数学物理方程期末试卷与答案分析

(2 分)
若能求得 v 满足
2 v 0, y 0 1 1 v y 0 2 ln r MM 0
（3）
y 0
则定义格林函数 G ( M , M 0 )
u(M 0 ) u(M )
(2 分)
所以，原定解问题的解为：
l2 4 a l 4 at 4 x l2 4 x u ( x, t ) cos t sin sin sin x 3 1 2 2 2 2 l 4 a l l 32 a l l 32 a
(1 分)
（2 分） （1 分） （1 分）
F（0）+G(0)= (0) (0). u(x,t)= (
x at x at ) + ( ) - (0). 2 2 即为古尔沙问题的解。
6 、 解 令 u ( x, t ) v( x, t ) w( x) (1 分)，代入原 方程中 ，将方程 齐次 化，因此
u x (0, 0) 0,
A sin t , t 0. T 又右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面，所以
因此
（2 分）
Tu x (l , t ) ku (l , t ) 0, 即 Tu x (l , t ) ku (l , t ) 0. （2 分）
而初始条件为
u
t 0
（2 分） （2 分）
则由 C1 C2
1 1 ˆ ( , t ) F (sin x )(e jat e jat ) 。 （2 分） F (sin x) ，得： u 2 2
ˆ ( , t ) 的 Fourier 逆变换 作像函数 u ˆ ( , t )] u ( x, t ) F 1[u sin x cos at 1 1 1 F F (sin x)(e jat e jat ) [sin( x at ) sin( x at )] 2 2
16 (1) n 1 e n n 2 2t 16
u ( x, t )
n 1
sin
nx , 4 （1 分）
4、解：令 u ( x, t ) V ( x, t ) W ( x) 将其代入定解问题可以得到：
（1 分）
V a 2V , (0 x l , t 0) tt xx .....(1) V (0, t ) 0, V (l , t ) 0 x 4 V ( x, 0) 3 x 1 W ( x ), Vt ( x, 0) sin l l
2012 学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥
1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为 A sin t 的力的作用，右端 系在弹性系数为 k 的弹性支承上面； 初始位移为 ( x), 初始速度为 ( x ). 试写出相 应的定解问题。(10 分)
2、 长为 l 的均匀杆， 侧面绝热， 一端温度为 0 度， 另一端有已知的恒定热流进入， x (l x ) 设单位时间流入单位截面积的热量为 q ，杆的初始温度分布是 ，试写出 2 其定解问题。(10 分)
( x), ut
t 0
( x).
（2 分）
因此，相应的定解问题为
utt a 2uxx , 0 x l , t 0, A sin t , Tux (l , t ) ku (l , t ) 0, ux (0, t ) T u t 0 ( x), ut t 0 ( x).
2 2v 1 2 v a [ w '' ( x)] cos x a 2 w '' ( x) cos x 0 w( x) 2 cos x 2 2 t x a (2 分)， 再求
v 定解问题
公 式
2 2v 2 v a ,t 0 t 2 x 2

y 取拉普拉斯变换得到
U ( x, p ) 1 1 1 x 2 2 p p p
1 1 2 p p
(3 分)，解这个微分方程得到
(3 分)， 再取拉普拉斯逆变换有 u ( x, y ) yx y 1 (2 分)
所以原问题的解为 u ( x, y ) yx y 1 .(1 分) 8、解：对于初值问题关于 x 作 Fourier 变换，得：
5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10 分)：
2u 2u 2 a 2 x 2 t u x at 0 ( x ) u ( x ). x at 0
(0) (0)
1
6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10 分）

n 2 2t n ; 16 4 (1 分)，再解 T (t ) ，得到 Tn (t ) C n e （2
分 ）， 于 是
Cn
u ( x, t ) (C n e
n 1
n 2 2t 16
sin
nx , 4 （1 分）再由初始条件得到
2 4 n 16 2 x sin xdx (1) n 1 0 4 4 n （ 1 分 ）， 所 以 原 定 解 问 题 的 解 为


（2 分） 9、解：设 M 0 ( x 0 , y 0 ) 为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式 为
u(M 0 ) 1 1 1 u (u ( M ) (ln ) ln )dS 2 n rMM 0 rMM 0 n
6
(1 分)
设 v 为调和函数，则由第二格林公式知
8、用积分变换法求解定解问题(10 分)：
utt a 2u xx , x R, t 0 u ( x,0) sin x, ut ( x,0) 0
9、用格林函数法求解定解问题(10 分)：
2u 2u x 2 y 2 0, y 0, u f ( x) , x . y 0
2 2 2 x cos x0 a W ( x ) sin (2) l l W (0) 3, W (l ) 6
（1 分）
（1 分）
(2)的解为： W ( x)
l2 4 x sin x 3 1 2 2 32 a l l
4
（2 分）
10、写出格林函数公式（三维）及满足的条件，并解释其物理意义。(10 分)
2
答案及分析
1、解: 这是弦的自由振动，其位移函数 u ( x, t ) 满足
utt a 2u xx ,
（2 分）
其中 a 2
T

.由于左端开始时自由，以后受到强度为 A sin t 的力的作用，所以
Tu x (0, t ) A sin t 0, t 0, u x (0, t )
(u

2
v v 2 u )d (u

v u v )dS 0 n n
（2）
（1）＋（2）可得
u ( M 0 ) [u ( M )(

v 1 1 1 1 u (ln )]dS ( ln v) ]dS n 2 n rMM 0 2 rMM 0 n
T ' (t ) T (t ) 0 ， X '' ( x) X ( x) 0 （2 分） ，由边界条件得到 X (0) X (4) 0 ，
对 的情况讨论，只有当 0 时才有非零解，令 ，得到
2
2
n 2 2 42 为
特征值，特征函数
X n( x ) Bn sin
2 2u 2 u t 2 a x 2 cos x, x , t 0 u u t 0 sin 2 x, t 0 0 t
7、用积分变换法求解定解问题（10 分） ：
2u xy 1, x 0, y 0 u x0 y 1, u 1, y0
对于(1)，由分离变量法可得一般解为
n at n at n x V ( x, t ) an cos bn sin sin l l l n 1
（2 分）
由初始条件可求得：
l2 4 a l 4 at 4 x V ( x, t ) cos t sin sin 2 2 l 4 a l l 32 a
3、试用分离变量法求定解问题(10 分)：
u 2 u 2 ,0 x 4, t 0 t x 0, u x4 0, u x 0 2x u t 0 .
4、分离变量法求定解问题(10 分)
2 2 2 x cos x, (0 x l, t 0) utt a u xx sin l l u (0, t ) 3, u (l , t ) 6 x 4 u ( x, 0) 3 x 1 , ut ( x, 0) sin l l
t 0
sin 2 x
到
1 v cos xw ( x ), a2 t
以 上
5
t 0
0,
(2 分)由达朗贝尔 题 的 解 为
得
问
1 1 1 v( x, t ) [sin 2( x at ) 2 cos( a at ) sin 2( x at ) 2 cos( x at )] 0 2 a a 1 sin x cos at 2 cos x cos at a
t 0.
（2 分）
2、解：侧面绝热，方程为
ut a 2u xx , 0 x l , t 0
（3 分）
边界条件为Baidu Nhomakorabea
u
x 0
0, u x
x l

q ,t 0 k
（3 分）
初始条件为
x(l x) ,0 x l 2 因此，相应的定解问题为： u
t 0
（3 分）
(4 分)
故
u ( x, t ) sin x cos at 1 1 cos x cos at 2 cos x. 2 a a
(1 分)
7、 解 对 y 取拉普拉斯变换 L[u ( x, y )] U ( x, p ) (1 分)，对方程和边界条件同时对
p dU 1 ,U dx p
x 0
3
ut a 2u xx , 0 x l , t 0 u u
x 0
0, u x
x l

q ,t 0 k
（1 分）
t 0
x(l x) ,0 x l 2
3、解 令 u ( x, t ) X ( x)T (t ) （2 分） ，代入原方程中得到两个常微分方程：
5、解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 令 x+at=0 分） 所以 且 所以
x F(x)= ( ) -G(0). 2 x G（x）= ( ) -F(0). 2
（2 分） （2 分） （ 2
得 ( x ) =F（0）+G（2x） 得 ( x) =F（2x）+G(0)
d 2u ˆ ( , t ) ˆ ( , t ), x R, t 0 a 2 2u dt 2 u ˆt ( ,0) 0 ˆ ( ,0) F (sin x), u
（2 分）
该方程变为带参数 的常微分方程的初值问题。解得
ˆ ( , t ) C1e jat C2e jat u ˆ ( ,0) F (sin x) C1 C2 , u ˆt ( ,0) ja (C1 C2 ) 0 于是 u