定积分的性质
总结定积分的性质并举例
总结定积分的性质并举例
定积分是一种数学概念，涉及数学积分的概念。
它表示用无限确定的有限积分计算出的受限总和。
它是一种无限确定性，在某一限定域内定义的函数。
它也被称为有界积分，因为它是在一定范围内计算出来的。
定积分由定积分符号表示，它的形式为：
∫a^b f(x) dx
其中a和b是积分的上下限，f(x)是要计算积分的函数，x是变量。
它表示从a到b空间内的任意一点的函数f(x)的积分。
定积分也具有这样的性质，如果两个函数f(x)和g(x)都在定积分上下限a到b内定义，那么它们的和F(x)=f(x)+g(x)也会在定积分上下限a到b内定义，并且它们的积分也会在这两个函数的积分上加起来，即积分F(x)=∫a^bf(x)dx + ∫a^bg(x)dx
定积分在数学实际应用中很常见，比如在计算坐标上的极限，求曲线的面积，求函数的最值等等都用到定积分。
例如：求函数f(x)=|x|在[-2,2]之间的定积分。
f(x)=|x|可以分为两部分f1(x)=x,f2(x)=-x，所以定积分可以表示为：
∫-2^2 f(x) dx = ∫-2^2 f1(x) dx + ∫-2^2 f2(x) dx
=∫-2^2 x dx + ∫-2^2 -x dx
= ∫-2^2 x dx - ∫-2^2 x dx
= 0
因此，f(x)=|x|在[-2,2]之间的定积分为0。
定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
最小值 m. 由于 m f ( x ) M , x [a , b], 因此
m(b a ) mdx f ( x )dx
a a
b
b
Mdx M (b a ),
a
b
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即
1 b m a f ( x )dx M . ba
由连续函数的介值性定理， [a , b], 使 1 b f ( ) a f ( x )dx. ba
T g i
T
2M
.
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令T T T ( T 表示把 T 与 T 的所有分割点合
并而成的新分割 ), 则
ifg sup f ( x) g( x) f ( x) g( x)
sup g( x) f ( x) f ( x)
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分割 , 且
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
b
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
可积, 且
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
5.2定积分的性质(1-15)
则
l
f ( x )dx 0
l
(2) f (x) 在 [-l , l ] 上连续 , f (-x)= f (x) , x[ -l , l ] 则
y
l
f ( x )dx 2 f ( x )dx0Βιβλιοθήκη ly f (x)
y
y f (x)
A
-l A o l x -l
A
o
A
l x
1
a a a b b b
： 证明 在区间[a, b] 中任意插入分点
使
a x0 x1 x2 xn1 xn b
;
任取 i [ xi 1 , xi ] ; ∆xi= xi - xi-1
max{xi }
1 i n
作和式
i 1
[k1 f ( i ) k 2 g( i )]x i
若 f (x) 在 [a , b] 上可积 , 则 f ( x )dx f ( t )dt
a a
性质 4 (1) 若 f (x) 在 [a , b] 上除有限个点外恒为零 , 则
f ( x )dx 0
a b
(2) 若 f (x) 在 [a , b] 上可积 , 如果改变 f (x) 的有限个 函数值得 F(x) , 则
a f ( x )dx f ( x )dx
0
1 a
1
a
0
解 由于 a f ( x )dx f ( x )dx
0 a 1 0 a
a( f ( x )dx f ( x )dx) f ( x )dx
0
1
a
a
0
a f ( x )dx (1 a ) f ( x )dx
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分性质
丸了
虹 巨 1 dx-
'
气 2 x 2
经济数学
微积分
o
性质7 (定积分中值定理)
如果函数f ( x )在闭区间［a, b ］上连续，
则在积分区间［a, b ］上至少存在一个点J
积分中值公式
经济数学--微积分
证
一 m(b
a) <[f (x)dx <M(b
1
解 ,(x) — = b， Vx € [0,丸],
3 +sin x 0 <sin3 x <1,
111 4*3 +sin3 x< 3’
fo4兀dX1<Jo3
冗
+sin3
x
1
宀 7
dx <三
f兀1
J。3dx,
经济数学--微积分
o
经济数学
丸 心 sin x ,
解 在 例3估计积分卩 4 f (x) =sinx, ——dx的值.
f (x )在区间［但0］上的最大值及最
小值， 贝lj m(b -a)<\ f (x)dx < M(b
一 a).
Ja
证,/ m < f (x) < M,
经济数学--微积分
fb
b
b
mdx < I f (x)dx < I Mdx,
•r a
a
a
一 fb
围
f ( x )dx <M (b
a
例2估计积分「一 dx的值. 信 J。3 + sin3 x
(x)dx < f g(x)dx. (a < b)
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质
初中数学知识归纳定积分的基本概念和性质定积分作为数学中的一个重要概念，是初中数学学习中必须掌握的内容之一。
本文将从定积分的基本概念和性质两个方面进行归纳，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。
1. 定积分的基本概念定积分是对函数在一定区间上的积分，可以理解为曲线与x轴所夹的面积。
具体而言，定积分可以表示为∫ab f(x)dx，其中a和b分别表示积分的下限和上限，f(x)表示被积函数。
定积分的计算方法有多种，常见的有几何法和定积分的运算法则。
几何法是通过图形的面积进行计算，而定积分的运算法则则利用不定积分求解。
2. 定积分的性质定积分具有以下几个性质：（1）可加性：对于函数f(x)和g(x)，定积分具有可加性，即∫ab[f(x) + g(x)] dx = ∫ab f(x) dx + ∫ab g(x) dx。
（2）线性性：对于任意实数k，定积分具有线性性质，即∫ab kf(x) dx = k∫ab f(x) dx。
（3）区间可加性：对于函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，可以将该区间分割成若干小区间，然后进行分别计算再求和，即∫ab f(x) dx =∑(i=1 to n) ∫xi-1 xi f(x) dx，其中[xi-1, xi]表示分割后的小区间。
（4）定积分的性质与原函数相关：如果函数F(x)在区间[a, b]上是函数f(x)的原函数，则∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)。
（5）无关紧要的加法常数：定积分无关紧要的加法常数，即∫abf(x) dx = ∫ab [f(x) + C] dx，其中C为任意常数。
3. 定积分的应用定积分不仅仅在数学理论中有重要应用，还广泛应用于物理、经济学等实际问题中。
以下是一些常见的应用场景：（1）面积计算：定积分可以用来计算曲线与x轴所夹的面积，从而解决几何学中的面积问题。
（2）求解平均值：对于某些变量随时间变化的过程，可以通过定积分计算平均值，如平均速度、平均密度等。
定积分性质
第二节定积分的性质一、基本内容二、小结证*[()()]d baf xg x x ±∫i i i ni x g f ∆±=∑=→)]()([lim 10ξξλi i ni x f ∆=∑=→)(lim 10ξλii ni x g ∆±∑=→)(lim 10ξλ()d b af x x =∫()d .bag x x ±∫[()()]d ba f x g x x ±∫()d b af x x =∫()d bag x x ±∫.（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况））性质性质11一、基本内容()d ()d b baakf x x k f x x =∫∫ ( k 为常数).证*()d b akf x x ∫ii ni x kf ∆=∑=→)(lim 10ξλi i ni x f k ∆=∑=→)(lim 1ξλii ni x f k ∆=∑=→)(lim 10ξλ()d .bak f x x =∫性质性质22()d baf x x ∫()d ()d cbacf x x f x x =+∫∫.补充：不论的相对位置如何, 上式总成立.c b a ,,例若,c b a <<()d caf x x ∫()d ()d b cabf x x f x x=+∫∫()d baf x x ∫()d ()d c cabf x x f x x=−∫∫()d ()d .c bacf x x f x x =+∫∫（定积分对于积分区间具有可加性定积分对于积分区间具有可加性））则假设bc a <<性质性质331d b ax ⋅∫d bax =∫a b −=.则()d 0baf x x ≥∫. )(b a <证*,0)(≥x f ∵,0)(≥ξ∴i f ),,2,1(n i ⋯=,0≥∆i x ∵,0)(1≥∆ξ∴∑=i i ni x f },,,max{21n x x x ∆∆∆=⋯λi i ni x f ∆∴∑=→)(lim 10ξλ()d 0.baf x x =≥∫性质性质44性质性质55如果在区间],[b a 上0)(≥x f ，例1 比较积分值2d xe x −∫和2d x x −∫的大小.解令,)(x e x f x−=]0,2[−∈x ,0)(>x f ∵02()d 0,xe x x −∴−>∫2d xe x −∴∫02d ,x x −>∫于是20d xe x −∫20d .x x −<∫性质性质55的推论的推论：：证),()(x g x f ≤∵,0)()(≥−∴x f x g [()()]d 0,ba g x f x x ∴−≥∫()d ()d 0,bbaag x x f x x −≥∫∫于是()d baf x x ∫()d bag x x ≤∫.则()d baf x x ∫()d bag x x ≤∫. ()a b <如果在区间],[b a 上)()(x g x f ≤，（1）()d baf x x ∫()d baf x x ≤∫.)(b a <证,)()()(x f x f x f ≤≤−∵()d ()d ()d ,b b baaaf x x f x x f x x ∴−≤≤∫∫∫即()d baf x x ∫()d baf x x≤∫说明说明：：可积性是显然的.|)(x f |在区间],[b a 上的性质性质55的推论的推论：：（2）设M 及m 分别是函数证,)(M x f m ≤≤∵d ()d d ,bb baaam x f x x M x ∴≤≤∫∫∫()()d ().b am b a f x x M b a −≤≤−∫（此性质可用于估计积分值的大致范围此性质可用于估计积分值的大致范围））则 ()()d ()bam b a f x x M b a −≤≤−∫.)(x f 在区间],[b a 上的最大值及最小值上的最大值及最小值，，性质性质66例2 估计积分301d 3sin x xπ+∫的值. 解,sin 31)(3xx f +=],,0[π∈∀x ,1sin 03≤≤x ,31sin 31413≤+≤x 3000111d d d ,433sin x x x xπππ≤≤+∫∫∫31d .433sin x xπππ≤∴≤+∫例 3 估计积分∫ππ24sin x dx 的值. xπ π x ∈[ , ] 4 2sin x 解 f ( x) = , xx cos x − sin x cos x ( x − tan x ) f ′( x ) = = < 0, 2 2 x xπ π f ( x ) 在 [ , ] 上单调下降, 4 2π π 故 x = 为最大点， 大点， x = 为最小点, 4 2π 2 2 M = f( )= , 4 ππ 2 m= f( )= , 2 ππ π π ∵ b−a = − = , 2 4 42 π sin x 2 2 π 2 dx ≤ ⋅ , ∴ ⋅ ≤ ∫π x π 4 π 4 4π 1 sin x 2 2 dx ≤ . ∴ ≤ ∫π 2 x 2 4 π性质7 性质7（定积分中值定理） 定积分中值定理）如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续， 上连续，则在积分区间 [ a , b ]上至少存在一个 点 ξ ，使 ∫ f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .ab(a ≤ ξ ≤ b)积分中值公式证∵ m (b − a ) ≤ ∫ f ( x )dx ≤ M (b − a )abb 1 f ( x )dx ≤ M ∴ m≤ ∫ b−a a由闭区间上连续函数的介值定理知在区间 [a , b] 上至少存在一个点 ξ ，使 即b 1 f (ξ ) = f ( x )dx , ∫ b−a a∫b af ( x )d x = f (ξ )( b − a ) . ( a ≤ ξ ≤ b )积分中值公式的几何解释： 积分中值公式的几何解释：yf (ξ )在区间[a , b]上至少存在一 使得以区间[a , b]为 个点ξ ， 底边， 底边， 以曲线 y = f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积oa ξ等于同一底边而高为 f (ξ ) b x 的一个矩形的面积。
课件：定积分的性质
则 f 在I 的任意闭子区间都可积，且
b
a
f
( x)dx
c
a
f
( x)dx
b
c
f
( x)dx.
证明 设I 的任意闭子区间为[a , b] , 由定理1.2有 n f (I ) 0, 0, d() , kxk k 1
将a，b 添加到分割中，记作，则d()<
n
kxk , 记分割在[a ,b ]上的部分为，d()<
22
性质1.7
b
b
a g(x)d x a f (x)d x
若f 在[a,b]上可积， g和f 仅在有限个点处取值不同，
则g在[a,b]上可积,且两积分相同。
n
n1
证明
g(i )xi g(i )xi g(1 )x1 g(n )xn
i 1
i2
n1
f (i )xi f (1 )x1 f (n )xn
an1
,
an ,
n 2 x n 1, n1 xn
n
f ( ) 0 f ( x)d x 1 n
n 0
n i1
i
f (x)d x
i 1
注
a1
a2
an
n
24
内容小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
注意1 当a b时，推论仍成立.
注意2 积分学中值定理可表示为
ah
a f ( x)d x f (a h)h
ah
或 f (a h) a f ( x)d x h
18
积分学中值定理的几何意义
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
定积分的概念与性质
(2)取近似:取每个小区间的右端点i n
为ξi(
i=
1,2,…,n),
作乘积
f
(i )xi
( i )2 n
(3)求和:
n
i 1
f (i )xi
n i2 ()
i1 n
1 n
n i 1
i2 n3
Байду номын сангаас
1 n3
(12
22
n2)
=
1 n3
1 6
n(n
1)(2n
1)
1 6
(1
1 )(2 n
1 n
)
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
1
2e 4
2 ex2 xdx 2e2
0
证明：
函数在闭区间[0, 2]上的最大值为 e2
最小值为
1
e4
所以由积分估值定理可知
1
性质6(定积分估值定理) 设m, M 是f(x) 在区间 [a,b] 上最 小值和最大值,则
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
性质7(定积分中值定理) 如果函数f(x) 在闭区间 [a,b] 上 连续,则在 [a,b] 上至少存在一点ξ使
b
a f (x)dx f ( )(b a)
b
dx
b1 dx 高为1、底为b a的矩形面积=b a
a
a
a xdx 高为a、底为a的直角三角形面积= 1 a2
0
2
R R2 x2 dx 半径为R的上半圆面积= 1 R2
R
2
2 sin xdx （0 正负面积相消后的代数面积为0） 0
例1.1 用定积分的定义计算 1 x2dx 0
定积分的性质 课件
定积分的性质
一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化?
e 1
n n
1
1e n
n
1
n(1e n )
利用几何意义求定积分
例例22 用定积分的几何意义求01(1 x)dx .
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
(a<b).
•推论2
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
(a<b).
这是因为|f(x)|f(x)|f(x)|, 所以
ab|
f
(x)|dx
b
a
f
(x)dx
ab|
f
(x) | dx
,
即
|
b
a
f
(x)dx|
ab|
f
(x)|
dx
.
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
f(x) ———被积函数, i1
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
高等数学定积分定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
i 1 i
n
i
J2
2
2
.
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
前页 后页 返回
b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积，则 f g 在 [a , b] 上
c
b
注 若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
i xi ix i i x i . T T T
因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
b
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c b a
T T
T
T
前页 后页 返回
定积分的性质
3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
x 2
2 lim 3 f ( ) 6.
2.推广的积分第二中值定理
g (x)
定理 9.8 设 f (x) ，g (x) 和 f ( x) g ( x) 在 [a,b]可积，
xi 0,
n
max{x1 , x2 ,, xn }
b
f ( i ) x i 0, i 1
n
lim f ( i )xi f ( x )dx 0. a 0
i 1
例 1 比较积分值 0 e dx 和 0 xdx 的大小.
x
2
2
解
令 f ( x ) e x x,
x [2, 0]
b
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
n i 1
b
b
( k 为常数).
kf ( x )dx lim0 kf (i ) xi a T
lim k f (i )xi
T 0
b
n
k lim f (i ) xi
T 0 i 1
n
i1
k a f ( x )dx .
性质2 证
a [ f ( x ) g ( x )]dx a f ( x )dx a g ( x )dx .
§9.4
定积分的性质
一、基本性质 二、积分中值定理
一、基本性质
对定积分的补充规定:
（1）当a b 时， f ( x )dx 0 ；
a b
（2）当 a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
9-04-定积分的性质
解
1 f ( x) , 3 3 sin x
x [0, ],
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
0
1 1 1 dx dx dx, 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2] 上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6
0 1
1
2
o
1
2
x
性质5 (保号不等式) 如果在区间[a , b]上可积函数
f ( x ) 0 ，则 a f ( x )dx 0 .
f ( )
b
a
f ( x)dx
其数值等于在时间段 [a, b]内，物体以某个时 刻 的速率f() 作匀速直 线运动所走过的路程。
o
a
b x
例 6 设 f ( x ) 连续，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
在 0,1 上不可积 类似于Dirichlet 函数 . 但 f x 1, 所以 f x 在 0,1 上可积.
性质6（估值不等式）设 M 及m 分别是可积函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
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证 因 m f (x) M,
所以
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
例1 比较积分值 2 e xdx 和 2 xdx 的大小.
0
0
解
ex x, x [2,0]
于是
0
3 sin3 x dx
0
dx 3
故
4
0
3
1 s in3
dx x
3
性质5.7 (定积分中值定理)
如果函数 f ( x)在闭区间 [a,b]上连续,
则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点 ,
使得
b
f ( x)dx f ( )(b a).
a
积分中值公式
b
证 m(b a) a f ( x)dx M (b a),
O
a
•
面积 等于同一底边而高为 f ( )
b x 的一个矩形的面积.
b
1
aபைடு நூலகம்
b
a
f
( x)dx
称为函数
f
(x)在[a,
b]上的平均值.
思考题 lim n x sin 1 dx _______.
n n
x
思考题
求证
lim 4
n 0
sinnx sinn
x dx
0.
证
0 e xdx
0
xdx
2
2
2 e xdx
2
xdx.
0
0
例2
估计定积分
1 0 3 sin3 x dx
的值的范围.
解
设
f
(x)
3
1 s in3
x
,
x
[0,
].
0 sin3 x 1,
1 4
3
1 s in3
x
1 3
1
1
1
0
dx 4
当
x
0,
4
时,
| sinnx sinn x |
sin
n
1
n
4 2
0
4 sin nx sinn xdx
1
n
0
(n
)
0
2 4
由夹逼定理
lim
n
4
0
s in nx
s inn
xdx
0.
5.2 定积分的性质
说明: 在下面的性质中, 假设所涉及的函数都是
可积分的.
性质5.1
b
b
b
[ f ( x) g( x)]dx f ( x)dx g( x)dx.
a
a
a
性质5.2
b
b
kf ( x)dx k f ( x)dx,
(k为 常 数).
a
a
性质5.1和性质5.2称为定积分的线性性质
推论5.1 (定积分的保序性)
如果在区间[a, b] 上 f ( x) g( x),
则
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx. (a b)
推论5.2
b
b
f ( x)dx f ( x) dx. (a b)
a
a
证 Q f (x) f (x) f (x)
所以
则
b
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
a
b
c
b
a f ( x)dx c f ( x)dx
性质5.4
b
b
1 dx dx b a.
a
a
性质5.5 如果在区间 [a, b] 上 f ( x) 0,
b
则
a f ( x)dx 0. (a b)
b
b
b
f ( x) dx f ( x)dx f ( x) dx
a
a
a
即
b
b
a f ( x)dx a f ( x) dx.
性质5.6 (定积分的估值定理)
设M 及m 分别是函数 f ( x) 在区间[a, b]上
的最大值与最小值,
b
则
m(b a) a f ( x)dx M (b a).
1b
m b a a f ( x)dx M
由闭区间上连续函数的介值定理知, 在区间 [a,b]
上至少存在一个点 , 使得
f ( ) 1
b
f ( x)dx.
ba a
积分中值公式的几何解释：
y f ( ) •
y f (x)
在区间[a, b]上至少存在一点 ,
使得以区间[a, b]为底边,以曲线 y f ( x)为曲边的曲边梯形的
性质5.3 (积分区间的可加性) 设 a c b, 则
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
补充: 无论 a, b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a b c,
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx