14讲 最优控制-动态规划-三法比较
最优控制全部PPT课件
J
（x(t f ),t f）
tf t0
F（x(t),u(t),t)dt
为最小。
这就是最优控制问题。
如果问题有解，记为u*(t), t∈ [t0,tf],则u*(t)叫做最优控制（极值控制），相应的轨 线X*(t)称为最优轨线（极值轨线），而性能指标J*=J（u*(·)）则称为最优性能指标。
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目标质心的位置矢量和速度矢量为： xM xM
F(t)为拦截器的推力
x xL xM v xL xM
则拦截器与目标的相对运动方程为：
x v v a(t) F (t)
m(t)
m F (t) c
其中a(t)是除控制加速度外的固有相对加速度，是已知的。
初始条件为： x(t0 ) x0 v(t0 ) v0 m(t0 ) m0 终端条件为： x(t f ) 0 v(t f )任意 m(t f ) me
至于末态时刻，可以事先规定，也可以是未知的。 有时初态也没有完全给定，这时，初态集合可以类似地用初态约束来表示。
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3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 u(t) umax 或ui i 1,2p
给定一个线性系统，其平衡状态X(0)=0，设计的目的是保持系统处于平衡状态，即 这个系统应能从任何初始状态返回平衡状态。这种系统称为线性调节器。
线性调节器的性能指标为：
J
tf t0
n
xi 2 (t)dt
i 1
加权后的性能指标为：
J
tf t0
n
qi xi 2 (t)dt
i1
对u(t)有约束的性能指标为： J t f 1 [ X T (t)QX (t) uT (t)Ru(t)]dt
动态规划与最优控制模型
第四章 最优控制模型（管理、决策方面应用，因此可说管理决策模型）§1 最优控制的问题提法： §1.1 最优控制问题举例 §1.2 最优控制数学模型一、例，详见最优控制课听课笔记第一节； 二、问题的数学描述――最优控制模型.寻找U )t (*u ∈（开，闭）[]f f 0t ,t ,t 可以固定或自由，使得： [][])t ( u J min )t (*u J Uu∈= (){()()0t ),t ( x g 0 t ),t ( x g ,R )t (x )t (x M x )t (x x )t ( x t ),t ( u ),t (x f dt (t) x d :t .s f f 2f f1f f f f 00≤=∈=∈==其中： n R )t (x ∈ ，且1C )t (x ∈ （一个连续可微）， R U )t (u m ≤∈，[] t ,u (t), x f：向量值函数，且)( f ⋅ 对t ),t ( u ),t ( x 连续，对t ),t ( x 连续可微. []()()()[]。
都可微 t (t), x 对 t (t), u (t), x L ,t ),t ( x,dt t ),t ( u ),t ( x L t ),t ( x )t ( u J f f tt f f fϕ+ϕ=⎰最优控制问题的求解方法：1． 古典变分法：U 开集；2． 极大值原理：U 闭集；现代变分法，把古典变分法看作特例 3． 动态规划：便于数值计算，并有通用算法； 发展了变分法，结果要充分条件.§2 最优控制模型的动态规划解法 §2.1 动态规划方法概述§2.2 生产——库存——销售管理系统的解法§2.1 动态规划方法概述某一类管理问题的数学模型（状态方程）是一个差分方程：()⎩⎨⎧∈==+M )(k x x )0( x k ),k ( u ),k ( x f )1k ( x f 0 使 ()∑-==1N 0i i ),i ( u ),i ( x L J 达到最小. 此为一个N 阶决策问题：动态规划法是求这一决策问题的有效办法，具有明显优点：（ⅰ）将一个N 阶决策问题转化为多次一步决策问题，即数学上的嵌入原理——将求一条极值曲线问题，嵌入到求一族极值曲线的更广泛的类似问题中；（ⅱ）大大简化了计算量；（ⅲ）具有局部优，就是整体优的最优性原理：可广泛应用于运输系统、生产库存管理系统、生产计划制定及最优投资分配问题、最优价格制定问题.下面以最短路问题举例说明这种方法： 一、最短路问题（最小时间问题）1．问题：若有一辆汽车以S 城出发经过若干城市到达F 城，如图：3 ,2 ,1i ,Q ,P i i =，是一些可以通过的城镇.·P 1 6 ·P 2 1 ·P 3 4 4 1 2 4S · ·F 5 6 3 ·Q 1 7 · Q 2 2 ·Q 3图中两点间的数字：可以表示两城镇之间的距离（单位10公里），也可以表示行驶两城镇所用时间（应综合考虑：距离远近，路面好坏，是否拥挤等情况）.于是：汽车从S 到F 可经多种途径选择到达F . 问题是：从多种途径选择方案中，决定一种使S 到F 所走路线最短.或者若图中数字表示时间，则决定一种路径使从S 到F 所用时间最短.2．方法：Ⅰ决策树法（穷举法）：决策树法是最容易想到的一种方法，但运算量很大——即把所有可能选择的路途所用的时间都求出来，然后取最小值，即有最优策略（最优决策）.即： {}3 ,2 ,1i F Q SP min F *Q *SP i i i i == 因此有：1 P 3 4 F 15P 26 1 Q 3 3 F 14P 1 62 P34 F 164 Q 22 Q3 3 F 15S1 P 3 4 F 145 P 24 1 Q 3 3 F 13Q 1 7 2 P 3 4 F 18Q 22 Q3 3 F 17因此，最终得出：{}3 ,2 ,1i F Q SP min F P P SQ i i 321== 困难：这样共有8条线路可选择，每条线路要作3次运算.第1次：22211Q Q /P Q /P S →→→；第2次：3322Q /P Q /P →； 第3次：F Q P 33→或因此，共需24次运算：2438＝⨯次，若阶段更多，则计算量更大. 2．“走一步瞧一步”（瞎子爬山？）法：第一步：从S 到1P 或1Q ：显然 5SQ 4SP 11=<=，因此取决策1SP ；第二步：从1P 到2P 或2Q ：显然 2121Q P 6P P ==，因此取2121Q Q ,P P 均可，但从2P 到3P 或3Q 距离为1，而2Q 到32P P 距离为2，因此，第2步决策为2P ，因此取21P P ；第三步：2P 到3P 或2P 到3Q ，均有1Q P P P 3232==，但3Q 到F 的距离为3，因此第3步取路线32Q P .因此使用这种方法得到的决策为：143164F Q P SP 321=+++= 显然不是“最优决策”，同时还有：14F P P SQ 321=问题出现在“局部优不能代替整体优”的问题. 3．动态规划：即可把每一步决策都看成一个状态的转移，而每一种状态的转移又影响到下一阶段的状态，因此又是动态的，故称为动态规划法.将上述问题分为四个阶段的多阶决策问题，故可将问题分为四阶段问题来考虑：第一阶段问题：11Q /P S →； 第二阶段问题：2211Q /P Q /P →； 第三阶段问题：3322Q /P Q /P →； 第四阶段问题：F Q /P 33→ 解题方法从最后一个阶段开始：1° 分别计算33Q ,P 到F 的最小代价，此处花费代价为时间，记为J ，用[][]33Q J ,P J 分别表示3P 或3Q 到F 的代价，则显然有：[][]3Q *J 4P *J 33==2° 由后往前，考虑倒数第二阶段（即第三阶段），再把第三阶段和第四阶段联合作为一个子问题来考虑，若从2P 出发到F ，则有两种可能：[][]431Q *J 2J F Q P 541P *J 1J F P P 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q P 32最短，且[]4P *J 2=，故将线路F Q P 32记成P 2④Q 3.类似以2Q 出发到F ，则有两种可能：[][]532Q J 2J F Q Q 642P J 2J F P Q 332332=+=+==+=+=∴ 线路F Q Q 32最短，则[]5Q *J J 2==，故将线路F Q Q 32记成2Q ⑤3Q .3° 再由2、3、4这三个阶段构成的子问题：若从1P 出发到F 有两种可能：[][]1156Q *J 6J F Q P 61046P *J 6J F P P 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P P 21最短，且[]10P *J 1=，故将F P P 21记成：1P ⑩2P若从1Q 出发到F 有两种可能：[][]1257Q *J 7J F Q Q 844P *J 4J F P Q 221221=+=+==+=+=∴ 有线路F P Q 21最短，则[]8Q *J 1=，故将F P Q 21记成：1Q ⑧2P4° 把由1、2、3、4阶段作为子问题来考虑：从S 出发到F 有两种可能：[][]1385Q *J 5J F SQ 14104P *J 4J F SP 1111=+=+==+=+=且且故： F SQ 1最短，且[]13S *J = 5° 因此有最优策略：F SQ 1即： []13S *J F Q P SQ F SQ 3211==，除“二决一”比较之外，且运算只用了10次，而穷举法则算了24次，上次这种动态规划的办法：是将把一个四阶段决策问题化为四个互相嵌入子问题，逐一进行简化的计算方法，即数学上嵌入定理. 3．最优性原理“最优策略的一部分也是最优策略”例如：上例中知：F Q P SQ 321是最优决策，则F Q P Q 321也一定是从Q 1出发到F 的最优决策：证明［反证法］：设SQ 1P 2Q 3F 是最优决策，则Q 1P 2Q 3F 不是最优决策，则必存在另一个最优决策，不妨设为Q 1Q 2Q 3F 为最优决策.因而，SQ 1Q 2Q 3F 是整体最优决策，因而与SQ 1P 2.)1N (*u , ),1(*- 是N 阶决策问题的最优策略序列，那么：)1N (*u , ),1(*u - 也是一个最优策略序列，其初始状态为：())0(*u ),0(x f )1(x =证明：同最短路4． 多阶决策问题的一般想法：设某系统的状态方程为：()⎩⎨⎧==+0x )0(x )i (u ),i (x f )1i (x目标函数为：()∑-==1N 0i N i ),i (u ),i (x L J ，NJ表示控制N 步时的目标函数值.最优控制问题，即：求最优决策序列{}{})1N (u , ),0(*u )i (*u -= ，使N J 取最小(大)值.为简化假定为定常状态，即L 不明显还有时间变量i因而有：()⎩⎨⎧==+0x )0( x )i (u ),i (x f )1i ( x()∑-==1N 0i N )i (u ),i ( x L J对目标函数(3)逐次应用(1)式有：()()()()()()()()()()())1N (u ),2N (u ,u(1) ,)0(u ),0(x f f f L ,u(1) ,)0(u ),0(x f L )0(u ),0(x L ,)1N ( u ),1N ( x L )1(u ),1(x L )0(u ),0(x L J N --+++=--+++=因此，可以由上式看出：N J 只依赖于)1N (u , ),1(u ),0(x - 因而可写成：())1N (u , ),1(u ),0(x J J N N -=又若用某种方法求出了最优决策)1N (*u , ),0(*u - ，则N J 的最小值只依赖于初始值)0(x ，记为() )0( x *J N ，它可用下式来定义：()())1N (u , ),1(u ),0( x J min)0(x *J N )1N (u ,),1(u ),0(u N -=-初始值是可变化的，因此：() )0( x *J N 表示初始状态为)0(x 时，控制N 步的目标函数最小值.5．动态规划的基本方程：动态规划的基本方程，给出N 阶决策问题的目标函数最优值与它的子问题)1N (阶决策问题-目标函数最优值之间的递推关系式，它是用动态规划解一切多阶决策问题的基础.设)0(*u 已求出，则求序列{})1N (*u , ),2(*u ),1(*u - 的问题，构成一个以() )0(u ),0( x f )1( x =为初始条件的1N -阶决策问题，若记这一子问题的目标函数最小值为：() )1(x *J 1N -；又若记() )0( x *J N 为N 阶决策问题最小值，则我们可以导出() )0( x *J N 与() )1(x *J 1N -之间的关系：()()() (k)u (k), x L ) )1(u ),0(x ( L min u(k) x(k),L min )0(x *J 1-N 1k 1)-u(N -u(0)1-N 0k )1N (u ,),1(u ),0(u N ⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑==- 由于则第一项：()())0(u ),0(x L min )0(u ),0(x L min)0(u )1N (u , ),0(u =-第二项： ()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑-=-1N 1k )1N (u , u(1) ),0(u )k ( u ),k ( x L min 并不明显依赖)0(u ，()())2N (u ),2N (x f )1N (x )0(u ),0(x f )1(x --=-=但由状态方程：可知：实际上第二项仍依赖于)1N (u , ),1(u ),0(u - ，因此，第二项可写成：()()(){})1( x J min (k)u (k), x L min min (k)u (k),x L min *1N )0(u 1-N 1k )1N (u ,),1(u )0(u 1-N 0k )1N (u ,),0(u ---=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∑∑此给出了())1(x J *1N -与())0(x J*N 之间的递推关系.它是动态规划的基本方程.类似有动态规划更一般的基本方程：(**) 因此依据基本递推方程的递推关系：可以把一个多阶决策问题化为若干个子问题，而在决策的每一个阶段中只须对一个变量进行最优化决策即可.例如：()(){})1N (u ),1N (x L min )1N (x J )1N (u *1--=-- 是对一个单变量)1N (u -的优化问题，当())1N (x J *1-求出后，由基本递推方程(**)式可得：()()(){})1N (x J )2N (u ),2N (x L min )2N (xJ *1)2N (u *2-+--=--这又是对)2N (u -的最优化决策问题，因而把原来N 阶决策问题化成一系列对单变量的最优化决策问题，从而使问题简化.§2.2 生产库存——库存管理决策问题的解设某工厂生产某种产品，四个季度定货量为：生产费用与产品平方成正比，即比例系数为0.005，)( u 005.0)x (C 2元= 库存费每件每季为：1.0元. 第i 季度库存量为：)i (x 件； 第i 季度生产量为：)i (u 件； 第i 季度销售量为：定货量=)i (s 因此有：下季度库存是 ：)i (S )i (u )i (x )1i (x －本季销售量本季生产量本季度库存量是+=+且要求年初、年终都没有存货即销售已空.x （0）＝x （5）＝0最优管理问题：求每季度的最优生产量)4(u ),3(u ),2(u ),1(u ，使之能正好完成订货计划且使生产费与库存费总和最小.即：求 {})i (*u 使[][][]∑=+=≤41i 240)i (x )i (u005.0)i (u J )i (*u J （1）⎪⎩⎪⎨⎧===+=+ (4) 0x(5)(3) 0x(0)(2) ,4 1,2,3is(i)-u(i)x(i)1)x(i t .s解：使用动态规划的办法：1． 先由最后一个季度考虑起：)4(x )4(u 005.0J 21+=由（2） 0 x(5))4)4(s )4(u )4(x )14(x =-+=+及（得 ２００u(4)－(4)－1x(4)0+=得 )4(x 1200)4(*u -=代入（1）[]())4(x 005.0)4(x 117200)4(x )4(x 1200005.0)4(x J 22*4+-=+-= 2． 再考虑3－4两个季度，由基本递推方程知：()()[]{}(){}{})4(x 005.0)4(x 117200)3(x )3(u005.0min )4(x J )3(x )3(u 005.0min )4(x J )3(u ),3(x L min )3(x J 22)3(u *12)3(u *1)3(u *2+-++=++=+=其中 500)3(u )3(x )3(s )3(u )3(x )4(x -+=-+= 代入上式 即有：()()(){}22)3(u *2500)3(u )3(x 005.0500)3(u )3(x 117200)3(x )3(u 005.0min )3(x J -++-+-++=而)3(u 应使上式取最小值，因此有： {}0)3(u /=∂∙∂即：{}0)3(x 01.016)3(u 02.0)3(u =+-=∂∙∂即有： )3(x 5.0800)3(*u -= 为使0)3(*u ≥，必须有1600)3(x ≤，把)3(*u 代入())3(x J *2()()())3(x 0025.0)3(x 77550500)3(*u )3(x 005.0500)3(*u )3(x 117200)3(x )3(*u 005.0)3(x J 22*2+-=-++-+-++=3．再考虑2-3-4，由递推基本方程知：()()(){}{})3(x 0025.0)3(x 77550)2(x )2(u005.0min )3(x J )2(u ),2(x L min )2(x J 22)2(u *2)2(u *3+-++=+=其中 700)2(u )2(x )3(x -+= 代入上式 ())2(x J *3()()(){}22)2(u *3700)2(u )2(x 0025.0700)2(u )2(x 77550)2(x )2(u 005.0min )2(x J --+---++= 令 ()0)2(u /)2(x J *3=∂∂ 得(){}()0700)2(x 005.07)2(u 015.0)2(u )2(u )2(x J *3=-+-=∂∙∂=∂∂得 )2(x 31700)2(*u -= 再代 ())2(x J *3 得 ())2(x 3005.0)2(x 6000,10)2(x J 2*3+-= 4．再考虑1－2―3―4季度，由递推基本方程知：()()(){}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++=+=)2(x 3005.0)2(x 6000,10)1(x )1(u 005.0min )2(x J )1(u ),1(x L min )1(x J 22)1(u *3)1(u *4 又由于 600)1(u 600)1(u 0)1(s )1(u )1(x )2(x -=-+=-+=并代入上式 ())1(x J *4得：()()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+--++=22*4600)1(u 3005.0600)1(u 6000,10)1(x )1(u 005.0min )1(x J 令 ()0)1(u )1(x J *4=∂∂ 得()0600)1(u 301.06)1(u 01.0=-+- 得 600)1(*u =得 ()800,11)1(x J *4=（即四个季度总和的生产费用库存费） 于是：由)1(x ),1(*u 代入 )1(s )1(u )1(x )2(x -+=可得 )2(x ，由)2(x 可得 )2(x 31700)2(*u -= 于是由600)1(*u0)1(x == 及方程 )i (s )i (u )i (x )1i (x -+=+ 及 )4(x 1200)4(*u )3(x 5.0800)3(*u )2(x 31700)2(*u -=-=-=可得900)4(*u ,800)3(*u ,700)2(*u ,600)1(*u 0)5(x ,300)4(x ,0)3(x ,0)2(x ,0)1(x =========即有以上最优决策序列：{})i (*u 若不按以上最优决策，按每季销售量生产1200)4(s )4(u 500)3(s )3(u 700)2(s )2(u ,100)1(s )1(u ========则显然总有存为总量0，但总费用： ()∑=+=4124700,12)i (x )i (u005.0J 要多用900元.。
离散控制系统中的最优控制方法
离散控制系统中的最优控制方法离散控制系统是一种在时间和状态上都是离散的控制系统，相对于连续控制系统来说，其最优控制方法也有所不同。
本文将介绍离散控制系统中的最优控制方法，主要包括动态规划、最优化算法和强化学习。
一、动态规划动态规划是一种基于状态转移的最优化方法，在离散控制系统中有着广泛的应用。
其基本思想是将原问题分解为若干子问题，并通过求解子问题的最优解来得到原问题的最优解。
在离散控制系统中，我们可以将状态和控制变量转化为状态转移方程，然后利用动态规划递推求解，得到最优的控制策略。
二、最优化算法最优化算法是一种通过迭代优化来求解最优控制问题的方法，常见的有梯度下降法、牛顿法等。
在离散控制系统中，我们可以将控制问题转化为一个优化问题，并使用最优化算法来求解最优的控制策略。
例如，在离散时间马尔可夫决策过程中，我们可以利用值迭代或策略迭代等最优化算法来求解最优策略。
三、强化学习强化学习是一种通过试错学习来求解最优控制问题的方法，其核心思想是智能体通过与环境的交互来学习最优的行为策略。
在离散控制系统中，我们可以将控制问题抽象为一个马尔可夫决策过程，并使用强化学习算法如Q-learning、SARSA等来求解最优策略。
强化学习在离散控制系统中具有较好的应用效果，在复杂的离散控制系统中能够找到近似最优的控制策略。
综上所述，离散控制系统中的最优控制方法包括动态规划、最优化算法和强化学习。
这些方法在不同的离散控制系统中有着广泛的应用，能够求解出最优的控制策略。
在实际应用中，我们需要根据具体的控制问题选择合适的方法，并结合系统的特点和需求进行调整和优化。
离散控制系统中的最优控制方法在提高系统性能和效率方面具有重要意义，对于实际工程应用具有较大的价值。
最优控制问题的数值方法比较
最优控制问题的数值方法比较最优控制问题是应用数学中的一个重要研究领域，其目标是找到一种使系统性能达到最优的控制策略。
在现实生活中，最优控制问题广泛应用于机器人控制、经济管理、工程优化等领域。
为了解决这个问题，研究者们发展了许多数值方法，本文将对其中的几种方法进行比较。
一、动态规划动态规划是最早也是最经典的最优控制方法之一。
它基于状态和控制变量的离散化，将最优控制问题转化为一系列子问题的求解。
动态规划的核心思想是利用最优子结构性质，即全局最优解可以通过局部最优解的组合而得到。
动态规划方法的优点是理论基础牢固，能够得到全局最优解。
然而，动态规划在处理高维状态空间问题时，由于状态空间的指数增长，计算复杂度会急剧增加。
二、最优控制理论最优控制理论是另一种常用的数值方法，主要包括泛函分析、变分法和极大极小值等数学工具。
最优控制理论通过建立最优控制问题的变分原理，推导出极值条件，从而求解最优解。
最优控制理论在处理连续时间、连续状态和控制变量问题时效果较好，但在面对非线性系统和大规模系统时计算复杂度也较高。
三、优化算法优化算法是一类基于搜索策略的最优控制方法。
常见的优化算法包括最速下降法、共轭梯度法和拟牛顿法等。
这些方法通过迭代优化的方式逐步逼近最优解。
优化算法具有灵活性和适用性广的特点，能够处理一般的最优控制问题。
然而，这类方法的局部收敛性和迭代次数都与初始猜测解有关，需要耗费较多的计算资源。
四、数值仿真数值仿真方法是一种常用的最优控制求解技术，特别适用于非线性和高维系统。
数值仿真通过数值积分的方式，将最优控制问题转化为求解微分方程或者差分方程的问题，然后利用数值计算的方法求解。
数值仿真方法的优点是能够直接处理连续状态和控制变量，适用于复杂的系统模型。
然而，数值仿真方法在求解过程中容易受到数值误差的影响，需要对收敛性和精度进行分析。
总结起来，动态规划方法适用于离散状态和控制变量的最优控制问题，最优控制理论适用于连续状态和控制变量的问题，优化算法适用于一般的最优控制问题，而数值仿真方法适用于复杂的非线性和高维系统。
动态规划原理与最优控制(2024版)
式中
Ut
Ut {u(s), t s t f }
t f [x(s),u(s), s]ds
t
（4） （5）
而x(s)是在区间[t,t f ] 上和最优控制函数有关的轨线，
其中
t ，s 且t f
给x(t定0 ) 。
34
显然
V[x(t f ), t f ] [x(t f ), t f ]
（6）
加法次数: 4 * (n-2) + 2 次 n = 4时， 4 * (4-2) + 2 = 10 次
13
各个状态到终点的最短距离
J*[S] = 13 J*[X1(1) ] = 10 J*[X2(1) ] = 8 J*[X1(2) ] = 4 J*[X2(2) ] = 5 J*[X1(3) ] =4 J *[X2(3)] =3
（9）
上式称为Hamilton-Jacobi方程
或者称为 Hamilton-Jacobi-Bellman方程
38
对于所给最优控制问题，重复以上讨论，导致
V [ x(t ), t ] t
[
x(t
V
[
x(t t
),
t
]
t
V [ x(t ), t x(t)
]
T
f [x(t),u(t),t]t H.O.T.(t)}
36
min V[x(t),t] Ut
[x(t f ),t f ]
t f [x(s),u(s), s]ds
t
V
[
x(t
),t
]
V
[
x(t t
),
t
]
t
min u( )
J
*k
最优控制问题的动态规划法
最优控制问题的动态规划法动态规划法是一种常用的最优控制问题求解方法。
它通过将问题分解为子问题，并保存子问题的最优解，最终得到整体问题的最优解。
本文将介绍最优控制问题的动态规划法及其应用。
一、概述最优控制问题是指在给定控制目标和约束条件下，通过选择一组最优控制策略来实现最优控制目标。
动态规划法通过将问题分解为若干个阶段，并定义状态和决策变量，来描述问题的动态过程。
并且，动态规划法在求解过程中通过存储子问题的最优解，避免了重复计算，提高了计算效率。
二、最优控制问题的数学模型最优控制问题通常可以表示为一个关于状态和控制的动态系统。
假设系统的状态为$x(t)$，控制输入为$u(t)$，动态系统可以表示为：$$\dot{x}(t) = f(x(t), u(t))$$其中，$\dot{x}(t)$表示状态$x(t)$的变化率，$f$为状态方程。
此外，系统还有一个终止时间$T$，以及初始状态$x(0)$。
最优控制问题的目标是找到一个控制策略$u(t)$，使得系统在给定时间$T$内，从初始状态$x(0)$演化到最终状态$x(T)$，同时使得性能指标$J(x,u)$最小化。
性能指标通常表示为一个积分的形式：$$J(x,u) = \int_0^T L(x(t), u(t)) dt + \Phi(x(T))$$其中，$L$表示运动代价函数，$\Phi$表示终端代价函数。
三、最优控制问题的动态规划求解最优控制问题的动态规划求解包括两个主要步骤：状态方程的离散化和动态规划递推。
1. 状态方程的离散化将状态方程离散化可以得到状态转移方程。
一般来说，可以使用数值方法（如欧拉方法、龙格-库塔方法）对状态方程进行离散化。
通过选择适当的时间步长，可以平衡计算精度和计算效率。
2. 动态规划递推动态规划递推是最优控制问题的关键步骤。
假设状态函数$V(t,x)$表示从时刻$t$起，状态为$x$时的最优性能指标。
动态规划递推过程通常可以描述为以下几个步骤：（1）递推起点：确定最终时刻$T$时的值函数$V(T,x)$，通常可以根据终端代价函数$\Phi$直接得到。
最优控制问题的数值方法
最优控制问题的数值方法最优控制问题是应用数学中的一类重要问题，涉及到优化某些目标函数的控制策略。
这类问题在很多领域都有广泛的应用，如经济学、工程学、环境科学等。
为了求解最优控制问题，研究者们开发了多种数值方法，以提供高效准确的策略。
一、动态规划法动态规划法是求解最优控制问题中最常用的方法之一。
其基本思想是将问题划分为若干个阶段，在每个阶段选择最优的控制策略，以达到整体的最优目标。
动态规划法的核心是计算值函数或状态函数，通过递归的方式实现最优解的求解。
在动态规划法中，首先需要建立状态转移方程，描述状态之间的变化关系。
然后通过迭代求解，逐步更新值函数，直到收敛为止。
具体的计算方法可以根据不同的最优控制问题进行调整，以提高计算效率。
二、最优控制问题的间接方法除了动态规划法，最优控制问题还可以通过间接方法求解。
间接方法主要基于变分原理，通过构建哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程来求解问题。
该方法将最优控制问题转化为一个偏微分方程，通过求解该方程得到最优解。
在应用最优控制问题的间接方法时，需要确定合适的控制参数，并在求解偏微分方程时进行迭代计算。
这种方法的优势在于能够处理一些非线性和约束等较为复杂的情况，但同时也带来了计算复杂度较高的问题。
三、最优控制问题的直接方法最优控制问题的直接方法是另一种常用的数值求解方法。
它直接构造控制策略的参数化形式，并通过参数调整来实现目标函数的最小化。
该方法需要事先构造一个合适的优化模型，并选择合适的优化算法进行求解。
在直接方法中，常用的优化算法有梯度下降法、共轭梯度法、牛顿法等。
通过迭代计算，优化参数逐步调整，直到达到最优解。
直接方法不需要建立状态函数或值函数，因此可以简化运算，但需要根据具体问题进行参数化建模和算法选择。
总结：在求解最优控制问题时，可以根据问题的特点选择适合的数值方法。
动态规划法适用于离散的最优控制问题，通过递归计算值函数实现最优策略的求解。
间接方法利用变分原理将问题转化为偏微分方程，并通过迭代计算获得最优解。
动态规划最优控制 现代控制理论 教学PPT课件
2021年4月30日
第7章第3页
看如下最短路线的例子，设由 A 至 F 的路线如图所示，要求选择一条路程最短的线路。
各地间的距离已标注在图中。
由 A 到 B(B1, B2 , B3) ，需要选择一条路线，使 AB 之间的路程最短，称为一级决策过程；
再从 B(B1, B2 , B3) 到 C(C1,C2 ,C3) 选择一条路线 ABC ，使 AC 之间的路程最短，称为二 级决策过程；从 ABCD 选择一条路线，使 AD 之间路程最短，称为三级决策过程；以此 类推。显然，对于图所示路线，从 A 到 F 共有五级决策过程。为了确定 AF 之间最短路
态变量必须满足“无后效性”。所谓无后效性的概念是：在任一时刻 tk ，系统的状态为 x(tk ) ，
以后的状态仅决定于 x(tk ) 以及 x(tk ) 达到终点时刻 t1 的状态 x(t1) 的控制策略，而与以前
的状态和以前的控制策略无关。因此，在应用动态规划方法时，要注意状态变量的选取， 使之满足“无后效性”的条件。
min
95 5 11
14
S4 (B1) C1
2021年4月30日
第7章第9页
决策变量 决策变量
J
4
(
B2
)
min
dd((BB22,,CC21
) )
J J
3 3
(C1 ) (C2 )
min
45 3 11
9
d (B2 , C3 ) J3 (C3 )
5 8
S4 (B2 ) C1
J
4
(
B3
7.4.2 离散系统的动态规划
为了讨论简单起见，将离散系统最优控制问题改提为
min
J
最优控制问题的优化算法比较
最优控制问题的优化算法比较最优控制问题是指为了达到某种目标要求，在给定的系统动力学模型和约束条件下，通过调节控制器的参数使系统的性能指标达到最优的一类问题。
在现实世界中，最优控制在各个领域都有广泛的应用，例如机械工程、电力系统、化工过程等。
为了寻找最优控制策略，需要使用优化算法来求解最优化问题。
本文将对几种常见的最优控制问题的优化算法进行比较，并讨论它们的优缺点。
一、动态规划算法动态规划算法是最优控制中最常用的一种方法。
它通过将原问题分解为多个子问题来求解，然后通过子问题的最优解来构造原问题的最优解。
该算法需要事先构建状态转移方程，并使用递推关系逐步计算最优解。
动态规划算法的优点在于可以得到全局最优解，但其缺点在于计算复杂度较高，对于维度较高或者状态空间过大的问题，算法求解效率较低。
二、强化学习算法强化学习算法是一种基于试错学习的方法，在最优控制问题中也得到了广泛应用。
它通过不断与环境进行交互来学习最优策略。
强化学习算法的优点在于可以处理连续状态和动作空间的问题，并且能够自动适应不确定性和环境变化。
然而，强化学习算法对样本数据要求较高，在初始阶段需要大量的试错过程，且收敛速度较慢。
三、遗传算法遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，它通过模拟基因交叉和变异的过程来搜索最优解。
在最优控制问题中，遗传算法可以用于求解参数优化问题。
遗传算法的优点在于可以处理复杂的优化问题，并且具有较好的全局搜索能力。
但是，遗传算法的计算复杂度较高，且结果的质量高度依赖于种群的初始化和选择策略。
四、模拟退火算法模拟退火算法是一种以概率驱动的全局优化算法，它通过模拟固体物质退火过程中的原子运动来搜索最优解。
在最优控制问题中，模拟退火算法可以用于求解连续参数优化问题。
模拟退火算法的优点在于可以避免陷入局部最优解，并且具有较好的全局搜索能力。
但是，模拟退火算法的收敛速度较慢，并且需要注意合适的退火模式和参数设置。
五、蚁群算法蚁群算法是一种模拟蚂蚁觅食行为的优化算法，它通过模拟蚂蚁在环境中的移动和信息素的更新来搜索最优解。
动态规划的三种实现方式
朴素算法与递推算法的效率
程序结构
1,初始化: F[0]=0;f[i]=max 2,松驰操作: flag:=有紧边 while flag=有紧边 do begin flag:=无紧边; 枚举i; 再枚举i的所有入边w(j,i); if f[j]+w(j,i)<f[i] then begin f[i]:=f[j]+w(j,i); flag:=有紧边; end; end;
松驰操作要点
动态规划与最短路
– 动态规划=求初始状态0到所有节点的最短路长度
松驰操作:
– F[i]:从初始状态0到状态i的最优值 – 紧边:使从0到i更优的边.(使f[i]更优) – 设0到i有一根绳,我们可以通过减小F[i]的值,从而使 这根绳变松. – If f[j]+w(j,i)<f[i] then f[i]:=f[j]+w(j,i) – 用紧边w(j,i)对状态i进行松驰操作使f[i]更优 – 结论
时间复杂度:O(x*节点总数*入度) (x待定)
记忆化搜索
递推的效率很高 但有时阶段不容易找,或不容易递推 怎么办 记忆化搜索 Var f:array[0..n]of integer;//保存状态i的最优 值 F[i]先初始化为极小值(<0) function dfs(i)//求f[i] Var j:integer;//枚举变量j只能是局部变量 Begin if f[i]>0 then exit(f[i]); for 枚举i的所有入边j 如果从0->j->i的代价比f[i]更优,更新f[i] exit(f[i]); End;
递推程序结构
1,初始化: F[0]=0;f[i]=max 2,松驰操作: 按一定的顺序依次枚举i; 按一定的顺序依次枚举i; 再枚举i的所有入边w(j,i); if f[j]+w(j,i)<f[i] then begin f[i]:=f[j]+w(j,i); flag:=有紧边; end;
最优控制问题的数值方法比较
最优控制问题的数值方法比较最优控制问题是应用数学中的一个重要问题，涉及如何选择参数或变量的变化方式，以最优化某种性能指标。
在实际应用中，通过求解最优控制问题可以优化系统的运行效果和性能。
针对最优控制问题，有多种数值方法可供选择。
本文将比较几种常见的数值方法，并从精度、复杂度和应用范围等方面进行评估。
一、直接方法直接方法是最优控制问题求解的一种常用数值方法，其基本思想是将最优控制问题转化为一个非线性规划问题，并应用数值优化算法进行求解。
直接方法的优点是灵活性强，可以适用于各种类型的最优控制问题。
然而，直接方法的主要缺点是计算复杂度高，尤其是对于高维系统和复杂的约束条件，往往需要更长的计算时间。
二、间接方法间接方法是最优控制问题求解的另一种常见数值方法，其基本思想是将最优控制问题转化为一个边界值问题，然后通过求解该边界值问题得到最优解。
间接方法的优点是计算过程相对简单，且可以提供最优解的一些数学特性。
然而，间接方法的缺点是对于复杂系统和非线性约束条件的求解效果有限。
三、迭代法迭代法是最优控制问题求解的另一种常用数值方法，其基本思想是通过不断迭代来逼近最优解。
迭代法的优点是计算过程相对简单，且可以提供解的逼近序列。
然而，迭代法的缺点是收敛速度较慢，有时需要大量的迭代次数才能达到满意的精度。
四、动态规划法动态规划法是最优控制问题求解的一种经典数值方法，其基本思想是将整个最优控制问题划分为一系列子问题，并利用子问题的最优性质进行递推求解。
动态规划法的优点是可以处理具有重复子结构的最优控制问题，且计算精度较高。
然而，动态规划法的缺点是对于高维系统和复杂的约束条件，计算复杂度较高。
五、边界元法边界元法是最优控制问题求解的一种数值方法，其基本思想是将最优控制问题转化为一个边界值问题，并通过边界元技术进行求解。
边界元法的优点是可以应对各种类型的最优控制问题，计算效率高，适用于大规模系统。
然而，边界元法的缺点是在某些情况下难以适应非线性约束条件。
最优控制问题的动态规划算法
最优控制问题的动态规划算法动态规划（Dynamic Programming）是一种解决多阶段决策问题的优化方法，对于最优控制问题而言，动态规划算法是一种有效的求解方法。
本文将介绍最优控制问题以及如何使用动态规划算法解决该类问题。
一、最优控制问题简介最优控制问题是在给定系统的一些约束条件下，通过对系统进行控制使得某个性能指标达到最优的问题。
该问题可以形式化地表示为数学模型，通常由状态方程、性能指标和约束条件组成。
二、动态规划算法原理动态规划算法采用自底向上的方法，通过建立递推关系，将原问题分解为若干个子问题，并以自底向上的顺序求解子问题的最优解，最终得到原问题的最优解。
三、最优控制问题的动态规划算法步骤1. 确定阶段数和状态变量：将最优控制问题划分为多个阶段，并定义每个阶段的状态变量。
状态变量可以是系统的状态、控制量或其他相关变量。
2. 建立状态转移方程：根据最优控制问题的约束条件和性能指标，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程表示了系统在不同阶段之间的演化过程。
3. 定义性能指标：根据最优控制问题的要求，定义系统的性能指标。
性能指标可以是系统的能量消耗、最大收益或其他相关指标。
4. 确定边界条件：确定最优控制问题的边界条件，即初始状态和终止状态。
5. 递推求解最优解：采用动态规划算法的核心步骤，即按照递推关系将问题分解为若干个子问题，并求解子问题的最优解。
6. 反推最优解：根据子问题的最优解，反向推导出原问题的最优解。
四、最优控制问题的应用举例以经典的倒立摆问题为例，倒立摆的目标是通过对摆的控制使其保持垂直。
假设倒立摆由质量为m的杆和质量为M的滑块组成。
其动态方程可以表示为：（这里给出具体的动态方程式，包含各个参数和变量）通过建立状态方程和性能指标，我们可以将倒立摆问题转化为最优控制问题。
然后利用动态规划算法求解。
五、总结最优控制问题是一类常见的优化问题，在实际应用中具有广泛的应用价值。
14讲 最优控制-动态规划-三法比较
26
最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
由于在推导上述欧拉公式时，以最优 解存在为前提， •即哈密顿-雅可比方程成立 所以，导出的欧拉方程代表的是 •必要条件
?起点和终端的其他情况自行论证起点和终端的其他情况自行论证能源与动力学院系统控制与仿真研究室25最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室26最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室27能源与动力学院系统控制与仿真研究室28能源与动力学院系统控制与仿真研究室29能源与动力学院系统控制与仿真研究室30最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系由于在推导上述欧拉公式时以最优解存在为前提解存在为前提?即哈密顿雅可比方程成立所以导出的欧拉方程代表的是?必要条件?必要条件能源与动力学院系统控制与仿真研究室31最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系极小值原理与变分法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室32能源与动力学院系统控制与仿真研究室33最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系动态规划与极小值原理的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室34最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室35能源与动力学院系统控制与仿真研究室36最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室37能源与动力学院系统控制与仿真研究室38最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室39能源与动力学院系统控制与仿真研究室40能源与动力学院系统控制与仿真研究室41最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室42能源与动力学院系统控制与仿真研究室43最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系值得指出的是上述推证过程仅仅具有形式上的意义因为实际上除了线性二形式上的意义因为实际上除了线性二次型问题外哈密顿雅可比方程难以求解或者根本不存在二次连续可微的函解或者根本不存在二次连续可微的函但是上述推证揭示了变分法极小值动态规划之间的内在联系有利于深动态规划之间的内在联系有利于深入了解三种方法的应用条件和相互关系能源与动力学院系统控制与仿真研究室44最优控制动态规划45三种最优控制方法的关系重点掌握重点掌握连续控制系统动态规划最优解的求解步骤动态规划与极小值原理2
最优控制的三大经典方法
最优控制的三大经典方法嘿，咱今儿就来聊聊最优控制的三大经典方法呀！你可别小瞧了这三个方法，它们就像是武林高手的绝招，各有各的厉害之处呢！先来说说动态规划吧！这就好比是你在走一条漫长的路，你得一路上不断地思考，每一步怎么迈才能最省劲儿，最能达到你的目标。
它能把一个复杂的大问题，分解成一个个小的阶段问题，然后逐一去解决，就像蚂蚁搬家一样，一点一点地把难题给攻克了。
你说神奇不神奇？再讲讲变分法呀！这就好像是在寻找一条最完美的曲线。
你要在众多的曲线中，找到那条能让某个指标达到最优的。
就像是在一堆宝石中，找出那颗最闪亮的一样。
它需要你有敏锐的眼光和精准的判断，可不是随随便便就能做到的哦！还有那庞特里亚金极大值原理呢！这个呀，就像是给你指明了一个方向，告诉你朝着哪里走才能最快地到达目的地。
它能在一些复杂的情况下，给你一个最明确的指引，让你不会迷失方向。
你想想看，要是没有这些方法，那我们在面对很多问题的时候，不就像无头苍蝇一样乱撞了吗？有了它们，我们就像是有了指南针和地图，能够更加从容地前进。
比如说在工程领域，这些方法可以帮助我们设计出最优的控制系统，让机器运行得更加高效；在经济领域呢，可以帮助我们做出最优的决策，让资源得到最合理的利用。
这不就像是给我们的生活和工作加上了一双翅膀，让我们能够飞得更高、更远吗？而且呀，这些方法可不是一成不变的，它们也在不断地发展和完善呢！就像我们人一样，要不断地学习和进步。
随着科技的不断进步，它们也会变得越来越厉害，能解决的问题也会越来越多。
所以啊，可别小看了这最优控制的三大经典方法哦！它们可是我们解决问题的得力助手呢！它们就像是隐藏在幕后的英雄，默默地为我们的生活和工作贡献着力量。
你说，我们能不好好了解它们、利用它们吗？总之呢，最优控制的三大经典方法，那绝对是杠杠的！它们在各个领域都发挥着重要的作用，让我们的生活变得更加美好。
让我们一起为这些厉害的方法点赞吧！。
最优控制动态规划法
uk
xk
k+1 xk+1
uN-1
xN-1
N
xN
图1 多段决策过程示意图 当然，如果对每一段的决策都是按照使某种性 能指标为最优的原则作出的，那么这就是一个多段 最优决策过程。
容易理解，在多段决策过程中，每一段(如第 k+1段)的输出状态(xk+1)都仅仅与该段的决策(uk)及 该段的初始状态(xk)有关。而与其前面各段的决策 及状态的转移规律无关。这种性质称为无后效性。
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
2
3
5
2
4 2B
Q1
Q2
Q3
第三段：P3、Q3的前站是P2、Q2。在这一段也
不论其先后的情况如何，只需对从P2或Q2到B进行最 优决策。从P2到B有两条路线：P2P3B，历时为6； P2Q3B，历时为4，取最短历时4，标注在P2旁。从Q2 到B也有两条路线：Q2P3B，历时为7；Q2Q3B，历时 为5，取最短历时5，标注在Q2旁。比较P2与Q2的最 优值，可知这一段的最优路线是P2Q3B。
段作出相应的“决策”(或控制)uk后，才能确定该段 输
入状态与输出状态间的关系，即从xk变化到xk+1的状 态转移规律。在选择好每一段的“决策”(或控制) uk 以后，那么整个过程的状态转移规律从x0经xk一直到 xN也就被完全确定。全部“决策”的总体，称为 “策
略”。
u0
u1
x0
1 x1
2 x2
P1
P2
P3
7
11
4
4
12
A
4
4 8
最优控制(动态求解)ppt课件
(2) 有等式约束泛函极值的必要条件
定理 设有如下泛函极值问题：
minJ tf g(x(t),x&(t),t)dt
x(t)
t0
s.t. f (x(t),x&(t),t) 0
（6）
已知x(t0)=x0， x(tf)=xf ,则极值曲线x * ( t ) 应满足如下欧 拉方程和横截条件
Fd (F)0 x dt x
这里，LX,X 是X 的线性泛函，rX,X 是关于 X
的 高阶无穷小，则
JLX,X
称为泛函J[x]的变分。 可知泛函变分就是泛函增量 的线性主部。
.
当一个泛函具有变分时，也称该泛函可微。和函 数的微分一样，泛函的变分可以利用求导的方 法来确定。
定理 设J[x]是线性赋范空间Rn上的连续泛函， 若在x= x0处J[x]可微，则J[x]的变分为
最优控制问题的一般提法：在满足系统方 程的约束条件下，在容许控制域中确定一 个最优控制律，使得系统状态从已知初态 转移到要求的目标集，并使性能指标达到 极值。
.
最优控制的应用类型
I. 积分型性能指标 1. 最小时间控制； 2. 最少能量控制； 3. 最少燃料控制；
J tf Fx(t),x& (t),tdt t0
称 J (X ) 在 XX*处有极值(极大值或极小值)。
.
定理(变分预备定理)：设 ( t ) 是时间区间[t0, t1]
上连续的n维向量函数， ( t ) 是任意的连续n维
向量函数，且有 (t0)(t1)0，若
t1T(t)(t)dt 0 t0
则必有
(t)0,t[t0,t1]
.
4.1.2 欧拉方程
当末端时间tf固定，末端状态x(tf)固定时，正则方程不变，
动态规划原理与最优控制
动态规划原理与最优控制动态规划和最优控制是两个重要的数学方法，广泛应用于各种优化问题的求解。
动态规划主要用于处理具有重复子问题的最优化问题，而最优控制则是研究如何在连续时间和状态下选择和调整控制变量以实现最佳控制。
动态规划的基本原理是将大问题划分为若干个子问题，并分别求解子问题的最优解，然后根据子问题的解推导出大问题的最优解。
动态规划可以通过建立一个递归的状态转移方程来描述问题的最优解。
通过记忆化或者自底向上的方式，可以高效地求解出最优解。
最优控制是研究如何选择和调整控制变量以在给定的约束条件下实现最优控制目标。
最优控制的目标可以是最小化或最大化一些性能指标，例如最小时间、最小成本、最大收益等。
最优控制问题可以描述成一个变分问题，通过求解变分问题的极值来得到最优控制策略。
动态规划和最优控制之间有许多相似之处。
首先，它们都涉及到对系统状态的建模和描述，以及对控制变量的选择和调整。
其次，它们都是通过求解优化问题来寻找最优解。
最后，它们都可以通过离散化状态和控制变量来转化成动态规划问题。
因此，动态规划和最优控制可以相互参考和借鉴。
动态规划和最优控制在实际应用中具有广泛的应用。
例如，在运输、资源分配、排产等问题中，可以使用动态规划来求解最优方案。
在机器人导航、飞行器控制、自动驾驶等问题中，可以使用最优控制来实现最佳控制策略。
此外，动态规划和最优控制也在经济学、管理科学、生物学等领域有重要的应用。
总之，动态规划和最优控制是两个重要的数学方法，它们可以帮助我们解决各种优化问题。
动态规划主要用于求解具有重复子问题的最优化问题，而最优控制则研究如何在连续时间和状态下选择和调整控制变量以实现最佳控制。
动态规划和最优控制在实际应用中具有广泛的应用，可以帮助我们优化系统设计和控制策略，提高效率和性能。
最优控制问题的优化算法比较
最优控制问题的优化算法比较在最优控制问题中，我们寻求一种控制策略，使得在给定约束条件下，系统的性能指标达到最优状态。
为了实现这个目标，数学家和工程师们发展了各种各样的优化算法。
本文将对几种常见的最优控制问题优化算法进行比较，并分析它们的优劣之处。
一、动态规划方法动态规划是最优控制问题求解中常用的一种方法。
它通过将问题分解为一系列子问题，并存储子问题的最优解来求解整体的最优解。
动态规划方法具有计算效率高、求解精度高的优点。
但是，它对问题的状态空间和控制空间要求较高，且计算过程中的存储量也随着问题规模的增加而增加。
此外，动态规划方法也容易陷入维数灾难。
二、多项式混合动力系统方法多项式混合动力系统（PMHDS）方法采用多项式函数来逼近控制输入和状态变量之间的关系。
通过调整多项式函数的系数，可以实现控制目标的最优化。
PMHDS方法具有计算复杂度低、收敛速度快的特点。
但是，它对问题的动力模型要求严格，且需要确定多项式的阶数和形式，这增加了算法的复杂性。
三、遗传算法遗传算法是一种模拟自然进化过程的优化算法。
它通过使用遗传操作，如选择、交叉和变异，来搜索最优解。
遗传算法适用于多变量、多约束的最优控制问题，并且能够避免陷入局部最优解。
然而，由于遗传算法的随机性质，其求解结果并不总是能够达到全局最优解。
此外，遗传算法的计算成本较高，对问题规模较大时，收敛速度较慢。
四、模糊控制方法模糊控制方法使用模糊集合和模糊规则来描述系统的控制策略。
它适用于那些难以建立准确的数学模型的系统。
相比于其他优化算法，模糊控制方法更容易理解和实现。
但是，模糊控制方法对问题的模糊规则的设计和调整非常敏感，且求解过程中的输出结果较为模糊，缺乏一定的精确性。
综上所述，最优控制问题的优化算法各有优劣，选择适合的算法需要根据实际问题的特点和要求。
动态规划方法在求解小规模、精度要求高的问题时具有优势。
PMHDS方法适用于具有简单模型和高收敛速度要求的问题。
最优控制问题的主要方法
最优控制问题的主要方法最优控制问题是控制理论中的一个重要分支，其目标是在给定系统动力学和性能指标的情况下，寻找最优的控制策略，使系统达到最优性能或目标。
以下是最优控制问题的一些主要方法：1.变分法（ Calculus（of（Variations）：（变分法是一种数学工具，用于寻找泛函的极值。
在最优控制中，系统的性能指标通常可以表示为一个泛函。
变分法可以通过最小化或最大化泛函来导出最优控制问题的欧拉-拉格朗日方程。
2.动态规划 Dynamic（Programming）：（动态规划是一种用于解决具有递归结构且满足最优子结构性质的问题的优化方法。
在最优控制中，动态规划可以用于处理具有离散或连续时间的动态系统，并通过构建状态转移方程来找到最优策略。
3.最优控制理论（Optimal（Control（Theory）：（最优控制理论是处理连续时间动态系统最优化问题的数学工具。
它利用微分方程和变分法来分析系统，并确定最优控制策略，以使系统性能指标达到最优。
4.Pontryagin最大值原理（ Pontryagin's（Maximum（Principle）：（Pontryagin最大值原理是最优控制中的一个重要概念，它提供了寻找连续时间系统最优控制策略的方法。
该原理基于最优控制问题的哈密顿函数和共轭动态系统，通过最大化哈密顿函数来确定最优控制。
5.线性二次型调节器 LQR）：（线性二次型调节器是一种针对线性动态系统设计最优控制器的方法。
它通过最小化系统状态和控制输入的二次型代价函数来设计最优控制器。
6.模型预测控制 Model（Predictive（Control，MPC）：（模型预测控制是一种基于离散时间模型的最优控制方法。
它使用系统的预测模型来预测未来状态，并通过优化控制序列来实现性能指标的最优化。
这些方法可以根据系统的特性、动力学模型、性能指标和实际应用场景选择和应用。
最优控制问题在工程、经济学、生物学等领域有着广泛的应用，能够优化系统的性能并提高控制效果。
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能源与动力学院系统控制与仿真研究室 8
最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
能源与动力学院系统控制与仿真研究室
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最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
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最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
连续控制系统最优性原理
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最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
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这就是连续系统的动态规划基本递推方程
• 它是泛函和偏微分方程的混合形式， • 称为哈密顿-雅可比方程， • 也称为哈密顿-雅可比-贝尔曼方程。
（Hamilton-Jacobi-Bellman方程）
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最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
Hamilton-Jacobi-Bellman方程 • 简称HJB方程 •最早出现于用动态规划解最优控制问题 •之后在科学、工程、经济领域中得到广 泛应用. •HJB方程数值解的研究是一个非常热门 的话题; •它是偏微分方程数值解领域中重要 课题之一.
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
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例
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
动态规划与极小值原理和变分法的关系 •概述 •动态规划与变分法的关系 •极小值原理与变分法的关系 •动态规划与极小值原理的关系
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
对于同样能用这三种方法解决的最优控 制问题，所得的结果是相同的。 假定最优性能指标连续可微，根据连续 动态规划法，可以导出极小值原理的全 部必要条件。 变分法是极小值原理的特例，通过连续 动态规划法也可以导出变分法的相关结 果。
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
动态规划与变分法的关系 •起点和终端状态固定时的标量系统最 优控制问题为例，介绍动态规划与变 分法之间的关系。 •起点和终端的其他情况（自行论证）
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由于在推导上述欧拉公式时，以最优 解存在为前提， •即哈密顿-雅可比方程成立 所以，导出的欧拉方程代表的是 •必要条件
肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
最优控制——动态规划 前次课程回顾——动态规划
动态规划的数值计算方法 连续控制系统动态规划
• 连续控制系统最优性原理 • 连续系统动态规划基本递推方程 • 哈密顿-雅可比方程的解与最优性能指标的
关系 • 最优解的求解步骤
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
极小值原理与变分法的关系
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动态规划与极小值原理的关系
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值得指出的是，上述推证过程仅仅具有 形式上的意义，因为实际上除了线性二 次型问题外，哈密顿-雅可比方程难以求 解，或者根本不存在二次连续可微的函 J 数 x t , t 。 但是，上述推证揭示了变分法、极小值 、动态规划之间的内在联系，有利于深 入了解三种方法的应用条件和相互关系
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最优控制——动态规划 4.4 动态规划的数值计算
利用数值计算法计算离散最优控制问题时 •可以把容许控制域和容许状态变化范围 分成若干等份； •然后再不同容许状态值下，根据动态规 划的基本递推方程，逆向分级计算最优 控制和最优代价函数，并列出响应的计 算表格； •最后根据给定的初始状态，正向查询各 级计算表，确定最终的最优解。
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
重点掌握
1. 连续控制系统动态规划 最优解的求解步骤 2.动态规划与极小值原理 和变分法的关系
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思考题
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最优控制——动态规划 4.5 三种最优控制方法的关系
由于常微分方程一般比偏微分方程的求 解容易，因此极小值原理比动态规划好 用。 但是，在求解离散最优控制问题时，动 态规划更加方便，而且动态规划结论是 充分必要条件，所以便于建立动态规划 、极小值原理和变分法之间的联系。
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最优解的求解步骤 ——由哈密顿-雅可比方程求解 •哈密顿-雅可比方程
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最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
动态规划的数值计算方法 连续控制系统动态规划
• 连续控制系统最优性原理 • 连续系统动态规划基本递推方程 • 哈密顿-雅可比方程的解与最优性能指标的
关系 • 最优解的求解步骤
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最优控制——动态规划 4.4 连续控制系统动态规划
虽然上面介绍了连续系统动态规划法求 解最优问题的步骤，但是除了线性二次 型问题，哈密顿-雅可比偏微分方程的求 解非常困难。