正切函数的定义、图像与性质

值域 : R

k x k 2 4 2 3 k x k 4 4 3 函数的单调增区间是 k , k , k Z 4 4
y tan t的单调增区间是 - k , k , k Z 2 2
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5

说明：比较两个正切值大小，关键是把相 应的角 化到y=tanx的同一单调区间内，再 利用y=tanx的单调递增性解决。

(5) 对称性：对称中心：
无对称轴 π π (+ kπ, + kπ) k Z (6)单调性： 在每一个开区间 2 2 内都是增函数。
kZ (7)渐近线方程： x k , 2
正切曲线
是由通过点 (k

2
, 0)(k Z ) 且与 y 轴相互平行的
直线隔开的无穷多支曲线组成
正 切 函 数 图 像
性质 :
渐 进 线
渐 进 线
⑴ 定义域： {x | x k, k Z} 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
思 考
α在第 一、三 象限时， tanα>0
α在第 二、四 象限时， tanα <0
sin tan ( R, k , k Z ) cos 2
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以比值为函数值的 函数。我们统称它们为三角函数。
y
T 角α的 角α的 终边 终边 P P
A
B
π π Z (- + kπ, + kπ) k ， 2 2
在每一个开区间 内都是增函数。
例题分析
例 比较下列每组数的大小。 13π o o 11π tan()与 tan((1)tan167 与 tan173 （2） )
解: (1) 90
0
11 (2)tan( ) tan , tan( 13 ) tan 2 4 4 5 5 2 又y tan x在 0， 0 , 是增函数 2 4 5 2
P
T
余弦函数
正切函数
-1
O
M
A(1,0)
x
问题1、如何用正弦线作正弦函数图象呢？
1、用平移正弦线得 y sinx, x [0,2 ]图象.
2、再利用周期性把该段 图象向左、右扩展得到 .
类 比
用正切线作正切函数y=tanx的图象
问题2、如何利用正切线画出函数 y tan x， x ， 2 2 的图像？
o
3 0 2 8 4 8
8
4
3 8
2
由正余弦的诱导公式得：
sin(x k ) sin x tan(x k ) tan x cos(x k ) cos x
x R, x

2
k , k Z
正切函数的周期是kπ ， π 是它的最小正周期


小结：正切函数的图像和性质
1、 正 切 曲 线 是 先 利 用 移 平正 切 线 得 y tan x, x ( , )的 图 象 ， 2 2 再 利 用 周 期 性 把 该 段象 图向 左 、 右 扩 展 得 到 。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2 ⑵ 值域： R ⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性： 奇函数，图象关于原点对称。
1.7 正切函数的定义、 图像与性质
主备人：侯佳佳
y P(a,b)
O
M
A 1 x
如果角α满足：α∈R，α≠ π/2 +kπ（ k ∈Z ），角α的终边与单 位圆的交点为P(a，b)(a＞0，b＞0)，那么tanα＝？
| PM | b tanα | OM | a
我们把它叫做角α的正切函数，记作y=tanα.
⑸ 单调性： ( k , k ) 2 2
在每一个开区间
kZ x k , (6)渐近线方程： 2
k， Z
内都是增函数。 (7)对称中心
kπ ( ,0) 2
问
题
讨
论
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？
(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
y
A（1,0）
O M x M O
A（1,0）
x
T 过点A（1,0）作x轴的垂线，与角的终边或终边的延长 线相交于T点。 过点P作x轴的垂线，与x轴交于点M。
tan AOT tan MOP
线段AT称为角α的正切线
三角函数 正弦函数
sin=MP
cos=OM tan=AT
y
三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
例题分析
例 求函数y tan( x
解 : 设t x

4
)的定义域、值域和单调区间.
因此，函数的定义域是 x x R且x k , k Z 4
, 则y tan t的定义域为 t t R且t k + , k Z 4 2 x k , x k 4 2 4
T
角 的终边 3

Y
（ ， tan ）
3 3
A
0
3
X
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y tan x x ， 的图像: 利用正切线画出函数 ， 2 2
作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。 3 (2) 作正切线 3 ， ， ， ， ， 8 8 4 8 8 4 (3) 平移 (4) 连线