高中数学线性规划题型总结

高考线性规划归类解析

一、已知线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

例1、设变量x 、y 满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ，则y x z 32+=的最大值为 。

解析：如图1，画出可行域，得在直线2x-y=2与直线x-y=-1

的交点A(3,4)处，目标函数z 最大值为18

点评：本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可

行域,然后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分

题。数形结合是数学思想的重要手段之一。

二、已知线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、已知1,10,220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩

则22x y +的最小值是 .

解析：如图2，只要画出满足约束条件的可行域，而22x y +表示

可行域内一点到原点的距离的平方。由图易知A （1，2）是满足条

件的最优解。22x y +的最小值是为5。

点评：本题属非线性规划最优解问题。求解关键是在挖掘目标关

系几何意义的前提下，作出可行域，寻求最优解。

三、约束条件设计参数形式，考查目标函数最值范围问题。 例3、在约束条件0

024x y y x s

y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是（）

A.[6,15]

B. [7,15]

C. [6,8]

D. [7,8]

解析：画出可行域如图3所示,当34s ≤<时, 目标函数

32z x y =+在(4,24)B s s --处取得最大值, 即

max 3(4)2(24)4[7,8)z s s s =-+-=+∈;当45s ≤≤时, 目标函数

32z x y

=+在点

(0,4)E 处取得最大值,即max 30248z =⨯+⨯=,故[7,8]z ∈,从而选D; 点评：本题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为目标函数Z 关于S 的函数关系是求解的关键。

四、已知平面区域，逆向考查约束条件。

例4、已知双曲线22

4x y -=的两条渐近线与直线3x =围成一个三角形

区域,表示该区域的不等式组是（） (A)0003x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩ (B)0003x y x y x -≥⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (C) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≤≤⎩ (D) 0003x y x y x -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩

解析：双曲线224x y -=的两条渐近线方程为y x =±，与直线3x =围

图2

图1

C

成一个三角形区域（如图4所示）时有00

03x y x y x -≥⎧⎪+≥⎨⎪≤≤⎩

。 点评：本题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题。验证法或排除法是最效的方法。

五、已知最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题。

例5已知变量x ，y 满足约束条件1422

x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩。若目标函数

z ax y =+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值，则a 的取值范围为 。

解析：如图5作出可行域，由z ax y y ax z =+⇒=-+其表示为

斜率为a -，纵截距为ｚ的平行直线系, 要使目标函数z ax y

=+（其中0a >）仅在点(3,1)处取得最大值。则直线y ax z =-+过

Ａ点且在直线4,3x y x +==（不含界线）之间。即1 1.

a a -<-⇒>则a 的取值范围为(1,)+∞。

点评：本题通过作出可行域，在挖掘a z -与的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的a 的不等式组即可求解。求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高。

六、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例６在平面直角坐标系中，不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示的平面

区域的面积是（）(A)42 (B)4 (C) 22 (D)2

解析：如图６，作出可行域，易知不等式组20

200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩

表示

的平面区域是一个三角形。容易求三角形的三个顶点坐标为Ａ（０，２），B(2,0),C(-2,0).于是三角形的面积为：11||||42 4.22

S BC AO =⋅=⨯⨯=从而选Ｂ。

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域，探求平面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或部分求解是关键。

七、研究线性规划中的整点最优解问题

例7、某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩

⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则1010z x y =+的最大值是(A)80

(B) 85 (C) 90 (D)95

解析：如图７，作出可行域，由101010z z x y y x =+⇒=-+

，它表示为斜率为1-，纵截距为

10z 的平行直线系,要使1010z x y =+最得最大值。当直线1010z x y =+通过119(,)22

A z 取得最大值。因为,x y N ∈，故Ａ点不是最优整数解。于是考虑可行域内Ａ点附近整点Ｂ（５，４），Ｃ（４，４），经检验直线经过Ｂ点时，max 90.Z = 点评：在解决简单线性规划中的最优整数解时，可在去掉限制条件求得的最优解的基础上，调整优解法，通过分类讨论获得最优整数解。