河南省南阳六校2020-2021学年高二月考联考理科数学试题
河南省南阳市2020年秋期六校第一次联考高二年级数学试题
A．an＝3n－1 B．an＝3n
C．an＝3n－2n D．an＝3n－1＋2n－3
2、在△ABC 中，已知 b＝6，c＝10，B＝30°，则解此三角形有 ( )
A．无解
B．一解
C．两解
D．一解或两解
3、设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 a1 a3 a5 3 ,则 S5
()
A． 5
＝2b，则＝
.
15、在数列 中， ㄵ，
t
，若对于任意的
，
恒成立，则实数 k 的最小值为
．
16、圆内接四边形 ABCD 的边长分别为 AB=2,BC=6,CD=DA=4,则四边形
ABCD 的面积为
.
三、解答题（本大题共 6 小题，满分 70 分.解答写出文字说明，证明过程和演
算步骤.）
17、已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且 b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14
行的速度为( )
17 A. 6海里/小时
2
B．34 6海里/小时
17 2 C. 海里/小时
2
D．34 2海里/小时
8、在
中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，①若 t ，则 ݅ t ݅ ；
②若 ݅
݅ ，则△ 一定为等腰三角形；③若sin sin
sin ，则△ 为直角三角形；④若△ 为锐角三角形，则 ݅ t 㰍㠰 ੪
以上结论中正确的有
()
A.①③
B. ①④
C. ①②④ D. ①③④
9、若数列{an}是正项递减等比数列，Tn 表示其前 n 项的积，且 T8＝T12，则
当 Tn 取最大值时，n 的值等于
()
A．9
B．10
河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第四次月考数学(理)试题
【全国百强校】河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二下学期第四次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知31i z i -=-（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为( ) A ．i - B ．1- C ．1 D ．22．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是（ ）A ．判断模型的拟合效果B ．对两个变量进行相关分析C ．给出两个分类变量有关系的可靠程度D ．估计预报变量的平均值3．已知变量x 与y 负相关，且由观测数据得到样本的平均数3x =， 2.7y =，则由观测数据得到的回归方程可能是（ ）A ．0.2 3.3y x =-+B ．0.4 1.5y x =+C ．2 3.3y x =-D ．28.6y x =-+4．已知某批电子产品的尺寸服从正态分布()1,4N ，从中随机取一件，其尺寸落在区间()3,5的概率为（附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,P X μσμσ-<<+=(22)0.9545)P X μσμσ-<<+=（ ） A ．0.3174 B ．0.2781 C ．0.1359 D ．0.0456 5．设01p <<，随机变量ξ的分布列是则当p 在()0,1内增大时（ ）A ．()E ξ减小，()D ξ减小B ．()E ξ减小，()D ξ增大C ．()E ξ增大，()D ξ减小 D ．()E ξ增大，()D ξ增大6．已知5112a x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） A ．80-B ．40-C ．40D ．80 7．函数 ()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．某班有50人，从中选10人均分2组（即每组5人），一组打扫教室，一组打扫操场，那么不同的选派法有（ ）A ．1055010C C ⋅ B ．10550102C C ⋅ C ．105250102C C A ⋅⋅ D ．55250452C C A ⋅⋅ 9．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻的概率是（ ）A ．516B ．1132C ．1564 D ．1116 10．已知实数x ，y 满足()2ln 436326x y x y ex y +-+--≥+-，则x y +的值为（ ） A ．2 B ．1 C ．0D ．1- 11．一布袋中装有n 个小球，甲，乙两个同学轮流且不放回的抓球，每次最少抓一个球，最多抓三个球，规定：由乙先抓，且谁抓到最后一个球谁赢，那么以下推断中正确的是（ ）A ．若9n =，则乙有必赢的策略B ．若7n =，则甲有必赢的策略C ．若6n =，则甲有必赢的策略D ．若4n =，则乙有必赢的策略12．已知函数()()),0x f x e g x a ==≠，若函数()y f x =的图象上存在点()00,P x y ，使得()y f x =在点()00,P x y 处的切线与()y g x =的图象也相切，则a的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．(C ．(D ．e ⎤⎥⎦二、填空题13．100sin xdx π-=⎰⎰______ 14．“克拉茨猜想”又称“31n +猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.己知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为__________．15．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物．现有3种不同的植物可供选择，则有_____种栽种方案．16．已知函数()()e 1,ln xf x xg x x kx =⋅-=+,且()()f x g x ≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立,则实数k 的最大值为______.三、解答题17．若二项式n +的展开式中的常数项为第5项. (1)求n 的值；(2)求展开式中系数最大的项；18．随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为X ，求随机变量X 的数学期望和方差．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：（1）女生都不相邻有多少种排法？（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？20．已知a ，b ，c 使等式()()()222211223 (112)n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++对*n N ∈都成立，（1）猜测a ，b ，c 的值；（2）用数学归纳法证明你的结论.21．根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示.（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？ 附：相关系数公式()()n n i i i i x xy y x y nx y r ---==∑∑回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()111222111ˆn n i i i i i n n i i i x xy y x y nx y b xx x nx ====---==--∑∑∑∑，a y bx =-.22．已知函数2()ln 2()f x x a x x a R =+-∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 有两个极值点1212,()x x x x <且12()0f x mx -≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．B【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z，进而可得结果. 【详解】因为3(3)(1)422 1(1)(1)2i i i iz ii i i--++====+ --+,所以2z i=-，故z的虚部为1-，故选B.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．C【解析】【分析】根据独立性检验的概念，即可作出判定，得到答案．【详解】对两个分类变量进行独立性检验目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度，故选C．【点睛】本题主要考查了独立性检验的概念及判定，其中熟记独立性检验的概念是判定的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题．3．A【解析】【分析】利用变量x与y负相关，排除正相关的选项，然后利用回归直线方程经过样本中心验证即可．【详解】解：因为变量x与y负相关，而B，C正相关，故排除选项B，C；因为回归直线方程经过样本中心， 把3x =代入0.2 3.3y x =-+解得，0.23 3.3 2.7y y =-⨯+==故A 成立， 把3x =代入28.6y x =-+解得，238.6 2.6y y =-⨯+=≠，故D 不成立，故选A ．【点睛】本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，是基础题．4．C【分析】由已知可得1,2μσ==，再由()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+求解． 【详解】解：由已知，得1,2μσ==，所以()()35+2P x P X μσμσ<<=<<+0.95450.68270.13592-==． 故选C ．【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于简单题．5．A【解析】【分析】根据数学期望和方差的计算公式求得关于p 的函数关系式，根据函数单调性求得结果.【详解】()1101212222p p p E ξ-=⨯+⨯+⨯=- p ∴在()0,1内增大时，()E ξ减小()22211011121222222p p p p p D ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⨯+-+⨯+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()221113114244p p p =--+=-++ p ∴在()0,1内增大时，()D ξ减小本题正确选项：A【点睛】本题考查离散型随机变量的数学期望和方差的计算，考查对于公式的掌握程度和计算能力. 6．D【分析】令1x =可得各项系数和，求出a ，根据二项展开式求出512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的常数项和含x 的项与1a x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭相乘，合并同类项即可求解展开式的常数项. 【详解】令二项式中的x 为1得到展开式的各项系数和为1a +， 12a ∴+=1a551111212a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+-=+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 5511122x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 展开式中常数项为512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的常数项与含x 的系数和， 512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为55215(1)2r r r r r T C x --+=-， 令521r -=得2r ；令520r -=，无整数解，展开式中常数项为25880C =，故选：D【点睛】本题主要考查了二项式定理，二项展开式各项的系数和，二项展开式的通项公式，赋值法，属于中档题.7．A【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值即可判断函数图象；【详解】解：∵()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， ∴()()()221sin 1sin 11x x x e f x x x x e f e -⎛⎫⎛⎫-=--=--= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， ∴函数()21sin 1x f x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为偶函数，其图像关于y 轴对称，故排除C 、D ；当2x =时， ()2221sin 201f e ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭，故排除B ， 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别，属于基础题.8．A【分析】根据先分组，后分配的原则得到结果.【详解】 由题意，先分组，可得10550102C C ⋅，再一组打扫教室，一组打扫操场，可得不同的选派法有1052105501025010A =2C C C C ⋅⋅⋅. 故选A ．【点睛】不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解．9．C【分析】分别计算所有“重卦”和恰有2个阳爻的“重卦”种数，根据古典概型概率计算公式求得结果. 【详解】所有“重卦”共有：62种；恰有2个阳爻的情况有：26C 种∴恰有2个阳爻的概率为：26615264C p ==本题正确选项：C 【点睛】本题考查古典概型中的概率求解问题，属于基础题. 10．A 【分析】设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，得n lnm e m n 2-≥--，变形为n lnm m e n 2,(m 0)-≥-->，令()f m lnm m =-，()nh n e n 2=--，求导求最值得()()max min f m h n =,结合取等条件求出x,y 即可【详解】设m 4x 3y 6=+-，n x y 2=+-，则m n 3x 2y 4-=+-n lnm e m n 2-≥--，nlnm m e n 2,(m 0)-≥-->令()f m lnm m =-，f '(m)=11,0m-∴<m<1,f '(m)>0,;m>1, f '(m)<0,则()f m 在()0,1单调递增()1,∞+单调递减()()max f m f 11∴==-，()f m 1∴≤-令()nh n e n 2=--，()()()ne 1,0,0;0,0,h n n h n n h n =-∴>'<'<'>则()()h n ,0∞-单调递减，()0,∞+单调递增()()()min h n h 01h n 1∴==-∴≥-由题意()()f m h n m 1≥∴=，n 0=，436120x y x y +-=⎧∴⎨+-=⎩，x 1∴=，y 1=,故x+y=2故选A本题考查导数与函数的综合，导数与函数的最值问题，换元思想，将题目转化为两个函数的最值问题是关键，是难题 11．A 【分析】乙若想必胜，则最后一次抓取前必须有1~3个球，根据试验法可得解． 【详解】若9n =，则乙有必赢的策略．（1）若乙抓1球，甲抓1球时，乙再抓3球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．（2）若乙抓1球，甲抓2球时，乙再抓2球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球．（3）若乙抓1球，甲抓3球时，乙再抓1球，此时剩余4个球，无论甲抓1~3的哪种情况，乙都能保证抓最后一球． 所以若9n =，则乙有必赢的策略 所以选A 【点睛】本题考查了合情推理的简单应用，属于难题． 12．B 【分析】由两条直线的公切线，表示出切点坐标，构造函数()h t ，利用导函数求得极值点；根据极值点，求出两侧的单调性，再根据单调性求得()h t 的最大值． 【详解】()()e ,xf xg x ==00(,e )x P x ，设切线与()y g x =的图象相切与点(,t()00','()x f x e g t ==由题意可得0000x xx e e e x t⎧=>⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩ ，解得01x t =-所以01,0x t a t -==>令1(),0t h t t -=>则()111'()12t t t h t t ---=-=- 令'()0h t =，解得12t =当0t > 时，()0h t > 当102t <<时，()'0h t > ，函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 当12t < 时，()'0h t < ，函数()h t 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 当t 从右侧趋近于0时，(0)h 趋近于12h ⎛⎫= ⎪⎝⎭当t 趋近于+∞ 时，(0)h 趋近于0所以(a ∈ 所以选B 【点睛】本题考查了导数的综合应用，利用导数的单调性求得值域，属于难题． 13．22π-【分析】利用定积分的几何意义可求1⎰的值，再由微积分基本定理求得0sin xdx π⎰的值，从而可得结果.【详解】根据题意，12=⎰⎰，⎰等于半径为1的圆的面积的四分之一,为21144ππ⨯⨯=，所以10242ππ=⨯=⎰，()sin cos 2xdx x ππ=-=⎰，则10sin 22xdx ππ-=-⎰⎰；故答案为22π-．【点睛】本题主要考查定积分的几何意义，属于中档题.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、曲线y =()f x 以及直线,x a x b ==之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x 轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数；两条曲线之间的面积可以用两曲线差的定积分来求解. 14．10或64. 【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m 的所有可能的取值． 【详解】如果正整数m 按照上述规则经过6次运算得到1， 则经过5次运算后得到的一定是2； 经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）； 经过2次运算后得到的是16； 经过1次运算后得到的是5或32； 所以开始时的数为10或64． 所以正整数m 的值为10或64． 故答案为10或64． 【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题． 15．66 【分析】根据题意，分3种情况讨论：①当A 、C 、E 种同一种植物，②当A 、C 、E 种二种植物，③当A 、C 、E 种三种植物，再由分类计数原理，即可求得，得到答案． 【详解】根据题意，分3种情况讨论：①当A 、C 、E 种同一种植物，此时共有3×2×2×2=24种方法； ②当A 、C 、E 种二种植物，此时共有C 32×A 32×2×1×1=36种方法； ③当A 、C 、E 种三种植物，此时共有A 33×1×1×1=6种方法； 则一共有24+36+6=66种不同的栽种方案； 故答案为66． 【点睛】本题主要考查分类计数原理，及有关排列组合的综合问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件，解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，同时在某些特定问题上，也可充分考虑“正难则反”的思维方式． 16．1 【解析】由题意可得ln 1e xx k x x ≤--对任意的()0,x ∞∈+恒成立,令()ln 1e x x h x x x=--,()2´2e ln x x x h x x+=,易知存在01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()´00h x =，且()h x 在()00,x 上是减函数，在()0,x +∞上是增函数,即函数的最小值为0()h x ,又()1e 11h =->,111e e 1e e h e e e ⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭,因此0()1h x ≥,所以1k ≤，即实数k 的最大值为1. 点睛：不等式()()f x g x ≥恒成立问题的常用解法：（1）化不等式为()()()0h x f x g x =-≥，然后求()h x 的最小值，由这个最小值0≥可得参数范围．（2）利用参数分离法，化不等式为()()H k h x ≥，一般化为()k h x ≥（或()k h x ≤）然后求得()h x 的最大值max ()h x ，解不等式max ()()H k h x ≥，可得结论． 17．（1）10； （2）5615360x - . 【分析】（1）根据二项式的展开式的通项公式求出n 的值，（2）根据二项式的展开式的通项公式系数列不等式组，解得系数最大时的项数，再代入通项公式得结果. 【详解】(1)因为二项式的展开式的通项公式为1n rrr r nT C -+=，所以x 的指数为32n r r--+.又因为n+的展开式中的常数项为第五项， 所以4r =,且44032n --+=，解得n=10. (2)因为10110rrr r T C -+=，其系数为10102r r C-⋅.设第k+1(k N ∈)项的系数最大，则101910101011110102222k k k k k k k kC C C C -+----⎧⋅≥⋅⎨⋅≥⋅⎩， 化简得()2110,112,k k k k ⎧+≥-⎨-≥⎩即81133k ≤≤， 因为k N ∈,所以3k =，即第四项系数最大，且553766410215360T C xx --=⋅⋅=.【点睛】本题考查二项式的展开式的通项公式及其应用，考查综合分析与运算能力，属中档题. 18．（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①4960；②数学期望为6，方差为2.4. 【分析】（1）完成列联表，由列联表，得2258.333 6.6353K =≈>，由此能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．（2）① 由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人，偶尔或不用网购的有30103100⨯=人，由此能选取的3人中至少有2人经常网购的概率． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=，由题意100.6XB （，），由此能求出随机变量X 的数学期望()E X 和方差()D X ． 【详解】解：（1）完成列联表（单位：人）：由列联表，得： ()2220050305070258.333 6.635120801001003K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， ∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关． （2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有70107100⨯=人， 偶尔或不用网购的有30103100⨯=人， ∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：2137373104960c c c P c +==． ② 由22⨯列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：1200.6200=， 将频率视为概率，∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6， 由题意()100.6XB ，，∴随机变量X 的数学期望()100.66E X =⨯=， 方差D （X ）=()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=． 【点睛】本题考查独立检验的应用，考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查古典概型、二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 19．（1）43200（2）60480（3）287280 【解析】试题分析：（1）不相邻排法，可使用插空法，先将男生排好，再将男生排入女生的空档中；（2）可以先将所有学生任意全排列，再将男生三人的多余排法除去；（3）分类，先考虑甲在末位；甲在首位，乙在末位；甲不在首位，乙在末位；甲乙都在首位与末位的． 试题解析：解：（1）任何2名女生都不相邻，则把女生插空，所以先排男生再让女生插到男生的空中，共有545643200A A = (种)不同排法.（2）9人的所有排列方法有99A 种，其中甲、乙、丙的排序有33A 种，又对应甲、乙、丙只有 一种排序，所以甲、乙、丙排序一定的排法有993360480A A = (种)．（3）法一：甲不在首位，按甲的排法分类，若甲在末位，则有88A 种排法，若甲不在末位，则甲有17A 种排法，乙有17A 种排法，其余有77A 种排法，综上共有(88A +17A 17A 77A )＝ 287280(种)排法． （或者）99A -288A +77A =287280(种） （或者）99A -217A 77A -77A =287280(种)点睛：在处理排列问题时，要以两个原理为基础，确定好是分类还是分步，再用排列数表示每类或每步的个数，遇到特殊元素或特殊位置可用以下常见思路解决．一般情况下，会从受到限制的特殊元素开始考虑，有时也从特殊的位置开始讨论，对于相邻问题，常用”捆绑法”；对于不相邻问题，常用”插空法”(特殊元素后考虑)，对于”在”与”不在”的问题，常常使用”直接法”或”排除法”(特殊元素先考虑)． 20．（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）通过举例：1,2,3n =得到三元一次方程组求解并猜测a ，b ，c ；（2）代入a ，b ，c 的值，利用数学归纳法的常规步骤去证明等式成立即可. 【详解】(1)假设存在符合题意的常数a ，b ，c ， 在等式()()()222211223 (112)n n n n an bn c +⋅+⋅+++=++中， 令1n =，得()146a b c =++ ① 令2n =，得()122422a b c =++②令3n =，得7093a b c =++③由①②③解得3,11,10a b c === ，于是， 对于1,2,3n =都有()()()222211223 (13111012)n n n n n n c +⋅+⋅+++=++（*）成立． (2)下面用数学归纳法证明：对一切正整数n ，（*）式都成立． （1）当1n =时，由上述知，（*）成立． （2）假设(1)n k k =≥时，（*）成立， 即()()()222211223 (13111012)k k k k k k k +⋅+⋅+++=++ 那么当1n k =+时，()()()22221223...112k k k k ⋅+⋅++++++ ()()()()()()()2221123111012317241212k k k k k k k k k k k +++=+++++=++ ()()()()212311111012k k k k ++⎡⎤=++++⎣⎦，由此可知，当1n k =+时，（*）式也成立．综上所述，当3,11,10a b c ===时题设的等式对于一切正整数n 都成立． 【点睛】使用数学归纳法的注意事项：由n k =到1n k =+时,除等式两边变化的项外还要利用n k=时的式子,即利用假设,正确写出归纳证明的步骤,从而使问题得以证明. 21．(1)0.75r =>，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；(2) ˆ0.7 1.5y x =+，预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克． 【分析】（1）由图形中的数据结合相关系数公式求得相关系数r ，由0.75r >可得可用线性回归模型拟合y 与X 的关系；（2）求出ˆb与ˆa 的值，得到线性回归方程，取12x =求得y 值得答案． 【详解】 （1）因为2456855x ++++==，3456755y ++++==．()()51(3)(2)(1)(1)00113214ii ix x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯=∑，()52222221(3)(1)01320i ix x =-=-+-+++=∑，()52222221(2)(1)01210i i y y =-=-+-+++=∑．()()550.75iix x y y r --===>∑∑． ∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）()()()5152114ˆ0.720i iii ix x y y bx x ==--===-∑∑，ˆˆ50.75 1.5a y bx=-=-⨯=． ∴ˆ0.7 1.5yx =+． 当12x =时，ˆ0.712 1.59.9y=⨯+=． ∴预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为9.9百千克． 【点睛】本题主要考查线性相关系数的计算和它的数值大小对相关程度的影响的理解，线性回归方程的求法以及利用方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．22．（1）12a ≥时，增区间为(0,)+∞；0a ≤时，增区间为1()2++∞；102a <<时，增区间为1(0,)2-，1()2++∞；（2）3(,ln 2]2-∞--. 【分析】（1）求出()'f x ，分三种情况讨论a 的范围，在定义域内，令()'0f x >求得x 的范围，可得函数()f x 增区间；（2）由（1）知， 102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=， ()120f x mx ≥-恒成立，可化为()12f x m x ≤1111112ln 1x x x x =-++-恒成立，利用导数求出函数1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈的最小值即可得结果. 【详解】 （1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222'()22a x x a f x x x x-+=+-=， 令2220x x a -+=，484(12)a a ∆=-=-，1︒若12a ≥时，0∆≤，'()0f x ≥在(0,)+∞恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增. 2︒若12a <，>0∆，方程2220x x a -+=，两根为1x2x =， 当0a ≤时，20x >，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 当102a <<时，1>0x ，20x >， 1(0,)x x ∈，'()0f x >，()f x 单调递增，2(,)x x ∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增. 综上，12a ≥时，函数()f x 单调递增区间为(0,)+∞， 0a ≤时，函数()f x单调递增区间为1()2++∞，102a <<时，函数()f x单调递增区间为，)+∞. （2）由（1）知，()f x 存在两个极值点1212,()x x x x <时，102a <<且121x x =+，122a x x ⋅=，则1112a x x +=，()1121a x x =-，且1102x <<，2112x <<. 此时()120f x mx ≥-恒成立，可化为()()21111112121ln 21f x x x x x x m x x +--≤=- ()()11111111121ln 11x x x x x x x -+-+--=-1111112ln 1x x x x =-++-恒成立， 设1()12ln 1g x x x x x =-++-，1(0,)2x ∈， 2221(1)1'()122ln 2ln (1)(1)x g x x x x x --=-++-=+--2(2)2ln (1)x x x x -=+-， 因为102x <<，所以(2)0x x -<，2ln 0x <，所以)'(0g x <，故()g x 在1(0,)2单调递减， 13()ln 222g x g ⎛⎫>=-- ⎪⎝⎭，所以实数m 的取值范围是3(,ln 2]2-∞--. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.。
南阳一中2020-2021学年高二(下)第一次月考数学复习卷1(含答案解析)
南阳一中2020-2021学年高二(下)第一次月考数学复习卷1一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知i 为虚数单位，则9+8i 1+2i =( ) A. 5−2i B. 5+2i C. 6i D. 82. 已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2(n ∈N ∗)，且a 1=1，a 2=32，则a 99=( )A. 49B. 50C. 51D. 523. 已知函数f(x)=x 3−3x 2+3x −1，则函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为( )A. 3x +y −5=0B. x −3y −5=0C. 3x −y −5=0D. 3x −y +5=04. 定义A ㊣B 、B ㊣C 、C ㊣D 、D ㊣A 的运算分别对应图中的(1)、(2)、(3)、(4).则图中的甲、乙的运算式可以表示为：( )A. B ㊣D 、C ㊣AB. B ㊣D 、A ㊣CC. D ㊣B 、C ㊣AD. D ㊣B 、A ㊣C 5. 若△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x=1，则f′(x 0)等于( ) A. 2 B. −2 C. 12 D. −12 6. 已知关于x 的一元二次方程x 2+ax +b =0有一个非零根为−b ，则a −b 的值为( )A. 1B. −1C. 0D. −27. 已知P 是正弦曲线y =sinx 上一点，过点P 作正弦曲线的切线，则切线倾斜角的范围是( )A. [0,π4]∪[3π4,π)．B. [0,π)．C. [π4,3π4]．D. [0,π4]∪[π2,3π4]． 8. 下面是关于复数z =1+i(i 为虚数单位)的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②|z|=2；③z 2是纯虚数；④z >z.其中真命题的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知定义域为R 的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任意x ∈[0,+∞)，均满足：xf′(x)>−2f(x).若g(x)=x 2f(x)，则不等式g(2x)<g(1−x)的解集是( )A. (−∞,−1)B. (−∞,13)C. (−1,13)D. (−∞,−1)∪(13,+∞) 10. 下面使用类比推理恰当的是( ) A. “(a +b)c =ac +bc ”类推出“a+b c =a c +b c (c ≠0)” B. “若(a +b)c =ac +bc ”类推出“(a ⋅b)c =ac ⋅bc ”C. “若a ⋅3=b ⋅3，则a =b ”类推出“若a ⋅0=b ⋅0，则a =b ”D. “(ab)n =a n b n ”类推出“(a +b)n =a n +b n ”11. 若f(x)=xcosx ，则函数f(x)的导函数f′(x)等于( )A. 1−sinxB. x −sinxC. sinx +xcosxD. cosx −xsinx12. 从1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，…，中得出第n 个等式是( )A. 1+2+3+⋯+n =(2n −1)2B. n +(n +1)+⋯+(2n −1)=(2n +1)2C. n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n −1)2D. n +(n +1)+⋯+(3n −2)=(2n +1)2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在复平面内，复数5+4i i (i 为虚数单位)对应的点的坐标为______．14. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=3x 2+2xf′(2)，则f′(5)=__________.15. 平行四边形的一个顶点A 在平面a 内，其余顶点在a 的同侧，已知其中有两个顶点到a 的距离分别为1和2，那么剩下的一个顶点到平面a 的距离可能是：①1；②2；③3；④4；以上结论正确的为______ .(写出所有正确结论的编号)16. 在平面几何中，若正三角形的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2=14，类比上述命题，在空间中，若正四面体的内切球体积V 1，外接球体积为V 2，则V1V 2=__________． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.求下列函数的导数：(1)y=2x；(x−1)2(2)y=(x2−x)e1−x18.当实数m 为何值时，z=(m2−2m−3)+(m2+3m+2)i．(1)为纯虚数；(2)为实数；(3)对应的点在复平面内的第二象限内．19.试用反证法，证明下列结论：已知0<a<1，则．20.已知曲线C：y=x3−3x，求过点P(1,−2)且与曲线C相切的直线方程．21.已知二次函数f(x)=ax2+ax−2b，其图象过点，且．(Ⅰ)求a，b的值；(Ⅱ)设函数，求曲线ℎ(x)在x=1处的切线方程．22.在数列{a n}中，a n>0，其前n项和S n满足S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0．(Ⅰ)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n【答案与解析】1.答案：A解析：解：9+8i1+2i =(9+8i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=255−105i=5−2i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：B解析：解：∵数列{a n}满足2a n+1=a n+a n+2(n∈N∗)，且a1=1，a2=32，∴数列{a n}是首项a1=1，公差d=32−1=12的等差数列，∴a99=1+98×12=50．故选：B．由已知得数列{a n}是首项a1=1，公差d=32−1=12的等差数列，由此能求出a99．本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．3.答案：C解析：本题主要考查导数的几何意义与直线斜截式方程的知识点，属于基础题；求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得所求方程．解：求导函数，可得，，∵f(2)=1；∴y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y−1=3(x−2)，即3x−y−5=0；故选C．解析：本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系，属于中档题．根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系． 解：通过观察可知：A 在前表示向右的“−”在后表示向左的“−”，B 在前表示顺时针的“□”，再后表示逆时针的“□”，C 在前表示向上的“|”，在后表示向下的“|”，D 在前表示顺时针的“○”，在后表示逆时针的“○”．图中的(甲)、(乙)所对应的运算结果可能是D ㊣B 、C ㊣A ，故选C ．5.答案：C解析：本题主要考查了导数的定义的简单应用，以及极限及其运算，属于基础题．先将△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x 进行化简变形，转化成导数的定义式，f ′(x 0)=△x →0limf(x 0+2△x)−f(x 0)2△x 即可解得．解：根据导数的定义可得，f ′(x 0)=△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)2△x =12△x →0lim f(x 0+2△x)−f(x 0)△x =12． 故选C ． 6.答案：A解析：本题考查一元二次方程根与系数的关系，属于基础题.利用韦达定理{x 1+x 2=−a x 1·x 2=b，又因为−b 是一个根，所以另一个根为−1，从而求出答案．解：利用韦达定理{x 1+x 2=−a x 1·x 2=b，又因为−b 是一个根，所以另一个根为−1 ∴−1−b =−a ，∴a =b +1，∴a −b =1．7.答案：A解析：本题考查导数的几何意义，余弦函数的值域，斜率与倾斜角之间的关系，属于基础题目．先对函数解析式求导，进而利用余弦函数的性质求得导函数的范围，进而求得切线的斜率的范围，则直线的倾斜角的范围可得．解：y′=cosx∵cosx∈[−1,1]∴切线的斜率范围是[−1,1]∴倾斜角的范围是[0,π4]∪[3π4,π)．故选A．8.答案：B解析：本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．求出z的坐标判断①；求出|z|判断②；求得z2的值判断③；由两虚数不能进行大小比较判断④．解：∵z=1+i，∴z对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限，故①正确；|z|=|z|=√2，故②错误；z2=(1+i)2=2i，为纯虚数，故③正确；∵两虚数不能进行大小比较，故④错误．∴其中真命题的个数为2个．故选B．9.答案：C解析：解：由题意可得函数g(x)=x2f(x)为R上的偶函数，∵当x>0时，xf′(x)>−2f(x)，故x2f′(x)+2xf(x)>0，∴g′(x)=(x2f(x))′=2xf(x)+x2f′(x)>0，又g′(0)=0，∴g(x)=x2f(x)在[0,+∞)上单调递增，∵不等式g(2x)<g(1−x)，∴|2x|<|1−x|，两边平方得4x2<1−2x+x2，即(x+1)(3x−1)<0，解得−1<x<13．故选：C由题意和乘积的导数可得偶函数g(x)=x2f(x)在R上单调递增，可化原不等式为|2x|<|1−x|，解之可得．本题考查导数的基本运算，考查利用导数研究函数单调性，考查函数奇偶性的定义，属于基础题．10.答案：A解析：本题考查类比推理，其中熟练掌握各种运算性质，是解答本题的关键．解：A中“若(a+b)c=ac+bc类比推出a+bc =ac+bc(c≠0)结论正确；B中若(a+b)c=ac+bc”类比出“(a⋅b)c=ac⋅bc”，结论不正确；C中“若a⋅3=b⋅3，则a=b”类推出“若a⋅0=b⋅0，则a=b”，结论不正确；D中“(ab)n=a n b n”类推出“(a+b)n=a n+b n”，结论不正确．故选A．11.答案：D解析：解：f(x)=xcosx，则函数f(x)的导函数f′(x)=cosx−xsinx，故选：D根据导数的运算法则计算即可．本题考查了导数的运算法则，属于基础题．12.答案：C解析：本题主要考查了合情推理，属于基础题．解：观察等式可知，等号的右边为对应奇数的平方，等号的左边分别是以n开始的2n−1个数的和，所以第n个等式n+(n+1)+⋯+(3n−2)=(2n−1)2，故选C．13.答案：(4,−5)解析：本题考查复数代数形式的四则运算，以及复数的代数表示法及其几何意义。
河南省南阳市2020年秋期六校第一次联考高二年级数学答案
2020年秋期六校第一次联考高二年级数学参考答案一、选择题ACABDC ADBABD．二、填空题13、82014、215、 i16、38三、解答题17、解(1)设数列{a n}的公差为d，{b n}的公比为q， (1)2＝b1q＝3，3＝b1q2＝91＝1，＝3.∴{b n}的通项公式b n＝b1q n－1＝3n－1， (3)又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.∴{a n}的通项公式a n＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，...). (5)(2)设数列{c n}的前n项和为S n.∵c n＝a n＋b n＝2n－1＋3n－1， (6)∴S n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.即数列{c n}的前n项和为n2＋3n－12 (10)18、(1)证明∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b (2)由正弦定理得sin A＋sin C＝2sinB (4)∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C ) (6)(2)解由题设有b 2＝ac ，c ＝2a ，∴b ＝2a ， (8)由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋4a 2－2a 24a2＝34.即cos B ＝34.………………1220、解：（1）∵a =3、b =5、c =7∴角C 最大。
由余弦定理得：215327532cos 222222-=⨯⨯-+=-+=ac c b a C ，又角C 为ABC ∆内角，∴C =1200.………………4(2)在ABC ∆中，B ac S sin 21=∵acb c a B B B 2cos ,1cos sin 22222-+==+且∴22222)2(-121cos -121sin 21acb c a ac B ac B ac S -+===⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=222222)2(41b c a c a ，即证。
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期A类重点高中六校联考数学(理科)参考答案
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河南省南阳市2020-2021学年上学期六校第一次联考高二数学试题及答案
14
7
由①，②解得
b c
7 5
，
………………………………………10
∴ S ABC
1 bc sin 2
A
10
3 ．……………………………………12
()
A. 2
B. 3
C.2
D.3
6、一个直角三角形的三边成等比数列，则最小锐角的正弦值为
A. 1
B. 3
2
5
()
C. 5 -1 2
D. 5 1 2
7、如图所示，一艘船自西向东匀速航行，
上午 10 时到达一座灯塔 P 的南偏西 75°距
高二年级数学试题，第 1 页 共 4 页
第 7 题图
塔 68 海里的 M 处，下午 2 时到达这座灯塔的东南方向的 N 处，则这艘船航
B． 7
C． 9
D．11
4、函数 f(x)定义如下表，数列{xn}满足 x0＝5，且对任意的自然数均有 xn＋1
＝f(xn)，则 x2 020＝
()
x
1
2
3
ห้องสมุดไป่ตู้
4
5
f(x)
5
1
3
4
2
A.1
B．2
C．4
D．5
5、△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 a＝ 5，c＝2，cos A
＝2，则 b＝ 3
2sin B cos C sin C 2(sin B cos C cos B sin C)
sin C 2cos B sin C …………………………………………3 0 C sin C 0 cos B 1
2 又∵ 0 B ，∴ B ．……………………………………5
河南省南阳市A类重点高中六校2020-2021学年高二下学期第一次阶段检测联考数学(理)试题及答案
绝密★启用前河南省南阳市A类重点高中六校联考2020-2021学年高二年级下学期第一次阶段检测联合考试数学(理)试题考生注意：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,共150分。
考试时间120分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：选修2－2,2－3,4－4,4－5。
第I卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.2i ii2i+-+的虚部为A.－125B.－125i C.45D.45i2.(1－5x)5展开式中的第2项为A.－25xB.25xC.－25D.250x23.某植物种子的每百颗的发芽颗数y和温度x(单位：℃)的散点图如图所示,根据散点图,在0℃至24℃之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽颗数y和温度x 的回归方程类型的是A.y＝bx＋aB.y＝be x＋aC.y＝bsinx＋aD.y＝bx2＋a4.在极坐标系中,方程ρ2－(1＋cosθ)ρ＋cosθ＝0表示A.两条直线B.两个圆C.一条直线和一个圆D.一条射线和一个圆5.已知某地区内猫的寿命超过10岁的概率为0.84,超过15岁的概率为0.21。
那么在该地区内,一只寿命超过10岁的猫,寿命超过15岁的概率为A.0.21B.0.25C.0.45D.0.636.已知定义在R 上的函数f(x)恰有3个极值点,则f(x)的导函数的图象可能为7.在18个村庄中有8个村庄交通不便,现从中任意选9个村庄,用X 表示这9个村庄中交通不便的村庄个数,则91828120C ⨯＝ A.P(X ＝1) B.P(X ＝2) C.P(X ＝3) D.P(X ＝4)8.若函数f(x)＝(x 2－1)(x －2)2(x －4)3,则曲线y ＝f(x)在点(1,0)处的切线斜率为A.－27B.27C.－54D.549.现有下而四个命题： ①若z ＝2－3i,则|z ＋i|＝2②若X ～N(1,4),P(1<X<3)＝m,则P(X<－1)＝0.5－m ；③如果今天是2021年6月22日(星期二),那么两百天后是星期六；④若数列{a n }满足a 1＝3,a n ＋1＋n 2＝2a n ＋2n ＋1,则由数学归纳法可证明a n ＝n 2＋2n 。
2020-2021学年河南省南阳市第一中学高二上学期第二次月考数学试题 Word版
河南省南阳市第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考数学试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知等差数列{}n a 的公差为2，且3a 是1a 与7a 的等比中项，则n a 等于( )A ．22n +B ．24n +C ．21nD ．23n -2．已知ABC ∆的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为( )．A ．24-B ．2 C ．23D ．2-3．在ABC ∆中,根据下列条件解三角形,其中有两个解的是( )A ．10,45,60b A C ===B ．6,5,60a c B ===C ．7,5,60a b A ===D ．14,16,45a b A ===4．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若47a =，520S =，则10a =( )A ．16B ．19C ．22D ．255．等比数列{}n a 的各项均为正数，且562918a a a a +=，则3132310log log log a a a +++的值为( )A ．12B ．10C ．8D ．325log +6．已知ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且，若1a =，321c b -=，则角B 为( )A ．6π B ．65π C ．3π D ．566ππ或7．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，面积为S ，若222,44b a c S =+-=，则ABC∆外接圆的半径为( )A 2B ．2C ．2D ．48．为了测量河对岸两地A 、B 之间的距离，先在河这岸选择一条基线CD ，测得CD =a 米，再测得∠ACD =90°，∠BCD =30°，∠ADC =45°，∠CDB =105°，据此计算A 、B 两地之间的距离是( ) A ．6a B ．62a C ．(31)a +D ．3a9．在中，，BC 边上的高等于,则A ．B ．C ．D ．10．如图所示的三角形数阵满足：其中第一行共有一项是 ，第二行共有二项是122,2，第三行共有三项是3452,2,2 ，依此类推第行共有项，若该数阵的第15行中的第5个数是2m ，则m=（ ） A ．105 B ．109C ．110D ．21511．在ABC ∆中，60B ∠=︒，3AC =，则2BC AB -的最大值为（）A ．22B ．23C ．2D ．不存在12．已知1()12F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，*121(0)(1)()n n a f f f f f n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭N ，则数列{}n a 的通项公式为（ ）． A ．n a n =B ．2n a n =C ．1n a n =+D ．223n a n n =-+二、填空题（每小题5分，共20分） 13．已知在等差数列中，首项为20，公差是整数，从第8项开始为负项，则公差为______．14．已知在ABC ∆中，三个内角为,,A B C ，sin 2sin 2A B =，则ABC ∆是______三角形.15．如图，四边形ABCD 中，4AB =，5BC =，3CD =，90ABC ∠=︒，120BCD ∠=︒，则AD 的长为______16．将边长分别为()*1,2,3,,,n n ∈N 的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为(1),(2),(3),,(),f f f f n ，则()f n =_________，前n 个阴影部分图形的面积的平均值为__________．三、解答题（共70分）17．（10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos a b c A +=.（1）求C ；（2）若2a =，AB 边上的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积.18．（12分）已知数列{}n a 满足1a a =，()*121n n a a n N +=+∈.（1）若数列{}n a 是等差数列，求通项公式n a ；（2）已知2a =，求证数列{}1n a +是等比数列，并求通项公式n a .19．（12分）在ABC ∆中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且232cos cos a c bA B-=. （1）若5sin b B =，求a ； （2）若6a =， ABC ∆的面积为5，求b c +.20．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．21．（12分）已知()1221*0,0,nn n n n n u a ab a b ab a b b n ---+>>=++++∈N .（1）当2a =，3b =时，求n u ； （2）若a b =，求数列{}n u 的前n 项和n S .22．（12分）已知递增数列{a n }前n 项和为S n ，且满足a 1＝3，4S n ﹣4n +1＝a n 2，设b n 11n n a a +=（n ∈N *)且数列{b n }的前n 项和为T n（Ⅰ)求证：数列{a n }为等差数列； （Ⅱ)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n 23+•（﹣1)n +1恒成立，求实数λ的取值范围．高二数学月考2答案1-5AADDB 6-12AAB DBDC 13．14．等腰或直角 15．65123- 16．41n -21n17．（1）由正弦定理得sin 2sin 2sin cos +=A B C A ，所以sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，则sin 2sin cos 0A A C +=， 又因为sin 0A ≠，所以1cos 2C =-，(0,)C π∈， 所以23C π=；……………………………………………………5分 （2）由题意知，在ABC 中，有||2==CB a ，因为2CA CBCE +=则||2||2+==CA CB CE ，平方得22||2||4CA CA CB CB +⋅+=，所以224cos443++=b b π，即2b =，……………………………………………8分 所以ABC 的面积为12sin 323==S bc π.……………………………………………10分18．（1）数列{}n a 是等差数列，1a a =，()*121n n a a n N +=+∈，设数列的公差为d ，则()11n n a a n d a a nd +=+-=+，，()211a nd a n d ∴+=+-+⎡⎤⎣⎦，即21nd d a =--对*n N ∈成立，0,1d a ∴==-.1n a a ∴==-，所以()*1n a n N =-∈.………………………………………5分（2）2a =，()*121n n a a n N +=+∈，()()*1121n n a a n N +∴+=+∈.1130a +=≠，∴数列{}1n a +是以()11a +为首项，公比为2的等比数列.…………………………………10分()11111223n n n a a --∴+=+⋅=⋅，()1*321n n a n N -∴=⋅-∈.…………………………………………………12分 19．（1）由正弦定理得：2322sin 3sin 2sin cos cos cos cos a c b A C BA B A B--=⇒=， 即2sin cos 3sin cos 2sin cos A B C A B A =-，∴，∵sin 0C ≠，∴2cos 3A =，则sin 5A = ∵5sin bB =，∴由正弦定理得：5sin sin 3b a A B =⋅=………………………………………6分（2）∵ABC ∆1sin 2bc A =，得3bc =，∵a =22463b c bc +-=，∴()21063b c bc +-=，即()216b c +=，∵00b c >>，，∴4b c +=.…………………………………………………12分20．（1）3A π=；（2）sin 4C =（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=- 即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈3A π∴=（2）22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C +=(()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin C =因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =（2）法二：22a b c +=sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin2sin222C C C++=整理可得：3sin C C=，即3sin6C C Cπ⎛⎫-=-=⎪⎝⎭sin62Cπ⎛⎫∴-=⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C Cππππ∈-∈-，所以,6446C Cππππ-==+sin sin()46Cππ=+=.21．（1）当2a=，3b=a时，()1221*22323233n n n n nnu n---=+⋅+⋅++⋅+∈N，两边除以2n，得213333122222n nnnu-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1111332112322321212n nn nnn nu++++⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭===---，因此，1132n nnu++=-；…………………5分（2）若a b=，则()1nnu n a=+，所以()232341nnS a a a n a=+++++，①当1a=时，()()32312nn nS n+=++++=；……………………………………7分当1a≠时，在①的两边同乘以a，得()23412341nnaS a a a n a+=+++++，与①式作差，得()()()()2311112111nn n nna aa S a a a a n a a n aa++--=++++-+=+-+-，所以()()()1211111n nna a n aaSa aa+-+=+----.综上，()()()()123,1211,0,111nn nn naSa aa n aa aa a+⎧+=⎪⎪=⎨--+⎪+>≠⎪--⎩.……………………………………12分22．（Ⅰ)证明：依题意，当n≥2时，由4S n﹣4n+1＝a n2，可得4S n﹣1﹣4(n﹣1)+1＝a n﹣12，两式相减，可得4a n ﹣4＝a n 2﹣a n ﹣12，化简整理，得(a n +a n ﹣1﹣2)(a n ﹣a n ﹣1﹣2)＝0， ∴a n +a n ﹣1﹣2＝0，或a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0， ∵数列{a n }是递增数列，∴a n ≥a n ﹣1，则a n +a n ﹣1≥2a n ﹣1≥2a 1＝2×3＝6，∴a n +a n ﹣1﹣2＝0不符合题意， ∴a n ﹣a n ﹣1﹣2＝0，即a n ﹣a n ﹣1＝2，∴数列{a n }是首项为3，公差为2的等差数列．……………………………………5分 （Ⅱ)由（Ⅰ)知，a n ＝3+2•(n ﹣1)＝2n +1，n ∈N*，则b n ()()111121232n n a a n n +===++(112123n n -++)， 故T n ＝b 1+b 2+…+b n 12=(1135-)12+(1157-)12++(112123n n -++)12=(11111135572123n n -+-++-++)12=(11323n -+)()323n n =+，……………8分 将T n ()323n n =+代入不等式，可得λ•()323n n <+n 23+•（﹣1)n +1， 化简整理，得λ1n<(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]，构造数列{c n }：令c n 1n=(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]，则①当n 为奇数时，n +2为奇数，c n 1n =(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]1n = (2n +3)(3n +2)， c n +212n =+[2(n +2)+3][3(n +2)+2•(﹣1)n +3]12n =+ (2n +7)（3n +8)，c n +2﹣c n 12n =+(2n +7)(3n +8)1n-(2n +3)(3n +2)()()()()()()2738223322n n n n n n n n ++-+++=+()()212212n n n n +-=+，∵n 为奇数，∴n 2+2n ﹣1>0，∴c n +2﹣c n >0，即c n +2>c n ，∴数列{c n }的奇数项为单调递增数列，即c 1<c 3<c 5<… ②当n 为偶数时，n +2也为偶数，c n 1n =(2n +3)[3n +2•(﹣1)n +1]1n =（2n +3)(3n ﹣2)， c n +212n =+[2(n +2)+3][3(n +2)+2•(﹣1)n +3]12n =+ (2n +7)(3n +4)，c n +2﹣c n 12n =+(2n +7)(3n +4)1n-(2n +3)(3n ﹣2)()212(1)2n n n +=>+0， 故数列{c n }的偶数项为单调递增数列，即c 2<c 4<c 6<…∵c1＝25，c2＝14，c3＝33，c4552=，∴λ<{c n}min＝c2＝14，∴实数λ的取值范围为(﹣∞，14)．……………………………………12分。
南阳六校2021-2022学年下学期第一次联考高二理科数学试题
【分析】设 x1
<
x2 ，可得出
f
( x1 ) - 2x1
£
f
( x2 ) - 2x2 ，令 g ( x)
=
f
(x) - 2x
= a ln x +
1 2
x2
- 2x
，
可知函数
g
(
x)
在
(
0,
+¥
)
单调递增或为常函数，可得出
g
¢(
x
)
=
a x
+
x
-
2
³
0
对任意的
x
>
0
恒
成立，利用参变量分离法可求得实数 a 的取值范围.
f (0) = 2021，则不等式 ex f (x) > ex + 2020 （其中 e 为自然对数的底数）的解集为
（）
A．(-¥,0) È (2020, +¥)
B． ( -¥ , 0)
C．(2020, +¥)
D．(0, +¥ )
二、填空题
13．设函数 f ( x) 在 (0, +¥ ) 内可导，且 f (ex ) = x + ex ，则 f ¢(e) = .
22．已知函数 f ( x) = ax -1- ln x (a Î R ) (1)讨论函数 f ( x) 的单调性 (2)若函数 f ( x) 在 x = 1 处取得极值，且对 "x Î(0, +¥ ), f ( x) ³ bx - 2 恒成立，求实数 b
试卷第41 页，共33 页
的取值范围 试卷第51 页，共33 页
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ì í î
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年河南省南阳市高二下学期阶段检测考试数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()51213i i z +=，则z =（ ）A ．15B ．12C ．1D ．5【答案】C 【分析】化简1251313z i =+，即得解. 【详解】因为13(512)125512131313i i i z i i -===++， 所以1z =． 故选：C2．已知函数2()6f x x =-，且()02f x '=，则0x =（ ）A B ．C ．D ．【答案】B【分析】依题意求出函数的导函数，再解方程即可；【详解】解：由题意可得()6f x '=-+，因为()0062f x '=-+=，所以0x = 故选：B3．已知x 为正数，随机变量ξ的分布列为则x =（ ） A ．19B ．112 C ．16D ．18【答案】C【分析】利用分布列的概率和为1，即可求解. 【详解】由分布列可知，321x x x ++=，得16x =． 故选：C4．下面给出的类比推理中（其中R 为实数集，C 为复数集），结论正确的是（ ）A ．由“已知,a b ∈R ，若a b =，则a b =±”类比推出“已知,a b C ∈，若a b =，则a b =±”B ．由“若直线a ，b ，c 满足//a b ，//b c ，则//a c ”类比推出“若向量a →，b →，c →满足//a b →→，//b c →→，则//a c →→”C ．由“已知,a b ∈R ，若0a b ->，则a b >”类比推出“已知,a b C ∈，若0a b ->，则a b >”D ．由“平面向量a →满足22a a →→=”类比推出“空间向量a →满足22a a →→=” 【答案】D【分析】根据复数知识判断选项A ；根据平面向量知识判断选项B ；根据复数不一定可以比较大小判断C ；根据空间向量知识判断选项D ；【详解】在复数集C 中，若两个复数满足||||a b =，则只表示它们的模相等，a ，b 不一定相等或相反，所以A 不正确；当b →为零向量，a →，c →为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，所以B 不正确；在复数集C 中，例如2a i =+，1b i =+，此时10a b -=>，但a ，b 都是虚数，无法比较大小，所以C 不正确；平面向量或空间向量a →，均满足22a a →→=，所以D 正确． 故选：D.5．某篮球运动员投篮的命中率为0.8，现投了7次球，则恰有5次投中的概率为（ ） A ．520.80.2⨯ B ．5527C 0.80.2⨯⨯C ．0.85D ．557C 0.8⨯【答案】B【分析】根据独立重复试验的概率计算公式直接计算出结果.【详解】根据独立重复试验的概率计算公式()()1n kkk nP X k C p p -==⋅-⋅可知：恰有5次投中的概率为55270.80.2P C =⨯⨯．故选：B.6．已知函数2()ln 21f x x x x =-+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y --=C ．210x y +-=D ．240x y --=【答案】A【分析】根据导数的几何意义求解切线的斜率，最后写出切线方程即可.【详解】因为()2ln 2f x x x x '=+-， 所以(1)121f '=-=-． 因为()11f =-，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()11y x +=--， 即0x y +=． 故选：A.【点睛】本题主要考查导数的几何意义，导数在切点处的取值为切线的斜率，这类问题需要注意题目中的关键信息，是在这个点处还是过这个点，注意区别对待.7．一颗骰子连续掷两次，设事件A 为“两次的点数不相等”，B 为“第一次为奇数点”，则()|P B A =（ ） A ．1011 B ．56C ．12D ．512【答案】C【分析】根据已知条件先分析事件A 对应的情况数，然后分析事件,A B 同时发生的情况数，由此求解出()(),P A P AB 的值，再根据公式()()()P AB P B A P A =求解出结果.【详解】由题知，事件A 出现的情况有66630⨯-=种，事件A ，B 同时出现的情况有3515⨯=种，所以()1536P AB =，30()36P A =，()()()151302P AB P B A P A ===． 故选：C.8．A ，B ，C ，D ，E ，F 六名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次．A ，B ，C 去询问成绩，回答者对A 说：“很遗憾，你们三个都没有得到冠军．”对B 说：“你的名次在C 之前．”对C 说：“你不是最后一名．”从以上的回答分析，6人的名次排列情况种数共有（ ） A ．108 B ．120 C ．144 D ．156【答案】A【分析】先选冠军有13C 种可能，最后一名有13C 种可能，再排剩下4个位置，即得解. 【详解】因为A ，B ，C 都没有得到冠军，所以从D ，E ，F 中选一个为冠军，有13C 种可能．因为C 不是最后一名，B 的名次又在C 之前，所以最后一名有13C 种可能，剩下4个位置．因为B ，C 定序，所以有442212 A A =种可能，所以6人的名次排列有3312108⨯⨯=种不同情况． 故选：A9．已知()272901291(21)(1)(1)(1)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则2468a a a a +++=（ ） A ．10935 B ．5546 C ．5468 D ．5465【答案】D【分析】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，得02a =；令1t =，可得0129a a a a ++++；令1t =-，可得0129a a a a -++-，进而可得结果.【详解】令1x t -=，则()2729012922(12)t t t a a t a t a t +++=++++，令0t =，则02a =． 令1t =，则012910935a a a a ++++=，令1t =-，则01291a a a a -++-=-，所以024********54672a a a a a -++++==， 所以246805467546725465a a a a a +++=-=-=． 故选：D.10．已知函数32()ln 2e f x x x x ax =-+-，若对任意的(0,)x ∈+∞，()0f x ≤恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．21e ,e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭B ．210,e e ⎛⎤+ ⎥⎝⎦C ．21e ,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．)2e ,⎡+∞⎣【答案】A【分析】问题转化为22lnx a x ex x-++，令2()2lnx h x x ex x =-++，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而求出a 的取值范围即可．【详解】2()()2lnxf xg x a x ex x⇔-++， 令2()2lnxh x x ex x=-++，则2211()222()lnx lnxh x x e x e x x --'=-++=--+， 当0x e <<时，()0h x '>，当x e >时，()0h x '<， ()h x ∴在(0,)e 上单调递增，在(,)e +∞上单调递减， ()h x ∴的最大值为21()h e e e=+，则21a e e+，故选：A11．十九大报告提出实施乡村振兴战略，要“推动城乡义务教育一体化发展，高度重视农村义务教育”．为了响应报告精神，某师范大学5名毕业生主动申请到某贫困山区的乡村小学工作．将这5名毕业生分配到该山区的A ，B ，C 三所小学，每所学校至少分配1人（ ）．A ．若甲不去A 小学，则共有120种分配方法B ．若甲、乙去同一所小学，则共有36种分配方法C ．若有一所小学分配了3人，则共有90种分配方法D ．共有120种分配方法 【答案】B【分析】A ．分析A 小学分别分配1,2,3人的分配方法数且甲不在A 小学，由此可计算出总的分配方法数；B ．分别考虑甲、乙所去的小学仅有2人，甲、乙所去的小学有3人，计算出对应的分配方法数再相加即可；C ．考虑将5人分成3，1，1三组，然后再将三组人分配给三所小学，计算出对应的分配方法数；D ．考虑5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，计算出总的分配方法数即可.【详解】5名毕业生分配到三所小学可以分成3，1，1或2，2，1两种情况，若A 小学安排1人且甲不在A 小学，则有()1322442456C C A C ⨯+=种分配方法，若A 小学安排2人且甲不在A 小学，则有21243236C C A =种分配方法， 若A 小学安排3人且甲不在A 小学，则有32428C A =种分配方法， 所以甲不去A 小学共有56368100++=种分配方法，所以A 错误；若甲、乙同去A ，当A 中仅有2人时，则将剩下3人分到B ，C 小学共有1223226C C A =种分配方法，当A 中有3人时，则将剩下3人平均分到A ，B ，C 三所小学共有336A =种分配方法，所以甲、乙去同一所小学共有()136636C +⋅=种分配方法，所以B 正确；若有一所小学分配了3人，先将5人分成3，1，1三组，再将三组人分配到三所小学，所以共有335360C A =种分配方法，所以C 错误； 由上根据部分平均分组可知一样共有311221352153132222150C C C C C C A A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭种分配方法，所以D 错误； 故选：B.12．现有11棵树径（绕树底部围一圈得到的周长）均不相等的国槐需要种植在新办公楼的前面，种成一排，若要求从中间往两边看时，树径都依次变小，则树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻的概率为（ ） A ．27B ．29C ．584D ．542【答案】D【分析】首先基本事件有510252C =，然后树径排第五的那棵树和树径排第一（树径最大）的那棵树相邻有46230C =，进而根据概率公式即可求得结果.【详解】将树径从高到低的11棵树依次编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，则1号必须排在正中间，从其余10棵中任选5棵排在1号的左边，剩下的5棵树排在1号的右边，有510252C =种排法．当排名第五的5号排在最高的1号的左边时，从6，7，8，9，10，11中任选4棵排在5号的左边，其余五棵排在1号的右边，有4615C =种排法，同理当排名第五的5号排在最高的1号的右边时，也有15种排法．所以树径排第五的那棵树和树径排第一的那棵树相邻的概率为30525242=． 故选：D.二、填空题13．已知z 为纯虚数，若()()12z i ++在复平面内对应的点在直线0x y -=上，则z =________．【答案】13i【分析】根据z 为纯虚数设()z ai a R =∈，由此计算出()()12z i ++并将其对应的点的坐标代入0x y -=，由此求解出a 的值，则z 可知.【详解】设()z ai a R =∈，则()()()()()1212221z i ai i a a i ++=++=-++． 因为()221a a i -++对应的点为()2,21a a -+，所以221a a -=+，解得13a =，故13z i =．故答案为：13i .14．在()622y x y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+的展开式中，34x y 的系数为________．【答案】58-【分析】求出62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项，即可求出系数.【详解】因为62y x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项为61612rr r rr T C x y -+⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以34x y 的系数为4343661152228C C ⎛⎫⎛⎫⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故答案为：58-.15．已知函数ln ,1,()1(7),14x x f x x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若21x x >且()()12f x f x =，则21x x -的最小值是________． 【答案】118ln 2-【分析】首先画出函数的图象，由()()12f x f x t ==，解出12,x x ，并将21x x -转化为关于t 的函数，利用导数求函数的最小值. 【详解】作出函数()f x 的大致图象如图所示，设()()12f x f x t ==，则02t ≤<．由()()11174f x x t =+=，可得147x t =-；由()22ln f x x t ==，可得2t x e =． 令21()47tg t x x e t =-=-+，其中02t ≤<，则()4t g t e '=-．由()0g t '=，得2ln 2t =．当02ln 2t ≤<时，()0g t '<，则()g t 在[0,2ln 2)上单调递减； 当2ln 22t <<时，()0g t '>，则()g t 在[2ln 2,2]上单调递增． 所以min ()(2ln 2)118ln 2g t g ==-．即21x x -的最小值为118ln 2-． 故答案为：118ln 2-【点睛】关键点点睛：本题考查函数零点，利用导数求函数的最值的综合问题，属于中档题型，本题的关键是结合函数的图象，得到t 的取值范围，并得到147x t =-，2tx e =.三、双空题16．毕达哥拉斯学派是古希腊哲学家毕达哥拉斯及其信徒组成的学派，他们把美学视为自然科学的一个组成部分．美表现在数量比例上的对称与和谐，和谐起于差异的对立，美的本质在于和谐．他们常把数描绘成沙滩上的沙粒或小石子，并由它们排列而成的形状对自然数进行研究．如图所示，图形的点数分别为1,5,12,22,，总结规律并以此类推下去，第8个图形对应的点数为________，若这些数构成一个数列，记为数列{}n a ，则322112321a a a a ++++=________．【答案】92 336【分析】记第n 个图形的点数为n a ，由图形，归纳推理可得113(1)n n a a n --=+-，再根据累加得可得(31)2n n a n =-，进而求出8a ．由于(31)2n na n =-可得312n a n n -=，根据等差数列的前n 项和即可求出322112321a a a a ++++的结果. 【详解】记第n 个图形的点数为n a ，由题意知11a =，214131a a -==+⨯， 32132a a -=+⨯，43133a a -=+⨯，…，113(1)n n a a n --=+-，累加得147[13(1)](31)2n na a n n -=++++-=-，即(31)2n na n =-，所以892a =．又312n a n n -=， 所以3221111262(25862)213362321222a a a a +++++=++++=⨯⨯=．四、解答题17．2020年是脱贫攻坚的收官之年，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得重大胜利．为确保我国如期全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标打下了坚实的基础，在产业扶贫政策的大力支持下，西部某县新建了甲、乙两家农产品加工厂加工同一种农产品．已知食品安全监管部门随机抽检了两个加工厂生产的产品各100件，在抽取的200件产品中，根据检测结果将它们分为A ，B ，C 三个等级，A ，B 等级都是合格品，C 等级是次品，统计结果如下表（表一）所示．（表一）（表二）在相关政策的扶持下，确保每件合格品都有对口销售渠道，从安全起见，所有的次品必须由原厂家自行销毁．（1）请根据所提供的数据，完成上面的22⨯列联表（表二），若从抽取的100件乙产品中选取2件，求刚好1件合格品，1件次品的概率；（2）用频率代替概率，从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，求甲抽到的合格产品件数比乙多的概率．【答案】（1）填表见解析；1633；（2）2150．【分析】（1）结合表（一）完成列联表即可，由排列组合可得古典型概率；（2）依题意可得，从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．进而可得结果. 【详解】（1）22⨯列联表如下因为100件乙产品中合格品60件，次品40件，所以所求概率为11604021001633C C C =．（2）因为用频率近似概率，所以从甲、乙两加工厂各抽取1件产品，抽到合格品的概率分别为34，35．从甲、乙两加工厂各抽取2件产品，设抽到合格品的件数分别为X ，Y ，记事件A 为“从甲，乙两加工厂各抽取2件产品，甲抽到的合格产品件数比乙多”，则()()()()()()()102021P A P X P Y P X P Y P X P Y ===+==+==．因为12333(1)1448P X C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭，239(2)416P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，234(0)1525P Y ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，123312(1)15525P Y C ⎛⎫==⨯⨯-= ⎪⎝⎭， 所以349491221()8251625162550P A =⨯+⨯+⨯=．18．已知函数23215()6132f x a x ax x =-++在2x =处取得极大值．（1）求a ；（2）求经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率． 【答案】（1）1a =；（2）6或2116． 【分析】（1）由题意可知0a ≠，求出函数的导函数，令()0f x '=，即可求出参数的值，还需判断函数的单调性进行检验；（2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，求出函数的导函数，设切点为()()00,x f x ，表示出切线方程，最后将点()0,1代入切线方程，求出0x ，即可得解；【详解】解：（1）由题意可知0a ≠，22()56(2)(3)f x a x ax ax ax '=-+=--． 令()0f x '=，得2x a =或3x a=． 当0a >时，23a a<，则22a =，得1a =，所以()(2)(3)f x x x '=--，所以当()(),23,x ∈-∞+∞时()0f x '>，()2,3x ∈时()0f x '<，即()f x 的单调递增区间是(,2)-∞和(3,)+∞，单调递减区间是()2,3， 当2x =时()f x 取得极大值，满足题意； 当0a <时，320a a<<，显然不合题意．故1a =． （2）由（1）知3215()6132f x x x x =-++，则(0)1f =，2()56f x x x '=-+．设切点为()()00,x f x ，则()200056f x x x '=-+，所以切线方程为()()32200000015615632y x x x x x x x ⎛⎫--++=-+- ⎪⎝⎭，将点()0,1代入，得320025032x x -=，所以00x =，或0154x =．因为(0)6f '=，1521416f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，所以经过点()()0,0f 且与曲线()y f x =相切的直线斜率为6或2116． 19．某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下：要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项．（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；（2）用X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X 的分布列． 【答案】（1）415；（2）答案见解析． 【分析】（1）利用古典概型计算公式可得：甲选排球的概率，乙未选排球的概率，再利用相互独立概率计算公式即可求出结果；（2）首先求出X 的可能取值，然后求出丙选排球的概率，进而求出对应概率，即可列出分布列.【详解】解：（1）设A 表示事件“甲选排球”，B 表示事件“乙选排球”，则12232()3C P A C ==，24353()5C P B C ==．因为事件A ，B 相互独立，所以甲选排球且乙未选排球的概率234()()()13515P AB P A P B ⎛⎫==⨯-= ⎪⎝⎭．（2）设C 表示事件“丙选排球”，则24353()5C P C C ==．X 的可能取值为0，1，2，3．1224(0)35575P X ==⨯⨯=；2221321234(1)35535535515P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；23222313311(2)35535535525P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；2336(3)35525P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为20．某单位为丰富员工的业余生活，利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A ，B ，C 三大类，其中A 类有3个项目，每项需花费2小时，B 类有3个项目，每项需花费3小时，C 类有2个项目，每项需花费1小时．要求每位员工从中选择3个项目，每个项目的选择机会均等．（1）求小张在三类中各选1个项目的概率；（2）设小张所选3个项目花费的总时间为X 小时，求X 的分布列． 【答案】（1）928；（2）答案见解析． 【分析】（1）在三类项目中各选一个有111332C C C 种选法，总的选法数有38C 种，两者相除即可求得所求概率；（2）先分析X 的可取值，对于每一个X 的取值，利用该值对应的选法数除以总的选法数即可求得对应概率，由此可得X 的分布列. 【详解】解：（1）记事件M 为在三类中各选1个项目则111332389()28C C C P M C ==，所以小张在三类中各选1个项目的概率为928． （2）X 的可能取值为4，5，6，7，8，9，则2123383(4)56C C P X C ===；21212332389(5)56C C C C P X C +===； 111323333819(6)56C C C C P X C +===； 212132333815(7)56C C C C P X C +===； 2133389(8)56C C P X C ===；33381(9)56C P X C ===．所以分布列如下表所示：21．已知数列{}n a ，{}n b 满足16a =，2154a =，12n n n a b a ++=，1n n n n n b a b +=+．（1）证明：{}n n a b 为常数数列，且13n n a a +>>．（2）设数列21n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：499n nS <+．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【分析】（1）首先利用递推关系，两式相乘证明{}n n a b 为常数数列，进而得到9n nb a =， 通过基本不等式证明3n a >，接着证明10n n a a +-<即可； （2）利用13n n a a +<<，放缩得到()2211994n n a a +-<-，进而得到121111349n n b -⎛⎫≤⨯+⎪⎝⎭， 最后求和证明不等式即可. 【详解】证明：（1）因为1122n n n nn n n n n na b a b a b a b a b +++=⨯=+， 所以数列{}n n a b 为常数数列，因为16a =，2154a =，且1122a b a +=，所以132b =，故119n n a b a b ==，9n nb a =． 易知0n a >，则11932n n n a a a +⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭（当且仅当3n a =时取等号）．因为163a =≠，所以3n a >．因为21902nn n na a a a +--=<，所以13n n a a +<<． （2）由()281n n a b =，得221181n n a b =， 因为13n n a a +<<，所以()222121811182744n n n n a a a a +⎛⎫=++<+ ⎪⎝⎭， 则()2211994n n a a +-<-， 所以()1122111992744n n na a --⎛⎫⎛⎫-≤-=⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即1212794n na -⎛⎫≤⨯+ ⎪⎝⎭，所以122111181349n n n a b -⎛⎫=≤⨯+ ⎪⎝⎭． 当1n =时，211441999b =<+； 当2n ≥时，11111111144113449399914nn n n S n n -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭<++++=⨯+<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，故499n n S <+． 【点睛】本题主要考查数列不等式的证明，在处理中要用到不等式的放缩，这类问题有一定的难度，适当的进行放缩是解决问题的关键，在备考中要多总结提高. 22．已知函数2()2e 1x f x ax =-+．（1）若()f x 在(0,)+∞上不单调，求a 的取值范围．（2）若()f x 在区间(0,)+∞上存在极大值M ，证明：1M a <+． 【答案】（1）(,)e +∞；（2）证明见解析．【分析】（1）求出函数的导函数()2x e f x x a x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，再令()xe g x x =，利用导数说明其单调性与最小值，即可求出参数a 的取值范围．（2）由（1）可知a e >，令()()h x f x ='，利用导数说明()f x '的单调性，即可得到存在0(0,1)x ∈，使得()00f x '=，从而得到当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+，再利用基本不等式计算可得；【详解】（1）解：()()22x xe f x e ax x a x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．令()xe g x x =，则2(1)()x x e g x x -'=．当01x <<时，()0g x '<，()g x 在()0,1上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增． 故min ()(1)g x g e ==．因为()f x 在(0,)+∞上不单调，即()0f x '=在(0,)+∞有变号零点，所以a e >，即a 的取值范围为(,)e +∞．（2）证明：由（1）可知当a e ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则不存在极大值．当a e >时，1ln a <．()()2x f x e ax '=-，令()()h x f x ='，则()()2xh x e a '=-．令()0h x '=，则ln x a =．易知()f x '在()0,ln a 上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增． 因为(0)20f '=>，(1)2()0f e a '=-<，所以存在0(0,1)x ∈，使得()()00020xf x e ax '=-=．则当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,1x x ∈时()0f x '<． 故()f x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，所以当0x x =时，()f x 取得极大值，即02021x M e ax =-+．因为001x <<，所以0102x ->，且00122x x ≠-． 因为000x e ax -=，所以00xe ax =，则0220002121x M e ax ax ax =-+=-+2000122411411222x x x x a a a ⎛⎫+- ⎪⎛⎫=⋅⋅-+<+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即1M a <+．【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．。
2020-2021学年河南省南阳市新野三中高二(下)第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2022-2021学年河南省南阳市新野三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．质点运动规律s=t2+3，则在时间（3，3+△x）中，质点的平均速度等于（）A．6+△x B．6+△x+C．3+△x D．9+△x2．设函数f（x ）可导，则等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）3．dx=（）A．1 B．C．D．π4．曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣1=0 B．3x﹣4y+1=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4y﹣3x+1=05．函数y=xsinx+cosx在（π，3π）内的单调增区间是（）A．B．C．D．（π，2π）6．函数f（x）=e x（sinx+cosx）在区间上的值域为（）A．B．（，e）C．D．（1，e）7．函数F（x）=t（t﹣4）dt在上（）A．有最大值0，无最小值B．有最大值0，最小值C．有最小值，无最大值D．既无最大值也无最小值8．观看（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）=（）A．﹣g（x）B．f（x）C．﹣f（x）D．g（x）9．分析法是从要证明的结论动身，逐步寻求使结论成立的（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．等价条件10．设复数z1=3﹣4i，z2=﹣2+3i，则z1﹣z2在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．其次象限C．第三象限D．第四象限11．设O 是原点，向量，对应的复数分别为﹣2﹣3i，3+2i ，那么向量对应的复数是（）A．﹣5+5i B．﹣5﹣5i C．5+5i D．5﹣5i12．假如复数（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．B．C．﹣D． 2二．填空题（每小题5分，共20分）13．函数f（x）=x3﹣3ax﹣a在（0，1）内有最小值，则a 的取值范围为．14．函数f（x）=ax2+c（a≠0），若f（x）dx=f（x0），其中﹣1＜x0＜0，则x0等于．15．周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为．16．如图是y=f（x）的导函数的图象，现有四种说法：（1）f（x）在（﹣2，1）上是增函数；（2）x=﹣1是f（x）的微小值点；（3）f（x）在（﹣1，2）上是增函数；（4）x=2是f（x）的微小值点；以上说法正确的序号是．三．解答题：共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）（2021春•南阳校级月考）已知a，b，c，d∈R，且ad﹣bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1．18．（12分）（2010•韶关模拟）设函数f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值．（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若对任意的x∈，都有f（x）＜c2成立，求c的取值范围．19．（12分）（2021春•南阳校级月考）用数学归纳法证明：1+++…+＜2﹣（n≥2）20．（12分）（2022春•祁阳县校级期末）某厂生产某种电子元件，假如生产出一件正品，可获利200元，假如生产出一件次品，则损失100元，已知该厂在制造电子元件过程中，次品率p与日产量x 的函数关系是：．（1）求该厂的日盈利额T（元）用日产量x（件）表示的函数；（2）为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少？21．（12分）（2010•永州校级模拟）求由曲线y=x2+2与y=3x，x=0，x=2所围成的平面图形的面积．22．（12分）（2021春•南阳校级月考）已知a∈R，函数f（x）=（﹣x2+ax）e x，（x∈R，e为自然对数的底数）（1）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间．（2）函数f（x）是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．2022-2021学年河南省南阳市新野三中高二（下）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．质点运动规律s=t2+3，则在时间（3，3+△x）中，质点的平均速度等于（）A．6+△x B．6+△x+C．3+△x D．9+△x考点：变化的快慢与变化率．专题：导数的概念及应用．分析：利用平均变化率的公式，代入数据，计算可求出平均速度．解答：解：平均速度为==6+△t，故选：A．点评：本题考查函数的平均变化率公式，留意平均速度与瞬时速度的区分．2．设函数f（x ）可导，则等于（）A．f′（1）B．3f′（1）C．D．f′（3）考点：变化的快慢与变化率．专题：导数的概念及应用．分析：利用导数的定义即可得出．解答：解：==．故选C．点评：本题考查了导数的定义，属于基础题．3．dx=（）A．1 B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的概念及应用．分析：依据其几何意义，所求是四分之一个以（1，0）为圆心、1为半径的圆的面积．解答：解：所求为四分之一个以（1，0）为圆心、1为半径的圆的面积，为；故选：B．点评：本题考查了利用定积分的几何意义求定积分，关键是明确所求表示的几何意义．4．曲线y=x2+2x在点（1，3）处的切线方程是（）A．4x﹣y﹣1=0 B．3x﹣4y+1=0 C．3x﹣4y+1=0 D．4y﹣3x+1=0。
河南省南阳市第一中学校2020-2021学年高二下学期第二次月考(5月)数学(理)试题
11．已知 ，则 展开式中， 项的系数为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 ，要使函数 恰有一个零点，则实数 的取值范围是（）．
A． B．
C． D．
二、填空题
13．已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则实数 的值为__________.
14．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 ，各成员的支付方式相互独立，设 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时 若 则 _______．
A．72种B．144种C．288种D．360种
5．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为
A．48B．72C．90D．96
6．已知二项式 的展开式的二项式项的系数和为64， ，则 （）
A．20B．30C．60D．80
7．在 个排球中有 个正品， 个次品.从中抽取 个，则正品数比次品数少的概率为（ ）
故选B.
【点睛】
此题主要考查数学归纳法的概念问题，对学生的理解概念并灵活应用的能力有一定的要求，属于基础题目.
4．B
【分析】
利用分步计数原理结合排列求解即可
【详解】
第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有 种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有 种排法，所以不同的排表方法共有 种.
选 .
【点睛】
本题考查排列的应用，不相邻采用插空法求解，准确分步是关键，是基础题
5．D
【解析】
因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛
①当甲参加另外3场比赛时，共有 • =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有 =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种
河南省南阳市2020-2021学年高二数学下学期5月阶段检测考试试题 理(PDF)答案
或, 小学共有 )!+)##/##-/++*!#种分配方法所以甲乙去同一所小学共有+'种分配方法所以 (正确!若
有一所小学分配了+人先将"人分成+!!三组再将三组人分配到三所小学所以共有 )+"/++*'%种分
配方法所以 )错误!由上可知有两所学校分配的人数一样共有!"%种分配方法所以 .错误!
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2020-2021学年河南省南阳市高二上学期12月月考数学(理)试题(解析版)
2020-2021学年河南省南阳市高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．命题:p 在平面直角坐标系中，对任意两条平行的直线，它们的倾斜角相等，则p ⌝为（ ）．A ．在平面直角坐标系中，对任意两条平行的直线，它们的倾斜角不相等B ．在平面直角坐标系中，对任意两条不平行的直线，它们的倾斜角不相等C ．在平面直角坐标系中，存在两条不平行的直线，使得它们的倾斜角不相等D ．在平面直角坐标系中，存在两条平行的直线，使得它们的倾斜角不相等 【答案】D【分析】由“非”命题和全称命题的否定可直接得到结果. 【详解】p ⌝表示命题p 的否定，由全称命题的否定知：p ⌝：在平面直角坐标系中，存在两条平行的直线，使得它们的倾斜角不相等．故选：D.2．椭圆22169x y +=的短轴长为（ ）．A B ．C ．3D ．6【答案】B【分析】根据椭圆的标准方程可得选项.【详解】因为69<，所以26b =，则椭圆22169x y +=的短轴长为2b =．故选：B.3．已知空间向量()2,1,1a =-，()3,2,1b =-，()1,,7c λ=，若()a b c -⊥，则λ=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】计算出a b -的坐标，由()a b c -⊥可得出()0a b c -⋅=，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数λ的值.【详解】由已知可得()1,3,2a b -=--，因为()a b c -⊥，()3150a b c λ-⋅=-=，解得5λ=. 故选：A.4．设x ，y 满足约束条件20170x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最小值是（ ）．A ．7B ．5C ．10D ．12【答案】B【分析】由约束条件画出可行域，将问题转化为2y x z =-+在y 轴截距最小值的求解，利用数形结合的方式可求得结果.【详解】由约束条件可得可行域如下图阴影部分所示：当2z x y =+取最小值时，直线2y x z =-+在y 轴截距最小， 由图象可知：当2y x z =-+过A 时，在y 轴截距最小，由120x x y =⎧⎨-+=⎩得：13x y =⎧⎨=⎩，即()1,3A ，min 235z ∴=+=.故选：B.【点睛】方法点睛：线性规划问题中几种常见形式有： ①截距型：z ax by =+，将问题转化为a z y b b=-+在y轴截距的问题； ②斜率型：y bz x a-=-，将问题转化为(),x y 与(),a b 连线斜率的问题； ③两点间距离型：()()22z x a y b =-+-，将问题转化为(),x y 与(),a b 两点间距离的平方的问题；④点到直线距离型：z Ax By C =++，将问题转化为(),x y 到直线0Ax By C ++=的距离的22A B +倍的问题.5．不等式202xx -<解集是（ ）． A ．{}2x x >-B ．{2x x <-或}02x << C ．{20x x -<<或}2x > D ．{}2x x >【答案】C【分析】将分式不等式转化为一元高次不等式，利用数轴标根法可求得结果.【详解】224022x x x x--=<等价于()2240x x -<，即()()220x x x -+>．在数轴上标根如图：∴不等式的解集为：{20x x -<<或}2x >．故选：C.6．已知a ，b 都是实数，则“2211log log a b<”是“22a b >”的（ ） A ．充要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由由2211log log a b <，得110b a >>可推出22a b >，反之不成立，得出答案. 【详解】由2211log log a b <，得110b a>>，则0a b >>，从而22a b >，反之当22a b >时，取3,1a b =-=时，a 为负数，对数无意义，所以2211log log a b<不成立 故“2211log <log a b”是“22a b >”的充分不必要条件. 故选：C【点睛】结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断： （1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集； （2）p 是q 的充分不必要条件， 则p 对应集合是q 对应集合的真子集； （3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等； （4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．7．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2465a a a +=，数列{}n b 是等比数列，且551b a =，则()2129log bb b =（ ）．A ．3-B ．9-C ．3D ．9【答案】B【分析】由等差数列的等差中项可求得52a =，512b =，再根据等比数列的性质可得选项.【详解】因为{}n a 为等差数列，2465a a a +=，所以25520a a -=，由0n a ≠，解得52a =，即512b =． 所以在等比数列{}n b 中，()921292521log log 9log 92b b b b ===-． 故选：B.8．下列命题中，是真命题的是（ ）． A ．x ∀∈R ，sin 1x < B ．x ∃∈N ，21x <C ．“若2a >，2b >，则4ab >”的逆否命题D ．函数()x f x =2【答案】C【分析】利用特称命题与全称命题的特点举例子判断A 、B 选项，对于C 选项，判断原命题的真假性从而得逆否命题的真假性，利用基本不等式“一正二定三相等”原则，判断()x f x =.【详解】对于A ，当π2x =，sin 1x =，故A 是假命题； 对于B ，x ∀∈N ，21x ≥，故B 是假命题；对于C ，若2a >，2b >，则4ab >成立，故它的逆否命题也是真命题； 对于D ，()x f x ==1>，所以()2f x >，无最小值．故选：C9．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，sin 4sin c A C =，若此三角形有两解，则b 的取值范围是（）． A ．()0,22 B ．()2,22C ．()0,42D ．()4,42【答案】D【分析】利用正弦定理角化边可求得a ，根据三角形解的个数，由作圆法的结论构造不等式求得结果. 【详解】sin 4sin c A C =，∴由正弦定理可得：4ac c =，解得：4a =，三角形有两解，sin 4b A b ∴<<，即242b b <<，解得：442b <<. 故选：D.10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，224AB BC PA ===，点D 为PC 的中点，则PB 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ） A ．2315B ．105C ．27D ．3714【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用法向量和公式sin cos ,PB n θ=<>可求. 【详解】设PB 与平面ABD 所成角为θ﹐以C 为原点， 建立空间直角坐标系C xyz -，如图所示，则()0,0,0C ，()23,0,0A ，()23,0,2P ，()0,2,0B ，)3,0,1D，()23,2,2BP =-.设平面ABD 的法向量为(1,3,3n =，则232030n AB x y n AD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得(1,3,n =.设PB 与平面ABD 所成角为θ.则23sin cos ,3527PB n PB n PB nθ⋅=<>===⨯⋅故选：B【点睛】空间中斜线与平面所成的角，通常建立空间直角坐标系，利用公式sin cos ,PB n θ=<>来求；也可以找出斜线在对应平面上的射影，作出斜线与平面所成的角，再利用直角三角形求.11．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121n n S S n +=+-， 现有下面四个结论①数列{}n S n +为等比数列； ②数列{}n a 的通项公式为121n n a -=-；③数列{}1n a +为等比数列；④数列{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---. 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】根据递推关系可得1+12()n n S n S n ++=+，可得①正确，利用等比数列求出2n n S n =-，根据前n 项和求n a ，可判断②③，计算2n S ，并分组求和可判断④.【详解】因为121n n S S n +=+-，所以11222n n n n S n S nS n S n++++==++， 又112S +=.所以数列{}n S n +为首项是2，公比是2的等比数列，所以2nn S n +=， 则2nn S n =-.当2n ≥时，1121n n n n a S S --=-=-， 但11121a -≠-，所以①正确，②③错误，因为1222n n S n +=-，所以{}2n S 的前n 项和为2224n n n +---， 所以④正确. 故选：B【点睛】本题主要考查了数列的递推关系式，等比数列的证明，由n S 求数列的通项公式，属于中档题.12．已知Р是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的一点，1F ，2F 是该椭圆的两个焦点，若1260F PF ∠=︒，12F PF △的内切圆半径为12，则椭圆C 的离心率为（ ）．A ．13B C D ．34【答案】D【分析】由椭圆的定义可得122PF PF a +=，122F F c =，由内切圆半径表示出面积，再由余弦定理表示出2212443a c PF PF -⋅=，得出面积，即可得出关于,a c 的方程，求出离心率.【详解】根据椭圆的定义可知122PF PF a +=，122F F c =，设内切圆半径为r ，则()()1212121212PF F a c S PF PF F F r +=++⋅=△． 又因为1260F PF ∠=︒，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-⋅即()221212123F F PF PF PF PF =+-⋅，即2212443c a PF PF =-⋅，则2212443a c PF PF -⋅=，可得)122222121144sin 60223PF Fa c S PF PF a c -=⋅=⨯=-△，)()2212a c a c +-=，得22340a ac c --=，则34a c =，所以椭圆C 的离心率为34． 故选：D.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.二、填空题13．已知原命题为“若sin 1x ≠，则π2x ≠”，则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是______． 【答案】2【分析】先写出原命题的逆否命题并判断真假，再根据原命题与逆否命题的等价性即可判断原命题的真假，写出其否命题即可判断否命题与逆命题的真假. 【详解】解：由题意知：原命题的逆否命题为“若π2x =，则sin 1x =”为真命题， 故原命题也是真命题；原命题的否命题为“若sin 1x =，则π2x =”，为假命题， 故原命题的逆命题也是假命题． 故四个命题中真命题的个数是2． 故答案为：2.14．若a 、b 、c 为空间中两两夹角为3π的单位向量，22AB a b =-，CD b c =-，则AB CD ⋅=______. 【答案】1-【分析】利用空间向量数量积的运算性质可求得AB CD ⋅的值. 【详解】由题意得，211cos32a b b c c a π⋅=⋅=⋅=⨯=， 则()()()211122211222AB CD a b b c a b a c b b c ⎛⎫⋅=-⋅-=⋅-⋅-+⋅=--+=- ⎪⎝⎭.故答案为：1-.15．已知椭圆()222:10312x y C b b +=<<过()13,0F -作倾斜角为2π3的直线与C 在x 轴上方交于点Q ，则1FQ =______．【答案】613- 【分析】根据已知求出3b c ==，设1FQ x =，则2F Q x =，再利用余弦定理求解.【详解】由C的离心率e ==23b =，所以C 的焦点为()13,0F -，()23,0F ，126FF =． 设1FQ x =，则2F Q x =，由余弦定理得()22261262x xx +-=-⨯，解得613x =．【点睛】方法点睛：圆锥曲线里遇到焦半径，一般要马上想到对应曲线的定义，利用该圆锥曲线的定义进行转化，优化解题.16．已知三棱锥P ABC -的每个顶点都在球О的球面上，PA ，PB ，PC 两两互相垂直，且2PB PA PC ==，若球О的表面积为36π，则球心О到平面ABC 的距离为______.【答案】3【分析】把三棱锥补全为长方体，判断出球心为长方体的球心，求出PA ，PB ，PC 的长度，建立空间直角坐标系，用向量法求O 到平面ABC 的距离为d .【详解】因为在三棱锥中PA ，PB ，PC 两两互相垂直，所以可把该三棱锥看作一个长方体的一部分，此长方体内接于球O ，长方体的体对角线为球的直径，球心O 为长方体对角线的中点.设球O 的半径为R ，24π36πS R ，3R =.设PB x =()22223x x +⨯=，解得2x =.建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则()2,2,1O ，()4,0,0A ，()0,4,0C ，()4,4,0P ，()4,4,2B .设平面ABC 的法向量为(),,n x y z =，则420440n AB y z n AC x y ⎧⋅=+=⎨⋅=-+=⎩，令1x =，得()1,1,2n =-.设球心O 到平面ABC 的距离为d ，则6OA n d n⋅==. 6 【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．三、解答题17．已知m 为正数，:p 不等式23x m >-对x ∈R 恒成立；:q 函数()()220mf x x x x =+>的最小值不小于2． （1）若q 为真命题，求m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求m 的取值范围． 【答案】（1）[)1,+∞；（2）()[)0,13,⋃+∞． 【分析】（1）由均值不等式可得222mx m x +≥22m ，从而可得（2）先求出p 为真命题时参数m 的范围，根据条件p ，q 一真一假，可得答案. 【详解】解：（1）因为m 为正数，0x >，所以()222mf x x m x=+≥， 当且仅当22mx x=，即4x m =时，等号成立． 若q 为真命题，则22m ≥，解得1m ≥， 即m 的取值范围为[)1,+∞． （2）若p 为真命题，则300m m -<⎧⎨>⎩，解得03m <<．因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以p ，q 一真一假． 若p 真q 假，则01m <<；若q 真p 假，则3m ≥． 综上，m 的取值范围为()[)0,13,⋃+∞．18．如图，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为()122,0F -，()222,0F ，直线l 经过1F 与桶圆C 交于A ，B 两点，且2ABF 的周长为12．（1）求椭圆C 的离心率．（2）若M ，N 分别为椭圆的左、右顶点，记直线AM ，AN 的斜率分别为AM k ，AN k ，证明：AM AN k k ⋅是定值． 【答案】（122；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题意可得22c =2ABF 的周长为412a =，可求出a ，从而得到离（2）根据题意有()3,0M -，()3,0N ，设(),A x y ，由斜率公式分别得出AM k ，AN k ，再结合椭圆方程可得答案.【详解】（1）解：由题可知c =2ABF 的周长为221212412AB AF BF AF AF BF BF a ++=+++==，所以3a =，所以椭圆C． （2）证明：由（1）可知椭圆C 的方程为2219x y +=，()3,0M -，()3,0N ．设(),,A x y 则3x ≠±，所以 3AM y k x =+，3AN y k x =-，由椭圆方程可知，2299x y -=-， 所以22221999AM ANy y k k x y ⋅===---，即AM AN k k ⋅是定值． 19．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin sin sin B C Ab c C B+=．（1）求ABC 外接圆的周长；（2）若2cos cos cos b B a C c A =+，求ABC 面积的最大值． 【答案】（1）π；（2． 【分析】（1）由cos cos sin sin sin B C A b c C B +=可得22222222sin a c b a b c aabc abc c B+-+-+=，化简可得sin b B =，然后由正弦定理可得外接圆半径，然后可得答案； （2）由2cos cos cos b B a C c A =+可得π3B =，然后2223234cos 1228ac a c bB acac ac-+-=≥=-，得到34ac ≤即可. 【详解】（1）∵cos cos sin sin sin B C A b c C B+=， ∴22222222sin a c b a b c aabc abc c B+-+-+=，即222sin a a abc c B=，得sin b B =， ABC 外接圆的半径为112sin 2b B ⋅=， 则ABC 外接圆的周长为π．（2）由2cos cos cos b B a C c A =+，可得2sin cos sin cos sin cos B B A C C A =+， ∴()2sin cos sin B B A C =+． 又πA B C ++=，∴πA C B +=-， ∴()2sin cos sin πsin B B B B =-=． 又sin 0B ≠，∴1cos 2B =，∴π3B =，∴b =，∴2223234cos 1228ac a c b B acac ac-+-=≥=-，当且仅当a c ==时等号成立， 解得34ac ≤．∴113sin 224216ABC S ac B =≤⨯⨯=△， 即ABC． 20．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且11n n S S +=+. （1）证明：数列是等差数列并求数列{}na 的通项公式；（2）已知141n n b S =-，数列{}n b 的前n 项的和为n T ，若4n n T T λ⎛⎫≤+ ⎝对一切*N n ∈恒成立，求λ的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；21n a n =-；（2）1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【分析】（1）先利用递推公式得到)211+=n S1=，即可得出数列是等差数列，再利用1nn n aS S -=-，求解数列{}n a 的通项公式即可；（2）先由（1）得到11122121n b n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，利用裂项相消法求解n T ，代入不等式得到22178λ≥++nn n ，利用基本不等式即可得出结果. 【详解】解：（1）11n n S S +=+，)211n S +∴=.0n S >，1=，11S ==，∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，11n n =+-=，2n S n ∴=.当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，1211n a -==. 故2 1.n a n =- （2）21111114141(21)(21)22121n n b S n n n n n ⎛⎫====- ⎪---+-+⎝⎭，11111111112335212122121n nT n n n n ⎛⎫⎛⎫∴=-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭. 4n n T T λ⎛⎫≤+ ⎝对一切*n ∈N 恒成立4(21)421n n n n n n λ+⎡⎤∴≤+-⎢⎥+⎣⎦， 22178nn n λ∴≥++，2118217825217n n n n n =≤=++++， 当且仅当2n =时取等号，125λ∴≥，故λ的取值范围是1,25⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：数列求和的方法：（1）等差等比公式法；（2）裂项相消法；（3）错位相减法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法.21．如图，在底面为平行四边形的四棱锥A BCDE -中，AE AD ⊥，::1:2:2AE EB BC =，AED CDE ∠=∠，AC DC =，点O 为DE 的中点.（1）证明：CO ⊥平面ADE .（2）求平面ABE 与平面AOC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【分析】（1）先证明，CO ED ⊥，再证明CO AO ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证明；（2）以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，用向量法计算. 【详解】（1）证明：由题意BCDE 为平行四边形，且::1:2:2AE EB BC = 可得四边形BCDE 为菱形，连接CE ，在Rt ADE △中，∵12AE DE =， ∴60AED ∠=︒，则60CDE ∠=︒，所以CDE △为正三角形. 由点O 为DE 的中点，得CO ED ⊥.∵点O 为DE 的中点，∴12AO ED EO ==， 又AC DC =，∴AC EC =，∴"AOC △≌EOC △，则CO AO ⊥. ∵AO DE O ⋂=，∴CO ⊥平面ADE .（2）解：如图，不妨设2DE =，以O 为原点，OC 为x 轴正半轴建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,1,0D ，()0,1,0E -，()3,0,0C，)3,2,0B-，130,,22A ⎛- ⎝⎭. 设平面ABE 的一个法向量为()111,,m x y z =，则1111301302m BE x y m EA y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 不妨令11z =，得()1,3,1m =--.设平面AOC 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222301302n OC x n OA y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令23y ()0,3,1n =. ∵0315cos ,552m n m n m n⋅-+===⨯， ∴平面ABE 与平面AOC 5. 【点睛】立体几何解答题的基本结构：(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离），通常可以建立空间直角坐标系，利用向量法计算．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，124F F =，且a =．（1）求C 的方程．（2）若A ，B 为C 上的两个动点，过2F 且垂直x 轴的直线平分2AF B ∠，证明：直线AB 过定点．【答案】（1）22184x y +=；（2）证明见解析． 【分析】(1)由条件124F F =，可得c的值，再由条件a =结合222a b c =+，可得答案.（2）由条件先得出220F A F B k k +=，设()11,A x y ，()22,B x y ，设直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立得出韦达定理，代入结论220F A F B k k +=中可 求解.【详解】（1）解：因为1242F F c ==，所以2c =，所以224a b -=，又0a =>，所以28a =，24b =，故C 的方程为22184x y +=．（2）证明：由题意可知直线AB 的斜率存在，()22,0F ， 设直线AB 的方程为y kx m =+， 设()11,A x y ，()22,B x y ，由22184x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()222124280k x kmx m +++-=， 则()()2222221641228648320k m kmk m ∆=-+-=-+>，122412km x x k +=-+，21222812m x x k -=+．设直线2F A ，2F B 的倾斜角分别为α，β， 则παβ=-，221212022F A F B y yk k x x +=+=--，所以()()1221220y x y x -+-=，即()()()()1221220kx m x kx m x +-++-=， 所以()()12122240kx x m k x x m +-+-=，所以()22228422401212m kmk k m m k k -⨯+-⨯-=++， 化简可得4m k =-，所以直线AB 的方程为()44y kx k k x =-=-， 故直线AB 过定点()4,0．【点睛】本题考查求椭圆的方程和直线过定点问题，解答本题的关键是根据条件得出220F A F B k k +=，设出直线AB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立由韦达定理代入解决，属于中档题.。
2020年河南省南阳市第六高级中学校高二数学理月考试卷含解析
2020年河南省南阳市第六高级中学校高二数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在函数，，，中，奇函数是（）A． B． C． D．参考答案：B2. 在区间[1,10]上任取一个实数x，则的概率为（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】本题属于几何概型，利用变量对应的区间长度的比求概率即可．【详解】由已知区间[1，10]上任取一个实数x，对应集合的区间长度为9，而满足的x3，对应区间长度为2，所以所求概率是；故选：B．【点睛】本题考查了一个变量的几何概型的概率计算；关键是求出变量对应区间长度，利用区间长度的比求概率．3. 如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下四个结论：①BM∥平面ADE ②CN∥平面AFB′③平面BDM∥平面AFN ④平面BDE∥平面NCF其中正确的序号为。
参考答案：①②③④4. 已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：A5. 按照程序框图（如右图）执行，第3个输出的数是( )A．7 B．6 C．5 D．4参考答案：C略6. sin80°cos20°﹣cos80°sin20°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣参考答案：B【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和的正弦公式，求得所给式子的值．【解答】解：sin80°cos20°﹣cos80°sin20°=sin（80°﹣20°）=sin60°=，故选：B．7. 六名同学站一排照相，要求A，B，C，三人按从左到右的顺序站，可以不相邻，也可以相邻，则不同的排法共有（）A. 720种B. 360种C. 120种D. 90种参考答案：C【分析】首先计算六名同学并排站成一排的总数，然后除以A,B,C三人的排列数即可得答案．【详解】根据题意，六名同学并排站成一排，有种情况，其中，，三人顺序固定，按从左到右的顺序站，则不同的排法数为,故选：C．【点睛】本题考查倍缩法的应用，对应某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数即可.8. 在等比数列{a n}中，如果a3?a4=5，那么a1?a2?a5?a6等于（）A．25 B．10 C．﹣25 D．﹣10参考答案：A【考点】等比数列的通项公式．【分析】由等比数列的性质可得：a1?a6=a2?a5=a3?a4=5，代入可得答案啊．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1?a6=a2?a5=a3?a4=5，故a1?a2?a5?a6=5×5=25故选A9. 在△ABC中，若，则△ABC的形状是 ( )A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定参考答案：A10. 设的展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（）A．375 B．﹣375 C．15 D．﹣15参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=64，解得n=6．再利用的通项公式即可得出．【解答】解：由题意可得：2n=64，解得n=6．∴的通项公式为：T r+1=（5x）6﹣r=（﹣1）r56﹣r，令6﹣=0，解得r=4．∴展开式中常数项为T5=52×=375．故选：A．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若直线：被圆：截得的弦长为4，则的值为．参考答案：略12. 设复数z满足，其中i为虚数单位，则．参考答案：由复数的运算法则有：，则，.故答案为：．13. （坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，已知曲线C的参数方程是（是参数），若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则曲线C的极坐标方程可写为.参考答案：14. 抛物线的离心率是______________参考答案：15.已知复数则虚部的最大值为.参考答案：略16. 已知复数z=x+yi，且|z﹣2|=，则的最大值为．参考答案：【考点】复数求模．【分析】由题意求出x，y的关系，利用的几何意义点与原点连线的斜率，求出它的最大值．【解答】解：，即（x﹣2）2+y2=3就是以（2，0）为圆心以为半径的圆，的几何意义点与原点连线的斜率，易得的最大值是：故答案为：．17. 采用系统抽样从含有8000个个体的总体（编号为0000，0001，…，，7999）中抽取一个容量为50的样本，已知最后一个入样编号是7900，则最前面2个入样编号是参考答案：0060，0220三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2021-2022学年河南省南阳地区高二3月阶段检测理科数学试题答案
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16．考虑函数 与函数 的图像关系，计算： ________．
∵ ，
∴这组数据的样本中心点是( , )，
∵关于y与x的线性回归方程yˆ=2.1x+0.85，
∴ =2.1× +0.85，解得m=0.5，
∴m的值为0.5.
故选D.
4．A
【解析】
，故选A.
5．B
【解析】
因为随机变量服从二项分布～ ，且 ，选B
6．D
【解析】
(1)错。可假设 .(2)假设正确.
7．A
【解析】
A． 种B． 种C． 种D． 种
11．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息.设定原信息为 ，其中 ，传输信息为 ， ， 运算规则为： .例如原信息为111，则传输信息为01111. 传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列信息一定有误的是 （ ）
A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确
7．在4次独立试验中，事件A出现的概率相同，若事件A至少发生1次的概率是 ，则
事件A 在一次试验中出现的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．下列说法：
①分类变量A与B的随机变量 越大，说明“A与B有关系”的可信度越大．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球（左右手依次各取两球为两次取球）的成功取法次数为随机变量X，求X的分布列．
21．已知数列 满足 ，
（1）求 ， ， ， ；
（2）归纳猜想出通项公式 ，并且用数学归纳法证明；
【全国校级联考】河南省南阳六校2020-2021学年高二月考联考理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设东、西、南、北四面通往山顶的路各有2、3、3、4条路,只从一面上山,而从任意一面下山的走法最多,应
19．5名男生4名女生站成一排，求满足下列条件的排法：
（1）女生都不相邻有多少种排法？
（2）男生甲、乙、丙排序一定（只考虑位置的前后顺序)，有多少种排法?
（3）男甲不在首位，男乙不在末位，有多少种排法？
20．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2，3，4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
令事件 在一次试验中出现的概率是 ．由事件 至少发生 次的概率为 ，可知事件 一次都不发生的概率为 ，由独立事件同时出现的概率知 ，则 ．故本题答案选 ．
三、解答题
17．已知 ,在 的展开式中，第二项系数是第三项系数的 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 的值．
18．国际奥委会将于2021年9月15日在秘鲁利马召开130次会议决定2024年第33届奥运
会举办地。目前德国汉堡、美国波士顿等申办城市因市民担心赛事费用超支而相继退出。某机构为调查我国公民对申办奥运会的态度，选了某小区的100位居民调查结果统计如下：
支持
不支持
合计
年龄不大于50岁
80
年龄大于50岁
10
合计
70
100
（1）根据已有数据，把表格数据填写完整；
（2）能否在犯错误的概率不超过5％的前提下认为不同年龄与支持申办奥运无关?
（3）已知在被调查的年龄大于50岁的支持者中有5名女性，其中2位是女教师，现从这5名女性中随机抽取3人，求至多有1位教师的概率．
A．18B．12C．9D．6
10．大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个小孩的现象普遍存在，某城市关系要好的 四个家庭各有两个小孩共8人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有
②以模型 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，将其变换后得到线性方程z=0.3x+4，则c，k的值分别是 和0.3．
③根据具有线性相关关系的两个变量的统计数据所得的回归直线方程为y=a+bx中，b=2， ， ，则a=1．正确的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
9．在二项式（ 的展开式中，各项系数之和为M，各项二项式系数之和为N，且M+N=72，则展开式中常数项的值为 （ ）
（3）求证 能被15整除．
22．
参考答案
1．D
【解析】
从东边上山共 种;从西边上山共 种;从南边上山共 种;从北边上山共 种;所以应从北边上山.故选D.
2．C
【解析】
互不相等且为虚数，所以有 只能从 中选一个有 种， 从剩余的 个选一个有 种，所以根据分步计数原理知虚数有 （个），故选C.
3．D
【解析】
A．从东边上山B．从西边上山C．从南边上山D．从北边上山
2．从集合{0，1，2，3，4，5}中任取两个互不相等的数 组成复数 ，其中虚数有（ ）个
A．36B．30C．25D．20
3．已知 与 之间的一组数据：
x
0
1
2
3
y
，则 的值为
A． B． C． D．
4．计算 ( )
A．1B．2C．3D．4
5．随机变量服从二项分布～ ，且 则等于（）
A． B．
C．1D．0
6．有以下结论：①已知 ，求证： ，用反证法证明时，可假设 ；②已知 ， ，求证方程 的两根的绝对值都小于1，用反证法证明时可假设方程有一根 的绝对值大于或等于1，即假设 ．下列说法中正确的是（ ）
A．11010B．01100C．00011D．10111
12．已知函数 = 存在两个极值点.则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
13． 的展开式中，x5的系数是_________．（用数字填写答案）
14．在某次联考数学测试中，学生成绩 服从正态分布N(100, ),( >0），若 在（80，120）内的概率为0.6，则落在（0，80）内的概率为__________．