高中数学 导数经典知识点及例题讲解

§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题

自学引导

1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义．

2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身

1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为

Δy

Δx

＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy

Δx

＝________，表示函

数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率.

1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

答 案

2.

f (x 0＋Δx )－f (x 0)

Δx

名师讲解

1.如何理解Δx ，Δy 的含义

Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．

2．求平均变化率的步骤

求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1.

(3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1

x 2－x 1

.

对平均变化率的认识

函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在

[0，π2]上的平均变化率为sin π

2－sin0

π2

－0＝2

π

.

在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.

典例剖析

题型一求函数的平均变化率

例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2.

(1)求此物体的初速度；

(2)求t＝0到t＝1的平均速度．

分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1)

－S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS

Δt

就可以得到平均速度．

解(1)由于v＝S

t

＝

3t－t2

t

＝3－t.

∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1

∴v＝ΔS

Δt

＝

2

1

＝2.

∴从t＝0到t＝1的平均速度为2.

误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零.

变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点

(－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy

Δx

＝( )

A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)

＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2)

＝－(Δx)2＋3Δx.

∴Δy

Δx

＝

－Δx2＋3Δx

Δx

＝－Δx＋3

答案D

题型二平均变化率的快慢比较

例2 求正弦函数y＝sin x在0到π

6

之间及

π

3

到

π

2

之间的平均变化率．并比

较大小．

分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小．

解设y＝sin x在0到π

6

之间的变化率为k1，则

k 1＝sin

π

6－sin0π6

－0＝3

π.

y ＝sin x 在π3到π

2

之间的平均变化率为k 2，

则k 2＝sin π2－sin π3π2－π3＝1－

32π6＝

3

2－3π.

∵k 1－k 2＝3π

－

3

2－3π

＝

33－1π

>0，

∴k 1>k 2.

答：函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π

2之间的平均变

化率为

3

2－3π

，且

3π

>32－3π

.

变式训练2 试比较余弦函数y ＝cos x 在0到π3之间和π3到π

2

之间的平均变化率的大小．

解 设函数y ＝cos x 在0到π

3之间的平均变化率是k 1，则k 1＝cos π

3－cos0

π3－0＝－

32π.

函数y ＝cos x 在π3到π

2之间的平均变化率是k 2，

则k 2＝cos

π2－cos π3π2－π3＝－3

π.

∵k 1－k 2＝－32π－(－3π)＝3

2π

>0，

∴k 1>k 2.

∴函数y ＝cos x 在0到π3之间的平均变化率大于在π3到π

2

之间的平均变化

率．

题型三 平均变化率的应用

例3 已知一物体的运动方程为s (t )＝t 2＋2t ＋3，求物体在t ＝1到t ＝1＋Δt 这段时间内的平均速度．