2019版高三数学 专题15 推理与证明课件 理(1)
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中的正六边形个 数寻求规律；
12
解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一 个以6为首项，以5为公差的等差数列， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋ 5×(6－1)＝31.故选B. 答案 B
ppt精选
13
(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、 2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位， 第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去， 那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上.
A.1
B.2
C.3ppt精选
D.4
17
解析 考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上， 第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
思维启迪
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
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20
解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成 正比， 而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
ppt精选
5
2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断 .
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6
(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归 纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特 殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
4.间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否 定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻 辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用 反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示 的框图表示.
肯定条件p 导致逻 “既p，又綈q” “若p，则
否定结论q → 辑矛盾 → 为假
专题15
推理与证明
ppt精选
1
推理与证明
主干知识梳理 热点分类突破
真题与押题
ppt精选
2
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等
知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小
题形式出现.
考 情
2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推
解 理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式
读
等综合命题．
ppt精选
(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起， 且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示， 则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49 C.75,76
B.62,63 D.84,85
ppt精选
思维启迪 靠窗口的座位
号码能被5整除 或者被5除余1.
14
解析 由已知图形中座位的排列顺序，可得： 被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件. 答案 D
所以当 n≥2 时，有 f(2n)>n＋2 2.
故填 f(2n)>n＋2 2(n≥2，n∈Nppt*精)选.
19
热点二 类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内 切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14.推广到空间几
何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则VV12＝________.
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15
归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广
维 升
泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜
华 想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想
.
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16
变式训练1
➢ 热点一 归纳推理
➢ 热点二 类比推理
➢ 热点三 直接证明和间接证明
➢ 热点四 数学归纳法
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11
热点一 归纳推理
例1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规 律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正 六边形的个数是( )
A.26 C.32
B.31 D.36
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思维启迪 根据三个图案
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7Leabharlann Baidu
3.直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐pptP精选3 →…→ 成立的条件 8
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18
(2)已知 f(n)＝1＋21＋13＋…＋n1(n∈N*)，经计算得 f(4)>2， f(8)>52，f(16)>3，f(32)>27，则有_f(_2_n_)_>_n_＋2__2_(n__≥__2_，__n_∈__N_*_).
解析 由题意得 f(22)>42，f(23)>52，f(24)>26，f(25)>72，
3
主干知识梳理
1.合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别 事实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下：
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
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4
(2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②类比推理的思维过程如下：
→ q”
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为真 9
5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立. (2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n ＝k＋1时命题也成立. 由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都 成立.
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热点分类突破
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解析 有菱形纹的正六边形个数如下表：
图案 1 2 3 …
个数 6 11 16 …
由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一 个以6为首项，以5为公差的等差数列， 所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6＋ 5×(6－1)＝31.故选B. 答案 B
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(1)四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、 2、3、4号位上(如图)，第一次前后排动物互换座位， 第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去， 那么第202次互换座位后，小兔坐在第______号座位上.
A.1
B.2
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D.4
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解析 考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上， 第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐 在3号位上，第五次坐在1号位上， 因此小兔的座位数更换次数以4为周期， 因为202＝50×4＋2，因此第202次互换后，小兔所在 的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同， 因此小兔坐在2号位上，故选B. 答案 B
思维启迪
平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；
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解析 平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成 正比， 而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，
观察、比较 → 联想、类推 → 猜测新的结论
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2.演绎推理 (1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断 .
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(2)合情推理与演绎推理的区别 归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归 纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特 殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确， 有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理 形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
4.间接证明 反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否 定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻 辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程.用 反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用如图所示 的框图表示.
肯定条件p 导致逻 “既p，又綈q” “若p，则
否定结论q → 辑矛盾 → 为假
专题15
推理与证明
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1
推理与证明
主干知识梳理 热点分类突破
真题与押题
ppt精选
2
1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等
知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小
题形式出现.
考 情
2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推
解 理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式
读
等综合命题．
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(2)两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起， 且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示， 则下列座位号码符合要求的应当是( )
A.48,49 C.75,76
B.62,63 D.84,85
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思维启迪 靠窗口的座位
号码能被5整除 或者被5除余1.
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解析 由已知图形中座位的排列顺序，可得： 被5除余1的数和能被5整除的座位号临窗， 由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗， 分析答案中的4组座位号，只有D符合条件. 答案 D
所以当 n≥2 时，有 f(2n)>n＋2 2.
故填 f(2n)>n＋2 2(n≥2，n∈Nppt*精)选.
19
热点二 类比推理
例 2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC 的内 切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14.推广到空间几
何可以得到类似结论：若正四面体 ABCD 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则VV12＝________.
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归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，
通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然
后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问
思 题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广
维 升
泛的应用.其思维模式是“观察——归纳——猜
华 想——证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想
.
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变式训练1
➢ 热点一 归纳推理
➢ 热点二 类比推理
➢ 热点三 直接证明和间接证明
➢ 热点四 数学归纳法
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热点一 归纳推理
例1 (1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规 律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正 六边形的个数是( )
A.26 C.32
B.31 D.36
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思维启迪 根据三个图案
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7Leabharlann Baidu
3.直接证明 (1)综合法 用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q (2)分析法 用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个明显 Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐pptP精选3 →…→ 成立的条件 8
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(2)已知 f(n)＝1＋21＋13＋…＋n1(n∈N*)，经计算得 f(4)>2， f(8)>52，f(16)>3，f(32)>27，则有_f(_2_n_)_>_n_＋2__2_(n__≥__2_，__n_∈__N_*_).
解析 由题意得 f(22)>42，f(23)>52，f(24)>26，f(25)>72，
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主干知识梳理
1.合情推理 (1)归纳推理 ①归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出 该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别 事实概括出一般结论的推理. ②归纳推理的思维过程如下：
实验、观察 → 概括、推广 → 猜测一般性结论
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(2)类比推理 ①类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类 对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征 的推理. ②类比推理的思维过程如下：
→ q”
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为真 9
5.数学归纳法 数学归纳法证明的步骤： (1)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立. (2)假设n＝k(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明n ＝k＋1时命题也成立. 由(1)(2)可知，对任意n≥n0，且n∈N*时，命题都 成立.
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热点分类突破