装配偏差文献综述

机械产品装配是整个机械产品制造过程的最后阶段，装配质量的高低，直接影响到机械产品的工作性能、使用效果、可靠性和服役寿命。而通过对机械零件装配过程进行研究分析，合理地建立起装配质量与零件偏差以及装配工艺参数的之间关系模型，即装配偏差模型，对于装配偏差的预测、诊断乃至最终产品的质量控制，显得尤为重要。装配偏差模型的研究，大体经历了基于零件刚性假设的模型研究到考虑零件柔性变形的装配模型研究的过程，国内外很多学者在这一过程中，都做出了相应的卓有成效的进步，国内外也相继出现了一些专门分析装配偏差的软件，不过现有的装配偏差分析软件主要是基于刚性假设，柔性偏差分析精度不高。

1. 基于刚性假设的装配偏差模型

刚体模型假设零件为刚体，在装配过程中不会发生变形，只有整体的移动或偏转。因此，对于刚性零件的装配，其装配偏差主要来源于零件本身的几何、形位公差以及装配定位偏差。装配链中所有组成元素按几何关系形成封闭环，称为形封闭，对装配偏差的分析主要是关于零件运动学的研究。基于刚性假设的装配偏差模型主要有尺寸链模型和确定性分析模型，此外，Whitney 在其著作《Mechanical Assemblies 》中基于多体齐次变换提出了一种Chains of Frames 模型。 1.1 尺寸链模型

尺寸链是指零件在加工或装配过程中，由互相联系的尺寸按一定顺序首尾相接排列而成的封闭尺寸组，组成尺寸链的各个尺寸称为尺寸链的链环。其中，在加工或装配过程中最终被间接保证精度的尺寸称为封闭环，其余尺寸称为组成环。尺寸链模型可以同时描述尺寸偏差和几何特征偏差。对于简单的一维尺寸链，通过极值法（Worst Case, WC ）或者统计法（Root Sum Square, RSS ）很容易得到零件偏差与装配偏差的关系[1]，但对于二维或三维尺寸链，很难准确的得出零件偏差与装配偏差之间显示表达的函数关系（explicit assembly function ），使求解变得困难，如公式1、2所示。

()

()

1/2

21/2

22

,:1,:2i ASM

i ASM

i i ASM i ASM

i One -dimensional Assemblies Two -or three -dimensional Assemblies Worst Case WC f dU T T dU T T x Root Sum Square RSS f dU T T dU T T x ⎛⎫

∂=≤=≤ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎡⎤

⎛⎫∂⎡⎤⎢⎥

=≤=≤ ⎪⎣⎦

∂⎢⎥⎝⎭⎣⎦

∑∑∑∑

式中，i x ——标准零件尺寸；

i T ——零件的公差；

dU ——是装配偏差；

ASM T ——规定的装配公差极限；

()i f x ——零件偏差与装配偏差之间的关系的装配函数；

i

f

x ∂∂——零件尺寸对装配偏差的敏感系数，一维装配敏感系数为 1.0±。 美国Brigham Young University 在尺寸链模型的分析研究领域做出了很多贡献。Chase 等提出了研究2D 装配尺寸链的隐式分析模型[2]，并将装配过程中的偏差总结为三个主要的偏差源，即零件的尺寸偏差、零件的几何特征偏差以及装配运动调整量，其中前两个偏差源为独立变量，而后者则是非独立变量。如图1所示，尺寸P 就是一个随着尺寸A 、R 以及θ变动的运动调整量。

图1 零件偏差产生运动调整

通过将装配尺寸链中的零件尺寸以及运动调整量表达为矢量形式，Chase 建立了一个基于运动装配的矢量环模型，如图2所示。而后，将矢量分量依此投影到x 方向、y 方向以及旋转方向，得到三个标量形式方程。从而建立起零件偏差与装配偏差间的隐式函数表达关系（implicit assembly function ）。

图2 一个2D 简单的矢量环模型图

11111

cos 0

(3)sin 0

(4)0360

(5)

n

i x i j i j n

i y i j i j n

j i H L H L H or φφφφ=====⎛⎫

== ⎪⎝⎭

⎛⎫== ⎪⎝⎭

==∑∑∑∑∑ 而后，利用直接线性化方法（Direct Linearization Method, DLM ），即计算装配约束方程的一阶泰勒展开，通过线性代数的表达方式，获得装配偏差与零件偏差之间的敏感系数矩阵。最后回归到尺寸链计算的极值法或者统计法，预测装配偏差。闭环装配的约束方程经过一阶泰勒展开后可以得到以下形式：

{}{}{}{}

[][](6)H A X B U ∆=∆+∆=∆Θ

式中：{}H ∆——装配间隙的偏差

{}X ∆——零件偏差（组成环，the variations of the manufactured variables ）

{}U ∆——装配运动调整量

（封闭环，the variations of the assembly variables ） []A ——对零件偏差（manufactured variables ）的一阶偏导 []B ——对运动调整量（assembly variables ）的一阶偏导

于是得到：

{}{}{}

1[][][](7)U B A X S X -∆=-∆=∆

对于开环尺寸链，也可以相应的得到零件偏差与装配偏差之间的线性表达关系。随后利用极值法或者统计法，可以预测最终的装配偏差，如公式8、9所示：

()

()

()

1:

8:

9n

i ij j ASM

j i ASM

Worst Case U S tol T Root Sum Square U T =∆=≤∆=

≤∑

随后，Brigham Young University 的J.Gao 以及Chase 等又进一步研究了3D 尺寸链模型的直接线性化求解方法。相比2D 空间的尺寸链模型，3D 空间的模型显然更加复杂，各个装配矢量环的长度以及相对角度之间的关系需要用齐次变换的平移矩阵以及旋转矩阵来表达。通过对比直接线性化方法的求解结果与修正的蒙特卡罗仿真方法（Monte Carlo Simulation ）得到装配偏差预测值，可以得出，当零件偏差相比零部件的名义尺寸较小，且装配函数为弱非线性时，直接线性法能够准确进行装配尺寸偏差计算[3]。