高中数学线性规划题型总结

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高中数学简单线性规划复习题及答案(最全面)

简单线性规划复习题及答案（1）1、设,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥-020202y x y x y x ，则22y x ++的最大值为 452、设变量,x y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥-≤-+030201825y x y x y x ，若直线20kx y -+=经过该可行域，则k 的最大值为答案：13、若实数x 、y ，满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥123400y x y x ，则13++=x y z 的取值范围是]7,43[．4、设y x z +=，其中y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+k y y x y x 0002，若z 的最大值为6，则z 的最小值为5、已知x 、y 满足以下条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22z x y =+的取值范围是 4[,13]56、已知实数,x y 满足约束条件1010310x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则22(1)(1)x y -+-的最小值为 127、已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为 58、表示如图中阴影部分所示平面区域的不等式组是⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤--≤-+0623063201232y x y x y x9、若曲线y ＝ x 2上存在点（x ，y ）满足约束条件20,220,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪>⎩，则实数m 的取值范围是 (,1)-∞10、已知实数y ,x 满足10103x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =+的最小值为－311、若,x y 满足约束条件10,0,40,x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y的最小值为 13. 12、已知110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩，则22(2)(1)x y ++-的最小值为＿＿＿10＿13、已知,x y 满足不等式0303x y x y x -≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则函数3z x y =+取得最大值是 1214、已知x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，则z ＝2x ＋4y 的最小值是－615、以原点为圆心的圆全部在区域⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤-+≥+-0943042063y x y x y x 内，则圆面积的最大值为 π51616、已知y x z k y x x y x z y x 42,0305,,+=⎪⎩⎪⎨⎧≥++≤≥+-且满足的最小值为－6，则常数k = 0 . 17、已知,x y 满足约束条件，03440x x y y ≥⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩则222x y x ++的最小值是 118、在平面直角坐标系中，不等式组0,0,,x y x y x a +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩（a 为常数），表示的平面区域的面积是8，则2x y +的最小值 14-19、已知集合22{(,)1}A x y x y =+=，{(,)2}B x y kx y =-≤，其中,x y R ∈.若A B ⊆，则实数k 的取值范围是⎡⎣20、若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为 12-21、若实数x ，y 满足不等式组201020x y x y a -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，目标函数2t x y =-的最大值为2，则实数a 的值是 222、已知点(,)P x y 满足条件020x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，若3z x y =+的最大值为8，则实数k = 6- .23、设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,03204202⎪⎩⎪⎨⎧≤->-+≤-- 23.24、已知实数y x , 22222)(y x y y x +++的取值范围为 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+221,35．简单线性规划复习题及答案（2）1、设实数x,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤--0205202y y x y x 则y x x y z +=的取值范围是 10[2,]3由于yx表示可行域内的点()x y ，与原点(00)，的连线的斜率，如图2，求出可行域的顶点坐标(31)(12)A B ，，，， (42)C ，，则11232OA OB OC k k k ===，，，可见123y x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，结合双勾函数的图象，得1023z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，2、若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩，且2z y x =-的最小值等于2-，则实数m 的值等于 1-3、设实数x 、y 满足26260,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则{}max 231,22z x y x y =+-++的取值范围是 [2,9]【解析】作出可行域如图，当平行直线系231x y z +-=在直线BC 与点A 间运动时，23122x y x y +-≥++，此时[]2315,9z x y =+-∈，平行直线线22x y Z ++=在点 O 与BC 之间运动时，23122x y x y +-≤++，此时，[]222,8z x y =++∈. ∴[]2,9z ∈图23 A yxOcB 634、佛山某家电企业要将刚刚生产的100台变频空调送往市内某商场，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供调配。

高中数学第三章简单的线性规划问题知识汇总素材北师大版必修5(1)

简单的线性规划问题
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y 的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证.
4. 两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率。

线性规划问题求解例题和知识点总结

线性规划问题求解例题和知识点总结线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。

在经济管理、交通运输、工农业生产等领域都有着广泛的应用。

下面我们通过一些具体的例题来深入理解线性规划问题，并对相关知识点进行总结。

一、线性规划的基本概念线性规划问题是在一组线性约束条件下，求一个线性目标函数的最大值或最小值的问题。

其数学模型一般可以表示为：目标函数：＄Z ＝ c_1x_1 ＋ c_2x_2 ＋＼cdots ＋ c_nx_n$约束条件：＄＼begin{cases}a_{11}x_1 ＋ a_{12}x_2 ＋＼cdots ＋a_{1n}x_n ＼leq b_1 ＼＼ a_{21}x_1 ＋ a_{22}x_2 ＋＼cdots ＋a_{2n}x_n ＼leq b_2 ＼＼＼cdots ＼＼ a_{m1}x_1 ＋ a_{m2}x_2 ＋＼cdots ＋ a_{mn}x_n ＼leq b_m ＼＼ x_1, x_2, ＼cdots, x_n ＼geq0\end{cases}＄其中，＄x_1, x_2, ＼cdots, x_n$是决策变量，＄c_1, c_2, ＼cdots, c_n$是目标函数的系数，＄a_{ij}＄是约束条件的系数，＄b_1, b_2, ＼cdots, b_m$是约束条件的右端项。

二、线性规划问题的求解方法常见的求解线性规划问题的方法有图解法和单纯形法。

1、图解法适用于只有两个决策变量的线性规划问题。

步骤如下：画出直角坐标系。

画出约束条件所对应的直线。

确定可行域（满足所有约束条件的区域）。

画出目标函数的等值线。

移动等值线，找出最优解。

例如，求解线性规划问题：目标函数：＄Z ＝ 2x ＋ 3y$约束条件：＄＼begin{cases}x ＋ 2y ＼leq 8 ＼＼ 2x ＋ y ＼leq 10 ＼＼ x ＼geq 0, y ＼geq 0\end{cases}＄首先，画出约束条件对应的直线：＄x ＋ 2y ＝ 8$，＄2x ＋ y ＝10$，以及$x ＝ 0$，＄y ＝ 0$。

高考数学热点问题专题练习——线性规划作图与求解知识归纳及典型例题分析

线性规划——作图与求解一、基础知识（1）线性约束条件：关于变量,x y 的一次不等式（或方程）组（2）可行解：满足线性约束条件的解(),x y（3）可行域：所有可行解组成的集合（4）目标函数：关于,x y 的函数解析式（5）最优解：是目标函数取得最大值或最小值的可行解2、如何在直角坐标系中作出可行域：（1）先作出围成可行域的直线，利用“两点唯一确定一条直线”可选取直线上的两个特殊点（比如坐标轴上的点），以便快速做出直线（2）如何判断满足不等式的区域位于直线的哪一侧：一条曲线（或直线）将平面分成若干区域，则在同一区域的点，所满足不等式的不等号方向相同，所以可用特殊值法，利用特殊点判断其是否符合不等式，如果符合，则该特殊点所在区域均符合该不等式，具体来说有以下三种情况：① 竖直线x a =或水平线y b =：可通过点的横（纵）坐标直接进行判断 ② 一般直线()0y kx b kb =+≠：可代入()0,0点进行判断，若符合不等式，则原点所在区域即为不等式表示区域，否则则为另一半区域。

例如：不等式230x y -+≤，代入()0,0符合不等式，则230x y -+≤所表示区域为直线230x y -+=的右下方③ 过原点的直线()0y kx k =≠：无法代入()0,0，可代入坐标轴上的特殊点予以解决，或者利用象限进行判断。

例如：y x ≤：直线y x =穿过一、三象限，二、四象限分居直线两侧。

考虑第四象限的点0,0x y ><，所以必有y x ≤，所以第四象限所在区域含在y x ≤表示的区域之中。

（3）在作可行域时要注意边界是否能够取到：对于约束条件(),0F x y >（或(),0F x y <）边界不能取值时，在图像中边界用虚线表示；对于约束条件(),0F x y ≥（或(),0F x y ≤）边界能取值时，在图像中边界用实线表示3、利用数形结合寻求最优解的一般步骤（1）根据约束条件，在平面直角坐标系中作出可行域所代表的区域（2）确定目标函数z 在式子中的几何意义，常见的几何意义有：（设,a b 为常数）① 线性表达式——与纵截距相关：例如z ax by =+，则有a z y x b b =-+，从而z 的取值与动直线的纵截距相关，要注意b 的符号，若0b >，则z 的最大值与纵截距最大值相关；若0b <，则z 的最大值与纵截距最小值相关。

高中数学_线性规划知识复习

高中必修5线性规划最快的方法简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数: Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:约束条件所表示的平面区域称为可行域.3. 整点:坐标为整数的点叫做整点．4.线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．5. 整数线性规划:要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3. 平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：一． 1.点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=02. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C<03. 点P(x0,y0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax0+By0+C<0;当B<0时，Ax0+By0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）(Ax2+By2+C)>02.点P(x1,y1)和点Q(x2,y2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）( Ax2+By2+C)<0二.二元一次不等式表示平面区域:①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不．包括边界;②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

高中数学必修5：简单的线性规划问题知识点及经典例题(含答案)

简单的线性规划问题【知识概述】线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题.解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题；2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节（1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）；（2）求目标函数的最值.（3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型：①0b>时，截距最大（小），z的值最大（小）；②0b>时，截距最大（小），z的值最小（大）；【学前诊断】1.[难度] 易满足线性约束条件23,23,0,x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y=+的最大值是（）A.1B.32C.2D.32.[难度] 易设变量,x y满足约束条件0,0,220,xx yx y≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则32z x y=-的最大值为( )A.0B.2C.4D.63. [难度] 中设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取值范围为（）A．(1,1 B．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞【经典例题】例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A.5B.4C.1D.8例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪--≤⎩则2z x y =-的最大值为( )A.4B.3C.2D.1例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小值为8，则a b +的最小值为____________.例4. 在约束条件下0,0,,24,x y x y s x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )A.[]6,15B.[]7,15 C.[]6,8 D.[]7,8例5. 设不等式组1230x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所表示平面区域是1,Ω平面区域2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称，对于1Ω中任意一点A 与2Ω中的任意一点B ，AB 的最小值等于（）A.285B.4C.125D.2例6．对于实数,x y ，若11,21,x y -≤-≤则21x y -+的最大值为_________.例7．在约束条件22240x y x y +++≤下，函数32z x y =+的最大值是___________.例8. 已知函数2()2(,)f x x ax b a b =++∈R ，且函数()y f x =在区间()0,1与()1,2内各有一个零点，则22(3)z a b =++的取值范围是（）.A.2⎫⎪⎪⎝⎭B.1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C.()1,2D.()1,4 例9. 奇函数()f x 在R 上是减函数，若,s t 满足不等式22(2)(2)f s s f t t -≤--，则当14s ≤≤时，t s的取值范围是（）. A.1,14⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.1,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C.1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦例10. 某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品，由乙车间加工出B 产品.车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品，每千克 A 产品获利40元.乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品，每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70多箱原料的加工，每天甲、乙车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（A ）甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱（B ）甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱（C ）甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱（D ）甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱【本课总结】线性规划是不等式和直线与方程的综合应用，是数形结合的和谐载体，也是高考中的重要考点，近几年的高考题中考查的频率较高，一般以考查基本知识和方法为主，属于基础类题，难度一般不高.1. 解决线性规划问题有一定的程序性：第一步：确定由二元一次不等式表示的平面区域；第二步：令z=0画直线0:0l ax by +=；第三步：平移直线0l 寻找使直线a z y x b b=-+截距取最值（最大或最小）的位置（最优解）.第四步：将最优解坐标代入线性目标函数z ax by =+求出最值2. 解决线性规划问题要特别关注线性目标函数z ax by =+中b 的符号，若b ＞0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最大（小）值，若b <0，则使函数a z y x b b=-+的截距取最大（小）值的点，可使目标函数z ax by =+取最小（大）值， b <0的情况是很多同学容易出现的盲点.3. 线性规划问题要重视数形结合思想的运用，善于将代数问题和几何问题相互转化，由线性规划问题引申的其它数形结合题目也要灵活掌握，如：将平面区域条件引申为：22240x y x y +++≤表示圆面等，将目标函数引申为：2224z x y x y =+++表示动点到定点的距离的最值问题；21y z x +=-表示动点与定点连线的斜率的最值问题等. 4. 线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则一般在区域顶点处取得最大或最小值5. 线性规划中易错点提示（1）忽视平面区域是否包括边界.一般最优解都处于平面区域的边界顶点处，若平面区域不包含边界，则可能不存在最值.（2）忽视对线性目标函数z ax by =+中b 的符号的区分.（3）代数问题向其几何意义的转化困难.【活学活用】1. [难度] 中若不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≥≤+≥-ay x y y x y x 0220表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（） A.4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B.(]0,1 C.41,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.(]40,1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2. [难度] 中设变量x y ，满足约束条件1133x y x y x y ⎧--⎪+⎨⎪-<⎩，，．≥≥则目标函数4z x y =+的最大值为（） A ．4B ．11C ．12D ．143. [难度] 中已知变量x 、y 满足约束条件 20,1,70,x y y x x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩则的取值范围是（） A ．9,65⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．9,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦∪[)6,+∞ C ．(],3-∞∪[)6,+∞ D ．[3，6]。

(2021年整理)高中数学线性规划题型总结

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高考线性规划归类解析一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 32+=的最大值为。

解析：如图1,画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A （3，4)处，目标函数z 最大值为18 点评：本题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .22x y +表解析:如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而示可行域内一点到原点的距离的平方.由图易知A （1，2)是满足条件的最优解.22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式,考查目标函数最值范围问题。

例3、在约束条件024x y y x s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）A.[6,15] B 。

[7,15] C. [6,8] D 。

[7,8]解析:画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值，即max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈；当45s ≤≤时，目标函数32z x y =+在点(0,4)E 处取得最大值，即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈，从而选D ；点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键.四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

线性规划常见题型及解法例析

品有直接限制因素的是资金和劳动力,通过调查,得
到这两种产品的有关数据如表２．
资金
成本
劳动力(工资)
单位利润
单位产品所需资金/百元
月资金供应
电子琴(架) 洗衣机(台)
量/百元
３０
２０
６
８
５
１０
３００
１１０
试问:怎样确定这两种产品的月供应量,才能使
故选:
B．
思路与方法:本题运用数形结合思想,采用了图
组作出可行域,如图３所示．
由
图３可知,△ABC 的面积即为
所求．
易得
S梯形OMBC ＝
１
×(
２＋３)×２＝５,
２
图３
１
S梯形OMAC ＝ × (
１＋３)×２＝４．
２
所以 S△ABC ＝S梯形OMBC －S梯形OMAC ＝５－４＝１．
思路与方法:本题中的可行域是三角形,而这个
不规则的三角形面积很难直接求解,于是将它看作梯
解法求最值,先在平面直角坐标系中画出可行域,然
形 OMBC 的一部分,利用梯形 OMBC 与梯形 OMAC
后平行移动直线 z＝３x＋４y 即可求出最大值．
ï
,
且当
b≥０
b为
íy≥０, 时,恒有ax＋by≤１,求以a,
ï
îx＋y≤１
坐标的点 P (
a,
b)所构成的平面区域的面积．
解析:设 z＝ax ＋by,根据题意可知,想要 ax ＋

高考数学线性规划题型总结

高考数学线性规划题型总结文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]线性规划常见题型及解法一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题。

数形结合是数学思想的重要手段之一。

习题1、若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则z=x+2y 的取值范围是（）A 、[2,6]B 、[2,5]C 、[3,6]D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩则22x y +的最小值是 .22x y +解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而表示可行域内一点到原点的距离的平方。

由图易知A （1，2）是满足条件的最优解。

22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。

求解关键是在挖掘目标关系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

习题2、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（） A 、13，1 B 、13，2C 、13，45D 、13，25图2x y O22 x=2y =2 x + y =2BA2x + y - 2= 0x – 2y + 4 = 0 3x – y – 3 = 0OyxA解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为45，选C 练习2、已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥≥≤-+0320,1052y x y x y x ，则x y 的最大值为___________，最小值为____________． 2，0三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题例3、在平面直角坐标系中，不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2 解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域是一个三角形。

高考数学线性规划常见题型及解法[1]

高考数学线性规划常见题型与解法线性规划问题是高考的重点，也是常考题型，属于中等偏简单题，易得分，高考中要求会从实际问题中建立一格二元线性规划的模型，使实际问题得到解决。

现就常见题型与解决方法总结如下：一、求线性目标函数的最值；例题：(2012年广东文5)已知变量,x y 满足条件1110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为 A.3 .1 C5 6解析:利用线性规划知识求解。

可行域如图阴影所示，先画出直线01:2l y x =-，平移直线0l ,当直线过点A 时，2z x y =+的值最小，得110,x x y =-⎧⎨--=⎩12,x y =-⎧⎨=-⎩min (1,2),12(2)5A z ∴--∴=-+⨯-=- 探究提高：本题主要考查线性规划求最值,同时考查学生的作图能力，数形结合思想与运算求解能力，难度适中。

二、求目标函数的取值范围；例题：(2012山东文6)设变量,x y 满足约束条件2224,41x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是解析：作出不等式组表示的区域，如图阴影部分所示，作直线30x y -=，并向上、向下平移，由图可得，当直线过点C 时，目标函数取得最大值，当直线过点A 是，目标函数取得最小值，由210,(2,0)240x y A x y ++=⎧⎨+-=⎩得;由4101,(,3)2402x y x y -+=⎧⎨+-=⎩得B 探究提高：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条条件，取得目标函数的最大（小）值，进一步确定取值范围三、求约束条件中参数的取值；例题：(2012福建文10)若直线2x y =上存在点(,)x y 满足条件-30-2-30,x y x y x m +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩则实数m 的最大值为（）解析：在同一直角坐标系中函数2x y =的图像与30230x y x y +-≤⎧⎨--≤⎩，所表示的平面区域图阴影部分所示。

高考线性规划必考题型非常全)

线性规划专题一、命题规律讲解1、求线性（非线性）目标函数最值题2、求可行域的面积题3、求目标函数中参数取值范围题4、求约束条件中参数取值范围题5、利用线性规划解答应用题一、线性约束条件下线性函数的最值问题线性约束条件下线性函数的最值问题即简单线性规划问题，它的线性约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域就是线性约束条件中不等式所对应的方程所表示的直线所围成的区域，区域内的各点的点坐标(),x y 即简单线性规划的可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即简单线性规划的最优解。

例1 已知4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，2z x y =+，求z 的最大值和最小值例2已知,x y 满足124126x y x y x y +=⎧⎪+≥⎨⎪-≥-⎩，求z=5x y -的最大值和最小值二、非线性约束条件下线性函数的最值问题高中数学中的最值问题很多可以转化为非线性约束条件下线性函数的最值问题。

它们的约束条件是一个二元不等式组，目标函数是一个二元一次函数，可行域是直线或曲线所围成的图形（或一条曲线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。

例3 已知,x y 满足，224x y +=，求32x y +的最大值和最小值例4 求函数4y x x=+[]()1,5x ∈的最大值和最小值。

三、线性约束条件下非线性函数的最值问题这类问题也是高中数学中常见的问题，它也可以用线性规划的思想来进行解决。

它的约束条件是一个二元一次不等式组，目标函数是一个二元函数，可行域是直线所围成的图形（或一条线段），区域内的各点的点坐标(),x y 即可行解，在可行解中的使得目标函数取得最大值和最小值的点的坐标(),x y 即最优解。

例5 已知实数,x y 满足不等式组10101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，求22448x y x y +--+的最小值。

高中数学线性规划练习题及讲解

高中数学线性规划练习题及讲解线性规划是高中数学中的一个重要概念，它涉及到资源的最优分配问题。

以下是一些线性规划的练习题，以及对这些题目的简要讲解。

### 练习题1：资源分配问题某工厂生产两种产品A和B，每生产一件产品A需要3小时的机器时间和2小时的人工时间，每生产一件产品B需要2小时的机器时间和4小时的人工时间。

工厂每天有机器时间100小时和人工时间80小时。

如果产品A的利润是每件50元，产品B的利润是每件80元，工厂应该如何安排生产以获得最大利润？### 解题思路：1. 首先，确定目标函数，即利润最大化。

设生产产品A的数量为x，产品B的数量为y。

2. 目标函数为：$ P = 50x + 80y $。

3. 根据资源限制，列出约束条件：- 机器时间：$ 3x + 2y \leq 100 $- 人工时间：$ 2x + 4y \leq 80 $- 非负条件：$ x \geq 0, y \geq 0 $4. 画出可行域，找到可行域的顶点。

5. 计算每个顶点的目标函数值，选择最大的一个。

### 练习题2：成本最小化问题一家公司需要生产两种产品，产品1和产品2。

产品1的原材料成本是每单位10元，产品2的原材料成本是每单位15元。

公司每月有原材料预算3000元。

如果公司希望生产的产品总价值达到最大，应该如何分配生产？### 解题思路：1. 设产品1生产x单位，产品2生产y单位。

2. 目标函数为产品总价值最大化，但题目要求成本最小化，所以实际上是求成本最小化条件下的产品组合。

3. 约束条件为原材料成本：$ 10x + 15y \leq 3000 $4. 非负条件：$ x \geq 0, y \geq 0 $5. 画出可行域，找到顶点。

6. 根据实际情况，可能需要考虑产品1和产品2的市场价格，以确定最大价值。

### 练习题3：运输问题一个农场有三种作物A、B和C，需要运输到三个市场X、Y和Z。

(word完整版)高中线性规划知识点及最新高考真题,推荐文档

高中必修5线性规划简单的线性规划问题一、知识梳理1. 目标函数：P =2x + y是一个含有两个变量x和y的函数，称为目标函数.2. 可行域：约束条件所表示的平面区域称为可行域•3. 整点：坐标为整数的点叫做整点.4. 线性规划问题：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题•只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决.5. 整数线性规划：要求量取整数的线性规划称为整数线性规划.二、疑难知识导析1. 对于不含边界的区域，要将边界画成虚线.2. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域.若直线不过原点，通常选择原点代入检验.3. 平移直线y=—k x +P时，直线必须经过可行域.4. 对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点.5. 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.积储知识：2* （2015•马軼山一模）设变壘X, y满足约束条件I < F则z=x-3y的罠小值（扎-2 S. ~4C+ -5 D. -8rj-v>03. （2015 -Lil东）已知筈，y满足约朿条件\ x-y<2，若沪立+y的最犬値为4,则沪］［炖A B3 Ei 2 C* ~ 2 D«—314x-H5j>S4* 东）若变重壯y炳足釣束条件3 l<x<J ,则沪睑+刘的最"卜信为（）乱年 C. 6 D.A. 42xp 三 IDx-2y<l4f 则克苧的最大值育()百x+j-4<01 H!lz-^2x+y 的最大值是（）绘1内・一1B ・一2C+ -5D ・1(C, 12D . ia。

高中数学必修5常考题型：简单的线性规划问题精编版

简单的线性规划问题【知识梳理】线性规划的有关概念题型一、求线性目标函数的最值【例1】设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－32，6 B.⎣⎡⎦⎤－32，－1 C ．[－1,6]D ．⎣⎡⎦⎤－6，32 [解析] 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1所表示的平面区域如图阴影部分，直线y ＝3x －z 斜率为3.由图象知当直线y ＝3x －z 经过A (2,0)时，z 取最大值6，当直线y ＝3x －z 经过B ⎝⎛⎭⎫12，3时，z 取最小值－32，∴z ＝3x －y 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－32，6，故选A. [答案] A 【类题通法】解线性规划问题的关键是准确地作出可行域，正确理解z 的几何意义，对一个封闭图形而言，最优解一般在可行域的边界上取得．在解题中也可由此快速找到最大值点或最小值点．【对点训练】1．设z ＝2x ＋y ，变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ≤－3，3x ＋5y ≤25，x ≥1，求z 的最大值和最小值．[解] 作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把z ＝2x ＋y 变形为y ＝－2x ＋z ，则得到斜率为－2，在y 轴上的截距为z ，且随z 变化的一组平行直线．由图可以看出，当直线z ＝2x ＋y 经过可行域上的点A 时，截距z 最大，经过点B 时，截距z 最小．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，得A 点坐标为(5,2)，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，得B 点坐标为(1,1)，∴z 最大值＝2×5＋2＝12，z 最小值＝2×1＋1＝3.题型二、求非线性目标函数的最值【例2】设x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值与最小值； (2)求v ＝yx －5的最大值与最小值．[解] 画出满足条件的可行域如图所示，(1)x 2＋y 2＝u 表示一组同心圆(圆心为原点O )，且对同一圆上的点x 2＋y 2的值都相等，由图可知：当(x ，y )在可行域内取值时，当且仅当圆O 过C 点时，u 最大，过(0,0)时，u 最小．又C (3,8)，所以u 最大值＝73，u 最小值＝0.(2)v ＝yx －5表示可行域内的点P (x ，y )到定点D (5,0)的斜率，由图可知，k BD 最大，k CD 最小，又C (3,8)，B (3，－3)，所以v 最大值＝－33－5＝32，v 最小值＝83－5＝－4.【类题通法】非线性目标函数最值问题的求解方法(1)非线性目标函数最值问题，要充分理解非线性目标函数的几何意义，诸如两点间的距离(或平方)，点到直线的距离，过已知两点的直线斜率等，充分利用数形结合知识解题，能起到事半功倍的效果．(2)常见代数式的几何意义主要有： ①x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0,0)的距离；(x －a )2＋(y －b )2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．②yx 表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －b x －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．【对点训练】2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0.则yx的最大值是________，最小值是________．[解析] 由约束条件作出可行域(如图所示)，目标函数z ＝yx 表示坐标(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率．由图可知，点C 与O 连线斜率最大；B 与O 连线斜率最小，又B 点坐标为(52，92)，C 点坐标为(1,6)，所以k OB＝95，k OC ＝6. 故y x 的最大值为6，最小值为95. [答案] 6 95题型三、已知目标函数的最值求参数【例3】若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，y －1≤0，x ＋2y －a ≥0，目标函数t ＝x －2y 的最大值为2，则实数a 的值是________． [解析] 如右图，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋2y －a ＝0. 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝a －22，代入x －2y ＝2中，解得a ＝2. [答案] 2 【类题通法】求约束条件或目标函数中的参数的取值范围问题解答此类问题必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想、方法求解．同时要搞清目标函数的几何意义．【对点训练】3．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ＋k ≥0.且z ＝2x ＋4y 的最小值为－6，则常数k ＝( )A ．2B ．9C ．310D ．0[解析] 选D 由题意知，当直线z ＝2x ＋4y 经过直线x ＝3与x ＋y ＋k ＝0的交点(3，－3－k )时，z 最小，所以－6＝2×3＋4×(－3－k )，解得k ＝0.题型四、简单的线性规划问题的实际应用【例4】某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？[解] 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x 分钟和y 分钟，总收益为z 元，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，500x ＋200y ≤90 000，x ≥0，y ≥0.目标函数为z ＝3 000x ＋2 000y .二元一次不等式组等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤300，5x ＋2y ≤900，x ≥0，y ≥0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图．作直线l ：3 000x ＋2 000y ＝0，即3x ＋2y ＝0.平移直线l ，从图中可知，当直线l 过M 点时，目标函数取得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝300，5x ＋2y ＝900，解得x ＝100，y ＝200.∴点M 的坐标为(100,200)．∴z 最大值＝3 000x ＋2 000y ＝700 000(元)．因此，该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元．【类题通法】利用线性规划解决实际问题的步骤是：①设出未知数(当数据较多时，可以列表格来分析数据)；②列出约束条件，确立目标函数；③作出可行域；④利用图解法求出最优解；⑤得出结论．【对点训练】4．铁矿石A 和B 的含铁率a ，冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO 2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________(百万元)．解析：可设需购买A 矿石x 万吨，B 矿石y 万吨，则根据题意得到约束条件为：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，0.5x ＋0.7y ≥1.9，x ＋0.5y ≤2，目标函数为z ＝3x ＋6y ，当目标函数经过(1,2)点时目标函数取最小值，最小值为：z 最小值＝3×1＋6×2＝15.答案：15【练习反馈】1．z ＝x －y 在⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ＋y ≤1的线性约束条件下，取得最大值的可行解为( )A ．(0,1)B ．(－1，－1)C ．(1,0)D ．⎝⎛⎭⎫12，12解析：选C 可以验证这四个点均是可行解，当x ＝0，y ＝1时，z ＝－1；当x ＝－1，y ＝－1时，z ＝0；当x ＝1，y ＝0时，z ＝1；当x ＝12，y ＝12时，z ＝0.排除选项A ，B ，D ，故选C.2．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ＋1≥0，则z ＝x ＋2y 的最小值为( )A ．3B ．1C ．－5D ．－6解析：选C 由约束条件作出可行域如图：由z ＝x ＋2y 得y ＝－12x ＋z 2，z2的几何意义为直线在y 轴上的截距，当直线y ＝－12x ＋z2过直线x ＝－1和x －y ＝1的交点A (－1，－2)时，z 最小，最小值为－5，故选C.3.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，y ≥－2x ，x ≤3，则目标函数z ＝x －2y 的最小值是________．解析：不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示．目标函数可化为y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 及其平行线，知当此直线经过点A 时，－12z 的值最大，即z 的值最小．又A 点坐标为(3,6)，所以z 的最小值为3－2×6＝－9.答案：－94．已知点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，点O 为坐标原点，那么|PO |的最小值等于________，最大值等于________．解析：点P (x ，y )满足的可行域为△ABC 区域，A (1,1)，C (1,3)．由图可得，|PO |最小值＝|AO |＝2；|PO |最大值＝|CO |＝10.答案：2105．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3，求z ＝x ＋2y 的最小值．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥32x －3y ≤3的可行域，如图所示．画出直线l 0：x ＋2y ＝0，平移直线l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内某点，且可行域内其他点都在l 的不包含直线l 0的另外一侧，该点到直线l 0的距离最小，则这一点使z ＝x ＋2y 取最小值．显然，点A 满足上述条件，解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝32x －3y ＝3得点A ⎝⎛⎭⎫125，35， ∴z 最小值＝125＋2×35＝185.。

高中简单线性规划基础题型总结

高中简单线性规划基础题型总结熊明军简单线性规划属于操作性知识，是高考必考知识点，历年不变，必有一选择或填空题。

下面结合例题，总结高中简单线性规划问题的基础题型，方便同学们快速掌握相关内容。

线性规划问题的基础题型，可根据目标函数的特点，将其分为三类：类型一（直线）：by ax z +=【理论】点到直线的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出直线by ax +=0；③判断可行域顶点到直线by ax +=0的距离：()max max ,z y x P d ⇒⇒和()min min ,'z y x P d ⇒⇒【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求y x z 2-=的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出直线y x 20-=：③判断直线y x 20-=到可行域顶点C B A 、、间的距离：平移、目测或代点都能判断，得()()11231,3,max max =⨯-=⇒⇒=z B l B d d ；()()119279,7,min min -=⨯-=⇒⇒=z C l C d d 。

类型二（圆）：()()22b y a x z -+-= 【理论】两点之间的距离。

【步骤】①作出可行域；②作出圆()()222b y a x d -+-=；③判断可行域上的点到圆心()b a ,的距离（即半径r ）：()max max max ,z y x P d r ⇒⇒=和()min min min ,'z y x P d r ⇒⇒=【例题】已知y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-+≥+-0520402y x y x y x ，求()()2211-+-=y x z 的最值。

【解析】分三步走：①作出可行域：②作出圆()()22211-+-=y x d ：r d =且半径r 由小到大逐渐作圆。

③判断圆心()1,1到可行域上点间的距离，也就是与可行域有交点的圆中半径r 的大小：目测或用圆规作圆都能判断，得()()()()10019179,7,22max max max =-+-=⇒⇒==z C D C d d r ；()()211411,2222min min min min =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+==⇒==d z l D d d r AB . 类型三（斜率）：m n x a b y m a m n x m a b y a n mx b ay z --⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--= 【理论】两点确定的直线的斜率。

高三数学线性规划知识点

高三数学线性规划知识点线性规划是数学中的一个重要分支，广泛应用于经济、管理、工程等领域。

它通过建立数学模型，寻找一组最佳决策方案，以实现特定的目标。

在高三数学学习中，线性规划是一个重要的知识点，本文将介绍线性规划的基本概念、常见问题类型以及解题方法。

一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是在一组约束条件下，最大化或最小化一个线性函数，这个线性函数就是目标函数。

通常用Z表示目标函数的值。

2. 变量：目标函数中的每个变量都代表一个决策变量，这些变量的取值将影响目标函数的计算结果。

3. 约束条件：线性规划的一个重要特点是存在一组约束条件，这些约束条件限制了决策变量的取值范围。

约束条件通常是由一组线性不等式或等式表示。

4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。

5. 最优解：在所有可行解中，使得目标函数达到最大值或最小值的解称为最优解。

二、线性规划的问题类型1. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法。

它通过不断优化目标函数的值，逐步接近最优解。

单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。

2. 对偶性定理：线性规划中的对偶性定理是指对于一个标准型的线性规划问题，它与其对偶问题具有相同的最优解。

3. 整数线性规划：当决策变量要求为整数时，这就是一个整数线性规划问题。

整数线性规划的求解更加困难，常常需要借助于分支定界等特殊算法。

4. 网络流线性规划：网络流线性规划是线性规划与图论相结合的一种问题类型。

它通常用于解决最小费用流、最大流等网络优化问题。

三、线性规划的解题方法1. 图形法：对于二维线性规划问题，可以使用图形法进行求解。

首先绘制出约束条件所构成的区域，然后绘制目标函数的等高线，并找到最优解所在的点。

2. 单纯形法：对于高维的线性规划问题，可以使用单纯形法进行求解。

单纯形法通过迭代计算一系列基础可行解，直到找到最优解为止。

3. 对偶问题：通过建立原始问题与对偶问题之间的关系，可以将原始问题的求解转化为对偶问题的求解。

线性规划的常见题型及其解法学生版题型全面归纳好

课题线性规划旳常见题型及其解法题目线性规划问题是高考旳重点，而线性规划问题具有代数和几何旳双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题旳解答变得愈加新奇别致．归纳起来常见旳命题探究角度有： 1．求线性目旳函数旳最值． 2．求非线性目旳函数旳最值． 3．求线性规划中旳参数． 4．线性规划旳实际应用．本节重要讲解线性规划旳常见基础类题型．【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目旳函数z ＝2x ＋3y 旳取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 旳最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 旳取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 旳取值范围．角度一：求线性目旳函数旳最值1．(·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 旳最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．22．(·高考天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目旳函数z ＝x ＋6y 旳最大值为( )A ．3B ．4C ．18D ．403．(·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成旳封闭区域，则2x －y 旳最小值为( ) A ．－6 B ．－2 C ．0D ．2角度二：求非线性目旳旳最值4．(·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所示旳区域上一动点，则直线OM 斜率旳最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－125．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1旳取值范围． 6．(·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2旳取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]7．(·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所示旳平面区域，区域D 上旳点与点(1,0)之间旳距离旳最小值为________．8．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x所示旳平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1有关直线3x －4y －9＝0对称．对于Ω1中旳任意点A 与Ω2中旳任意点B ，|AB |旳最小值等于( )A ．285B ．4C ．125D ．2角度三：求线性规划中旳参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所示旳平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等旳两部分，则k 旳值是( )A ．73B ．37C ．43D ．3410．(·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 旳最小值为－4，则k 旳值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－1211．(·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 获得最大值旳最优解不唯一，则实数a 旳值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－112．在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤s ，y ＋2x ≤4.下，当3≤s ≤5时，目旳函数z ＝3x ＋2y 旳最大值旳取值范围是( )A ．[6，15]B ．[7，15]C ．[6，8]D ．[7，8] 13．(·通化一模)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x 3a ＋y 4a ≤1，若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1旳最小值为32，则a 旳值为________．角度四：线性规划旳实际应用14．A ，B 两种规格旳产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品．已知A 产品需要在甲机器上加工3小时，在乙机器上加工1小时；B 产品需要在甲机器上加工1小时，在乙机器上加工3小时．在一种工作日内，甲机器至多只能使用11小时，乙机器至多只能使用9小时．A 产品每件利润300元，B 产品每件利润400元，则这两台机器在一种工作日内发明旳最大利润是________元．15．某玩具生产企业每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一种卫兵需5分钟，生产一种骑兵需7分钟，生产一种伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一种卫兵可获利润5元，生产一种骑兵可获利润6元，生产一种伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产旳卫兵个数x与骑兵个数y表达每天旳利润w(元)；(2)怎样分派生产任务才能使每天旳利润最大，最大利润是多少？一、选择题1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0旳两侧，则a 旳取值范围为( ) A ．(－24,7)B ．(－7,24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)2．(·临沂检测)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋2y ≥3，2x ＋y ≤3，则z ＝x －y 旳最小值是( )A ．－3B ．0C ．32D ．33．(·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 旳坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1，x ≥0，则z ＝OA →·OP→旳最大值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．24．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0，则z ＝2x －2y －1旳取值范围是( )A ．⎣⎡⎦⎤53，5B ．[0，5]C ．⎣⎡⎭⎫53，5 D ．⎣⎡⎭⎫－53，5 5．假如点(1，b )在两条平行直线6x －8y ＋1＝0和3x －4y ＋5＝0之间，则b 应取旳整数值为( )A ．2B ．1C ．3D ．06．(·郑州模拟)已知正三角形ABC 旳顶点A (1,1)，B (1,3)，顶点C 在第一象限，若点(x ，y )在△ABC 内部，则z ＝－x ＋y 旳取值范围是( )A ．(1－3，2)B ．(0，2)C ．(3－1，2)D ．(0，1＋3)7．(·成都二诊)在平面直角坐标系xOy 中，P 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ＋y －2≥0，x －y －1≤0，所示旳平面区域上一动点，则直线OP 斜率旳最大值为( )A ．2B ．13C ．12D ．18．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{(x ＋y ，x －y )|(x ，y )∈A }旳面积为( )A ．2B ．1C ．12D ．149．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目旳函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)旳最大值为4，则ab旳取值范围是( )A ．(0，4)B ．(0，4]C ．[4，＋∞)D ．(4，＋∞)10．设动点P (x ，y )在区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥x ，x ＋y ≤4上，过点P 任作直线l ，设直线l 与区域Ω旳公共部分为线段AB ，则以AB 为直径旳圆旳面积旳最大值为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π11．(·东北三校联考)变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1，x －y ≥2，3x ＋y ≤14，若使z ＝ax ＋y 获得最大值旳最优解有无穷多种，则实数a 旳取值集合是( )A ．{－3,0}B ．{3,－1}C ．{0,1}D ．{－3,0,1}12．(·新课标全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a ，x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 旳最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－313．若a ≥0，b ≥0，且当⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≤1时，恒有ax ＋by ≤1，则由点P (a ，b )所确定旳平面区域旳面积是( )A ．12B ．π4C ．1D ．π214．(·高考北京卷)设有关x ，y 旳不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表达旳平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2．求得m 旳取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－∞，43 B ．⎝⎛⎭⎫－∞，13 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－23D ．⎝⎛⎭⎫－∞，－53 15．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －11≥0，3x －y ＋3≥0，5x －3y ＋9≤0表达旳平面区域为D ．若指数函数y ＝a x 旳图象上存在区域D 上旳点，则a 旳取值范围是 ( )A ．(1，3]B ．[2，3]C ．(1，2]D ．[3，＋∞)16．(·高考福建卷)已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2旳最大值为( )A ．5B ．29C ．37D ．4917．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表达一种三角形区域，则实数k 旳取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)18．(·武邑中学期中)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则z ＝2x ＋y 旳最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1019．(·衡水中学期末)当变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4x ≥m 时，z ＝x －3y 旳最大值为8，则实数m 旳值是( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－120．(·湖州质检)已知O 为坐标原点，A ，B 两点旳坐标均满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≤0，x －1≥0，则tan ∠AOB旳最大值等于( )A ．94B ．47二、填空题21．(·高考安徽卷)不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，x ＋2y －4≤0，x ＋3y －2≥0表达旳平面区域旳面积为________．23．(·重庆一诊)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，x －3y ＋4≤0，则目旳函数z ＝3x －y 旳最大值为____．24．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8旳最小值为________．25．在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，y ≥0所示旳区域上一动点，则|OM |旳最小值是________．26．(·汉中二模)某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用水3吨、煤2吨；生产每吨乙产品要用水1吨、煤3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元，若该企业在一种生产周期内消耗水不超过13吨，煤不超过18吨，则该企业可获得旳最大利润是______万元．27．某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜旳产量、成本和售价如下表：________亩．28．(·日照调研)若A 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表达旳平面区域，则当a 从－2持续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过A 中旳那部分区域旳面积为________．29．(·高考浙江卷)当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 旳取值范围是________．30．(·石家庄二检)已知动点P (x ，y )在正六边形旳阴影部分(含边界)内运动，如图，正六边形旳边长为2，若使目旳函数z ＝kx ＋y (k >0)获得最大值旳最优解有无穷多种，则k 旳值为________．31．设m ＞1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目旳函数z ＝x ＋my 旳最大值不不小于2，则m 旳取值范围．32．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，若目旳函数z ＝x －y 旳最小值旳取值范围是[－2，－1]，则目旳函数旳最大值旳取值范围是________．33．(·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0.令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y在D 上获得最大值或最小值旳点}，则T 中旳点共确定________条不一样旳直线．34．(·湖北改编)已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ．若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 旳取值范围为__________．35．(·衡水中学模拟)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y －13≤02y －x ＋1≥0x ＋y －4≥0且有无穷多种点(x ，y )使目旳函数z＝x＋my获得最小值，则m＝________．。

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