第一章_周期结构解析

E | Rl 1E | RmE | Rl E | Rm
因此，平移群有N个不可约表示
N
n2 N
1
说明平移群的N个不可约表示都是一维的
E | a j 1(r ) ( E | a j r ) (r a j ) D( E | a j )(r )
( r ) 是一维表示的基函数。 D是表示一维矩阵，实际上是一个数。
Any lattice point in the array can be represented by the lattice vector
Rl l1 a1 l2 a 2 l3 a 3
l1, l2, l3 are arbitrary integers ，a1, a2, a3are the lattice primitive vectors（or fundamental translation vectors）
k3Biblioteka njbNj
j1 j
E
|
Rl
1
k
(r)
k
(r
Rl
)
ei
k •Rl ( r )
布洛赫定理
D定义的k可作为平移群不可约表示的标记。 以上方程可理解为平移算符的本征方程，exp(ik•Rl)是它的k个本征值。
进一步可得
[eik•( r Rl )k ( r Rl )] ei k • r ( r )
共有
N
个平移算符
E
|
Rl
组成平移群
波恩-卡门循环边界条件
(1)任意两次相继的平移仍为一平移；相继两次平移的效果与它们作用的先后次序无关。
(2)满足乘法结合律
(3)存在逆元素。
(4)存在恒等操作 E | 0
3. 布洛赫定理
对于N（N=N1N2N3）个元胞的晶体满足波恩-卡门条件时，具有平移对称性： 由于N阶平移群的每个元素本身自成一个共轭类
a2 a1
The primitive cells and vectors in a 2D lattice
Cell：The smallest unit in the lattice, which can serve as a building block
for the crystal structure.
D
N
j
(r)
E
|
N
j
aj
1
(r)
E
|
0(r )
(r)
j=1,2,3
D N j 1,
由此可得：
D exp(2i n j )
Nj
其中nj =0, 1, 2, …
E
|
Rl
1
(r)
(r
R)
(r
l1
a1
l2
a2
l3
a3
)
3
exp2i (l j n j / N j )(r )
j1
在倒逆空间中定义一个波矢
波恩-卡门循环边界条件在数学上表现为：
E | Niai E | Niai 1 E | 0
N-1 N 1 2
N-2
3
E
|
Rl
r
r
Rl
E
|
Rl
1
r
r
Rl
N-3
----平移算符
E |
Rl
f
(r)
f (E |
Rl
1
r)
f (r R)
对于元胞数为 N = N1N2N3 的晶体，
如果令
u(r) ei k •r(r )
可得 uk (r Rl ) uk (r)
是正点阵的周期函数
布洛赫函数 k (r ) uk (r ) exp( i k • r )
布洛赫函数是由晶体的平移对称性导出的，凡属周期性结构中的波函数都应 具有布洛赫函数的形式。
k的非唯一性问题
2 ij
2
0
(i j) (i j）
(i, j 1,2,3)
b1
2
(a2 a3 )
可求出： b2
2
(a3 a1 )
b3
2
(a1 a2 )
在倒点阵中任一格点的位置矢：K n n1 b1 n2b2 n3 b3 （ni为整数）
元胞的体积：* b1• (b2 b3 )
称为倒格矢。
布里渊区 相应的W-S元胞作为倒点阵的元胞：在此多面体边界上的任意一点可 由另一点加上一个倒格矢的平移达到。
当它的中心为原点时，W-S元胞所包含的区域称为第一布里渊区，用BZ表 示，又称简约区
倒点阵与正点阵的关系
* (2 )3
3
Kn • Rl 2 nili 2m
i
m为整数
BZ具有晶格点阵点群的全部对称性。
2. 平移对称性
点阵是格点在空间中的无限周期性重复排列； 点阵具有平移对称性，表现为将整体作任意正格矢的平移后，它将恢复原状； 即从空间任意一点出发，作任意正格矢的位移，必达到等效的点上
1．由a1, a2, a3组成的平行六面体is called as Primitive Cell。 2．Each cell contains only one lattice site。 3．The chose of the cell and primitive vector is not unique。
Chapter 1 Periodic Structure
1.Crystal Lattice and Reciprocal Lattice
The most important characteristics of Crystals: Periodic Array of Atoms（ions, Molecules)------Lattice
• 实际的晶体有界面，但体的尺寸比界面大107 ~108个数量级 因而，界面几乎不影响体的物理特性，与边界条件的选择无关。
波恩-卡门边界条件 严格讲，只有无限理想晶体才具有平移对称性； 实际晶体的尺寸比元胞大得多，表面效应并不重要；
• 边长为Na1, Na2, Na3 的有限晶体沿a1, a2, a3 三个方向首尾相接形成 循环边界条件。
a2 a1
二维六角点阵的魏格纳-赛茨元胞（W-S原胞）
立方体
截角八面体
棱十二面体
SC
BC
FC
简单立方（SC）、体心立方（BC）和面心立方点阵（FC）的W-S元胞
倒格矢 由于元激发的状态都是由波矢来描述的----引入波矢空间及响应的点阵，即倒点阵。
• 倒点阵的基矢是由晶格点阵的基矢定义的：
ai • bi
The cell’s volume:：
a1• (a2 a3)
Wigner-sietz cell（W-S cell）
它是由一个格点与最近邻格点（有时也包括次近邻格点）的连线中垂面 所围成的多面体，其中只包含一个结点。 它能更明显地反映点阵的对称性。 它具有所属点阵点群的全部对称性（旋转、反射、反演操作）。