，即kx －y ＋4＋k ＝0.圆心(2,3)到切线l 的距离为|2k －3＋4＋k |k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，因此，所求直线l 的方程为y ＝4或3x ＋4y －13＝0. 反思感悟 求过某一点的圆的切线方程 (1)点(x 0，y 0)在圆上．①先求切点与圆心连线的斜率k ，再由垂直关系得切线的斜率为－1k ，由点斜式可得切线方程．②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y ＝y 0或x ＝x 0. (2)点(x 0，y 0) 在圆外．①设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k ，也就得切线方程．②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x ＝x 0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况． ③过圆外一点的切线有两条．一般不用联立方程组的方法求解． 跟踪训练3 (1)过圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0上一点P (3,3)的切线方程为( ) A ．2x －y ＋9＝0 B ．2x ＋y －9＝0 C ．2x ＋y ＋9＝0 D ．2x －y －9＝0 答案 B解析 x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心为C (1,2)， k PC ＝12，∴切线的斜率k ＝－2，∴切线方程为y －3＝－2(x －3)，即2x ＋y －9＝0.(2)由直线y ＝x ＋1上任一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则该切线长的最小值为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．3 答案 C解析 圆心C (3,0)到y ＝x ＋1的距离d ＝|3－0＋1|2＝2 2.所以切线长的最小值为l ＝(22)2－12＝7.1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 答案 B解析 ∵圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1的距离d ＝|0－0＋1|2＝22<1，∴直线与圆x 2＋y 2＝1相交，又(0,0)不在y ＝x ＋1上，∴直线不过圆心．2．(多选)直线l: x －1＝m (y －1)和圆x 2＋y 2－2y ＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切或相离 C ．相交 D ．相切 答案 CD解析 l 过定点A (1,1)，又点A 在圆上， 当l 斜率存在时，l 与圆一定相交， 又直线x ＝1过点A 且为圆的切线， ∴l 与圆相交或相切，故选CD.3．(多选)若直线3x ＋4y ＝b 与圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0相切，则b 的值是( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D ．12 答案 CD解析 圆的方程为x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，由圆心(1,1)到直线3x ＋4y －b ＝0的距离为|7－b |5＝1，得b ＝2或12.4．过点P (2,3)且与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线方程为________________． 答案 x ＝2或y ＝3解析 ∵P (2,3)在圆(x －1)2＋(y －2)2＝1外，∴过点P (2,3)与圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切的直线有两条． 当斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0， ∴|k －2＋3－2k |k 2＋1＝1，∴k ＝0，∴切线方程为y ＝3，当斜率不存在时，切线方程为x ＝2.5．过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦长为________． 答案 2 2解析 设点A (3,1)，易知圆心C (2,2)，半径r ＝2. 当弦过点A (3,1)且与CA 垂直时为最短弦， |CA |＝(2－3)2＋(2－1)2＝ 2. ∴半弦长＝r 2－|CA |2＝4－2＝ 2. ∴最短弦长为2 2.1．知识清单：(1)直线与圆的三种位置关系． (2)弦长公式． (3)圆的切线方程．2．方法归纳：几何法、代数法、弦长公式法．3．常见误区：求直线方程时忽略直线斜率不存在的情况．1．直线3x ＋4y ＋12＝0与圆(x －1)2＋(y ＋1)2＝9的位置关系是( ) A ．过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交但不过圆心 答案 D解析 圆心(1，－1)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离d ＝|3×1＋4×(－1)＋12|32＋42＝115，0<d <r ， 所以相交但不过圆心．2．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是( ) A ．－5<m <15 B ．m <－5或m >15 C ．m <4或m >13 D ．4<m <13 答案 B解析 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋1＝0的圆心为(1，－2)，半径为2， 由题意，圆心到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离|3－8＋m |9＋16>2，∴m <－5或m >15.故选B.3．(多选)若直线x －y ＝2被圆(x －a )2＋y 2＝4所截得的弦长为22，则实数a 的值为( ) A ．0 B ．4 C ．－2 D. 3 答案 AB解析 由圆的方程，可知圆心坐标为(a ，0)，半径r ＝2.又直线被圆截得的弦长为22， 所以圆心到直线的距离d ＝22－⎝⎛⎭⎫2222＝ 2.又d ＝|a －2|2，所以|a －2|＝2，解得a ＝4或a ＝0.4．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞) 答案 C解析 圆(x －a )2＋y 2＝2的圆心C (a ，0)到直线x －y ＋1＝0的距离为d ， 则d ≤r ＝2⇔|a ＋1|2≤2⇔|a ＋1|≤2⇔－3≤a ≤1. 5．圆心为(3,0)且与直线x ＋2y ＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －3)2＋y 2＝1 B ．(x －3)2＋y 2＝3 C ．(x －3)2＋y 2＝3 D ．(x －3)2＋y 2＝9 答案 B解析 由题意知所求圆的半径r ＝|3＋2×0|1＋2＝3，故所求圆的方程为(x －3)2＋y 2＝3， 故选B.6．设A ，B 为直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1的两个交点，则|AB |＝________. 答案 2解析 直线y ＝x 过圆x 2＋y 2＝1的圆心C (0,0)，则|AB |＝2.7．过点P (－1,6)且与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝4相切的直线方程是______________． 答案 3x －4y ＋27＝0或x ＝－1解析 当所求直线的斜率存在时，设所求直线的方程为y －6＝k (x ＋1)， 则d ＝|2－6－k (－3＋1)|1＋k 2＝2，解得k ＝34，此时，直线方程为3x －4y ＋27＝0；当所求直线的斜率不存在时，所求直线的方程为x ＝－1，验证可知，符合题意．8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．答案 －43或－34解析 由已知得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性知，反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k ，则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)，即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1， 解得k ＝－43或k ＝－34. 9．已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且直线y ＝x 截圆所得弦长为27，求圆C 的方程．解 因为圆C 与y 轴相切，且圆心C 在直线x －3y ＝0上，故设圆C 的方程为(x －3b )2＋(y －b )2＝9b 2.又因为直线y ＝x 截圆得弦长为27，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫|3b －b |22＋(7)2＝9b 2， 解得b ＝±1，故所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9.10．设圆上的点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x －y ＋1＝0相交的弦长为22，求圆的方程．解 设所求圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则圆心为(a ，b )，半径长为r .∵点A (2,3)关于直线x ＋2y ＝0的对称点A ′仍在这个圆上，∴圆心(a ，b )在直线x ＋2y ＝0上．∴a ＋2b ＝0，①且(2－a )2＋(3－b )2＝r 2.②又∵直线x －y ＋1＝0与圆相交的弦长为22，∴r 2－d 2＝r 2－⎝⎛⎭⎪⎫|a －b ＋1|22＝(2)2.③ 解由方程①②③组成的方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.∴所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244.11．已知圆x 2＋y 2＝9的弦过点P (1,2)，当弦长最短时，该弦所在直线的方程为( )A ．y －2＝0B ．x ＋2y －5＝0C ．2x －y ＝0D ．x －1＝0答案 B解析 当弦长最短时，该弦所在直线与过点P (1,2)的直径垂直．已知圆心O (0,0)，所以过点P (1,2)的直径所在直线的斜率k ＝2－01－0＝2， 故所求直线的斜率为－12， 所以所求直线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0. 12．已知直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0(m >0)被圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0截得的弦长是圆心C 到直线l 的距离的2倍，则m 等于( )A ．6B ．8C ．11D ．9答案 D解析 圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －6＝0可化为(x ＋1)2＋(y －1)2＝8，圆心坐标为(－1,1)，半径为22，由题意可知，圆心到直线的距离d ＝|1＋m |5＝2. ∵m >0，∴m ＝9.13．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为________．答案 10 2解析 圆的方程化为标准形式为(x －1)2＋(y －3)2＝10，易知点E 在圆内， 由圆的性质可知最长弦|AC |＝210，最短弦BD 恰以E (0,1)为中点，且与AC 垂直，设点F 为其圆心，坐标为(1,3)．故|EF |＝5，∴|BD |＝210－(5)2＝25，∴S 四边形ABCD ＝12|AC |·|BD |＝10 2. 14．自圆外一点P 作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线PM ，PN (M ，N 为切点)，若∠MPN ＝90°，则动点P 的轨迹方程是________________．答案 x 2＋y 2＝2解析 设点P 的坐标为(x ，y )，则|PO |＝x 2＋y 2.∵∠MPN ＝90°，∴四边形OMPN 为正方形，∴|PO |＝2|OM |＝2，∴x 2＋y 2＝2，即x 2＋y 2＝2.15．曲线y ＝1＋4－x 2与直线l ：y ＝k (x －2)＋4有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤512，34解析 直线l 过点A (2,4)，又曲线y ＝1＋4－x 2的图象为以(0,1)为圆心，2为半径的半圆， 当直线l 与半圆相切，C 为切点时，圆心到直线l 的距离d ＝r ，即|3－2k |k 2＋1＝2，解得k ＝512. 当直线l 过点B (－2,1)时，直线l 的斜率为4－12－(－2)＝34， 则直线l 与半圆有两个不同的交点时，实数k 的取值范围为⎝⎛⎦⎤512，34.16．已知P 是直线3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A ，PB 是圆C: x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点．(1)求四边形P ACB 面积的最小值；(2)直线上是否存在点P ，使∠BP A ＝60°，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由．解 (1)如图，连接PC ，由P 点在直线3x ＋4y ＋8＝0上，可设P 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ，－2－34x .所以S 四边形P ACB ＝2S △P AC ＝2×12×|AP |×|AC |＝|AP |. 因为|AP |2＝|PC |2－|CA |2＝|PC |2－1，所以当|PC |2最小时，|AP |最小．因为|PC |2＝(1－x )2＋⎝⎛⎭⎫1＋2＋34x 2 ＝⎝⎛⎭⎫54x ＋12＋9. 所以当x ＝－45时，|PC |2min ＝9.所以|AP|min＝9－1＝2 2.即四边形P ACB面积的最小值为2 2.(2)由(1)知圆心C到P点距离3为C到直线上点的最小值，若∠APB＝60°易得需PC＝2，这是不可能的，所以这样的点P是不存在的．。
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含答案解析)
高三专题复习直线和圆知识点和经典例题(附含(Han)答案解析)【知识要(Yao)点】圆的(De)定义：平面内与一定点距离(Li)等于定长的点的轨迹称为圆（一）圆的标(Biao)准方程形如：这个方程叫做圆的标准方程。
说明：1、若圆心在坐标原点上，这时，则圆的方程就是。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r 三个量确定了且r ＞0，圆的方程就给定了。
就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件确定a,b,r ，可以根据3个条件，利用待定系数法来解决。
（二）圆的一般方程将圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-,展开可得。
可见，任何一个圆的方程都可以写成 :。
问题：形如022=++++F Ey Dx y x 的方程的曲线是不是圆？ 将方程022=++++F Ey Dx y x 左边配方得：（1）当时，方程（1）与标准方程比较，方程022=++++F Ey Dx y x 表示以为圆心，以为半径的圆。
（2）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 只有实数解，解为,所以表示一个点)2,2(ED --.（3）当时，方程022=++++F Ey Dx y x 没有实数解，因而它不表示任何图形。
圆的一般方程的定义：当0422>-+F E D 时，方程022=++++F Ey Dx y x 称为圆的一般方程.圆的一般方程的特点：（i ）的系数相同，不等于零；（ii ）没有xy 这样的二次项。
（三）直线与圆的位置关系 1、直线与圆位置关系的种类（1）相离---求距离； (2)相切---求切线； （3）相交---求焦点弦长。
2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式(Shi)，利用圆的方程求出圆心和半径（2）利(Li)用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作(Zuo)判断(Duan): 当(Dang)d>r时，直线与圆相离；当d＝r时，直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交。
直线和圆的位置关系复习
（2）
（3）
相离
相切
相交
l
l
l
·O
·O
·O
2、已知圆的直径为13cm，设直线和圆心的距离为d ：
3)若d= 8 cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
2)若d=6.5cm ,则直线与圆______, 直线与圆有____个公共点.
1)若d=4.5cm ,则直线与圆 , 直线与圆有____个公共点.
∠APB+ ∠AOB=180°
注意分类讨论的数学思想。
70°或110°
80
如图已知“PA、PB是圆O的切线，切点分别是A、B”，试探讨以下问题：
议一议
*
议一议
E
F
4、如图（2）过点C2作⊙O的切线分别交PB、PA于E、F，若PA=5，则△PEF的周长为______。
5、如图（3）过点C1作⊙O的切线分别交PB、PA的延长线于E、F，若PA=5，EF=7，则△PEF的周长为______。
想一想
证明切线的基本思路：不知共点，作垂直，证半径。
常用辅助线：见切线，过切点连半径，得垂直。
*
例2.PA是圆O的切线，切点是A，过点A作AH⊥OP于点H交⊙O于B。求证：PB是⊙O的切线
B
A
O
P
H
∴ ∠OBP=∠OAP=900 ∴OB⊥PB ∴PB是⊙O的切线
证明：连结OB、OA ∵ PA是圆O的切线，切点是A ∴∠OAP=900
不知公共点，作垂直，证半径；
数形结合
类比
分类讨论
*
如图所示，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，D在AB的 延长线上，∠DCB= ∠A。 求证：CD是⊙O的切线
直线与圆的位置关系复习 (解析版)
直线与圆的位置关系复习一、选择题1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心C [易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．]2．点M 在圆x 2＋y 2－10x －6y ＋25＝0上，则点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离为( ) A ． 9 B ． 8 C ． 5 D ． 2 D 由圆,整理得圆心坐标，圆的半径；圆心到直线距离，直线与圆相离；圆上的点M 到直线3x ＋4y －2＝0的最短距离. 故选D.3．过点P (－3，－1)的直线l 与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角是( ) A ．0° B ．45° C ．0°或45°D ．0°或60°D [设过点P 的直线方程为y ＝k (x ＋3)－1，则由直线与圆相切知|3k －1|1＋k 2＝1，解得k＝0或k ＝3，故直线l 的倾斜角为0°或60°.]4．圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为( )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2B [圆的方程化为标准方程得：(x －1)2＋(y －3)2＝10， 则圆心坐标为(1,3)，半径为10，如图：由图可知：过点E 最长弦为直径AC ，最短弦为过点E 且与AC 垂直的弦．则AC ＝210，MB ＝10，ME ＝(1－0)2＋(3－1)2＝ 5. 所以BD ＝2BE ＝2(10)2－(5)2＝2 5.又AC ⊥BD ，所以四边形ABCD 的面积S ＝12AC ·BD＝12×210×25＝10 2. 选B.]5．若直线l ：kx －y －2＝0与曲线C ：1－(y －1)2＝x －1有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤43，2B ．⎝⎛⎭⎫43，4 C ．⎣⎡⎦⎤－2，－43∪⎝⎛⎦⎤43，2 D ．⎝⎛⎭⎫43，＋∞ A [直线l ：kx －y －2＝0恒过定点(0，－2)，曲线C ：1－(y －1)2＝x －1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x ＝1右侧的半圆(包括点(1,2)，(1,0))．当直线l 经过点(1,0)时，l 与曲线C 有两个不同的交点，此时k ＝2，直线记为l 1；当l 与半圆相切时，由|k －3|k 2＋1＝1，得k ＝43，切线记为l 2.分析可知当43＜k ≤2时，l 与曲线C 有两个不同的交点，故选A.]6．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形P ACB 面积的最小值是( )A ． 2B ．2 2C ． 3D ．2 3C [圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形P ACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|P A |×r ＝|P A |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形P ACB的面积最小，则只需|PC |最小，|PC |的最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离，即为|3－4＋11|32＋(－4)2＝105＝2，所以四边形P ACB 面积的最小值为4－1＝ 3.]二、填空题7．过点P (－1,2)且与圆C ：x 2＋y 2＝5相切的直线方程是________．x －2y ＋5＝0 [法一：∵点P (－1,2)在圆x 2＋y 2＝5上，直接代入圆上一点的切线方程得：－x ＋2y ＝5，即x －2y ＋5＝0.法二：∵圆心为(0,0)，∴k CP ＝2－1＝－2，所求直线的斜率为k ＝12.所以所求切线方程是y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.]8．圆心在直线x －2y ＝0上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为23，则圆C 的标准方程为________. 【导学号：07742299】(x －2)2＋(y －1)2＝4 [设圆C 的圆心为(a ，b )(b ＞0)，由题意得a ＝2b ＞0，且a 2＝(3)2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1.所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4.]3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________. 【导学号：07742301】(－13,13) [由题意知，若圆上有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则需圆心(0,0)到直线的距离d 满足0≤d ＜1.因为d ＝|c |122＋52＝|c |13，所以0≤|c |13＜1，即0≤|c |＜13.解得－13＜c ＜13.]4．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.4±15 [由题意可知圆的圆心为C (1，a )，半径r ＝2，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝|2a －2|a 2＋1.因为△ABC 为等边三角形，所以|AB |＝r ＝2.又|AB |＝2r 2－d 2，所以222－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a －2|a 2＋1 2＝2，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15.] 三、解答题10．已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线x ＋2y －3＝0相交于P ，Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值.[解] 设点P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 由OP ⊥OQ ，得k OP ·k OQ ＝－1， 即y 1x 1·y 2x 2＝－1，x 1x 2＋y 1y 2＝0.① 又(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3＝0，x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0的实数解，即x 1，x 2是方程5x 2＋10x ＋4m －27＝0②的两个根，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝4m －275.③因为P ，Q 在直线x ＋2y －3＝0上， 所以y 1y 2＝12(3－x 1)·12(3－x 2)＝14[9－3(x 1＋x 2)＋x 1x 2]． 将③代入，得y 1y 2＝m ＋125.④将③④代入①，解得m ＝3.代入方程②，检验Δ＞0成立， 所以m ＝3.5．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0. (1)求证：对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点；(2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 的轨迹方程. [解] (1)法一：由已知可得直线l ：(x －1)m －y ＋1＝0， ∴直线l 恒过定点P (1,1)． 又12＋(1－1)2＝1＜5， ∴点P 在圆内，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点．法二：圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋1－m |m 2＋1＝|m |m 2＋1＜|m ||m |＝1＜5，∴直线l 与圆C 相交，∴对任意的m ∈R ，直线l 与圆C 恒有两个交点． (2)直线l 恒过定点P (1,1)，且直线l 的斜率存在．又M 是AB 的中点，当直线l 的斜率不为0时，CM ⊥MP ， ∴点M 在以CP 为直径的圆上．又C (0,1)，P (1,1)，∴以CP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14， 当直线l 的斜率为0时，点M 与点C 重合，也满足上式． 又直线l 的斜率存在，∴x ≠1，∴点M 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122＋(y －1)2＝14(x ≠1).。
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直线与圆复习专题（1）——直线的方程与位置关系〖双基回顾〗1、直线的倾斜角：规定：当直线和x 轴平行或重合时其倾斜角为：_ __，所以直线的倾斜角的取值范围是：_________.2、直线的斜率是指：_____________________________________________.3、经过两面点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)的直线的斜率公式为：k =_______________. 45、两条直线：l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的位置关系：⑴相交⇔ 垂直⇔ ⑵平行⇔ ⑶重合⇔6、点P （x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离为7、两条平行直线：Ax +By +C 1=0，Ax +By +C 2=0的距离为d =__________8、①点（a,b ）关于点（x,y ）的对称点坐标是__ __；②点（a,b ）关于x 轴，y 轴，原点，直线y=x ，直线y=-x 的对称点坐标分别是_________ _〖典型例题〗例1、求经过直线1:3450l x y +-=与直线2:2380l x y -+=的交点M ，且满足下列条件的直线的一般方程：（1）经过原点；（2）与直线250x y ++=平行；（3）与直线250x y ++=垂直.例2、已知三角形的顶点是(3,0),(2,2),(0,1).A B C --（1）求AB 边上的中线所在直线方程；（2）求AB 边上的高所在直线方程；（3）求线段AB 的中垂线所在直线方程。
例3：（1）求点A (-2,2)关于点(2,-1)的对称点的坐标；（2）已知直线l ：3x -y +3=0，求点A (2,2)关于直线l 的对称点的坐标；4、直线l 1：x ＋my ＋6=0与l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m =0，则当m 为何值时： ⑴它们相交；⑵它们平行；⑶它们垂直直线与圆复习专题（2）——圆的方程、点与圆、圆与圆位置关系〖双基回顾〗1、圆的标准方程： ，其中圆心为 ，半径为 .2、圆的一般方程：当 时，表示圆心为 ，半径为的圆 ； 当 时，表示一个点 ； 当 时，不表示任何图形.3、中点坐标公式：设点12,P P 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，点P 为12PP 的中点，则 x = ，y = .4、点与圆的位置关系点在圆内：点到圆心的距离 半径； 点在圆上：点到圆心的距离 半径； 点在圆外：点到圆心的距离 半径。
5、两圆的位置关系设⊙1C 的半径为R ，⊙2C 的半径为r ，圆心距离d C C 21，则：相离 相交 外切 内切 内含思考：以上五种圆与圆的位置关系对应的公切线各有几条呢？〖典型例题〗例１、求分别满足以下条件的圆的方程： ① 已知A （-3，-5），B （5，1），求以线段AB 为直径的圆的方程②求经过点A （0，4），B （4，6）且圆心在直线x ―2y ―2=0上的圆的方程③已知圆过点(2,3)A -，且与直线:43260L x y +-=相切于点(5,2)B ，求此圆的方程④已知圆C 的圆心坐标是(2,1)，在直线10x y +-=上截得弦长为C 的方程例2、已知圆221:2610C x y x y ++-+=，圆222:42110C x y x y +-+-=.求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长.例3、求分别满足以下条件的轨迹方程：① 已知点M 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离的比为12，求点M 的轨迹方程② 已知△ABC 的顶点,B C 的坐标分别是(3,1),(2,1)--，顶点A 在圆22(2)(3)9x y ++-=上运动，求△ABC 重心的轨迹方程。
（若△ABC 三个顶点坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，33(,)x y ，则其重心坐标为123123(,)33x x x y y y ++++）4、圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程是 （ ）A ．22(7)(1)1x y +++= B ．22(7)(2)1x y +++= C ． 22(6)(2)1x y +++= D ．22(6)(2)1x y ++-=5、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=，那么yx 的最大值是 （ ）A ．12B CD ．36、已知实数x ，y 满足关系：2224200x y x y +-+-=，则22x y +的最小值 ．7、已知圆x 2＋y 2＋x －6y ＋3=0与直线x ＋2y －3=0的两个交点为P 、Q ，求以PQ 为直径的圆的方程．直线与圆复习专题（3）——直线与圆位置关系〖双基回顾〗1、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系三种，分别是 、 、 . 2、判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：（1）几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆的半径r 的大小关系 相交：d r ；相切：d r ；相离：d r .（2）代数法：将直线方程与圆方程联立，消元之后化为一元二次方程，利用判别式 相交：∆ 0；相切：∆ 0；相离：∆ 0.3、直线与圆的三种位置关系相应的问题 （1）相切—求切线方程；（2）相交—求弦长；（3）相离—求圆上的动点到直线的最大（最小）距离.〖典型例题〗例1、当直线01043=-+y x 与圆222m y x =+相交、相切或相离时，分别求实数m 取值范围。
例2、过点)3,8(-P 作圆0126422=---+y x y x 的切线，求切线方程。
例3、自点A (3,3)-发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线m 所在直线与圆C ：074422=+--+y x y x 相切，求光线L 、m 所在的直线方程。
例5、已知圆822=+y x 内一点)2,1(-P ，过点P 的直线的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点。
（1）当135α=时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程。
直线方程与圆历年水平测试1.（11年）在空间直角坐标系Oxyz 中, 点()1,2,3-关于原点O 的对称点的坐标为 .2.（12年）已知△ABC 的三个顶点的坐标分别是()2,4,0A ，()2,0,3B ，()2,2,C z ，若90C ∠=，则z 的值为 ．3.（07年）直线013=+-y x 的斜率是（ ）A ．3 B ．3- C ．33 D ． 33- 6.（11年）已知直线12:220,:410l x y l ax y +-=++=, 若12//l l , 则a 的值为（ ） A . 8 B. 2 C. 12-D. 2- 7.（12年）若直线3y ax =+与直线2y x a =-+垂直，则实数a 的值为( ). A.2- B.2 C.12-D.128.（07年）经过点()1,0A 和点()0,2B 的直线方程是 . 9.（10年）圆心为点()0,2-，且过点()14，的圆的方程为 .10.（08年）过点（1，2）且与直线210x y --=平行的直线方程为 ．11.（08年）若直线0x y a +-=被圆224x y +=截得的弦长为，则实数a 的值为（ ）A ．或-B ．2或2-C ．2D ．2- 12.（09年）圆()()22121x y ++-=关于直线0x y -=的对称圆的方程为（ ） Ａ.()()22121x y ++-= Ｂ． ()()22211x y ++-= Ｃ．()()22121x y -++= Ｄ.()()22211x y -++=15.（10年）直线y kx b =+与圆224x y +=交于A 、B 两点，记△AOB 的面积为S （其中O 为坐标原点）．（1）当0k =，02b <<时，求S 的最大值； （2）当2b =，1S =时，求实数k 的值．16.（07年）已知圆C 经过坐标原点, 且与直线02=+-y x 相切，切点为()2,4A .（1）求圆C 的方程; （2）若斜率为1-的直线l 与圆C 相交于不同的两点N M 、, 求AN AM ⋅的取值范围.高二数学立体几何章节复习一、填空题1．下列命题正确的是________．①若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ②若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行； ③若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行； ④若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行．2. 直线l 与平面α所成角为30°，l ∩α＝A ，m ⊂α，A ∉m ，则m 与l 所成角的取值范围是________3. 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________4. 如图，正方体的棱长为1，C 、D 是两棱中点，A 、B 、M 是顶点，则点M 到截面ABCD 的距离是______5. 如图所示，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为________6. 如图，在直棱柱ABC —A ′B ′C ′中，底面是边长为3的等边三角形，AA ′＝4，M 为AA ′的中点，P是BC 上一点，且由P 沿棱柱侧面经过棱CC ′到M 的最短路线长为29， 设这条最短路线与CC ′的交 点为N ，则PC =7、如图所示，直观图四边形A ′B ′C ′D ′是一个底角为45°，腰 和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是________． 8、如图，一个正方体内接于高为40 cm ，底面半径为30 cm 的圆锥，则正方体的棱长是________cm.二、解答题9、如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA ⊥CD ,AD ∥BC , ∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD 内找一点M ,使得直线CM ∥平面PAB ,并说明理由. (2)证明:平面PAB ⊥平面PBD.10．如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ．（1）求证：AE ⊥BE ； （2）求三棱锥D-AEC 的体积； （3）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE ．12、已知四棱锥P —ABCD ，底面ABCD 是∠A ＝60°的菱形，又PD ⊥底面ABCD ，点M 、N 分别是棱AD 、PC 的中点. (1)证明：DN ∥平面PMB ； (2)证明：平面PMB ⊥平面P AD .13、 如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面P AD ⊥面ABCD ，AB ∥DC ，△P AD 是等边三角形，已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝2DC ＝4 5.(1)设M 是PC 上的一点，证明平面MBD ⊥平面P AD . (2)求四棱锥P —ABCD 的体积．FEAD C B第12题14、如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，AE ＝EB ＝BC ＝2，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE ． （1）求证：AE ⊥BE ；（2）设M 在线段AB 上，且满足AM ＝2MB ，试在线段CE 上确定一点N ，使得MN ∥平面DAE .15、如图,三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直,PD=PC=4,AB=6,BC=3. (1)证明:BC ∥平面PDA. (2)证明:BC ⊥PD.(3)求点C 到平面PDA 的距离.EDBFCA。