3.4《基本不等式》课件(必修5)

应用二：解决最大（小）值问题 例2、已知 x, y 都是正数，求证
（1）如果积 和x 积
xy 是定值P，那么当 x y 时，
P （2）如果和 x y 是定值S，那么当
y 有最小值 2
xy
小结：利用 a b 2 ab(a 0, b 0) 求最值时要注意下面三条： （1）一正：各项均为正数 （2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。 （3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“＝”，否 则会出现错误
。
3、若实数 x, y ，且 x y 5 ，则 3 x 3 y 的最小值是（ D） A、10 B、 6 3 C、 4 6 D、 18 3 4、在下列函数中，最小值为2的是（ C ） 1 A、 B 、 y lg x (1 x 10) x 5 y ( x R, x 0) lg x
1 2 有最大值 S 4
x y 时，
例 3 、 （ 1 ）用篱笆围一个面积为 100m2 的矩形菜园，
问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最
短篱笆是多少？ （ 2）一段长为 36m的篱笆围成一矩形菜园，问这个矩 形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大。最大面积 是多少？
例4、某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，
当且仅当a=b时，等号成立。
注意：
（1）两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同
（2）
ab
ab 2
称为正数a、b的几何平均数
称为它们的算术平均数。
基本不等式的几何解释：
D
A
a
C
b
B
E
半弦CD不大于半径
应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系
1 例1.(1) 已知 x 0, 求证x 2, 并指出等号 x 成立的条件. a b (2) 已知 ab 0, 寻找 与2的大小关系, b a 并说明理由. a b (3) 已知 ab 0, 能得到什么结论? b a 请说明理由.
例5、已知 0 x 1ຫໍສະໝຸດ Baidu，求
练习：
x 1 x 的最大值
2
已知 x 0, y 0 且 2 x 5 y 20 ，则lg x lg y 最大值是多少？
利用基本不等式证明不 等式 a b 1.已知a、b是正数，且 1( x, y R )， x y 求证：x y ( a b )
5 x x x C、 y 3 3 ( x R)
D、 y sin x
1 (0 x ) sin x 2
构造积为定值，利用基本不等式求最值
1 x( x 3) 的最小值 例4、 求函数 y x3
思考：求函数 y
x 5
2
x2 4
的最小值
构造和为定值，利用基本不等式求最值
§3.4基本不等式:
ab ab 2
ICM2002会标
赵爽：弦图
D b G A H
D
a 2 b2
F
E a a C A E(FGH) b C
B
B
基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
基本不等式2：
ab ab (a 0, b 0) 2
2
2.已知a 0, b 0, c 0, d 0, 求证： ad bc bc ad 4 bd ac 4 4 4 2 2 2 2 2 2 3.证明：a b c a b b c a c abc(a b c)
练习1：设a>0，b>0，给出下列不等式
1 (1) a 2 a
1 1 (2)( a )( b ) 4 a b 1 1 1 2 2 (3)( a b)( ) 4 (4)a 1 2 a 1 a b
（1）（2）（3）
其中恒成立的 练习2：若
。
a b 1, P lg a lg b , 1 ab Q (lg a lg b), R lg( ) ，则（ B ） 2 2 A、R P Q B、P Q R C、R P Q D、P Q R
其容积为4800立方米，深为3米，如果池底
每平方米的造价为150元，池壁每平方米的
造价为120元，怎样设计水池能使总造价最
低？最低总造价是多少？
练习：
1 1、当x>0时， x 的最小值为 x
2、(04重庆）已知 则x y 的最大值是
1 6
2
，此时x= 1
。
2 x 3 y 2( x 0, y 0)