相似三角形六大证明技巧

相似三角形的判定方法总结：

1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ）

3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS)

4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)

5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)

相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型.

示意图

结论 反A 型：

如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽

△ACB （AA ），∴AE ·

AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS)

反X 型：

如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC

（AA ），∴OA ·

OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC .

示意图

结论

类射影：

如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽

△ACB （AA ），∴2AB =AD ·AC. 射影定理

如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则

222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =⋅=⋅=⋅

相似三角形6大证明技巧

相似三角形证明方法

“旋转相似”与“一线三等角” 示意图 结论 旋转相似：

如图，已知△ABC ∽△ADE ，则AB AD AC AE

= ，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ，

∴△BAD ∽△CAE （SAS ）

一线三等角：

如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE

（AA ）

反A 型与反X 型

已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ⋅=⋅（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB

类射影

如图，已知2AB AC AD =⋅，求证：

BD AB BC AC

= 射影定理

已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =⋅，2BC BH BA =⋅，2HC HA HB =⋅

通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。

在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.

技巧一：三点定型法

技巧二：等线段代换

技巧三：等比代换

技巧四：等积代换

技巧五：证等量先证等比

技巧六：几何计算

【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证：

DC CF AE AD

=． 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于

比例式的证明方法 技巧一：三点定型

P M N D A B C D ，交AB 于E ．求证：2AM MD ME =⋅

【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ，

交AD 于F ．求证：BF AB BE BC

=．

悄悄地替换比例式中的某条线段… 【例4】 如图，在△ABC ，AD 平分∠BAC ，AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的延长线于

F ，求证：2FD FB FC =⋅

【例5】 如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于F ，

ECA D ∠=∠．求证：AC BE CE AD ⋅=⋅．

【例6】 如图，△ACB 为等腰直角三角形，AB=AC ，∠BAC=90°，∠DAE=45°，求证：

2AB BE CD =⋅

【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，AD 是中线，P 是AD 上一点，过C 作CF AB ∥，

延长BP 交AC 于E ，交CF 于F ．求证：2BP PE PF =⋅．

【例8】 如图，平行四边形ABCD 中，过B 作直线AC 、AD 于O ，E 、交CD 的延长线

于F ，求证：2OB OE OF =⋅．

【例9】 如图，在ABC △中，已知90A ∠=︒时，AD BC ⊥于D ，E 为直角边AC 的中点，

过D 、E 作直线交AB 的延长线于F ．求证：AB AF AC DF ⋅=⋅．

【例10】 如图，在ABC △中（AB ＞AC ）的边AB 上取一点D ，在边AC 上取一点E ，使

AD AE =，直线DE 和BC 的延长线交于点P ．求证：BP CE CP BD ⋅=⋅

【例11】 如图，ABC △中，BD 、CE 是高，EH BC ⊥于H 、交BD 于G 、交CA 的延长

线于M ．求证：2HE HG MH =⋅．

【例12】 如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，连EF ，

求证：∠AEF =∠C

【例13】 如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，D 为AC 中点，AE BD ⊥，E 为垂足，求证：

CBD ECD ∠=∠．

【例14】 在Rt △ABC 中，AD ⊥BC ，P 为AD 中点，MN ⊥BC ，求证2MN AN NC =⋅

【例15】 已知，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别在直线AD 、CD 上，EF //AC ，BE 、BF

分别交AC 于M 、N .，求证：AM =CN.

【例16】 已知如图AB =AC ，BD //AC ，AB //CE ，过A 点的

直线分别交BD 、CE 于D 、E . 求证：AM =NC ，MN //DE .

【例17】 如图，△ABC 为等腰直角三角形，点P 为AB

上

任意一点，PF ⊥BC ，PE ⊥AC ，AF 交PE 于

N ，BE 交PF 于M .，求证：PM =PN ，MN //AB . 技巧二：等线段代换

技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比