2019版高三数学 专题15 推理与证明课件 理(1)
2019-2020年高考高考数学一轮总复习第7章不等式推理与证明第五节推理与证明课件理
解析 (1)观察可知每一行右边的数字都是连续的奇数，且奇
数的个数等于所在的行数加1，每行的第一个数字为行数加1
的和的3次方减去所在的行数，设行数为n，用an1表示每行的 第一个数，则an1 ＝(n＋1)3－n，因此第4行第一个数为(4＋1)3 －4＝121，则第4个等式为：54＝121＋123＋125＋127＋129.
＜
________(a，b 为正数，且 a＞b).
解析 每一个不等式的右边是在不等式左边的分子，分母上各 加了相同的正数，因此猜测：ba＜ba＋ ＋mm，(a，b，m 均为正数， 且 a＞b). 答案 ba＋ ＋mm(a，b，m 均为正数，且 a＞b)
(2)类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”得空间相 应的结论为________.
►数学归纳法的两点注意 [①明确初始值 n0 的取值并验证 n＝n0 时命题成立. ②由 n＝k 证明 n＝k＋1 时，弄清增加的项，并明确变形目标] (4)用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋… ＋a2n＋1＝1－1－a2an＋2(a≠1)” 在验证 n＝1 时，左端计算所得项为________. 解析 将 n＝1 代入 a2n＋1 得 a3，所以应为 1＋a＋a2＋a3. 答案 1＋a＋a2＋a3
都具有这些特征的推理，或者由 一类对象也具有这些特征的推理
个别事实概括出一般结论的推理
由 部分到 整体 、由 个别 到 特点
一般 的推理
由 特殊 到 特殊的推理
(1)找出两类事物之间的相似性或一 (1)通过观察个别情况发现某些相
致性； 一般 同性质；
(2)用一类事物的性质去推测另一类 步骤 (2)从已知的相同性质中推出一个
知识点三 数学归纳法
1.数学归纳法的定义 (1)当 n 取第一个值 n0 时，证明命题成立； (2)假设当 n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立，并证明当__n_＝__k_＋__1___ 时，命题也成立.于是命题对一切 n∈N*，n≥n0，命题都成立. 这种证明方法叫做数学归纳法.
2019版理科数学一轮复习高考帮课件第15章 推理与证明(2019高考帮·数理)精选ppt版本
类比推理
(1)通过观察个别对象发现某些相同 一般 性质; 步骤 (2)从已知的相同性质中推出一个明
确的一般性命题(猜想).
(1)找出两类对象之间的相似性 或一致性; (2)用一类对象的性质去推测另 一类对象的性质,得出一个明确 的命题(猜想).
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理科数学 第十五章：推理与证 明
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命题分析预测 1.分析预测 从近五年的考查情况来看,本章是高考的热点,一般以选择题 或填空题的形式考查合情推理和演绎推理, 分值5分;直接证明、间接证明 和数学归纳法一般以函数、不等式、数列等为背景进行考查,题型以解答 题为主,综合性较强. 2.学科素养 本章主要考查考生的逻辑推理能力.
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理科数学 第十五章：推理与证 明
考点1 合情推理与演绎推理 考点2 直接证明与间接证明 考点3 数学归纳法
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考点1 合情推理与演绎推理（重点）
1.合情推理 合情推理包括归纳推理和类比推理,二者区别如下:
归纳推理
类比推理
由某类事物的部分对象具有某些特征 由两类对象具有某些类似特征
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理科数学 第十五章：推理与证 明
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理科数学 第十五章：推理与证 明
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考法2 类比推理 考法指导 类比推理应用的题型及相应方法 (1)类比定义:在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时,可以借助 定义. (2)类比性质:对于由一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质提出的类 比推理型问题,求解时要认真分析两者之间的联系与区别,深入思考两者的 转化过程. (3)类比方法:一些处理问题的方法类似,可以把这种方法类比应用到其他问 题中,注意知识的迁移.
高三数学二轮复习 7.2推理与证明课件
从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理， 直接推证结论的真实性的证明称为直接证明．综合法和分 析法是直接证明中最基本的两种方法，也是解决数学问题 时常用的思维方法．
(2)综合法 从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，经过逐 步的推理论证，最后达到待证的结论，这种证明方法叫综 合法．也叫顺推证法或由因导果法． 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所 要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
1．能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在 数学发现中的作用．
2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单 推理．
3．了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．了解 间接证明的一种基本方法：反证法．
推理证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中 经常使用的思维方法，从内容编排上看，推理和证明是新 课标的新增内容，但从知识结构上看，这些内容渗透于其 它数学知识中，几乎涉及数学的方方面面．
所以 AB⊥PD，
在直角三角形 APB 中，AB·PD＝PA·PB，
所以 PA2＋PB2·PD＝PA·PB，
1 PD2
＝
PA2＋PB2 PA2·PB2
＝
1 PA2
＋
1 PB2
，
故
1 h2
＝
1 PA2
＋
1 PB2
＋
P1C2.(也可以由等体积法得到).
[例3] 已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an －qan－1(n≥2，q≠0)． (1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明数列{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若a3是a6与a9的等差中项，求q的值，并证明：对任意的 n∈N*，an是an＋3与an＋6的等差中项．
2019_2020学年高中数学第三章推理与证明本章整合课件北师大版选修1_2
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������△������������������ ������△������������������
+
������△������������������ ������△������������������
1
3
= 4 − 2 cos(2������ + 60°) + 2 cos(2������ + 60°) = 4,
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
综合应用
所以原结论成立.
专题一 专题二 专题三 专题四 专题五
_高中数学第二章推理与证明1
• 4．其他演绎推理形式 • (1)假言推理：“若p⇒q，p真，则q真”． • (2)关系推理：“若aRb，bRc，则aRc”R表示一种传递性关系
，如a∥b，b∥c⇒a∥c，a≥b，b≥c⇒a≥c等． • 注：假言推理、关系推理在新课标中未给定义，但这种推理
形式是经常见到的，为表述记忆方便，我们也一块给出，以 供学生扩展知识面．
第二章 推理与证明
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.2 演绎推理
目标导航
• 理解演绎推理的概念，掌握演绎推理的形式，并能用它们进行 一些简单的推理，了解合情推理与演绎推理的联系与区别．
重点难点
• 重点：演绎推理的含义及演绎推理规则． • 难点：演绎推理的应用．
新知导学
1.演绎推理
• 日常生活中我们经常接触这样的推理形式：“所有金属都导 电，因为铁是金属，所以铁导电”，它是合情推理吗？这种 推理形式正确吗？
• (2)利用集合知识说明“三段论”：若集合M的所有元素都具有 性质P，S是M的一个子集，那么 __S_中__所__有__元__素__也__都__具__有__性__质__P__.
• (3)为了方便，在运用三段论推理时，常常采用省略大前提或 小前提的表述方式．对于复杂的论证，总是采用一连串的三段 论，把前一个三段论的___结__论___作为下一个三段论的前提．
互动探究
1.演绎推理的基本形式——三段论
• 例题1 用三段论的形式写出下列演绎推理． • (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对
角线相互垂直． • (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等，则
此两角不是对顶角． • [分析] 即写出推理的大前提、小前提、结论．大前提可能
环小数，所以e是无理数． • [答案] (1)a＝－8，(2)无限不循环小数都是无理数
高三理科数学一轮复习 第十章 算法初步、推理与证明、复数 第二节 推理与证明课件
4.推理“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”错误的
原因是
.
4.推理形式错误 【解析】演绎推理常见的错误有(1)大前提错误;(2)小前提错误;(3)
推理形式错误,本题的错误原因是(3),即推理形式错误.
5.用数学归纳法证明“对于足够大的正整数 n,总有 2n>n2”,验证的第一步不等式成立所
11
【变式训练】
1.f(2n)≥
2.公差为d(d≠0)的等差数列{an}中,Sn是{an}的前n项和,则数列S20-S10,S30-S20,S40-S30也成等差数列,
且公差为100d,类比上述结论,相应地在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中,若Tn是数列{bn}的前n项
积,则有
.
也成等比数列,且公比为q100.
A.a11+a9=b14b6
B.a13+a9=b14+b6
C.a12+a9≥b14+b6 D.a13+a9≤b14+b6
3.D 【解析】由题意可得
a13+a9=2a11,b14b6=b120, 又等比数列各项都是正数, 则������14+������6≥
2 b14 b6=2b10=2a11=a13+a9.
4
5
6
(3)框图表示
4.常用的数学方法与思想
归纳法、类比法、合情推理思想、演绎推理思想.
7
1.观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则 a10+b10=
()
A.47
B.75
C.123
高考数学推理与证明
1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析 经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二 直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明 欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b， 欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟 直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2， 即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明 假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2， 化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三 数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解 结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立， 即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解 假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解 假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施 应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析 由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析 分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析 观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)， 下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2， 那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析 观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 答案 C解析 演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析 当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心 答案 B解析 如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析 方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析 由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明 要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明 假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0， 所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明 当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。
推理与证明演绎推理ppt
xx年xx月xx日
目录
• 推理与证明概述 • 推理的类型 • 证明的方法 • 演绎推理 • 推理与证明的应用 • 推理与证明的挑战与未来发展
01
推理与证明概述
推理的定义与重要性
推理的定义
推理是指从已知的事实或前提中推导出结论的过程。在逻辑 学中，推理通常指形式逻辑或数理逻辑，它们是研究推理的 有效性和正确性的学科。
例子
例如，如果所有的猫都是哺乳动物，并且小猫是猫，那么可以推断出小猫是 哺乳动物。
间接推理
定义
间接推理是通过排除其他可能性来得出结论的推理方法。
例子
例如，如果所有的狗都不会飞，而小狗会飞，那么可以推断出小狗不是狗。
归纳推理
定义
归纳推理是从观察到的个体事例中概括出一般规律的推理方 法。
例子
例如，如果我们观察到一些人每天都刷牙，那么可以推断出 大部分人都每天刷牙。
不同数学分支的差异
不同的数学分支有着不同的公理、定理和证明方法，需 要分别学习和理解，增加了学习难度。
未来发展趋势与前景
形式化语言的发展
随着计算机科学的进步，形式化语言的使用将更加普及和简便， 有助于提高推理和证明的准确性和可理解性。
机器证明的应用
随着人工智能技术的发展，机器证明将逐渐成为一种有效的证明 方法，能够自动化地检查和生成证明，提高证明效率。
例子
如证明“所有的猫都会游泳”这一命题是正确的，可以假设存在一种猫不会 游泳，然后通过逻辑推理得出矛盾，从而得出结论。
穷举法
定义
穷举法是通过列举所有可能的情况，然后验证每种情况是否符合条件，从而证明 原命题是正确的。
例子
如证明“所有的三角形都可以分成三个等腰三角形”这一命题是正确的，可以列 举几种三角形，验证它们都可以被分成三个等腰三角形，从而得出结论。
高考数学复习15-推理与证明3.ppt
课堂互动讲练
考点五 归纳、猜想、证明
“归纳——猜想——证明”的模式， 是不完全归纳法与数学归纳法综合应用 的解题模式．其一般思路是：通过观察 有限个特例，猜想出一般性的结论，然 后用数学归纳法证明．这种方法在解决 探索性问题、存在性问题或与正整数有 关的命题中有着广泛的应用．其关键是 归纳、猜想出公式．
课堂互动讲练
例3 用数学归纳法证明平面内 有n个圆，其中每两个圆都相交 于两点，且每三个圆都不相交 于同一点．则这n个圆将平面分 成n2－n＋2个部分．
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【思路点拨】 本题中找到第k＋ 1个圆被原来的k个圆分成了2k条弧， 而每一条弧把它所在部分分成了两 块，此时共增加了2k个部分，问题就 得到了解决．
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例1 用数学归纳法证明对于任意 正整数 n，(n2－1)＋2(n2－22)＋… ＋n(n2－n2)＝n2(n－14)(n＋1).
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【思路点拨】 证明等式是数学 归纳法的应用之一，证明时，较为困 难的是第二步，首先要弄清等式两边 的构成规律，然后证明当n＝1时命题 成立，再证如果n＝k时命题成立，那 么n＝k＋1时命题也成立．
课堂互动讲练
例2 已知f(n)＝(2n＋7)·3n＋9(n∈
N*)，用数学归纳法证明f(n)能被 36整除．
【思路点拨】 用数学归纳法 能证明整除问题，在由k过渡到k＋1 时常用“配凑”的办法，要有目的地 去“配凑”36的倍数式子和假设n＝k 时的式子．
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【证明】 (1)当n＝1时，f(1)＝36， 能被36整除．
第3课时 数学归纳法
基础知识梳理
证明一个与正整数n有关的命题，可 按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0∈N*)时命题成立；
《逻辑和证明》PPT课件
我们的办法是用命题变量表示其中的每一个句子成分， 并找出期间合适的逻辑联结词。具体的说，令a，c和f分别 表示“你可以从校园内访问因特网”、“你主修计算机科学” 和“你是个新生”。注意到“只有……才”是表达蕴含的一 种方式，上述句子可以译为：
7
❖例 太阳从西方升起，则2+2=4。 ❖联结词（运算符）的优先级：，，，，
减少所需的括号数目
❖例 p q s ❖命题符号化是命题演算的基础，符号化过程：
找出命题中的原子命题，分别用小写英文字母表示它 们 将原子命题用适当的联结词联结起来
a
8
❖ 例8 怎样把下面的句子翻译成逻辑表达式？ “只有你主修计算机科学或不是新生，才可以从校园内访问 因特网。”
(5)定义6 双蕴涵（等价）联结词 ， p q ：p与q的等价
a
6
❖ 真值表：给出命题真值之间的关系
❖ 含有n(n>0)个命题变量的命题公式的真值表有2n行
❖ 在数理逻辑中，组成一个复合命题的原子命题在语义可以没 有任何联系 数理逻辑关心复合命题的结构，其真值由组成它的原子命题 的真值唯一确定
பைடு நூலகம்
a
假命题 真命题 真命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 不是命题 假命题 不是命题
a
3
❖命命题题（符p、号q化、：r、用s字）母来表示命题，常用小写字母表示原子
❖比较：代数中用字母表示变量
❖例 p：2+4=8 q：水是液体
❖命题的真值：命题的真假性
真命题的真值为真，表示为T 假命题的真值为假，表示为F 比较：命题变量的真值与代数变量的值
【2019年高考一轮课程】理科数学 全国通用版 推理与证明1-教案
一、自我诊断 知己知彼1．(2013·陕西高考)观察下列等式211=22123-=- 2221236-+=2222123410-+-=-……照此规律，第n 个等式可为________． 答案 ()()()11222211234112n n n n +++-+-++-=- 解析 观察规律可知，第n 个式子为()()()11222211234112n n n n +++-+-++-=- . 2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线a ≠⊂平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误答案 A解析 直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
3.在△ABC 中，CB CB A cos cos sin sin sin ++=，判断△ABC 的形状并证明.答案：三角形ABC 是直角三角形 解析：π=++++=C B A CB CB A ,cos cos sin sin sin)sin()sin(cos sin cos sin C B C A C A B A +++=+∴ 0cos )sin (sin cos sin cos sin =+=+∴A B C A B A C 20cos ,0sin sin π=⇒=∴≠+A A B C4．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c . 求证：113a b b c a b c+=++++. 答案：见解析 解析：要证113a b b c a b c+=++++， 即证3a b c a b c a b b c +++++=++也就是1c aa b b c+=++，只需证()()()()c b c a a b a b a c +++=++，需证222c a ac b +=+又△ABC 三内角A ，B ，C 成等差数列，故B ＝60°， 由余弦定理，得2222cos b c a ac B =+-，222b c a ac =+-故222c a ac b +=+成立．于是原等式成立．5．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程30x ax b ++= 至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程 30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++= 至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++= 恰好有两个实根答案：A解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程30x ax b ++=没有实根”．二、温故知新 夯实基础1.推理：合情推理与演绎推理1. 合情推理（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理.简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.（3）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比,然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理. 2. 演绎推理（1）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. （2）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①、大前提——已知的一般原理; ②、小前提——所研究的特殊情况;③、结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断2. 证明：直接证明与间接证明证明分为直接证明与间接证明.直接证明包括综合法、分析法等；间接证明主要是反证法.直接证明（1）综合法:一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法.综合法是“由因导果”，它是从已知条件出发，顺着推证，经过一系列的中间推理，最后导出所证结论的真实性.用综合法证明题的逻辑关系：(A 为已知条件或数学定义、定理、公理，B 为要证结论),它的常见书面表达是“∵,∴”或“ ”.（2）分析法：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等）.这种证明的方法叫做分析法.分析法是“执果索因”，它是从要证的结论出发，倒着分析，逐渐地靠近已知. 间接证明（3）反证法：一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.用反证法证明问题的一般步骤:①、反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面（否定命题）成立；（否定结论） ②、归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾——与已知条件、已知的公理、定义、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；（推导矛盾）③、结论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误.既然结论的反面不成立,从而肯定了结论成立.(结论成立) 数学归纳法的适证对象数学归纳法是用来证明关于 命题的一种方法，若n 0是起始值，则n 0是数学归纳法的步骤用数学归纳法证明命题时，其步骤如下：(1)当n ＝ (n 0＝N *)时，验证命题成立： (2)假设n ＝ 时命题成立，推证n ＝ 时命题也成立，从而推出对所有的n ≥n 0，n ∈N ＋命题成立，其中第一步是 ，第二步是 ，二者缺一不可．三、典例剖析 思维拓展考点一 推理：合情推理与演绎推理例1.函数()f x 由下表定义：若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n = ，则2007a = ． 答案 4 解析2)(01==a f a ,1)2()(12===f a f a ;4)1()(23===f a f a ;5)(34==a f a ;2)(45==a f a ;1)(56==a f a ;可以看出n a 周期性出现，周期为4；例2.如图所示，D ，E ，F 分别是BC ，CA ，AB 上的点，∠BFD ＝∠A ，且DE ∥BA .求证：ED ＝AF (要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)．答案：证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD ＝∠A ，(小前提) 所以DF ∥EA .(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DE ∥BA 且DF ∥EA ，(小前提)所以四边形AFDE 为平行四边形．(结论) (3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以ED ＝AF .(结论)考点二 直接证明与间接证明例1.已知：23150sin 90sin 30sin 222=++； 23125sin 65sin 5sin 222=++ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题________________________________________=23（ * ）并给出（ * ）式的证明. 答案：23)120(sin )60(sin sin 222=++++ααα（写成2223sin (60)sin sin (60),2ααα-+++= 2223sin (240)sin (120)sin 2ααα︒︒-+-+=等均正确。
2019高考数学一轮复习 第十三章 推理与证明课件 理
考点三 数学归纳法
1.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法叫归纳法.根 据推理过程中考察的对象是涉及事物的全体或部分可分为完全归纳法 和不完全归纳法. 2.数学归纳法证题的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n=n0(n0∈N*)时,命题成立. (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时,命题成立,证明当n=k+1时命题也 成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成 立.
7
7
6
2个数是 1 ,同理第3个数加 1 等于 1 ,故第3个数是 1 ,故答案为 1 .
42
42 30
105
105
答案 (1)A (2) 1
105
9
5
方法技巧
方法 合情推理的应用方法
1.归纳推理的一般思路
(1)通过观察个别情况发现某些相同性质,从这些相同性质中推出一个
明确表述的一般性命题.
(2)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,
寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差
数列、等比数列等;形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归
纳.
2.类比推理常见的情形
平面与空间类比;低维与高维类比;等差数列与等比数列类比;数的运算
与向量运算类比;圆锥曲线间的类比等.
6
例 (1)(2017山西太原三模,4)我国古代数学名著《九章算术》的论割 圆术中有:“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体 而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+
面的单位分数三角形,单位分数是分子为1,分母为正整数的分数,根据前
2019版高考数学(文理通用新课标)一轮复习课件：第十二章 推理与证明、算法、复数 第一节 合情推理与演绎
类比到关
于△OEF的面积S0与S1，S2的关系是
S0＝m
S1＋n m＋n
S2.
[答案] C
[方法技巧]
类比推理的步骤和方法
(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：
①找出两类事物之间的相似性或一致性；
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出
一个明确的命题(猜想)．
(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何
[例4] 如图，在梯形ABCD中，AB∥
CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．若EF∥AB，EF
到CD与AB的距离之比为m∶n，则可推算出：
EF＝
ma＋nb m＋n
.用类比的方法，推想出下面问题
的结果．在上面的梯形ABCD中，分别延长梯形的两腰AD和BC
交于O点，设△OAB，△ODC的面积分别为S1，S2，则△OEF的
()
2．[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC的内切圆
面积为S1，外接圆面积为S2，则
S1 S2
＝
1 4
，推广到空间可以得
到类似结论：已知正四面体P-ABC的内切球体积为V1，外
接球体积为V2，则VV12＝
()
1
1
1
1
A.8
B.9
C.64
D.27
解析：正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，
[方法技巧]
演绎推理的推证规则
(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三
段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前
提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，
等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因
此省略不写．
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故填 f(2n)>n＋2 2(n≥2，n∈Nppt*精)选.
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热点二 类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内 切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14.推广到空间几
何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则VV12＝________.
→ q”
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为真 9
5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立. (2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n ＝k＋1时命题也成立. 由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都 成立.
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10
热点分类突破
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7
3.直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐pptP精选3 →…→ 成立的条件 8
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
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5
2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断 .
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(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归 纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特 殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
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主干知识梳理
1.合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别 事实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下：
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
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4
(2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②类比推理的思维过程如下：
专题15
推理与证明
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1
推理与证明
主干知识梳理 热点分类突破
真题与押题
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2
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等
知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小
题形式出现.
考 情
2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推
解 理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式
读
等综合命题．
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(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、 2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位， 第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去， 那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上.
A.1
B.2
C.3ppt精选
D.4
17
解析 考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上， 第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
中的正六边形个 数寻求规律；
12
解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一 个以6为首项，以5为公差的等差数列， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋ 5×(6－1)＝31.故选B. 答案 B
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13
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15
归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广
维 升
泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜
华 想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想
.
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变式训练1
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(2)已知 f(n)＝1＋21＋13＋…＋n1(n∈N*)，经计算得 f(4)>2， f(8)>52，f(16)>3，f(32)>27，则有_f(_2_n_)_>_n_＋2__2_(n__≥__2_，__n_∈__N_*_).
解析 由题意得 f(22)>42，f(23)>52，f(24)>26，f(25)>72，
➢ 热点一 归纳推理
➢ 热点二 类比推理
➢ 热点三 直接证明和间接证明
➢ 热点四 数学归纳法
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热点一 归纳推理
例1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规 律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正 六边形的个数是( )
A.26 C.32
B.31 D.36
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思维启迪 根据三个图案
4.间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否 定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻 辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用 反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示 的框图表示.
肯定条件p 导致逻 “既p，又綈q” “若p，则
否定结论q → 辑矛盾 → 为假
(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起， 且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示， 则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49 C.75,76
B.62,63 D.84,85
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思维启迪 靠窗口的座位
号码能被5整除 或者被5除余1.
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解析 由已知图形中座位的排列顺序，可得： 被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件. 答案 D
思维启迪
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
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解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成 正比， 而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，