正切函数的定义、图像与性质

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2
2
正
渐
切
近线
函
数
渐
图
近线
像
性质 :
渐近线方程： x k , k Z 2
对称中心
( kπ,0) 2
正切函数有对称轴吗？无对称轴
问题5： (1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会在某一区间内是减函数吗？为什么？
A
B
在每一个开区间
(-π+ kπ,π+ kπ) ，kZ 内都是增函数。
5、周期性
最小正周期是
3
小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
22 右呈上升趋势，向上与直线 x
k
,k
Z
无限接近但
永不相交；向下与直线
x
2
k , k
Z无限接近但永不
2
相交。
将 x k , k Z 称为正切曲线的渐近线。
2
题型一求与正切函数有关的函数的定义域
例1.求下列函数的定义域.
(1) y tan(x );
3 (2) y lg tan x 16 x2 .
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴： x
2
k
,

5.4.3正切函数的性质和图象-【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件

新知探究
立德树人和谐发展
例1
求函数
y
tan
π 2
x
π 3
的定义域、周期及单调区间．
解：自变量x的取值应满足 π x π π kπ，k Z， 2 32
即
x
1 3
2k，k
Z，
所以，函数的定义域是
x
x
1 3
2k，k
Z．
设z π x π，由tan(z π) tan z ， 23
x0 OM OA 因由此②可式以可利知用，线当段x∈AT0画，π2出函时数，y线＝段taAnTx的，长x∈度就0，是π2 相的应图角象x．的正切值．
新知探究
立德树人和谐发展
追问请你利用②式，在坐标纸上画出函数y＝tanx，x∈ 0，π2 的图象．并视察图象有哪些特征？
解答：如图所示，可以画出函数y＝tan x，
2
2
对称性
对称中心（k ,0）(k Z )
17
课后作业
作业布置
作业A 1．课本P213 习题5.4 第7,8题． 2．金版P131-P133
立德树人和谐发展
基础练习
Hale Waihona Puke 立德树人和谐发展1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
2
立德树人和谐发展
正切函数图象的简单画法：三点两线法（同学们跟着画）
“三点”: (0,0)、（，1）、，1 4 4
“两线”:x
2
和x
2
y
1
4
3
2
2
0
42
-1

正切函数的图像和性质 (精致版)

奇函数偶函数
2 对称轴： x k , k Z
2 对称中心： (k ,0) k Z
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：( k , 0) k Z
2
探索一你可以从一个新的角度来研究正切函数的性质吗？
正弦函数正切函数
定义+三角函数线
三角函数图象
课后练习

作业：
P45.2、3、4
课后思考

思考1：我们分别从什么角度讨论了正切函数的性质？这两种讨论方法分别有什么特点？思考2：你能用同样的方法去讨论正、余弦函数的性质吗？

想一想？得到y tan x最小正周期为__ ____
由y tan x最小正周期为
反馈练习：求下列函数的周期：

x (1) y 5 tan 2
2

(2) y tan(4 x ) 3

4
巩固练习 1、比较下列每组数的大小。
13π 11π tan() 与 tan() （2） 4 5
正切函数的对称中心
正切函数图像
性质 :
渐进线
渐进线
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
定义域： {x | x k, k Z} 2 值域： R 周期性：奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在每一个开区间 ( k , k ) ， k Z 内都是增函数。 2 2 kZ x k , (7)对称中心 (6)渐近线方程： 2
kπ ( ,0) 2
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B

正切函数的定义图像及性质

3 2

O
函数性质定义域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
值域
奇偶性周期性单调性
R
奇函数周期kπ (k∈Z,k≠0), 最小正周期是π
在每一个区间 ( 2 k, 2 k)(k Z)
上是增加的
2 例1．若 tanα ＝，借助三角函数定义求角α 的正弦函 3
§7
正切函数的定义、图像及性质
正弦函数
y
1
P （u ，v ）
1
-1

O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
x
y
1
P （u ，v ）
1
-1

O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos
v =tan u
余弦函数
x
y
1
P （u ，v ）
1
-1

O
-1 M
三角函数
v=sin u=cos

3 2

2
O
-1

4
2

3 2
x
思考：为什么不用五点法?
提示：因为有渐近线，只需在对称中心两侧各取一点即可.
正切曲线是由通过点 ( k , 0)( k Z )且与 y 轴 2
相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成.
渐近线渐近线
3 2

O
【即时训练】
画出函数 y＝tan|x|的图象.
【解析】 f(x)＝tan|x|化为 π x≠kπ＋，x≥0k∈Z tan x， 2 f(x)＝ π －tan x， x≠kπ＋，x<0k∈Z 2 根据 y＝tan x 的图象，作出 f(x)＝tan|x|的图象，如图所示：

第一章 1.4 1.4.3正切函数的性质与图像

π π [正解] ∵在(0， )上，tanx>sinx，∴在(0， )上，y＝sinx 与 2 2 π y＝tanx 没有交点，同理在(－，0)上也没有交点，如图(2)所 2 示，由图易知选 D.
[答案] D
点击此图片进入 “训练全程跟综”
最小正周期为T＝ π
kπ 对称中心 ( 2 ，0)k∈Z
1．正切曲线具有哪些特征？
π 提示：正切曲线是被互相平行的直线 x＝kπ＋ (k∈Z) 2 所隔开的无穷多支曲线组成的，是间断的，它没有对称轴，只有对称中心．
2．正切曲线在整个定义域上都是增函数吗？
π π 提示：不是．正切曲线在每一个开区间(kπ－， kπ＋ )(k 2 2 ∈Z)上是增函数．但在整个定义域上不是增函数．
π x x π 解：y＝3tan( － )＝－3tan( － )， 6 4 4 6 π ∴周期 T＝＝4π， |ω| π x π π 又使 kπ－＜－＜kπ＋，k∈Z， 2 4 6 2 得 4kπ－ 4π 8π ＜x＜4kπ＋，k∈Z， 3 3
π x ∴y＝3tan( － )的周期为 4π， 6 4 4π 8π 单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋ )(k∈Z)． 3 3
探究点一
正切函数的定义域问题
求正切函数的定义域时，要首先考虑正切函数本身的定义域，然后根据函数的特点确定出满足条件的三角不等式或不等式组．
求函数 y＝ tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．
[提示]
列出使每个式子有意义的不等式组，然后解
不等式组．
[解]
tanx＋1≥0 Hale Waihona Puke 由题意得 1－tanx>0
探究点二
正切函数的周期性

18-19 第1章 §7 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质

kπ π xx≠ ＋，k∈Z 2 4
π 2x有意义，则2x≠kπ＋ 2
当堂达标 • 固双基
合作探究 • 攻重难
[答案]
课时分层作业
返首页
自主预习 • 探新知
4．函数y＝tan
π x，x∈0，4的值域是________．
第一章三角函数 §7 正切函数 7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
自主预习 • 探新知
学习目标：1.能借助单位圆中的正切线画出函数y＝tan
x的图像.2.掌握
正切函数的图像、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质．(重点)3.注重数形结合思想的应用以及正切函数与正、余弦函数的综合应用(难点)．
自主预习 • 探新知
AT 为角 α 的正切线．如图 171 所示，线段______
当堂达标业
图 171
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自主预习 • 探新知
b 思考1：设角α的终边与单位圆交于点P(a，b)，那么 a 何时有意义？正切函数与正弦、余弦函数有怎样的关系？
图像
课时分层作业
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自主预习 • 探新知
定义域值域奇偶性性质周期性单调性
π xx∈R，x≠ ＋kπ，k∈Z 2

R 奇函数
kπ(k∈Z，k≠0) ，最小正周期为___ π 周期为_______________
π π －＋kπ，＋kπ，k∈Z 2 2 在_________________________ 上是增加的 kπ ，0，k∈Z 2 该图像的对称中心为______________________

正切函数的图象及性质

11 6
●
2
●
2
0
6
3
2
2 3
5 6

● ● ● ● ●
x
3 2
-1
现在利用正切线画出函数y tan x, x (

y
, )的图象 2 2

1

o1

2

4

0
1

4

2
x

利用正切函数的周期性,把图象向左,右扩展,得到正切函数 y tan x, x R且x k , (k Z )的图象 , 并把它叫做正切曲线. 2 y
（2） y tan x 性质: 定义域
值周奇域期偶性奇 R 函数
单调增区间
对称中心
渐近线方程
x x k ，k Z 2
k， x k 0 k ，k 2 2 2 k Z k Z k Z
2
正切函数的主要性质如下:
定义域值域周期性奇偶性单调性
xx

2 k , k Z

实数集
T
奇函数(正切曲线关于原点对称)
在（

k， k），k Z内为增函数 2 2

例1.求函数 y tan x ）的定义域 , 周期和单调区间。（ 4
解：令 z x
y
解：
3 2

2
0
2

3 2
x
(1). x (k

2
, k ), (k Z )

1.4.5正切函数的图象和性质

k )
k Z
(2) x k
(3) x (
k Z
k , k ) k Z
2

2
2
o
2

2
x
例5.求函数 -tan x 10tanx- 1, x [ , ]的值域。 y 4 3
2

例6.求函数 ( x ) tan x atan x, x | f |
奇偶性周期对称性奇函数
y [1,1]
xR
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ]
增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
减函数
2 对称中心： (k ,0) k Z
2 对称轴： x k , k Z
0 0
6 13 5 11 练习：比较 tan , tan , tan ( ), tan 的大小 5 5 14 8
例4.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
y
(1) x (k ,

2
y tan x
2

4
的最小值
为 - 6.求实数的值。 a
2
2
3
例2.作出下列函数的图像根据图像求其单调区 ,间并奇偶性及值域。 (1) y | tan x | ( 3) y | tan(x ( 2) y tan | x |

3
)|
例3 不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

正切函数的图像与性质

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1．角 α 的终边经过点 P(－b,4)且 cos α＝－35，求 tan α 的值． [解] 由题意知 cos α＝ b－2＋b 42＝－35，∴b＝±3.又 cos α＝－35<0， ∴P 在第二象限，∴b＝3. ∴tan α＝－43.
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正切函数的图像
【例 2】作出函数 y＝tan|x|的图像，判断函数的奇偶性及周期性．
]
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正切函数的性质 [探究问题] 1．如何判断函数的奇偶性． [提示] 判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断 f(－x) 与 f(x)的关系． 2．函数 y＝tan x 的周期是多少？y＝|tan x|的周期呢？ [提示] y＝tan x 的周期是 π，y＝|tan x|的周期也是 π.
C [y＝tan x 的图像与 x 轴的交点以及 x 轴上使 y＝tan x 无意义
的点都是对称中心．]
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3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z

[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
①
②
③
④
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(1)A (2)④ [(1)如图，函数 y＝sin x 与 y＝tan x 在区间－32π，32π 上的交点个数是 3.
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(2)函数 y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|
＝2tan 2sin

正切函数的定义,图像及性质

P40 4
sinx tan x, (k为偶数). cosx
tan( x kπ) tan x,
π 其中，x R, x kπ, k Z . 2
kΠ（k∈Z，k≠0）是正切函数的周期，π是它的最小正周期。
作法如下：
作直角坐标
系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆。
y
找横坐标
（把x轴上 2 到到这一段分成8等份）
高一（10）班
7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像和性质
在直角坐标系中，如果角α满足：那么，角α的终边与单位圆交于P(a,b),唯一确定比值 b . a y b P(a,b) 根据函数的定义，比值是角α的函数，我们把它叫作角α的正切函数，其中α R，α π kπ (k Z）。
1

把单位圆右
半圆中作出正切线。

2
1
3
8 4 8
x
找交叉点。连线。
利用正切函数的周期性,把图像向左、右扩展,得 π 到正切函数 y tan x( x R, x kπ, k Z ) 的图像， 2 称其为正切曲线。 y

3 2

2
0
2

3 2

α在第一象限时：

P
y
o
A(1,0) MP是正弦线 M x
OM是余弦线
M
A x
T
y
T
AT是正切线
y o M A x T P
M P
o
请同学们画出其它象限的 x A 三角函数线
由正弦函数、余弦函数的诱导公式可得：
sin( x kπ ) tan( x kπ ) cos( x kπ ) - sin( x) tan x, (k为奇数), - cos( x)

§7.0正切函数的定义、图像及诱导公式

2. 我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.
知识探究（二）：正切函数的图像
正弦函数的图像我们可以借助正弦线把它画出，那么对于正切函数是否也存在正切线呢？
正切线：
y
的终边
T A x T
的终边
y
T
A x T

O

O
的终边
的终边
例2：不通过求值,比较下列各组两个正切值的大小。
(1) tan138 与 tan143
解：（） 90 138 143 270 1

y tan x, x (90 ,270 ) 是增函数，

tan 138 tan 143

（2）比较

13 tan 4
知识探究（三）：正切函数的诱导公式
y tan x y tan( ) x

即： tan( ) tan
y tan x
y y tan( ) x x

即： tan( ) tan
y tan x
y tan( ) x
k ( k Z) 诱导公式可统一为 2
奇变偶不变，符号看象限.
的三角函数与α的三角函数之间的关系。
5. 由周期性,可把图象左右扩展得到正切函数的图象.
y tan x ，x ，的图像: 利用正切线画出函数 2 2 把单位圆右半圆分成8等份。作法: (1) 等分： 3 3 (2) 作正切线，，，，， 8 8 8 4 8 4 (3) 平移 (4) 连线

正切函数的定义、图像与性质

π
2
+ kπ , k ∈ Z
正切函数的周期是kπ， π是它的最小正周期周期是kπ 周期是kπ
作法如下：
作直角坐标系，并在直角坐标系y轴左侧作单位圆。找横坐标（把x轴 π π 上 − 到 2 到这 2 一段分成8等份）把单位圆右半圆中作出正切线。找交叉点。连线。
−
π
2
π
2
−
3π 2
7.1正切函数的定义、图像与正切函数的定义、正切函数的定义性质
y P(a,b) A 1 x
O
M
如果角α满足：α∈R，α≠ π/2 +kπ（ k ∈Z ），角α的终边与单位圆的交点为P(a，b)(a＞0，b＞0)，那么tanα＝？
tanα
| PM | b = = | OM | a
我们把它叫做角α的正切函数正切函数，记作y=tanα 正切函数
−
π
2
π
2
3π 2
−
3π 2
−
π
2
π
2
3π 2
π x| x ≠ +kπ,k∈Z 2
全体实数R 全体实数R
∴ 正切函数是奇函数，正切曲线
关于原点0对称
∵tan(−x) = tan(x)
∵tan(x +π ) = tan(x)
π 2
正切函数在开区间 − + kπ, + kπ , k ∈Z 内都是增函数。
π
2

∴ 正切函数是周期函
数，T=
π
（6）对称中心
kπ ,0 ,k ∈ Z 2
y
T 角α的角α的终边终边 P P A（1,0） M M O

正切函数的性质与图象

f ( x ) tan( x ) tan( x ) tan[ ( x 2) ] f ( x 2) 2 3 2 3 2 3
因此函数的周期为2.带入正切的单调区间可解得函数得单调区间
5 1 ( 2k , 2k ), k Z 3 3
(1)1 tan x 0;
y 3

(2) tan x 3 0;

4

3
y 1
小结
正切函数的周期性，奇偶
性，单调性，值域.
作业
课本45页练习
4、值域
正切函数的值域是实数 R. 集
举例
π π 例1 求函数y tan ( x )的定义域, 周 2 3 期和单调区间.
解:
x k 2 3 2
即
所以函数的定义域是由于
1 { x | x 2k , k Z }. 3
1 x 2k , k Z 3
y A sin( x ), x R.( A 0, 0) y A cos(x ), x R.( A 0, 0)
y A tan( x ).( A 0, 0)
T
2
T
例2 求使下列不等式成立的的集合: x
§ 1.4.3 正切函数的性质与图象
引入
正切函数:
y tan x , x k , k Z 2
新课
正切函数图像:
FLASH
1、周期性
正切函数是周期函数, 周期是π.
2、奇偶性
正切函数是奇函数.
3、单调性
π π 在每一个开区间 , kπ ), k Z上都是增函数 (kπ . 2 2

正切函数的图像和性质

【错解】π3
（1）正切函数的图像：
（2）正切函数的性质：
定义域：x
|
x

2

k
,
k

Z

值域：全体实数R
周期性：正切函数是周期函数，
最小正周期为

奇偶性：奇函数，
单调性：正切函数在开区间 k, k ,k Z
2 2
内都是增函数。
本节课学习了哪一种数学方法解题？
利用正切函数单调性比较大小
3．tan 1°与tan 1从小到大的关系是 ________．
【答案】tan 1°＜tan 1
比较正切值的大小
【例 2】比较 tan－147π与 tan－252π的大小．【解题探究】利用诱导公式化简函数的表达式，自变量在正切函数的同一个单调区间内，即可判断大小．

B.xx∈R且x≠kπ＋4π，k∈Z

C.xx∈R且x≠kπ＋2π，k∈Z

D.xx∈R且x≠kπ－4π，k∈Z

【答案】A
例6
（2）周期性
y tan x
2 3
利用正切函数图像解不等式问题
课本P46 A 9 (1) 1 tan x 0
方法（1）在

2
,

2

内找到相应的范围
（2）在两边加上 k
利用几何画板探究资料书P26 4 例3.求下列函数的周期.
(2)y tan x
3

3
2
2

2
资料书P26例题
3．函数 y＝|tan 2x|是( )
ห้องสมุดไป่ตู้

三角函数中正切函数的像和性质

三角函数中正切函数的像和性质正切函数是数学中的一种三角函数，通常表示为tan(x)，其中x为角度或弧度的值。

在三角函数中，正切函数具有一些独特的性质和像，我们将在本文中对其进行详细讨论。

一、正切函数的定义正切函数定义为三角函数中的比值，表示为tan(x) = sin(x) / cos(x)，其中sin(x)和cos(x)分别代表正弦函数和余弦函数。

正切函数的定义域为所有非整数倍的π，即{...，-2π，-π，0，π，2π，...}，而值域为所有实数。

二、正切函数的图像正切函数的图像具有周期性和奇函数的特点。

在单位圆上，当角度x在0到π之间时，图像上的点从正无穷趋于负无穷；当角度x在-π到0之间时，图像上的点从负无穷趋于正无穷。

因此，在坐标平面上，正切函数的图像将在每个π的整数倍处交替穿过x轴。

三、正切函数的性质1. 周期性：正切函数具有周期为π的特点。

即tan(x + π) = tan(x)，其中x代表任意角度或弧度的值。

2. 奇函数性质：正切函数是奇函数，即tan(-x) = -tan(x)，其中x代表任意角度或弧度的值。

这意味着正切函数的图像关于原点对称。

3. 极限性质：当角度x趋近于90度或π/2弧度时，正切函数趋于正无穷大；当角度x趋近于-90度或-π/2弧度时，正切函数趋于负无穷大。

4. 零点性质：正切函数在一些特定的角度或弧度下取零值。

例如，tan(0) = 0，tan(π) = 0，tan(-π) = 0等。

5. 增减性：正切函数在不同区间上的增减性不同。

在(-π/2, 0)和(π/2, π)区间上，正切函数递增；在(0, π/2)和(π, 3π/2)区间上，正切函数递减。

四、正切函数的应用正切函数在数学和物理学等学科中具有广泛的应用。

以下是一些典型的应用场景：1. 三角测量：正切函数常用于解决直角三角形中的测量问题，如测量不可直接测量的高度、角度等。

2. 信号处理：在信号处理领域，正切函数可用于描述和分析周期信号的性质和变化。

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T
角的终边 3

Y
（， tan ）
3 3
A
0
3
X
y tan x x ，的图像: 利用正切线画出函数， 2 2
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。 3 (2) 作正切线 3 ，，，，， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线

小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用移平正切线得 y tan x, x ( , )的图象， 2 2 再利用周期性把该段象图向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
正切曲线
是由通过点 (k

2
, 0)(k Z )穷多支曲线组成
正切函数图像
性质 :
渐进线
渐进线
⑴ 定义域： {x | x k, k Z} 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
由正余弦的诱导公式得：
sin(x k ) sin x tan(x k ) tan x cos(x k ) cos x
x R, x

2
k , k Z
正切函数的周期是kπ ， π 是它的最小正周期

(5) 对称性：对称中心：
无对称轴 π π (+ kπ, + kπ) k Z (6)单调性：在每一个开区间 2 2 内都是增函数。
kZ (7)渐近线方程： x k , 2
例题分析
例求函数y tan( x
解 : 设t x

4
)的定义域、值域和单调区间.
因此，函数的定义域是 x x R且x k , k Z 4
, 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z 4 2 x k , x k 4 2 4
y
A（1,0）
O M x M O
A（1,0）
x
T 过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长线相交于T点。过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M。
tan AOT tan MOP
线段AT称为角α的正切线
三角函数正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
tan1670 tan1730
y tan x在，上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5

说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角化到y=tanx的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。
⑸ 单调性： ( k , k ) 2 2
在每一个开区间
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
k， Z
内都是增函数。 (7)对称中心
kπ ( ,0) 2
问
题
讨
论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
1.7 正切函数的定义、图像与性质
主备人：侯佳佳
y P(a,b)
O
M
A 1 x
如果角α满足：α∈R，α≠ π/2 +kπ（ k ∈Z ），角α的终边与单位圆的交点为P(a，b)(a＞0，b＞0)，那么tanα＝？
| PM | b tanα | OM | a
我们把它叫做角α的正切函数，记作y=tanα.
思考
α在第一、三象限时， tanα>0
α在第二、四象限时， tanα <0
sin tan ( R, k , k Z ) cos 2
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。我们统称它们为三角函数。
y
T 角α的角α的终边终边 P P
P
T
余弦函数
正切函数
-1
O
M
A(1,0)
x
问题1、如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移正弦线得 y sinx, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到 .
类比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
问题2、如何利用正切线画出函数 y tan x， x ， 2 2 的图像？

值域 : R

k x k 2 4 2 3 k x k 4 4 3 函数的单调增区间是 k , k , k Z 4 4
y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z 2 2
A
B
π π Z (- + kπ, + kπ) k ， 2 2
在每一个开区间内都是增函数。
例题分析
例比较下列每组数的大小。 13π o o 11π tan()与 tan((1)tan167 与 tan173 （2） )
解: (1) 90
0
11 (2)tan( ) tan , tan( 13 ) tan 2 4 4 5 5 2 又y tan x在 0， 0 , 是增函数 2 4 5 2