高数习题答案- 12

通解
y1C80e800k0t
(Ce80C01).
由初始条件 y(0)1,得C79.再9由 y(1)23,
便可确定出 80k0 1 ln 797 0.0917. 6
12 2397
所以 y(t)1789e0 90.0091t7. 6 9
一阶微分方程
直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运 到时患此传染病的人数.
解
(x3 y)2
x
f (x)dx
0
xydxx3y 0
y
y3x2 y 积分方程
即 yy3x2
一阶非齐次线性方程
O
y x3
Q
yf(x)
P
xx
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一阶微分方程
0x 0
ydxx03
y
yy3x2 P(x)1, Q(x)3x2
y 0edx 3x2edxdxC
0.62 2g t (40h 3 0 2h 5)C ,
0 .62 2g3 5 h|t010,0 C0.622g1 15 4 150, 所求规律为 t (7 15 0 130 h 3 3h 5).
4 .65 2 g
12
一阶微分方程
2019年北方交大期末考题(8分)
12小时后有3人发病. 由于这种传染病没有早期症状,
故感染者不能被及时隔离. 直升机将在60至72小时
将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的
人数之积成正比.
解 用 y ( t )表示发现首例病人后 t 小时时的感染人
数, 800y可(t分)表离示变t量刻微未分受方感程染的人数,由题意,
所应满足的初始条件.
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一阶微分方程
一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可 通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出
初始条件而解之.
解 将 得关 系 f(式 x)f( fx )2 x 0 2 x 2f 2 tf d (tx )l n2 2 两 f(边 x)求 导 ,
v
v0 v
v0
当v v0时, t 1 即得.
2
kv 0
13
一阶微分方程
1991年考研数学一, 3分
设 f(x )满足 f(x 关 )2 xf 系 t d t 式 ln 2 ,
则 f(x)( B ).
0 2
A.ex ln2; B.e2x l n2; C.ex ln2; D.e2x ln2 分析 有两种方法 其一，将所给选项代入关系式直接验算，(B)正确. 其二，对积分关系式两边求导化为微分方程, 并注 意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程
得 dy ky(800 y),其中k > 0为比例常数.
dt
分离变量
dy kdt,
y(800y)
8
一阶微分方程
dy kdt, y(800y)
初始条件 y(0)1, y(12)3
即
11 1 dykdt,
80y 0 800y
两边积分,得 8 1[ 0ly 0 n ln 8(0 y)0 ]k tC 1,
M 1 ( x ) M 2 ( y ) d x N 1 ( x ) N 2 ( y ) d y 0
易于化为形式 (y )d y (x )d x
特点 等式的每一边仅是一个变量的函数与这个
变量的微分之积. 两端积分可得通解.
2
一阶微分方程
可分离变量的方程求通解的步骤是:
1. 分离变量,把方程 (y)d y 化 (x)d 为 x的形
病流行时及时采取措施是至关重要的.
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一阶微分方程
例 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔 流出, 小孔横截面积为1平方厘米 (如图). 开始时 容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里 水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.
解 由力学知识 得,水从孔口
流出的流量为
2. 将上式 两边积分 (y)dy(x)dxC;
其中C为任意常数. 由上式确定的函数 yy(x,C)
就是方程的通解 (隐式通解). 这种解方程的方法称为 分离变量法.
3
一阶微分方程
例 求方程 x ( 1 y 2 ) d x y ( 1 x 2 ) d y 0 的通解.
第二种方法
取小元素分析, 然后利用物理定律列出 方程(类似于定积分应用中的元素法).
6
一阶微分方程
例 衰变问题. 衰变速度与未衰变原子含量M成
正比,已M 知 t0M 0,求衰变过程中铀含量 M (t) 随时间 t 变化的规律.
解 衰变速度 d M , 由题设条件 分离变量 dt
ddM t M(0衰变系 ) dM 数 M dt
2
分离变量 df (x) 2dx
可分离变量方程
f (x)
两边积分 ln f(x)2xln Cf(x)Ce2x
由原关系式 f(0)ln2Cln2, 得
f(x)e2xln2. 15
一阶微分方程
二、一阶线性微分方程
一阶 线性微分方程的标准形式 dyP(x)yQ(x) 自由项 dx
x
x
一阶线性非 齐次方程
y

e
1dx x

sinx x
e

1 x
dx
dx
C
1 xsin xdxC1xcoxsC
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一阶微分方程
例 如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x)
与yx3(x0)截下的线段PQ之长数值上等于
阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x).
解 yl1nydy1xdx ln1ydlny1xdx
llnn y ln x lC nlnCx
lnyCx
通解为 y eCx
5
一阶微分方程
注 应用问题建立微分方程的方法: 方法大体有两种
第一种方法
直接利用物理定律或几何条件列出方程, 常见的物理定律有力学、热学、光学、电学 的定律;
dy P(x)dx, y
dyyP(x)dx,
ln|y|P (x)dxlnC 1,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx (C eC1 )
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一阶微分方程
2. 线性非齐次方程 dyP(x)yQ( x ) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 CeP(x)dx,
显然线性非齐次方程的解不会是如此, 但它们 之间应存在某种共性.
设想 非齐次方程 dyP(x)yQ(x)的解是
dx
yC( x) eP(x)dx
待定函数
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一阶微分方程
对 yC(x)eP(x)dx求,导 得
dyP(x)yQ(x) dx
yC(x)eP(x)dxC ( x )eP(x)dx[P(x)]
将y和y代入原方,得程dyP(x)yQ(x)
dx
C ( x ) e P ( x ) d x C ( x ) P ( x ) e P ( x ) d x
P(x)C(x)eP(x)dxQ( x )
从而C(x)满足方程 C (x)eP(x)dxQ (x)
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y(t)1789e0 90.0091t7. 6
下面计算 t60,72小时时的感染者人数
y(60)
800 179e 90.091670618,8
y(72)1798e 900.0091772638.5
从上面数字可看出, 在72小时疫苗运到时, 感
染的人数将是60小时感染人数的2倍. 可见在传染
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一阶微分方程
即 C (x)dxQ (x)eP (x)d xdx
C (x)Q (x)eP(x)dxdxC
设 yC(x)eP(x)d 是 x dyP(x)yQ(x)的 解 . dx
一阶线性非齐次微分方程的通解为
y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
C x 0e 3 x 02 6 x 0 6
y|x00 得C6 所求曲线为 y 3 ( 2 e x x 2 2 x 2 )
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一阶微分方程
例 静脉输液问题.
静脉输入葡萄糖是一种重要的医疗技术.为了
研究这一过程,需要知道t 时刻中血液中的葡萄糖 含量.设G(t)为时刻 t 血液中葡萄糖含量,且设葡萄 糖以常数k(g min的) 固定速率输入到血液中,与此 同时, 血液中的葡萄糖还会转化为其他物质或转移
到其他地方,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.
试列出描述这一现象的微分方程, 并解之.
解 因为血液中的葡萄糖含量的变化率 d G 等于增 dt
加速率与减少速率之差,而增加速率为常数k, 减少
速率为G, 其中为正的比例常数,所dG以kG,
dt
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一阶微分方程
dGkG,
dt
即 dGGk. 关于G的一阶线性非齐次方程
对应齐次 方程通解
非齐次方程的一个特解
注 一阶线性方程解的结构及解非齐次方程 的常数变易法对高阶线性方程也适用.
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一阶微分方程
y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
例 求方 y程 1ysix n的通 . 解 xx
解 P(x) 1 , Q(x)sinx,
dt 由通解公式,得
G (t) e d t[k ed td t C ] k Cet .
设G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,则可确
定出 于是
CG(0)k,
G (t) k[G (0) k]et.
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一阶微分方程解初值问题y : e (y xx2P ( 0x 1)d )x 1y[Q 2(xx ) ye cP (ox )xd sx d x 0 C ]
解 分离变量 1yy2dy1xx2dx
两端积分
1
y y2
dy

x 1 x2 dx
1ln1 ( y2)1ln1 ( x2) 1 ln C
2
2
2
ln 1 (y2)ln C (1x2)
1y2C(1x2)为方程的通解.
隐式通解
4
一阶微分方程
求 方 程 x y ylny 的 通 解 .
当 Q(x)0,上面方程称为齐次的;
当 Q(x)0,上面方程称为非齐次的.
如 dy y x2, dx
dxxsintt2, dt
线性的;
yy2x y3, yco y s1, 非线性的.
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一阶微分方程
一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程
dyP(x)y0. dx
(使用分离变量法)
第二节 一阶微分方程
可分离变量的微分方程 一阶线性微分方程 伯努利(Bernoulli)方程 利用变量代换求解方程 全微分方程 小结 思考题 作业
1
第十二章 微分方程
一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程
如果一阶微分方程 F(x,y,y)0
可以写成 yf(x)g(y)的形式,
或
可分离变量的方程
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为 待定函数的方法.
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一阶微分方程
一阶线性方程解的结构
dyP(x)yQ(x) dx
y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
CeP(x)dxe P (x)d x Q (x)eP (x)d xd x
当轮船的前进速度为v0时, 推进器停止工作, 已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系 数为mk,其中k > 0为常数,而m为船的质量).问经过
多少时间, 船的速度减为原速度的一半?
解 由题意
mdv mk2v dt
初始条件 v(0)v0
解得 1 kt C C 1 1 kt 1
负号两是端由积于分当 t 增加时M单调减少
dM dt,ln M tln C,即
M
代M 入t0M0,得M0 Ce0 C
MCet ,
通解
特解 MM0et 衰变规律
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一阶微分方程
初始条件:
例 求游船上的传染病人数. y(0)1, y(12)3
一只游船上有800人, 一名游客患了某种传染病,
QdV0.62 S 2gh dt
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
V (1 h 3 1 0 0 h 2 ),d V (2 0 0 h h 2 )d h11 3
一阶微分方程
(20 h 0h2)dh0.622gd ht,
可分离变量方程
d t (20h0 h 3)d h ,