导数的概念试题含答案
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】2【解析】，又在点处的切线方程是，．【考点】三角函数化简求值．2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,因此切线方程为，即．【考点】（1）导数的运算法则；（2）导数的几何意义．3.若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程：①x2﹣y2=1②x2﹣|x﹣1|﹣y=0③xcosx﹣y=0④|x|﹣+1=0其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②x2﹣|x﹣1|﹣y="0" ,由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；③xcosx﹣y=0的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线；④|x|﹣+1=0，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在．故选：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.4.抛物线在点处的切线的倾斜角是( )A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】设抛物线在点处的切线的倾斜角为,因为,由导数几何意义得：,故选B.【考点】导数几何意义.5.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.6.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.7.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.2.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.3.设，则曲线在处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，根据导数的几何意义可知，曲线在处的切线的斜率为，故选B．【考点】导数的几何意义．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．6.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是________．【答案】【解析】与已知直线垂直的直线的斜率,,解得,代入曲线方程所以切线方程为,整理得：【考点】1.导数的几何意义；2.直线的垂直.7.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义8.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.9.在曲线处的切线方程为。
高二数学导数试题答案及解析
高二数学导数试题答案及解析1.若曲线的一条切线l与直线垂直，则切线l的方程为 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以，由导数的几何意义可知切线的斜率为。
直线的斜率为。
由题意可得，解得，切点为，切线的斜率为4，所以切线的方程为，即。
故A正确。
【考点】1导数的几何意义；2两直线垂直时斜率的关系；3直线方程。
2.曲线在点（1,1）处的切线方程为 .【答案】【解析】∵y=lnx+x，∴，∴切线的斜率k=2，所求切线程为.【考点】导数的几何意义.3.已知是定义在上的非负可导函数，且满足，对任意正数，若，则的大小关系为A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，是定义在上的非负可导函数，且满足，即，所以，在是增函数，所以，若，则的大小关系为。
选A。
【考点】导数的运算法则，应用导数研究函数的单调性。
点评：中档题，在给定区间，如果函数的导数非负，则函数为增函数，如果函数的导数非正，则函数为减函数。
比较大小问题，常常应用函数的单调性。
4.已知函数的导函数为,1，1），且，如果，则实数的取值范围为（）A．（）B．C．D．【答案】B【解析】由于,1，1），故函数在区间上为增函数，且为奇函数，由得：，则，解得。
故选Ｂ。
【考点】函数的性质点评：求不等式的解集，常结合到函数的单调性，像本题解不等式就要结合到函数的单调性。
5.已知函数在上是单调函数,则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，函数在上是单调函数,所以，=0无不等实数解，即，解得，，故选B。
【考点】利用导数研究函数的单调性。
点评：简单题，在某区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。
6.已知曲线方程,若对任意实数,直线,都不是曲线的切线,则实数的取值范围是【答案】【解析】把已知直线变形后找出直线的斜率，要使已知直线不为曲线的切线，即曲线斜率不为已知直线的斜率，求出f（x）的导函数，由完全平方式大于等于0即可推出a的取值范围解：把直线方程化为y=-x-m，所以直线的斜率为-1，且m∈R，所以已知直线是所有斜率为-1的直线，即曲线的斜率不为-1，由得：f′（x）=x2-2ax，对于x∈R，有x2-2ax≥，根据题意得：-1<a＜1．故答案为【考点】求曲线上过某点曲线方程点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点曲线方程的斜率，是一道基础题．7.曲线在点（1，2）处的切线方程是____________---------【答案】【解析】，直线斜率为1，直线方程为【考点】导数的几何意义点评：几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线的斜率8.已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）对任意，在区间上是增函数，求实数的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】（Ⅰ）解：当时，， 2分，又 4分所以曲线在点处的切线方程为即 6分（Ⅱ）= 8分记，则，在区间是增函数，在区间是减函数，故最小值为 -10分因为对任意，在区间上是增函数．所以在上是增函数， 12分当即时，显然成立当综上 15分【考点】导数的几何意义与函数单调性点评：第一问利用导数的几何意义：函数在某一点处的导数值等于该点处的切线斜率，可求得切线斜率，进而得到切线方程；第二问也可用参变量分离法分离，通过求函数最值求的取值范围9.已知函数，则（）A．0B．1C．-1D．2【答案】C【解析】根据题意，由于,则可知-1+0=-1，故答案为C.【考点】导数的运算点评：主要是考查了导数的运算法则的的运用，属于基础题。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.2.曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求点到直线的距离，需知点的坐标和直线的方程，由公式,计算可得.由于直线为已知曲线方程的切线，且已知切点，这样一般通过求导数得到切线的斜率，由点斜式得到直线方程.，，.【考点】（1）导数与切线的关系；（2）点到直线的距离.3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由曲线在点处的切线方程为得：，从而可得：，所以曲线在点处切线的斜率为４；故选Ｂ．【考点】函数导数的几何意义．4.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.5.曲线在点处的切线斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得到，把x=0代入得：，则曲线在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．【考点】1．直线的斜率；2．导数的几何意义．6.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn ，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N +），其中x n为正实数．（1）用xn 表示xn+1；（2）若x1=4，记an=lg，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）由题设条件知曲线y=f（x）在点处的切线方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（3）由题设知，所以，由此可知．解：（1）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（2）由，知，’同理．----6’故．-----7’从而，即．所以，数列成等比数列．---8’故．即．----9’从而,所以．----10’（3）由（Ⅱ）知，∴∴ ---11’当时，显然．-------12’当时，-----13’∴．综上，．【考点】1．数列递推式；2．等比关系的确定；3．数列的求和；4．不等式的证明．7.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．8.已知曲线：（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）先求出的值，再求函数的导函数，求得的值即为点斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（1）∵，∴，求导数得：，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即：．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得：，代入曲线方程得：切点为或，∴所求切线方程为：或，即：或．【考点】1、导数的计算；2、导数的几何意义．9.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义10.过点恰可以作曲线的两条切线，则的值为；【答案】0或1或9【解析】设切点，则有所以或.因为过点恰可以作曲线的两条切线，，所以方程有不等于零的两个等根或包含零的两个不等根.由得或，此时方程的根非零.当方程有零根时，，此时方程还有另一根【考点】导数求切线11.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为．【答案】【解析】曲线在点处切线的方程为：.【考点】导数的几何性质.12.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.13.在曲线处的切线方程为。
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高三数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.曲线f(x)＝·e x－f(0)x＋x2在点(1，f(1))处的切线方程为____________．【答案】y＝ex－【解析】因为f′(x)＝·e x－f(0)＋x，故有即原函数表达式可化为f(x)＝e x－x＋x2，从而f(1)＝e－，所以所求切线方程为y－＝e(x－1)，即y＝ex－.2. [2014·辽宁模拟]曲线y＝在点(1，－1)处的切线方程为()A．y＝x－2B．y＝－3x＋2C．y＝2x－3D．y＝－2x＋1【答案】D【解析】由题意得y＝1＋，所以y′＝，所以所求曲线在点(1，－1)处的切线的斜率为－2，故由直线的点斜式方程得所求切线方程为y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.3.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．【考点】导数求切线方程.4.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】，即切线的斜率为，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是，选B5.设函数的定义域是,其中常数.(1)若,求的过原点的切线方程.(2)当时,求最大实数,使不等式对恒成立.(3)证明当时,对任何,有.【答案】(1)切线方程为和.(2)的最大值是.（3）详见解析.【解析】(1)一般地，曲线在点处的切线方程为：.注意，此题是求过原点的切线，而不是求在原点处切线方程，而该曲线又过原点，故有原点为切点和原点不为切点两种情况.当原点不为切点时需把切点的坐标设出来.(2)令,则问题转化为对恒成立.注意到,所以如果在单调增,则必有对恒成立.下面就通过导数研究的单调性.（3）不等式可变形为：.为了证这个不等式，首先证；而证这个不等式可利用导数证明.故令，然后利用导数求在区间上范围即可.试题解析：(1).若切点为原点,由知切线方程为;若切点不是原点,设切点为,由于,故由切线过原点知,在内有唯一的根.又,故切线方程为.综上所述,所求切线有两条,方程分别为和.(2)令,则,,显然有,且的导函数为：.若,则,由知对恒成立,从而对恒有,即在单调增,从而对恒成立,从而在单调增,对恒成立.若,则,由知存在,使得对恒成立,即对恒成立,再由知存在,使得对恒成立,再由便知不能对恒成立.综上所述,所求的最大值是.（3）当时，令，则，故当时，恒有，即在单调递减，故，对恒成立.又，故，即对恒有：，在此不等式中依次取，得：，，，，，…………………………，将以上不等式相加得：，即.【考点】导数及其应用.6.已知函数(1)若，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调区间；(3）设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)(2)详见解析(3)【解析】(1)已知函数的解析式,把切点的横坐标带入函数即可求出切点的纵坐标,对求导得到函数的导函数,把带入导函数即可求的切线的斜率,利用点斜式即可得到切线的方程.(2)对函数进行求导和求定义域,导函数喊参数,把分为两种情况进行讨论,首先时,结合的定义域即可得到导函数在定义域内恒大于0,进而得到原函数在定义域内单调递增,当时,求解导函数大于0和小于0的解集,得到原函数的单调递增和单调递减区间.(3)该问题为存在性问题与恒成立问题的结合,即要求,而的最大值可以利用二次函数的图像得到函数在区间上的最值,函数的最大值可以利用第二问的单调性求的,当时,函数单调递增,无最大值,故不符合题意,当时,函数在处前的最大值,带入不等式即可求的的取值范围.试题解析：(1)由已知， 1分，所以斜率， 2分又切点，所以切线方程为)，即故曲线在处切线的切线方程为。
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析
高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.我们把形如的函数称为幂指函数，幂指函数在求导时，可以利用对数法：在函数解析式两边取对数得，两边对x求导数，得于是，运用此方法可以求得函数在（1，1）处的切线方程是 .【答案】【解析】：仿照题目给定的方法，所以，所以，所以，即：函数在处的切线的斜率为1，故切线方程为：，即，故答案为：．【考点】归纳推理.2.曲线y=e2x在点（0，1）处的切线方程为（）.A．y=x+1B．y=﹣2x+1C．y=2x﹣1D．y=2x+1【答案】D.【解析】，，则切线斜率，切线方程为，即.【考点】导数的几何意义.3.设函数的图像在点处切线的斜率为，则函数的部分图像为（）【答案】B【解析】 =xcosx,所以k=g(t)=tcost,是奇函数，图像关于原点对称，所以排除A,C，在t>0时，cost的值是先正后负的连续变换，故选B.【考点】导数，函数图像.4.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。
【答案】或。
【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.5.已知函数在上可导，且，则函数的解析式为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得，当时，有，进而得，所以，故选择B.【考点】导数的应用.6.曲线y＝－在点M处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．【答案】B【解析】因为==，所以曲线在M处的切线的斜率为=，故选B.考点:常见函数的导数，导数的运算法则，导数的几何意义7.设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】，故切线的斜率，在由切线与直线垂直得，即.【考点】导数的应用之一：曲线在一点处的切线以及两直线之间的位置关系.8.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．9.已知抛物线，和抛物线相切且与直线平行的的直线方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题得,与直线平行，则斜率为2，可得切点为，所以直线方程为．【考点】导数的几何意义，直线方程．10.曲线在点处切线的斜率为()A．B．C．D．【答案】B【解析】，则在点(1，－)处切线的斜率为，所以倾斜角为45°.【考点】导数的几何意义.特殊角的三角函数值.11.函数在点处的切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】令，则，所以。
高等数学第二章导数试题及答案
第二章 导数一．导数与微分概念 1．导数的定义如果极限()()xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆0000limlim 存在， 称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆， 则()()()000limx x x f x f x f x x --='→h x f h x f x f h )()(lim)(0000-+='→或hx f h x f x f h ---='→)()(lim )(0000我们也引进单侧导数概念。
右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='++→∆→+000000lim lim 0左导数：()()()()()xx f x x f x x x f x f x f x x x ∆-∆+=--='--→∆→-000000lim lim 0则有()x f 在点0x 处可导()x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。
切线方程：()()()000x x x f x f y -'=-法线方程：()()()0001x x x f x f y -'-=-()()00≠'x f 3．函数的可导性与连续性之间的关系如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。
例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。
4．微分的定义设函数()x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量()()00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式()()x x x A y ∆+∆=∆00()0→∆x其中()0x A 为与x ∆无关，()x ∆0是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
高三数学导数的概念和几何意义试题
高三数学导数的概念和几何意义试题1.若曲线处的切线平行于直线,则点的坐标是_______.【答案】（１,０)【解析】设P点的横坐标为，因为=，所以，解得=1，所以P(1,0).考点:导数的几何意义2.已知函数f（x）＝x（x＋a）－lnx，其中a为常数.（1）求f（x）的单调区间；（2）问过坐标原点可以作几条直线与曲线y＝f（x）相切？并说明理由；（3）若在区间（0，1）内是单调函数，求a的取值范围.【答案】（1）在区间内单调递减，在内单调递增；（2）一条；（3）【解析】（1）利用导函数确定单调区间；（2）设出切线方程，根据切线过原点求出切线条数；（3）g（x）在（0，1）内单调，则g'（x）在（0,1）内大于0或者小于0恒成立，由此求a的范围.试题解析：（1）由得，（舍去）.所以f（x）在区间内单调递减，在内单调递增.（3分）（2）设切点，则切线方程为.因为过原点，所以，化简得（※）.设，则，所以在区间内单调递增.又，故方程（※）有唯一实根，从而满足条件的切线只有一条.（8分）（3）.设，则，显然在区间（0，1）内单调递减.①当时，，从而在（0，1）内恒成立，即在（0，1）内单调递增.注意到，所以即在（0，1）内恒成立.于是在区间（0，1）内单调递减，符合题意.②当时，，，从而，使得在内恒成立，在内恒成立.即在内单调递增，在内单调递减.又，所以，又，所以存在，使得即在内恒成立，即在内恒成立.因此在区间（0，1）内既有递减区间，也有递增区间，不符合题意.综上可知，实数的取值范围是.（14分）【考点】函数的导数，导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题.3.与直线2x－6y＋1＝0垂直，且与曲线f(x)＝x3＋3x2－1相切的直线方程是( )A．3x＋y＋2＝0B．3x－y＋2＝0C．x＋3y＋2＝0D．x－3y－2＝0【答案】A【解析】设切点坐标为(x 0，y 0)，由f′(x)＝3x 2＋6x 得 f′(x 0)＝3x 02＋6x 0＝－3，解得x 0＝－1， 即切点坐标为(－1,1)．从而切线方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0，故选A.4. 曲线在点（1,1）处切线的斜率等于 A ． B ． C ．2D ．1【答案】C ． 【解析】对求导，得，由导数的几何意义，得所求切线的斜率，故选C ．【考点】导数的几何意义．5. 已知函数（为常数）． （1）若是函数的一个极值点，求的值； （2）当时，试判断的单调性； （3）若对任意的，使不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）3；（2）在上是增函数；（3）. 【解析】（1）先求函数的定义域，，在由可求得；（2）在中由于，判断函数的正负号，从而确定函数在上的单调性；（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．分离变量恒成立，构造函数 记，（），由导数法求解. 依题意，， （1）由已知得：，∴，∴．（3分）（2）当时，，因为，所以，而，即，故在上是增函数．（8分） （3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立记，（），则，令，则所以，所以, 故，所以在上单调递减所以即实数的取值范围为．（13分） 【考点】导数法求函数的单调性，构造法.6. 已知函数f(x)＝ax 2＋1，g(x)＝x 3＋bx ，其中a>0，b>0.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x) 在它们的交点P(2，c)处有相同的切线(P 为切点)，求实数a ，b 的值；(2)令h (x)＝f(x)＋g(x)，若函数h(x)的单调减区间为.①求函数h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值M(a)；②若|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）a＝，b＝5（2）①M(a)＝②【解析】解：(1)由P(2，c)为公共切点，f(x)＝ax2＋1，g(x)＝x3＋bx(a>0)，＝4a，得f′(x)＝2ax，k1＝12＋b.g′(x)＝3x2＋b，k2又f(2)＝4a＋1，g(2)＝8＋2b，所以，解得a＝，b＝5.(2)①h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，则h′(x)＝3x2＋2ax＋b.因为函数f(x)＋g(x)的单调减区间为，所以x∈时，有3x2＋2ax＋b≤0恒成立．此时x＝－是方程3x2＋2ax＋b＝0的一个根，所以32＋2a＋b＝0，得a2＝4b，所以h(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋ax2＋a2x＋1.又函数h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．若－1≤－，即a≤2时，最大值为h(－1)＝a－；若－<－1<－时，即2<a<6时，最大值为h＝1；若－1≥－时，即a≥6时，最大值为h＝1，综上所述，M(a)＝②由①可知h(x)在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．所以h为极大值，h＝1，h为极小值，h＝－＋1，因为|h(x)|≤3在x∈[－2,0]上恒成立，又h(0)＝1，所以即解得故实数a的取值范围是.7.已知).（1）若时，求函数在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（3）令是否存在实数，当是自然对数的底）时，函数的最小值是.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在实数，使在上的最小值是.【解析】（1）当时，，求其在切点处的导函数值，得到切线斜率，由点斜式即得所求；（2）函数在上是减函数，转化成在上恒成立；令，解即得；（3）假设存在实数，使在上的最小值是，根据，讨论当、、等三种情况时，令，求解即得.（1）当时， 1分,函数在点处的切线方程为 3分（2）函数在上是减函数在上恒成立 4分令，有得 6分7分（3）假设存在实数，使在上的最小值是38分当时，，在上单调递减，（舍去) 10分当且时，即，在上恒成立，在上单调递减，（舍去) 11分当且时，即时，令，得；，得在上单调递减，在上单调递增，满足条件 13分 综上所述，存在实数，使在上的最小值是. 14分【考点】应用导数研究函数的单调性、最（极）值，导数的几何意义，不等式恒成立问题，转化与化归思想，分类讨论思想.8. （5分）（2011•重庆）曲线y=﹣x 3+3x 2在点（1，2）处的切线方程为（ ） A ．y=3x ﹣1 B ．y=﹣3x+5 C ．y=3x+5 D ．y=2x【答案】A【解析】根据导数的几何意义求出函数f （x ）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可． 解：∵y=﹣x 3+3x 2∴y'=﹣3x 2+6x ， ∴y'|x=1=（﹣3x 2+6x ）|x=1=3，∴曲线y=﹣x 3+3x 2在点（1，2）处的切线方程为y ﹣2=3（x ﹣1）， 即y=3x ﹣1， 故选A ．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题．9. 若直线是曲线的切线，则实数的值为 ． 【答案】－e【解析】设切点为，则有因此 【考点】利用导数求切线10. 对于每一个正整数，设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则. 【答案】.【解析】利用导数求得曲线在点处的切线方程为，即， 它与轴交于点，则有，，.【考点】1.利用导数求切线方程；2.裂项求和11. 已知曲线y=x 4+ax 2+1在点(-1,a+2)处切线的斜率为8,则a 等于( ) A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-6【答案】D【解析】y′=4x 3+2ax 由题意知y′|x=-1=-4-2a=8, ∴a=-6.故选D.12. 已知曲线f(x)＝ln x 在点(x 0，f(x 0))处的切线经过点(0，－1)，则x 0的值为( ) A ． B ．1 C ．eD ．10【答案】B【解析】依题意得，题中的切线方程是y－ln x0＝ (x－x)；又该切线经过点(0，－1)，于是有－1－ln x0＝ (－x)，由此得ln x＝0，x＝1，选B.13.设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．(1)求L的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C在直线L的下方．【答案】（1）y＝x－1（2）见解析【解析】(1)设f(x)＝，则f′(x)＝.所以f′(1)＝1，所以L的方程为y＝x－1.(2)证明：令g(x)＝x－1－f(x)，则除切点之外，曲线C在直线L的下方等价于g(x)＞0(∀x＞0，x≠1)．g(x)满足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.当0＜x＜1时，x2－1＜0，ln x＜0，所以g′(x)＜0，故g(x)单调递减；当x＞1时，x2－1＞0，ln x＞0，所以g′(x)＞0，故g(x)单调递增．所以，g(x)＞g(1)＝0(∀x＞0，x≠1)．所以除切点之外，曲线C在直线L的下方．14.已知直线与曲线相切于点，则。
高中导数同步题型专题学习(试题+答案)
高中导数同步题型专题学习（试题+答案）微专题1 导数的概念及其运算专题知识梳理1．导数的概念设函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有定义，且x 0∈(a ，b )，若Δx 无限趋近于0时，比值Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 无限趋近于一个常数A ，则称f (x )在x ＝x 0处可导，并称该常数A 为函数f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内任意一点都可导，则f (x )在各点的导数也随着x 的变化而变化，因而是自变量x 的函数，该函数称作f (x )的导函数，记作f ′(x )． 2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式4.导数的运算法则 若f ′(x )，g ′(x )存在，则有：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．5．复合函数的求导法则(1)一般地，对于两个函数y ＝f (u )和u ＝g (x )，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数y ＝f (u )和u ＝g (x )的复合函数，记作y ＝f (g (x ))．(2)复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．考点探究考向1 导数概念及基本函数的导数 【例】利用导数的定义解答下列问题.(1)求f (x )=√x在x=1处的导数;(2)求f (x )=1x+2的导数. 【解析】(1) 因为Δy Δx =f (1+Δx )-f (1)Δx=1√1+Δx-1Δx=√1+Δx Δx √1+Δx =Δx √1+Δx (1+√1+Δx )=√1+Δx+1+Δx,所以当Δx →0时,Δy Δx→-12,所以f'(1)=-12.(2)因为Δy Δx =f (x+Δx )-f (x )Δx =1x+2+Δx -1x+2Δx =(x+2)-(x+2+Δx )Δx (x+2)(x+2+Δx )=-1(x+2)(x+2+Δx ), 所以当Δx →0时,ΔyΔx →-1(x+2)2,所以f'(x )=-1(x+2)2.题组训练求下列函数的导数： (1)y ＝e x ＋cos x ； (2)y ＝x ln x ； (3)y ＝log 2x －x 2＋1x.【解析】 (1)y ′＝(e x )′＋(cos x )′＝e x －sin x . (2)y ′＝1·ln x ＋x ·1x ＝ln x ＋1.(3)y ′＝1x ln2－2x －1x2.考向2 导数几何意义及其简单应用【例】(1) 已知曲线S :y=-23x 3+x 2+4x 及点P (0,0),那么过点P 的曲线S 的切线方程为 . （2）已知函数f (x )=x ln x ,过点A (-12,0)作函数y=f (x )图象的切线,那么切线的方程为 .（3）（2019·江苏卷）在平面直角坐标系xOy 中，点A 在曲线y =lnx 上，且该曲线在点A 处的切线经过点(−e,−1)(e 为自然对数的底数)，则点A 的坐标是______．【解析】(1) 设过点P 的切线与曲线S 切于点Q (x 0,y 0),则过点Q 的曲线S 的切线斜率为k=y'|x=x 0=-2x 02+2x 0+4,又当x 0≠0时,k PQ =y0x 0,所以-2x 02+2x 0+4=y0x 0. ①因为点Q 在曲线S 上,所以y 0=-23x 03+x 02+4x 0. ②将②代入①得-2x 02+2x 0+4=-23x 03+x 02+4x 0x 0,化简,得43x 03-x 02=0,所以x 0=34,则k=358,过点P 的切线方程为y=358x.当x 0=0时,则k=4,过点P 的切线方程为y=4x ,故过点P 的曲线S 的切线方程为y=4x 或y=358x.(2)设切点为T (x 0,y 0),则k AT =f'(x 0),所以x 0lnx 0x 0+1e2=ln x 0+1,即e 2x 0+ln x 0+1=0.设h (x )=e 2x+ln x+1,则h'(x )=e 2+1x ,当x>0时,h'(x )>0,所以h (x )在(0,+∞)上是单调增函数,所以h (x )=0最多只有一个根.又h (1e 2)=e 2×1e 2+ln 1e 2+1=0,所以x 0=1e 2.由f'(x 0)=-1得切线方程是x+y+12=0.（3）设A(x 0,lnx 0)，由y =lnx ，得y′=1x ， ∴y′|x=x 0=1x 0，则该曲线在点A 处的切线方程为y −lnx 0=1x 0(x −x 0)，∵切线经过点(−e,−1)，∴−1−ln x 0=−ex 0−1，即ln x 0=ex 0，则x 0=e ．∴A 点坐标为(e,1)． 故答案为：(e,1)． 题组训练1.已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为________．【解析】y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，且y ′＝1x ，设切点为(x 0，ln x 0)，则y ′|x ＝x 0＝1x 0，切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，因为切线过点(0,0)，所以－ln x 0＝－1，解得x 0＝e ，故此切线的斜率为1e.2.曲线y=x-cos x 在点(π2,π2)处的切线方程为 .【解析】因为y'=1+sin x ,所以所求切线的斜率k=2,所以所求切线方程为y-π2=2(x -π2),即2x-y-π2=0.3.已知曲线C 1:y=x 2与C 2:y=-(x-2)2,若直线l 与C 1,C 2都相切,则直线l 的方程为 . 【解析】设两个切点的坐标依次为(x 1,x 12),(x 2,-(x 2-2)2).由题意得{2x 1=-2x 2+4,x 12-[-(x 2-2)2]x 1-x 2=2x 1, 解得{x 1=0,x 2=2或{x 1=2,x 2=0,从而切线方程为y=0或y=4x-4.考向3 导数定义中的简单含参问题【例】(1) 已知曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y=ax 2+(a+2)x+1相切,则实数a= .(2) 已知函数f (x )=ln x ,g (x )=12x 2+mx+72(m<0),直线l 与函数f (x ),g (x )的图象都相切,且与f (x )图象的切点为(1,f (1)),则m 等于 .【解析】(1) 根据题意,曲线y=x+ln x 在点(1,1)处的切线斜率为2,故切线方程为y=2x-1,与y=ax 2+(a+2)x+1联立,得ax 2+ax+2=0,显然a ≠0,所以由判别式Δ=a 2-8a=0,得a=8.(2) 因为f'(x )=1x ,所以直线l 的斜率为k=f'(1)=1.又f (1)=0,所以切线l 的方程为y=x-1.g'(x )=x+m ,设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0,y 0),则有x 0+m=1,y 0=x 0-1,y 0=12x 02+mx 0+72,m<0,于是解得m=-2.题组训练1.若曲线y ＝ax 2－ln x 在点(1，a )处的切线平行于x 轴，则a ＝________.【解析】因为y ′＝2ax －1x ，所以y ′|x ＝1＝2a －1.因为曲线在点(1，a )处的切线平行于x 轴，故其斜率为0，故2a －1＝0，解得a ＝12.2.设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 【解析】∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x＝π2＝－1. 由条件知1a＝－1，∴a ＝－1.3.已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．【解析】由y ＝x ＋ln x ，得y ′＝1＋1x ，得曲线在点(1，1)处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝1＝2，所以切线方程为y －1＝2(x－1)，即y ＝2x －1.又该切线与y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切， 消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0， ∴a ≠0且Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8.4.若曲线y=x -12在点(a ,a -12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18,则实数a= .【解析】由题知x>0,y'=-12x -32,所以k=-12a -32,切线方程为y-a -12=-12a -32(x-a ).令x=0,得y=32a -12;令y=0,得x=3a.所以三角形的面积S=12·3a ·32a -12=94a 12=18,解得a=64.5.（拔高题）设曲线f (x )=-e x -x (e 为自然对数的底数)上任意一点的切线为l 1,总存在曲线g (x )=3ax+2cos x 上某点处切线l 2,使得l 1⊥l 2,则实数a 的取值范围为 .【解析】因为f'(x )=-e x -1,g'(x )=3a-2sin x ,所以直线l 1,l 2的斜率分别为k 1=-e x 1-1=-(e x 1+1),k 2=3a-2sin x 0,因为l 1⊥l 2,所以-(e x 1+1)(3a-2sin x 0)=-1,即3a-2sin x 0=1(e 1+1).因为对任意的x ∈R,有0<1(e x 1+1)<1,故存在x 0∈R,使得0<3a-2sin x 0<1,即1-2≤3a ≤2,即-13≤a ≤23.微专题2 利用导数研究函数的单调性专题知识梳理1. 用导数研究函数的单调性在某个区间(a ，b )内，如果f ′(x )≥0且在(a ，b )的任意子区间上不恒为0，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果f ′(x )≤0且在(a ，b )的任意子区间上不恒为0__，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递减． 2. 判定函数单调性的一般步骤 (1) 确定函数y ＝f (x )的定义域；(2) 求导数f ′(x )；(3) 在函数f (x )的定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0__； (4) 根据(3)的结果确定函数的单调区间． 3.已知函数单调性求参数的值或参数的范围。
2023年新高考数学一轮复习4-1 导数的概念、运算及导数的几何意义(真题测试)含详解
专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；②2y x ；③3y x =；④1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =-D ．21y x =+3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+=D ．10x y +-π+=5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x =B ．ln y x =C ．x y e =D ．3y x =6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1)B ．(0,2)C ．(0,+∞)D ．(1,+∞)8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ）A ．e 2B ．eCD ．2e二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（ ） A ． B ．C ．D ．10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（ ）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ）A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________．15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭的切线方程.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程．20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤） （2）求1122n n PQ P Q P Q +++21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值；(2)若()0f x ≤，求a 的取值范围．22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值．专题4.1 导数的概念、运算及导数的几何意义（真题测试）一、单选题1. （2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习）对于以下四个函数：①y x =；①2y x ；①3y x =；①1y x=．在区间[]1,2上函数的平均变化率最大的是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．④【答案】C 【解析】 【分析】分析求出四个函数的平均变化率，然后比较即可. 【详解】①21121y x ∆-==∆-，②41321y x ∆-==∆-，③81721y x ∆-==∆-，④1112212y x -∆==-∆-． 故选：C ．2．（2020·全国·高考真题（理））函数43()2f x x x =-的图像在点(1(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+【答案】B 【解析】 【分析】求得函数()y f x =的导数()f x '，计算出()1f 和()1f '的值，可得出所求切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-， 因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B.3．（2006·安徽·高考真题（理））若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ） A ．430x y --= B ．450x y +-= C ．430x y -+= D ．430x y ++= 【答案】A 【解析】【详解】与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A4．（2019·全国·高考真题（文））曲线y =2sin x +cos x 在点(π，–1)处的切线方程为（ ） A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+=【答案】C 【解析】 【分析】先判定点(,1)π-是否为切点，再利用导数的几何意义求解. 【详解】当x π=时，2sin cos 1y =π+π=-，即点(,1)π-在曲线2sin cos y x x =+上．2cos sin ,y x x '=-2cos sin 2,x y πππ=∴=-=-'则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=．故选C ．5．（2016·山东·高考真题（文））若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是（ ） A ．sin y x = B ．ln y x = C ．x y e = D ．3y x =【答案】A 【解析】 【分析】若函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1，进而可得答案． 【详解】解：函数y ＝f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直， 则函数y ＝f （x ）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为﹣1， 当y ＝sin x 时，y ′＝cos x ，满足条件；当y ＝lnx 时，y ′1x=＞0恒成立，不满足条件；当y ＝ex 时，y ′＝ex ＞0恒成立，不满足条件；当y ＝x 3时，y ′＝3x 2＞0恒成立，不满足条件； 故选A ．6．（2018·全国·高考真题（文））设函数()()321f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()00，处的切线方程为( )A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =【答案】D 【解析】 【详解】分析：利用奇函数偶次项系数为零求得1a =，进而得到()f x 的解析式，再对()f x 求导得出切线的斜率k ，进而求得切线方程.详解：因为函数()f x 是奇函数，所以10a -=，解得1a =， 所以3()f x x x =+，2()31x f 'x =+， 所以'(0)1,(0)0f f ==，所以曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为(0)'(0)y f f x -=， 化简可得y x =，故选D.7．（2016·四川·高考真题（文））设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,{ln ,1,x x x x -<<>图象上点P 1，P2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(0,+∞) D ．(1,+∞)【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程分别为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为221111112222111121211,ln .1,1,0111211PAB A B P PAB x x x x P x x S y y x S x x x x ∆∆⎛⎫-++>∴=-⋅=<=∴<< ⎪++++⎝⎭，故选A ． 8．（2022·四川省内江市第六中学模拟预测（文））若函数()21f x x =+与()2ln 1g x a x =+的图象存在公共切线，则实数a 的最大值为（ ） A ．e 2B ．e CD ．2e【答案】B 【解析】 【分析】分别设公切线与()21f x x =+和:()2ln 1C g x a x =+的切点()211,1x x +，()22,2ln 1x a x +，根据导数的几何意义列式，再化简可得2222222ln a x x x =-，再求导分析22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>的最大值即可【详解】()2f x x '=，()2a g x x'=，设公切线与()21f x x =+的图象切于点()211,1x x +，与曲线:()2ln 1C g x a x =+切于点()22,2ln 1x a x +，∴()()2221211221212ln 1122ln 2a x x a a x x x x x x x x +-+-===--，故12a x x =，所以212211212ln 2x x x x x x x -=-，∴122222ln x x x x =-⋅，∵12a x x =，故2222222ln a x x x =-，设22()22ln (0)h x x x x x =-⋅>，则()2(12ln )h x x x '=-，∴()h x在上递增，在)+∞上递减，∴max ()e h x h ==， ∴实数a 的最大值为e 故选：B. 二、多选题9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高二阶段练习）近两年为抑制房价过快上涨，政府出台了一系列以“限购、限外、限贷、限价”为主题的房地产调控政策．各地房产部门为尽快实现稳定房价，提出多种方案，其中一项就是在规定的时间T 内完成房产供应量任务S ．已知房产供应量S 与时间t 的函数关系如图所示，则在以下各种房产供应方案中，在时间[]0,T 内供应效率（单位时间的供应量）不是．．逐步提高的（ ）A ． B ．C ．D ．【答案】ACD 【解析】 【分析】根据变化率的知识，结合曲线在某点处导数的几何意义，可得结果. 【详解】单位时间的供应量逐步提高时，供应量的增长速度越来越快，图象上切线的斜率随着自变量的增加会越来越大，则曲线是上升的，且越来越陡，故函数的图象应一直下凹的.则选项B 满足条件，所以在时间[0，T ]内供应效率（单位时间的供应量）不是逐步提高的是ACD 选项， 故选：ACD.10．（2022·吉林·长春市第二实验中学高二期中）若曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，则（ ）A ．()sin cos f x x x x '=-B ．()sin cos f x x x x '=+C ．()ππf '=-D ．2πa =-【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知，选项A 、选项B ，可根据给出的曲线解析式直接求导做出判断，选项C ，可将πx =带入求解出的()f x '中进行求解判断，选项D ，根据求解出的()πf '结合直线方程的斜率，利用在πx =处的切线与直线互相垂直即可列出等量关系，求解出a 的值.【详解】选项A ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项错误； 选项B ，已知曲线()sin 1f x x x =-，所以()sin cos f x x x x '=+，故该选项正确；选项C ，因为()sin cos f x x x x '=+，所以()πsin ππcos πf '=+0ππ=-=-，故该选项正确；选项D ，直线210ax y ++=的斜率为2a-，而()ππf '=-，由已知，曲线()sin 1f x x x =-在πx =处的切线与直线210ax y ++=互相垂直，所以(π)12a--=-，所以2πa =-，该选项正确； 故选：BCD.11．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r 与体积V 之间的函数关系为r （V ），()r V '为r （V ）的导函数．已知r （V ）在03V ≤≤上的图象如图所示，若1203V V <≤≤，则下列结论正确的是（ ）A ．()()()()10211021r r r r --<-- B ．()()'1'2r r > C ．()()121222r V r V V V r ++⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．存在()012,V V V ∈，使得()()()21021r V r V r V V V --'=【答案】BD 【解析】 【分析】 A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以该选项错误； B:根据图象和导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确； C:设120,3,V V == 3(3)()22r r >，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确. 【详解】 解：A ：设()()()()1021tan ,tan =1021r r r r αθ--=--，由图得αθ>，所以tan tan ,αθ>所以()()()()10211021r r r r -->--，所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得()()12r r '>'，所以该选项正确；C:设()()1212123(3)=(0,3,),2222r V r V V V r r V V r ++⎛⎫= ⎪⎝⎭==∴，因为3()(0)2r r ->3(3)(),2r r -所以3(3)()22r r >，所以该选项错误； D:()()2121r V r V V V --表示1122(,()),(,())A V r V B V r V 两点之间的斜率，()0r V '表示00(,())C V r V 处切线的斜率，由于()012,V V V ∈，所以可以平移直线AB 使之和曲线相切，切点就是点C ,所以该选项正确. 故选：BD12．（2022·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ） A ．18ab ≤B ．218a b+≤C D ．3a b +≤【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，求出a ，b 的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答. 【详解】设直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ， 由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，=4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max C 正确； 对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<，D 不正确. 故选：AC 三、填空题13．（2015·天津·高考真题（文））已知函数()()ln ,0,f x ax x x =∈+∞，其中a 为实数，()f x '为()f x 的导函数，若()13f '=，则a 的值为_________． 【答案】3 【解析】'()ln f x a x a =+，所以'(1)3f a ==．14．（2015·全国·高考真题（文））已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a=________． 【答案】8 【解析】 【详解】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.15.（2020·全国·高考真题（文））曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________. 【答案】2y x = 【解析】 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =.16．（2012·浙江·高考真题（文））定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于C 2：x 2＋(y ＋4) 2 ＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝______________． 【答案】94【解析】 【详解】试题分析：由新定义可知，直线与曲线相离，圆的圆心到直线的距离为，此时直线与圆相离，根据新定义可知，曲线到直线的距离为，对函数求导得，令，故曲线在处的切线方程为，即，于是曲线到直线的距离为，则有，解得或，当时，直线与曲线相交，不合乎题意；当时，直线与曲线相离，合乎题意.综上所述，.四、解答题17．（2022·浙江·高三专题练习）已知()f x '是一次函数，()()()2212x f x x f x '--=，求()f x 的解析式．【答案】()2442f x x x =++【解析】 【分析】分析可知，函数()f x 为二次函数，可设()()20f x ax bx c a =++≠，根据导数的运算法则结合已知条件可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出函数()f x 的解析式. 【详解】由()f x '为一次函数可知()f x 为二次函数．设()()20f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+．所以，()()()()()()222212212x f x x f x x ax b x ax bx c '--=+--++=，即()()2220a b x b c x c -+-+-=，所以，02020a b b c c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，解得442a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，因此，()2442f x x x =++.18．（2021·全国·高三专题练习）已知曲线313y x =.求该曲线的过点82,3P ⎛⎫⎪⎝⎭的切线方程.【答案】123160x y --=或3320x y -+=. 【解析】 【分析】设出曲线过P 点的切线方程的切点坐标，把切点的横坐标代入到导函数中即可表示出切线的斜率，根据切点坐标和表示出的斜率，写出切线的方程，把P 的坐标带入到切线方程即可得到关于切点横坐标的方程，求出方程的解即可得到切点横坐标的值，分别代入所设的切线方程即可. 【详解】解：设切点坐标为()00,x y ，切点在曲线上，∴在点()00,x y 处切线的斜率为020x x k y x =='=.∴切线方程为()2000y y x x x -=-.又切线过点82,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且切点()00,x y 在曲线313y x =上()200030082,31,3y x x y x ⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩整理得3200340x x -+=，即()()200210x x -+=，解得02x =或01x =-.∴当02x =，083y =，即切线斜率为4时，切线的方程为123160x y --=；当01x =-，031y =-，即切线斜率为1时，切线的方程为3320x y -+=.综上，所求切线方程为123160x y --=或3320x y -+=.19．（2022·全国·高三专题练习）已知曲线32y x x =+-在点0P 处的切线1l 平行于直线410x y --=，且点0P 在第三象限． (1)求0P 的坐标；(2)若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程． 【答案】(1)(1,4)--； (2)4170x y ++=. 【解析】 【分析】（1）设点000(,)P x y ，求出给定函数的导数，再利用导数的几何意义，列式计算作答. （2）求出直线l 的斜率，由（1）的结论结合直线的点斜式方程求解作答. (1)由32y x x =+-求导得：231y x '=+，设切点000(,)P x y ，而点0P 在第三象限，即000,0x y <<，依题意，20314x +=，解得：01x =-，此时，04y =-，显然点(1,4)--不在直线410x y --=上，所以切点0P 的坐标为(1,4)--. (2)直线1l l ⊥，而1l 的斜率为4，则直线l 的斜率为14-，又l 过切点0P (1,4)--，于是得直线l 的方程为14(1)4y x +=-+，即4170x y ++=，所以直线l 的方程为：4170x y ++=.20．（2011·陕西·高考真题（理））如图，从点1(0,0)P 作x 轴的垂线交曲线xy e =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ，再从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；；n P ，n Q 记k P 点的坐标为(,0)k x （1,2,,k n =）（1）试求k x 与1k x -的关系（2k n ≤≤）（2）求1122n n PQ P Q P Q +++【答案】（1）11k k x x -=-()2k n ≤≤（2）11ne e e --- 【解析】 【详解】（1）根据函数的导数求切线方程，然后再求切线与x 轴的交点坐标；（2）尝试求出通项n n P Q 的表达式，然后再求和．（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵x y e =，∴x y e '=， ∴111(,)k x k k Q x e---，在点111(,)k x k k Q x e ---处的切线方程是111()k k x x k y e e x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2k n ）．（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--，∴(1)k x k k k PQ e e--==，于是有 112233n n PQ PQ PQ P Q ++++12(1)1111n k e e e ee -------=++++=-11ne e e --=-， 即112233n n PQ PQ PQ P Q ++++11ne e e --=-．21．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知曲线()()()211ln ,2f x x x x ax b a b =+--+∈R 在1x =处的切线经过坐标原点．(1)求b 的值； (2)若()0f x ≤，求a 的取值范围． 【答案】(1)32b = (2)[)1,+∞【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义可求得()f x 在1x =处的切线方程，代入坐标原点即可求得b ；（2）采用分离变量的方式可得()1131ln 22a g x x x x x ⎛⎫≥=+-+ ⎪⎝⎭，利用导数可求得()g x 单调性，由此可得()max 1g x =，进而得到a 的取值范围.(1)()1ln x f x x x a x+'=+--，()11f a '∴=-，又()112f a b =--+，()f x ∴在1x =处的切线为：()()1112y a b a x ++-=--，又该切线过原点，112a b a ∴+-=-+，解得：32b =.(2)由（1）得：()()2131ln 22f x x x x ax =+--+，()f x 定义域为()0,∞+；若()0f x ≤恒成立，则1131ln 22a x x x x ⎛⎫≥+-+ ⎪⎝⎭；令()1131ln 22g x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，则()222ln 212x x x g x x--+-'=； 令()22ln 21h x x x x =--+-，则()()221x x h x x-+'=-；210x x -+>恒成立，()0h x '∴<，()h x ∴在()0,∞+上单调递减，又()10h =，∴当()0,1x ∈时，()0h x '>；当()1,x ∈+∞时，()0h x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()max 131122g x g ∴==-+=，1a ∴≥，即a 的取值范围为[)1,+∞.22．（2020·北京·高考真题）已知函数2()12f x x =-．（Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程； （Ⅱ）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值． 【答案】（Ⅰ）2130x y +-=，（Ⅱ）32. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值. 【详解】（Ⅰ）因为()212f x x =-，所以()2f x x '=-，设切点为()00,12x x -，则022x -=-，即01x =，所以切点为()1,11， 由点斜式可得切线方程为：()1121y x -=--，即2130x y +-=. （Ⅱ）[方法一]：导数法显然0t ≠，因为()y f x =在点()2,12t t -处的切线方程为：()()2122y t t x t --=--， 令0x =，得212y t =+，令0y =，得2122t x t+=，所以()S t =()221121222||t t t +⨯+⋅，不妨设0t >(0t <时，结果一样)，则()423241441144(24)44t t S t t t t t++==++，所以()S t '=4222211443(848)(324)44t t t t t+-+-= 222223(4)(12)3(2)(2)(12)44t t t t t t t -+-++==， 由()0S t '>，得2t >，由()0S t '<，得02t <<， 所以()S t 在()0,2上递减，在()2,+∞上递增， 所以2t =时，()S t 取得极小值， 也是最小值为()16162328S ⨯==. [方法二]【最优解】：换元加导数法 ()()2222121121()12(0)2|2|4||t t S t t t t t ++=⋅⋅+=⋅≠．因为()S t 为偶函数，不妨设0t >，221()4S t =⋅，令a =2,0t a a =>．令412()a g a a +=，则面积为21[()]4S g a =，只需求出412()a g a a+=的最小值．34422412312()a a a a g a a a ⋅---='=()()()222223223(2a a a a a a a-++==．因为0a >，所以令()0g a '=，得a = 随着a 的变化，(),()g a g a '的变化情况如下表：所以min [()]g a g ===所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=． 因为[()]S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==． 综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出412()(0)a g a a a +=>的最小值．令4312444()a g a a a a a a +==+++≥=当且仅当34a a=，即a =所以当a =2t =时，2min 1[()]324S t =⨯=．因为()S t 为偶函数，当0t <时，min [()](2)(2)32S t S S =-==．综上，当2t =±时，()S t 的最小值为32． [方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到()()()()()22222222222121241646464()41616324||444tt t t S t t t t t t ++++++=≥==+++≥=+++ ,下同方法一. 【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.60。
高一数学导数概念试题
高一数学导数概念试题1.函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x时，函数值相应的增量为．【答案】△y=f（1+△x）﹣f（1）【解析】函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x，函数在1+△x处的函数值为f（1+△x），由此可得结论．解：∵函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x，∴函数在1+△x处的函数值为f（1+△x），∴函数y=f（x）的自变量在x=1处有增量△x时，函数值相应的增量为△y=f（1+△x）﹣f（1），故答案为：△y=f（1+△x）﹣f（1）点评：本题考查导数的概念，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．2.在曲线y=x2+1的图象上取一点（1，2）及附近一点（1+△x，2+△y），则为．【答案】△x+2．【解析】先算出函数值的变化量与自变量的变化量的比值，再化简即可求得．解：==△x+2．则为△x+2．故答案为：△x+2．点评：本题主要考查变化的快慢与变化率．通过计算函数值的变化来解，比较简单．3.如图，函数f（x）的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标为（0，4），（2，0），（6，4），则f（f（0））= ；函数f（x）在x=1处导数f′（1）= ．【答案】2，﹣2【解析】（1）要求f（f（0））的值，可先求f（0）=4，再求f（4），此即为所求；（2）函数的图象可知，，然后求出导数即可求出结果．解：（1）由图象可知f（0）=4，f（4）=2，即f（f（0））=2（2）∵f（0）=4，f（4）=2，f（2）=4，∴由函数的图象可知，，当0≤x≤2时，f'（x）=﹣2∴f'（1）=﹣2故答案为：2，﹣2点评：本题考查函数的图象，导数的运算，解题时要注意分段函数的定义域，属于基础题．4.当t趋向于0时，5+3t趋向于，2t2﹣3趋向于，趋向于．【答案】5，﹣3，．【解析】当t趋向于0时，3t趋向于0，2t2趋向于0，对于式子，先进行化简，即可得出答案．解析：5+3t趋向于5，2t2﹣3趋向于﹣3，趋向于．故答案为：5，﹣3，．点评：本题主要考查了变化的快慢与变化率，极限的数学思想，属于基础题．5.函数f（x）=kx+b在区间[m，n]上的平均变化率为．【答案】k【解析】直接利用函数的平均变化率的概念求解．解：===k．故答案为k．点评：本题考查了变化的快慢与变化率，是基础的概念题．6.函数f（x）=x2﹣x在区间[﹣2，t]上的平均变化率是2，则t= ．【答案】5【解析】由平均变化率的概念列关于t的方程，通过解方程求出t的值．解：函数f（x）=x2﹣x在区间[﹣2，t]上的平均变化率是===2，即t2﹣t﹣6=2t+4，t2﹣3t﹣10=0，解得t=5或t=﹣2（舍去）．所以，当函数f（x）=x2﹣x在区间[﹣2，t]上的平均变化率是2时，t的值是5．故答案为5．点评：本题考查了变化的快慢与变化率，考查了一元二次方程的解法，是基础题．7.函数y=x2在点（2，4）处的切线方程是．【答案】4x﹣y﹣4=0【解析】求出导函数，令x=2求出切线的斜率，然后利用点斜式写出直线的方程即为所求的切线方程．解：y′=2x当x=2得f′（2）=4所以切线方程为y﹣4=4（x﹣2）即4x﹣y﹣4=0故答案为：4x﹣y﹣4=0点评：本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率，属于基础题．8.一木块沿一斜面下滑，下滑的水平距离S（m）与时间t（s）之间的函数关系式为S=t2，t=3s时，此木块在水平方向上的瞬时速度为．【答案】1.5m/s【解析】根据题意，先求出[3，3+△t]时的平均变化率，再求出当△t趋向于0时，平均变化率的极限值即可得到答案．解析：v==△t+，当△t趋向于0时，v趋向于1.5，所以所求瞬时速度为1.5m/s．故答案：1.5m/s．点评：本题比较容易，考查导数的物理意义，同时考查了运算能力，属基础题．9.（2007•湖北）已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）= ．【答案】3【解析】先将x=1代入切线方程可求出f（1），再由切点处的导数为切线斜率可求出f'（1）的值，最后相加即可．解：由已知切点在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，所以f（1）+f′（1）=3故答案为：3点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率．10.航天飞机升空后一段时间内，第t s时的高度h（t）=5t3+30t2+45t+4，其中h的单位为m，t的单位为s．（1）h（0），h（1），h（2）分别表示什么？（2）求第2s内的平均速度；（3）求第2s末的瞬时速度．【答案】（1）h（0）表示航天飞机发射前的高度；h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；（2）125米/秒；（3）225m/s．【解析】（1）由h（t）表示航天飞机发射t秒后的高度分别说明h（0），h（1），h（2）的意义；（2）直接由（h（2）﹣h（0））除以2得到第2s内的平均速度；（3）求出2秒时刻的瞬时变化率，取极限值求第2s末的瞬时速度．解：（1）答：h（0）表示航天飞机发射前的高度；h（1）表示航天飞机升空后1s的高度；h（2）表示航天飞机升空后2s的高度；（2）航天飞机升空后第2秒内的平均速度为===125（m/s）．答：航天飞机升空后第2秒内的平均速度为125米/秒；（3）航天飞机升空后在t=2时的位移增量与时间增量的比值为v====5（△t）2+60（△t）+225，当△t趋向于0时，v趋向于225，因此，第2s末的瞬时速度为225m/s．答：航天飞机升空后第2秒末的瞬时速度为225米/秒．点评：本题考查了变化的快慢与变化率，解答的关键是准确的计算，是基础的概念题．。
导数的概念试题含答案
导数的概念一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．2C D3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）C D4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D．5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（），C D．37．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）或或D．或7310．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）．分米/分钟13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）15．设f（x）是可导函数，且=（）．16．若f′（x0）=2，则等于（）．二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=_________．18．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为_________．19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=_________．20．如果函数f（x）=cosx，那么=_________．21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）_________f（1）（填“＞”“＜”或“=”）2013年10月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）．的一条切线的斜率为﹣，解得2C D3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）C Dy=﹣即切线斜率为﹣4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）．C D．x，即曲线在点处的切线方程是坐标轴的交点是（，﹣，围成的三角形面积为，故选5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）C D．，=37．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（））=8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）或或D．或7x或仅有一解，由时，切线方程为310．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞，都有＞+x11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）表示（表示（12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）．分米/分钟t=时的导数值，就是注入水的高度在h9.3t=π•=27t，=t==313．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）15．设f（x）是可导函数，且=（）．=2=16．若f′（x0）=2，则等于（）．=二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．+118．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为1．等于）的值代入到）的值．）（（sin+cos（=））cos+sin=﹣+19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=﹣．20．如果函数f（x）=cosx，那么=．，再求出求解即可．=sin=，故答案为：21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）＞f（1）（填“＞”“＜”或“=”）。
《导数》高考试题及答案
《导数》高考试题及答案导数是高中数学的一个重要概念，也是高考数学考试中经常涉及的知识点之一。
本文将为你详细介绍导数的相关内容，并提供一些高考试题及其答案。
一、导数的基本概念导数是函数在某一点上的变化率，或者说是函数曲线在该点的切线斜率。
如果函数f(x)在点x=a处导数存在，则记为f'(a)或dy/dx|（x=a）或df/dx|（x=a）。
导数的几何意义是函数曲线在该点的切线的斜率，也可以理解为函数的瞬时变化率。
二、导数的计算方法1. 通过定义法计算导数：根据导数的定义，可以通过求极限的方式计算导数。
对于函数f(x)，在点x=a处的导数可以表示为以下极限表达式：f'(a)=lim（h→0）(f(a+h)-f(a))/h2. 导数的运算法则：- 常数规则：对于常数c，导数为0，即f(x)=c，则f'(x)=0。
- 变量乘法规则：对于函数y=x^n，其中n为常数，则f'(x)=nx^(n-1)。
- 加法、减法法则：对于函数f(x)和g(x)，则(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
- 乘法法则：对于函数f(x)和g(x)，则(fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
- 商法则：对于函数f(x)和g(x)，则(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
3. 高阶导数：如果函数f(x)的导函数f'(x)也可导，那么它的导函数f''(x)称为原函数f(x)的二阶导数。
类似地，可以计算f(x)的更高阶导数。
三、导数的应用导数在数学中有广泛的应用，尤其在物理学和经济学等领域中扮演着重要角色。
以下是导数的一些主要应用：1. 极值问题：导数可以帮助确定函数的极值点。
高二数学导数的概念和几何意义试题
高二数学导数的概念和几何意义试题1.若，则等于（）A．－1B．－2C．1D．【答案】A【解析】根据导数的定义知===-1，故选A.【考点】导数的定义2.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.3.抛物线在点处的切线的倾斜角是 ( )A．30B．45C．60D．90【答案】B．【解析】已知抛物线，对其进行求导，即，当时，，即切线的斜率为，从而问题解决．【考点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程．4.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）直线为曲线的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标．【答案】（1）切线方程为；（2）直线的方程为，切点坐标为.．【解析】（1）根据导数的几何意义求出在点处的切线的斜率，再用直线的点斜式写出直线方程即可；（2）先设出切点坐标，用（1）的方法求出直线的方程，把原点带入，可求直线方程及切点坐标．（1）切线方程为：，即（2）设切点为则…….①，直线方程为，直线过原点，则…….②联立①、②解得，所以直线方程为:，切点坐标为.【考点】导数的几何意义、直线方程的求法.5.已知点在曲线上，为曲线在点处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】又，所以,故，则.【考点】利用导数求函数的切线，倾斜角与斜率，基本不等式.6.曲线在点处的切线倾斜角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，根据导数的几何意义可得曲线在点处的切线的斜率为，设直线的倾斜角为（），则有，从而，选A.【考点】导数的几何意义.7.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx(c<0)，其图象在点A(1,0)处的切线的斜率为0，则f(x)的单调递增区间是________．【答案】或或或【解析】，由题意可得且，解得。
则，因为，时，。
高三数学导数的概念和几何意义试题
高三数学导数的概念和几何意义试题1.（12分）设函数，曲线在点处的切线方程为（I）求（II）证明：【答案】（I）；（II）详见解析.【解析】（I）由切点在切线上，代入得①．由导数的几何意义得②，联立①②求；（II）证明成立，可转化为求函数的最小值，只要最小值大于1即可．该题不易求函数的最小值，故可考虑将不等式结构变形为，分别求函数和的最值，发现在的最小值为，在的最大值为．且不同时取最值，故成立，即注意该种方法有局限性只是不等式的充分不必要条件，意即当成立，最值之间不一定有上述关系．试题解析：（I）函数的定义域为．．由题意可得，．故．（II）由（I）知，，从而等价于，设函数，则．所以当时，；当时，．故在递减，在递增，从而在的最小值为．设，则．所以当时，；当时，．故在递增，在递减，从而在的最大值为．综上，当时，，即．【考点】1、导数的几何意义；2、利用导数判断函数的单调性；3、利用导数求函数的最值．2.已知函数（为常数）．（1）若是函数的一个极值点，求的值；（2）当时，试判断的单调性；（3）若对任意的，使不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1）3；（2）在上是增函数；（3）.【解析】（1）先求函数的定义域，，在由可求得；（2）在中由于，判断函数的正负号，从而确定函数在上的单调性；（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．分离变量恒成立，构造函数记，（），由导数法求解.依题意，，（1）由已知得：，∴，∴．（3分）（2）当时，，因为，所以，而，即，故在上是增函数．（8分）（3）当时，由(2)知，在[1，2]上的最小值为，故问题等价于：对任意的，不等式恒成立．即恒成立记，（），则，令，则所以，所以,故，所以在上单调递减所以即实数的取值范围为．（13分）【考点】导数法求函数的单调性，构造法.3.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2(a，b∈R)．(1)若函数f(x)在x＝1处有极值10，求b的值；(2)若对于任意的a∈[－4，＋∞)，f(x)在x∈[0,2]上单调递增，求b的最小值．【答案】（1）b＝－11 （2）【解析】解：(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b，于是，根据题设有，解得或.当时，f′(x)＝3x2＋8x－11，Δ＝64＋132>0，所以函数有极值点；当时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，所以函数无极值点．所以b＝－11.(2)由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立，所以F(a)＝2xa＋3x2＋b≥0对任意的a∈[－4，＋∞)，x∈[0,2]都成立．因为x≥0，所以F(a)在a∈[－4，＋∞)上为单调递增函数或为常数函数，①当F(a)为常数函数时，F(a)＝b≥0；②当F(a)为增函数时，F(a)＝F(－4)＝－8x＋3x2＋b≥0，min对任意x∈[0,2]都成立，即b≥(－3x2＋8x)max又－3x2＋8x＝－3(x－)2＋≤，＝，所以b≥.所以当x＝时，(－3x2＋8x)max所以b的最小值为.4.如图，函数g(x)＝f(x)＋x2的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________．【答案】－5【解析】g(5)＝f(5)＋5＝－5＋8＝3，所以f(5)＝－2．又g′(x)＝f′(x)＋x，所以g′(5)＝f′(5)＋×5＝－1，解得f′(5)＝－3，f(5)＋f′(5)＝－5．5.已知函数．若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为( ) A．x+y－1=0B．x－y－1=0C．x+y+1=0D．x－y+1=0【答案】B【解析】f′(x)=lnx+1，x＞0，设切点坐标为，则，切线的斜率为，所以，解得，所以直线l的方程为x－y－1=0．6.已知函数的图象在点与点处的切线互相垂直，并交于点，则点的坐标可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】由题，，，则过两点的切线斜率，，又切线互相垂直，所以，即.两条切线方程分别为，联立得，∵，∴，代入，解得，故选．【考点】导数求切线方程.7.圆心在曲线上，且与直线相切的面积最小的圆的方程是．【答案】【解析】依题意，当直线向下平移到与曲线相切时，所求圆的半径最小，即面积最小，设切点为，由，故切线斜率，则，，圆的半径为，故圆的方程为．【考点】１、导数的几何意义；2、点到直线的距离公式；3、圆的标准方程.8.对于每一个正整数，设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，令，则.【答案】.【解析】利用导数求得曲线在点处的切线方程为，即，它与轴交于点，则有，，.【考点】1.利用导数求切线方程；2.裂项求和9.设函数，，，（1）若曲线与轴相切于异于原点的一点，且函数的极小值为，求的值；（2）若，且，①求证：；②求证：在上存在极值点．【答案】(1) ，. (2) 在上是存在极值点【解析】(1)分析题意,可得该三次函数过原点,根据函数与x轴相切,所以有个极值为0且有一个重根,故可得函数有一个极大值0和一个极小值,有一个重根,则对因式分解会得到完全平方式,即提取x的公因式后,剩下二次式的判别,得到a,b之间的关系式,再根据极小值为,则求导求出极小值点,得到关于a,b的另外一个等式,即可求出a,b的值.(2) ①对求导,带入与已知条件联立化简即可得到需要的不等式.②求出,讨论a的取值范围,证明其中必有两者异号,则根据零点存在定理,即可证明有极值点.试题解析：（1），依据题意得：，且． 2分，得或．如图，得,∴，，代入得，. 4分（2）①．． 8分②，．若，则，由①知，所以在有零点，从而在上存在极值点． 10分若，由①知;又，所以在有零点，从而在上存在极值点．……12分若，由①知，，所以在有零点，从而在上存在极值点．综上知在上是存在极值点． 14分【考点】零点存在定理导数极值切线10.已知曲线y＝x3＋，求曲线过点P(2，4)的切线方程；【答案】4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.【解析】设曲线y＝x3＋与过点P(2，4)的切线相切于点A，则切线的斜率k＝，切线方程为y－＝(x－x)，即y＝x－＋. 因为点P(2，4)在切线上，所以4＝2－＋，即－3＋4＝0，解得x0＝－1或x＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.11.若曲线y＝kx＋ln x在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝________.【答案】－1【解析】∵y′＝k＋，∴y′|x＝1＝k＋1＝0，∴k＝－1.12.过点（0，-2）向曲线作切线，则切线方程为。
高二数学导数的概念和几何意义试题
高二数学导数的概念和几何意义试题1.已知函数（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）当时，若在区间上的最小值为，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围；【答案】(Ⅰ)（Ⅱ）．【解析】解题思路：(Ⅰ)求导，利用导数的几何意义求解；（Ⅱ）求导，讨论的取值范围求函数的最值.规律总结：（1）导数的几何意义求切线方程：；（2）求函数最值的步骤：①求导函数；②求极值；③比较极值与端点值，得出最值.试题解析：(Ⅰ)当时， ,因为.所以切线方程是(Ⅱ)函数的定义域是当时，令得当时，所以在上的最小值是，满足条件，于是；②当，即时，在上的最小最小值，不合题意；③当，即时，在上单调递减，所以在上的最小值是，不合题意.综上所述有，.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的最值.2.函数上过点（1，0）的切线方程（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为,在点(1,0)处的斜率为,所以在点(1,0)处的切线方程为y-0=3(x-1),即y=3x-3.【考点】导数的几何意义.3.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则的值是A．2B．C．D．【答案】B【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：B．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．4.设曲线在点(3,2)处的切线与直线垂直，则A．2B．C．D．【答案】C【解析】函数=1+的导数为，∴曲线在点（3，2）处的切线斜率为，由×（-a）="-1" 得，a=-2，故答案为：C．【考点】函数在某点的导数值与曲线在此点的切线的斜率的关系;两直线垂直的性质．5.若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故选D.【考点】导数的定义6.已知函数(1)当时,求曲线在点处的切线方程;(2)求函数的极值.【答案】(1) ;(2)详见解析.【解析】(1)根据导数的几何意义，当时，,得出，再代入点斜式直线方程；（2）讨论，当和两种情况下的极值情况.试题解析：解:函数的定义域为,.（1）当时,,,,在点处的切线方程为,即.（2）由可知:①当时,,函数为上的增函数,函数无极值;②当时,由,解得;时,,时,在处取得极小值,且极小值为,无极大值.综上:当时,函数无极值当时,函数在处取得极小值,无极大值.【考点】1.导数的几何意义；2.利用导数求极值.7.若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，0)【解析】f′(x)＝3ax2＋，∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)＝0有解，即3ax2＋＝0有解，∴3a＝－，而x>0，∴a∈(－∞，0)．8.抛物线y＝x2在点P处的切线与直线2x－y＋4＝0平行，求点P的坐标及切线方程．【答案】2x－y－1＝0【解析】设点P(x0，y)，＝d＋2x，d→0时，d＋2xo →2x.抛物线在点P处的切线的斜率为2x，由于切线平行于2x－y＋4＝0，∴2x0＝2，x＝1即P点坐标为(1,1)切线方程为y－1＝2(x－1)，即为2x－y－1＝09.曲线y=2lnx在点(e,2)处的切线与y轴交点的坐标为_________.【答案】(0,0)【解析】有已知可知在处切线方程为，y轴交点的坐标即所求.【考点】在一点处切线方程.10.函数在点处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】曲线切线的斜率，等于在切点的导函数值。
导数的概念试题及解析
导数的概念试题及解析一、选择题1．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率[答案] C[解析] 由定义，f ′(x 0)是当Δx 无限趋近于0时，Δy Δx 无限趋近的常数，故应选C.2．如果质点A 按照规律s ＝3t 2运动，则在t 0＝3时的瞬时速度为( )A ．6B ．18C ．54D ．81[答案] B[解析] ∵s (t )＝3t 2，t 0＝3，∴Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)＝3(3＋Δt )2－3·32＝18Δt ＋3(Δt )2∴Δs Δt ＝18＋3Δt .当Δt →0时，Δs Δt →18，故应选B.3．y ＝x 2在x ＝1处的导数为( )A ．2xB ．2C ．2＋ΔxD ．1 [答案] B[解析] ∵f (x )＝x 2，x ＝1，∴Δy ＝f (1＋Δx )2－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2·Δx ＋(Δx )2∴Δy Δx ＝2＋Δx当Δx →0时，Δy Δx →2∴f ′(1)＝2，故应选B.4．一质点做直线运动，若它所经过的路程与时间的关系为s (t )＝4t 2－3(s (t )的单位：m ，t 的单位：s)，则t ＝5时的瞬时速度为( )A ．37B ．38C ．39D ．40[答案] D[解析] ∵Δs Δt ＝4(5＋Δt )2－3－4×52＋3Δt ＝40＋4Δt ， ∴s ′(5)＝li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0(40＋4Δt )＝40.故应选D. 5．已知函数y ＝f (x )，那么下列说法错误的是( )A ．Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)叫做函数值的增量B.Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx叫做函数在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率 C ．f (x )在x 0处的导数记为y ′D ．f (x )在x 0处的导数记为f ′(x 0)[答案] C[解析] 由导数的定义可知C 错误．故应选C.6．函数f (x )在x ＝x 0处的导数可表示为y ′|x ＝x 0，即( )A ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)B ．f ′(x 0)＝li m Δx →0[f (x 0＋Δx )－f (x 0)] C ．f ′(x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)ΔxD ．f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx[答案] D[解析] 由导数的定义知D 正确．故应选D.7．函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0，a ，b ，c 为常数)在x ＝2时的瞬时变化率等于( )A ．4aB ．2a ＋bC ．bD ．4a ＋b [答案] D[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －4a －2b －c Δx＝4a ＋b ＋a Δx ，∴y ′|x ＝2＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0(4a ＋b ＋a ·Δx )＝4a ＋b .故应选D. 8．如果一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是( )A ．圆B ．抛物线C ．椭圆D ．直线 [答案] D[解析] 当f (x )＝b 时，f ′(x )＝0，所以f (x )的图象为一条直线，故应选D.9．一物体作直线运动，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度为( )A ．0B ．3C ．－2D ．3－2t[答案] B[解析] ∵Δs Δt ＝3(0＋Δt )－(0＋Δt )2Δt＝3－Δt ， ∴s ′(0)＝li m Δt →0 Δs Δt＝3.故应选B. 10．设f (x )＝1x ，则li m x →a f (x )－f (a )x －a等于( ) A ．－1a B.2aC ．－1a 2 D.1a 2[答案] C[解析] li m x →a f (x )－f (a )x －a ＝li m x →a 1x －1ax －a＝li m x →a a －x(x －a )·xa ＝－li m x →a 1ax ＝－1a 2.二、填空题11．已知函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数为11，则li m Δx →0f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx ＝________；li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝________.[答案] －11，－112[解析] li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝－li m Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x 0)－Δx ＝－f ′(x 0)＝－11；li m x →x 0 f (x )－f (x 0)2(x 0－x )＝－12li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝－12f ′(x 0)＝－112.12．函数y ＝x ＋1x 在x ＝1处的导数是________．[答案] 0[解析] ∵Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋Δx ＋11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＝Δx －1＋1Δx ＋1＝(Δx )2Δx ＋1，∴Δy Δx ＝Δx Δx ＋1.∴y ′|x ＝1＝li m Δx →0 ΔxΔx ＋1＝0.13．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(2)＝2，则a 等于______．[答案] 2[解析] ∵Δy Δx ＝a (2＋Δx )＋4－2a －4Δx ＝a ，∴f ′(1)＝li m Δx →0 ΔyΔx ＝a .∴a ＝2.14．已知f ′(x 0)＝li m x →x 0 f (x )－f (x 0)x －x 0，f (3)＝2，f ′(3)＝－2，则li m x →3 2x －3f (x )x －3的值是________．[答案] 8[解析] li m x →3 2x －3f (x )x －3＝li m x →3 2x －3f (x )＋3f(3)－3f (3)x －3＝lim x →3 2x －3f (3)x －3＋li m x →3 3(f (3)－f (x ))x －3.由于f (3)＝2，上式可化为li m x →3 2(x －3)x －3－3li m x →3 f (x )－f(3)x －3＝2－3×(－2)＝8.三、解答题15．设f (x )＝x 2，求f ′(x 0)，f ′(－1)，f ′(2)．[解析] 由导数定义有f ′(x 0)＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx ＝li m Δx →0 Δx (2x 0＋Δx )Δx＝2x 0，16．枪弹在枪筒中运动可以看做匀加速运动，如果它的加速度是5.0×105m/s 2，枪弹从枪口射出时所用时间为1.6×10－3s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．[解析] 位移公式为s ＝12at 2∵Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2∴Δs Δt ＝at 0＋12a Δt ，∴li m Δt →0 Δs Δt ＝li m Δt →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫at 0＋12a Δt ＝at 0，已知a ＝5.0×105m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ，∴at 0＝800m/s.所以枪弹射出枪口时的瞬时速度为800m/s.17．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3的图象上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求(1)Δy Δx (2)f ′(1)．[解析] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝(1＋Δx )2＋3－12－3Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. 18．函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处是否有导数？若有，求出来，若没有，说明理由．[解析] f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋x 2 (x ≥0)－x －x 2 (x <0)Δy ＝f (0＋Δx )－f (0)＝f (Δx )＝⎩⎪⎨⎪⎧ Δx ＋(Δx )2 (Δx >0)－Δx －(Δx )2 (Δx <0)∴lim x →0＋ Δy Δx ＝lim Δx →0＋ (1＋Δx )＝1，lim Δx →0－ Δy Δx ＝lim Δx →0－ (－1－Δx )＝－1，∵lim Δx →0－ Δy Δx ≠lim Δx →0＋ Δy Δx ，∴Δx →0时，ΔyΔx 无极限．∴函数f (x )＝|x |(1＋x )在点x 0＝0处没有导数，即不可导．(x →0＋表示x 从大于0的一边无限趋近于0，即x ＞0且x 趋近于0)。
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导数的概念一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．2．（2012•汕头一模）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1B．C．D．﹣13．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣24．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．[0，）B．C．D．6．（2010•江西模拟）曲线y=x3﹣2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．120°7．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1 8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或B．﹣1或C．或D．或79．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2 10．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．分米/分钟13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x214．如果f（x）为偶函数，且f（x）导数存在，则f′（0）的值为（）A．2B．1C．0D．﹣115．设f（x）是可导函数，且=（）A．﹣4 B．﹣1 C．0D．16．若f′（x0）=2，则等于（）D．A．﹣1 B．﹣2 C．﹣二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=_________．18．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为_________．19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=_________．20．如果函数f（x）=cosx，那么=_________．21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）_________f（1）（填“＞”“＜”或“=”）2013年10月panpan781104的高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共16小题）1．（2013•河东区二模）已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（）A．3B．2C．1D．考点：导数的几何意义．分析：根据斜率，对已知函数求导，解出横坐标，要注意自变量的取值区间．解答：解：设切点的横坐标为（x0，y0）∵曲线的一条切线的斜率为，∴y′=﹣=，解得x0=3或x0=﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为3故选A．点评：考查导数的几何意义，属于基础题，对于一个给定的函数来说，要考虑它的定义域．比如，该题的定义域为{x＞0}．2．（2012•汕头一模）设曲线y=ax2在点（1，a）处的切线与直线2x﹣y﹣6=0平行，则a=（）A．1B．C．D．﹣1考点：导数的几何意义．分析：利用曲线在切点处的导数为斜率求曲线的切线斜率；利用直线平行它们的斜率相等列方程求解．解答：解：y'=2ax，于是切线的斜率k=y'|x=1=2a，∵切线与直线2x﹣y﹣6=0平行∴有2a=2∴a=1故选项为A点评：本题考查导数的几何意义：曲线在切点处的导数值是切线的斜率．3．（2011•烟台一模）设曲线在点（3，2）处的切线与直线ax+y+1=0垂直，则a=（）A．2B．C．D．﹣2考点：导数的几何意义．分析：（1）求出已知函数y在点（3，2）处的斜率；（2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系k1•k2=﹣1，求出未知数a．解答：解：∵y=∴y′=﹣∵x=3∴y′=﹣即切线斜率为﹣∵切线与直线ax+y+1=0垂直∴直线ax+y+1=0的斜率为2．∴﹣a=2即a=﹣2故选D．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）4．（2010•泸州二模）曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：（1）首先利用导数的几何意义，求出曲线在P（x0，y0）处的切线斜率，进而得到切线方程；（2）利用切线方程与坐标轴直线方程求出交点坐标（3）利用面积公式求出面积．解答：解：若y=x3+x，则y′|x=1=2，即曲线在点处的切线方程是，它与坐标轴的交点是（，0），（0，﹣），围成的三角形面积为，故选A．点评：函数y=f（x）在x=x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f（x）在点P（x0，y0）处的切线的斜率，过点P 的切线方程为：y﹣y0=f′（x0）（x﹣x0）5．（2010•辽宁）已知点P在曲线y=上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是（）A．B．C．D．[0，）考点：导数的几何意义．专题：计算题；压轴题．分析：利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．解答：解：因为y′==∈[﹣1，0），即tanα∈[﹣1，0），∵0≤α＜π∴≤α＜π故选D．点评：本题考查导数的几何意义及直线的斜率等于倾斜角的正切值．3A．30°B．45°C．60°D．120°考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：欲求在点（1，3）处的切线倾斜角，先根据导数的几何意义可知k=y′|x=1，再结合正切函数的值求出角α的值即可．解答：解：y/=3x2﹣2，切线的斜率k=3×12﹣2=1．故倾斜角为45°．故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，本题属于容易题．7．（2009•辽宁）曲线y=在点（1，﹣1）处的切线方程为（）A．y=x﹣2 B．y=﹣3x+2 C．y=2x﹣3 D．y=﹣2x+1考点：导数的几何意义．专题：计算题．分析：根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成斜截式即可．解答：解：y′=（）′=，∴k=y′|x=1=﹣2．l：y+1=﹣2（x﹣1），则y=﹣2x+1．故选：D点评：本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则，本题属于基础题．8．（2009•江西）若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和都相切，则a等于（）A．﹣1或B．﹣1或C．或D．或7考点：导数的几何意义．专题：压轴题．分析：已知点（1，0）不在曲线y=x3上，容易求出过点（1，0）的直线与曲线y=x3相切的切点的坐标，进而求出切线所在的方程；再利用切线与y=ax2+x﹣9相切，只有一个公共点，两个方程联系，得到二元一次方程，利用判别式为0，解出a的值．解答：解：由y=x3⇒y'=3x2，设曲线y=x3上任意一点（x0，x03）处的切线方程为y﹣x03=3x02（x﹣x0），（1，0）代入方程得x0=0或①当x0=0时，切线方程为y=0，此直线是y=x3的切线，故仅有一解，由△=0，解得a=﹣②当时，切线方程为，由，∴a=﹣1或a=．故选A点评：熟练掌握导数的几何意义，本题是直线与曲线联立的题，若出现形如y=ax2+bx+c的式子，应讨论a是否为0．9．（2006•四川）曲线y=4x﹣x3在点（﹣1，﹣3）处的切线方程是（）A．y=7x+4 B．y=7x+2 C．y=x﹣4 D．y=x﹣2考点：导数的几何意义．分析：已知点（﹣1，﹣3）在曲线上，若求切线方程，只需求出曲线在此点处的斜率，利用点斜式求出切线方程．解答：解：∵y=4x﹣x3，∴y'︳x=﹣1=4﹣3x2︳x=﹣1=1，∴曲线在点（﹣1，﹣3）处的切线的斜率为k=1，即利用点斜式求出切线方程是y=x﹣2，故选D．点评：本题属于求过曲线上点的切线方程的基础题，只要利用导数的几何意义，求出该切线的斜率即可．10．（2012•海口模拟）已知f（x）=alnx+x2（a＞0），若对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立，则a的取值范围是（）A．（0，1]B．（1，+∞）C．（0，1）D．[1，+∞）考点：导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：先将条件“对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立”转换成当x＞0时，f'（x）≥2恒成立，然后利用参变量分离的方法求出a的范围即可．解答：解：对任意两个不等的正实数x1，x2，都有＞2恒成立则当x＞0时，f'（x）＞2恒成立f'（x）=+x＞2在（0，+∞）上恒成立则a＞（2x﹣x2）max=1故选B．点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题，同时考查了转化与划归的数学思想，属于基础题．11．（2013•安徽）函数y=f（x）的图象如图所示，在区间[a，b]上可找到n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，x n，使得=…=，则n的取值范围是（）A．{3，4} B．{2，3，4} C．{3，4，5} D．{2，3}考点：变化的快慢与变化率．专题：函数的性质及应用．分析：由表示（x，f（x））点与原点连线的斜率，结合函数y=f（x）的图象，数形结合分析可得答案．解答：解：∵表示（x，f（x））点与原点连线的斜率若=…=，则n可以是2，如图所示：n可以是3，如图所示：n可以是4，如图所示：但n不可能大于4故选B点评：本题考查的知识点是斜率公式，正确理解表示（x，f（x））点与原点连线的斜率是解答的关键．12．（2010•沈阳模拟）如图一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在分钟时的瞬时变化率（）（注：π≈3.1）A．27分米/分钟B．9分米/分钟C．81分米/分钟D．分米/分钟考点：变化的快慢与变化率．专题：应用题．分析：圆锥的轴截面是个等边三角形，设经过t分钟的水面高度为h，求出水面的半径，用t和h表示经过t分钟圆锥形容器内水的体积，解出h，并求出它的导数，t=时的导数值，就是注入水的高度在分钟时的瞬时变化率．解答：解：由题意知，圆锥的轴截面是个等边三角形，经过t分钟的水面高度为h，则水面的半径是h，t分钟时，圆锥形容器内水的体积为9.3t=π••h，∴h3==27t，∴h=3 ，∴h′=，t=时，h′==32=9，故选B．点评：本题考查圆锥的体积公式的应用，函数的导数的求法及导数的意义，函数在某点的导数，就是函数在该点的变化率．13．若函数f（x）=2x2﹣1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+△x，1+△y），则等于（）A．4B．4x C．4+2△x D．4+2△x2考点：变化的快慢与变化率．专题：计算题．分析：明确△y的意义，根据函数的解析式求出△y的表达式，即可得到答案．解答：解：∵△y=2（1+△x）2﹣1﹣1=2△x2+4△x，∴=4+2△x，故选C．点评：本题考查△y的意义，即函数在点（1，1）的变化量，先求△y，即可得到．A．2B．1C．0D．﹣1考点：导数的概念；偶函数．专题：阅读型．分析：由函数为偶函数得到f（x）等于f（﹣x），然后两边对x求导后，因为导函数在x=0有定义，所以令x等于0，得到关于f′（0）的方程，求出方程的解即可得到f′（0）的值．解答：解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（﹣x），此时两边对x求导得：f′（x）=﹣f′（﹣x），又因为f′（0）存在，把x=0代入得：f′（0）=﹣f′（0），解得f′（0）=0．故选C点评：此题考查了导数的运算，考查偶函数的性质，是一道综合题．15．设f（x）是可导函数，且=（）A．﹣4 B．﹣1 C．0D．考点：导数的概念．专题：计算题．分析：由导数的概念知f′（x0）=，由此结合题设条件能够导出f′（x0）的值．解答：解：∵=2，∴f′（x0）==﹣4故选A．点评：本题考查导数的概念，解题时要注意极限的应用，属于基础题．16．若f′（x0）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．D．﹣考点：导数的概念；极限及其运算．专题：计算题．分析：由导数的定义知f′（x0）=，由此提出分母上的数字2能够求出的值．解答：解：∵f′（x0）==2==故选A．点评：本题考查导数的概念和极限的运算，解题时要认真审题，解题的关键是凑出符合导数定义的极限形式，属于基础题．二．填空题（共5小题）17．（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）=2．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题；函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的解析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x∴f（x）=+1，故f′（1）=1+1=2故答案为2点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式，属于基本题型，运算型18．（2009•湖北）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为1．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题．分析：利用求导法则：（sinx）′=cosx及（cosx）′=sinx，求出f′（x），然后把x等于代入到f′（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f′（）的值，把f′（）的值代入到f（x）后，把x=代入到f（x）中，利用特殊角的三角函数值即可求出f（）的值．解答：解：因为f′（x）=﹣f′（）•sinx+cosx所以f′（）=﹣f′（）•sin+cos解得f′（）=﹣1故f（）=f′（）cos+sin=（﹣1）+=1故答案为1．点评：此题考查学生灵活运用求导法则及特殊角的三角函数值化简求值，会根据函数解析式求自变量所对应的函数值，是一道中档题．19．已知函数y=x•2x，当f'（x）=0时，x=﹣．11 / 12考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先求得函数的导数，然后根据f'（x）=0，求出x的值．解答：解：∵函数y=x•2x f'（x）=0∴y'=2x+x（2x）'=2x+x2x ln2=2x（1+xln2）=0∵2x恒大于0∴1+xln2=0∴xln2=﹣1∴x=﹣故答案为：﹣点评：此题考查了导数的运算，熟练掌握导数运算法则是解题的关键，属于基础题．20．如果函数f（x）=cosx，那么=．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题．分析：根据解析式求出和f′（x），再求出，代入求解即可．解答：解：由题意知，f（x）=cosx，∴=cos=，f′（x）=﹣sinx，∴=﹣sin=﹣=，故答案为：．点评：本题考查了求导公式的应用，以及求函数值，属于基础题．21．已知函数f（x）在R上可导，且f（x）=x3+2xf'（2），比较大小：f（﹣1）＞f（1）（填“＞”“＜”或“=”）考点：导数的运算；不等关系与不等式．专题：计算题．分析：先对f（x）=x3+2xf'（2）两边求导，然后令x=2可解得f′（2），从而得到f（x），计算出f（﹣1），f（1）可得答案．解答：解：f′（x）=3x2+2f′（2），令x=2，得f′（2）=3×22+2f′（2），解得f′（2）=﹣12，所以f（x）=x3﹣24x，则f（﹣1）=23，f（1）=﹣23，所以f（﹣1）＞f（1），故答案为：＞．点评：本题考查导数的运算、不等式与不等关系，属基础题．12 / 12。