定积分的性质

1b
m b a a f ( x)dx M
由闭区间上连续函数的介值定理知, 在区间 [a,b]
上至少存在一个点 , 使得
f ( ) 1
b
f ( x)dx.
ba a
积分中值公式的几何解释：
y f ( ) •
y f (x)
在区间[a, b]上至少存在一点 ,
使得以区间[a, b]为底边,以曲线 y f ( x)为曲边的曲边梯形的
性质5.3 (积分区间的可加性) 设 a c b, 则
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
补充: 无论 a, b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
当
x

0,

4

时,
| sinnx sinn x |
sin
n


1
n
4 2
0

4 sin nx sinn xdx


1
n


0
(n
)
0
2 4

由夹逼定理
lim
n
4
0
s in nx
s inn
xdx

0.
证 因 m f (x) M,
所以
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
例1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解
ex x, x [2,0]
于是

0
3 sin3 x dx
0
dx 3
故

4


0
3
1 s in3
dx x


3
性质5.7 (定积分中值定理)
如果函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续,
则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点 ,
使得
b
f ( x)dx f ( )(b a).
a
积分中值公式
b
证 m(b a) a f ( x)dx M (b a),
0 e xdx
0
xdx
2
2
2 e xdx
2
xdx.
0
0
例2
估计定积分
1 0 3 sin3 x dx
的值的范围.
解
设
f
(x)

3

1 s in3
x
,
x
[0,
].
0 sin3 x 1,

1 4

3

1 s in3
x

1 3
1
1
1
0
dx 4
O
a
•

面积 等于同一底边而高为 f ( )
b x 的一个矩形的面积.
b
1
a
b
a
f
( x)dx
称为函数
f
(x)在[a,
b]上的平均值.
思考题 lim n x sin 1 dx _______.
n n
x

思考题
求证
lim 4
n 0
sinnx sinn
x dx

0.
证
推论5.1 (定积分的保序性)
如果在区间[a, b] 上 f ( x) g( x),
则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx. (a b)
推论5.2
b
b
f ( x)dx f ( x) dx. (a b)
a
a
证 Q f (x) f (x) f (x)
所以
b
b
b
f ( x) dx f ( x)dx f ( x) dx
a
a
a
即
b
b
a f ( x)dx a f ( x) dx.
性质5.6 (定积分的估值定理)
设M 及m 分别是函数 f ( x) 在区间[a, b]上
的最大值与最小值,
b
则
m(b a) a f ( x)dx M (b a).
5.2 定积分的性质
说明: 在下面的性质中, 假设所涉及的函数都是
可积分的.
性质5.1
b
b
b
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx.
a
a
a
性质5.2
b
b
kf ( x)dx k f ( x)dx,
(k为 常 数).
a
a
性质5.1和性质5.2称为定积分的线性性质
则
b
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
aபைடு நூலகம்
b
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx
性质5.4
b
b
1 dx dx b a.
a
a
性质5.5 如果在区间 [a, b] 上 f ( x) 0,
b
则
a f ( x)dx 0. (a b)