一元二次方程复习提纲

一元二次方程复习提纲

考点一：概念

（1）定义：含有 个未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫做一元二次方程。

（2）一般形式：ax 2+bx+c=0(a ≠0)，其中二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 。

（3）判断一元二次方程的依据：①只含有一个未知数。② 是整式方程。③ 二次项系数不为“0”。④ 未知数最高次数是“2”。

典型例题：

1、下列是关于x 的一元二次方程的是（ ）

2、方程2269x x -=的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )．

A 、629，，

B 、269-，，

C 、269--，，

D 、 269-，， 3若方程2210mx x -+=是关于x 的一元二次方程，则m ．

4、当m 时，方程mx 2-3x =2x 2-mx +2 是一元二次方程

考点二：一元二次方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值

典型例题：

关于x 的一元二次方程01)1(22=-++-a x x a 的一个根是0，则a 的值为

( ).

(A) 1 (B) 1- (C) 1或1- (D)

2

1. 考点三：一元二次方程的解法

1、直接开平方法

适用方程特征：()()02≥=+n n m x 的解是m n x -±= 典型例题：

(1) x 2 = 5 (2)(y+2)2=3 (3)2(3a-1)2-1=0

22221 320 B 2x +y-1=0 C x 00 D x x

A x -+==、、、、

适用方程特征：方程左边可以化为两个因式的乘积，右边是0，即形如 (x+a)(x+b)=0的方程都可以用因式分解法。

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为0；（2）将方程左边分解成两个一次因式的乘积。（3）令每个因式分别为0，得两个一元一次方程。（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。 典型例题：解方程

（1）3x 2 = 2x (2) 0)1(3)1(2=-+-x x x

(3) 22)12()3(+=-x x (4)y 2 =3y +4

3、配方法

即通过配方将方程化为（x+a ）2=b(b ≥0)的形式，再用直接开平方法求解。 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：

（1） 在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数；

（2） 把原方程变为()n m x =+2

的形式。 （3） 若0≥n ，用直接开平方法求出x 的值，若n ﹤0，原方程无解。 用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程

当一元二次方程的形式为()1,002≠≠=++a a c bx ax 时，用配方法解一元二次方程的步骤：（1）先把二次项的系数化为1：方程的左、右两边同时除以二项的系数；

(2) 移项：在方程的左边加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，把原方程化为()n m x =+2

的形式； （3）若0≥n ，用直接开平方法或因式分解法解变形后的方程。

典型例题：用配方法解方程

（1）x 2 -4x -3=0 (2) 2322=-x x

一元二次方程()002

≠=++a c bx ax 的求根公式是：a ac b b x 242-±-= 用求根公式法解一元二次方程的步骤是：

（1）把方程化为()002≠=++a c bx ax 的形式，确定的值c b a .,（注意符号）；

（2）求出ac b 42-的值；

（3）若042≥-ac b ，则.,b a 把及ac b 42

-的值代人求根公式a ac b b x 242-±-=，求出21,x x 。

典型例题：用求根公式解方程

（1）x 2+3x +1=0 （2）(x+3)(2x-1)=1

注意：一元二次方程解法的选择，应遵循先特殊，再一般，即先考虑能否用直接开平方法或因式分解法，不能用这两种特殊方法时，再选用公式法，没有特殊要求，一般不采用配方法，因为配方法解题比较麻烦。

用适当的方法解方程：

（１） 5x 2-45=0 （2） x 2 -10x +24=0

(3) (x+3)(x-1)=x+3 (4) （x-2)(3x-5)=1

一元二次方程()002≠=++a c bx ax 根的判别式 △=ac b 42-

运用根的判别式，不解方程，就可以判定一元二次方程的根的情况：

（1） △=ac b 42-﹥0⇒方程有两个不相等的实数根；

（2） △=ac b 42-=0⇒方程有两个相等的实数根；

（3） △=ac b 42-﹤0⇒方程没有实数根；

典型例题;

（1）方程2x 2-3x+2=0的根的情况是 。

(2)、已知关于x 的一元二次方程x 2+2x ﹣a=0有两个相等的实数根，则a 的值是（ ）

A ． 1 B.﹣1 C.

D ﹣

考点五：根与系数的关系

若21,x x 是一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个根，则有

a b x x -=+21， a b x x =21 特别地，二次项系数为1的一元二次方程x 2+px+q=0的两根为21x x 、，则=+21x x ，=21x x

典型例题：

（1）已知21x x 、是方程0232=+-x x 的两根，则=+21x x ，=21x x

（2）关于x 的方程x 2- ax - 3=0的一个根为3，求方程的另一个根和a 的值。