高数习题答案- 12

合集下载

高等数学下册第十二章习题答案详解

高等数学下册第十二章习题答案详解1．写出下列级数的一般项: (1)1111357++++；2242468x x +++⋅⋅⋅⋅；(3)35793579a a a a -+-+.解：(1)121n U n =-；(2)()2!!2n n xU n =；(3)()211121n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和: (1) 23111555+++；(2) 11(1)(2)n n n n ∞=++∑；(3)1n ∞=∑.解：(1) 因为21115551115511511145n n n n S =+++⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦=-⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦从而1lim 4n n S →∞=，即级数的和为14． (2)()()()()()()()111111211n u x n x n x n x n x n x n x n =+-+++⎛⎫-=⎪+-++++⎝⎭从而()()()()()()()()()()()()()()11111211212231111111211nS x x x x x x xx x n x nx n x n x x x n x n ⎛-+-=+++++++⎝⎫++-⎪+-++++⎭⎛⎫-=⎪++++⎝⎭因此()1lim 21nn S x x →∞=+，故级数的和为()121x x +(3)因为nU =-从而(11n S n =-+-+-++-+=-=所以lim 1n n S →∞=13．判定下列级数的敛散性:(1)1n ∞=∑；(2)1111166111116(54)(51)n n +++++⋅⋅⋅-+；(3)231232222(1)3333nn n --+-+-+；(4)1155n ++.解：(1) (11n S n =++++=从而lim n n S →∞=+∞，故级数发散．(2) 1111111115661111165451111551n S n n n ⎛⎫=-+-+-++- ⎪-+⎝⎭⎛⎫=- ⎪+⎝⎭从而1lim 5n n S →∞=，故原级数收敛，其和为15．(3)此级数为23q =-的等比级数，且|q |<1，故级数收敛．(4)∵n U =lim 10n n U →∞=≠，故级数发散． *4．利用柯西审敛原理判别下列级数的敛散性:(1)11(1)n n n +∞=-∑；(2)1cos 2n n nx ∞=∑； (3)()0111313233n n n n ∞=+-+++∑.解：(1)当P 为偶数时，()()()()122341111112311111231111112112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n pn n n +++++++++++----=++++++++-+--=++++⎛⎫⎛⎫-=----- ⎪ ⎪+-+-++++⎝⎭⎝⎭<+当P 为奇数时，()()()()1223411111123111112311111112311n n n pn n n n p U U U n n n n pn n n n pn p n p n n n n +++++++++++----=++++++++-+-+=++++⎛⎫⎛⎫-=---- ⎪ ⎪+-++++⎝⎭⎝⎭<+因而，对于任何自然数P ，都有12111n n n p U U U n n++++++<<+， ∀ε>0，取11N ε⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，则当n >N 时，对任何自然数P 恒有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，级数()111n n n +∞=-∑收敛．(2)对于任意自然数P ，都有()()()1212121cos cos cos 12222111222111221121112212n n n pn n n pn n n p n p n p n U U U xn p x xn n ++++++++++++++++=+++≤+++⎛⎫- ⎪⎝⎭=-⎛⎫=- ⎪⎝⎭<于是， ∀ε>0(0<ε<1)，∃N =21log ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，当n >N 时，对任意的自然数P 都有12n n n p U U U ε++++++<成立，由柯西审敛原理知，该级数收敛．(3)取P =n ，则()()()()()121111113113123133213223231131132161112n n n pU U U n n n n n n n n n n ++++++⎛⎫=+-+++-⎪++++++⋅+⋅+⋅+⎝⎭≥++++⋅+≥+>从而取0112ε=，则对任意的n ∈N ，都存在P =n 所得120n n n p U U U ε++++++>，由柯西审敛原理知，原级数发散．习题12-21．用比较判别法法判别下列级数的敛散性: (1)1114657(3)(5)n n ++++⋅⋅++； (2)22212131112131nn +++++++++++；(3)π1sin 3n n ∞=∑；(4)n ∞=； (5)11)1(0nn aa ∞=+>∑； (6)11(21)nn ∞=-∑.解：(1)∵ ()()21135n U nn n =<++而211n n ∞=∑收敛，由比较审敛法知1n n U ∞=∑收敛． (2)∵221111n n n U n n n n++=≥=++ 而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知，原级数发散．(3)∵ππsinsin 33lim lim ππ1π33n nn n n n→∞→∞=⋅=而1π3n n ∞=∑收敛，故1πsin 3n n ∞=∑也收敛．(4)∵321n U n=<=而3121n n∞=∑收敛，故1n ∞=收敛．(5)当a >1时，111n n nU a a =<+，而11n n a ∞=∑收敛，故111n n a∞=+∑也收敛．当a =1时，11lim lim022n n n U →∞→∞==≠，级数发散．当0<a <1时，1lim lim 101n nn n U a →∞→∞==≠+，级数发散．综上所述，当a >1时，原级数收敛，当0<a ≤1时，原级数发散．(6)由021lim ln 2xx x →-=知121lim ln 211nx n→∞-=<而11n n ∞=∑发散，由比较审敛法知()1121n n ∞=-∑发散．2．用比值判别法判别下列级数的敛散性:(1)213n n n ∞=∑；(2)1!31n n n ∞=+∑； (3)232233331222322n n n +++++⋅⋅⋅⋅； (4) 12!n n n n n ∞=⋅∑. 解：(1) 23n n n U =，()2112311lim lim 133n n n n n nU n U n ++→∞→∞+=⋅=<，由比值审敛法知，级数收敛．(2) ()()111!311lim lim 31!31lim 131n n n n n nn n n U n U n n ++→∞→∞+→∞++=⋅++=⋅++=+∞所以原级数发散．(3) ()()11132lim lim 2313lim 21312n nn n n n n nn U n U n n n +++→∞→∞→∞⋅=⋅⋅+=+=> 所以原级数发散．(4) ()()1112!1lim lim 2!1lim 21122lim 1e 11n nn n nn n nnn n n U n n U n n n n n +++→∞→∞→∞→∞⋅+=⋅⋅+⎛⎫= ⎪+⎝⎭==<⎛⎫+ ⎪⎝⎭故原级数收敛．3．用根值判别法判别下列级数的敛散性:(1)1531nn n n ∞=⎛⎫⎪+⎝⎭∑； (2)()11ln(1)n n n ∞=+∑； (3)21131n n n n -∞=⎛⎫ ⎪-⎝⎭∑； (4)1nn n b a ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑，其中,,,()n n a a n a b a →→∞均为正数.解：(1)55lim1313n n n n →∞==>+，故原级数发散． (2) ()1lim01ln 1n n n →∞==<+，故原级数收敛．(3)121lim 1931nn n n n -→∞⎛⎫==<⎪-⎝⎭，故原级数收敛．(4) lim limn n nb b a a →∞==，当b <a 时，b a <1，原级数收敛；当b >a 时，b a >1，原级数发散；当b =a 时，ba=1，无法判定其敛散性．习题12-31．判定下列级数是否收敛？若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？(1) 1+；(2)111(1)ln(1)n n n ∞-=-+∑；(3)2341111111153555333⋅-⋅+⋅-⋅+；(4)112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑； (5)11ln (1)n n n n∞-=-⋅∑； (6)()11113∞--=-∑n n n n； *（6）1(1)111(1)23nnn n∞=-++++⋅∑. 解：(1)()11n n U-=-，级数1n n U ∞=∑>0n =，由莱布尼茨判别法级数收敛，又11121nn n Un∞∞===∑∑是P <1的P 级数，所以1nn U∞=∑发散，故原级数条件收敛． (2)()()111ln 1n n U n -=-+，()()1111ln 1n n n ∞---+∑为交错级数，且()()11ln ln 12n n >++，()1lim0ln 1n n →∞=+，由莱布尼茨判别法知原级数收敛，但由于()11ln 11n U n n =≥++ 所以，1nn U∞=∑发散，所以原级数条件收敛．(3)()11153n n nU -=-⋅，显然1111115353n n n n n n U ∞∞∞=====⋅∑∑∑，而113n n ∞=∑是收敛的等比级数，故1nn U∞=∑收敛，所以原级数绝对收敛．(4)由()121!+=-nn n u n2122=<==⨯⨯，由正项级数的根值判别法知，2!n n 收敛，则级数()1121!∞+=-∑nn n n 收敛，112(1)!n n n n ∞+=-⋅∑绝对收敛. (5)函数()ln =xf x x在[)e,+∞为单调递减函数，则当n 充分大时()ln 1ln 1+>+n n n n ，且ln lim 0→∞=n n n ，由莱布尼兹判别法知交错级数收敛，又ln 1>n n n ，而调和级数11∞=∑n n是发散的，则11ln (1)n n nn∞-=-⋅∑条件收敛. （6）111310333+-+---=-=>n n n n nn n n n u u ，则1+>n n u u ，又1lim 03-→∞=n n n，根据莱布尼兹判别法知()11113∞--=-∑n n n n 收敛，又由比较判别法知1131133-+=<+n n nn n n ，则级数()11113∞--=-∑n n n n 收敛，则级数()11113∞--=-∑n n n n绝对收敛. *(6)由于11111123n nn ⎛⎫⋅>++++ ⎪⎝⎭ 而11n n ∞=∑发散，由此较审敛法知级数 ()11111123nn nn ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑发散．记1111123n U nn ⎛⎫=⋅++++ ⎪⎝⎭，则()()()()()()1222111111123111111112311111111231110n n U U n n n n n n n n n n n n n n +⎛⎫⎛⎫-=-++++- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+⎛⎫=-++++ ⎪⎝⎭++⎛⎫⎛⎫-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭+++⎝⎭>即1n n U U +> 又11111lim lim12311d n n n n U n n x n x→∞→∞⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭=⎰ 由1111lim d lim 01t t t t x t x →+∞→+∞==⎰ 知lim 0n n U →∞=，由莱布尼茨判别法，原级数()11111123nn n n ∞=⎛⎫-⋅++++ ⎪⎝⎭∑收敛，而且是条件收敛． 2．如果级数23111111122!23!2!2nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的和用前n 项的和代替，试估计其误差.()()()()()()()12121211111=1!22!211111!21!21111=11!222111=11!21211!2n n n n n n nn n n n n n n σ++++++⎛⎫⎛⎫++⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪+⎝⎭-=+＜3．若2lim n n n u →∞存在，证明：级数1n n u ∞=∑收敛.221211lim =lim ,.1n n n n n n n u n u nnu ∞→∞→∞=∞=∑∑存在而收敛所以也收敛*4．证明：若21nn u∞=∑收敛，则1nn u n ∞=∑绝对收敛. 222211111110221,2.n n n n n n n n n n n n u u u n n nu u n n u un n∞∞∞===∞∞===≤+∑∑∑∑∑＜而和都收敛，由比较审敛法得知收敛从而收敛，即绝对收敛习题12-41．求下列函数项级数的收敛域： (1)11x n n∞=∑；(2)()1111n xn n ∞+=-∑.2．求下列幂级数的收敛半径及收敛域: (1)2323nx x x nx +++++；(2)1!nnn n x n∞=∑； (3)21121n n x n ∞-=-∑；(4)21(1)2nn x n n∞=-⋅∑. 解：(1)因为11limlim 1n n n n a n a n ρ+→∞→∞+===，所以收敛半径11R ρ==收敛区间为(-1,1)，而当x =±1时，级数变为()11nn n ∞=-∑，由lim(1)0nx nn →-≠知级数1(1)n n n ∞=-∑发散，所以级数的收敛域为(-1,1)．(2)因为()()1111!11lim lim lim lim e 1!11nn n n n n n n n n a n n n a n n n n ρ-+-+→∞→∞→∞→∞⎡⎤+⎛⎫⎛⎫==⋅===+ ⎪⎢⎥ ⎪+⎝⎭+⎝⎭⎣⎦所以收敛半径1e R ρ==，收敛区间为(-e,e)．当x =e 时，级数变为1e !∞=∑n n n n n，()()()()11111!11!11e e e e +++++++⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+n n nnn n n nnn n n n u n n u n n n 11e =⎛⎫+ ⎪⎝⎭nn ，在→+∞n 的过程中，11+>n nu u ，又0>n u ，则e =x 时，常数项级数为单调递增函数，1e =u ，则lim 0→∞≠n n u ，由级数收敛的必要条件，级数的一般项不趋于零，则该级数必发散，同理在e =-x 时，()1e !∞=-∑nnn n n 变为交错级数，其中!lim e →∞n n n n n依旧不等于0，，则在e =-x 时也发散，则其收敛域为(),e e -．(3)级数缺少偶次幂项．根据比值审敛法求收敛半径．211212221lim lim 2121lim 21n n n n n nn U x n U n x n x n x ++-→∞→∞→∞-=⋅+-=⋅+= 所以当x 2<1即|x |<1时，级数收敛，x 2>1即|x |>1时，级数发散，故收敛半径R =1．当x =1时，级数变为1121n n ∞=-∑，当x =-1时，级数变为1121n n ∞=--∑，由1121lim 012n n n→∞-=>知，1121n n ∞=-∑发散，从而1121n n ∞=--∑也发散，故原级数的收敛域为(-1,1)． (4)令t =x -1，则级数变为212nn t n n∞=⋅∑，因为()()2122lim lim 1211n n n n a n n a n n ρ+→∞→∞⋅===⋅++ 所以收敛半径为R =1．收敛区间为 -1<x -1<1 即0<x <2.当t =1时，级数3112n n ∞=∑收敛，当t =-1时，级数()31112nn n ∞=-⋅∑为交错级数，由莱布尼茨判别法知其收敛．所以，原级数收敛域为 0≤x ≤2，即[0,2] 3．利用幂级数的性质，求下列级数的和函数:(1)11n n nx∞-=∑；(2)2221n n x n ∞+=+∑. ()()()()1112111111111n n n n n n n n nx x x S x nx x x x x x ∞-=∞∞∞-==='''⎛⎫⎛⎫===== ⎪ ⎪-⎝⎭-⎝⎭∑∑∑∑解：（）可求得函数在＜时收敛，＜(2)由2422221lim 23n n n x n x n x++→∞+=⋅+知，原级数当|x |<1时收敛，而当|x |=1时，原级数发散，故原级数的收敛域为(-1,1)，记()2221002121n n n n x x S x x n n ++∞∞====++∑∑，易知级数21021n n x n +∞=+∑收敛域为(-1,1)，记()211021n n x S x n +∞==+∑，则()212011nn S x x x ∞='==-∑，故()1011d ln 21xx S x x x +'=-⎰ 即()()1111ln 021x S S x x+-=-，()100S =，所以()()()11ln 121x xS xS x x x x+==<-习题12-51．将下列函数展开成x 的幂级数，并求展开式成立的区间: (1)()()ln 2f x x =+； (2)()2cos f x x =； (3)()()()1ln 1f x x x =++； (4)()2x f =(5)()23f x xx =+；(6)()e e)12(x x f x -=-；解：(1)()()ln ln 2ln 2ln 11222x x f x x ⎛⎫⎛⎫===++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由于()()0ln 111nnn x x n ∞==+-+∑，(-1<x ≤1)故()()11ln 11221n nn n x x n +∞+=⎛⎫=+- ⎪⎝⎭+∑，(-2≤x ≤2) 因此()()()11ln ln 22121n nn n x x n +∞+==++-+∑，(-2≤x ≤2)(2)()21cos 2cos 2xf x x +==由()()20cos 1!2nnn x x n ∞==-∑，(-∞<x <+∞)得()()()()()220042cos 211!!22n n n nn n n x x x n n ∞∞==⋅==--∑∑ 所以()()22011()cos cos 222114122!2n nn n f x x x x n ∞===+⋅=+-∑，(-∞<x <+∞) (3)f (x ) = (1+x )ln(1+x ) 由()()()1ln 111n nn x x n +∞==+-+∑，(-1≤x ≤1)所以()()()()()()()()()()()()()1120111111111111111111111111111n nn n n nn n n n n nn n n n n n n n n n x f x x n x x n n x x x n n n n x xn n x xn n +∞=++∞∞==++∞∞+==+∞+=-∞+==+-+=+--++=++--+++--=+⋅+-=++∑∑∑∑∑∑∑ (-1≤x ≤1)(4)()22f x x ==()()()21!!2111!!2n n n n x n ∞=-=+-∑ (-1≤x ≤1) 故()()()()221!!2111!!2n n n n x f x x n ∞=⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭∑()()()()2211!!211!!2n n n n x x n ∞+=-=+-∑ (-1≤x ≤1)(5)()()()(220211131313313nn n n nn n x f x x x x x x ∞=+∞+==⋅+⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭=-<∑∑(6)由0e !nxn x n ∞==∑，x ∈(-∞,+∞)得()01e !n nxn x n ∞-=⋅-=∑，x ∈(-∞,+∞)所以()()()()()()0002101e e 2112!!1112!,!21x x n n n n n n n n n n f x x x n n x n x x n -∞∞==∞=+∞==-⎛⎫-=- ⎪⎝⎭=⋅⎡⎤--⎣⎦=∈-∞+∞+∑∑∑∑2．将()2132x x f x ++=展开成()4x +的幂级数.()()()()()()20100102101113212111114x+4141343333134713111114414224222212462241323nn nn n nn nn n nn n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ∞=∞+=∞=∞+=∞+==-+++++⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=---+⎛+⎫⎛⎫==-=-< ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭-+=--+=-++∑∑∑∑∑解：而＜＜＜＜＜-从而()()()10110421146223nn n n n n n x x x ∞+=∞++=++⎛⎫=-+-- ⎪⎝⎭∑∑＜＜3．将函数()f x 1()x -的幂级数. 解：因为()()()()()211111111!2!!m nm m m m m m n x x x x x n ---+=++++++-<<所以()()[]()()()3221133333331121222222211111!2!!nf x x n x x x n ==+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=+++++---(-1<x -1<1)即()()()()()()()()()()()()()2323133131313251111111222!23!2!3152111022!nnn nn n f x x x x x n n x x n ∞=⋅⋅⋅⋅⋅⋅--+--=+++++----⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=+-<<⋅∑4．利用函数的幂级数展开式，求下列各数的近似值： (1) ln3(误差不超过10.000)； (2) cos2︒(误差不超过10.000).解：(1)35211ln 213521n x x x x x x n -+⎛⎫=+++++ ⎪--⎝⎭，x ∈(-1,1) 令131x x +=-，可得()11,12x =∈-，故()35211111112ln3ln 212325222112n n -+⎡⎤+++++==⎢⎥⋅⋅⋅-⎣⎦- 又()()()()()()()()()()2123212121232521242122112222123222212112222123252111222212112211413221n n n n n n n n n n n r n n n n n n n n n n +++++++++-⎡⎤++=⎢⎥⋅⋅++⎣⎦⎡⎤⋅⋅++=+++⎢⎥⋅⋅+++⎣⎦⎛⎫<+++ ⎪⎝⎭+=⋅+-=+故5810.000123112r <≈⨯⨯61010.000033132r <≈⨯⨯．因而取n =6则35111111ln32 1.098623252112⎛⎫=≈++++⎪⋅⋅⋅⎝⎭(2)()()2420ππππ909090cos 2cos 11902!4!!2nn n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-+-++-∵24π906102!-⎛⎫ ⎪⎝⎭≈⨯；48π90104!-⎛⎫⎪⎝⎭≈ 故2π90cos 2110.00060.99942!⎛⎫ ⎪⎝⎭≈-≈-≈ 5．将函数()d 0arctan x tF x t t=⎰展开成x 的幂级数. 解：由于()21arctan 121n nn t t n +∞==-+∑所以()()()()()20002212000arctan d d 121d 112121n xx nn n n xnnn n t t F t tx t n t x t n n ∞=+∞∞====-+==--++∑⎰⎰∑∑⎰（|x |≤1）6．求下列级数的和函数： (1) 2121n n x n ∞+=+∑；(2)10(1)!n n nx n ∞-=-∑(提示：应用e x 的幂级数展开式)；解：(1)可求得原级数的收敛半径R =1，且当|x |=1时，原级数发散．记()21021n n x S x n +∞==+∑则()22011n n S x x x∞='==-∑ ()200111d d ln 121xxx S x x x x x +'==--⎰⎰，即()()11ln 021xS S x x+-=-，S (0)=0 所以()11ln 21xS x x+=-，(|x |<1)(2)由()11!lim lim 0!1n n n n n a n n a n +→∞→∞+==-知收敛域为(-∞,+∞)．记()()11!1n n n S x x n ∞-==-∑则()()()111d e !!11nn xx n n x x S x x x x n n -∞∞=====--∑∑⎰，所以()()()e 1e x x S x x x '==+，(-∞<x <+∞)7.试用幂级数解法求下列微分方程的解：222(1)0;(2)0;(3)1;(4)(1);(5)(1)2.y x y y xy y y xy x x y x y x y x x y '''''-=++=''--=-=-'+=-+()()()()()()()()()1220120220120223405121,,11212021=210320435421nn n nn n n n n n n n nnn n n n nnn n n n n n y a x y na xy n n a xn n a x n n a x xa xn n a x a x a a a a a a n n a a ∞∞∞∞--+====∞∞+==∞∞+-==+-'''===-=++++-=++====++=∑∑∑∑∑∑∑∑解：（）设则代入原方程得即比较同次幂系数，得一般地()()()()222001423456785801910111291134243042,3,210,,,0,3445783478,0,894589111234781112,12134589121303478414n n k k k n a a n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k-+++==++===================-即所以有所以()()()14145121481221,2,1,2,4589441134347834781112145458945891213k k a a k k k x x x y C x x x C x +===+⎛⎫=++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭⎛⎫+++++⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎝⎭因此是方程的解()()()()()()()()()212120222220210211021100,1,2,10,1,2,2111122222n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n k k y a x a n n xx a nxa x n n a n a x n n a n a n a a n n a a a k k k ∞=∞∞∞--===∞+=++-=-++=++++=⎡⎤⎣⎦++++===-=+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑（）设为该方程的解，代入该方程得即故即从而()()()()01212112242000021351111!2111112121213135211111!22!2!211313513521kk k k nnk k a k a a a a k k k k a a a y a x x x n a a x a x x k +-+⎛⎫- ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=---=- ⎪⎪ ⎪++-⋅⋅+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎡-+++-+⎢⋅⋅⋅⋅⋅-⎣因而()()()()()()22222202135135212011221211111!22!2!2111131351352111313513521121!!n k k x n nn x x x x a n x a x x x k x x x a e a x k y C eC x n ++-+-⎤⎥⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-+⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤+-+++-+⎢⎥+⎣⎦⎡⎤=+-+-+-+⎢⎥+⎣⎦-=+-故原方程的通解为11n n ∞-=∑()()()101110111120210001234567213,=,112120111111,,,,,,23243524611,,3571nn n n n n n n nn n n n nn n n y a a x y na x na xx a a x x a a a x a n a x a a a a a a a a a a a ∞∞-==∞∞-==∞++=-'=+⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭-+--+-++=⎡⎤⎣⎦+++======⋅⋅⋅⋅==⋅⋅⋅∑∑∑∑∑（）设方程的解为从而代入方程得即因而()()()()()()023521242000023521222001,352124621113!!5!!21!!24!!2!!111113!!5!!21!!22!!2!!2n n n n n a a n n a a a x x x y a x x x x n n x x x x x x a x a n n --+=⋅-⋅⋅⎡⎤⎡⎤+++=+++++++++++⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++-++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦因此()()()()()()()222321200032120212113!!21!!113!!21!!121!!x n x n x n x x a a a e x n x x a e x n x y Ce n ---⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=-+++++++⎢⎥-⎣⎦⎡⎤=++-++++⎢⎥-⎣⎦=+-+-故方程的通解为()()()()()()01210210102321102311110,20,3=1,11041,0,,32234521123431n n n n nn n n n n n n n n n n n y a x x na xx a x n a n a x x a a a a a n a n a n a a a a n n n n n a a n n n n n y C ∞=∞∞-==∞+=+-=-=-++-=⎡⎤⎣⎦+==-+--=≥=-==-----==---=∑∑∑∑（4）令是该方程的解，代入该方程得即比较系数得以及故因而()()3412.31n n x x x n n ∞=-++-∑是方程的解()()()()10112011121101102231102315,=,2120,22,3111032,1,311nn n n n n n n n nnn n n n n n n n n n n n y a x y na x na x na xa a x x xna n a a x a a x xa a a a a n a n a n a a a a n a n ∞∞-==∞∞∞-===∞+=++'=+--=-++-+-=-⎡⎤⎣⎦-==-+=-++=≥==-=-=-+∑∑∑∑∑∑（）设方程的解为则代入方程得即比较系数得从而()()()()()()()()()()()1344331234121242114641131141412411.31n n n n n n n n n n n n n a a a n n n n a n n n n n a n n n y C x x x x n n ----∞-=-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--==--- ⎪⎪ ⎪⎪⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-=-≥++=-≥-=+-++--∑即因而原方程的通解为8. 试用幂级数解法求下列方程满足所所给定初始条件的解：2222(1)(2)2(1)20,(0)(1)1;(2),(0)0;(3)cos 0,(0),(0)0.x x y x y y y y dyx y y dx d xx t x a x dt '''-+-+====+='+===()()()()12122212121,,12121201.nn n n n n n n n n n n n n n n n n y a x y na xy n n a x xx n n a x x na x a x y x x ∞∞∞--===∞∞∞--==='''===---+-+==-+∑∑∑∑∑∑（）设则代入原方程得比较同次项系数，由初始条件可得方程的解为()1001211125,,00,0..11220nn n n n n n n n n n n y a x y na x y a na x a x xy x x ∞∞-==∞∞-=='====⎛⎫-= ⎪⎝⎭=++∑∑∑∑（2）设则由得代入原方程得比较同次幂系数得方程的解为()()()()21220120123423456246230123232345(3),,10,00,,0232435465102!4!6!23243546nn n n n n n n n dx d x x a t na t n n a t dt dt x a x a a a a a t a t a t a t t t t a a t a t a t a a t a t a t ∞∞∞--======-'====+⋅+⋅+⋅+⋅+⎛⎫+++++-+-+= ⎪⎝⎭++++∑∑∑设则由初始条件所以代入原方程得即4602240012123420310421530264010213024502!2!2!4!203204302!5402!6502!4!,0,220322!434!a t a a a a a a t a t a t a t a a a a a a a aa a aa a a a a a a a a aa a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+-+-++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+=⋅+=⋅+-=⋅+-=⋅+-+====-=-=-=⋅-+==⋅比较系数得又得到1350024246867824682!0549552!4!2!4!6,0,,656!878!1295512!4!6!8!a a a a a a a a a a a a a t x a t t t t -+==⋅-+--+-+==-===⋅⋅⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭所以习题12-61．设()f x 是周期为π2的周期函数，它在(,ππ-⎤⎦上的表达式为ππ. 32,0,(),0x f x x x -<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩试问()f x 的傅里叶级数在πx =-处收敛于何值？解：所给函数满足狄利克雷定理的条件，x =-π是它的间断点，在x =-π处，f (x )的傅里叶级数收敛于()()[]()33ππ11π22π222f f -+-+-=+=+ 2．写出函数ππ. 21,0,(),0x f x x x --<≤⎧⎪=⎨<≤⎪⎩的傅里叶级数的和函数.解：f (x )满足狄利克雷定理的条件，根据狄利克雷定理，在连续点处级数收敛于f (x )，在间断点x =0，x =±π处，分别收敛于()()00122f f -++=-，()()2πππ122f f -++-=，()()2πππ122f f -+-+--=，综上所述和函数．()221π00π102π1π2x x x S x x x --<<⎧⎪<<⎪⎪=-=⎨⎪⎪-=±⎪⎩3. 写出下列以π2为周期的周期函数的傅里叶级数，其中()f x 在),ππ-⎡⎣上的表达式为： (1)π,0π4()π,π04x f x x ⎧≤<⎪=⎨⎪--≤<⎩ ；(2)()2()f x x πx π=-≤<；(3)ππ,π22ππ(),22ππ,π22x f x x x x ⎧--≤<-⎪⎪⎪=-≤<⎨⎪⎪≤<⎪⎩ ； (4)()ππcos ()2f x x x=-≤≤. 解：(1)函数f (x )满足狄利克雷定理的条件，x =n π，n ∈z 是其间断点，在间断占处f (x )的傅里叶级数收敛于()()ππ0044022f f +-⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==，在x ≠n π，有()π0π-ππ011π1πcos d cos d cos d 0ππ4π4n a f x nx x nx x nx x -⎛⎫==-+= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰()π0π-ππ011π1πsin d sin d sin d ππ4π40,2,4,6,,1,1,3,5,.n b f x nx x nx x nx x n n n-⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭=⎧⎪=⎨=⎪⎩⎰⎰⎰于是f (x )的傅里叶级数展开式为()()11sin 2121n f x n x n ∞==--∑(x ≠n π)(2)函数f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在(-∞,+∞)上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，从而f (x )cos nx 为偶函数，f (x )sin nx 为奇函数，于是()π-π1sin d 0πn b f x nx x ==⎰，2π20-π12πd π3a x x ==⎰， ()()ππ22-π0124cos d cos d 1ππnn a f x nx x x nx x n===-⋅⎰⎰ (n =1,2,…) 所以，f (x )的傅里叶级数展开式为：()()221π41cos 3nn f x nx n∞==+-⋅∑ (-∞<x <∞)(3)函数在x =(2n +1)π (n ∈z )处间断，在间断点处，级数收敛于0，当x ≠(2n +1)π时，由f (x )为奇函数，有a n =0,（n =0,1,2,…）()()()πππ2π002222πsin d sin d sin d ππ212π1sin 1,2,π2n nb f x nx x x nx x nx x n n n n ⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦=--+=⎰⎰⎰ 所以()()12112π1sin sin π2n n n f x nx n n ∞+=⎡⎤=-⋅+⎢⎥⎣⎦∑ (x ≠(2n +1)π,n ∈z )(4)因为()cos2xf x =作为以2π为周期的函数时，处处连续，故其傅里叶级数收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0(n =1,2,…)，()()ππ-π0π0π1212cos cos d cos cos d π2π2111cos cos d π2211sin sin 12211π224110,1,2,π41n n x xa nx x nx xn x n x x n x n x n n n n +==⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥=+⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭⎰⎰⎰所以f (x )的傅里叶级数展开式为：()()12124cos 1ππ41n n nxf x n ∞+==+--∑ x ∈[-π,π] 4. 将下列函数()f x 展开为傅里叶级数： (1)()πππ(2)4x xf x =-<<-；(2)()π2sin (0)f x xx =≤≤.解：(1) ()ππ0-ππ11ππcos d d ππ422x a f x nx x x -⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰⎰ []()ππππ-π-πππ1π11cos d cos d x cos d π4242π1sin 001,2,4n x a nx x nx x nx xnx n n--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-==⎰⎰⎰()ππππ-π-π1π11sin d sin d xsin d π4242π11n n x b nx x nx x nx x n-⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭=-⋅⎰⎰⎰故()()1πsin 14n n nxf x n∞==+-∑ (-π<x <π)(2)所给函数拓广为周期函数时处处连续，因此其傅里叶级数在[0,2π]上收敛于f (x )，注意到f (x )为偶函数，有b n =0,()ππ0πππ011cos0d sin d ππ24sin d ππa f x x x x x x x --====⎰⎰⎰()()()()()()ππ0ππ02222cos d sin cos d ππ1sin 1sin 1d π211π10,1,3,5,4,2,4,6,π1n na f x nx x x nx xn x n x x n n n n -===+--⎡⎤⎣⎦-⎡⎤=+-⎣⎦-=⎧⎪-=⎨=⎪-⎩⎰⎰⎰所以()()2124cos2ππ41n nxf x n ∞=-=+-∑ (0≤x ≤2π) 5. 设()π1(0)f x x x =+≤≤，试分别将()f x 展开为正弦级数和余弦级数. 解：将f (x )作奇延拓，则有a n =0 (n =0,1,2,…)()()()()ππ0022sin d 1sin d ππ111π2πn nb f x nx x x nx x n==+--+=⋅⎰⎰从而()()()1111π2sin πnn f x nx n∞=--+=∑ (0<x <π)若将f (x )作偶延拓，则有b n =0 (n =1,2,…)()()ππ00222cos d 1cos d ππ0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx x n n n ==+=⎧⎪=-⎨=⎪⎩⎰⎰()()ππ0π012d 1d π2ππa f x x x x -==+=+⎰⎰从而()()()21cos 21π242π21n n xf x n ∞=-+=--∑ (0≤x ≤π) 6. 将()211()f x xx =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数，并由此求级数211n n∞=∑的和.解：f (x )在(-∞,+∞)内连续，其傅里叶级数处处收敛，由f (x )是偶函数，故b n =0,(n =1,2,…)()()1101d 22d 5a f x x x x -==+=⎰⎰()()()1112cos d 22cos d 0,2,4,64,1,3,5,πn a f x nx x x nx xn n n -==+=⎧⎪-=⎨=⎪⎩⎰⎰所以()()()221cos 21π542π21n n xf x n ∞=-=--∑，x ∈[-1,1]取x =0得，()2211π821n n ∞==-∑，故 ()()22222111111111π48212n n n n n n n n ∞∞∞∞=====+=+-∑∑∑∑ 所以211π6n n ∞==∑ 7. 将函数()12(0)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦级数.解：将f (x )作偶延拓，作周期延拓后函数在(-∞,+∞)上连续,则有b n =0 (n =1,2,3,…)()()220201d 1d 02a f x x x x -==-=⎰⎰ ()()()222022221ππcos d 1cos d 2224[11]π0,2,4,6,8,1,3,5,πn nn x n xa f x x x xn n n n -==-=--=⎧⎪=⎨-=⎪⎩⎰⎰ 故()()()22121π81cos π221n n x f x n ∞=-=-⋅-∑(0≤x ≤2)8. 设11,02()122,2x x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨⎪-<<⎩，()01cos π,2n n a a n x s x x ∞==-∞<∞+<+∑，其中πd 102()cos n a f x n x x =⎰，求()52s -.解：先对f (x )作偶延拓到[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)将f (x )展开成余弦级数而得到 s (x )，延拓后f (x )在52x =-处间断，所以515511122222221131224s f f f f +-+-⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎛⎫=+= ⎪⎝⎭9.设函数()21(0)f x x x =≤<，而()1sin π,n n n x b s x x ∞==-∞<<+∞∑，其中()πd 1,2,3,102()sin n f x n x xb n ==⎰.求()12s-.解：先对f (x )作奇延拓到,[-1,1]，再以2为周期延拓到(-∞,+∞)，并将f (x )展开成正弦级数得到s (x )，延拓后f (x )在12x =-处连续，故. 211112224s f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 10. 将下列各周期函数展开成为傅里叶级数，它们在一个周期内的表达式分别为： (1)()2111 22f x x x ⎛⎫=--≤< ⎪⎝⎭ ；(2) 3. 21,30,()1,0x x f x x +-≤≤⎧=⎨≤<⎩解：（1） f (x )在(-∞,+∞)上连续，故其傅里叶级数在每一点都收敛于f (x )，由于f (x )为偶函数，有b n =0 (n =1,2,3,…)()()112221002112d 41d 6a f x x x x -==-=⎰⎰， ()()()()112221021222cos2n πd 41cos2n πd 11,2,πn n a f x x x x x xn n -+==--==⎰⎰所以()()12211111cos 2π12πn n f x n x n +∞=-=+∑(-∞<x <+∞)(2) ()()303033011d 21d d 133a f x x x x x --⎡⎤==++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰， ()()()()330330221πcos d 331π1π21cos d cos d 3333611,1,2,3,πn nn xa f x xn x n x x x x n n --==++⎡⎤=--=⎣⎦⎰⎰⎰()()()()33033011πsin d 331π1π21sin d sin d 333361,1,2,πn n n xb f x x n x n x x x x n n --+==++=-=⎰⎰⎰而函数f (x )在x =3(2k +1)，k =0,±1,±2,…处间断，故()()()122116π6π11cos 1sin 2π3π3n n n n x n x f x n n ∞+=⎧⎫⎡⎤=-+--+-⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ (x≠3(2k +1)，k =0,±1,±2,…)习题十二1. 填空题：(1)级数1211()1n n n ∞=+∑的敛散性是发散(2)级数1()21nn n n ∞=-∑的敛散性是收敛 (3)已知幂级数级数级数1(2)04nn n a x x x ∞=+==-∑在处收敛，在处发散，则幂级数1(3)nn n a x ∞=-∑的处收敛域为 (1,5](4) 设函数()1()f x x x ππ=+-<<的傅里叶级数的和函数为(),(5)S x S π则等于 1(5)设函数2()(0)f x x x π=≤≤的正弦函数1sin nn bnx ∞=∑的和函数(),(,2)()S x S x ππ∈=则当x 时， 2(2)x π--2. 选择题：(1) 正项级数1nn a∞=∑收敛的充分条件是（ C ）。

华南理工大学高数习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限（1）00x y →→；解：000016x t t y →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. 2．设2e xyu =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x. 证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y∂∂-==∂∂ 所以222223221222220x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y ∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,lim lim 0y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln zx z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()22001sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====-- 又()()()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y+≠=-+++ ()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----；（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f ''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y ''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂. 解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y--；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .解：由已知()2222222602460dz xdx ydydz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dx y yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u uu P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂-- 5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin xz f y =满足方程22222e xz z z x y∂∂+=∂∂，求()f u . 解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂ ()()()()222cos ,cos (sin )x x x z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-25l ⎧=⎨⎩，{3,3}5zl ∂=-⋅=-∂z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)；（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z ={}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z n gradz n n∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. 证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭ 切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

高数(理工类-第四版)上册复习练习题答案

1处是否连续在，，判定函数0 0101212)( 11=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=x x x x f x x 110021(00)lim121xx xf →+-+==+解：f x xx()lim00212110011-=-+=-→-所以是的一个跳跃间断点x f x =0()2处都连续．及在之值，使，确定　，，，20)(2412101)1()(1==⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∞+<+≤≤+<≤-+=x x x f b a xc x x b ax x xe x f xx因在处连续　f x x f f f ()()()()=⇔-==+0000e b b b e ==∴=即，()2(20)(2)(20)(20)(2)22(20)3f x x f f f f f a b a e f =⇔-==+-==+=++==而在处连续 3232ea e a -+==令，3已知，，　，求．f x x x x x x f x ()ln()sin ()=-≤>⎧⎨⎪⎩⎪'101032 f f f f x x ()()()()0000000-=+===，在处连续'=-=-=-='=-==-→-→-→-+→+→+f f x f x x xx x f f x f x x x xx x x x x ()lim ()()lim ln()lim ()lim ()()lim sin001000100000300300002'=f ()00'=-≤->⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪f x x x x x x x x ()sin cos 310211023，，5.要使点(1,3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则a ,b 的值为（）29,23)(=-=b a A 23,29)(-==b a B6,3)(=-=b a C 1,2)(==b a D5曲线3)1(-=x y 的拐点是（）)8,1)((-A )0,1)((B )1,0)((-C )1,2)((D222222arctan (),ln(1)2()2()11()2(1)().( )2x t d yy y x dx y t A B t C t D t=⎧==⎨=+⎩++-6 设确定了则．．．答 C7设)(x f 在a x =处可导且b a f =')(，求极限h hx a f h a f x )2()(lim 0+--→。

高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_

高等数学(上册)第12章(1)习题答案_吴赣昌_人民大学出版社_高数_第十二章微分方程内容概要§12.1微分方程的基本概念内容概要课后习题全解1．指出下列微分方程的阶数：知识点：微分方程阶的定义★（1）某(y)24yy3某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

注：通常会有同学误解成未知函数y的幂或y的导数的幂。

例：（错解）方程的阶数为2。

((y))★（2）2某y2y某2y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为2，∴方程的阶数为2。

★（3）某y5y2某y0；解：出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为3，∴方程的阶数为3。

★（4）(7某6y)d某(某y)dy0。

(n)思路：先化成形如F(某,y,y,,y解：化简得)0的形式，可根据题意选某或y作为因变量。

dy6y7某，出现的未知函数y的最高阶导数的阶数为1，∴方程的阶数为1。

d某某y2指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：知识点：微分方程的解的定义思路：将所给函数及其相应阶导数代入方程验证方程是否成立。

★（1）某y2y，y5某2；2解：将y10某，y5某代入原方程得左边所以某10某25某22y右边，y5某2是所给微分方程的解。

y2y0,yC1co某C2in某；解：yC1in某C2co某，将y2C1co某2C2in某，yC1co某C2in某，代入原方程得：左边所以★（3）y2y2C1co某2C2in某2(C1co某C2in某)右边，yC1co某C2in某是所给微分方程的解。

y22yy20,yC1某C2某2；某某2解：将yC1某C2某，yC12C2某，y2C2，代入原方程得：2C14C2某2(C1某C2某2)22y左边=yy22C20右边2某某某某所以yC1某C2某2是所给微分方程的解。

y(12)y12y0yC1e1某C2e2某；1某解：将yC1eC2e2某，yC11e1某C22e2某，yC112e1某C222e2某，代入原方程得：左边y(12)y12y22C11e1某C22e2某(12)(C11e1某C22e2某)12(C1e1某C2e2某) 0所以右边，yC1e1某C2e2某是所给微分方程的解。

大一高数习题和答案

⼤⼀⾼数习题和答案⼀、选择题1、某质点作直线运动的运动学⽅程为223t t x +=(SI), 则该质点作 ( ) (A ）匀加速直线运动，加速度沿x 正⽅向. (B) 匀加速直线运动，加速度沿x 负⽅向. (C) 匀减速直线运动，加速度沿x 正⽅向. (D) 匀减速直线运动，加速度沿x 负⽅向.2、物体在恒⼒F 作⽤下作直线运动，在时间1t ?内速率由v 增加到v 2，在时间2t ?内速率由v v 32增加到，设F 在1t ?内的冲量是1I ，在2t ?内的冲量是2I ，那么（） (A)21I I > (B) 21I I <(C) 21I I = (D) 不能确定3、物体在恒⼒F 作⽤下作直线运动，在时间1t ?内速度由v 增加到2v ，在时间2t ?内速度由2v v 3增加到，设F 在1t ?内作的功是1W ，在2t ?内作的功是2W ，那么（）（A ） 21W W > （B ） 21W W <（C ） 21W W = （D ）不能确定4、关于电场强度定义式0q F E=，下列说法中哪个是正确的？（） (A) 场强E的⼤⼩与试探电荷 0q 的⼤⼩成反⽐．(B) 对电场中某点，试探电荷的受⼒F与0q 的⽐值不因0q ⽽改变．(C) 试探电荷受⼒F 的⽅向就是场强E的⽅向．(D) 若场中某点不放试探电荷0q ，则F ＝０，从⽽E＝０．5、对于⼀个⼒学系统,下述哪种情况下系统的机械能守恒？（）(A)系统所受合外⼒为零. (B)系统有⾮保守内⼒做功.(C)⾮保守内⼒和系统所受外⼒都不做功. (D)系统所受各个外⼒做功之和不为零.6、速度为v 的⼦弹,打穿⼀块⽊板后速度为零,设⽊板对⼦弹的阻⼒是恒定的.那末,当⼦弹射⼊⽊板的深度等于其厚度的⼀半时,⼦弹的速度是（）(A) v/2. (B) v/4 . (C) v/3. (D) v/2.7、质⼦在加速器中被加速,速度变为0.8c （c 为真空中的光速）时，其质量变为静⽌质量的⼏倍（） (A)5/4倍 (B) 5/3 倍 (C)2倍 (D)没有正确答案8、边长为a 的正⽅形薄板静⽌于惯性系K 的XOY 平⾯内，且两边分别与X ，Y 轴平⾏。

高数练习册答案

第一章函数与极限部分习题答案§1 映射与函数一、填空题：1、224>-<<-x x 或2、)01(1ln>>-=x x x y 3、奇函数 4、41 §2 数列的极限一、填空题：1、不存在 2、必要 3、1二、计算题：1、0 2、1 3、21§3 函数的极限一、填空题：1、充要 2、1 3、1；不存在二、计算题：1、 6 2、21 3、62- 4、（1）：1；（2）：-1；（3）：不存在§4 无穷小和无穷大二、计算题：1、0 2、1 3、2§5 极限的运算法则一、计算题：1、-11 2、32 3、214、-15、236、17、528、1二、计算：a=2; b=-8 三、计算；a=1; b=-1§6 极限存在准则两个重要极限一、填空题：1、0；1；1；0 2、1-e ；2e ；3e ；2e ；二、计算题：1、0； 2、2； 3、2； 4、2e ； 5、 3-e ； 6、6-e ；三、计算：1§7无穷小的比较一、计算题：1、2； 2、32； 3、0； 4、1 二、计算题；3=α§8函数的连续性与间断点一、填空题：1、充要； 2、可去；二、不连续，跳跃间断点三、跳跃间断点四、41=a §9连续函数的运算与初等函数的连续性一、计算题；∞,21,31；二、1、2ln π2、1；3、0；4、1三、计算a=1； b=-1第一章自测题一、填空题：1、0≠x，1，-1； 2、0； 3、0； 4、2； 5、21三、计算题：1、2 x ； 2、1； 3、1； 4、3e ； 5、； 6、41； 7、1； 8、1四、计算；a=1； 23-=b§ 2.1 二、 )(a φ；三、 4311;33x ---；四、460;470x y x y --=++=；五、连续且可导。

§2.2 二、2,e e ππ--；三、（1；（2）；(3)1tan 221111(cos sin sec )x e x x x x-+；（4）22sin 2[(sin )(cos )]x f x f x -。

同济版高数下习题册答案

学霸联
同济第六版高数下习题册答案
第八章
一、设 f ( x, y)
2
多元函数的微分法及其应用
§1 多元函数概念
2 y , ( x, y)
2 2 2 2
x
x
2
2 y , 求:
4
2 f [ ( x, y), y ] .
2 2 4
答案： f ( ( x , y ), y )
(x
y )
y
x
4
2x y
2y
二、求下列函数的定义域： 1、 f ( x, y )
2
xy sin
1 x 0,
2
y
2
, ( x, y ) ( x, y )
( 0,0 ) ( 0,0 )
在整个 xoy 面上连续。
(0 ,0 ) 时，
(0,0 ) 时， f ( x, y )为初等函数，连续。当 ( x, y ) 1 y
2
0
f ( 0,0 ) ，所以函数在（ 0，0）也连续。所以函数
在整个 xoy 面上连续。六、设 z x y 2 f ( x y) 且当 y=0 时 z 解： f(x)= x
x
3
,Fy
1
2 3
1
y
3
, Fz
1
2 3
1
z , z0 ) 0 a
2
3
在任一点
x0 , y 0 , z0
处的切平面方程为
1 2
x0
1
3
y0 3 ( y
y0)
z0 3 ( z
在在三个坐标轴上的截距分别为证明曲面
x0 3 a 3 , y 0 3 a 3 , z0 3 a 3 , 在三个坐标轴上的截距的平方和为 0) 处的切平面都通过原点

高等数学教程课后答案(上海大学理学院数学系著) 上海大学出版社

5. a = −π , b = 0 6. (1)当 a = 0, b ≠ 1 时，有无穷间断点 x = 0 ； (2)当 a ≠ 1, b = e 时，有无穷间断点 x = 1 . 习题 1-9 (A) 1.连续区间为： (−∞,−3), (−3,2), (2,+∞)
lim f ( x) =
x →0
1 2
8. a = b 9.
6 5
10. 第二类，第一类三. 1. ϕ ( x) = 4. 4 7.
1 ln a 2
x +1 x −1
2. α = − 5.
e4
2004 1 ,β = 2005 2005
3. lim x n = 1 n →∞ 6. －50
8. 当 α ≤ 0 时， f ( x) 在 x = 0 处不连续；
1 2
(4)0; (8)
π2 . 8
总复习题一一. 1. D 6. D 2. D 7. D 3. D 8. C 4. B 9. D 5. C 10. D
2 ⎧ ⎪x − x , x < 0 二.1. f (− x) = ⎨ 2 ⎪ ⎩x , x ≥ 0
2. arcsin(1 − x 2 ) , [− 2 , 2 ] 3. －1 4. 充分，必要 5. 充分，必要 6. 充分必要 7.
(3) p = 21000 (元) 习题 1-1 (B) 1. f ( x) 为偶函数.
2. f ( x) = x 2 − 2, f ( x − ) = x 2 + 3. f [ g ( x)] = ⎨ 4.
3 + 2x 2 1+ x2 ⎧1 − e − x , − 1 < x < 0 x ≤ −1 ⎩− 1 , ⎧0, x < 0 ⎩x , x ≥ 0

大一高数练习册参考答案

lim
x2
（x 2)( x 1）
lim x2
xa2 x1
4a 2 3
a 2, b 8
另法：由已知，可设x：2 ax b ( x 2)( x c) 代入极限，求得c
9.计算极限:
esin x e x A. lim
x0 sin x x e x (esin x x 1)
lim x0 sin x x
n n(n 1)
ln x
第二章
习题解答参考
1.在下列情况下，f '( x0 )是否存在？
A. lim f ( x0 x) f ( x0 ) a
x0
x
a lim f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 x) f ( x0 )（ 1）
x0
x
x0
x
f '( x0 )
1，| x | 1
0,|
x
|
1
1,| x | 1
x，| x | 1
f (x)
0,|
x | 1
x,| x | 1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
lim f ( x) 1
x1
x 1, x 1 是第一类的跳跃间断点。
f ( x)在(,1) (1,1) (1,)内连续
x 1
f ( x) f (1) x1
x2 1
lim
2
x1 x 1
f
'
(1)
lim
x 1
f ( x) f (1) x1
ax b 1 lim
x1 x 1
ax b 1

高数课后习题答案及其解析

第一章习题习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

南京邮电大学高数书上的习题答案下册

南京邮电大学高数书上的习题答案下册南京邮电大学《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或(2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dy y x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dyy x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy----------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰ee ydx y x f dy (6).),(),(arcsin arcsin 1arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 021⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 4⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d11.(1) ;434a π(2) ;12- (3);)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641(2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π (5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1);54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ。

高数微分方程重点习题含答案

填空题（50）1、曲线上任一点(,)x y 处的切线斜率等于(1)yx-+,且过点(2,1),则该曲线方程是 .答案：142y x x=-+ 难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程.分析直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题111dy y y dx x x ⎛⎫=-+=-- ⎪⎝⎭及初始条件(2)1y = ，由通解公式可得142y x x =-+。

2、一潜水艇在下沉力P (含重力)的作用下向水底下沉，已知水的阻力与下沉速度成正比(比例系数为k ),开始下沉速度为零，则速度与时间的函数关系是 . 答案：()kt me v t k kP P -=- 难度等级：2；知识点：一阶非齐次线性常微分方程. 分析由牛顿第二定律可得一阶微分方程的初值问题()()dv t m P kv t dt=- 可得一阶线性微分方程的初值问题()()dv t kv t Pdt m m-=+ 及初始条件(0)0v = ，由通解公式可得()ktme v t k kP P-=-。

3、曲线上任一点的切线斜率恒为该点的横坐标与纵坐标之比，则此曲线的方程是 . 答案：22y x C -=难度等级：2；知识点：一阶线性常微分方程.分析直接由切线斜率的定义及过定点可得一阶线性微分方程的初值问题dy x dx y= ，即有0ydy xdx -= ，2202y x d ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故可得曲线方程为22y x C -=。

4、满足方程21,(1)1,(1)0x y y y '''==-=的解为 . 答案：ln 2y x x =-+-难度等级：2；知识点：可降阶的二阶常微分方程.分析将方程变形为2221d y dx x= ，连续积分两次可得通解为12ln y x C x C =-++ ，再代入初始条件可解得121,2C C ==-，故可得解为ln 2y x x =-+-。

5、当λ等于时，0y y λ''+=存在满足(0)(1)0y y '==的非零解。

高数练习册答案（完整版）

1 高等数学1C 习题解答习题一一．单项选择题1、A 2、D 3、C 二．填空题1、22)1(133-+-x x x 2、（－9，1）三．计算题1、（1）解函数要有意义，必须满足îíì³-¹0102x x 即îíì££-¹110x x 定义域为]1,0()0,1(È-（2）解函数要有意义，必须满足ïïîïïíì££-¹³-111003x xx 解得1-£x 或31££x 3．（1）解由1-=x e y 得1ln +=y x 交换x 、y 得反函数为1ln +=x y （2）解由11+-=x x y 得y yx -+=11交换x 、y 得反函数为xx y -+=114．（1）解只有t=0时，能；t 取其它值时，因为112>+t ，x arcsin 无定义（2）解不能，因为11££-x ，此时121-=x y 无意义5．解（1）12arccos 2-====x w wv vu ey u(2) 令22y y y +=则11ln 21+=+==x u u v vy xw em m x v v u ey wu2)sin(32==+===6．解ïîïíì-£+£<-+->-=1101)1(0)]([22x x x x x x x f g 7．解设cbx ax x f ++=2)(所以ïîïíì==++=++41242c c b a c b a 解得25214-===b a c习题二习题二一．单项选择题一．单项选择题1、A 2、B 3、D 二．填空题二．填空题1、>1 2、单调增加、单调增加三．计算题三．计算题1、（1）解）解因为)(sin )sin()(x f x x x x x f ==--=- 所以函数是偶函数所以函数是偶函数（2）解）解因为)()1ln(11ln )1ln()(222x f x x xx x x x f -=-+-=-+=++=-所以函数是奇函数所以函数是奇函数（3）解）解 )(0)1(000)1(010001)(x f x x x x x x x x x x x f -=ïîïíì>+-=<--=ïîïíì<---=->-+-=- 所以函数是奇函数所以函数是奇函数2．解．解因为因为 x x y 2cos 2121sin 2-== 而x 2cos 的周期为p ，所以x y 2sin =是周期函数，周期为p3．解．解由h r V 231p = 得23rvh p =表面积：表面积： )0(919221226224222222³++=++=+×+=r r v r r r rv r r r r h r s p p p p p p p 四证明证明 )()1()1(11)(x f e e e e e e x f x x xxxx-=+-=+-=--- 习题三习题三一．单项选择题一．单项选择题1、C 2、C 3、B 4、C 二．填空题二．填空题1、1 2、a 3、³4、2，0 5、1 三．判断正误三．判断正误1、对；、对；2、对；、对；3、错、错四．（1）证明证明令12+=n nx ne <=<+=-n nn n nx n11022只要e 1>n ，取]1[e=N当N n >时，恒有e <-0n x所以01lim2=+¥®n nn（2）证明）证明因为)0()(lim>=+¥®A A x f x ，对取定的2A=e ，存在M>0，当x>M 时，有时，有2)()(AA x f A x f <-<-故当x>M 时，2)(Ax f >习题四习题四一．单项选择题一．单项选择题1、B 2、B 3、B 4、D 二．填空题二．填空题1、ae 2、0，6 3、6 4、2，－2 三．判断正误三．判断正误 1、错；、错； 2、错；、错； 3、错；、错；四．计算题四．计算题 1、原式＝2112lim )1)(1()1)(2(lim 11=+--=+---®®x x x x x x x x 2、原式＝01111lim 11lim =++=+++¥®+¥®xxxx x x 3、原式＝2311lim )1)(1()1)(1(lim 32313231=+++=-+++-®®xx x x x x x x x x 4、原式＝31)32(131)32(31lim )32(13233lim 1111=-×+=-++¥®++++¥®n n n n n nn nn 5、原式＝]21)121121(21)5131(21)311[(lim ×+--++×-+×-+¥®n n n 21)2112121(lim =×+-=¥®n n 6、、原式＝23232223)12)(1(21lim 3)21(3lim n n n n n n n n n n -++=-+++¥®+¥® 2132123lim 22=+=¥®nn n n 7、因为、因为 0lim =-+¥®xx e 1s i n £x 所以所以 0s i nl i m =-+¥®x e xx习题五习题五一、1.B ， 2.A, 3. B 二、1.sin tan x x x << 2．０．０三、1. （1）0sin 77lim tan 55x x x ®=解：（2）0lim sin0x x x p ®=解：这是有界函数乘无穷小量，故（3）000sin 5sin 5115sin 55lim lim lim 1sin 3sin 3sin 31133x x x xxx x x x x x x x x x®®®---===-+++解：（4）00sin 1lim lim sin 1()x x x x x x ++®®+=解：原式解：原式==后一项是无穷小量乘有界函数2．（1）22222222222lim(1)lim[(1)]lim(1)1n nn n n e e nn n´+®¥®¥®¥=+=++==原式（2）()1()1111lim(1)lim 1x x x x x x e ---·-®¥®¥éùæö-=-=êúç÷èøêúëû原式原式== （3）22322(3)3332233lim(1)lim(1)22x x xx e x x -++-·---®¥®¥éù-=-=êú++êúëû原式＝ (4)13330lim(13)xx x e ·®=+=原式(中间思维过程同前) （5）222222lim ln()lim ln(1)lim ln(1)lim ln(1)1nnn n n n n n n nn n n·®¥®¥®¥®¥+==+=+=+=原式四．四．1.证明：证明：22222111......2n n n n n n n n n ppppp<+++<+++++22limlim 1,,.n n n nn n n p p®¥®¥==++而故由夹逼准则知原式成立 2.证明：证明：只要证明原数列单调有界就可以达到目的只要证明原数列单调有界就可以达到目的()()2211112,110,0,.n n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x ++++=-+-=-=-->->> n 即而0<x <1,<1,故故即故数列单调递增且有界故数列单调递增且有界,,极限存在极限存在..22212(21)11(1)1lim 1n nnnn n n n x x x x x x x +®¥=-+=--++=--<\=习题六习题六一、1．B ，2．B ，3．B ，4．B ，5。

同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)

(7) yarcsin(x3);
解由|x3|1 得函数的定义域 D[24]. 1 (8) y 3 x arctan ; x 解由 3x0 且 x0 得函数的定义域 D(0)(03).
(9) yln(x1);
解由 x10 得函数的定义域 D(1).
解 (1)是周期函数周期为 l2.
(2)是周期函数周期为 l . 2 (3)是周期函数周期为 l2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数周期为 l. 14. 求下列函数的反函数 (1) y 3 x 1 (2) y 1 x 1 x (3) y ax b (adbc0); cx d (4) y2sin3x; (5) y1ln(x2); 2x . (6) y x 2 1
解 (1)由 y 3 x 1 得 xy31所以 y 3 x 1 的反函数为 yx31.
1 y (2)由 y 1 x 得 x 所以 y 1 x 的反函数为 y 1 x . 1 x 1 x 1 x 1 y dy b 所以 y ax b 的反函数为 y dx b . (3)由 y ax b 得 x cx d cy a cx d cx a
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数.
解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 . 4 4 2 4 4 6 6 2 2
9. 试证下列函数在指定区间内的单调性: x (1) y , (, 1); 1 x (2)yxln x, (0, ).

南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)

南京邮电大学《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章习题7.1 2.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DD d y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ(3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I (3);33323323ππ≤≤-I习题7.21.(1);),(),(442042⎰⎰⎰⎰-yy xdx y x f dy dy y x f dx 或(2);),(),(22222200⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3);),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dyy x f dx 或(4)11121121(,)(,)(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy ----+++⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy2.(1);),(11⎰⎰xdy y x f dx (2);),(24⎰⎰xx dy y x f dx(3);),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5) ;),(1⎰⎰ee y dx y xf dy (6).),(),(arcsin arcsin 1arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π- (3);556 (4);1--e e (5);49 (6).12-π 4. .3π 5. .27 6. .617 9.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 021⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d(2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d (3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4).)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d11.(1) ;434a π (2);12- (3) ;)1(4-e π (4) .6432π12.(1) ;222π+ (2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π 15. (1) ;2ln 37 (2) ;21-e (3) .21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=x y v y x u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==y x v xu习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x x dz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2) );852(ln 21- (3) ;0 (4) ;422R h π(5) .2π- 4. (1) ;81 (2) ;127π (3) .316π5. (1) ;54π (2) ;674a π (3) ).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d球面坐标系 .sin )cos ,sin sin ,cos sin (224020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1);332π (2) ;233a π (3) ;6π (4) ).455(32-π 8. .)(422t f t π 9..4R k π 习题7.4 1. .)612655(2a π-+ 2. .2π 3. .162R5.(1);34,0πby x == (2);0,)(222=+++=y b a a ab b x (3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4) .43,0,0⎪⎭⎫⎝⎛6..796,572==y x I I 7. (1) ;384a (2) ;157,0,02a z y x === (3) .451126ρa8. .])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ 总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π (2) ;0 (3) ;2π (4) ;4μ (5) .344R π 3.(1) ;94124R R ππ+ (2).π4. (1);3250π (2).328163a π- 5..)]0(3[3hf h +π 第八章习题8.1 1.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lx ds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL LL dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ 2. (1) ;212+n aπ (2);)12655(121-+ (3) ;2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6) .152563a 3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsin a 处. 4..6πk6. (1) ;23a π- (2) ;2π- (3) ;1514-(4) ;3233ππa k - (5) ;13 (6) .217. (1);334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328. ;)(12z z mg - 9. .23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11..941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2).301 2. (1) ;12 (2) ;0 (3) ;24a π(4) ;42π (2) .6742sin - 3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23- 4. (1) ;2122122y xy x ++ (2) ;cos cos 22y x x y + (3) .12124223yy ye e y x y x +-+习题8.3 1. ⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ 3. (1);313π (2) ;30149π (3) .10111π 4. (1) ;614 (2) ;427- (3) ;)(22h a a -π (4) .215644a5. ).136(152+π6. (1) ;10527R π (2) ;23π (3) ;21 (4) .817.(1)⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP8. .8π习题8.4 1. (1);23(2) ;5125a π (3) ;81π (4) ;525a π (5) .4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π 3. (1) ;222z y x ++ (2) ;)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy-- (3) .2x习题8.51. (1) ;32a π- (2) );(2b a a +-π (3) ;20π- (4) .29-2. (1) ;642k j i ++ (2) ;j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xy z x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k 3. (1) ;0 (2) .4- 4. (1) ;2π (2) ;12π 6. .0 总习题81. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4) ;6π-(5) ;)(22223γβαπ++R (6) ;23R π (7) );(C (8) ).(B2.(1);2arctan 222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π 3. (1) ;arctan 2RHπ (2) ;414h π- (3) ;2π4. .85. .216. .27..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ 8..23 习题9. 11. (1) 2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2) 11(1)-+=-n n n u n ;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4) 1sin (1)-=-n n nx u n .2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n s s u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a 不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛. 6. 提示：11≤n n a b a b . 7.211()2≤+n u n.8. 提示：0≤-≤-n n n n c a b a . 9. 提示：≤⋅n n n n a b a b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2) 111,[,]222=-R ; (3) 1,[1,1]=-R ;(4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5) 3,[0,6)=R ; (6) 1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-xx x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4) ln(1)(11)1---<<-xx x x.3. ()arctan ,[1,1];=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4) 2(1)ππ-+. 习题9. 41. 20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n . 2. (1) 210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2) 11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑n n n n x x na ;(3) 0(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ; (4) 2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n n n x x n ； (5) 111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1) 11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑nn n n x x ; (2) 111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n ; (3)(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑nn ex x n ;(4) 221111(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n .4. (1) 1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ; (2)211(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6. 11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n .7. (1) 0.9848; (2) 0.9461.习题9. 52. (1) 11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±;(3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ; (4) 33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2) 221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x .4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n n n(0,)π∈x .5. 211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n .6. 121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n. 习题9. 61. (1) 221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l ln xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T ;(3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n . 2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n x n n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ;221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n . 3. 2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n .4. (1) 1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ; (2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n;(3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7. 121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n t f t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2) 1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4) 2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5) 1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6) 01<<a 时收敛, 1>a 时发散, 1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散. 4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛. 5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4) (1,1)-.7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ; (2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x (3)21(02)(2)-<<-x x x ;(4)2222((2)+<-x x x . 8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1)881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2) 210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n . 10. 3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ；（2）2 ；（3）1 ；（4） 2 ，2.（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ；（2）2220x y xy y '''-+=， 5.（1）222x y y += ；（2）2xy xe =， 6.20x yy '+= ，习题10.21.（1）22(1)x y C -+= ；（2）222(1)(1)x y Cx ++= （3）sin cos y x C = ；（4）1010xyC -+=（5）()(1)y C x a ay =+- ；（6）(y x C =2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+；（2）arctan 4xy e π-= ；（3）(1)1x y += ；（4）ln tan2xy =， 3.()ln 1f x x =+ 4.（1）cxy xe =；（2）3()x yy Ce=；（3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x C x=5.（1）33x y Ce-=；（2）()xy x C e -=+；（3）(ln ln )y x x C =+（4）2sin 1x C y x +=-；（5）12(1)yx y Ce =+；（6）()x x C y e +=6.（1）x ae ab e y x+-=；（2）1cos xy xπ--=；（3）y x = （4）sin 2sin 1xy ex -=+-7.（1）535(5)2y x Cx +=；（2）82291(1)x C x =-+-；（3）22212xy Cex x =---；（4）3243(12ln )xyx x C -=-+8.（1）21xy e =-；（2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=；（2）是，cos cos y x x y C +=（3）是，2(1)e C θρ+=10.（1）4242x xy y C +-=；（2）arctan()xx C y=+（3arctan xC y=；（4）2x y C y x =+ 11.约3.4秒，13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++；（2）12()xy C x e C -=-+；（3）1211y C x C =-+；（4）221124(1)()C y C x C -=-习题10.3 1.(1) 相关；（2）无关；（3）无关；（4）相关，2.212()x y C C x e =+， 3.（1）212xy C x C e-=+ ；（2）212(21)xy C e C x =++5.2212()(1)1y C x x C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑；（2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑ ，7.（1）2312x x y C e C e -=+；（2）412xy C C e =+（2）(1(112xxy C e C e =+；（4）212(cossin )22x y eC x C x -=+ (5)当0a <时，12y C C e =+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C C =+；(6）当1λ>时，((12xxy C e C e λλ--=+；当1λ=时，12x x y C e C xe λλ--=+；当1λ<时，12()x y e C C λ-=+；（7）1234cos sin x xy C e C e C x C x -=+++；（8）123cos sin y C x C x C =++；（9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x =+++；（10）y =21234()()x xC C x e C C x e -+++；（11）2123()ax y e C C x C x =++；（12）1234()cos sin xy C C x e C x C x =+++；8.（1）342x xy e e =+；（2）2(2)x y x e-=+；（3）2(42)x y x e-=-；（4）(cos3sin 3)xy e x x -=+；（5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ，10.（1）3122x xy C e C e =++；（2）2121()(1)4xy C C x ex =+++；（3）3212123x y C C e x x x =+---；（4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474x xy C e C e x x =+++；（6）212231(cossin )sin 2cos 22226262x y eC x C x x x -=+-++， 11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x =++++；（2）4[()cos 2()sin 2]xy xe B Cx x D Ex x =+++；（3）2[()(cos 2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++；（4）32[()(cos 2sin 2)]xy e x Ax Bx C D x E x =++++；（5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++；（6）2x y A =， 12.（1）21122xx y e e x -=---；（2）11cos3cos 248y x x =+；（3）(sin )x y e x x -=-；（4）2sin xy xe x =，13.（1）121(ln )y C x C x=+；（2）12ln y C C x ax =++；（3）212(ln )ln y x C x C x x =++；（4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.x a = ； 15.约1.9秒，总习题101.（3）23222(ln )33x x x C y =-++；（4）2212x y C y-= ；（5）1y C C =；（6）11y x=- ，2.()1f x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx += ， 6.（1）21213()164xx y C C x ee -=+++；（2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--； (3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+；（4）12))sin(ln )2x y C x C x x =++ ， 7.()x ϕ=22121(1)22xxx xC e C e x e ++-， 8.1sin 2xx y e e x -=-- 9. 约2.8秒. 习题11. 1 1. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()131313133π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2) 31311Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3) 7726Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(4) Re 1,Im 3,13,arctan 32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z . 2. 1,11==x y . 3. (1)2cos sin22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=i i e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e; (4) 42sin )144πππ---=+-+i i i i .6. (1)8-i ; (2)16-i ; 7512124,πππ-ii i ee ; 11,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面. 10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支； (4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v ； (3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在.4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 0=上可导，在复平面上处处不解析； (3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析； (4) 在复平面上处处可导、处处解析.3. (1) 除=±z i 外在复平面上处处解析, 222()(1)'=-+zf z z ;(2) 当0≠c 时除=-dz c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4. 3,1,==-=l n m 3()=f z iz , 2()3'=f z iz . 习题11. 41. (1) -ei ; )i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1)1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2) 4ln 5arctan (21),3i k i k Z π-++∈; (3) 2,k e k Z π-∈; (4) 1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈. 3. (1) k π; (2) 2k ππ+; (3) (21)k i π+; (4) 4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±.4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k i π+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z''==. 6. Lnz w z e αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=. 总习题 111. (1) 33333Re ,Im ,,22422z z z argz z i π=-====--; (2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=； (4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-.2. (1)2(1); (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)(22)i ; (2)2468tan,0,,,,45555i i e ααππππα-=. 6. ()f z 处处不可导、处处不解析.8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -.习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +.3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8i π.6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4) 2211(tan1tan 11)122th ith -+++. 习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) eπ；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7) 0；(8) 12i π.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 44. 2222,()(1)v x xy y C f z i z iC =+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC -+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +.6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时, ()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5. 2i π. 9. 12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2；； (3)1； (4)1.习题13. 21. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3) 40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑； (4) 212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6) 20,!nn z R n ∞==∞∑. 3. (1) 11(1)(1),22n n n n z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323n n n n n z R ∞++=---=∑；(3) 103[(1)],(13)n n n n z i R i ∞+=-+=-∑； (4) 11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑. 习题13. 32. (1) 1(1)nn z ∞=---∑, 201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2) 1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4) 112()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5) 2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑； 30(1)(1),1()n nn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z z z z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点； (3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点； (5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)k z k i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；1,2,)k ±=均为一级极点.2. (1)z a =, m n +级极点；(2) z a =,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级极点，当m n =时为可去奇点； (3) z a =为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e i π；(3) 2i π-；(4) 2i π.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z -=.3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；； 4. (1)1111,()lnarctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1) 101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3) 210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑. 6. (1) 在014z <-<内，101(1)54nn n z z ∞+=-=--∑；在41z <-<+∞内，10145(1)n n n z z ∞+==--∑； (2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在02z <-<11101(2)(2)()(1)(2)25n n n n n n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑； (3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4) 1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()k z k i k Z π=∈ 为一级极点．9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Z z ππππ++=-+∈； (2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+, 42313Re [,]8(1)z s i iz +-=+； (3) 1Re [cos ,1]01s z =-； (4) 1Re [,0]0s zshz=, 11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=； (3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； .。

华南理工大学高数(下)习题册答案汇总

第七章多元函数微分学作业1 多元函数1．填空题（1）已知函数22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则(),f x y =()()22211x y y -+；（2）49arcsin2222-+++=y x y x z 的定义域是(){}22,49x y x y ≤+≤；（3）)]ln(ln[x y x z -=的定义域是(){}(){},,0,1,0,1x y x y x x y x x y x >>+⋃<<≤+；（4）函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,0,sin ),(x y x x xyy x f 的连续范围是全平面；（5）函数2222y x z y x+=-在22y x =处间断.2．求下列极限`（1）00x y →→；解：000031lim 6x t t y t →→→→===-（2）22()lim (ex y x y x y -+→+∞→+∞+）.解：3y x =22()2()lim (e lim (e 2x y x y x yx x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-⎣⎦））由于1lim e lim lim 0tt t t t t t t e e-→+∞→+∞→+∞===，2222lim e lim lim lim 0tt t t t t t t t t t e e e -→+∞→+∞→+∞→+∞====，故22()2()lim (elim (e 20x y x y x y x x y y x y x y xe ye -+-+--→+∞→+∞→+∞→+∞⎡⎤+=+-=⎣⎦）） 3．讨论极限26300lim y x yx y x +→→是否存在.解：沿着曲线()()3,,0,0y kx x y =→,有336626262000lim lim 1x x y kx x y kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限26300lim y x yx y x +→→不存在 !4．证明⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,2),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y都连续，但作为二元函数在点)0,0(却不连续.解：由于(,0)0,(0,)0,f x f y ≡≡从而可知在点)0,0(分别对于每个自变量x 或y 都连续，但沿着曲线()(),,0,0y kx x y =→,有2222222000222lim lim 1x x y kx xy kx kx y x k x k →→=→==+++因k 而异，从而极限()0lim ,x y f x y →→不存在，故作为二元函数在点)0,0(却不连续.；作业2 偏导数1．填空题（1）设22),(y x y x y x f +-+=，则=)4,3(x f 25；（2）（3）设(),ln 2y f x y x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则1x y f y==∂=∂12；（3）设2sin x u xz y =+，则42ux y z∂=∂∂∂ 0 ；（4）曲线22:44x y z y ⎧+=⎪Γ⎨⎪=⎩在点()2,4,5处的切线与Ox 轴正向的倾角是4π. ￥2．设2exy u =，证明 02=∂∂+∂∂yu y x u x.证:因为222312,xxy yu ux e e x y y y ∂∂-==∂∂ 所以222223*********x x x xy y y y u u x x x x y xe ye e e x y y y y y∂∂--+=+=+=∂∂3. 设xyz ln =，求22x z ∂∂，yx z∂∂∂2.解：ln ln x yz e⋅=，从而222ln ln ln ln ln ln ln 222ln ln ln ln ln ,,x y x y x y x z y z y y y y e e e y x x x x x x ⋅⋅⋅∂∂--⎛⎫=⋅=⋅+⋅= ⎪∂∂⎝⎭—2ln ln ln ln ln ln ln 11ln ln 1x y x y x z y x y x e e y x y x y x y xy⋅⋅∂⋅+=⋅⋅+⋅⋅=∂∂4．设y x z u arctan =，证明 0222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u . 解：因为()()2222222222211022,1uyz u yz x xyzz xy x y x x x y x y y ∂∂-⋅-=⋅⋅===∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭()()2222222222221022,1u x xz u xz y xyzz yy x y y x x y x y y ∂--∂-⋅=⋅⋅==-=∂+∂⎛⎫+++ ⎪⎝⎭22arctan ,0,u x uz y x∂∂==∂∂ 所以()()2222222222222200u u u xyz xyzx y z x y x y ∂∂∂-++=++=∂∂∂++ 5．设函数()()2221sin ,0,0,x x y x f x y xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩.（1）试求(),f x y 的偏导函数；解：当()()()3222221110,,42sin cos x x f x y x xyx x y xx x-≠=+++⋅()21,2sin y f x y x y x =，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+(当()()()()222001sin 0,0,0,0,lim lim 00x x x x x y f x y f y x x f y x x→→+--≠===-()()()000,0,000,limlim 00y y y f y y f y f y y y ∆→→+∆--===∆-∆，()()()322211,42sin cos x f x y x xy x y x x=+-+（2）考察偏导函数在()0,3点处是否连续.()()200331lim ,lim 2sin00,3y y x x y y f x y x y f x→→→→===，故(),y f x y 在()0,3点处连续， ()()()3222003311lim ,lim 42sin cos x x x y y f x y x xy x y x x →→→→⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦不存在，从而(),x f x y 在()0,3点处不连续作业3 全微分及其应用1．填空题（1）),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在是),(y x f z =在该点可微的必要条件；（2）函数23z x y =在点()2,1-处，当0.02,0.01x y ∆=∆=-时有全增量）z ∆=0.2040402004-，全微分d z =0.20-；（3）设),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量为z ∆，全微分为dz ，则),(y x f 在点),(00y x 处的全增量与全微分的关系式是()z dz o dz ∆=+；（4）22yx x u +=在点)1,0(处的d u =dx ；（5）xy u cos )(ln =,则d u =cos cos (ln )ln ln sin ln x x y y xdx dy y y ⎡⎤-⋅+⎢⎥⎣⎦；（6）zyx u )(=,则d u =()ln z x z z x dx dy dz y x y y ⎛⎫-+⎪⎝⎭；（7）2221zy x u ++=,则d u = ()()3222212x y z -++ .2．证明：(),f x y =在点()0,0处连续，()0,0x f 与()0,0y f 存在，但在()0,0处不可微.证：由于(0,)0,(,0)0,f y f x ==从而(0,0)0,(0,0)0.y x f f ==但是limlimx x y y ∆→∆→∆→∆→=不存在，从而在()0,0处不可微.;3．设函数()()222222221sin ,0,0,0x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩试证：（1）函数(),f x y 在点()0,0处是可微的；证：因为 ()()()()2201sin0,00,00,0limlim 0,0,000x y x x x f x f x f f x x →→--====--又()()()22221sinlimlim0x x y y x y x y ∆→∆→∆→∆→∆+∆∆+∆==）所以函数(),f x y 在点()0,0处是可微的（2）函数(),x f x y 在点()0,0处不连续.证：当()222222221210,,2sincos x x x y f x y x x y x y x y +≠=-+++()2222220000121lim ,lim 2sin cos x x x y y x f x y x x y x y x y ∆→∆→∆→∆→⎛⎫=- ⎪+++⎝⎭不存在，故(),x f x y 在点()0,0处不连续作业4 多元复合函数的求导法则1．填空题（1）设2ln ,,32yz u v u v y x x===-，则 z x ∂=∂()()223222ln 3232y y y x x x y x ----； |（2）设22,cos ,sin z x y xy x u v y u v =-==，则zv∂=∂()333sin cos sin 2sin sin 2cos u v v v v v v +--；（3）设()22,zu x y z x y =-=+，则u x ∂=∂()()222ln z x y x y x x y x y ⎡⎤+--+⎢⎥-⎣⎦；（4）设2sin z x y x ==，则dd zx =2x . 2．求下列函数的偏导数（1）设,,x y u f y z ⎛⎫=⎪⎝⎭其中f 具有一阶连续偏导数，求,u x ∂∂u y ∂∂和uz ∂∂；解：111,f u f x y y ∂=⋅=∂121222222211,u x x u y yf f f f f f y y z y z z z z∂--∂--=⋅+⋅=+=⋅=∂∂ （2）设(),,,u f x y z =()(),,,z y t t y x ϕψ==，其中,,f ϕψ均可微，求u x ∂∂和uy∂∂. 解：因为1231212,,du f dx f dy f dz dz dy dt dt dy dx ϕϕψψ=++=+=+ 从而()1231212du f dx f dy f dy dy dx ϕϕψψ=++++⎡⎤⎣⎦~()()1322231321f f dx f f f ϕψϕϕψ=+++++所以1322231321,u u f f f f f x yϕψϕϕψ∂∂=+=++∂∂ 3．验证下列各式（1）设()22yz f x y =-，其中()f u 可微，则211z z z x x y y y ∂∂+=∂∂；证：因为222212,z xyf z y f x f y f f''∂-∂==+∂∂ 所以222211121121z z z xyf y f zx x y y x x f y f f yf y''⎛⎫∂∂∂-+=++== ⎪∂∂∂⎝⎭ （2）设()23y z xy x ϕ=+，其中ϕ可微，则220z zx xy y x y ∂∂-+=∂∂. 证：因为()()222,33z y z y y xy x xy x x y xϕϕ∂∂''=-+=+∂∂ 所以22z z x xy y x y ∂∂-+=∂∂()()2222233y y x y xy xy x xy y x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫''-+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22222033y y x y xy y x y xy y ϕϕ''=-+--+=-4．设22,,y z xf x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭其中函数f 具有二阶连续偏导数，求2z x y ∂∂∂.解：因为221212222,z y y f x f f f xf f x x x ⎛⎫∂-=++⋅=+- ⎪∂⎝⎭所以22212212222222222z y y y y y y f xf f f xf f f x y y x x x x x x⎡⎤∂∂=+-=+⋅--⋅⎢⎥∂∂∂⎣⎦ 31222224y yf f x=-4．设)()(xy x x y u ψϕ+=其中函数ψϕ,具有二阶连续偏导数，试证：022222222=∂∂+∂∂∂+∂∂y u y y x u xy x u x . 证：因为222223432,u y y u y y y x x x x x x x ϕψψϕϕψ∂-∂'''''''=+-=++∂∂222322211,,u y y u u x y x x x y x y x xϕψϕϕψϕψ''''∂∂∂'''''''=---=+=+∂∂∂∂ 从而左边222234323222120y y y y y x xy y x x x x x x x x ϕψϕϕψϕϕψ''''⎛⎫⎛⎫⎛⎫''''''''''=+++---++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭作业5 隐函数求导法1．填空题*（1）已知3330x y xy +-=，则d d y x =22x yx y --；（2）已知20x y z ++-=，则x y ∂=∂（3）已知xzz y =，则d z =2ln ln z dy yz zdxxy yz y--；（4）已知222cos cos cos 1x y z ++=，则d z =sin 2sin 2sin 2xdx ydyz+-；（5）已知(),z f xz z y =-，其中f 具有一阶连续偏导数，则d z =12121zf dx f dyxf f ---.2．设(),0,F y z xy yz ++=其中F 具有二阶连续偏导数，求22zx∂∂．解：212120,yF z z z F F y y x x x F yF -∂∂∂⎛⎫+⋅+=⇒= ⎪∂∂∂+⎝⎭ ()()[]()22122122122221212x x x F z F y yz F yF F F yF F z y y x x F yF F yF '⋅+++-+⎡⎤⎛⎫∂∂⎣⎦=-=- ⎪∂∂++⎝⎭()()()()()2222112111222212221231212y F F F yF F F yF y F F F F F yF F yF -+++⎡⎤-⎣⎦=+++3．求由方程组222222320z x yx y z ⎧=+⎪⎨++=⎪⎩所确定的()y x 及()z x 的导数d d y x 及d d z x .$解：由已知()2222222602460dz xdx ydy dz xdx ydy xdx dz xdx zdz xdx ydy zdz -=⎧=+⎧⎪⇒⎨⎨+-+=++=⎪⎩⎩ ()()22606,132623220xdx z dz dz x dy x xy dx z dxy yz xdx ydy z xdx ydy -++=⎧+⎪⇒⇒==-⎨+++++=⎪⎩4．设函数()z f u =，又方程()()d xy u u P t t ϕ=+⎰确定u 是,x y 的函数，其中()f u 与()u ϕ均可微；()(),P t u ϕ'连续，且()1u ϕ'≠. 试证：()()0z zP y P x x y∂∂+=∂∂. 证：因为()(),z u z uf u f u x x y y∂∂∂∂''=⋅=⋅∂∂∂∂， ()()()(),1P x u u u u P x x x x u ϕϕ∂∂∂'=⋅+='∂∂∂- ()()()(),1P y u u uu P y y y y u ϕϕ-∂∂∂'=⋅-='∂∂∂- ()()()()()()()()()()011P x P y z zP y P x P y f u P x f u x y u u ϕϕ-∂∂''+=+=''∂∂--5．设函数()f u 具有二阶连续偏导数，而()e sin x zf y =满足方程22222e x z zz x y∂∂+=∂∂，求()f u . 】解：因为()()()()222sin ,sin sin x xx z z f u e y f u e y f u e y x x∂∂''''==+∂∂()()()()222cos ,cos (sin )x xx z z f u e y f u e y f u e y y y∂∂''''==+-∂∂()()222222()e ,()0x x z zf u e f u f u f u x y∂∂''''+==⇒-=∂∂ 特征方程为()2121210,1,1,u u r r r f u c e c e --===-=+作业6 方向导数与梯度1．填空题（1）在梯度向量的方向上，函数的变化率最大；（2）函数在给定点的方向导数的最大值就是梯度的模；（3）函数2249z x y =+在点()2,1的梯度为grad z ={16,18}；（4）函数xyz u =在点)1,1,1(处沿方向}cos ,cos ,{cos γβα=l的方向导数是@cos cos cos αβγ++，且函数u 在该点的梯度是{1,1,1}；（5）函数e cos()xu yz =在点)0,0,0(处沿方向}2,1,2{-=l 的方向导数是23；（6）函数)ln(22z y x u ++=在点)1,0,1(A 处沿A 指向点)2,2,3(-B 方向的方向导数是12. 2．求222z y x u -+=在点)0,0,(a A 及点)0,,0(a B 处的梯度间的夹角.解：{}2,2,2{2,0,0}AAgradux y z a =-={}2,2,2{0,2,0}B Bgradu x y z a =-=夹角余弦为cos 02A B A Bgradu gradu gradu gradu πϕϕ⋅==⇒=⋅3．求二元函数22z x xy y =-+在点()1,1-沿方向{}2,1l =的方向导数及梯度，并指出z 在该点沿那个方向减少得最快沿那个方向z 的值不变解：(){}(){}1,11,12,23,3gradz x y y x --=--=-5l =⎨⎩，{3,3}zl∂=-⋅=∂ )z 在该点沿梯度相反方向，即方向减少得最快；沿与梯度垂直的那个方向，即±方向z 的值不变 4．设x轴正向到l 得转角为α，求函数()22220,0,x y f x y x y +>=+=⎩在点()0,0处沿着方向l 的方向导数.解：{}cos ,sin ,cos l αααα===由于该函数在点()0,0处不可微，从而不能用公式，只能由定义得出沿着方向l 的方向导数：()()00,0,0lim x y f x y f fl ρρρ→→→→-∂===∂1cos sin sin 22ααα==作业7 偏导数的几何应用1．填空题（1）已知曲面224z x y =--上点P 的切平面平行于平面221x y z ++=，则点P的坐标是(1,1,2)； !（2）曲面e 23zz xy -+=在点()1,2,0处的切平面方程是24x y +=；（3）由曲线223212x y z ⎧+=⎨=⎩绕y轴旋转一周所得到的旋转曲面在点(M处的指向内侧的单位法向量为0,⎧⎪⎨⎪⎩；（4）曲面2222321x y z ++=在点()1,2,2-处的法线方程是122146x y y -+-==-；（5）已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 的切线平行于平面24x y z ++=，则点P的坐标是()1,1,1--或111,,3927⎛⎫--⎪⎝⎭． 2．求曲线22sin ,sin cos ,cos x t y t t z t ===在对应于的点π4t =处的切线和法平面方程.解：切点为{}224111,,,2sin cos ,cos sin ,2cos sin {1,0,1}222T t t t t t tπ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，从而切线为11110222,11012x z x y z y +-=⎧---⎪==⎨-=⎪⎩，法平面为110,022x z x z ⎛⎫---=-= ⎪⎝⎭3．求两个圆柱面的交线22221:1x y x z ⎧+=⎪Γ⎨+=⎪⎩在点M 处的切线和法平面的方程.解：1{2,2,0}|//{1,1,0}M n x y =，2{2,0,2}|//{1,0,1}M n x z =&{}{}1,1,01,0,1{1,1,1}T =⨯=--==，法平面为0x y z --+= 4．求曲面()22210ax by cz abc ++=≠在点()000,,x y z 处的切平面及法线的方程. 解：000000{2,2,2}//{,,}n ax by cz ax by cz =切平面为0001ax x by y cz z ++=，法线为000000x x y y z z ax by cz ---== 5．求函数22221x y z ab ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在点M 处沿曲线22221x y a b +=在此点的外法线方向的方向导数.解：2222,,MM x y gradza b a b ⎧⎪⎧⎫=--=--⎨⎬⎨⎩⎭⎪⎪⎩⎭2222,M x y n a b a b ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭⎪⎪⎩⎭指向外侧为此点的外法线方向，方向导数为(2a z ngradz n n ∂=⋅=-∂6．证明：曲面y z xf x ⎛⎫=⎪⎝⎭在任意点处的切平面都通过原点，其中f 具有连续导数. —证：设切点为()000,,x y z ，则000000000000,,1,y y y y y n f f f z x f x x x x x ⎧⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪''=--=⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩⎭切平面为()()()000000000000y y y y f f x x f y y z z x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫''--+---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦令0x y z ===，得左边等于右边，从而原点在任意点处的切平面上，也即任意点处的切平面都通过原点。

合肥工业大学高数习题册上册答案详解

习题47- 导数在不等式证明中的应用1．证明：当02x π<<时，有sin tan 2x x x +>．【证】单调性法。

设x x x x f 2tan sin )(-+=，则 ∵02cos 1cos 2cos 1cos 2sec cos )(2222>-+>-+=-+='x x x x x x x f （02x π<<） ∴]2,0[)(π∈↑x f ，从而，0)0()(=>f x f （02x π<<），即得证。

■2．设0a b >>，1n >，证明：11()()n n n n nb a b a b na a b ---<-<-．【证】中值定理法。

设a x b x x f n ≤≤=,)(，则由拉格朗日中值公式可得：))(()()(b a f b f a f -'=-ξ（a b <<ξ），即 )(1b a n b a n n n -=--ξ（a b <<ξ）。

―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题51- 定积分的概念与性质1．利用定积分的几何意义计算下列定积分：20(1)xdx ⎰；(2)⎰．【解】（1）2222120=⋅⋅==∆⎰S xdx 。

（2）4141411212ππ=⋅⋅==-O ⎰S dx x 。

2．比较下列积分的大小：21(1)ln xdx ⎰与221(ln )x dx ⎰；（2）dx xx⎰+101与dx x ⎰+10)1ln(．【解】（1）∵21≤≤x ，∴12ln ln 1ln 0<≤≤=x 。

从而，)21()(ln ln 2<<>x x x ，于是，⎰⎰>21221)(ln ln dx x xdx 。

■（2）∵对t ln 在]1,1[x +上应用格朗日中值定理可得：xxx x x +>=-+=+111ln )1ln()1ln(ξ（0>x ） ∴dx x dx xx⎰⎰+<+101)1ln(1。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

所应满足的初始条件.
14
一阶微分方程
一般,未知函数含于变上限的积分中时,常可通过对关系式两边求导而化为微分方程再找出
初始条件而解之.
解将得关系 f(式 x)f( fx )2 x 0 2 x 2f 2 tf d (tx )l n2 2 两 f(边 x)求导 ,
一阶微分方程
即 C (x)dxQ (x)eP (x)d xdx
C (x)Q (x)eP(x)dxdxC
设 yC(x)eP(x)d 是 x dyP(x)yQ(x)的解 . dx
一阶线性非齐次微分方程的通解为
y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
x
x
一阶线性非齐次方程
y

e
1dx x

sinx x
e

1 x
dx
dx
C
1 xsin xdxC1xcoxsC
22
一阶微分方程
例如图所示,平行于y 轴的动直线被曲线 y = f (x)
与yx3(x0)截下的线段PQ之长数值上等于
阴影部分的面积, 求曲线 y = f (x).
当轮船的前进速度为v0时, 推进器停止工作, 已知船受水的阻力与船速的平方成正比 (比例系数为mk,其中k > 0为常数,而m为船的质量).问经过
多少时间, 船的速度减为原速度的一半?
解由题意
mdv mk2v dt
初始条件 v(0)v0
解得 1 kt C C 1 1 kt 1
dy P(x)dx, y
dyyP(x)dx,
ln|y|P (x)dxlnC 1,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx (C eC1 )
17
一阶微分方程
2. 线性非齐次方程 dyP(x)yQ( x ) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
得 dy ky(800 y),其中k > 0为比例常数.
dt
分离变量
dy kdt,
y(800y)
8
一阶微分方程
dy kdt, y(800y)
初始条件 y(0)1, y(12)3
即
11 1 dykdt,
80y 0 800y
两边积分,得 8 1[ 0ly 0 n ln 8(0 y)0 ]k tC 1,
病流行时及时采取措施是至关重要的.
10
一阶微分方程
例有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流出, 小孔横截面积为1平方厘米 (如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律.
解由力学知识得,水从孔口
流出的流量为
解 yl1nydy1xdx ln1ydlny1xdx
llnn y ln x lC nlnCx
lnyCx
通解为 y eCx
5
一阶微分方程
注应用问题建立微分方程的方法: 方法大体有两种
第一种方法
直接利用物理定律或几何条件列出方程, 常见的物理定律有力学、热学、光学、电学的定律;
负号两是端由积于分当 t 增加时M单调减少
dM dt,ln M tln C,即
M
代M 入t0M0,得M0 Ce0 C
MCet ,
通解
特解 MM0et 衰变规律
7
一阶微分方程
初始条件:
例求游船上的传染病人数. y(0)1, y(12)3
一只游船上有800人, 一名游客患了某种传染病,
QdV0.62 S 2gh dt
流量系数孔口截面面积重力加速度
V (1 h 3 1 0 0 h 2 ),d V (2 0 0 h h 2 )d h11 3
一阶微分方程
(20 h 0h2)dh0.622gd ht,
可分离变量方程
d t (20h0 h 3)d h ,
解
(x3 y)2
x
f (x)dx
0

xydxx3y 0
y
y3x2 y 积分方程
即 yy3x2
一阶非齐次线性方程
O
y x3
Q
yf(x)
P
xx
23
一阶微分方程
0x 0
ydxx03
y
yy3x2 P(x)1, Q(x)3x2
y 0edx 3x2edxdxC
解分离变量 1yy2dy1xx2dx
两端积分
1
y y2
dy

x 1 x2 dx
1ln1 ( y2)1ln1 ( x2) 1 ln C
2
2
2
ln 1 (y2)ln C (1x2)
1y2C(1x2)为方程的通解.
隐式通解
4
一阶微分方程
求方程 x y ylny 的通解 .
到其他地方,其速率与血液中的葡萄糖含量成正比.
试列出描述这一现象的微分方程, 并解之.
解因为血液中的葡萄糖含量的变化率 d G 等于增 dt
加速率与减少速率之差,而增加速率为常数k, 减少
速率为G, 其中为正的比例常数,所dG以kG,
dt
25
一阶微分方程
dGkG,
dt
即 dGGk. 关于G的一阶线性非齐次方程
dt 由通解公式,得
G (t) e d t[k ed td t C ] k Cet .
设G(0)表示最初血液中葡萄糖含量,则可确
定出于是
CG(0)k,
G (t) k[G (0) k]et.
26
一阶微分方程解初值问题y : e (y xx2P ( 0x 1)d )x 1y[Q 2(xx ) ye cP (ox )xd sx d x 0 C ]
12小时后有3人发病. 由于这种传染病没有早期症状,
故感染者不能被及时隔离. 直升机将在60至72小时
将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数. 设传染病的传播速度与受感染的人数及未受感染的
人数之积成正比.
解用 y ( t )表示发现首例病人后 t 小时时的感染人
数, 800y可(t分)表离示变t量刻微未分受方感程染的人数,由题意,
第二种方法
取小元素分析, 然后利用物理定律列出方程(类似于定积分应用中的元素法).
6
一阶微分方程
例衰变问题. 衰变速度与未衰变原子含量M成
正比,已M 知 t0M 0,求衰变过程中铀含量 M (t) 随时间 t 变化的规律.
解衰变速度 d M , 由题设条件分离变量 dt
ddM t M(0衰变系 ) dM 数 M dt
线性齐次方程的通解是 CeP(x)dx,
显然线性非齐次方程的解不会是如此, 但它们之间应存在某种共性.
设想非齐次方程 dyP(x)yQ(x)的解是
dx
yC( x) eP(x)dx
待定函数
18
一阶微分方程
对 yC(x)eP(x)dx求,导得
dyP(x)yQ(x) dx
yC(x)eP(x)dxC ( x )eP(x)dx[P(x)]
对应齐次方程通解
非齐次方程的一个特解
注一阶线性方程解的结构及解非齐次方程的常数变易法对高阶线性方程也适用.
21
一阶微分方程
y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
例求方 y程 1ysix n的通 . 解 xx
解 P(x) 1 , Q(x)sinx,
通解
y1C80e800k0t
(Ce80C01).
由初始条件 y(0)1,得C79.再9由 y(1)23,
便可确定出 80k0 1 ln 797 0.0917. 6
12 2397
所以 y(t)1789e0 90.0091t7. 6 9
一阶微分方程
直升机将在60至72小时将疫苗运到,试估算疫苗运到时患此传染病的人数.
y(t)1789e0 90.0091t7. 6
下面计算 t60,72小时时的感染者人数
y(60)
800 179e 90.091670618,8
y(72)1798e 900.0091772638.5
从上面数字可看出, 在72小时疫苗运到时, 感
染的人数将是60小时感染人数的2倍. 可见在传染
将y和y代入原方,得程dyP(x)yQ(x)
dx
C ( x ) e P ( x ) d x C ( x ) P ( x ) e P ( x ) d x
P(x)C(x)eP(x)dxQ( x )
从而C(x)满足方程 C (x)eP(x)dxQ (x)
19
0.62 2g t (40h 3 0 2h 5)C ,
0 .62 2g3 5 h|t010,0 C0.622g1 15 4 150, 所求规律为 t (7 15 0 130 h 3 3h 5).
4 .65 2 g
12
一阶微分方程
2019年北方交大期末考题(8分)
v
v0 v
v0
当v v0时, t 1 即得.
2
kv 0
13
一阶微分方程
1991年考研数学一, 3分
设 f(x )满足 f(x 关 )2 xf 系 t d t 式 ln 2 ,
则 f(x)( B ).
0 2
A.ex ln2; B.e2x l n2; C.ex ln2; D.e2x ln2 分析有两种方法其一，将所给选项代入关系式直接验算，(B)正确. 其二，对积分关系式两边求导化为微分方程, 并注意到由所给关系式在特殊点可确定出微分方程