李永乐线性代数知识结构图
李永乐.线性代数冲刺笔记(打印版)
【解】而由r(A)＝2知r(A*)＝1，所以通解由n－r(B)＝3－1＝2个解向量构成.
又|A|＝0，得A*A＝A A*＝|A|E＝0 A的列向量是A*x＝0解.
【解】由r(A)＝3知Ax＝0的通解由n－r(B)＝4－3＝1个解向量构成.从而
3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是Ax＝0的解，即[－1，0， 1，2]T
(α2＋2α3)－(α1＋α2)是Ax＝b的解，即[1，1， 1，1]T
从而，[1，1，1，1]T＋k[－1，0， 1，2]T是Ax＝b的通解，其中k为任意常数.
【分析】从AB＝0要得想到两方面的信息：(I) r(A)＋r(B)≤n(II)B的列向量均是Ax＝0的解.
}
【解】由AB＝0 r(A)＋r(B)≤3.
因为A≠0，B≠0知1≤r(A)≤2，1≤r(A)≤2
当k≠9时，r(B)＝2，从而r(A)＝1，此时极大无关组为α1.由AB＝0得
(k－9)α3＝0
（或用秩）
#
∵η1，η2，…，ηt线性无关，α是Ax＝b的解 α不能由η1，η2，…，ηt线性表出.
x1η1＋x2η2＋…＋xtηt＝α无解 r(η1，η2，…，ηt)≠r(η1，η2，…，ηt，α)
∵r(η1，η2，…，ηt)＝t r(η1，η2，…，ηT，α)＝t＋1
r(α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt)＝t＋1 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt线性无关.
由i知132230从而32112234????????????01320用观察法取另一个向量使得它与2310t线性无关即32112234???????????????11210所以bx的通解是5310tk12310tk21211t其中k1k2为任意常数
线性代数总复习PPT 很全!.ppt
x11 x22 xmm 0有非零解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
0非零解
xm
R1,2, ,m m m是向量个数
判别法 1
n个n元1,2 ,
,
线性
n
相关
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
n个n元1,2 ,
,
线性无关
n
1,2 ,
,n
0
r1,2 , ,n n
判别法 2
n阶方阵A可逆 A 0 A E
存在方阵B，使AB E,或BA E 秩 Ann n
A的行(列)向量组线性无关。 齐次线性方程组Ann X 0仅有零解 A的特征值全部 0
可逆矩阵的性质
设A,B都是n阶可逆矩阵，k是非零数，则
1
A1 1 A,
3 AB 1 B 1 A1
线性相关,则必可由1,2 ,
,
线性
m
表示，
并且表法惟一。
3、秩（A）= 列向量组的秩 = 行向量组的秩
定理
向量
可由1,2 ,
,
线性表示
m
x11 x22 xmm 有解
线性方程组1,2 ,
,m
x1
有解
xm
R1,2 , ,m R1,2 , ,m，
定理
向量组1,2 ,
,
线性相关
证明 设 x11 x22 x33 0
1.
即
x11 2 3 x21 2 x32 3 0
x1 x2 1 x1 x2 x3 2 x1 x3 3 0
因为1
,2
,3
线性无关,所以
x1 x1
x2 x2
x3
线代必备资料：线性代数知识框架(word版)
分块对角阵相乘： A
A11
B11 , B A22
*
B22 AB*
A B AB 11 11
A22 B22
A BA* 分块对角阵的伴随矩阵： B
√ 矩阵方程的解法( A 0 )：设法化成(I)AX B
1 , 2 , , s 线性无关； 1 , 2 , , s 都是 Ax 0 的解；
③ s n r ( A) 每个解向量中自由未知量的个数 .
5
√ 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一.
1 2 3 4 5
零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交. 单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关. 部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关. 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关. 两个向量线性相关 对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关 p教材114 . 向量组 1 , 2 , , n 中任一向量 i (1 ≤ i ≤ n) 都是此向量组的线性组合. 向量组 1 , 2 , , n 线性相关 向量组中至少有一个向量可由其余 n 1 个向量线性表示. 向量组 1 , 2 , , n 线性无关 向量组中每一个向量 i 都不能由其余 n 1 个向量线性表示.
T
CT Dห้องสมุดไป่ตู้
A1 A 分块矩阵的逆矩阵： B A1 A C O B O
1
1
1 B A1CB 1 B
B
A 1 A
1
1
B 1
A1 O A O 1 1 B C B B CA
线性代数思维导图全6页及其总结
注意例5.4
若一个矩阵能与对角矩阵相似，则称此矩阵可对 角化
将给定的一组基转化成正交基
将给定的一个向量组变 为单位正交的向量组 先用施密特正交法将其 正交化，再将其单位化
n阶方阵A与对角矩阵相似的充要条件：A的每个 特征值对应的线性无关的特征向量的最大个数等
于该特征值的重数
求齐次方程组的解空间W的正交 基，并将其扩充
变为B的相似变换矩阵
施密特正交法
若矩阵A与其转置矩阵的乘 积为单位矩阵，则称A为正 交矩阵，即A的逆矩阵与其
转置矩阵相等
实对称矩阵一定能与对角矩阵相似 （可对角化），并且相似变换矩阵
可取为正交矩阵
相似矩阵秩相同
相似矩阵行列式相等
相似矩阵都可逆或不可逆，当它们都可逆时，它 们的逆矩阵也相似
相似矩阵有相同的特征多项式， 从而特征值也相同
设向量组A是子空间V中的线性无关组，且V中任 意向量是向量组A的线性组合，则称A为子空间
的一组基
注意例4.23
子空间
求已知向量在某组基下 的坐标
例4.29
行列式行与列的地位是对称的，即对 行成立的性质对列也成立，矩阵则不
然
线性代 数
对角矩阵相乘（必须同阶）， 等于各位置元素直接相乘'
(A*B)的转置等于B的转置乘以A的转置，注意B 在前，顺序换了，该性质可以推广到多元
有无穷多组解的充要条件是rank(A)=rank(B)<n 有惟一解的充要条件是rank(A)=rank(B)=n
求特征向量 和特征值
注意A必须为方阵
设A为n阶方阵，X为n维非零向量，k为常数 若 AX=kX
则称X为A的特征向量，k为特征向量X对应的特 征值，矩阵A-kE称为A的特征矩阵 det(A-kE)=0称为特征方程
李永乐《考研数学复习全书基础篇》
再次，这本书的目录还注重前后和知识整合。在每个部分的开头部分，都会 有一个总体的知识框架图，帮助学生了解该部分所有知识点之间的关系。同时， 在每个章节的后面，都会设置一定数量的习题，帮助学生检验自己对本章知识的 掌握程度。这些习题不仅涵盖了各种题型，而且难度适中，既有对基础知识的考 察，也有对综合能力的考察，使得学生能够在复习过程中得到全面的锻炼。
这本书的目录还强调应用和实践。每个部分的最后都会设置一个或多个实际 应用案例，这些案例不仅涉及到各个章节的知识点，而且与实际生活密切相关。 例如在概率论与数理统计部分的设置了一个关于数据分析和预测的案例，这个案 例需要学生运用所学的概率论、随机变量和统计估计等知识进行分析和解答。这 样的目录设置不仅帮助学生巩固所学知识，而且提高了学生运用数学知识解决实 际问题的能力。
对于求解多元函数最值的方法，作者们总结出了极值点附近函数值的变化趋 势、无条件极值和条件极值等各种情况的方法和技巧，使考生们能够全面掌握求 解最值问题的能力。
在概率统计部分，作者们详细讲解了各种概率分布的性质、计算概率的方法 以及统计量的分布等知识。其中，对于古典概型、几何概型、条件概率、独立性 等概念的讲解非常透彻，并且例题丰富，非常有利于考生掌握概率统计知识。
内容摘要
在线性代数部分，本书从矩阵、行列式、向量、线性方程组等方面进行了详细的讲解，通过具体 的例题和练习题帮助考生理解和掌握线性代数的核心概念和方法。同时，本书还对线性代数的应 用进行了详细的介绍，如线性变换、特征向量、矩阵的对角化等。 在概率论与数理统计部分，本书详细讲解了随机事件、随机变量、概率分布、数理期望、方差、 协方差等基本概念和理论。通过大量的例题和练习题，帮助考生理解和掌握概率论与数理统计的 基本方法和应用。 《李永乐《考研数学复习全书基础篇》》是一本非常实用的数学参考书，对于准备考研的考生来 说是一本必备的参考书。这本书不仅全面系统地讲解了考研数学的基础知识，还通过大量的例题 和练习题帮助考生理解和掌握这些知识。如果大家正在准备考研数学，那么这本书是必读的。
(完整版)5月30日更新2015中创考研数学强化课程线性代数-李永乐1-4
科 目课 件 名 称代理如何进行学员信息采集-第一讲（内部培训）.exe代理的渠道经营和管理（内部培训）.exe2015中创考研思想政治指导-米鹏.wmv重命名2015中创考研英语指导课-赵敏.wmv重命名1小时30分2015中创考研英语权威复习指导-赵敏.wmv重命名2015中创考研政治全程复习规划-汪立轩(56分钟）2015中创考研思想政治指导课-徐之明.wmv重命名1小时2015中创英语全程规划-赵亮.wmv重命名1小时48分2015中创考研英语权威复习指导-陈正康2015中创教育考研英语权威复习指导-陈正康1小时09分.wmv重命名2015中创考研数学指导课-杨超.wmv重命名1小时18分2015中创考研（徐之明、米鹏、赵敏、陈正康、杨超）的讲座导学2015中创考研政治指导课程-徐之明（1小时38分）2015考研政治指导课_徐之明1小时37分钟（蓝背景高清版）2015中创考研英语权威复习指导—赵亮（1小时38分）中创版2015中创考研英语权威复习指导-陈仲凯（中创版）2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）3D版本2015中创考研英语权威复习指导—陈正康（54分钟）2015中创考研数学权威复习指导-杨超（1小时30分）声音优化版2015中创考研数学指导课-张宇2015中创考研英语权威复习指导-赵敏2015中创考研政治权威复习指导-米鹏中创2015考研专业院校选择-潘志恒2015中创考研政治复习规划-郑伟2015中创考研英语权威复习指导-赵亮2015中创考研英语高分复习指导课程-陈正康2015中创考研专业院校选择-潘志恒.wmv重命名2015中创考研专业院校选择-潘志恒(58分钟）.wmv重命名2015中创考研政治导学课程-郑伟2015中创考研数学复习指导-杨超2015中创考研数学复习指导2015中创考研英语导学2015考研政治导学课程-徐之明1-2讲高清版2015中创考研数学线性代数导学课程李永乐1-2讲中 创 教代理培训讲座专业院校选择导学班创 教 育办公电话9分。
[p4]李永乐知识结构图x.doc
![[p4]李永乐知识结构图x.doc](https://img.taocdn.com/s3/m/67c4437bed630b1c59eeb583.png)
1. 代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ijij ij M A A M ++=-=-副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)n n -⨯ -；拉普拉斯展开式：A O A C AB CB OB==、(1)m n CA OA AB B OB C==-范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；1. A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔nb R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；2. ②、111A O A O O B O B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（主对角分块）③、111O A O B B O A O ---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（副对角分块） ④、11111A C A A CB O B OB -----⎛⎫-⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；⑤、11111A O A O C B B CAB -----⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（拉普拉斯） 3. ①、0()mi n(,)m n r A m n ⨯≤≤；②、()()T r A r A =；③、若AB ，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ⨯矩阵，B 是n s ⨯矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）； Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+-；4. *()()1()10()1nr A n r A r A n r A n = ⎧⎪==-⎨⎪<-⎩；2. 施密特正交化：12(,,,)r a a a11b a =； 1222111[,][,]b a b a b b b =-121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b a b a b a b b b b b b b b b ----=----;情感语录1.爱情合适就好，不要委屈将就，只要随意，彼此之间不要太大压力2.时间会把最正确的人带到你身边，在此之前，你要做的，是好好的照顾自己3.女人的眼泪是最无用的液体，但你让女人流泪说明你很无用4.总有一天，你会遇上那个人，陪你看日出，直到你的人生落幕5.最美的感动是我以为人去楼空的时候你依然在6.我莫名其妙的地笑了，原来只因为想到了你7.会离开的都是废品，能抢走的都是垃圾8.其实你不知道，如果可以，我愿意把整颗心都刻满你的名字9.女人谁不愿意青春永驻，但我愿意用来换一个疼我的你10.我们和好吧，我想和你拌嘴吵架，想闹小脾气，想为了你哭鼻子，我想你了11.如此情深，却难以启齿。
线性代数思维导图全6页及其总结
第五章
若k为A的特征值，X为其对应的特征向量， 设有多项式f(x)=a0+a1x+...+am*x(m)次方， 则方阵f(A)=a0E+a1A+...+amA(m次方)的特
征值为f(k),X仍为其相应的特征向量
注意P的逆矩阵在前 A,B为n阶方阵，若存在n阶可逆矩阵P，使 P-1AP=B则称A与B相似，记作A~B，P被称为A
参见P95 例5.8
A为正交矩阵的充要条件是其列（行） 向量组是Rn中的单位正交基
若A为正交矩阵，则A的逆矩阵也为正交矩阵
若A,B为同阶正交矩阵，则AB也为正交矩阵
若A为正交矩阵，则 det(A)=+-1
实对称矩阵的特征值都是实数
实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量必定正 交
第一章
若矩阵A可逆，则其转置矩阵也可逆，若矩阵 A，B可逆，则两者乘积也可逆
对角矩阵的逆矩阵为其 对应位置的各数变成其
倒数
都是针对n阶方阵而言
如何求逆矩阵
第三章
对称矩阵：对称位置的元素相等 反对称矩阵：对称位置元素相反，主对角线上元
素全部为零
有一线性方程组，其系数矩阵为A，增广矩阵为 B，其有n条方程
| B)
有向量组A和向量组B
若B可由A线性表示，则 rank(B)小于等于rank(A)
齐次方程组的一个基础解系是由一组线性无关的 向量组成
注意这条例题的思想 相册内有清晰版
有n维向量组A，若它的一个部分向量组A1线性 无关，且A1与A等价，称A1是A的最大线性无关
组
第四章
先用行初等变换简化系数矩阵 得到同解方程组
将nX2n矩阵(A | E)进行一系 列行初等变换，直到变成( E | A-1)，即得方阵A的逆矩阵
李永乐矩阵的n次方公式
李永乐矩阵的n次方公式李永乐矩阵是线性代数中的一种特殊矩阵，它具有非常重要的应用价值。
对于李永乐矩阵的n 次方公式，我们可以按以下列表进行讨论：一、李永乐矩阵的基本概念李永乐矩阵是一个 n 阶矩阵，定义为：$$L_{i,j}=\begin{cases}i-j,\qquad i>j\\i+j-n,\ i\le j\end{cases}$$其中 $i,j$ 为矩阵下标，$n$ 是矩阵维数。
可以看出李永乐矩阵的主对角线是 $0$，上三角元素为正整数，下三角元素为负整数。
二、李永乐矩阵的特征值和特征向量通过计算可以得到李永乐矩阵的特征值和特征向量：- 特征值：$\lambda_k=-n+2k$，其中 $k\in[1,n]$。
- 特征向量：以 $\lambda_k$ 为特征值对应的特征向量为$\boldsymbol{v_k}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)$，其中 $a_i=\sin\frac{k\pi(i-1)}{n}$。
三、李永乐矩阵的 n 次方公式对于任意正整数 $n$，李永乐矩阵的 n 次方 $L^n$ 可以用以下公式计算得到：- 当 $n$ 为奇数时，$$L^n=\frac{1}{n}(L+L^3+\cdots+L^{n-2})+ \frac{1}{n}L^{n-1}$$- 当 $n$ 为偶数时，$$L^n=\frac{1}{2}\left(\frac{n}{2}L^2+\frac{n}{2}(L^2)^2+\cdots+\frac{n} {2}(L^2)^{\frac{n}{2}-1}\right)+\frac{1}{2}I$$其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
四、李永乐矩阵的应用李永乐矩阵是研究拓扑费米子体系的重要工具，可以用来描述拓扑质量指标，是拓扑物理中的重要研究内容之一。
此外，李永乐矩阵还广泛应用于量子多体物理、数值分析等领域。
综上所述，李永乐矩阵的 n 次方公式是线性代数中重要的计算公式之一，在多个领域都得到了广泛应用。
李永乐线性代数冲刺笔记(打印版)
1
(III)由 A 2 ＝β α1 －2α2 ＋α3－α4＝β， 1
1
那么 B＝[α3，α2，α1，β＋α4]＝[α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(B)＝4.
- 2 - / 11
从而 n－r(B)＝2.源自5因为[α3，α2，α1，α1 －2α2＋α3－α4] 3 ＝α1－3α2＋5α3 1
β＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
β＝(1－l1 －l2 －…－lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
- 1 - / 10
即 β 可由 α，α＋η1，α＋η2，…，α＋ηt 表出.
【评注】 本题考查向量小组的线性相关的证明和线性表出的证明.考查了方程组基础解系的
概念：
设有向量小组 η1，η2，…，ηt 满足： (1) Aηi ＝ 0（i =1，…，t），即 ηi 是 Ax ＝ 0 的解. (2) Ax ＝ 0 的任意一个解都可以由 η1，η2，…，ηt 表出. (3) η1，η2，…，ηt 线性无关. 那么称 η1，η2，…，ηt 为 Ax ＝ 0 的基础解系. 也就是说若 η1，η2，…，ηt 是 Ax ＝ 0 的基础解系，那么 η1，η2，…，ηt 必满足上
设 k0α＋k1 (α＋η1)＋k2(α＋η2)＋…＋ kT(α＋ηt)＝0
(1)
即 （k0＋k1＋k2＋…＋kT）α＋k1η1＋k2η2＋…＋kT ηt＝0
(2)
由 Aα＝b， Aηi＝0（i＝1，…，t），用 A 左乘（2），有
(k0＋k1＋k2＋…＋kt)Aα＋k1Aη1＋k2Aη2＋…＋ktAηt＝0
即 (k0 ＋k1＋k2 ＋…＋kt)b＝0
又 b≠0，有 k0＋k1＋k2＋…＋kT＝0
李永乐冲刺讲义
T
T
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2015 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
17.设 3 阶矩阵 A 有 3 个不同的特征值 1 , 2 , 3 ,对应的特征向量分别是 α1 , α2 , α3 ,记 β α1 α2 α3 . （I）证明： β 不是矩阵 A 的特征向量. （II）若 Aβ A3 β ，求 A 的特征值并求行列式 A 2 E 的值.
（I）求矩阵 A 的特征值，特征向量. （II）求二次型 x Ax 的表达式. （III）用正交变换把二次型 x T Ax 化为标准形并写出所用坐标变换.
T
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2015 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
21.已知 A 和 B 均是 n 阶正定矩阵，证明 AB 是正定矩阵的充分必要条件是 AB BA .
个极大线性无关组，并把其余向量用该极大线性无关组线性表出.
14. 已知 A 是 m n 矩阵，秩 r A n ， α1 , α2 , , αs 是 n 维列向量. 证明: α1 , α2 , , αs 线性无关的充分必要条件是 Aα1 , Aα2 , , Aαs 线性无关.
第 4 页，共 8 页
Ax b 解的结构： α k1η1 k 2 η2 kn r ηn r .
4.如何求特征值、特征向量. (1)定义法 Aα α, α 0 (2) E A 0 （或 A E 0 ） ， i E A x 0 (3)若 P 1 AP B . 由 Aα α B P 1α P 1α ；由 Bα α A Pα Pα . 5. A ~ Λ A 有 n 个线性无关的特征向量 k 重特征值必有 k 个线性无关的特征向量. 6.实对称矩阵有哪些定理，如何做题？ 7.如何用正交变换化二次型为标准形?
2013考研冲刺班线性代数辅导讲义-李永乐
线性代数考前练习
1.已知 α1,α2,α3,β1,β2 均为 4 维列向量，矩阵 A =（α1,α2,α3,β1） ，B =（α2,α1,α3,β2） ，若行列式|A|=1，|B|=2，则 |A－2B|= .
2.已知矩阵 A 的伴随矩阵 A
*
=
14.已知 A 是 3 阶矩阵， α1 是矩阵 A 属于特征值 1 的特征向量， α2 是齐次方程组 Ax 0 的解，向量 α3 满 足 Aα3 α1 α2 α3 . （Ⅰ）证明 α1 ， α2 ， α3 线性无关. （Ⅱ）求矩阵 A 所有的特征值和特征向量. （Ⅲ）判断 A 是否和对角矩阵相似，并说明理由.
T
2
2
2
18. A 和 B 均是 n 阶正定矩阵，证明 AB 是正定矩阵的充分必要条件是 AB BA .
第4页
共4页
0 0 2 8
0 0 0 4
0 1 0 0
1 0 ，则矩阵 A= 0 0
.
3.已知 A=
1 3 0 0
0 1 2 0
0 1 1 1 3 0 ，B= 2 2 2 ，矩阵 X 满足 AXA－ABA=XA－AB，则 X = 3 3 3 1 3
1 1 1 15.已知矩阵 A= 1 a 1只有 2 个线性无关的特征向量.求矩阵 A 的特征值与特征向量. 3 1 3
第3页
共4页
2013 考研数学冲刺班线性代数辅导讲义——李永乐
2 16.已知 α=(1,k,－2)T 是二次型 xTAx=a x12 +a x2 +k x32－2x1x3－2x2x3 矩阵 A 的特征向量.试用正交变换化二次型
李永乐线性代数考研复习资料。复习提纲+经典例题解答
因为：
是个公式，在等式右边n项中，
的因子，因此若等式左边行列式中 即可，即：
中都不包含 换成C1，只要在等式右边第一项换成
清华大学数学科学系 何坚勇 主讲 并提供文档资料
本节课程内容：
第一章:行列式(续) 5、可用逐行（列）相减方法来化简的行列式 有这样一类行列式，其相邻两行（或两列）之间有部分相 同的元素，而这些相同的元素集中在某个角上，（或左上 角或左下角，或右上角，或右下角），这样当用相邻两行 相减的方法所得到的零元素就集中在某个角上，便于将行 列式化为上、下三角形行列式。 例1.8
ABC Amber CHM Converter Trial version, /abcchm.html
清华大学考研辅导强化班课程 《线性代数》
清华大学数学科学系 何坚勇 主讲 并提供文档资料
例1.11
例1.12
思路：数字较大，直接计算麻烦。观察可知其第2列与第1 列相差不大，第3列与第2列的3倍相近。 例1.13
本题行列式中没有元素1，若直接化成上（下）三角形， 突岢鱿址质 虼讼冉 ?行的（－1）倍加到第1行，得 ½a11=－1，然后再化零。 （七）、利用行列式是一个多项式，可以分解因式的性质 来计算行列式。 若f(x)是x的一个多项式，显然当f(a)=0时，f(x)应有(x －a)的因式，如f(x)＝x2－5x+6,则f(2)＝0,f(3)=0，故f (x)＝K(x－2)(x－3)，再利用x=x0可求出K， 或用某个特定的xm项对比系数定出K。 例1.14
线代命题点思维导图
二次型的秩：矩阵A的秩
存在可逆矩阵C使得CT AC = B, 则A与B合同
基本概念
合同
合同具有传递性 合同矩阵不唯一 两个二次型矩阵合同，则正负惯性指数相同
向量组I :α1,,αs中所有向量都能由向量组II : β1,, βt 线性表出， 则称I 可由II 线性表出 ⇔ r(β1, β2 ,, βt ) = r(β1, β2 ,, βt ,α1,α2 ,,αs )
向量组等价：α1, ,αs 与β1,, βs 可相互线性表出
设α1,,αs 可由β1,, βs 线性表出, 则r(α1, ,αs ) ≤ r(β1,, βs )
余子式M 为划去aij 所在行和列， 剩下的元素按原来位置排列的行列式（是一个值）
余子式与代数余子式
代数余子式Aij = (−1)i+ j M ij
展开
化为上下三角行列式 递推法
数学归纳法 直接按某一行（列）展开
逐行（列）相加 把每一行（列）都加到第一行（列）
把第一行（列）的k倍加到第i行
具体型
行列式计算
非齐次线性方程组
矩阵形式
解的性质
非齐次方程组的两个解之差是对应齐次方程组的解 非齐次方程组的解加上任意一个对应的齐次方程组的解后任然是该非齐次方程的解
解的结构：非齐次方程组的解等于一个特解加上对应齐次方程组解的任意线性组合
1.对增广矩阵做行变换得到行阶梯矩阵/行最简据矩阵
计算方法
2.判断解的情况 3.求对应齐次方程组的基础解系
= a11a22a33ann
ann an1 an2 ann
拉普拉斯
A O
* B
=
A *
O B
=| A || B |
线性代数知识点框架及习题解读
线性代数知识点框架及习题解读注：本篇可看作《高等数学难点总结及习题解读》的姊妹篇呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版《线代》也就是忆心得，传爱心。
为更多的学弟学妹提供方便的姊妹篇，高数我还没有传完，这有点忙会尽快首先是知识框架：线性代数知识点框架（一）线性代数的学习切入点：线性方程组。
换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。
线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。
关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：（1）、方程组是否有解，即解的存在性问题；（2）、方程组如何求解，有多少个解；（3）、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。
高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：（1）、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；（2）、交换某两个方程的位置；（3）、用某个常数k乘以某个方程。
我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。
任意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。
由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。
对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过研究这张表，就可以判断解的情况。
我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。
可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。
系数矩阵和增广矩阵。
高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。
阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。
换言之，任意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。
阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。
对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结（有唯一解、无解、有无穷多解），再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解；在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r<n，则方程组有无穷多解。
最完整的线代基础知识点
最完整的线代基础知识点第1章行列式1.1 n阶行列式1.1.1 二阶、三阶行列式起源：发现规律了，继续～从上述推倒可以看出，行列式说白了就是对方程求解的简化过程。
后续的所有变换也都是基于此的。
了解到根源了，就不难理解了。
知识点：（所有的知识其实都是不成体系的，体系都是人为归纳的，其实知识就是一个一个的点而已）1.对角线法则这个法则只能用在二阶和三阶，高阶有另外的算法，后面会介绍到，耐心往下看吧。
以后看到二三阶可以直接用这个算哦。
2.行列式应用（克莱姆法则）法则啥的就是别人先发现了，就是一个规律。
不用理解，直接记住。
（因为本来就是一个现象）小技巧：再算d1d2d3的时候默念一下d1换1（列）d2换2（列）d3换3（列）。
1.1.2 排列既逆序数起源：逆序数为奇数，为奇排列，偶数为偶排列。
知识点：1.任一排列经过对换后，必改变其奇偶性。
2.所有n阶排列中，奇排列与偶排列个数相同，各有n！/2个。
1.1.3 n阶行列式知识点：1.计算方法前面说了，n阶有其他方法，这个就是其中之一不过比较笨重难算一点。
只要看懂这个式子，这节就ok啦，看不懂的可以评论问我。
2.对角行列式对角行列式等于其对角元素的连乘，再加上一个逆序数。
因为除了去取对角之外但凡取到其他位置上的0，就会让这项变成0。
上三角行列式和下三角行列式与对角行列式类似，不能取0。
好题：1.对行列式中数字的选取规则理解如果不用分块矩阵的话，直接从定义出发，三行用两个书，必有一行选不到非零数。
1.2 行列式的性质知识点：1.行列式与它的转置行列式相同，即行与列为完全等价的。
2.互换行列式的两行或两列，行列式值变号3.若行列式有两行或两列元素相同则其行列式的值为04.行列式的某一行中所有元素都乘以k，等于用k数乘行列式5.如果行列式中某一行的元素都为0，则其值为06.若行列式有两列或两行元素成比例，则其为07.若两个行列式除了一行外相同，则可以相合。
相同的行不变，不同的行相加。
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1.代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij
ij ij M A A M ++=−=−副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2(1)
n n −× −；拉普拉斯展开式：O C A A A B O C B B ==、(1)m n A A C O A B B B O C
==−i 范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；
2.
A 是n 阶可逆矩阵：⇔0A ≠（是非奇异矩阵）；⇔()r A n =（是满秩矩阵）⇔A 的行（列）向量组线性无关；⇔齐次方程组0Ax =有非零解；⇔n b R ∀∈，Ax b =总有唯一解；⇔A 与E 等价；⇔A 可表示成若干个初等矩阵的乘积；⇔A 的特征值全
不为0；⇔T A A 是正定矩阵；⇔A 的行（列）向量组是n R 的一组基；⇔A 是n R 中某两组基的过渡矩阵；
2.②、111O A A O O B O
B −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（主对角分块）③、111O A O B B O A O −−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；（副对角分块）④、11111A
C A A CB O B O B −−−−−⎛⎞−⎛⎞=⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠；⑤、11111A O A O C B B CA B −−−−−⎛⎞⎛⎞=⎜⎟⎜⎟−⎝⎠⎝⎠
；（拉普拉斯）3.①、0()min(,)m n r A m n ×≤≤；②、()()T r A r A =；③、若A B ∼，则()()r A r B =；④、若P 、Q 可逆，则()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max((),())(,)()()r A r B r A B r A r B ≤≤+；（※）⑥、()()()r A B r A r B +≤+；（※）⑦、()min((),())r AB r A r B ≤；（※）⑧、如果A 是m n ×矩阵，B 是n s ×矩阵，且0AB =，则：（※）Ⅰ、B 的列向量全部是齐次方程组0AX =解（转置运算后的结论）；
Ⅱ、()()r A r B n +≤⑨、若A 、B 均
为n 阶方阵，则()()()r AB r A r B n ≥+−；4.*()()1
()10()1
n r A n r A r A n r A n = ⎧⎪==−⎨⎪<−⎩；
3.施密特正交化：12(,,,)
r a a a ⋯11b a =；1222111[,][,]b a b a b b b =−i 121121112211[,][,][,][,][,][,]r r r r r r r r r b a b b a a b a b b b b b b b b b −−−−=−−−−i i ⋯i ;。