幂级数收敛域的论述
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
幂级数的收敛半径与收敛区间
幂级数的收敛半径与收敛区间幂级数（1）的收敛域可分成三种情形：I.它只在原点 x ＝0 处收敛；II.它在整个数轴上都收敛；III.它在数轴上除原点外既有收敛点又有发散点。
前两种情形的收敛域是明确的，对于情形III.，设与分别是幂级数（1）的收敛点与发散点，阿贝尔定理指出，幂级数（1）在以原点为中心、半径为 | | 的开区间 (－| |, | |)内是绝对收敛的，而在与原点的距离大于 | | 的区域内是发散的，这说明在原点与收敛点之间不可能有发散点。
结论：如果幂级数（1）除了原点外既有收敛点又有发散点，则必存在正数 R ，使得当 | x | < R 时，幂级数（1）绝对收敛；当 | x | > R 时，幂级数（1）发散；当 | x | = R 时，幂级数（1）可能收敛也可能发散；我们称这样的正数 R 为幂级数（1）的收敛半径。
特别地，当幂级数（1）只在 x ＝0 处收敛时，规定 R ＝0；当幂级数（1）在整个数轴上都收敛时，规定 R = + ∞。
确定了幂级数（1）的收敛半径 R 后，再根据幂级数（1）在 x ＝±R 处的敛散性，就可确定幂级数（1）的收敛域是以下四个区间：(－R , R ), (－R , R ] , [－R , R )，[－R , R ] 中的一个，称为幂级数（1）的收敛。
下面的定理给出了幂级数的收敛半径的求法定理2 设幂级数（1）的各项系数至多只有有限个为零，且则数 R 就是幂级数（1）的收敛半径证：对于每一个固定的 x ，幂级数（1）是一个常数项级数，为讨论它的收敛性问题，可以考虑幂级数（1）各项取绝对值后所成的正项级数（3）①若 R ≠ 0，R ≠∞，则有根据比值判别法，当即 | x | < R 时，级数（3）收敛，从而级数（1）绝对收敛；当即| x | > R 时，级数（3）发散且从某一个 n 开始，有，这表明当时，级数（3）的一般项于0，从而于0 ，故幂级数（1）发散。
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数的收敛域
幂级数的收敛域幂级数是一类重要的无穷级数，它具有广泛的应用和深刻的数学理论。
在研究幂级数的性质时，我们常常关心的一个问题是它的收敛域，也就是幂级数在哪些点上收敛。
一、定义首先，让我们来回顾一下幂级数的定义。
给定一个复数序列{$c_n$}，以及一个复数$z$，我们定义幂级数为：$$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot z^n$$其中，$c_n$称为幂级数的系数，$z$是一个复数变量。
在幂级数中，$z$的幂次逐渐增加，系数$c_n$则随着$n$的增加而变化。
幂级数可以理解为无穷项的多项式，而收敛域则决定了该幂级数在哪些点上收敛。
二、收敛半径幂级数的收敛域可以通过收敛半径来刻画。
收敛半径是一个非负实数$R$，满足以下性质：当复数$z$满足$|z| < R$时，幂级数绝对收敛；当$|z| > R$时，幂级数发散；当$|z| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。
根据幂级数的收敛半径，我们可以将收敛域划分为三种情况：上确界收敛区间、下确界收敛区间和间断点。
1. 上确界收敛区间当$|z| < R$时，幂级数绝对收敛的区间称为上确界收敛区间，记为$I_u = (-R, R)$。
在上确界收敛区间内，幂级数的每一项都绝对收敛，因此任意有限项之和也收敛。
2. 下确界收敛区间当$|z| > R$时，幂级数发散的区间称为下确界收敛区间，记为$I_l = (-\infty, -R) \cup (R, \infty)$。
在下确界收敛区间内，幂级数的每一项都发散，因此任意有限项之和也发散。
3. 间断点当$|z| = R$时，幂级数可能收敛也可能发散。
这些点称为幂级数的间断点。
在间断点上，幂级数的性态不能确定，需要进一步的讨论。
三、求解收敛域的方法确定幂级数的收敛域通常需要利用数学工具和技巧，下面介绍一些经典的方法。
1. 比值判别法比值判别法是判断幂级数收敛半径的一种常用方法。
设幂级数为$\sum_{n=0}^{\infty} c_n \cdot z^n$，则收敛半径$R$满足以下关系：$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{c_n}{c_{n+1}} \right|$$其中，如果极限存在，则取反之，然后求出绝对值。
x的n次方的收敛域
x的n次方的收敛域
x的n次方的收敛域，又称幂级数的收敛域，是指在幂级数
$$
\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
$$
中，x可以取的值使得级数收敛的范围。
对于幂级数，有以下定理：
定理1：如果该级数在某个实数x=x_0时收敛，那么当|x|<|x_0|时，
该级数也收敛。
定理2：如果该级数在某个实数x=x_0时发散，那么当|x|>|x_0|时，
该级数也发散。
根据定理1和定理2，幂级数的收敛域有三种情况：
1. 收敛于x=0。
当级数的通项$|a_nx^n|$对于所有的n都趋近于0时(即
$\lim_{n\to\infty}|a_nx^n|=0$)，该级数收敛于x=0。
2. 收敛于有限实数。
当级数的通项$|a_nx^n|$的收敛半径(Radius of Convergence)为R时，级数在R处收敛，也就是说级数收敛于区间(x-R, x+R)。
3. 收敛于整个实数轴。
当级数的通项$|a_nx^n|$对于任意的实数x都收敛时，该级数在整个
实数轴上收敛。
综上所述，x的n次方的幂级数的收敛域可能是x=0，可能是一
个实数区间(x-R, x+R)，也可能是整个实数轴。
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
幂级数是一种形如$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数，其中$a_n$为常数，$x$为变量。
对于幂级数，我们需要研究它的收敛性以及收敛的范围。
其中，收敛半径和收敛域是重要的概念。
收敛半径是指幂级数收敛的最大范围，收敛域是指幂级数收敛的所有取值范围。
对于一个幂级数$sum_{n=0}^{infty}a_nx^n$，我们可以利用以下公式求出它的收敛半径$R$：
$$R =lim_{n rightarrow
infty}left|frac{a_n}{a_{n+1}}right|$$
其中，$a_n$表示幂级数中$x^n$的系数。
需要注意的是，当$R$为无穷大时，幂级数收敛于整个实数轴；当$R$为0时，幂级数只在$x=0$处收敛；当$R$为有限值时，则有一个收敛域$(-R, R)$。
对于收敛半径为$R$的幂级数，我们可以通过以下方式求出它的收敛域：
1. 当$x=-R$时，幂级数可能收敛，也可能发散；
2. 当$x=R$时，幂级数可能收敛，也可能发散；
3. 当$-R<x<R$时，幂级数必定收敛。
需要注意的是，当$x=-R$或$x=R$时，我们需要进一步进行比较测试来确定幂级数的收敛性。
总之，幂级数的收敛半径和收敛域对于理解和分析幂级数的性质和应用至关重要。
- 1 -。
幂级数的收敛域
幂级数的收敛域
指数和对数函数在数学中十分重要，它们都可以表示为幂级数展开形式。
由指数函数
及其对数函数的幂级数的性质可以得出收敛域的概念——收敛域指数和对数函数存在的
一组值。
收敛域的基本定义
收敛域是一组值，它们满足两个条件：（1）它们让指数函数或者对数函数的值与其
自身的值接近；（2）它们满足给定幂级数的公式。
例如，当给定函数y=2^x时，它的收
敛域为[0,∞]，因为此处指数函数2^x的值是总是近似于函数自身，即满足给定的幂级数
的条件。
收敛域不但能够用数值描述，也可以用符号表示。
对于指数函数y=ax，其收敛域可以用数式[0, ∞]表示；而对于对数函数y=logax，其收敛域可以用[0, a]表示。
收敛域的计算方法可以分为数值计算法和数学推导法两种。
数值计算法是根据不断提
高以及减少取值范围来缩小解域，以此计算出收敛域的范围。
另一种方法，则是利用指数
函数对应的基数或幂次，从而获得收敛域的函数表示。
收敛域的应用可以分为数学、物理和化学等方面，数学上的应用包括用于计算指数函
数或者对数函数的近似值，从而计算出函数的结果值逼近真实值。
在物理学上，收敛域也
有着重要的作用，它可以用是计算物质的累积而最终变成稳定状态，而收敛域也可用到预
测量子计算结果，从而预测物质体系的最终状态。
在化学等领域，收敛域也有着许多应用，可以用来解答某种特定物质的反应特征等问题。
收敛域是指数和对数函数的重要概念，在计算指数或者对数函数的近似值时，收敛域
十分有用，也在物理、化学等诸多领域有广泛应用。
幂级数收敛域的方法
幂级数收敛域的方法幂级数是数学中的一个重要概念，它由无穷多个次数递增的单项式相加得到。
在实际应用中，我们需要研究幂级数的收敛性质，以确定它的值域和应用范围。
下面介绍一些确定幂级数收敛域的方法。
一、常数项级数法常数项级数法是一种常用的判断幂级数是否收敛的方法。
该方法基于以下结论：如果该级数的常数项发散，则该级数在其收敛半径内均收敛；如果常数项收敛，则该级数只在其收敛半径内收敛。
具体地，对于幂级数f(x)=∑anx^n，先求出该级数的常数项a0，然后对级数∑anx^n-a0，即去掉常数项后的级数，判断其收敛性质。
如果该级数在x=c处收敛，则幂级数在c的收敛半径内收敛；如果该级数在x=c处发散，则幂级数在c的收敛半径外发散。
二、比值法比值法是另一种常用的确定幂级数收敛域的方法，该方法基于以下结论：对于幂级数∑anx^n，存在唯一的收敛半径R，满足当|x|<R 时该级数绝对收敛，当|x|>R时该级数发散。
具体地，对于幂级数f(x)=∑anx^n，计算极限lim|an+1/an|，记为L。
则有以下情况：当L<1时，幂级数在x=0处绝对收敛，且收敛半径为R=1/L。
当L>1时，幂级数在x=0处发散。
当L=1时，比值法无法确定收敛性质，需要另寻其它方法。
三、根值法根值法是一种特殊的比值法，该方法也可用于确定幂级数的收敛域。
根值法基于以下结论：对于幂级数∑anx^n，存在唯一的收敛半径R，满足当|x|<R时该级数绝对收敛，当|x|>R时该级数发散。
具体地，对于幂级数f(x)=∑anx^n，计算极限lim|an|^(1/n)，记为L。
则有以下情况：当L<1时，幂级数在x=0处绝对收敛，且收敛半径为R=1/L。
当L>1时，幂级数在x=0处发散。
当L=1时，根值法无法确定收敛性质，需要另寻其它方法。
以上介绍了常数项级数法、比值法和根值法三种确定幂级数收敛域的方法，这些方法可以有效地确定幂级数的值域和应用范围。
求幂级数的收敛域及和函数。
求幂级数的收敛域及和函数。
幂级数是一类具有深远影响的数学函数，在研究中可覆盖到古希腊代数、伽罗瓦理论以及复杂科学应用等诸多领域。
幂级数的收敛域定义为通过加性不断增加或减少因子，当加性值趋于某一有界值时，若有确定的收敛极限，则该极限便是级数的收敛域。
幂级数的和函数表示为Sn = an = a1 + a2 + a3 + ··· + an，其中an代表第n项项系数；它描述了从n项系数运用加法规则得出的和值。
另一方面，仔细观察可发现，幂级数的收敛域有非常具体的定义，既取决于级数的选择，也取决于它的序参不同。
例如，根据伽罗瓦研究，当序参收敛到1时，系数收敛到0，而当序参收敛到非1常量时，系数会收敛至相同的非0常量值。
此外，幂级数的和函数比较得容易理解，即在一定的组成系数下，他们系数的求和，可以得到一个求和的函数值，从而可以求得更多的函数和表达式。
总而言之，幂级数的收敛域及和函数在科学应用中拥有强大的研究作用，同时也是数学的重要的基础概念之一，所以值得获得深入的探讨与研究。
幂级数的收敛域
xn x1n
| |
等比级数
an x1n
M|
|
x
n0
x1
|
|n
x |n x1
收敛 ,
M
|
x x1
|n
由比较判别法知, | an xn | 收敛,
n0
因此,级数 an xn (绝对)收敛 ;
10
n0
定理 (阿贝尔Abel定理)
(1) 如果级数 an xn 在 x x1( x1 0) 处收敛, n0
2、幂级数的收敛半径和收敛域
幂级数的收敛域具有如下特点：
（1）任何幂级数 an xn 在 x 0 处收敛；
n0
（2）在不考虑端点的情况下, an xn 的收敛域是一个关
于原点对称的区间.
n0
7
定理 (阿贝尔Abel定理)
(1) 如果级数 an xn 在 x x1( x1 0) 处收敛, n0 则它在满足不等式| x | | x1 | 的一切 x 处绝对收敛；
un (x)的余项,则
n1
lim
n
Rn
(
x)
0,
x 收敛域
3
二、幂级数
1、幂级数的定义
级数 a0 a1( x x0 ) an( x x0 )n
an ( x x0 )n
(1)
n0
称为关于 x x0 的幂级数；其中an称为幂级数的系数.
(3) 如果 , 则对 x 0 ,
lim
n
|
an1 | an
x x
n1
什么是幂级数的收敛半径和收敛域
什么是幂级数的收敛半径和收敛域幂级数是数学中的重要概念，对于数学研究和应用具有重要的意义。
在本文中，我们将探讨幂级数的收敛半径和收敛域。
让我们来了解一下什么是幂级数。
幂级数是指形如∑(an*(x-a)^n)的级数，其中an是系数，x是变量，a是常数。
幂级数在数学分析、物理学和工程学中都有广泛的应用。
幂级数的收敛半径是指幂级数收敛的最大范围。
具体来说，对于给定的幂级数，存在一个正数R，使得当|x-a|<R时，级数收敛；当|x-a|>R时，级数发散。
R称为幂级数的收敛半径。
那么，如何确定幂级数的收敛半径呢？我们可以使用柯西-阿达玛公式来计算。
柯西-阿达玛公式是通过计算级数的收敛域来确定收敛半径的。
对于给定的幂级数∑(an*(x-a)^n)，柯西-阿达玛公式的形式为：1/R = lim sup (|an|^(1/n))其中，lim sup表示上极限。
计算这个极限值可以得到收敛半径R的倒数，进而得到收敛半径R。
收敛域是指幂级数在收敛的范围内的所有点的集合。
根据幂级数的收敛半径，我们可以将收敛域分为三种情况：1. 当收敛半径R为正无穷大时，幂级数在整个数轴上都收敛，收敛域为(-∞, +∞)。
2. 当收敛半径R为零时，幂级数只在一个点x=a处收敛，收敛域只包含一个点{x=a}。
3. 当收敛半径R为有限正数时，幂级数在一个以x=a为中心、以R 为半径的开区间上收敛，收敛域为(a-R, a+R)。
需要注意的是，幂级数在收敛域的边界上的收敛性是不确定的。
也就是说，幂级数在边界上可能收敛，也可能发散。
因此，在分析幂级数的收敛性时，必须考虑边界条件。
在实际应用中，我们常常需要确定幂级数的收敛半径和收敛域，以便进行进一步的计算和分析。
这些概念在微积分、泰勒级数、物理学和工程学中都有广泛的应用。
总结一下，幂级数的收敛半径和收敛域是幂级数收敛的最大范围。
收敛半径通过柯西-阿达玛公式计算得到，收敛域根据收敛半径的不同情况分为三种情况。
幂级数的收敛域
( x
2)n
n1
1 n2
yn
1 an n2 ,
1 an1 (n 1)2 ,
l lim | an1 | a n
n
n2
lim
n
(n
1)2
1
n1
y n
n 2
收敛
半径为r
1.
当y
1时，
n1
1 n2
(1)n
n1
1 n2
收敛.
b
a un ( x)dx
a un ( x)dx .
n1
n1
定理 8（逐项求导） 若 ∑un(x)在I收敛，un (x) 在
[a , b] 上有连续的导数，∑un′(x) 在[a , b] 上一致收敛，
则其和函数在I连续可导，且
d
d
dx
un ( x)
n1
n1
dx
un ( x).
解 : an nn,
n
l lim n
| an |
n
lim nn n
limn n
收敛半径为r 0.
收敛域为{0}.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
例4、求幂级数
n1
解：设x 2 y,
1 n2
(x
1
n2
n1
2)n 的收敛半径，并讨论收敛域.
当y
1时，
n1
1 n2
(1)n
收敛.
n1
yn n2
收敛域为[1,
1].
幂级数与收敛域
幂级数与收敛域幂级数是数学中重要的概念之一，它在许多领域中起着重要作用，特别是在分析学中。
本文将详细介绍幂级数的定义、性质以及收敛域的概念。
一、幂级数的定义幂级数是形如∑(aₙ(x-a)ⁿ)的无穷级数，其中aₙ是系数，x是变量，a是常数。
幂级数可以看作是一个函数展开成无穷项的形式。
二、收敛域的定义在幂级数中，收敛域是指使幂级数收敛的所有值x的集合。
收敛域是幂级数收敛的范围，它可以是一个区间、一个点、整个实数轴，或者一个圆盘。
三、收敛域的求解方法1. 使用比值测试比值测试是判断幂级数收敛与发散的一种常用方法。
具体来说，给定一个幂级数∑(aₙ(x-a)ⁿ)，计算lim┬n→∞〖|aₙ₊₁/ aₙ |〗。
如果这个极限存在且小于1，则幂级数在x=a处收敛；如果这个极限大于1，则幂级数在x=a处发散。
如果这个极限等于1，则无法判断，需要使用其他方法。
2. 使用根值测试根值测试也是判断幂级数收敛与发散的常用方法。
具体来说，给定一个幂级数∑(aₙ(x-a)ⁿ)，计算lim┬n→∞〖( |aₙ| )^1/n 〗。
如果这个极限存在且小于1，则幂级数在x=a处收敛；如果这个极限大于1，则幂级数在x=a处发散。
如果这个极限等于1，则无法判断，需要使用其他方法。
3. 使用幂级数收敛域的常见性质一些常见的幂级数收敛域性质包括：- 幂级数在收敛域内是绝对收敛的；- 幂级数在收敛域的边界上，可能是绝对收敛也可能是条件收敛的；- 幂级数在收敛域之外是发散的。
四、收敛域的示例1. 幂级数∑(xⁿ/n!)的收敛域是整个实数轴R；2. 幂级数∑(xⁿ/n)的收敛域是(-1, 1]；3. 幂级数∑(xⁿ/n²)的收敛域是闭区间[-1, 1]。
五、总结幂级数是一种重要的数学工具，可以用来表示函数，其中的收敛域决定了幂级数的定义域。
通过比值测试、根值测试以及幂级数收敛域的性质，我们可以求解幂级数的收敛域。
对于特定的幂级数，我们可以通过具体的计算来确定其收敛域。
幂级数收敛域和函数
n1
n
设 x－2＝ t ,由(1)知
收敛域是(1,3]
(1)n1 t n
n1
n
收敛域是(－1,1]
(5).
n0
x2n 3n
令 t x2
lim an a n
n1
t =3 时
收敛域是 ( 3, 3)
x2n 3n
n0
n0
tn 3n
1
收敛域是(－3,3)
lim 3n 3 n 1
3n1
1 发散
3n (2)n
1 n
1 ，且 2n
n1
1 n
发散，
所以原级数在点 x 3处发散.
当
x
3 时，由于
(3)n 3n (2)n
1 n
(1)n
1 n
3n
2n (2)n
1 n
,
且
n1
(1)n n
与
n1
3n
2n (2)n
1 n
都收敛，所以原级数在点
x
3 处收敛.
第10页，共16页。
三.幂级数的运算性质
特例
a0 a1x a2 x2 an xn 系数 (2)
主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)
1.幂级数的收敛域
x = 0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.
例
xn1 1 x x2 xn
n1
由等比级数的性质, | x | 1 时收敛, | x | 1 时发散
n1
n1
n1
x( x 1
x
)
x (1 x)2
( |x| <1 )
第14页，共16页。
xn
(2). n0 n 1
高等数学：第六讲 幂级数的收敛域
目录
01 幂级数的收敛域的概念 02 幂级数收敛域的求法
幂级数的收敛域的概念
定义1 函数项级数:
函数
un (x) u1(x) u2 (x) un (x) x I
n1
例
幂函数
xn1 1 x x2 xn1 x R
n1
定义2 幂级数 系数 an xn a0 a1x a2x2 n0
x
3
时，
xn
n0 n 3n
(3)n n0 n 3n
(1) n n0 n
收敛域 [3,3)
收敛
谢谢
对于幂级数 anxn,
n0
如果
lim
n
an1 an
(1)
当0
时，R
1
；
，则
(2) 当 0 时，R ；
(3) 当 时，R 0 .
幂级数收敛域的求法
幂级数 anxn 收敛域的求法： n0
(1) 求收敛半径R ；
(2) 写出收敛区间(R, R) ；
(3) 讨论幂级数在x R 处的敛散性， 并写出收敛域.
n0
对任何点 x : x x0 anxn 发散
n0
x0 0
x0 发散点
阿贝尔定理的解释
以幂级数 xn1 为例，解释阿贝尔定理 n 1
3 2
2 3
2
3
3
2
2
5
1 4 5
1 2
4
0
1 41 5 254
2
收敛半径 R
问题：对于一般的幂级数 anxn，怎样求收敛半径？ n0
收敛半径R的求法
定理2
例题1：
xn
求幂级数 n0 n 3n
幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨
③若ａ１ʂａ２(ｋ１<ｋ２)时ꎬ则条件组[ａ１ꎬｋ１][ａ２ꎬｋ２]]⇒[ａ１ꎬｋ１－ｋ１][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒[ａ１ꎬ０][ａ２ꎬｋ２－ｋ１]]＋ｋ１⇒ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１＋ｋ１.由于ａ１Ｎ１ａ２Ｎ２＋Ｋ２－Ｋ１ꎬ所以推出(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)∗ＮꎬＴＮ＋Ｋ１]⇒[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](简洁式).所以:Ｇ＝(ＴＮ＋Ｋ１)＋ｍ(ａ１ꎬａ２)∗Ｎ(跳跃数).则Ｇ＝ＴＮ＋Ｋ１ꎬＧ＝[ｍ(ａ１ꎬａ２)ꎬＴＮ＋Ｋ１](循环是生机).故而ꎬ当平余式(条件式)运算规则确立后ꎬ素数的递推式也就由此呈现ꎬ但里面并不是单一和纯粹的.平余式运算法则:[ａꎬｂ]相与ｙ＝ａｘ＋ｂ的整数值[ａꎬｂ]＝[ａꎬｂʃａ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａ]ʃｍ＝[ａꎬｂʃａʃｍ]＝[ａꎬｂʃｍ][ａꎬｂ]∗ｍ＝[ａꎬｂ∗ｍ]ꎻ[ａꎬｂ]ｎ＝[ａꎬｂｎ]ꎻ[ａꎬｂ]ʃ[ａꎬｃ]＝[ａꎬｂ]ʃｃ＝[ａꎬｂʃｃ]ꎻ[ＮꎬＮ－Ｍ][ＫꎬＫ－Ｍ]]⇒[Ｎ∗ＫꎬＮ∗Ｋ－Ｍ](ＮꎬＫ互质).为了减少书写的难度ꎬ以后将形如[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]]⇒[ｅꎬｆ]改写成[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ].平余式运算的逆运算 共数的逆向求解设平余式[ａꎬｂ]ꎬ[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ].假若[ａꎬｂ][ｃꎬｄ]＝[ｅꎬｆ](ａ与ｃ互质).现已知:[ｃꎬｄ]ꎬ[ｅꎬｆ](ａꎬｃ互质)ꎬ求[ａꎬｂ].解㊀由平余式公式知ｅ＝ａ∗ｃ⇒ａ＝ｅːｃꎬａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ(０ɤｂ<ａ)⇒ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.由于ｆ是实数ꎬ且０ɤｂ<ａꎬ即ｆ与ａ的余数是唯一且稳定的ꎬ故ｂ值也是唯一的ꎬ所以ꎬ在ａ∗Ｎ＝ｆ－ｂ中ꎬ定可确定ｂ的值.其中ａ∗Ｎ<ｆ<ａ(Ｎ＋１)ꎬ则ｂ＝ｆ－ａ∗Ｎ.即可求出[ａꎬｂ].㊀㊀参考文献:[１]郜洪三.运算能力及其培养[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１３(２１):８３－８４.[２]彭月英ꎬ李世才ꎬ苗丽.求解 余数问题 的算法研究[Ｊ].数学的实践与认识ꎬ２００８(１０):２０９－２１５.[责任编辑:杨惠民]幂级数收敛半径和收敛域的求解探讨如何培养学生的创新思维刘㊀洋(广东省佛山市广州工商学院三水校区㊀５１０８５０)摘㊀要:幂级数收敛半径和收敛域的探讨课堂ꎬ不仅可以培养学生的逻辑思维能力ꎬ而且还能培养学生的创新思维.高等数学是一门抽象的㊁理论性和逻辑性很强的一门课ꎬ学起来比较枯燥无味ꎬ本文以幂级数收敛半径和收敛域的求解的探讨ꎬ引导学生学会创新思维ꎬ不断激发学生学习数学的兴趣.关键词:幂级数ꎻ收敛半径ꎻ收敛域ꎻ对分课堂中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)０６－００１２－０２收稿日期:２０１９－１１－２５作者简介:刘洋(１９８９－)ꎬ女ꎬ讲师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁幂级数的收敛半径关于此幂级数的收敛半径的求法可直接利用下面的定理.定理１㊀如果ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ其中ａｎꎬａｎ＋１是幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的相邻两项的系数ꎬ那么此幂级数的收敛半径Ｒ＝１/ρꎬρʂ０ꎬ＋¥ꎬρ＝０ꎬ０ꎬρ＝＋¥.{形如幂级数ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ将其记为 标准型 幂级数ꎬ可直接利用公式ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ求其收敛半径Ｒ＝１ρꎬ收敛区间为(－ＲꎬＲ).对于 一般型 幂级数在求收敛半径时可通过换元转换为标准型求解ꎬ对于规则缺项幂级数和一类缺项幂级数求收敛半径和收敛区间ꎬ可通过逐项求导(或逐项求积分)和换元转换为标准型求解.本文先引用定理引出结论ꎬ然后讨论不同类型幂级数都可以通过换元化为标准型幂级数进行求解ꎬ最后将其结论进行推广应用.２１Copyright©博看网 . All Rights Reserved.㊀㊀二㊁不同类型的幂级数收敛半径和收敛域的求法㊀㊀本文对标准型幂级数求它们的收敛半径和收敛域的求解进行研究.幂级数的形式多样ꎬ不同类型幂级数的求解方法各异ꎬ但本文主要把不同类型幂级数通过换元的方法化为标准型幂级数后ꎬ再进行求解.１. 标准型 ð¥ｎ＝０ａｎｘｎ的求法步骤㊀(１)求ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ρꎬ则Ｒ＝１ρꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(２)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).例１㊀求幂级数ｘ－ｘ２２＋ｘ３３－ ＋(－１)ｎ－１ｘｎｎ＋ 的收敛半径与收敛域.解㊀此级数可记为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１ｘｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｘ＝－１ꎬ级数成为－１－１２＋１３－ －１ｎ－ ꎬ此级数发散ꎻ对于端点ｘ＝１ꎬ级数成为交错级数１－１２＋１３－ ＋(－１)ｎ－１１ｎ＋ ꎬ此级数收敛.因此ꎬ此级数收敛域是(－１ꎬ１].２. 一般型 化为 标准型 的求法通过换元将 一般型 化为 标准型 ꎬ利用标准型求解.例２㊀求幂级数ð¥ｎ＝０(ｘ－５)ｎｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ－５ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝０ｔｎｎ.因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥１ｎ＋１１ｎ＝ｌｉｍｎң¥ｎｎ＋１＝１ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ꎬ新级数的收敛区间为(－１ꎬ１).对于端点ｔ＝－１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０(－１)ｎｎꎬ满足莱布尼茨定理的交错级数ꎬ故此时新级数收敛ꎻ对于端点ｔ＝１ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝０１ｎꎬ即ρ＝１２<１是Ｐ－级数ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是[－１ꎬ１)即－１ɤｔ<１ꎬ则－１ɤｘ－５<１ꎬ解得４ɤｘ<６.综上ꎬ原级数的收敛域为[４ꎬ６)ꎬ收敛半径Ｒ＝１.３. 有缺型 化为 标准型 的求法通过逐项积分或逐项求导或换元将 有缺型 化为标准型 ꎬ利用标准型求解.例３㊀求幂级数ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｘ２ｎ的收敛半径和收敛域.解㊀令ｔ＝ｘ２ꎬ得新级数为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１３ｎｔｎꎬ因为ρ＝ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥３ｎ＋１３ｎ＝３ꎬ所以收敛半径Ｒ＝１ρ＝１３ꎬ新级数的收敛区间为(－１３ꎬ１３).对于端点ｔ＝－１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)＝－１－１－１－ ꎬ故此时新级数发散ꎻ对于端点ｔ＝１３ꎬ新级数成为ð¥ｎ＝１(－１)ｎ－１＝１－１＋１－１＋ ꎬ故此时新级数发散.因此ꎬ新级数收敛域是(－１３ꎬ１３)即－１３<ｔ<１３ꎬ则－１３<ｘ２<１３ꎬ解得－１３<ｘ<１３.综上ꎬ原级数的收敛域为－１３ꎬ１３æèçöø÷ꎬ收敛半径Ｒ＝１３.㊀㊀三㊁归纳总结一般规律定理２㊀形如ð¥ｎ＝０ａｎｆｎ(ｘ)的幂级数ꎬ称为广义幂级数.(其中ｆ(ｘ)为ｘ函数)其收敛半径和收敛域的求法如下:步骤㊀(１)令ｔ＝ｆ(ｘ)ꎬ则得新级数为ð¥ｎ＝０ａｎｔｎꎻ(２)求收敛半径Ｒ＝１ρ＝１ｌｉｍｎң¥ａｎ＋１ａｎ＝ｌｉｍｎң¥ａｎａｎ＋１ꎬ收敛区间(－ＲꎬＲ)ꎻ(３)求收敛域(即考察端点ｘ＝ʃＲ的敛散性).由于求收敛域和收敛半径题目类型多样ꎬ为更好更快地解决问题ꎬ需要按 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型求解.在上述过程中我们以 标准型 ㊁ 一般型 和 有缺项 三种类型的三个例题通过换元化为 标准型 来具体说明求收敛域和收敛半径的求解方法ꎬ最后总结出一般的规律.本文利用现有的有用信息定理１ꎬ举例讲解例１ꎬ让学生自己去理解体会标准型幂级数求解收敛半径和收敛域的步骤ꎬ进一步探索和想出可供选择的信息进行考虑不同类型的幂级数的求解方法.本文中幂级数收敛半径和收敛域的求解方法按不同的类型化归同一种类型求解的对分课堂ꎬ不仅激发了学生学习数学的兴趣ꎬ而且还培养了学生的创新思维.㊀㊀参考文献:[１]吕端良ꎬ王云丽.广义幂级数收敛域的求法[Ｊ].科技信息ꎬ２０１３(１７):１５２.[２]蒋国强ꎬ一类幂级数收敛半径的统一求法[Ｊ].高等函授学报(自然科学版)ꎬ２００３(０３):２０－２１.[责任编辑:杨惠民]３１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
幂级数收敛域的论述
幂级数收敛域的论述
幂级数的收敛域利用比值判别法，
r=lima/a=lim[(1+1/n)^(n^2)]/{[(1+1/(n+1)]^[(n+1)^2]}=lime^n/e^(n+1)=1/e，x=1/e 时级数化为∑1;x=-1/e时级数化为∑(-1)^n，收敛域x∈(-1/e,1/e)。
幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
幂级数数学分析就是解常微分方程的一种方法，特别就是当微分方程的求解无法用初等函数或或其分数式抒发时，就要谋求其他解方法，尤其就是对数解方法，幂级数数学分析就是常用的对数解方法。
用幂级数数学分析和广义幂级数数学分析可以求解出来许多数学物理中关键的常微分方程，比如:贝塞尔方程、尔使德方程。
绝对收敛级数：
一个绝对发散级数的正数项与负数项所共同组成的级数都就是发散的。
一个条件收敛级数的正数项与负数项所共同组成的级数都就是收敛的。
对于任意给定的正数tol，可以找到合适的区间(譬如坐标绝对值充分小)，使得这个区间内任意三个点组成的三角形面积都小于tol。
幂级数的收敛域
1 1 , a n 2 , a n1 2 ( n 1) n n2 an1 l lim| | lim 1 n ( n 1) 2 n an
yn 2 收敛半径为 r 1. n 1 n
1 n 当y 1时， 2 (1) 12 收敛. n 1 n n 1 n
至于x r处，可能收敛也可能发 散.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
定理2
n 对幂级数 a x n ，若 n 0
an1 lim| | l n an
则
(lim an l )
n
n
1 (i) 0 l 时, 此幂级数的收敛半径 r ; l
(ii) l 0 时, 此幂级数的收敛半径 r ;
收敛半径为 r .
收敛域为 R.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
n n 例3、 求 幂 级 数 n 收 域. x 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 n 1
解 : an n n ,
n lim n lim n l lim | an | n
n
n
n
n
收敛半径为 r 0.
收敛域为 {0}.
幂级数的收敛域
§9.3 幂级数
1 n 例4、 求 幂 级 数 ( x 2 ) 的 收 敛 半 径 ， 并 讨 论敛 收 域. 2 n 1 n
解：设 x 2 y,
1 1 n n ( x 2 ) y 2 2 n 1 n n 1 n
[a , b] 上有连续的导数，∑un′(x) 在[a , b] 上一致收敛，
则其和函数在I连续可导，且
d d un ( x ) un ( x ). dx n1 n 1 dx
怎么求幂级数的收敛域
怎么求幂级数的收敛域
求幂级数的收敛域是一项重要的数学问题。
收敛域是指幂级数在哪些数值范围内能够收敛，而在哪些数值范围内会发散。
一般来说，求幂级数的收敛域需要使用一些数学方法和技巧。
首先，需要使用柯西-阿达玛公式来求解收敛半径。
柯西-阿达玛公式是一个用于计算幂级数收敛半径的公式，其表示为：
R = 1 / lim sup (|a_n|^1/n)
其中，a_n表示幂级数的系数，n表示系数的下标，lim sup表示极限上确界。
该公式的意思是，收敛半径的倒数等于系数的n次方根的极限上确界。
求解收敛半径之后，就可以确定幂级数的收敛域了。
如果收敛半径为R，则幂级数在区间(-R,R)内收敛，在区间(-∞,-R)和(R,∞)内发散，在R和-R处需要单独讨论。
但需要注意的是，柯西-阿达玛公式只能判断幂级数的收敛域是否是一个区间，而不能确定具体的收敛性质。
因此，需要使用其他的方法来判断幂级数在边界处的收敛性质，以确定最终的收敛域。
总之，求幂级数的收敛域需要使用柯西-阿达玛公式来求解收敛半径，然后再使用其他的方法来确定边界处的收敛性质，以确定最终的收敛域。
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幂级数收敛域的论述①
李红菊， 丁 健， 濮明月， 梁 静
（安徽新华学院通识教育部，安徽 合肥 ２３００８８）
摘 要： 级数研究的第一重要内容是收敛性，为了更好地研究级数的收敛性，作者通过研究幂 级数加、减、柯西乘积运算以及幂级数逐项求导和逐项积分，探讨了幂级数的和、差、柯西乘积，以 及幂级数求导和求积分后得到新的幂级数的收敛问题。最后通过实际例子进行验证，对今后研 究幂级数收敛性是有一定的理论意义的。 关键词： 幂级数；幂级数的运算；求积分；收敛域 中图分类号： Ｏ１５１．２１ 文献标识码： Ａ
命题 １ 设幂级数 ∑ａｎｘｎ、∑ｂｎｘｎ的收敛域
ｎ＝０
ｎ＝０
分别为 Ｄ１，Ｄ２，收敛半径分别为 Ｒ１，Ｒ２，则幂级
∑ ∑ 数
( ａｎ ＋ｂｎ) ｘｎ 和
( ａｎ －ｂｎ) ｘｎ 的 收 敛 域 Ｄ
ｎ＝０
ｎ＝０
Ｄ１∩ Ｄ２，收敛半径 Ｒ Ｍｉｎ{Ｒ１，Ｒ２} ．
∑ 证明： 假设 ｘ０ ∈ Ｄ１ ∩ Ｄ２，则 ａｎｘ０ｎ 和 ｎ＝０
０ 引 言
级数研究的第一重要内容是收敛性，幂级数作 为最简单的一类函数项级数，在函数展开式中每一 步都会用到它，并且它结构简单，成为数学分析中 研究指数函数、对数函数和三角函数等的常用基础 工具，所以国内外学者对幂级数的研究热度经久不 退：１９９４年，苏 瑟 兰 德 （Ｓｕｔｈｅｒｌａｎｄ）成 功 的 利 用 幂 级数解法证明了该模型可以解释汇率的峰形分布 和汇率与利率差之间的不确定相关关系；１９８９年， 刘人怀发展了 Ｗａｙ的方法，提出修正幂级数法，求 解了计及表层抗弯刚度的夹层圆板的大挠度方程。 但这些都未对幂级数基本运算后的幂级数的收敛 性及收敛域进行探讨，作者从研究幂级数加、减、柯 西乘积运算以及幂级数逐项求导和逐项积分，探讨 了幂级数基本运算后得到新的幂级数的收敛问题。 最后通过实际例子进行验证，对今后研究幂级数收 敛性是有一定的理论意义的。
ｎ＝１
ｎ
径 Ｒ１ ＝１，
∑ ∑
当 ｘ ＝－１时，
（－１）ｎ－１ ( －１) ｎ ＝
ｎ＝１
ｎ
ｎ＝１
∑ ( －１) ２ｎ－１ ＝－ １是发散的
ｎ
ｎ＝１ ｎ
∑ ∑
当 ｘ＝１时，
（－１）ｎ－１ １ｎ ＝
( －１) ｎ－１
ｎ＝１
ｎ ｎ＝１
ｎ
是收敛的交错级数，
∑ 故幂级数
ｎ＝１
（－１）ｎ－１
ｎ
径为 Ｒ１ ＝１，收敛域为 Ｄ１ ＝( －１，１] ．
∑
ｎ＝１
（－１）ｎ ｘｎ 的收敛半径为 ｎ
Ｒ２
＝１，收敛域
为 Ｄ１ ＝( －１，１] ．
∑ ∑ 因为 （－１）ｎ－１ ｘｎ ＋ （－１）ｎ ｘｎ ＝０
ｎ＝１
ｎ ｎ＝１
ｎ
∑ ∑ 故 （－１）ｎ－１ ｘｎ ＋ （－１）ｎ ｘｎ 的收敛半
３４０
佳 木 斯 大 学 学 报 （自 然 科 学 版 ）
２０１９年
Ｄ２，收敛半径 Ｒ Ｍｉｎ{Ｒ１，Ｒ２} ．
∑ ∑ 注 １、 幂 级 数 ( ａｎ ±ｂｎ) ｘｎ 在 ａｎｘｎ、
ｎ＝０
ｎ＝０
∑ ｂｎｘｎ的收敛半径 Ｒ１ ＝Ｒ２时，Ｒ Ｍｉｎ{Ｒ１，Ｒ２}
ｎ＝０
，Ｄ Ｄ１∩ Ｄ２；在 Ｒ１≠ Ｒ２时，Ｒ＝Ｍｉｎ{Ｒ１，Ｒ２} ，
Ｄ ＝Ｄ１∩ Ｄ２ [ １] ．
∑ ∑ 例 １、 已 知 幂 级 数 （－１）ｎ－１ ｘｎ 、
ｎ＝１
ｎ ｎ＝１
∑ ∑ （－１）ｎ ｘｎ ，求 （－１）ｎ－１ ｘｎ ＋ （－１）ｎ ｘｎ 的
ｎ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱｎ＝１
ｎ ｎ＝１
ｎ
收敛半径和收敛域。
∑ 解： 易求得幂级数 （－１）ｎ－１ｘｎ的收敛半
ｎ＝１
ｎ＝１
ｎ ｎ＝１
ｎ
径 Ｒ ＝＋ ＞ｍｉｎ{Ｒ１，Ｒ２} ，
收敛域 Ｄ ＝( －，＋ ) Ｄ１∩ Ｄ２．
∑ ∑ 例 ２、 已知幂级数 （－１）ｎ－１ｘｎ 、 ｘｎ ，
ｎ＝１
ｎ ｎ＝１ ｎ
∑ ∑ 求 （－１）ｎ－１ ｘｎ ＋ ｘｎ 的收敛半径和收敛域。
ｎ＝１
ｎ ｎ＝１ ｎ
∑ 解： 易求得幂级数 （－１）ｎ－１ｘｎ的收敛半
ｎ＝０
∑ ∑ ａｎｘｎ，
ｂｎｘｎ
的收敛区间分别为
ｎ＝０
ｎ＝０
( －Ｒ１，Ｒ１) 和 ( －Ｒ２，Ｒ２) ． 因 为 Ｄ１
( －Ｒ１，Ｒ１) ，Ｄ２ ( －Ｒ２，Ｒ２) ，Ｄ Ｄ１∩ Ｄ２，故 Ｒ
Ｍｉｎ{Ｒ１，Ｒ２} ．
∑ 同理可证 ( ａｎ －ｂｎ) ｘｎ的收敛域 Ｄ Ｄ１∩ ｎ＝０
① 收稿日期：２０１８－１２－２４ 基金项目：安徽省教育厅重点教学研究项目（２０１６ｊｙｘｍ０４７６）；安徽新华学院质量工程（２０１６ｊｘｔｄｘ０３）；安徽新华学院中青年骨干教 师资助项目（２０１５ｘｇｇ２２）；安徽新华学院重点教研项目（２０１６ｊｙ００８，２０１７ｊｙ００８）。 作者简介：李红菊（１９８２－），女，安徽合肥人，讲师，硕士，研究方向：数学教育、代数编码及密码。
第 ３７卷 第 ２期 佳 木 斯 大 学 学 报 （ 自 然 科 学 版 ） ２０１９ 年 ０３月 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＪｉａｍｕｓｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
文章编号：１００８－１４０２（２０１９）０２－０３３９－０４
Ｖｏｌ．３７ Ｎｏ．２ Ｍａｒ． ２０１９
１ 幂 级 数 运 算 后 得 到 新 幂 级 数 的 收 敛域问题
幂 级 数 ∑ ∑ ａｎｘｎ、 ｂｎｘｎ 的 收 敛 域 分 别 为
ｎ＝０
ｎ＝０
Ｄ１，Ｄ２，收敛半径分别为 Ｒ１，Ｒ２，依次讨论这两
个幂级数进行加、减、柯西乘积后得到新幂级数的
收敛域问题。
１．１ 幂级数的加、减运算后得到新幂级数的收敛域
ｘｎ 的收敛域为 ｎ
Ｄ１
＝
( －１，１] ；
∑
ｎ＝１
ｘｎ 的收敛半径为 ｎ
Ｒ２
＝１，
∑
当 ｘ＝－１时，
(
－１)
ｎ
是收敛的交错级数，
ｎ＝１ ｎ
∑ ∑
当 ｘ＝１时，
１ｎ ＝
∑ｂｎｘｎ０ 均 收 敛。 由 级 数 收 敛 的 性 质 可 知
ｎ＝０
∑ ( ａｎ ＋ｂｎ) ｘｎ０ 收 敛。 由 ｘ０ 的 任 意 性，
ｎ＝０
∑ ( ａｎ ＋ｂｎ) ｘｎ０ 的收敛域 Ｄ Ｄ１ ∩ Ｄ２．又由于
ｎ＝０
∑ ∑ ａｎｘｎ， ｂｎｘｎ的收敛半径分别为 Ｒ１ 和 Ｒ２，故
ｎ＝０